文档内容
25.1随机事件与概率
【考点归纳】
考点一：事件的分类
考点二：判断事件可能发生的大小
考点三：列举随机事件可能的结果
考点四：概率的理解
考点五：概率公式的应用
考点六：已知概率求数量
考点七：几何概率
考点八：随机事件和概率的综合问题
【知识梳理】
知识点01. 概率的定义及计算公式
概率的定义：一般地，对于一个随机事件A，把刻画其发生可能性大小的数值，称之为随机事件A发生的概率，记为
P(A).
概率的意义：一个事件发生的概率是一个确定的数,它从数值上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.
概率公式： P(随机事件)= .
知识点02.确定事件与随机事件
定义 事件发生的概率
确 必然 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定发生， P(必然事件)=1
定 事件 这些事情称为必然事件。
事
不可能 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定不会发 P(不可能事件)=0
件
事件 生，这些事情称为不可能事件。
不确定事件 在一定条件下，许多事情我们无法确定它会不会发 0＜P(随机事件)＜1
（随机事件） 生，这些事情称为不确定事件（又叫随机事件）。
知识点03几何概率的定义
如果随机试验的样本空间是一个区域(可以是直线上的区间、平面或空间中的区域)，且样本空间中每个试验结果
的出现具有等可能性，那么规定事件Ａ的概率为
A的长度（或面积、体积）
P(A)
样本空间的的长度（或面积、体积）
·
【题型探究】
题型一：事件的分类
1．（2024九年级上·全国）下列说法正确的是（ ）A．两个负数相乘，积是正数是不可能事件
B．“煮熟的鸭子飞了”是随机事件
C．射击运动员射击一次，命中十环是必然事件
D．“掷一次骰子，向上一面的点数是 ”是随机事件
2．（24-25九年级上·广东广州·期末）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．任意买一张电影票，座位号是奇数
B．13个人中至少有两个人生肖相同
C．车辆随机到达一个路口，遇到绿灯
D．冬天的某一天一定会下雪．
3．（24-25九年级上·江苏南通·期中）下列事件中，①太阳从西边升起；②任意摸一张体育彩票会中奖；③掷一枚
硬币，有国徽的一面朝下；④小明长大后成为一名宇航员．属于不确定事件的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
题型二：判断事件可能发生的大小
4．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）小明从盒子里摸球，每次摸出一个后再放回盒中，他连续摸10次，每
次摸到的都是黄球，下面说法中正确的是（ ）
A．他第11次摸到的一定还是黄球 B．他第11次摸到的可能还是黄球
C．盒子里一定都是黄球 D．盒子里一定还有其它颜色的球
5．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列说法中正确的是（ ）
A．小明今年12岁，明年百分之二百是13岁
B．从1、2、3、4、5中任取一个数是偶数的可能性比较大
C．在摸奖活动中，先摸与后摸中特等奖的机会相同
D．任意掷一枚均匀的骰子，6点朝上的概率比1点朝上的概率大
6．（24-25九年级上·辽宁沈阳）口袋里装有大小、形状完全一样的9个红球、6个白球，则下列说法不正确的是
（ ）
A．从中随机摸出1个球，摸到红球的可能性更大
B．从中随机摸出2个球，摸到1个红球和1个白球是随机事件
C．从中随机摸出5个球，可能都是红球
D．从中随机摸出7个球，可能都是白球
题型三：列举随机事件可能的结果
7．（2024九年级·全国·竞赛）在一个不透明的盒子中有20个不同颜色的玻璃球，其中白色玻璃球有9个，黑色玻
璃球有6个，红色玻璃球有5个．现从中任取10个玻璃球，使得其中白色玻璃球不少于2个但不多于8个，黑色玻璃球至多3个，红色玻璃球不少于2个，那么上述取法共有（ ）
A．19种 B．18种 C．17种 D．16种
8．（2024九年级·江苏南通·专题练习）第19届亚运会将于今年9月23日到10月08日在杭州举行．其吉祥物是
一组名为“江南忆”的机器人．三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产“良渚
古城遗址”、“西湖”、“京杭大运河”．某校开展了一系列的“迎亚运”活动，其中一项是由志愿者扮演吉祥
物和同学们合影留念．甲乙两位同学和三个吉祥物一起合影，站成一行，要求甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，
则不同的站法种数为 ．
9．（2024·北京大兴·二模）甲、乙、丙、丁4名同学参加中学生天文知识竞赛，成绩各不相同，根据成绩决出第1
名到第4名的名次．甲和乙去询问名次，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都不是第1名．”对乙说：“你不是第4
名．”从这两个回答分析，4个人的名次排列可能有 种不同情况，其中甲是第4名有 种可能情况．
题型四：概率的理解
10．（2024九年级上·全国·专题练习）某日天气预报信息显示：明天最高气温 ，最低气温 ，降水概率为
．根据此信息，下列说法中，你最认可的是（ ）
A．明天一定下雨 B．明天不可能下雨
C．明天下雨的可能性较小 D．明天下雨的可能性很大
11．（23-24七年级下·宁夏中卫·期末）彩票是公平公正的机会游戏，国家发行彩票的目的是筹集社会公益资金，
促进社会公益事业发展．已知某种彩票的中奖概率为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．买1张这种彩票，不可能中奖
B．买200张这种彩票，可能有2张中奖
C．买100张这种彩票，一定有1张中奖
D．若100人每人买1张这种彩票，一定会有一人中奖
12．（2024·贵州·中考真题）小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法
正确的是（ ）
A．小星定点投篮1次，不一定能投中 B．小星定点投篮1次，一定可以投中
C．小星定点投篮10次，一定投中4次 D．小星定点投篮4次，一定投中1次
题型五：概率公式的应用
13．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）一个不透明的袋子里装有3个绿球、3个黑球和6个红球，它们除颜色外其
余相同．从袋中任意摸出一个球为绿球的概率为（ ）
A． B． C． D．
14．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）小明观察某个路口的红绿灯，发现该红绿灯的时间设置为：红灯20秒，黄灯5秒，绿灯15秒．当他下次到达该路口时，遇到绿灯的概率是（ ）
A． B． C． D．
15．（24-25九年级上·山东青岛·期中）某学校开展“校园文化艺术节”文艺汇演活动，现打算从 名（ 名男生和
名女生）候选人中随机选取 人担任本次活动的主持人，则选中的 人恰好都是女生的概率是（ ）
A． B． C． D．
题型六：已知概率求数量
16．（24-25九年级上·山东济南）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明
通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在0.75左右，则袋子中红球的个数量有可能是（ ）
A．5 B．10 C．12 D．15
17．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）在一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的小球，如果袋中红
球4个，黄球3个，其余的为绿球，从袋子中随机摸出一个球，“摸出黄球”的可能性为 ，则袋中绿球的个数是
（ ）
A．12 B．7 C．5 D．2
18．（2024·贵州铜仁·三模）一个不透明的袋子里装有18个黄球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，小明从
中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.4，则袋子里约
有红球（ ）
A．6个 B．12个 C．18个 D．24个
题型七：几何概率
19．（23-24七年级下·全国·期末）一个均匀的小球在如图所示的水平地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，
若每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（ ）
A． B． C． D．120．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个
图形内任取一 点P，则点P落在阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
21．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘 内，若飞锤落在镖盘内各点的机
会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
题型八：随机事件和概率的综合问题
22．（24-25九年级上·浙江杭州）如图，转盘中8个扇形的面积都相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时．
(1)指针指向奇数的概率为多少？
(2)指针指向大于5的数的概率为多少？
23．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）计算下列事件发生的可能性大小，并将它们按可能性从小到大进行排
列．
(1)从写有 数字的9张卡片中任取一张，其上的数字是4的倍数；
(2)铁块丢入水中后，浮在水面；
(3)投掷一枚硬币，落地后反面朝上．
24．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，现有一个均匀的转盘被平均分成6等份，分别标有数字2、3、
4、5、6、7这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．求：
(1)转动转盘，转出的数字大于3的概率是多少．
(2)现有两张分别写有3和4的卡片，要随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作
为三条线段的长度．
①这三条线段能构成三角形的概率是多少？
②这三条线段能构成等腰三角形的概率是多少？
【高分达标】
一、单选题
25．（24-25九年级上·福建福州·期中）下列所描述的事件，是不可能事件的是（ ）
A．下周一下雨 B．太阳西升东落
C．国足赢球 D．掷硬币，国徽面朝上
26．（24-25九年级上·江苏南通·期中）不透明袋子中有红球1个，黄球2个，这些球除颜色外无其他差别．从袋
中随机取出一个球，则取出的是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
27．（24-25九年级上·重庆·期中）在一个箱子内放有同种规格的白球和红球若干个，已知白球有20个，搅匀后多
次重复随机摸取，若摸到白球的频率为0.2，则箱子内的红球大约有（ ）
A．80个 B．98个 C．100个 D．120个
28．（2024九年级上·全国·专题练习）小明抛一枚质地均匀的硬币，前面5次都是正面朝上．如果再抛一次，下列
说法正确的是（ ）
A．一定是正面朝上 B．一定是反面朝上
C．正面朝上的可能性较大 D．正反两面朝上的可能性相等
29．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，A、B是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点，在格点中任
意放置点C，恰好能使 的面积为1的概率是（ ）A． B． C． D．
30．（2024九年级上·全国·专题练习）有一个游戏，先旋转一个转盘的指针，如果指针箭头停在奇数的位置（若
指针停在交线位置时无效，需重新转动转盘），玩的人可以从袋子里抽出一个弹珠，当摸到黑色的弹珠就能得到
奖品，转盘和弹珠如图所示，小明玩了一次这个游戏，则小明得奖的可能性为（ ）
A．不可能 B．可能性很小 C．可能性很大 D．一定可以
31．（2024·湖北·模拟预测）有两个事件，事件（1）：随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数；事件（2）：
通常温度降到 以下，纯净的水结冰．下列判断正确的是（ ）
A．（1）（2）都是随机事件 B．（1）（2）都是必然事件
C．（1）是必然事件，（2）是随机事件 D．（1）是随机事件，（2）是必然事件
32．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在
“ ”所示区域内的概率是（ ）
A． B． C． D．
33．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）哥德巴赫提出“每个大于 的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜
想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.在质数 ， ， ， 中，随机选取一个数，
是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
34．（2024·湖北·模拟预测）类比“赵爽弦图”，可类似的构造如图所示的图形，它是由中间的小正六边形和6个全等的直角三角形拼成的一个大正六边形，若在大正六边形内部随机取一点，则此点取自小正六边形的概率是（
）
A． B． C． D．
二、填空题
35．（24-25九年级上·陕西西安·期中）在化学课上，王老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将3种常
见的生活现象制成背面完全相同的卡片，卡片上的内容分别是“火柴燃烧”、“水结成冰”、“灯泡发光”，然
后将所有卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，则抽出的生活现象是化学变化的概率是 ．
36．（2024九年级上·全国·专题练习）一个正方体的六个面分别涂上红、黄、绿三种颜色，任意挪一次，黄色朝
上的次数最多，红色和绿色朝上的次数一样多，可能有 个面涂了黄色．
37．（24-25七年级上·福建福州·开学考试）在一个盒子中有除颜色外均相同的10个红球，8个绿球和一些黑球，
从里面拿出一个球，拿出绿球的可能性小于 ，那么至少有 个黑球．
38．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，四边形 与四边形 均为边长等于1的正方形，连接点A，
B，C，D，E，F中任意两点均可得到一条线段，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为无理数
的线段的概率为 ．
39．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在 中， ， ， ，将 绕
点B按逆时针方向旋转 后得到 ，现随机地向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影部分概率为．
三、解答题
40．（23-24七年级下·全国·单元测试）把一副扑克牌中的13张红桃牌正面朝下，洗匀后，从中任意抽取1张．下
列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？估计这些事件发生的可能性的大小，并把这
些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列．
（1）抽到的牌的点数是8；
（2）抽到的牌的点数小于6；
（3）抽到的牌是黑桃；
（4）抽到的牌是红桃．
41．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）井字棋是老少皆宜的游戏，规则是：两个游戏者轮流在 的格子里
留下标记，任意三个标记形成一条直线即为获胜，小张是班里的井字棋高手，每步均为最佳着法．
(1)小吴执先手去挑战小张，若无论小张如何落子，小吴前两步都会将两个子放在一条直线上，求：小吴输棋的概
率；
(2)小吴不服，让小张执先手，小张第一步选择下中间，若小吴除了第一步均不会犯错，求：小吴和棋的概率．
42．（23-24七年级下·全国·单元测试）甲、乙两人玩“石头、剪刀、布”的游戏．他们在不透明的袋子中放入形
状、大小均相同的10张卡片，其中写有“石头”“剪刀”“布”的卡片张数分别为2，3，5．两人各随机摸出一
张卡片（先摸者不放回）来比胜负，并约定：“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，同
种卡片不分胜负．
(1)若甲先摸，则他摸到“石头”的概率是多少?
(2)若甲先摸到了“石头”，则乙获胜的概率是多少?
43．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）在一个不透明的袋中只装有2个白球、3个黑球和5个红球，每个球除
颜色外都相同．(1)任意摸出一球，摸到黄球是______事件．（填“不可能”或“必然”或“随机”）
(2)从袋中任意摸出一个球，摸到黑球的概率是多少？
(3)现在再将若干个同样的黑球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中任意摸出一个球为黑球的概
率是 ，请求出后来放入袋中的黑球的个数．
44．（23-24九年级下·四川南充·自主招生）现将一个表面涂满红色的正方体的每条棱十等分，此正方体分割成若
干个小正方体．在这些小正方体中，求：
(1)两面涂有红色的小正方体的个数；
(2)任取一个小正方体，各面均无色的小正方体的概率；
(3)若将原正方体每条棱n等分，只有一面涂有红色的小正方体的个数．
