文档内容
第二十五章 概率初步1. 熟练掌握一元二次方程全章知识点；
教学目标
2. 熟练运用全章知识点解决相应的题目题型；
1. 重点
（1）必然事件、随机事件、不可能事件的理解；
教学重难点 （2）概率及其概率的求法。
2. 难点
（1）利用列表法与画树状图求事件的概率。
考点01 确定性事件与随机事件
1. 必然事件的概念：
在一定条件下必然会发生的事件叫必然事件。
2. 不可能事件的概念：
在一定条件下必然不会发生的事件叫不可能事件。
必然事件与不可能事件都是确定性事件。
3. 随机事件的概念：
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。
4．事件发生的可能性大小：
一般地，事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性大小不同。容易发生的可能性
大，不易发生的可能性小。必然事件的可能性是1，不可能事件的可能性是0。
考点02 概率
1. 概率的定义：
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A发生的概率。
记做P（A）。
发生的可能性越大，概率越大；发生的可能越小，则概率越小。
2. 简单事件的概率计算：
如果在一次实验中，有n中可能的结果，并且它们发生的可能性大小是相同的，事件A包含其中的m
m
中结果，那么事件A发生的概率为P（A）= 。由m与n的含义可知，0≤m≤n，所以可知P（A）的取值
n
范围为0≤P（A）≤1。
3. 确定性事件与随机事件的概率大小：
若事件A是必然事件，则P（A）＝1；若事件A是不可能是事件，则P（A）＝0；若事件A是随机事件，则P（A）的取值范围为0＜P（A）＜1。
4. 几何概率的计算：
即求部分与总和的比值。有时候求长度比，有时候求面积比，有时候求体积比。
考点03 用列举法求概率
1. 直接列举法求事件概率：
在一次实验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相同，则可通过列举
实验结果的方法分析随机事件发生的概率。
2. 列表法求事件的概率：
当一次实验要涉及的因素有两个（或是需要两部操作来完成实验）且可能出现的结果较多时，常通过
用列表的方法列举所有可能的结果，找出事件A可能发生的所有的结果，再利用概率公式求概率。
3. 树状法求事件的概率：
当事件要通过多个步骤（三个或以上）完成时，常通过用画树状图的方法列举所有可能的结果，在找
出事件A可能发生的结果，再利用概率公式求概率。
考点04 用频率估算概率
1. 用频率估算概率：
大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频
率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率。实验次数越
多，用频率估算概率越准确。
一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率 稳定于某个常数p，那么事件A发生的概率即
为p（A）=P。
2. 频率与概率的区别与联系：
事件的频率与概率都是度量事件发生的可能性大小的特征数。
频率是一个实验值，或使用时的统计值，具有随机性，可能取多个数值，因此只能近似的反应事件出
现的可能性大小。概率是一个理论值，是由事件的本质决定的，只能取唯一的值，所以它能精确的反应事
件发生的可能性大小。题型01 判断事件的随机与必然
【典例1】下列事件的发生，为必然事件的是（ ）
A．上数学课，忘记带数学课本
B．射击运动员射击一次，命中10环
C．杭州明年五一节当天最高气温35℃
D．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下
【变式1】小亮用商城娃娃机抓娃娃，则他第一次“抓到娃娃”的事件是（ ）
A．必然事件 B．不可能事件
C．确定性事件 D．随机事件
【变式2】成语“水中捞月”所描述的事件是（ ）
A．必然事件 B．随机事件
C．不可能事件 D．无法确定
题型02 判断事件的可能性大小及求值
【典例1】小星从一定高度随机抛掷一枚质地均匀的硬币，前 5次抛掷的结果均为“正面朝上”，那么小
星第6次抛掷该硬币时，下列说法正确的是（ ）
A．“正面朝上”的可能性大
B．“反面朝上”的可能性大
C．“正面朝上”与“反面朝上”的可能性相同
D．一定是“正面朝上”
【变式1】不透明的袋子中装有10个红球、7个黄球、2个白球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子
中随机摸出一个球，然后放回去继续摸，如果前三次摸出的都是红球，那么第四次摸出（ ）球的可
能性最大．
A．红 B．黄 C．白 D．每种球的可能性一样大
【变式2】袋子里有8个红球，m个白球，3个黑球，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，
则m的值不可能为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．10
【变式3】投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上，那么，投掷第5次硬币正面朝上的可能性是（
）
1 1 3 1
A． B． C． D．
5 2 4 3
题型03 求事件的概率【典例1】一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中2个红球，5个白球，从布袋中随机摸出
一个球，摸出的球是红球的概率是（ ）
2 5 2 1
A． B． C． D．
7 7 5 3
【变式1】某班级计划举办手抄报展览，确定了“雷锋精神”“DeepSeek”“珍爱生命”三个主题，若子
涵随机选择其中一个主题，则她恰好选中“DeepSeek”的概率是（ ）
1 1 1 2
A． B． C． D．
9 6 3 3
【变式2】2024年11月，我校开展了“读书节”活动，鼓励学生每月完成一定的阅读量，初三年级共有
21个班级，学校统计了这些班级的阅读达标率，具体数据如下：
阅读达标率x x＝100% 90%≤x＜100% x＜90%
班数 6 a b
（1）从这21个班级中任意选取1个班级．若事件“该班阅读达标率x满足90%≤x＜100%”的概率为
3
，则a＝ ，b＝ ；
7
（2）某班选出了1名男生和3名女生作为“阅读之星”．老师计划从这四位同学中随机抽取两位在年
级大会上分享阅读心得．请用列表法或画树状图法求“恰好同时抽到两位女生”的概率．
【变式3】“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小
明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好．小明从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后
再从中随机抽取一张邮票．（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）．
（1）小明抽取第一张邮票，抽到“雨水”的概率为 ；
（2）请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率．
【变式4】如图，有A，B两个转盘，其中转盘A被分成4等份，转盘B被分成3等份，并在每一份内标上
数字．现甲、乙两人同时分别转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线上时视为无效，重
转），若将A转盘指针指向的数字记为 x，B转盘指针指向的数字记为 y，从而确定点P的坐标为P
（x，y）．
（1）请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点P的坐标．
12
（2）在（1）的基础上，求点P落在反比例函数y= 图象上的概率．
x
（3）记S＝x+y，李刚为甲、乙两人设计了一个游戏：当S＜m时甲获胜，否则乙获胜，若这个游戏是
公平的，求m的值．（m取整数）
题型04 求几何概率
【典例1】如图所示的是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，指针落在蓝色区域的概率是（ ）1 1 2 3
A． B． C． D．
4 2 3 4
【变式1】如图，正方形ABCD的边长为2，分别以A、C为圆心，正方形的边长为半径画弧，在正方形
ABCD中随机抛掷一粒豆子，则豆子落在阴影区域内的概率为（ ）
π−2 π−2 π−1 π−1
A． B． C． D．
2 4 2 4
【变式2】如图，在直径BC为2❑√2的圆内有一个圆心角为90°的扇形ABC．随机地往圆内投一粒米，该粒
米落在扇形内的概率为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
5 4 3 2
【变式3】如图，已知 O是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆．现假设可以随意在图中取点，则
这个点取在阴影部分的概率是（ ）
⊙
π−2 (2−❑√2)π ❑√2π π+❑√2
A． B． C． D．
4 4 8 16
题型05 用概率判断游戏公平性
【典例1】在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在
△ABC的（ ）
A．三边中线的交点
B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边上高的交点
【变式1】某口袋中有10个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球，从袋中任意摸出一个球，若为
绿球，则小星获胜，若为黑球，则小红获胜，要使游戏对小星、小红双方公平，则x的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成三个面积相等的扇形）做游戏，转动两个
转盘各一次，若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜．
（1）小明赢的事件是 ．（选填：必然，随机或不可能．）
（2）这个游戏对双方公平吗？通过画树状图或列表的方式说说你的理由．
【变式3】小明和小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字 2，3，4（背面完全相
同），现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽
取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和．若和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜．
（1）请你用画树状图或列表的方法，求出小明和小亮各自获胜的概率；（2）你认为这个游戏规则对双方公平吗？说说你的理由．
【变式4】在一个不透明的小布袋中装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的质地、大小完全相同，小明
从布袋里随机摸出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为
y，这样确定了点M的坐标（x，y）
（1）画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标．
x
（2）小明和小红约定做一个游戏，其规则为：x、y若满足 ＜2，则小明胜；否则，小红胜；这个游
y
戏公平吗？说明理由．
题型06 根据概率求值
【典例1】已知一个不透明的袋子中装有9个只有颜色不同的球，其中3个白球，6个红球，若从袋中取出
若干个红球，换成相同数量的黄球．搅拌均匀后，使得随机从袋中摸出两个球，颜色是一白一黄的概率
1
为 ，则袋中红球被换成黄球的个数为（ ）
3A．2 B．3 C．4 D．5
【变式1】一个盒子里有白球14个，黑球若干，这些球除颜色外都相同．将盒子里的球搅拌均匀，从中随
1
机摸出一个黑球的概率为 ，则盒子中黑球个数为（ ）
3
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【变式2】小明将转盘分成n（n是正整数）个扇形，并使得各个扇形的面积都相等，然后他在这些扇形区
域内分别标连接偶数数字2，4，6，...，2n（每个区域内标注1个数字，且各区域内标注的数字互不相
5
同），转动转盘1次，当转盘停止转动时，若事件“指针所落区域标注的数字大于8”的概率是 ，则n
6
的取值为 ．
【变式3】近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小金将二维
码打印在对角线长为❑√10的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，
经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为
．
题型07 用频率估算概率
【典例1】一个不透明的袋子中有红球、白球共10个，除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，记录
颜色后放回，重复100次，发现摸到红球60次，则估计袋中红球约有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【变式1】某区为了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，结果如下表，根据
抽测结果，下列对该区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是（ ）
累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
体质健康合格的学 0.85 0.9 0.93 0.9 0.89 0.9 0.91 0.91 0.92 0.92
生数与n的比值
A．0.92 B．0.905 C．0.903 D．0.9
【变式2】某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验
数据整理如表：
抛掷次数n 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000
“正面朝 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750
上”的次数
m“正面朝 0.60 0.63 0.58 0.52 0.54 0.55 0.55 0.55 0.55 0.55
上”的频率
m
n
则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（ ）
A．0.52 B．0.55 C．0.58 D．0.63
【变式3】在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究
“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下：
试验次数 100 300 500 1000 1600 2000
“有2个人同月过生日”的次 79 229 385 781 1246 1560
数
“有2个人同月过生日”的频 0.79 0.763 0.77 0.781 0.779 0.78
率
通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是（ ）
A．0.79 B．0.78 C．0.77 D．0.76
题型08 统计与概率的综合
【典例1】为了激发学生对中国古诗词的学习兴趣，某校举行了古诗词比赛，比赛结束后随机抽取了部分
学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组，A组：75≤x＜80，B组：80≤x＜85．C组：85≤x＜90，D
组：90≤x＜95，E组：95≤x≤100，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，并补全学生成绩频数分布直方图；
（2）若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？
（3）学校将从获得满分的5名同学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参加五一劳动节
的文艺汇演，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．【变式1】为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某学校组织了以“观阅兵，知强
军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取 20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且
为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于 60分，用x表示，共分为四组：A.90≤x≤100，
B.80≤x＜90，C.70≤x＜80，D.60≤x＜70，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息：
八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，
96，98，99，100，100．
九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：83，87，86，89，85，88．
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 众数 中位数 方差
八年级 88 a 90 10.3
九年级 88 94 b 9.6
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中的a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）若该校八年级有900名，九年级有800名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞
赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？
（3）该校从八、九两个年级竞赛成绩在A组的所有学生中随机抽取了4名学生，其
中八年级2名，九年级2名．现从这4名学生中随机抽取2人参加市赛，请用列表
法或画树状图法，求抽到的学生至少有一名来自八年级的概率．
【变式2】为了落实国家“双减”政策，某中学在课后服务时间里，开展了音乐、体操、诵读、书法四项
社团活动．为了了解七年级学生对社团活动的喜爱情况，该校从七年级全体学生中随机抽取了部分学生
进行“你最喜欢哪一项社团活动”的问卷调查，每人必须选择一项社团活动（且只能选择一项）．根据
调查结果，绘制成如下两幅统计图．请根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）参加本次问卷调查的学生共有 人．
（2）在扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角是 ．
（3）补全条形统计图．
（4）端午节前夕，学校计划进行课后服务成果展示，准备从这 4个社团中随机抽取2个社团汇报展示．
请用树状图法或列表法，求选中的2个社团恰好是B和C的概率．
【变式3】近年来，雪豹已成为西宁的城市新名片．某文创店内以“雪豹”为主题的文创产品琳琅满目．
数学兴趣小组的同学想要调查全校学生对其中四类文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷．
调查问卷
年 月在下面四类文创产品中，你最喜爱的是（ㅤㅤ）（单选）
A．玩偶 B．冰箱贴 C．创意摆件 D．手机挂件
【数据的收集与整理】
数学兴趣小组的同学从收集到的调查问卷中随机抽取了部分问卷进行整理，绘制了如下两幅不完整的统
计图．根据图中信息，请回答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是 ；
（2）扇形图中“玩偶”对应扇形的圆心角的度数是 ；
【做出合理估计】
（3）若全校共有1800名学生，请你估计全校最喜爱手机挂件的学生人数是多少？
【解决概率问题】
（4）文创店负责人为了宣传以“雪豹”为主题的文创产品，端午节期间设置了抽奖活动：在一个不透
明的盒子中装有四个完全相同的小球，它们分别写有A，B，C，D（A玩偶、B冰箱贴、C创意摆件、D
手机挂件），摸出哪个小球就获得相应的文创产品．甲随机摸出一个小球后，放回并摇匀，乙再随机摸
出一个．请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率．
