文档内容
专题 05 直线和圆的位置关系重难点题型专训
（2个知识点+13大题型+5拓展训练+自我检测）
题型一 判断直线和圆的位置关系
题型二 有关切线的概念辨析
题型三 切线的判定与性质定理
题型四 应用切线长定理求解
题型五 根据直线和圆的位置关系求半径的取值范围
题型六 根据直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离
题型七 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离
题型八 求直线平移到与圆相切时运动的距离
题型九 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系
题型十 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系
题型十一 圆和圆的位置关系
题型十二 尺规作图一一过圆外一点作圆的切线
题型十三 三角形内心有关应用
拓展训练一 直线与圆的位置关系综合
拓展训练二 三角形内切圆与外接圆综合
拓展训练三 切线的性质和判定的综合应用
拓展训练四 圆外切四边形模型
拓展训练五 圆的综合问题
知识点一、直线和圆的位置关系
1. 设 的半径为 ，圆心 到直线 的距离为 ，则直线和圆的位置关系如下表：
位置关系 图形 定义 性质及判定
r O
相离 直线与圆没有公共点 直线 与 相离
d l
r 直线与圆有唯一公共点，直线叫做
相切 O 直线 与 相切
d l 圆的切线，公共点叫做切点r 直线与圆有两个公共点，直线叫做
相交 O 直线 与 相交
d
l 圆的割线
从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：
直线和圆的位置关系 相交 相切 相离
公共点个数
圆心到直线的距离 与半径 的关系
公共点名称 交点 切点 —
直线名称 割线 切线 —
【即时训练】
1．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）若 的半径为5，圆心到一条直线的距离为2.5，则这条直线是
（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·福建福州·期末）“日出江花红胜火，春来江水绿如蓝”，如图记录的日出美景中，
太阳与海天边隙线可看成圆与直线，它们的位置关系是 ．
知识点二、切线的判定与性质
（1）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
点拨：切线必须满足两个条件：（1）经过半径的外端；（2）垂直于这条半径，两个条件缺一不可。
（2）性质定理：圆的切线垂直于过点的半径。
拓展
推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
②经过切点且垂直到切线的直线必经过圆心。圆的切线性质定理与它的两个推论涉及一条直线满足的三个条件：（1）垂直于切线；（2）过切点；
（3）过圆心，如果一条直线满足于以上三个条件中的任意两个，那么它一定满足另外一个条件，也可理
解为“二推一”。
知识点二 三角形的内切圆
（1）有关概念：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的
交点，叫作三角形的内心。
（2）三角形内心的性质：三角形的内心到三条边的距离相等。
点拨：
（1）设直角三角形的两条直角边长为 斜边长为c，则它的内切圆半径 ；
（2）三角形的顶点到其所在两边上的内切圆切点的距离相等；
（3）三角形的周长与内切圆半径乘积的一半等于这个三角形的面积，即 其中 为
的内切圆半径， 分别为 的三边长。
（3）切线长
（1）定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长。
（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条
切线的夹角。
点拨：切线长定理包括线段相等和角相等的两个结论及垂直关系等。
（4）多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，该多边形叫做圆的外切多边形．
总结：【即时训练】
1．（2025·浙江台州·模拟预测）如图， 是 的直径， 切 于点 ，连结 ， ，若
，则 的 度 数 为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）用文字语言写出圆的切线的性质定理：
【经典例题一 判断直线和圆的位置关系】
【例1】（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为2，则反映直线l
与⊙O位置关系的图形（ ）A． B．
C． D．
1．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图， 为等边三角形 的高，点 在 的延长线上，
且 ， ， 的半径为 ，若将 绕点 按顺时针方向旋转 ，在旋转过程中， 与等
边三角形 的边只有一个公共点的情况一共出现（ ）
A． 次 B． 次 C． 次 D． 次
2．（24-25九年级上·江西南昌·期中） 的直径为 ，若圆心O与直线l的距离为 ，则l与
的位置关系是 （填“相交”、“相切”或“相离”）．
3．（24-25九年级上·河北·期中）如图， 在矩形 中， ， ， 是以 为直径的圆，
则直线 与 的位置关系是 ．
4．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知： 中， ，以点C为
圆心，作半径为 的圆.问：
(1)当R为何值时， 和直线 相离？
(2)当R为何值时， 和直线 相切？
(3)当R为何值时， 和直线 相交？【经典例题二 有关切线的概念辨析】
【例2】（24-25九年级上·江苏泰州·期中）下列命题中，真命题是（ ）
A．三点确定一个圆
B．三角形的重心到三个顶点的距离相等
C．等弧所对的圆心角相等
D．经过圆上一点的直线是圆的切线
1．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，在四边形 中， ， ， 为
的中点，以点 为圆心、 长为半径作圆，恰好点 在 上，连接 ，若 ，下列说法中
不正确的是( )
A．D是劣弧BE的中点 B．CD是⊙O的切线 C．AE // OD D．∠DOB=∠EAD
2．（24-25九年级·福建福州·阶段练习）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的 ．
3．（2025·浙江·模拟预测）如图，以 边 为直径作 交 于点 ， 恰好是 的切线，
为切点，连接 ．若 ，则 的度数为 ．
4．（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知点A在 上，用尺规按下列要求画图：(1)在图①中画出点P，使 是 的直径；
(2)在图②中画出点Q，使 是 的切线．（要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）
【经典例题三 切线的判定与性质定理】
【例3】（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图， ， 是 的切线，A，C为切点，若 是
的直径，且 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
1．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图， 切 于点C， 交 于点P，且 为 的直径，
点Q是 上异于点B、P的一点．若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图， 与 相切于点 ，连接 并延长交 于点 ，连接
．若 ，则 的度数为 ．3．（2025九年级上·江苏南京·模拟预测）如图，两个同心圆 O，小圆的半径为 1，大圆的半径为 ，点
A 为小圆上的动点，P、Q 是大圆上的两个动点，且 ，则 的长的最大值是 ．
4．（25-26九年级上·福建福州·期中） 内接于 ，直径 平分 分别交 和 于E、F，
(1)如图1，求证： ；
(2)若 交 于D，连接 并延长到G， 平分 交 于H，
①如图2，若G正好在 的延长线上， ，试用含m的式子表示 ；
②若四边形 的外角平分线 也是 的切线， ，请在图3中画出符合条件的草图，
并求 的半径．
【经典例题四 应用切线长定理求解】【例4】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图， 、 、 是⊙ 的切线，切点分别是 ， ，
．若 ， ，则 的长是（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1.5
1．（24-25九年级上·江西南昌·期末）如图， 是 的内切圆，切点分别是 ，
则 的周长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
2．（24-25九年级上·江西南昌·期末）如图， 是 的内切圆，切点分别为D，E，F．若 ，
，则 的周长为 ．
3．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，过点A作 的切线 ， ，切点分别是 ， ，连接
．过 上一点D作的 切线，交 ， 于点E，F．若 ， 的周长为2，则 的长为 ．
4．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点
D，点Q为 延长线上一点，延长 交 于点P，连接 ， ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 时，求 的长．
【经典例题五 根据直线和圆的位置关系求半径的取值范围】
【例5】（2025·河北石家庄·模拟预测）在Rt ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．点O为边AB上
一点（不与A重合）⊙O是以点O为圆心，A△O为半径的圆．当⊙O与三角形边的交点个数为3时，则OA
的范围（ ）
A．0＜OA≤ 或2.5≤OA＜5 B．0＜OA 或OA＝2.5
C．OA＝2.5 D．OA＝2.5或
1．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）四个半径为5的等圆与直线 的位置关系如图所示，若某个圆上的点到直线 的最大距离为8，则这个圆可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，直线 ，垂足为H，点P在直线b上， ，点O在线
段 上，若以点O为圆心， 长为半径的圆与直线a相交，则 的取值范围为 ．
3．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期末）如图，平行四边形 中， ， ， ，点
在边 上运动以 为圆心， 为半径作 ，若 与平行四边形 的边有四个公共点，则 的长
度满足条件是 ．
4．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知在矩形 中， ， ，以点 为圆心， 为半径作
，
(1)当半径 为何值时， 与直线 相切；(2)当半径 为何值时， 与直线 相切；
(3)当半径 的取值范围为何值时， 与直线 相交且与直线 相离．
【经典例题六 根据直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】
【例6】（2025·天津滨海新·模拟预测） 的直径为 ，直线l与 相交，圆心O到l的距离为d，下列
结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
1．（24-25九年级上·河北·阶段练习）已知圆 的半径为6.点 到某条直线的距离为8，则这条直线可以是
（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图， 的半径为 ，直线 与 相离，过点 作 于
点 ，垂足为 ，且 ，点 是 上一动点，过点 作 于点 ，垂足为 ，则 的最
大值是 ．3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，直线 与 ， 轴分别交于A，B两点，C是以D(2，
0)为圆心， 为半径的圆上一动点，连接AC，BC，则△ABC的面积的最大值是 平方单位．
4．（24-25九年级上·吉林白山·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=10cm，P为
BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以 cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．
设点Q运动的时间为t秒．
（1）当t=2.5s时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由．
（2）已知⊙O为Rt△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值．
【经典例题七 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】
【例7】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系 中，点P的坐标为 ，
以点P为圆心，2为半径的 以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当 与y轴相切时，t的值为（ ）
A． B．1 C． 或 D．1或3
1．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图， 中， ， ， ，半径为 的 与 ，
相切，当 沿边 平移至与 相切时，则 平移的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OA=4cm，∠AOC=30°，
且点A也在半径为1cm的⊙P上，点P在直线AB上，⊙P以1cm/s的速度从点A出发向点B的方向运动
s时与直线CD相切．
3．（2025·江苏泰州·模拟预测）如图，直角坐标系中，⊙A的半径为3，点A的坐标为(﹣3，﹣4)，若将
⊙A沿y轴方向平移，平移后，使⊙A上只有3个点到x轴的距离为2，则平移后点A的坐标为 ．4．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在等腰 和等腰 中，
．
(1)求证 ；
(2)①如图1，点 在 上，猜想线段 与 的关系是________；
②把 绕直角顶点 旋转到图2的位置，①中的结论还成立吗？说明理由；
(3)把 绕点 在平面内转动一周，若 ， ， 、 交于点 时，连接 ，
试求 面积的最大值．
【经典例题八 求直线平移到与圆相切时运动的距离】
【例8】（2025·四川凉山·模拟预测）如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB
＝8cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移( )
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm1．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中， ⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于
点P(x，0)，且与x轴的正半轴夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x值的范围是( )
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）已知 的半径为 ，点 到直线 的距离 为 ．把直
线 向上平移 ，才能使 与 相切?
3．（24-25九年级上·福建南平·阶段练习）如图，直线 、 相交于点 ， ，半径为 的
圆的圆心P在直线 上，且与点 的距离为 ，若点 以 的速度由A向B的方向运动，当运动
时间 为 时， 与直线 相切．
4．（24-25九年级上·全国·期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为
（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，求平移的距离．【经典例题九 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】
【例9】（2025·山东滨州·模拟预测）如图，E、F、G、H四点分别在正方形 的四条边上，
．若 ， ，则 的内切圆半径为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
1．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在 中， ， 为中线，若 ， ，
设 与 的内切圆半径分别为 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·天津南开·期末）如图，已知 是 的内切圆，切点分别为D，E，F，若
， ，且 的面积为6，则内切圆的半径r为 ．3．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，正方形 的边长是 ，，E是 边的中点．将该正方
形沿 折叠，点C落在点 处， 分别与 ， ， 相切，切点分别为F、G、H，则 的半径
为 ．
4．（24-25九年级上·河南漯河·期中）已知，如图，在 中， ，请根据下列要求解决问题：
(1)利用尺规作出 的内切圆 ；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若 ，内切圆 的半径为1，求 的周长．
【经典例题十 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系】
【例10】（24-25九年级上·天津·期中）如图为 的内切圆，点D，E分别为边 ， 上的点，且
为 的切线，若 的周长为21， 边的长为6，则 的周长为（ ）A．15 B．9 C．7.5 D．7
1．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，在矩形 中， ， ，点 、 分别是 、
的中点，点 在线段 上， 内切圆半径的最大值是( )
A．1 B． C． D．
2．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图， 中， ， ， 是边 上的
高， ， 分别是 ， 的内切圆，则 与 的面积比为 ．
3．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）如图，已知F是平行四边形ABCD的边DC中点，若三角形EFC，
ABE，AFD的面积分别为3平方厘米，4平方厘米，5平方厘米，平行四边形ABCD的面积是整数．则三
角形AEF的面积为 ．4．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图， 为 的内切圆，切点分别为 ，点 分别
为 上的点，且 为 的切线．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ，求 的周长．
【经典例题十一 圆和圆的位置关系】
【例11】（2025·浙江·模拟预测）如图，某城市公园的雕塑是由3个直径为 的圆两两相垒立在水平的地
面上，则雕塑的最高点到地面的距离为（ ） ．
A． B． C． D．
1．（2025·江西抚州·模拟预测）图1中的圆与正方形各边都相切，设这个圆的面积为 ；图2中的四个圆
半径相等，并依次外切，且与正方形边相切，设这四个圆的面积之和为 ；图3中的九个圆半径相等，并
依次外切，且与正方形边相切，设这九个圆的面积之和为 ；……．如果正方形的边长相等，那么和 具有怎样的大小关系（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25九年级上·四川·期末）如图， 、 的直径分别为 、 ，圆心距为 ，如果 由
图示位置沿直线 向右平移 ，则此时该圆与 的位置关系 ．
3．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在 中， ， ， ，如果以 为
直径的圆 与以 为圆心、 为半径的圆 相交，那么 的取值范围是 ．
4．（2025·福建·模拟预测）情境：某工厂需从一块长 、宽 的矩形铁片上剪出两个半径相同的
圆，要求两圆不重叠且不超出铁片边缘．
(1)任务1：如图1，两圆沿矩形铁片长边并排排列，直接写出圆的最大半径；(2)任务2：如图2， 是矩形 的对角线，圆 和圆 分别是 和 的内切圆，圆 与
分别切于 三点，圆 与 分别切于 两点，求圆 的半径；
(3)任务3：观察图2可以发现，两圆之间以及两圆与矩形铁片边缘之间仍存在可供优化布局的余量，任务
2的圆可能不是最大．在保证两圆不重叠且不超出铁片边缘的前提下，能否剪出比任务2更大的圆？如果
可以请求出最大半径，如果不能请说明理由．
【经典例题十二 尺规作图一一过圆外一点作圆的切线】
【例12】（24-25九年级上·河北石家庄·期末）已知 是 外一点，用直尺和圆规过点 作 的切线．
以下是甲、乙两人的作法：
下列判断正确的是（ ）
甲：①如图1，连接 ，以 乙：①如图2，连接 ，交 于点 ．
为直径作圆，交 于 ， 两 以点 为圆心， 为半径画弧，交 于
点． 点 ．
②连接 ， ， ， 就是
②连接 ， 就是 的切线．
的切线．
A．甲、乙的作法都正确 B．甲、乙的作法都错误
C．甲的作法错误，乙的作法正确 D．甲的作法正确，乙的作法错误
1．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）以下是“用尺规过圆外一点作圆的切线”的作图过程：
已知：如图， 及 外一点 ．
作法： 连结 ，作线段 的垂直平分线 交 于点 ；以点 为圆心， 的长为半径作圆，交 于点 、点 ；
作直线 ， ．
说明：连结 ．
∵以点 为圆心， 的长为半径作圆，∴ 为 的直径，∴ °．
∵ 为半径，∴ 为 的 ，且 （填“ ”、“ ”或“ ”）．
2．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）已知： 和 外一点 ．
尺规作图：在图中，过 点作 的两条切线 、 ， 、 为切点（要求：两种方法保留作图痕迹，
写出简单作法）．
3．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，已知 ，用不含刻度的直尺和圆规作图．要求：不写作图步
骤，写出必要的文字说明．
(1)作出 所在圆的圆心O；
(2)过点P作圆O的一条切线．
4．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知 是 的弦．(1)如图①，只用无刻度的直尺作弦 ，使 ；
(2)如图②，点Q是圆外一点，用无刻度的直尺和圆规过Q点作弦 ．
【经典例题十三 三角形内心有关应用】
【例13】（2025九年级上·全国·专题练习）如图， 内接于 ， 是 的直径， ，点
是 的内心， 的延长线交 于点 ，连接 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
1．（24-25九年级上·江西南昌·期末）根据下图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定 内心的是
（ ）
A． B．C． D．
2．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，已知 中， ， ，点I是 的内
心，点 O为 的外心，则 的内心I与外心O的距离 ．
3．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图， 是 的外接圆， 是 的直径，I为
的内心，连接 ， ， ，且 ．若 ，则 的长为 ．
4．（2025·山东济宁·模拟预测）如何仅用圆规和无刻度的直尺过圆外一点作已知圆的切线呢？请同学们阅
读下面的分析：如图1，如果 与 相切于点 ，那么 ，即 ，根据“圆周角定理
的推论： 的圆周角所对的弦是直径”可以得出：点 既在 上，也在以 为直径的圆上，是两圆的
公共点．
(1)请根据上面的分析在图2中完成尺规作图：用圆规和无刻度的直尺先找出线段 的中点 ，然后画以
点 为圆心，以 为半径的圆就可以确定切点的位置，切点分别记为 、 ，画出直线 和 ，即为经过圆外一点 的 的两条切线；
(2)在（1）的条件下，若 的直径 与 交于点 ，连接 、 、 ．求证：点 是 的内
心．
【拓展训练一 直线与圆的位置关系综合】
1．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图， ，点M在 上，且 ，以点M为圆心，
r为半径画圆，试讨论r的大小与所画的圆和射线 的公共点个数之间的对应关系．
2．（24-25九年级上·山东济宁·期中）对于平面直角坐标系xOy中的点P和 ，给出如下定义：如果
的半径为r， 外一点P到 的切线长小于或等于2r，那么点P叫做 的“离心点”．
（1）当 的半径为1时，
①在点 中， 的“离心点”是_____________；
②点P(m，n)在直线 上，且点P是 的“离心点”，求点P横坐标m的取值范围；
（2） 的圆心C在y轴上，半径为2，直线 与x轴．y轴分别交于点A、B．如果线段AB
上的所有点都是 的“离心点”，请直接写出圆心C纵坐标的取值范围．
3．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图1，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠B＝90°，AD边落在平面直角坐标系的x轴上，且点A（5，0）、C（0，3）、AD＝2．点P从点E（﹣5，0）出发，沿x轴向点A
以每秒1个单位长度的速度运动，到达点A时停止运动．运动时间为t秒．
（1）∠BCD的度数为______°.
（2）当t＝_____时， PCD为等腰三角形.
（3）如图2，以点P为△圆心，PC为半径作⊙P．
①求当t为何值时，⊙P与四边形ABCD的一边（或边所在的直线）相切.
②当t______时，⊙P与四边形ABCD的交点有两个；当t_____时，⊙P与四边形ABCD的交点有三个．
【拓展训练二 三角形内切圆与外接圆综合】
1．（2025·江苏泰州·模拟预测）如图，点 是 的内心，点 是 的外心．
(1)请仅用没有刻度的直尺在 上一个点 ，使得 ．
(2)试判断点 是图中哪三个点构成的三角形的外心，并说明理由．（如需画草图，请使用图2）
2．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图 内接于 ， ， 是 的直径，点 是延长线上一点，且 ， ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)求 的直径；
(3)当点B在 下方运动时，直接写出 内心的运动路线长是 ．
3．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，I是 的内心， 的延长线交 的外接圆于点D．
(1)求证： ；
(2)求证： ；
(3)连接 、 ，求证：点D是 的外心．
【拓展训练三 切线的性质和判定的综合应用】
1．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图， 为 的切线，A为切点，连接 ，过点A作 ，垂足
为C，交 于点B，连接 ，求证： 为 的切线．2．（2025·甘肃平凉·模拟预测）古希腊数学家欧几里得创作的数学著作《几何原本》中记载了一个有关圆
的定理，如图，已知 是圆 的直径，请你根据以下步骤完成这个定理的作图过程．
(1)尺规作图；（保留作图痕迹，不写作法）
①过点 作圆 的切线 ；（点 在点 左侧）
②从切点 作圆 的弦 ，点 在 右侧，连接 ；（点 不与点 重合）
(2)根据（1）中所作的图形，直接写出 与 的数量关系．
3．（2025·山东·模拟预测）如图， 是 的直径，B、C都是 上的点，连接 ，E
是 延长线上一点，连接 ，且 ．
(1)证明： 是 的切线；(2)连接 ，交 于点F．当 时，若 ，求 的长．
【拓展训练四 圆外切四边形模型】
1．（2025九年级·全国·专题练习）如图所示，已知 的外切等腰梯形 ， ，梯
形中位线为 ，求证： .
2．（2025·四川成都·模拟预测）如图，小明家有一圆形花园 记作 ，他准备在花园的内部，内接四边
形 的外部进行绿化 图中的阴影部分 ，并在四边形 内部建一个最大的圆形鱼池，且
， ．
(1)求花园绿化部分的面积；
(2)请用尺规作图作出圆形鱼池的圆心，并求出其半径．
3．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图①，甲，乙都是高为6米的长方体容器，容器甲的底面 是正方
形，容器乙的底面 是矩形．如图②，已知正方形 与矩形 满足如下条件：正方形
外切于一个半径为5米的圆 ，矩形 内接于这个圆 ， ．
（1）求容器甲，乙的容积分别为多少立方米？（2）现在我们分别向容器甲，乙同时持续注水（注水前两个容器是空的），一开始注水流量均为25立方
米/小时，4小时后．把容器甲的注水流量增加 立方米/小时，同时保持容器乙的注水流量不变，继续注水
2小时后，把容器甲的注水流量再一次增加50立方米/小时，同时容器乙的注水流量仍旧保持不变．直到两
个容器的水位高度相同，停止注水．在整个注水过程中，当注水时间为 时，我们把容器甲的水位高度记
为 ，容器乙的水位高度记为 ，设 ，已知 （米）关于注水时间 （小时）的函数图像如图
③所示，其中 平行于横轴．根据图中所给信息，解决下列问题：
①求 的值；
②求图③中线段 所在直线的解析式．
【拓展训练五 圆的综合问题】
1．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）点 ， ， 在 上，将 沿 折叠后，与 交于 ．(1)若 ，求 的度数．
(2)如图，点 恰是翻折所 得的中点，若 ，求 的度数．
2．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图1，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，BD和过点C的切
线互相垂直，垂足为E．
(1)求证：BC平分∠DBA；
(2)如图2，连接AC，当BD＝3，AC＝ 时，求⊙O的半径．
3．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x
轴交于点O、M．对称轴为直线x=2，以OM为直径作圆A，以OM的长为边长作菱形ABCD，且点B、C
在第四象限，点C在抛物线对称轴上，点D在y轴负半轴上；（1）求证：4a+b=0；
（2）若圆A与线段AB的交点为E，试判断直线DE与圆A的位置关系，并说明你的理由；
（3）若抛物线顶点P在菱形ABCD的内部且∠OPM为锐角时，求a的取值范围．
1．（24-25九年级上·河北·期末）已知 分别是 的半径，d是两圆的圆心距，当 时，
两圆（ ）
A．外切 B．内切 C．外离或内含 D．相交
2．（2025九年级上·山东·专题练习）直线 与半径为 的 相交，且点 到直线 的距离为 ，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，P为 外一点， ， ， 分别切 于A，B，C三点，
且切线 分别交 ， 于点M，N．若 ，则 的周长为（ ）
A．6 B．8 C． D．
4．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图， 是一张周长为 的三角形的纸片， ，是它的内切圆，小明准备用剪刀在 的右侧沿着与 相切的任意一条直线 剪下 ，则剪
下的三角形的周长为（ ）
A． B．
C． D．随直线 的变化而变化
5．（2025九年级上·全国·专题练习）如图， 表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C
表示射门点，连接 ，则 就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门
进球的可能性就越大．球员甲带球线路 与球门线 垂直，D为垂足，点C在 上，当 最大时
就是带球线路 上的最佳射门角．若 ，则球员甲在此次带球中获得最佳射门角时， 的
长度为（ ）
A．4 B．6 C． D．
6．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图， 是 的直径，P是 延长线上一点； 与 相
切于点C，若 ，则 °
7．（24-25九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图， 是 的内切圆，点D，E是切点， ，
，则 ．8．（24-25九年级上·江西南昌·期末）在下图中， 是 的直径，要使得直线 是 的切线，需要
添加的一个条件是 ．（写一个条件即可）
9．（24-25九年级上·山东泰安·期末）如图所示，在 的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位
长）， 的半径为1， 的半径为2，要使 与静止的 内切，那么 由图示位置需向右平移
个单位长.
10．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为5，弦AB的长为
6，过O作OC⊥AB于点C，⊙O内一点D的坐标为（﹣2，1），当弦AB绕O点顺时针旋转时，点D到
AB的距离的最小值是 ．11．（24-25九年级上·贵州黔西·期中）如图，已知O是 的内心，连接 ， ， ．若 内
切圆的半径为2， 的周长为12，求 的面积．
12．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）（1）如图，点B在 上，过点B作 的切线；
（2）如图，点D在 外，过点D作 的切线．
13．（25-26九年级上·天津和平·期中）已知 是 的直径， 是 的切线， ．(1)如图①，若 ，求直径 的长；
(2)如图②，点 是 上一点，若 ， 与 相交于点 ，过点 作弦 ，与 相
交于点 ，求 和直径 的长．
14．（24-25九年级上·全国·单元测试）实践探索题：在生产、生活中，我们会经常遇到捆扎圆柱管的问题．
下面，我们来探索捆扎时，所需要的绳子的长度(不计接头部分)与圆柱管的半径r之间的关系．
(1)当圆柱管的放置方式是“单层平放”时，截面如图所示：
请你完成下表：
圆柱管个数 1 2 3 ……
绳子长度 ……
(2)当圆柱管的放置方式是“两层叠放(每一个圆都和至少两个圆外切)”时，截面如图所示：
请你填写下表：
圆柱管个数 3 4 5 6 ……
绳子长度 ……15．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）[感知]如图①， 为等边 的外接圆． 为 的直径，线
段 与 交于点E，探究线段 的数量关系．
小明同学的做法是：过点C作 的垂线交 延长线于点F，连接 ．易证 ．进而得出
， ．则线段 的数量关系是：
______．
[探究]如图②，等腰三角形 中． ， 为 的外接圆，D为弧 上一点， 于
E，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立说明理由．
[应用]如图③， 是 的外接圆， 是直径， ．点D在 上，且点D与点C位于线段
两侧，过点C作线段 的垂线，交线段 于点E，若点E为 的三等分点，则 的值为______．
