文档内容
25.1随机事件与概率
【考点归纳】
考点一：事件的分类
考点二：判断事件可能发生的大小
考点三：列举随机事件可能的结果
考点四：概率的理解
考点五：概率公式的应用
考点六：已知概率求数量
考点七：几何概率
考点八：随机事件和概率的综合问题
【知识梳理】
知识点01. 概率的定义及计算公式
概率的定义：一般地，对于一个随机事件A，把刻画其发生可能性大小的数值，称之为随机事件A发生的概率，记为
P(A).
概率的意义：一个事件发生的概率是一个确定的数,它从数值上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.
概率公式： P(随机事件)= .
知识点02.确定事件与随机事件
定义 事件发生的概率
确 必然 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定发生， P(必然事件)=1
定 事件 这些事情称为必然事件。
事
不可能 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定不会发 P(不可能事件)=0
件
事件 生，这些事情称为不可能事件。
不确定事件 在一定条件下，许多事情我们无法确定它会不会发 0＜P(随机事件)＜1
（随机事件） 生，这些事情称为不确定事件（又叫随机事件）。
知识点03几何概率的定义
如果随机试验的样本空间是一个区域(可以是直线上的区间、平面或空间中的区域)，且样本空间中每个试验结果
的出现具有等可能性，那么规定事件Ａ的概率为
A的长度（或面积、体积）
P(A)
样本空间的的长度（或面积、体积）
·
【题型探究】
题型一：事件的分类
1．（2024九年级上·全国）下列说法正确的是（ ）
A．两个负数相乘，积是正数是不可能事件B．“煮熟的鸭子飞了”是随机事件
C．射击运动员射击一次，命中十环是必然事件
D．“掷一次骰子，向上一面的点数是 ”是随机事件
【答案】D
【分析】本题考查了不可能事件、随机事件和必然事件，根据事件发生的可能性大小判断即可求解，掌握不可能
事件、随机事件和必然事件的定义是解题的关键．
【详解】解： 、两个负数相乘，积是正数是必然事件，故本选项说法错误，不符合题意；
、“煮熟的鸭子飞了”是不可能事件，故本选项说法错误，不符合题意；
、射击运动员射击一次，命中十环是随机事件，故本选项说法错误，不符合题意；
、“掷一次骰子，向上一面的点数是 ”是随机事件，说法正确，符合题意；
故选： ．
2．（24-25九年级上·广东广州·期末）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．任意买一张电影票，座位号是奇数
B．13个人中至少有两个人生肖相同
C．车辆随机到达一个路口，遇到绿灯
D．冬天的某一天一定会下雪．
【答案】B
【分析】本题考查了随机事件．解题关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．
必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随
机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；据此逐项进行判断即可．
【详解】必然事件就是一定发生的事件，结合不可能事件、随机事件的定义依据必然事件的定义
A、任意买一张电影票，座位号是奇数，是随机事件，故此选项错误，不符合题意；
B、13个人中至少有两个人生肖相同，是必然事件，故此选项正确，符合题意；
C、车辆随机到达一个路口，遇到绿灯，是随机事件，故此选项错误，不符合题意；
D、明天一定会下雨，是随机事件，故此选项错误，不符合题意．
故选：B．
3．（24-25九年级上·江苏南通·期中）下列事件中，①太阳从西边升起；②任意摸一张体育彩票会中奖；③掷一枚
硬币，有国徽的一面朝下；④小明长大后成为一名宇航员．属于不确定事件的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【答案】C
【分析】该题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．理解概念是解决这类基础题的主要方法．
不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【详解】解：①一定不会发生，是不可能事件，不符合题意；
②③④可能发生，也可能不发生，属于随机事件，符合题意．故选：C．
题型二：判断事件可能发生的大小
4．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）小明从盒子里摸球，每次摸出一个后再放回盒中，他连续摸10次，每
次摸到的都是黄球，下面说法中正确的是（ ）
A．他第11次摸到的一定还是黄球 B．他第11次摸到的可能还是黄球
C．盒子里一定都是黄球 D．盒子里一定还有其它颜色的球
【答案】B
【分析】本题考查了可能性．根据题意，小明从盒子里摸球，每次摸出一个后再放回盒中，他连续摸10次，每次
摸到的都是黄球，说明盒子里有黄球，也可能有其它颜色的球，他第11次摸到的可能还是黄球，也可能不是黄球．
【详解】解： ．他第11次摸到的不一定还是黄球，故该选项不符合题意；
．他第11次摸到的可能还是黄球，故该选项符合题意；
．盒子里不一定都是黄球 ，故该选项不符合题意；
．盒子里不一定还有其它颜色的球．，故该选项不符合题意；
故选：B．
5．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列说法中正确的是（ ）
A．小明今年12岁，明年百分之二百是13岁
B．从1、2、3、4、5中任取一个数是偶数的可能性比较大
C．在摸奖活动中，先摸与后摸中特等奖的机会相同
D．任意掷一枚均匀的骰子，6点朝上的概率比1点朝上的概率大
【答案】C
【分析】本题主要考查了事件发生的可能性，简单的概率计算，对于A，明年小明百分之一百是13岁，而不是百
分之二百；对于B，由于偶数个数小于奇数个数，则任取一个数是偶数的可能性比较小；对于C，，先摸与后摸中
特等奖的机会相同；对于D，由于6点和1点的面都有1个，且朝上的可能性相同，故二者朝上的概率相同．
【详解】解：A、小明今年12岁，明年百分之一百是13岁，原说法错误，不符合题意
B、从1、2、3、4、5中任取一个数，由于偶数的个数比奇数的个数少，故任取一个数是偶数的可能性比较小，原
说法错误，不符合题意；
C、在摸奖活动中，先摸与后摸中特等奖的机会相同，原说法正确，符合题意；
D、任意掷一枚均匀的骰子，6点朝上的概率与1点朝上的概率相同，原说法错误，不符合题；
故选：C．
6．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）口袋里装有大小、形状完全一样的9个红球、6个白球，则下列说法不
正确的是（ ）
A．从中随机摸出1个球，摸到红球的可能性更大
B．从中随机摸出2个球，摸到1个红球和1个白球是随机事件C．从中随机摸出5个球，可能都是红球
D．从中随机摸出7个球，可能都是白球
【答案】D
【分析】本题考查了概率的意义，正确理解概率的含义是解决本题的关键．概率是反映事件发生机会的大小的概
念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生．
【详解】解：A、红球的数量多，从中随机摸出一个球，摸到红球的可能性更大，正确，故A不符合题意；
B、从中随机摸出2个球，摸到1个红球和1个白球是随机事件，正确，故B不符合题意；
C、因为有9个红球，所以从中随机摸出5个球，可能都是红球，正确，故C不符合题意；
D、因为有6个红球，所以从中随机摸出7个球，不可能都是白球，所以原说法不正确，故D符合题意；
故选：D．
题型三：列举随机事件可能的结果
7．（2024九年级·全国·竞赛）在一个不透明的盒子中有20个不同颜色的玻璃球，其中白色玻璃球有9个，黑色玻
璃球有6个，红色玻璃球有5个．现从中任取10个玻璃球，使得其中白色玻璃球不少于2个但不多于8个，黑色
玻璃球至多3个，红色玻璃球不少于2个，那么上述取法共有（ ）
A．19种 B．18种 C．17种 D．16种
【答案】D
【分析】本题考查列举法（树状图法）．利用树状图法首先确定红球的个数，然后确定黑球的个数，最后确定对
应的白球的个数即可．
【详解】解：画树状图如图所示：
则取法的种数是16．
故选：D．
8．（2024九年级·江苏南通·专题练习）第19届亚运会将于今年9月23日到10月08日在杭州举行．其吉祥物是
一组名为“江南忆”的机器人．三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产“良渚
古城遗址”、“西湖”、“京杭大运河”．某校开展了一系列的“迎亚运”活动，其中一项是由志愿者扮演吉祥
物和同学们合影留念．甲乙两位同学和三个吉祥物一起合影，站成一行，要求甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，
则不同的站法种数为 ．
【答案】12【分析】本题考查列举法所有等可能情况，把三个吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”分别标记为 ，
共有六种站法，再利用插空法即可求解，掌握例举法是解题的关键．
【详解】解：把三个吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”分别标记为 ，
则将三个吉祥物进行排列，有：
， ， ， ， ， ，
共 种站法，
再将甲乙进行插空，因为甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则有：
， ，
，
， ，
共有 种不同的站法，
故答案为：12．
9．（2024·北京大兴·二模）甲、乙、丙、丁4名同学参加中学生天文知识竞赛，成绩各不相同，根据成绩决出第1
名到第4名的名次．甲和乙去询问名次，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都不是第1名．”对乙说：“你不是第4
名．”从这两个回答分析，4个人的名次排列可能有 种不同情况，其中甲是第4名有 种可能情况．
【答案】 8 4
【分析】本题考查了列举法求所有可能结果数，根据题意分析分别讨论，即可求解．
【详解】解：依题意，甲和乙不是第1名，乙不是第4名，有以下8种情况，
第1名 第2名 第3名 第4名
① 丙 乙 丁 甲
② 丙 丁 乙 甲
③ 丁 丙 乙 甲
④ 丁 乙 丙 甲
⑤ 丁 甲 乙 丙
⑥ 丁 乙 甲 丙
⑦ 丙 甲 乙 丁
⑧ 丙 乙 甲 丁
其中①②③④四种情况是甲为第4名，
故答案为 ， ．题型四：概率的理解
10．（2024九年级上·全国·专题练习）某日天气预报信息显示：明天最高气温 ，最低气温 ，降水概率为
．根据此信息，下列说法中，你最认可的是（ ）
A．明天一定下雨 B．明天不可能下雨
C．明天下雨的可能性较小 D．明天下雨的可能性很大
【答案】D
【分析】本题主要考查概率的意义，根据降水的概率所提供的数字进行判断是解答本题关键．
根据题意，明天是否下雨和最高温度、最低温度无关，根据降水概率为 进行分析，明天下雨的可能性较大．
【详解】解：降水概率为 ，那么明天下雨的可能性较大．
故选：D．
11．（23-24七年级下·宁夏中卫·期末）彩票是公平公正的机会游戏，国家发行彩票的目的是筹集社会公益资金，
促进社会公益事业发展．已知某种彩票的中奖概率为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．买1张这种彩票，不可能中奖
B．买200张这种彩票，可能有2张中奖
C．买100张这种彩票，一定有1张中奖
D．若100人每人买1张这种彩票，一定会有一人中奖
【答案】B
【分析】本题考查了概率的意义，根据概率的意义，反映了事件发生的机会的大小，不一定会发生，解题的关键
是正确理解概率的意义．
【详解】解： ．买1张这种彩票，可能中奖，故原选项不符合题意；
．买200张这种彩票，可能有2张中奖 ，故原选项符合题意；
．买100张这种彩票，不一定有1张中奖，故原选项不符合题意；
．若100人每人买1张这种彩票，不一定会有一人中奖，故原选项不符合题意；
故选：B．
12．（2024·贵州·中考真题）小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法
正确的是（ ）
A．小星定点投篮1次，不一定能投中 B．小星定点投篮1次，一定可以投中
C．小星定点投篮10次，一定投中4次 D．小星定点投篮4次，一定投中1次
【答案】A
【分析】本题主要考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机
会大也不一定发生，据此求解即可．
【详解】解：小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，则由概率的意义可知，小
星定点投篮1次，不一定能投中，故选项A正确，选项B错误；小星定点投篮10次，不一定投中4次，故选项C错误；
小星定点投篮4次，不一定投中1次，故选项D错误
故选；A．
题型五：概率公式的应用
13．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）一个不透明的袋子里装有3个绿球、3个黑球和6个红球，它们除颜色外其
余相同．从袋中任意摸出一个球为绿球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比，根据概率公式可知，用绿球的个数除以球的总
数即可．
【详解】解：∵袋子里装有3个绿球、3个黑球和6个红球，共有12个球，
∴从袋中任意摸出一个球是绿球的概率为 ．
故选：C．
14．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）小明观察某个路口的红绿灯，发现该红绿灯的时间设置为：红灯20秒，
黄灯5秒，绿灯15秒．当他下次到达该路口时，遇到绿灯的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查概率的意义以及概率求法，正确理解概率的意义是解题关键．用绿灯时间除以红绿灯时间
之和，即可得到答案．
【详解】解： 红灯20秒，黄灯5秒，绿灯15秒，
遇到绿灯的概率是 ，
故选：C．
15．（24-25九年级上·山东青岛·期中）某学校开展“校园文化艺术节”文艺汇演活动，现打算从 名（ 名男生和
名女生）候选人中随机选取 人担任本次活动的主持人，则选中的 人恰好都是女生的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了本题考查了利用概率公式计算概率．首先计算出从 名同学中选取 主持人可能出现的所有情
况的数量，然后再计算出选取的 人恰好都是女生的情况的数量，然后利用概率公式计算恰好都是女生的概率．
【详解】解：第一次从 个人中随机选取一个人，共有 种情况，
第二次从剩下的 人中随机选取一个人，共有 种情况，第三次再从剩下的 人中随机选取一个人，共有 种情况，
一共有 种情况，
第一次就选取到女生的情况有 种，
第二次又选取到女生的情况有 ，
第三次又选取到女生的情况有 ，
三次都选取到女生的情况有 种情况，
选中的 人恰好都是女生的概率是 ．
故选：C．
题型六：已知概率求数量
16．（24-25九年级上·山东济南）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明
通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在0.75左右，则袋子中红球的个数量有可能是（ ）
A．5 B．10 C．12 D．15
【答案】D
【分析】本题考查利用频率估计概率，根据红球出现的频率和球的总数，可以计算出红球的个数．明确题意，利
用概率公式计算出红球的个数是解答本题的关键．
【详解】解：由题意可得， （个），
即袋子中红球的个数最有可能是15个．
故选：D．
17．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）在一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的小球，如果袋中红
球4个，黄球3个，其余的为绿球，从袋子中随机摸出一个球，“摸出黄球”的可能性为 ，则袋中绿球的个数是
（ ）
A．12 B．7 C．5 D．2
【答案】C
【分析】本题考查的知识点是概率公式，解题的关键是熟练的掌握概率公式．首先设袋中绿球的个数为x个，然
后根据概率公式，可得： ，解此分式方程即可求得答案．
【详解】解：设袋中绿球的个数为x个，
根据题意得： ，
解得： ，
经检验： 是原分式方程的解，
∴袋中绿球的个数为5个，故选：C．
18．（2024·贵州铜仁·三模）一个不透明的袋子里装有18个黄球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，小明从
中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.4，则袋子里约
有红球（ ）
A．6个 B．12个 C．18个 D．24个
【答案】B
【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量问题，熟知大量反复试验下频率的稳定值即概率值是
解题的关键．设袋子中红球约有x个，根据题意可知从袋子中随机摸出一个球的概率为0.4，由此根据概率公式建
立方程求解即可．
【详解】解：设袋中红球有x个，
根据题意，可得： ，
解得： ，
经检验： 时， ，
所以 是原方程的解．
故选：B．
题型七：几何概率
19．（23-24七年级下·全国·期末）一个均匀的小球在如图所示的水平地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，
若每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】本题考查了几何概率，求出黑砖部分的面积占整体的几分之几即可，熟练掌握几何概率的求法是解此题
的关键．
【详解】解：这个图形的总面积为9，黑砖部分的面积为4，因此黑砖部分占整体的 ，
所以小球最终停留在黑砖上的概率是 ，
故选：A．
20．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一 点P，则点P落在阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了几何概率，分别求得阴影部分的面积是解题的关键．设小正方形的边长为1，则大正方形的边
长为 ，根据题意，分别求得阴影部分面积和总面积，根据概率公式即可求解．
【详解】解：设小正方形的边长为1，则大正方形的边长为 ，
∴总面积为 ，
阴影部分的面积为 ，
∴点 落在阴影部分的概率为 ，
故选：A．
21．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘 内，若飞锤落在镖盘内各点的机
会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查几何概率的知识，求出小正方形的面积是关键．设 ，则圆的直径为 ，求出小正方形
的面积，即可求出几何概率．【详解】解：如图：连接 ， ，设 ，则圆的直径为 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴小正方形的面积为： ，
则飞镖落在阴影区域的概率为： ．
故选：C．
题型八：随机事件和概率的综合问题
22．（24-25九年级上·浙江杭州）如图，转盘中8个扇形的面积都相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时．
(1)指针指向奇数的概率为多少？
(2)指针指向大于5的数的概率为多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）指针指向奇数的有4个，再除以总数8即可；
（2）指针指向大于6的数有3个，再除以总数8即可．
【详解】（1）解：∵8个扇形中奇数有1，3，5，7共4个，∴指针指向奇数的概率为 ；
（2）解：∵8个扇形中大于5的数有6，7和8，共3个，
∴指针指向大于5的数的概率为 ．
23．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）计算下列事件发生的可能性大小，并将它们按可能性从小到大进行排
列．
(1)从写有 数字的9张卡片中任取一张，其上的数字是4的倍数；
(2)铁块丢入水中后，浮在水面；
(3)投掷一枚硬币，落地后反面朝上．
【答案】(1)
(2)
(3) ，可能性从小到大排列为（2） （1） （3）
【分析】本题考查了可能性的大小，解题的关键在于掌握可能性等于所求情况数与总情况数之比．
（1）根据共有9个数，是4的倍数的有4和8，再根据概率公式求解，即可得出其上的数字是4的倍数的可能性；
（2）铁块丢入水中后，不可能浮在水面，再根据概率公式即可得出答案；
（3）根据硬币只有两个面，结合概率公式即可得出落地后反面朝上的可能性；最后进行比较，即可解题．
【详解】（1）解： 数字中有 和 两个数为4的倍数，
从写有 数字的9张卡片中任取一张，其上的数字是4的倍数的可能性为 ；
（2）解：铁块丢入水中后，浮在水面是不可能事件，故该事件的可能性为 ；
（3）解：投掷一枚硬币，落地后反面朝上的可能性为 ．
，
可能性从小到大排列为（2） （1） （3）．
24．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，现有一个均匀的转盘被平均分成6等份，分别标有数字2、3、
4、5、6、7这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．
求：(1)转动转盘，转出的数字大于3的概率是多少．
(2)现有两张分别写有3和4的卡片，要随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作
为三条线段的长度．
①这三条线段能构成三角形的概率是多少？
②这三条线段能构成等腰三角形的概率是多少？
【答案】(1) ；
(2)① ；② ．
【分析】本题主要考查概率公式的运用及三角形三边间的关系、等腰三角形的判定，熟练掌握三角形三边之间的
关系和等腰三角形的判定是解题的关键．
（1）转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，大于3的结果有4种，由概率公
式可得；
（2）①转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，能够成三角形的结果有5种，
由概率公式可得；
②转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，能够成等腰三角形的结果有2种，由
概率公式可得．
【详解】（1）解：转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，大于3的结果有4
种，
∴转出的数字大于3的概率是 ；
（2）解：①设第三边长为 ，则 即 ，
∴转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，能够成三角形的结果有5种，
∴这三条线段能构成三角形的概率是 ；
②转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，能够成等腰三角形的结果有2种，
∴这三条线段能构成等腰三角形的概率是 ．
【高分达标】
一、单选题
25．（24-25九年级上·福建福州·期中）下列所描述的事件，是不可能事件的是（ ）
A．下周一下雨 B．太阳西升东落
C．国足赢球 D．掷硬币，国徽面朝上
【答案】B【分析】本题考查事件的分类，根据不可能事件是一定条件下，一定不会发生的事情，据此进行判断即可．
【详解】解：A、下周一下雨，是随机事件，不符合题意；
B、太阳西升东落，是不可能事件，符合题意；
C、国足赢球，是随机事件，不符合题意；
D、掷硬币，国徽面朝上，是随机事件，不符合题意；
故选B
26．（24-25九年级上·江苏南通·期中）不透明袋子中有红球1个，黄球2个，这些球除颜色外无其他差别．从袋
中随机取出一个球，则取出的是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，根据概率公式计算即可．
【详解】解：∵袋子中装有红球1个，黄球2个，每个球被摸到的概率相同，
∴从袋中随机取出一个球，则取出的是红球的概率是 ，
故选：B．
27．（24-25九年级上·重庆·期中）在一个箱子内放有同种规格的白球和红球若干个，已知白球有20个，搅匀后多
次重复随机摸取，若摸到白球的频率为0.2，则箱子内的红球大约有（ ）
A．80个 B．98个 C．100个 D．120个
【答案】A
【分析】本题考查简单的概率计算，掌握概率公式是解题的关键．
设箱子内的红球大约有x个，利用概率公式列式计算即可．
【详解】解：设箱子内的红球大约有x个，
则 ，
解得 ，
经检验： 是方程的解，
即箱子内的红球大约有80个．
故选A．
28．（2024九年级上·全国·专题练习）小明抛一枚质地均匀的硬币，前面5次都是正面朝上．如果再抛一次，下列
说法正确的是（ ）
A．一定是正面朝上 B．一定是反面朝上
C．正面朝上的可能性较大 D．正反两面朝上的可能性相等
【答案】D【分析】根据简单时间的概率公式求出各自的概率，即可作答．本题考查了概率公式，可能性的大小，会求简单
事件的概率是解题的关键．
【详解】解：依题意，掷硬币，正面向上和反面向上的概率都是 ，
∴正面向上和反面向上的机会均等，
故选：D．
29．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，A、B是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点，在格点中任
意放置点C，恰好能使 的面积为1的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在 的网格中共有25个格点，找到能使得三角形 的面积为1的格点，即可利用概率公式求解．本
题考查了概率公式，将所有情况都列举出来是解决此题的关键．
【详解】解：在 的网格中共有25个格点，而使得三角形面积为1的格点有6个，如图所示，黑色小点即为
点位置：
故使得三角形面积为1的概率为 ．
故选：A．
30．（2024九年级上·全国·专题练习）有一个游戏，先旋转一个转盘的指针，如果指针箭头停在奇数的位置（若
指针停在交线位置时无效，需重新转动转盘），玩的人可以从袋子里抽出一个弹珠，当摸到黑色的弹珠就能得到
奖品，转盘和弹珠如图所示，小明玩了一次这个游戏，则小明得奖的可能性为（ ）
A．不可能 B．可能性很小 C．可能性很大 D．一定可以【答案】B
【分析】此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结
果，那么事件A的概率 ．
根据转盘知只有1个奇数，而且袋子中20个里只有6个弹珠，据此得出这个游戏得到奖品的可能性很小．
【详解】解：先旋转转盘的指针，指针箭头停在奇数的位置就可以获得一次弹珠机会，概率为 ，
而只有摸到黑色的弹珠才能获得奖品，概率为 ，
故小明得奖的可能性为 ，
∴这个游戏得到奖品的可能性很小，
故选：B．
31．（2024·湖北·模拟预测）有两个事件，事件（1）：随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数；事件（2）：
通常温度降到 以下，纯净的水结冰．下列判断正确的是（ ）
A．（1）（2）都是随机事件 B．（1）（2）都是必然事件
C．（1）是必然事件，（2）是随机事件 D．（1）是随机事件，（2）是必然事件
【答案】D
【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不
可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不
发生的事件．
依据定义判断即可．
【详解】解：事件（1）是随机事件；事件（2）是必然事件；
故选：D．
32．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在
“ ”所示区域内的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了概率公式，直接利用“A”所示区域所占圆周角除以 ，进而得出答案,正确理解几何概率的求法是解题关键．
【详解】解：指针落在“ ”区的概率为： ，
故选：C．
33．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）哥德巴赫提出“每个大于 的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜
想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.在质数 ， ， ， 中，随机选取一个数，
是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了根据概率公式计算概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
根据题意，直接利用概率公式即可得出答案．
【详解】解：在质数 ， ， ， 中，随机选取一个数，共有 种等可能的结果，即： ， ， ， ，
其中，是偶数的结果共有 种，即： ，
在质数 ， ， ， 中，随机选取一个数，是偶数的概率为： ，
故选： ．
34．（2024·湖北·模拟预测）类比“赵爽弦图”，可类似的构造如图所示的图形，它是由中间的小正六边形和6个
全等的直角三角形拼成的一个大正六边形，若在大正六边形内部随机取一点，则此点取自小正六边形的概率是（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先对图形标注，根据内角和定理求出 ，即可得出 ，再设 ，
根据直角三角形的性质得 ，由勾股定理求出 ，根据题意可知 ，可求 ，然后求出等边
三角形的面积，进而得出正六边形的面积，最后根据面积比得出答案．
【详解】如图所示，
正六边形的每个内角 ，
∴ ．
设 ，∴ ，
根据勾股定理得 ．
根据题意可知 ，
∴ ．
作 ，交 于点F，
∵ 是等边三角形，
∴ ．
根据勾股定理得 ，
∴ ， ，
∴正六边形的面积 ，六个直角三角形的面积为 ，
∴此点取自小正六边形的概率是 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，直角三角形的性质，勾股定理，概率的计算公式，理解用面积比
表示概率是解题的关键．
二、填空题
35．（24-25九年级上·陕西西安·期中）在化学课上，王老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将3种常
见的生活现象制成背面完全相同的卡片，卡片上的内容分别是“火柴燃烧”、“水结成冰”、“灯泡发光”，然
后将所有卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，则抽出的生活现象是化学变化的概率是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，用化学变化的卡片数除以卡片总数即可得到答案．
【详解】解：∵一共有3张卡片，每张卡片被抽到的概率相同，且化学变化（火柴燃烧）的卡片有1张，∴从中随机抽取一张，则抽出的生活现象是化学变化的概率是 ，
故答案为： ．
36．（2024九年级上·全国·专题练习）一个正方体的六个面分别涂上红、黄、绿三种颜色，任意挪一次，黄色朝
上的次数最多，红色和绿色朝上的次数一样多，可能有 个面涂了黄色．
【答案】4
【分析】本题考查可能性，可能性的大小与数量的多少有关，要黄色朝上的次数最多，所以涂黄色面最多；红色
和绿色朝上的次数一样多，所以涂红色和绿色的面一样多，据此解答即可．
【详解】解：一个正方体的六个面分别涂上红、黄、绿三种颜色，任意抛一次，黄色朝上的次数最多，红色和绿
色朝上的次数一样多．
如果每种颜色朝上的数量都一样多，则红、黄、绿各涂2个面，
但现在黄色朝上的次数最多，而红色和绿色朝上的次数要一样多，
因此只能是红色、绿色各1个面，黄色涂4个面．
故答案为：4．
37．（24-25七年级上·福建福州·开学考试）在一个盒子中有除颜色外均相同的10个红球，8个绿球和一些黑球，
从里面拿出一个球，拿出绿球的可能性小于 ，那么至少有 个黑球．
【答案】7
【分析】本题考查可能性的大小，先根据绿球可能性的大小得到球的总数．进而可求解．
【详解】解：∵8个绿球，绿球的可能性小于 ，
球的总数大于24，
至少有 个黑球．
故答案为：7．
38．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，四边形 与四边形 均为边长等于1的正方形，连接点A，
B，C，D，E，F中任意两点均可得到一条线段，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为无理数
的线段的概率为 ．
【答案】
【分析】由题意知，连接两点所得的所有线段共15条，其中长度为无理数的线段有6条，再利用概率公式计算即可．
【详解】解：连接两点所得的所有线段有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ，共15条，
其中长度为无理数的线段有： ， ， ， ， ， ，共6条，
∴在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为无理数的线段的概率为 ．
故答案为： ．
39．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在 中， ， ， ，将 绕点
B按逆时针方向旋转 后得到 ，现随机地向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影部分概率为
．
【答案】
【分析】本题考查几何概率，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．证明阴影部分的
面积 三角形 的面积，求出三角形 的面积，可得结论．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ．
， ， ，
，由旋转变换的性质可知 ， ，
，
，
， ，
现随机地向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影部分概率为 ．
故答案为： ．
三、解答题
40．（23-24七年级下·全国·单元测试）把一副扑克牌中的13张红桃牌正面朝下，洗匀后，从中任意抽取1张．下
列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？估计这些事件发生的可能性的大小，并把这
些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列．
（1）抽到的牌的点数是8；
（2）抽到的牌的点数小于6；
（3）抽到的牌是黑桃；
（4）抽到的牌是红桃．
【答案】（1）发生的可能性 ，随机事件
（2）发生的可能性 ，随机事件
（3）不可能事件，发生的可能性为0
（4）必然事件，发生的可能性为1
按发生的可能性从小到大的顺序排列为：（3）（1）（2）（4）
【分析】此题主要考查了可能性大小以及事件的名称，正确求出各事件发生的可能性是解题关键．利用必然事件、
不可能事件、随机事件的定义分析，再分别求出发生的可能性．
【详解】解：（1）抽到的牌的点数是8，是随机事件，发生的可能性为 ；
（2）抽到的牌的点数小于6，是随机事件，发生的可能性为 ；
（3）抽到的牌是黑桃，是不可能事件，发生的可能性为0；
（4）抽到的牌是红桃，是必然事件，发生的可能性为1；则按发生的可能性从小到大的顺序排列为：（3）（1）（2）（4）．
41．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）井字棋是老少皆宜的游戏，规则是：两个游戏者轮流在 的格子里
留下标记，任意三个标记形成一条直线即为获胜，小张是班里的井字棋高手，每步均为最佳着法．
(1)小吴执先手去挑战小张，若无论小张如何落子，小吴前两步都会将两个子放在一条直线上，求：小吴输棋的概
率；
(2)小吴不服，让小张执先手，小张第一步选择下中间，若小吴除了第一步均不会犯错，求：小吴和棋的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了简单事件的概率，正确找出所求概率对应事件的情形数是解题的关键，
（ ）由小吴落子于中心点不输棋得到，有 种会输棋的情形，从而根据概率公式求解即可；
（2）由小张执先手，小张第一步选择下中间，此时还有 个空位，小吴只有下周围 个角处才能和棋，共有 种
等可能的情形，其中和棋的情形有 种，根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：小吴执先手去挑战小张，小吴只有落子在最中间时才不输棋，共有 种等可能的情形，其中有
种不会输棋，则有 种会输棋的情形，
∴小吴输棋的概率为 ；
（2）解：小张执先手，小张第一步选择下中间，此时还有 个空位，小吴只有下周围 个角处才能和棋，
∴共有 种等可能的情形，其中和棋的情形有 种，
∴小吴和棋的概率为 ．
42．（23-24七年级下·全国·单元测试）甲、乙两人玩“石头、剪刀、布”的游戏．他们在不透明的袋子中放入形
状、大小均相同的10张卡片，其中写有“石头”“剪刀”“布”的卡片张数分别为2，3，5．两人各随机摸出一
张卡片（先摸者不放回）来比胜负，并约定：“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，同
种卡片不分胜负．
(1)若甲先摸，则他摸到“石头”的概率是多少?
(2)若甲先摸到了“石头”，则乙获胜的概率是多少?
【答案】(1)甲摸到“石头”的概率为(2)乙获胜的概率为
【分析】本题考查了简单的概率计算；
（1）共有10张卡片，其中2张上写有“石头”，直接利用概率公式求解即可；
（2）若甲先摸出“石头”，则还剩下9张卡片，乙需要摸到“布”，据此根据概率公式求解即可．
【详解】（1）甲摸到“石头”的概率为
（2）因为甲先摸到了“石头”，又要乙获胜，所以乙必须摸到“布”，所以乙获胜的概率为
43．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）在一个不透明的袋中只装有2个白球、3个黑球和5个红球，每个球除
颜色外都相同．
(1)任意摸出一球，摸到黄球是______事件．（填“不可能”或“必然”或“随机”）
(2)从袋中任意摸出一个球，摸到黑球的概率是多少？
(3)现在再将若干个同样的黑球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中任意摸出一个球为黑球的概
率是 ，请求出后来放入袋中的黑球的个数．
【答案】(1)不可能
(2)
(3)后来放入袋中的黑球个数为18个
【分析】本题考查了随机事件与不可能事件的定义、简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键．
（1）根据随机事件和不可能事件的定义即可得；
（2）利用黑球的数量除以袋子中球的总数量即可得；
（3）设后来放入袋中的黑球个数为 个，则袋子中黑球的个数为 个，球的总数量为 个，利用概率公
式建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）解：因为一个不透明的袋中装有2个白球，3个黑球，5个红球，每个球除颜色外都相同，
所以从中任意摸出一个球，摸到黄球是不可能事件，
故答案为：不可能．
（2）解：从中任意摸出一个球，摸到黑球的概率为 ，
答：从中任意摸出一个球，摸到黑球的概率为 ．
（3）解：设后来放入袋中的黑球个数为 个，则袋子中黑球的个数为 个，球的总数量为 个，由题意得： ，
解得 ，
经检验， 是分式方程的解，
答：后来放入袋中的黑球个数为18个．
44．（23-24九年级下·四川南充·自主招生）现将一个表面涂满红色的正方体的每条棱十等分，此正方体分割成若
干个小正方体．在这些小正方体中，求：
(1)两面涂有红色的小正方体的个数；
(2)任取一个小正方体，各面均无色的小正方体的概率；
(3)若将原正方体每条棱n等分，只有一面涂有红色的小正方体的个数．
【答案】(1)96
(2)
(3)
【分析】考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现
实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．
（1）一条棱上有去掉左右两个，共12条棱，即可求解；
（2）无色的小正方体的个数为 ；除以所有正方体的个数即可；
（3）得到大正方体的一个面只有一面涂有红色的小正方体的个数，乘以6即可．
【详解】（1）解：一条棱上有去掉左右两个，因为这两个会出现三面涂有红色，共计12条棱，
∴ 块；
（2）解：共有符合条件的小正方体 个，而总的小正方体为 个
∴ ；
（3）解：每个面有 个 ，6个面有 ．
