文档内容
25.2 用列举法求概率
【考点归纳】
考点一：列举法求概率
考点二：列表法或求概率
考点三：树状图法求概率
考点四：游戏的公平性
考点五：用列举法求概率的综合问题
【知识梳理】
在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可通过列
举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法.
【注意事项】
1）直接列举试验结果时，要有一定的顺序性，保证结果不重不漏.
列举法
2）用列举法求概率的前提有两个：①所有可能出现的结果是有限个 ②每个结果出现的可能性相等.
3）所求概率是一个准确数，一般用分数表示.
当事件中涉及两个以上的因素时，用树状图的形式不重不漏地列出所有可能的结果的方法叫画树状图
法.
画树状图法求概率的步骤：
1) 明确试验由几个步骤组成；
画树状图法
2) 画树状图分步列举出试验的所有等可能结果；
3) 根据树状图求出所关注事件包含的结果数及所有等可能的结果数，再利用概率公式求解.
当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果，
这种方法叫列表法.
列表法求概率的步骤：
列表法
1）列表，并将所有可能结果有规律地填人表格；
2）通过表格计数，确定所有等可能的结果数n和符合条件的结果数m的值；
3）利用概率公式 ，计算出事件的概率．
【题型探究】
题型一：列举法求概率
1．（2024·河南驻马店·模拟预测）中央电视台的“中国诗词大会”是同学们非常喜爱的一档节目，其中唐代诗人
刘禹锡的《秋词》的四句诗被打乱了顺序：①我言秋日胜春朝；②便引诗情到碧霄；③自古逢秋悲寂寥；④晴空一鹤排云上；现在已知③是首句，小明对其余三句诗的顺序进行随机调整，第一次就能把四句诗的顺序调整正确
的可能性是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山东聊城·三模）山东博物馆在2024年5月份举办“走近考古”展览，为公众揭开考古学神秘面纱．现
小张同学参观博物馆，由于参观人数较多，准备从3楼展厅的“走进考古”展览、“山东龙——穿越白垩纪”展
览、“考古成果”展览、“非洲野生动物大迁徙”展览4个中随机选择2个进行参观，则正好选择“走近考古”展
览和“山东龙——穿越白垩纪”展览的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）小明要给小林打电话，他只记住了小林手机号码的前 位，后三位是
三个数字的某一种排列顺序，但具体顺序忘记了，那么小明第一次就拨通电话的概率是（ ）
A． B． C． D．
题型二：列表法或求概率
4．（24-25九年级上·山西运城·期中）某商场促销的方案是：在本商场一次性购物超过 元，就可以参加转转盘抽
取稷山四宝的活动，转盘如图所示（一个可以自由转动的转盘被分成面积相等的4个扇形，在4个扇形上分别写有：
麻花1小袋、饼子1小袋、鸡蛋5个、红枣1小袋的文字）．每个参与者转动转盘两次，当两次指针都指向同一物
品时，就领取指针指向的物品，当两次指针指向的物品不一样时，则不领取任何物品（若指针指向两个扇形的交
线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）．问一个有幸参加转转盘的购物者
能领取到红枣1小袋的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25九年级上·河南郑州·期中）将标有“最”“美”“河”“南”的四个小球装在一个不透明的口袋中（每
个小球上仅标一个汉字），这些小球除所标汉字不同外，其余均相同．从中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球，则摸到的球上的汉字可以组成“河南”的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25九年级上·山东济南·期中）10月16日是世界粮食日．某校组织了粮食安全公益活动，现有“节粮宣讲
员”、“光盘示范员”和“爱粮监督员”三类志愿者岗位身份，小霞和小艺从中任选一类，则她们恰好选到同一
类岗位的概率是（ ）
A． B． C． D．
题型三：树状图法求概率
7．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期中）秦腔，别称“梆子腔”中国汉族最古老的戏剧之一，起于西周，源于西府，
成熟于秦，是中国国家级非物质文化遗产之一．如图是某同学收藏的秦腔邮票，分别是《火焰驹》《三滴血》和
《游西湖》，它们除正面外完全相同．把这三张邮票背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随
机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）某班准备从《我爱你中国》《我和我的祖国》《让世界充满爱》《在灿烂阳
光下》四首歌曲中任选两首进行排练，以参加市级合唱大赛，那么该班恰好选中《我和我的祖国》和《在灿烂阳
光下》这两首歌曲的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）某校举行安全系列教育活动主题手抄报的评比活动，学校共设置了“交通安
全”“消防安全”“饮食安全”“校园安全”四个主题内容，每位参加活动的同学应从这四个主题中随机选取一
个，李明和张佳都参加了本次评比活动，他们两人选取的主题不同的概率是（ ）
A． B． C． D．题型四：游戏的公平性
10．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个正整数，然后都拿给
对方看，他们约定，若两个人所写的数的和是偶数，则小明获胜，若两个人所写的数字和是奇数，则小亮获胜，
这个游戏（ ）
A．无法确定对谁有利 B．对小亮有利
C．对小明有利 D．游戏公平
11．（24-25九年级上·全国·课后作业）某运动会服务中心要在某校选拔一名志愿者，经笔试、面试，结果小明和
小颖并列第一．评委会决定通过抓球来确定人选，抓球规则如下：在不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的2
个红球和1个绿球，小明先取出一个球，记下颜色后放回，小颖再取出一个球，若取出的球都是红球，则小明获
胜；若取出的球是一红一绿，则小颖获胜，你认为这个规则（ ）
A．公平 B．对小明有利
C．对小颖有利 D．无法确定对谁有利
12．（2024·浙江·模拟预测）在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次
挑战机会．小金和小华一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球，小金先摸．现已知箱子里有4
个红球和2个白球，则下列推断正确的是（ ）
A．一定是小金获胜
B．一定是小华获胜
C．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小金获胜
D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小金获胜
题型五：用列举法求概率的综合问题
13．（24-25九年级下·全国）甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，
3，6．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一
张牌．
(1)请用列表或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；
(2)若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；否则乙获胜，这个游戏公平吗？
14．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）为了更好地开展劳动教育，实现五育并举，某校劳动实践基地共开设四门
劳动实践课程，分别是 ：绿植栽培， ：衣物清洗， ：手工制作， ：简单烹饪，且每人只能参加一门实践
课程．
(1)九年级一班的王欢从四门实践课程中随机选择一门，则恰好选择“ ：绿植栽培”的概率为________；
(2)九年级一班的甲、乙两位同学各自从这四门实践课程中随机选一门，请用画树状图或列表的方法，求他们选择
的实践课程相同的概率．15．（24-25九年级上·广西南宁·期中）南宁市某学校开展了“奋进万亿新征程，共筑强国强军梦”的主题研学活
动．为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用 表示，单位：h）进行调查．经过整理，将数
据分成四组（A组： ；B组： ；C组： ；D组： ），并绘制了如下不完整的条形统
计图和扇形统计图．
(1)请补全条形统计图；
(2)扇形统计图中， 的值为___________，A组对应的扇形圆心角的度数为_________ ；
(3)D组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好
是两名男生的概率．
【高分达标】
一、单选题
16．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）双眼皮由显性基因 控制，小颍的爸爸、妈妈关于眼皮的基因组成分别为
和 ，则小颍是双眼皮的概率是（ ）
A． B． C． D．
17．（24-25九年级上·河南郑州·期中）劈开太行千重障，暂把河山重安排．60多年前．十万开山者在太行山脉的
绝壁上凿壁穿石，历经十年，修筑红旗渠，留下“自力更生、艰苦创业、团结协作、无私奉献”的红旗渠精神．
小明珍藏了四枚由国家邮政局发行的《红旗渠》特种邮票，上面分别绘有“愚公移山”“青年洞”“桃园桥”和
“人间天河”的图案．这些邮票除图案外，质地、规格、背面图案完全相同．初中毕业之际，他想把心爱的邮票
送给好朋友小亮两枚，于是将这些邮票背面朝上，让小亮随机抽取，则小亮抽到的邮票正好是“愚公移山”和
“人间天河”的概率是（ ）A． B． C． D．
18．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）从 ，2，3，4这四个数中随机抽取两个不同的数，分别记作a和b．
若点A的坐标记作 ，则点A在函数 上的概率是（ ）
A． B． C． D．
19．（24-25九年级上·山东青岛·期中）在一个不透明的袋子里装有一个红球和一个黄球，它们除颜色外都相同．
随机从中摸出一球，记下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，两次都摸到黄球的概率是（ ）
A． B． C． D．
20．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转
盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率是（ ）
A． B． C． D．
21．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．
某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙不是从同一节车厢上车的概率是（ ）
A． B． C． D．
22．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）在“践行生态文明，你我一起行动”主题有奖竞赛活动中，九（1）班共设
置“生态知识、生态技能、生态习惯、生态文化”四个类别的竞赛内容，如果参赛同学抽到每一类别的可能性相
同，那么小宇和小丽参赛时都抽到“生态知识”的概率是（ ）
A． B． C． D．
23．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）中国古代数学在世界数学史上占有重要地位，其成就辉煌，影响深远．
《九章算术》、《周髀算经》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要名著．实验中学拟从这4部
数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》的概率为（ ）A． B． ． C． D．
24．（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分
别落在某两个数所表示的区域，则这两个数的和是2的倍数或是3的倍数的概率等于（ ）
A． B． C． D．
25．（2024·山西·模拟预测）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，从这五个点中随机选择三个
点，则经过这三个点能够画出圆的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
26．（24-25九年级上·山西运城·期中）某市体育中考内容有三项，对于男生的要求是：必考项目是1000米跑；选
考项目：从立定跳远、一分钟跳绳、引体向上、实心球这四项中选择两项．则男生小李选择立定跳远和一分钟跳
绳的概率为 ．
27．（24-25九年级上·重庆·期中）重庆因魔幻建筑被网友称为“8D魔幻城市”，小成和小都打算2025年元旦分
别从洪崖洞、李子坝、磁器口、解放碑四个景点选择一个景点一日游，小成和小都选择了同一个景点的概率为
．
28．（2024九年级上·全国·专题练习）五边形的顶点A有一个跳蚤机器人，它每跳1步可以等概率地跳到相邻的顶
点．顶点C有一个陷阱，机器人跳到C就会触发毁灭程序．机器人跳4步仍未毁灭的概率为 %．29．（24-25九年级上·重庆·期中）有5个外观完全相同且密封不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸、稀盐酸、氯化
钠、碳酸钠和氢氧化钠五种溶液，小星从这5个试剂瓶中任意抽取2个，则抽到的2个都是酸性溶液（稀硫酸溶液、
稀盐酸溶液）的概率是 ．
30．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）四张相同的卡片上分别写有数字 ， ，2，4，将卡片的背面向上洗
匀后从中任意抽1张，并将卡片上数字记为k，再从余下的卡片中任意抽1张，并将卡片上数字记为b，则一次函
数 的图像经过第二、三、四象限的概率为 ．
三、解答题
31．（24-25九年级上·江苏南通·期中）我市某校组织九年级学生开展以“讲好红色故事，传承红色基因”为主题
的研学活动，策划了三条研学线路供学生选择：A苏中七战七捷纪念馆，B韩国钧故居，C烈士陵园，每名学生只
能任意选择一条线路．
(1)小强选择线路A的概率为__________；
(2)请用画树状图或列表的方法，求小强和小丽选择同一线路的概率．
32．（24-25九年级上·浙江温州·期中）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中
国第五大发明“．小李同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将A（小雪）、B（寒露）、C（秋分）、D（立
秋）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀．
(1)小李从中随机抽取一张邮票，抽中是B（寒露）的概率是 ．
(2)小李先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票．请用树状图或
列表的办法求小李两次抽取的邮票中至少有一张是D（立秋）的概率．33．（24-25九年级上·山西运城·期中）游戏是生活中有趣味的社交活动，是人类终身不可缺少的伴侣，更是家庭
欢乐的源泉．小刚父亲和小刚二叔玩一种游戏，游戏规则：两人只可以说出“木棒”、“老虎”、“公鸡”、
“小虫”中的任何一个，同时各说出一个后定胜负，其中“木棒”胜“老虎”、“老虎”胜“公鸡”、“公鸡”
胜“小虫”、“小虫”胜“木棒”．其它情况，则为平局．例如，小刚父亲说“老虎”，小刚二叔说“公鸡”，
则小刚父亲胜；又如，两人同时说“虫子”，则为平局；再如，一人说“公鸡”，一人说“木棒”，则为平局．
(1)每一次小刚父亲说出“老虎”的概率是_____；
(2)如果用 ， ， ， 分别表示小刚父亲说的“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”；用 ， ， ，
分别表示小刚二叔说的“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”，那么某一次说出时小刚父亲胜小刚二叔的
概率是多少？用列表法或画树状图法加以说明；
(3)你认为这个游戏对小刚父亲和小刚二叔公平吗？为什么？
34．（24-25九年级上·广东深圳·期中）10月8日，麒麟中学“第二十四届科技节”隆重开幕，当天举行了丰富多
彩的活动，A．三阶6面魔方挑战赛；B．科技知识竞赛；C．环保调查；D．自制地球仪；E．机器人编程挑战赛．
为了解学生对这五类活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根
据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示．
AI
根据上述信息，解决下列问题．
(1)本次调查总人数为______，并补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
(2)我校有2700名学生，请估计该校参加环保调查的学生人数；
(3)该校从C类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市环保调查，请用列表或
画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
35．（24-25九年级上·广东佛山·期中）量子计算原型机“九章”求解数学算法高斯玻色取样的速算只需200秒，
这一突破使我国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家，牢固确立了我国在国际量子计算研究领域的领先地
位．为了解初中学生对量子计算的知晓情况，某数学兴趣小组在本校学生中开展了专题调查活动，随机抽取了部
分学生进行问卷调查，根据学生的答题情况，将结果分为A，B，C，D四类，分别表示“非常了解”“比较了解”“基本了解”“不太了解”，数据整理如下：
等级
人数（人）
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)若该校共有初中学生3000名，请你估计该校初中学生对量子计算“非常了解”的人数；
(2)学校准备从非常了解量子计算的四位同学（3男1女）中选2位同学参加知识问答竞赛，请利用画树状图或列表
的方法，求恰好选中一男一女的概率．
36．（24-25九年级上·广东清远·期中）3月14日是国际数学日，某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数
学活动，其中游戏类活动有：A．数字猜谜；B．数独；C．魔方；D．24点游戏；E．数字华容道．该校为了解学
生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调
查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示．
根据上述信息，解决下列问题．
(1)本次调查总人数为______，并补全条形统计图；（要求在条形图上方注明人数）
(2)若该校有2000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数；
(3)该校从 类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用
列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
