文档内容
25.2 用列举法求概率
【考点归纳】
考点一：列举法求概率
考点二：列表法或求概率
考点三：树状图法求概率
考点四：游戏的公平性
考点五：用列举法求概率的综合问题
【知识梳理】
在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可通过列
举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法.
【注意事项】
1）直接列举试验结果时，要有一定的顺序性，保证结果不重不漏.
列举法
2）用列举法求概率的前提有两个：①所有可能出现的结果是有限个 ②每个结果出现的可能性相等.
3）所求概率是一个准确数，一般用分数表示.
当事件中涉及两个以上的因素时，用树状图的形式不重不漏地列出所有可能的结果的方法叫画树状图
法.
画树状图法求概率的步骤：
1) 明确试验由几个步骤组成；
画树状图法
2) 画树状图分步列举出试验的所有等可能结果；
3) 根据树状图求出所关注事件包含的结果数及所有等可能的结果数，再利用概率公式求解.
当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果，
这种方法叫列表法.
列表法求概率的步骤：
列表法
1）列表，并将所有可能结果有规律地填人表格；
2）通过表格计数，确定所有等可能的结果数n和符合条件的结果数m的值；
3）利用概率公式 ，计算出事件的概率．
【题型探究】
题型一：列举法求概率
1．（2024·河南驻马店·模拟预测）中央电视台的“中国诗词大会”是同学们非常喜爱的一档节目，其中唐代诗人
刘禹锡的《秋词》的四句诗被打乱了顺序：①我言秋日胜春朝；②便引诗情到碧霄；③自古逢秋悲寂寥；④晴空一鹤排云上；现在已知③是首句，小明对其余三句诗的顺序进行随机调整，第一次就能把四句诗的顺序调整正确
的可能性是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了列举法力求概率，列举出所有等可能发生的情况，根据概率公式计算即可．
【详解】解：∵已知③是首句，
∴另3句的顺序可能为： ， ， ， ， ， ， ，
∴共有6种等可能发生的情况，其中符合题意的情况有1种，
∴小明第一次就能把四句诗的顺序调整正确的可能性是 ．
故选B．
2．（2024·山东聊城·三模）山东博物馆在2024年5月份举办“走近考古”展览，为公众揭开考古学神秘面纱．现
小张同学参观博物馆，由于参观人数较多，准备从3楼展厅的“走进考古”展览、“山东龙——穿越白垩纪”展
览、“考古成果”展览、“非洲野生动物大迁徙”展览4个中随机选择2个进行参观，则正好选择“走近考古”展
览和“山东龙——穿越白垩纪”展览的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意列出所有可能结果，再利用概率公式计算即可．
【详解】解：记3楼展厅的“走进考古”展览、“山东龙——穿越白垩纪”展览、“考古成果”展览、“非洲野
生动物大迁徙”展览分别为 ， ， ， ，则随机选择2个进行参观，有 ， ， ， ， ， 共
6种情况其中正好选择“走近考古”展览和“山东龙——穿越白垩纪”展览的概率是 ．
故选：A．
3．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）小明要给小林打电话，他只记住了小林手机号码的前 位，后三位是
三个数字的某一种排列顺序，但具体顺序忘记了，那么小明第一次就拨通电话的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查列举法求概率，列出所有排序的结果，再根据概率公式计算即可求解，正确列出所有排序的结
果是解题的关键．
【详解】解：因为后 位是 三个数字的某一种排列顺序，所以顺序可以是： ； ； ； ；； ；共 种情况，而正确的只有 种，所以第一次就拨通电话的概率是 ，
故选： ．
题型二：列表法或求概率
4．（24-25九年级上·山西运城·期中）某商场促销的方案是：在本商场一次性购物超过 元，就可以参加转转盘抽
取稷山四宝的活动，转盘如图所示（一个可以自由转动的转盘被分成面积相等的4个扇形，在4个扇形上分别写有：
麻花1小袋、饼子1小袋、鸡蛋5个、红枣1小袋的文字）．每个参与者转动转盘两次，当两次指针都指向同一物
品时，就领取指针指向的物品，当两次指针指向的物品不一样时，则不领取任何物品（若指针指向两个扇形的交
线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）．问一个有幸参加转转盘的购物者
能领取到红枣1小袋的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率：
先列表得到所有等可能性的结果数，再找到符合情况的结果数，再利用概率公式解题即可．
【详解】解：令 为麻花1小袋， 为饼子1小袋， 为鸡蛋5个， 为红枣1小袋，
列表如下：
由表格可知，一共有16种等可能性的结果，其中两次指针都指到 红枣1小袋的情况只有1种，
∴购物者能领取到红枣1小袋的概率是为 ．
故选：D．
5．（24-25九年级上·河南郑州·期中）将标有“最”“美”“河”“南”的四个小球装在一个不透明的口袋中（每
个小球上仅标一个汉字），这些小球除所标汉字不同外，其余均相同．从中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球，则摸到的球上的汉字可以组成“河南”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查等可能情形下的概率计算，能够准确地用画出树状图或列举法表示出所有等可能的结果是
解题的关键．
先根据题意列举出所有等可能的结果，再利用概率公式进行计算即可．
【详解】从中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球等可能的结果如下：
最 美 河 南
最 最最 最美 最河 最南
美 最美 美 美河 美南
河 最河 美河 河河 河南
南 最南 美南 河南 南南
一共16种结果，其中摸到的球上的汉字可以组成“河南”的结果有2种，
∴摸到的球上的汉字可以组成“河南”的概率是 ，
故选D．
6．（24-25九年级上·山东济南·期中）10月16日是世界粮食日．某校组织了粮食安全公益活动，现有“节粮宣讲
员”、“光盘示范员”和“爱粮监督员”三类志愿者岗位身份，小霞和小艺从中任选一类，则她们恰好选到同一
类岗位的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查列表法或画树状图法求概率，正确的列出表格或画出树状图表示所有等可能的结果是解题关键．
设“节粮宣讲员”、“光盘示范员”和“爱粮监督员”三类志愿者岗位分别为A、B、C，再列出表格表示所有等
可能的结果，最后找出符合她们恰好选到同一类岗位的结果，用概率公式计算即可．
【详解】解：设“节粮宣讲员”、“光盘示范员”和“爱粮监督员”三类志愿者岗位分别为A、B、C，
依题意可列表格如下，
小霞 小艺 A B C
A A，A B，A C，A
B A，B B，B C，B
C A，C B，C C，C由表格可知共有9种等可能的结果，其中她们恰好选到同一类岗位的结果有3种，
∴她们恰好选到同一类岗位的概率是 ．
故选B．
题型三：树状图法求概率
7．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期中）秦腔，别称“梆子腔”中国汉族最古老的戏剧之一，起于西周，源于西府，
成熟于秦，是中国国家级非物质文化遗产之一．如图是某同学收藏的秦腔邮票，分别是《火焰驹》《三滴血》和
《游西湖》，它们除正面外完全相同．把这三张邮票背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随
机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了树状图法或列表法求概率，根据题意，利用树状图法将所有结果都列举出来，然后根据概率
公式计算解决即可．
【详解】解：令三张邮票的正面是A，B，C，画树状图如下：
由图可知，一共有9种可能出现的结果，3种符合条件的结果，所以两次抽取的卡片正面相同的概率是 ．
故选C．
8．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）某班准备从《我爱你中国》《我和我的祖国》《让世界充满爱》《在灿烂阳
光下》四首歌曲中任选两首进行排练，以参加市级合唱大赛，那么该班恰好选中《我和我的祖国》和《在灿烂阳
光下》这两首歌曲的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查等可能事件的概率，画出树状图展示所有等可能的结果，是解题的关键．根据题意画出树状图得出所有等可能情况数和恰好选中《我和我的祖国》和《在灿烂阳光下》这两首歌曲的情况数，然后根据概
率公式即可得出答案．
【详解】解：将《我爱你中国》《我和我的祖国》《让世界充满爱》《在灿烂阳光下》四首歌曲分别用甲，乙，
丙，丁表示，
根据题意画图如下：
共有12种等可能的结果数，其中恰好选中《我和我的祖国》和《在灿烂阳光下》两首歌曲的有2种，
则恰好选中《我和我的祖国》和《在灿烂阳光下》这两首歌曲的概率 ，
故选：C．
9．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）某校举行安全系列教育活动主题手抄报的评比活动，学校共设置了“交通安
全”“消防安全”“饮食安全”“校园安全”四个主题内容，每位参加活动的同学应从这四个主题中随机选取一
个，李明和张佳都参加了本次评比活动，他们两人选取的主题不同的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，画树状图，共有 种等可能的结果，其中李明和张佳都参加了本
次评比活动，他们两人选取的主题不同的结果有 种，再由概率公式求解即可，熟练掌握列表法或树状图法求概
率是解题的关键．
【详解】解：把“交通安全”“消防安全”“饮食安全”“校园安全”四个主题内容分别记为 ，
画树状图如下：
共有 种等可能的结果，其中李明和张佳都参加了本次评比活动，他们两人选取的主题不同的结果有 种
∴他们两人选取的主题不同的概率是 ，
故选： ．
题型四：游戏的公平性10．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个正整数，然后都拿给
对方看，他们约定，若两个人所写的数的和是偶数，则小明获胜，若两个人所写的数字和是奇数，则小亮获胜，
这个游戏（ ）
A．无法确定对谁有利 B．对小亮有利
C．对小明有利 D．游戏公平
【答案】D
【分析】本题主要考查了游戏的公平性，根据游戏规则，总结果有4种，分别是奇偶，偶奇，偶偶，奇奇，而和
为偶数的情况和和为奇数的情况都为两种，则和为偶数的概率和和为奇数的概率相同，故游戏公平，据此可得答
案．
【详解】解：根据游戏规则，总结果有4种，分别是奇偶，偶奇，偶偶，奇奇；
∵奇数与奇数的和为偶数，偶数与偶数的和为偶数，奇数与偶数的和为奇数，
∴和为偶数的情况和和为奇数的情况都为两种，
∴和为偶数的概率和和为奇数的概率相同，
∴这个游戏是公平的，
故选：D．
11．（24-25九年级上·全国·课后作业）某运动会服务中心要在某校选拔一名志愿者，经笔试、面试，结果小明和
小颖并列第一．评委会决定通过抓球来确定人选，抓球规则如下：在不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的2
个红球和1个绿球，小明先取出一个球，记下颜色后放回，小颖再取出一个球，若取出的球都是红球，则小明获
胜；若取出的球是一红一绿，则小颖获胜，你认为这个规则（ ）
A．公平 B．对小明有利
C．对小颖有利 D．无法确定对谁有利
【答案】A
【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果
总数，找出符合条件的结果数，注意每种情况发生的可能性相等．进而用概率公式求出概率，然后进行判断即可．
【详解】解：画树状图如图所示：
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中取出的球都是红球与一红一绿的结果各有4种，∴P(都是红球) ，
P(一红一绿) ，
∴这个规则对双方是公平的．故选：A．
12．（2024·浙江·模拟预测）在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次
挑战机会．小金和小华一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球，小金先摸．现已知箱子里有4
个红球和2个白球，则下列推断正确的是（ ）
A．一定是小金获胜
B．一定是小华获胜
C．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小金获胜
D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小金获胜
【答案】C
【分析】本题考查了随机事件，列举法等知识，利用排除法求解即可．
【详解】解：假设两人第一次都摸到红球，若第二次小金摸到红球，小华摸到白球，则小金获胜；若第二次小金
摸到白球，小华摸到红球，则小华获胜；
故A、B都不正确；
若第一轮两人都摸到了白球，剩下只能是红球，因为小金先摸球，则小金先摸到2个红球，所以一定是小金获胜，
故C正确；
若第一轮两人都摸到了红球，剩下4球为两个红球，两个白球，假设两人第三次都摸到红球，若第四次小金摸到
红球，小华摸到白球，则小金获胜；若第四次小金摸到白球，小华摸到红球，则小华获胜；
故D不正确．
故选：C．
题型五：用列举法求概率的综合问题
13．（24-25九年级下·全国）甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，
3，6．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一
张牌．
(1)请用列表或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；
(2)若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；否则乙获胜，这个游戏公平吗？
【答案】(1)
(2)不公平
【分析】本题考查列表法求概率，某个事件的概率可以通过事件发生次数除以总次数来计算．
（1）利用列表法得到所有可能出现的结果，根据概率公式计算即可；
（2）分别求出甲、乙获胜的概率，比较即可．
【详解】（1）解：列表如下：
乙 2 3 6甲
2
3
6
由表可知共有9种等可能的结果，其中两人抽取相同数字的结果有3种，
所以两人抽取相同数字的概率为 ．
（2）解：由（1）中所列表格可知两人抽取的数字和为2的倍数的结果有5种，
所以甲获胜的概率为 ，
所以乙获胜的概率为 ．
因为 ，
所以这个游戏不公平．
14．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）为了更好地开展劳动教育，实现五育并举，某校劳动实践基地共开设四门
劳动实践课程，分别是 ：绿植栽培， ：衣物清洗， ：手工制作， ：简单烹饪，且每人只能参加一门实践
课程．
(1)九年级一班的王欢从四门实践课程中随机选择一门，则恰好选择“ ：绿植栽培”的概率为________；
(2)九年级一班的甲、乙两位同学各自从这四门实践课程中随机选一门，请用画树状图或列表的方法，求他们选择
的实践课程相同的概率．
【答案】(1)
(2) ．
【分析】本题考查的是用树状图法求概率，注意概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）根据“概率=所求情况数与总情况数之比”求解即可；
（2）画出树状图求解即可；
【详解】（1）解：王欢从四门实践课程中随机选择一门，则恰好选择“甘肃剪纸”的概率为 ．
故答案为： ；
（2）解：画树状图如下：由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们选择的实践课程相同的结果有4种，即 ，
，
∴他们选择的实践课程相同的概率 ．
15．（24-25九年级上·广西南宁·期中）南宁市某学校开展了“奋进万亿新征程，共筑强国强军梦”的主题研学活
动．为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用 表示，单位：h）进行调查．经过整理，将数
据分成四组（A组： ；B组： ；C组： ；D组： ），并绘制了如下不完整的条形统
计图和扇形统计图．
(1)请补全条形统计图；
(2)扇形统计图中， 的值为___________，A组对应的扇形圆心角的度数为_________ ；
(3)D组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好
是两名男生的概率．
【答案】(1)见解析
(2)32，
(3)
【分析】本题考查了列表法与树状图法，条形统计图和扇形统计图关联．
（1）用 组的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后求出 组的人数，从而补全统计图；
（2）用 组的人数除以总人数，求出 ，再用 乘以 组所占的百分比，从而得出 组对应的扇形圆心角的度
数；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出所选的两人恰好是两名男生的结果数，然后利用概率公式求
解．【详解】（1）解：抽取的总人数有： （人），
组的人数有： （人），
补全统计图如下：
（2）解： ，即 ；
组对应的扇形圆心角的度数为： ；
故答案为：32， ；
（3）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中所选的两人恰好是两名男生的结果数为2，
所以所选的两人恰好是两名男生的概率 ．
【高分达标】
一、单选题
16．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）双眼皮由显性基因 控制，小颍的爸爸、妈妈关于眼皮的基因组成分别为
和 ，则小颍是双眼皮的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查树状图法求概率．画出树状图，求出概率即可．
【详解】解：由题意，画出树状图如下：共有4种等可能的结果，其中小颍是双眼皮的结果3种；
∴ ；
故答案为：D．
17．（24-25九年级上·河南郑州·期中）劈开太行千重障，暂把河山重安排．60多年前．十万开山者在太行山脉的
绝壁上凿壁穿石，历经十年，修筑红旗渠，留下“自力更生、艰苦创业、团结协作、无私奉献”的红旗渠精神．
小明珍藏了四枚由国家邮政局发行的《红旗渠》特种邮票，上面分别绘有“愚公移山”“青年洞”“桃园桥”和
“人间天河”的图案．这些邮票除图案外，质地、规格、背面图案完全相同．初中毕业之际，他想把心爱的邮票
送给好朋友小亮两枚，于是将这些邮票背面朝上，让小亮随机抽取，则小亮抽到的邮票正好是“愚公移山”和
“人间天河”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查列表法或树状图求概率，熟练掌握列表法是解题的关键．根据列表法把所有情况列举出来
即可．
【详解】解：小亮抽到的邮票的所以情况见下表：
愚公移山 青年洞 桃园桥 人间天河
愚公移 愚公移山和青年
愚公移山和桃园桥 愚公移山和人间天河
山 洞
青年洞 青年洞和愚公移山 青年洞和桃园桥 青年洞和人间天河
桃园桥 桃园桥和愚公移山 桃园桥和青年洞 桃园桥和人间天河
人间天 人间天河和青年
人间天河和愚公移山 人间天河和桃园桥
河 洞
∴总共有12种等可能的情况，符合条件的有2两种，
故小亮抽到的邮票正好是“愚公移山”和“人间天河”的概率 ，故选：A．
18．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）从 ，2，3，4这四个数中随机抽取两个不同的数，分别记作a和b．
若点A的坐标记作 ，则点A在函数 上的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查的是二次函数的性质，用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可
能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求
情况数与总情况数之比，列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解
即可．
【详解】解：列表得：
2 3 4
2
3
4
由表格可得，共有12种等可能出现的结果，其中在函数 上的有 种，
故若点A的坐标记作 ，则点A在函数 上的概率是 ，
故选：B．
19．（24-25九年级上·山东青岛·期中）在一个不透明的袋子里装有一个红球和一个黄球，它们除颜色外都相同．
随机从中摸出一球，记下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，两次都摸到黄球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于
两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数
之比．列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【详解】解：列表得：
第红 黄一次第二次
红 （红，红） （红，黄）
黄 （黄，红） （黄，黄）
由表格可得，共有 种等可能出现的结果，其中两次都摸到黄球的情况有 种，
故两次都摸到黄球的概率是 ，
故选：D．
20．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转
盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了列举法求概率．根据题意正确的列表格是解题的关键．
将第一个图中蓝色分成3份，然后列表格，最后求概率即可．
【详解】解：将第一个图中蓝色分成3份，列表格如下；
红 蓝1 蓝2 蓝3
红 红红 红蓝 红蓝 红蓝
黄 黄红 黄蓝 黄蓝 黄蓝
蓝 蓝红 蓝蓝 蓝蓝 蓝蓝
共有 种等可能的结果，其中能配成紫色共有4种等可能的结果，
∴配成紫色的概率是 ，
故选：C．
21．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．
某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙不是从同一节车厢上车的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．画树状图，共有9种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：把3节车厢分别记为 、 、 ，
画树状图如图：
共有9种等可能的结果，甲和乙不是从同一节车厢上车的结果有6种，
甲和乙从同一节车厢上车的概率为 ，
故选：A．
22．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）在“践行生态文明，你我一起行动”主题有奖竞赛活动中，九（1）班共设
置“生态知识、生态技能、生态习惯、生态文化”四个类别的竞赛内容，如果参赛同学抽到每一类别的可能性相
同，那么小宇和小丽参赛时都抽到“生态知识”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是用列表法求概率．首先根据题意列出表格，根据概率公式即可求得答案．
【详解】解： “生态知识、生态技能、生态习惯、生态文化”四个类别的竞赛分别用 表示，列表如下，
小
宇小丽
共有 中等可能结果，其中小宇和小丽参赛时都抽到“生态知识”的情形有1种，
∴小宇和小丽参赛时都抽到“生态知识”的概率是 ，
故选：D．
23．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）中国古代数学在世界数学史上占有重要地位，其成就辉煌，影响深远．
《九章算术》、《周髀算经》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要名著．实验中学拟从这4部
数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》的概率为（ ）
A． B． ． C． D．【答案】A
【分析】本题考查了列表法活画树状图求随机事件的概率，根据题意，把所有等可能结果表示出来，再根据概率
的计算公式进行计算即可．
【详解】解：《九章算术》、《周髀算经》、《海岛算经》、《孙子算经》分别用 表示，
∴用列表法把所有等可能结果表示出来如下，
共有 中等可能结果，其中恰好选中《周髀算经》 的结果有 种，
∴恰好选中《周髀算经》的概率为 ，
故选：A ．
24．（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分
别落在某两个数所表示的区域，则这两个数的和是2的倍数或是3的倍数的概率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率、概率公式等知识点．列表法可以不重复不遗漏的列出所
有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实
验还是不放回实验．
先列表得出所有等可能的情况数，找出两个数的和是2的倍数或3的倍数情况，即可求出所求概率．
【详解】解：列表如下：
1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 63 4 5 6 7
4 5 6 7 8
所有等可能的情况有16种，其中两个数的和是2的倍数或3的倍数情况有10种，
则 ．
故选：B．
25．（2024·山西·模拟预测）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，从这五个点中随机选择三个
点，则经过这三个点能够画出圆的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了用列举法求概率以及圆确定的条件，根据题意可得出所有等可能的结果以及经过这三个
点能够画出圆的结果，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：从这五个点中随机选择三个点，所有等可能的结果有： ， ， ， ，
， ， ， ， ， 共10种，
其中经过这三个点能够画出圆的结果有：
， ， ， ， ， ，
共6种，
∴经过这三个点能够画出圆的概率为 ．
故选：D
二、填空题
26．（24-25九年级上·山西运城·期中）某市体育中考内容有三项，对于男生的要求是：必考项目是1000米跑；选
考项目：从立定跳远、一分钟跳绳、引体向上、实心球这四项中选择两项．则男生小李选择立定跳远和一分钟跳
绳的概率为 ．
【答案】【分析】本题考查了树状图法以及概率公式．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两
步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
画树状图，共有12种等可能的结果，符合条件的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：标记 为立定跳远， 为一分钟跳绳， 为引体向上， 为实心球，
先画出树状图如下：
共有12种等可能情况，其中 立定跳远和 一分钟跳绳有2种情况，
∴男生小李选择立定跳远和一分钟跳绳的概率为 ．
故答案为： ．
27．（24-25九年级上·重庆·期中）重庆因魔幻建筑被网友称为“8D魔幻城市”，小成和小都打算2025年元旦分
别从洪崖洞、李子坝、磁器口、解放碑四个景点选择一个景点一日游，小成和小都选择了同一个景点的概率为
．
【答案】
【分析】本题考查列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：洪崖洞、李子坝、磁器口、解放碑四个景点分别用A、B、C、D表示，由题意，列表如下：
小
A B C D
成小都
A A，A A，B A，C A，D
B B，A B，B B，C B，D
C C，A C，B C，C C，D
D D，A D，B D，C D，D
共16种等可能的结果，其中小成和小都选择同一景点的情况有4种，
∴ ；
故答案为：
28．（2024九年级上·全国·专题练习）五边形的顶点A有一个跳蚤机器人，它每跳1步可以等概率地跳到相邻的顶
点．顶点C有一个陷阱，机器人跳到C就会触发毁灭程序．机器人跳4步仍未毁灭的概率为 %．【答案】50
【分析】本题主要考查了概率公式，解题关键是找出所有路线种类以及其中没有路过C的路线．
先假设C处没有毁灭程序，机器人跳4步的路线可能性通过树状图列举共有16种，在路线中没有路过C的有8种，
计算即可求解．
【详解】解：假设C处没有毁灭程序，机器人跳4步的路线画树状图如下：
通过树状图可知：路线共有16种，在路线中没有路过C的有8种，
∴机器人跳4步仍未毁灭的概率为： ．
故答案为：50．
29．（24-25九年级上·重庆·期中）有5个外观完全相同且密封不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸、稀盐酸、氯化
钠、碳酸钠和氢氧化钠五种溶液，小星从这5个试剂瓶中任意抽取2个，则抽到的2个都是酸性溶液（稀硫酸溶液、
稀盐酸溶液）的概率是 ．
【答案】
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两
步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：氯化钠、碳酸钠、氢氧化钠、稀硫酸、稀盐酸5个试剂瓶分别用 表示，列表如下：
（ ， ） （ ， ） （ ， ） （ ， ）（ ， ） （ ， ） （ ， ） （ ， ）
（ ， ） （ ， ） （ ， ） （ ， ）
（ ， ） （ ， ） （ ， ） （ ， ）
（ ， （ ，
（ ， ） （ ， ）
） ）
由表可知共有20种可能的结果，其中抽到2个都是酸性溶液的情况有2种，
则抽到的2个都是酸性溶液的概率为 ．
故答案为： ．
30．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）四张相同的卡片上分别写有数字 ， ，2，4，将卡片的背面向上洗
匀后从中任意抽1张，并将卡片上数字记为k，再从余下的卡片中任意抽1张，并将卡片上数字记为b，则一次函
数 的图像经过第二、三、四象限的概率为 ．
【答案】
【分析】本体考查概率及一次函数的性质，根据图像经过第二、三、四象限得到 及 ，找出所有情况及两
个都小于0的情况结合概率公式求解即可得到答案；
【详解】解：∵图像经过第二、三、四象限，
∴ 及 ，
树状图如图，
总共有： 种情况，同时小于0的情况有2种，
∴ ，
故答案为： ．
三、解答题
31．（24-25九年级上·江苏南通·期中）我市某校组织九年级学生开展以“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学活动，策划了三条研学线路供学生选择：A苏中七战七捷纪念馆，B韩国钧故居，C烈士陵园，每名学生只
能任意选择一条线路．
(1)小强选择线路A的概率为__________；
(2)请用画树状图或列表的方法，求小强和小丽选择同一线路的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及小强和小丽选择同一线路的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得，小强选择线路A的概率为 ；
故答案为： ；
（2）列表如下：
A B C
A
B
C
共有9种等可能的结果，其中小强和小丽选择同一线路的结果有3种，
∴小强和小丽选择同一线路的概率为 ．
32．（24-25九年级上·浙江温州·期中）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中
国第五大发明“．小李同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将A（小雪）、B（寒露）、C（秋分）、D（立
秋）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀．
(1)小李从中随机抽取一张邮票，抽中是B（寒露）的概率是 ．
(2)小李先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票．请用树状图或
列表的办法求小李两次抽取的邮票中至少有一张是D（立秋）的概率．【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了概率公式，画树状图求概率，
（1）根据概率公式计算；
（2）画出树状图，确定所有可能出现的结果，符合题意的结果，再根据概率公式得出答案．
【详解】（1）解：一共有4张邮票，符合题意的有1张，
所以，抽中B的概率是 ．
故答案为： ；
（2）画树状图如下：
一共有16种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，符合题意的有7种，所以两次抽取邮票中至少有一张
是D的概率是 ．
33．（24-25九年级上·山西运城·期中）游戏是生活中有趣味的社交活动，是人类终身不可缺少的伴侣，更是家庭
欢乐的源泉．小刚父亲和小刚二叔玩一种游戏，游戏规则：两人只可以说出“木棒”、“老虎”、“公鸡”、
“小虫”中的任何一个，同时各说出一个后定胜负，其中“木棒”胜“老虎”、“老虎”胜“公鸡”、“公鸡”
胜“小虫”、“小虫”胜“木棒”．其它情况，则为平局．例如，小刚父亲说“老虎”，小刚二叔说“公鸡”，
则小刚父亲胜；又如，两人同时说“虫子”，则为平局；再如，一人说“公鸡”，一人说“木棒”，则为平局．
(1)每一次小刚父亲说出“老虎”的概率是_____；
(2)如果用 ， ， ， 分别表示小刚父亲说的“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”；用 ， ， ，
分别表示小刚二叔说的“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”，那么某一次说出时小刚父亲胜小刚二叔的
概率是多少？用列表法或画树状图法加以说明；
(3)你认为这个游戏对小刚父亲和小刚二叔公平吗？为什么？
【答案】(1)(2)
(3)公平，见解析
【分析】本题考查列表法或画树状图法的概率计算，得到所有的等可能的结果是解答的关键．
（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）先画树状图法得到所有的等可能的结果，再找出小刚胜小明的可能结果数，然后利用概率公式求解即可；
（3）首先求出某一次说出时小刚二叔胜小刚父亲的概率为 ，然后判断即可．
【详解】（1）解：∵共有“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”4种情况，
∴每一次小刚父亲说出“老虎”的概率为 ；
（2）解：列表如下：
小刚二叔
小刚父亲
A
B
C
D
由表格可知，共出现了16种等可能的结果，其中小刚父亲胜小刚二叔的结果有4种，
∴某一次说出时小刚父亲胜小刚二叔的概率为 ；
（3）解：由表格可知某一次说出时小刚二叔胜小刚父亲的概率为 ，
∵
∴两人获胜的概率相等，这个游戏对小刚父亲和小刚二叔是公平的．
34．（24-25九年级上·广东深圳·期中）10月8日，麒麟中学“第二十四届科技节”隆重开幕，当天举行了丰富多
彩的活动，A．三阶6面魔方挑战赛；B．科技知识竞赛；C．环保调查；D．自制地球仪；E．机器人编程挑战赛．
为了解学生对这五类活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根
据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示．AI
根据上述信息，解决下列问题．
(1)本次调查总人数为______，并补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
(2)我校有2700名学生，请估计该校参加环保调查的学生人数；
(3)该校从C类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市环保调查，请用列表或
画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【答案】(1)200，图见解析
(2)810人
(3)
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体，画树状图法求概率，掌握相关知识点是
解题关键．
（1）根据选择B类的学生人数和所占百分比，求出调查总人数，再求出选择D类的学生人数，补全条形统计图即
可；
（2）用学校人数乘以选择C类的学生人数的占比，即可求解；
（3）利用画树状图法求解即可．
【详解】（1）解：结合两幅图可得： （人），
∴本次调查总人数为200；
∵ （人），
∴喜欢自制地球仪的有50人；
补全条形统计图如下：
（2）解： （人），∴该校参加环保调查学生人数约为810人；
（3）解：根据题意画树状图如下：
共有12种等可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生有8种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率是 ．
35．（24-25九年级上·广东佛山·期中）量子计算原型机“九章”求解数学算法高斯玻色取样的速算只需200秒，
这一突破使我国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家，牢固确立了我国在国际量子计算研究领域的领先地
位．为了解初中学生对量子计算的知晓情况，某数学兴趣小组在本校学生中开展了专题调查活动，随机抽取了部
分学生进行问卷调查，根据学生的答题情况，将结果分为A，B，C，D四类，分别表示“非常了解”“比较了
解”“基本了解”“不太了解”，数据整理如下：
等级
人数（人）
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)若该校共有初中学生3000名，请你估计该校初中学生对量子计算“非常了解”的人数；
(2)学校准备从非常了解量子计算的四位同学（3男1女）中选2位同学参加知识问答竞赛，请利用画树状图或列表
的方法，求恰好选中一男一女的概率．
【答案】(1) 人
(2)
【分析】本题考查了样本估计总体，画树状图法求概率；
（1）根据统计表， 等级有30人，除以总人数，再乘以3000算出“非常了解”的人数；
（2）根据要求来画出树状统计图，然后通过结果来得到结论．
【详解】（1） （人）
（2）解：画树状图如图所示，如图可知，共有12种等可能性，其中一男一女的占6种，
故一男一女的概率为
36．（24-25九年级上·广东清远·期中）3月14日是国际数学日，某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数
学活动，其中游戏类活动有：A．数字猜谜；B．数独；C．魔方；D．24点游戏；E．数字华容道．该校为了解学
生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调
查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示．
根据上述信息，解决下列问题．
(1)本次调查总人数为______，并补全条形统计图；（要求在条形图上方注明人数）
(2)若该校有2000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数；
(3)该校从 类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用
列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【答案】(1) ，见解析；
(2)估计该校参加魔方游戏的学生人数为 人；
(3)恰好抽到1名男生和1名女生的概率为
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体，画树状图法求概率，掌握相关知识点是
解题关键．
（1）根据选择B类的学生人数和所占百分比，求出调查总人数，再求出选择D类的学生人数，补全条形统计图即
可；
（2）用学校人数乘以选择C类的学生人数的占比，即可求解；
（3）利用画树状图法求解即可．
【详解】（1）解：本次调查总人数为 （人），
选择D类的学生人数为 （人），
补全条形统计图如下：；
（2）解： （人），
答：估计该校参加魔方游戏的学生人数约为 人；
（3）解：画树状图如下图：
由树状图可知，共有 种情况，其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有 种，
恰好抽到1名男生和1名女生的概率为 ．
