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期末复习易错题（33 大题型 60 题）
范围：九年级全册
题型一．一元二次方程的解（共1小题）
1．已知x＝2是一元二次方程x2+bx﹣c＝0的解，则﹣4b+2c＝（ ）
A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4
【答案】A
【解答】解：由题意得：
把x＝2代入方程x2+bx﹣c＝0中，
22+2b﹣c＝0，
∴2b﹣c＝﹣4，
∴﹣4b+2c＝﹣2（2b﹣c）
＝﹣2×（﹣4）
＝8，
故选：A．
题型二．解一元二次方程-配方法（共1小题）
2．把一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0化成（x﹣m）2＝n的形式，则m+n的值为 1 4 ．
【答案】14
【解答】解：x2﹣4x﹣8＝0，
移项，得x2﹣4x＝8，
配方，得x2﹣4x+4＝8+4，
∴（x﹣2）2＝12，
∴m＝2，n＝12，
∴m+n＝2+12＝14，
故答案为：14．
题型三．根的判别式（共2小题）
3．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2−4ac=(2ax +b) 2
0 0⑤存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c；
其中正确的（ ）
A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③
【答案】B
【解答】解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确；
②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝0﹣4ac＞0，
∴﹣4ac＞0，
则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
则ac2+bc+c＝0，
∴c（ac+b+1）＝0，
若c＝0，等式仍然成立，
但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；
④若x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
0
则由求根公式可得：
−b+❑√b2−4ac −b−❑√b2−4ac
x = 或x =
0 0
2a 2a
∴2ax +b=❑√b2−4ac或2ax +b=−❑√b2−4ac
0 0
∴b2−4ac=(2ax +b) 2
0
故④正确．
⑤存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c成立；
∵由am2+bm+c＝an2+bn+c，
∴a（m2﹣n2）+b（m﹣n）＝0，
∴a（m﹣n）（m+n）+b（m﹣n）＝0，
即（m﹣n）[a（m+n）+b]＝0，
∵m≠n，∴a（m+n）+b＝0，
∴当a≠0时，存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c成立；
故⑤正确．
故选：B．
4．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为 ， ，且 +2 ＝5，求m的值．
【答案】（1）证明：∵a＝1，b＝α﹣2β，c＝﹣α 3mβ 2，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1•（﹣3m2）
＝4+12m2＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）±1．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3m2，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1•（﹣3m2）
＝4+12m2＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意得：
{α+β=2
)
，
α+2β=5
{α=−1)
解得： ，
β=3
∵ ＝﹣3m2，
∴α﹣β3m2＝﹣3，
∴m＝±1，
∴m的值为±1．
题型四．根与系数的关系（共2小题）
5．已知x ，x 是关于x的一元二次方程x2﹣2（t+1）x+t2+5＝0的两个实数根，若x2+x2=
1 2 1 2
36，则t的值是（ ）
A．﹣7或3 B．﹣7 C．3 D．﹣3或7
【答案】C
【解答】解：∵x ，x 是关于x的一元二次方程x2﹣2（t+1）x+t2+5＝0的两个实数根，
1 2∴x +x ＝2（t+1）＝2t+2，x x ＝t2+5，
1 2 1 2
Δ＝[﹣2（t+1）]2﹣4（t2+5）≥0，
解得：t≥2，
∵x2+x2=36，
1 2
∴（x +x ）2﹣2x x ＝36，
1 2 1 2
（2t+2）2﹣2（t2+5）＝36，
解得：t＝3或t＝﹣7，
故t的值只能为3．
故选：C．
1 1
6．x2﹣4x﹣2＝0的两根分别为m、n，则 + = ﹣ 2 ．
m n
【答案】﹣2．
【解答】解：由题意，根据根与系数的关系可得，
m+n＝4，mn＝﹣2．
1 1 m+n
又 + = ，
m n mn
1 1 4
∴ + = =−2．
m n −2
题型五．由实际问题抽象出一元二次方程（共1小题）
7．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份
平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．50（1+x）2＝182
B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182
C．50（1+2x）＝182
D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182
【答案】B
【解答】解：依题意得五、六月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，
∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝182．
故选：B．
题型六．一元二次方程的应用（共1小题）
8．某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．
（1）若售价下降1元，每月能售出 800 个台灯，若售价下降x元（x＞0），每月
能售出 （ 600+20 0 x ） 个台灯．
（2）为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预
计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价．
（3）月获利能否达到9600元，说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）若售价下降1元，每月能售出：600+200＝800（个），
若售价下降x元（x＞0），每月能售出（600+200x）个．
故答案为800，（600+200x）
（2）（40﹣30﹣x）（600+200x）＝8400
整理，得
x2﹣7x+12＝0
解得x ＝3，x ＝4，
1 2
因为库存1210个，降价3元或4元获利恰好为8400元，
但是实际销量要够卖，需小于等于1210个，
当x＝4时，1400＞1210（舍去）
当x＝3时，1200＜1210，可取，
所以售价为37元
答：每个台灯的售价为37元．
（3）月获利不能达到9600元，理由如下：
（40﹣30﹣x）（600+200x）＝9600
整理，得
x2﹣7x+18＝0
∵Δ＝49﹣72＝﹣23＜0
方程无实数根．
答：月获利不能达到9600元．
题型七．反比例函数的图象（共1小题）
b
9．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与y= （其中a，b是常数，ab≠0）的大致
ax
图象是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：若a＞0，b＞0，
b
则y＝ax+b经过一、二、三象限，反比例函数y= （ab≠0）位于一、三象限，
ax
若a＞0，b＜0，
b
则y＝ax+b经过一、三、四象限，反比例函数y= （ab≠0）位于二、四象限，
ax
若a＜0，b＞0，
b
则y＝ax+b经过一、二、四象限，反比例函数y= （ab≠0）位于二、四象限，
ax
若a＜0，b＜0，
b
则y＝ax+b经过二、三、四象限，反比例函数y= （ab≠0）位于一、三象限，
ax
故选：A．
题型八．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
k
10．如图，已知点A在反比例函数y= （x＜0）上，作Rt△ABC，点D为斜边AC的中点，
x
连DB并延长交y轴于点E．若△BCE的面积为8，则k＝ 1 6 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵△BCE的面积为8，
1
∴ BC⋅OE=8，
2
∴BC•OE＝16，∵点D为斜边AC的中点，
∴BD＝DC，
∴∠DBC＝∠DCB＝∠EBO，
又∠EOB＝∠ABC，
∴△EOB∽△ABC，
BC AB
∴ = ，
OB OE
∴AB•OB＝BC•OE
∴k＝AB•BO＝BC•OE＝16．
故答案为：16．
题型九．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）
11．如图，已知点A在反比例函数图象上，AC⊥y轴于点C，点B在x轴的负半轴上，且
6
△ABC的面积为3，则该反比例函数的表达式为y=− ．
x
6
【答案】y=−
x
【解答】解：如图，连接AO，
k
设反比例函数的解析式为y= ．
x
∵AC⊥y轴于点C，
∴AC∥BO，
∴△AOC的面积＝△ABC的面积＝3，
1
又∵△AOC的面积= |k|，
2
1
∴ |k|＝3，
2
∴k＝±6；
又∵反比例函数的图象的一支位于第二象限，∴k＜0．
∴k＝﹣6．
6
∴这个反比例函数的解析式为y=− ．
x
6
故答案为：y=− ．
x
题型十．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
k
12．如图，正比例函数y ＝k x的图象与反比例函数y = 2的图象相交于A，B两点，其中
1 1 2
x
点A的横坐标为2，当y ＜y 时，x的取值范围是（ ）
1 2
A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞2
【答案】B
k
【解答】解：∵正比例函数y ＝k x的图象与反比例函数y = 2的图象相交于A、B两点，
1 1 2
x
∴A，B两点坐标关于原点对称，
∵点A的横坐标为2，
∴B点的横坐标为﹣2，
∵y ＜y
1 2
k
∴在第一和第三象限，正比例函数y ＝k x的图象在反比例函数y = 2的图象的下方，
1 1 2
x
∴x＜﹣2或0＜x＜2，故选：B．
题型十一．反比例函数的应用（共1小题）
13．小丽家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中
水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，
随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温
降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的
信息，解答问题：
（1）当0≤x≤10时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；
（2）求图中t的值；
（3）若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步70分钟回到家时，饮水机内
的温度约为多少℃？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）当0≤x≤10时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系为：
y＝kx+b，
{ b=20 )
依据题意，得 ，
10k+b=100
{k=8
)
解得： ，
b=20
∴此函数解析式为：y＝8x+20；
m
（2）当10≤x≤t，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：y= ，
x
m
依据题意，得：100= ，
10
即m＝1000，
1000
故y= ，
x1000
当y＝20时，20= ，
t
解得：t＝50；
（3）∵70﹣50＝20＞10，
1000
∴当x＝20时，y= =50，
20
答：小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的水的温度约为50℃．
题型十二．二次函数的图象（共2小题）
k
14．函数y= 与y＝﹣kx2+k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
x
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：解法一：由解析式y＝﹣kx2+k可得：抛物线对称轴x＝0；
A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得 k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、
抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误；
B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得 k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、
抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；
C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、
抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误；
D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、
抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误．
解法二：
①k＞0，双曲线在一、三象限，﹣k＜0，抛物线开口向下，顶点在y轴正半轴上，选项
B符合题意；
②K＜0时，双曲线在二、四象限，﹣k＞0，抛物线开口向上，顶点在y轴负半轴上，选项B符合题意；
故选：B．
15．已知一次函数y＝ax+c与y＝ax2+bx+c，它们在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：A、D中，由二次函数图象可知a的符号，与由一次函数的图象可知a的
符号，两者相矛盾，排除A、D；
一次函数y＝ax+c与y＝ax2+bx+c的图象都过点（0，c），排除B．
C正确，故选：C．
题型十三．二次函数的性质（共2小题）
16．已知二次函数y＝mx2﹣2mx+3（m为常数，且m≠0），当﹣1≤x≤2时，函数有最小
值2，则m的值是（ ）
1 1 1
A．1 B． C．1或 D．1或−
3 3 3
【答案】D
【解答】解：∵二次函数为y＝mx2﹣2mx+3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1．
∵当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为2，
∴①当m＞0时，x＝1时，y＝2，
则m﹣2m+3＝2，
解得m＝1．
②当m＜0时，
∵对称轴是直线x＝1，∴当x＝﹣1时，y取最小值＝2，
则m+2m+3＝2，
1
解得m=− ．
3
1
故m的值为1或− ，
3
故选：D．
17．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+4，其中a≠0．
（1）求该二次函数图象的对称轴；
（2）无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过A（x ，y ），B（x ，y ）两个定
1 1 2 2
点，其中x ＜x ，求x +2x 的值．
1 2 1 2
（3）若a＝1，当t﹣1≤x≤t时，该二次函数的最大值与最小值的差为2，求t的值．
1 5
【答案】（1）x＝1；（2）4；（3）t= 或t= ．
2 2
【解答】解：（1）由题意，∵二次函数为y＝ax2﹣2ax+4，
−2a
∴对称轴是直线x=− =1．
2a
（2）由题意得，y＝ax2﹣2ax+4＝a（x2﹣2x）+4，
∵无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过A（x ，y ），B（x ，y ）两个定点，
1 1 2 2
∴令x2﹣2x＝0，即x＝0或x＝2，则y＝4．
又∵x ＜x ，
1 2
∴x ＝0，x ＝2．
1 2
∴x +2x ＝0+2×2＝4．
1 2
（3）由题意得，当a＝1时，y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3．
∴当x＝1时，y取最小值为3；当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的
增大而增大；抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．
①当t≤1时，当x＝t﹣1时，y取最大值，y＝t2﹣4t+7；当x＝t时，y取最小值，y＝t2
﹣2t+4，
∴t2﹣4t+7﹣（t2﹣2t+4）＝2．
1
∴t= ．
2
②当t﹣1＜1＜t时，即1＜t＜2．
∴当x＝1时，y取最小值为3．又当x＝t﹣1时，y取最大值，y＝t2﹣4t+7或当x＝t时，y取最大值，y＝t2﹣2t+4，
∴t2﹣4t+7﹣3＝2或t2﹣2t+4﹣3＝2．
∴t＝2±❑√2（不合题意，舍去）或t＝1±❑√2（不合题意，舍去）．
③当t﹣1≥1时，即t≥2时，当x＝t﹣1时，y取最小值，y＝t2﹣4t+7；当x＝t时，y取
最大值，y＝t2﹣2t+4，
∴t2﹣2t+4﹣（t2﹣4t+7）＝2．
5
∴t= ．
2
1 5
综上，t= 或t= ．
2 2
题型十四．二次函数图象与系数的关系（共4小题）
18．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc
＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实
数）．其中正确结论的有（ ）
A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．③④⑤
【答案】B
【解答】解：①∵对称轴在y轴的右侧，
∴ab＜0，
由图象可知：c＞0，
∴abc＜0，
故①不正确；
②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴b﹣a＞c，
故②正确；
③由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，
故③正确；b
④∵x=− =1，
2a
∴b＝﹣2a，
∵a﹣b+c＜0，
∴a+2a+c＜0，
3a＜﹣c，
故④不正确；
⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），
故⑤正确．
故②③⑤正确．
故选：B．
1
19．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1．且过点（ ，0），有下列结论：
2
①abc＞0；②a﹣2b+4c＝0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣
b）；其中所有正确的结论是 ①③⑤ ．（填写正确结论的序号）
【答案】①③⑤
【解答】解：由抛物线的开口向下可得：a＜0，
根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a，b同号，所以b＜0，
根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0，
∴abc＞0，故①正确；
b
直线x＝﹣1是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以− =−1，可得b＝2a，
2a
a﹣2b+4c＝a﹣4a+4c＝﹣3a+4c，
∵a＜0，∴﹣3a＞0，
∴﹣3a+4c＞0，
即a﹣2b+4c＞0，故②错误；
1
∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1．且过点（ ，0），
2
5
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（− ，0），
2
5 5 5
当x=− 时，y＝0，即a(− ) 2− b+c=0，
2 2 2
整理得：25a﹣10b+4c＝0，故③正确；
∵b＝2a，
∴25a﹣20a+4c＝0，
5
∴5a+4c＝0，即c=− a；
4
∵b＝2a，a+b+c＜0，
1
∴ b+b+c＜0，
2
即3b+2c＜0，故④错误；
由二次函数的性质可知，当x＝﹣1时，y取最大值，
∴对任意﹣m的值，满足a﹣b+c≥am2﹣bm+c，
整理得，a﹣b≥m（am﹣b）；
故⑤正确；
故答案为：①③⑤．
5
20．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2− k（k为常数）．
2
（1）若抛物线经过点（1，k2），求k的值；
（2）若抛物线经过点（2k，y ）和点（2，y ），且y ＞y ，求k的取值范围；
1 2 1 2
（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的
3
函数有最小值− ，求k的值．
2
【答案】见试题解答内容
5
【解答】解：（1）把点（1，k2）代入抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2− k，得
25
k2＝12﹣2（k﹣1）+k2− k
2
2
解得k=
3
（2）方法一：数形结合，
对称轴为直线x＝k﹣1，
∵a＞0，
∴离对称轴越远，y值越大，
∴|2k﹣（k﹣1）|＞|k﹣1﹣2|，
解得k＞1；
方法二：代数法，
5
把点（2k，y ）代入抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2− k，得
1 2
5 3
y ＝（2k）2﹣2（k﹣1）•2k+k2− k＝k2+ k，
1 2 2
5
把点（2，y ）代入抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2− k，得
2 2
5 13
y ＝22﹣2（k﹣1）×2+k2− k＝k2− k+8，
2 2 2
∵y ＞y ，
1 2
3 13
∴k2+ k＞k2− k+8，
2 2
解得k＞1；
5
（3）抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2− k解析式配方得
2
1
y＝（x﹣k+1）2+（− k−1）
2
将抛物线向右平移1个单位长度得到新解析式为1
y＝（x﹣k）2+（− k−1）
2
当k＜1时，1≤x≤2对应的抛物线部分位于对称轴右侧，y随x的增大而增大，
1 5
∴x＝1时，y最小 ＝（1﹣k）2−
2
k﹣1＝k2−
2
k，
5 3 3
∴k2− k=− ，解得k ＝1，k =
2 2 1 2 2
都不合题意，舍去；
1
当1≤k≤2时，y最小 =−
2
k﹣1，
1 3
∴− k﹣1 =−
2 2
解得k＝1；
当k＞2时，1≤x≤2对应的抛物线部分位于对称轴左侧，y随x的增大而减小，
1 9
∴x＝2时，y最小 ＝（2﹣k）2−
2
k﹣1＝k2−
2
k+3，
9 3
∴k2− k+3=−
2 2
3
解得k ＝3，k = （舍去）
1 2 2
综上，k＝1或3．
21．已知抛物线y＝x2﹣4mx+2m+1，m为实数．
（1）如果该抛物线经过点（4，3），求此抛物线的顶点坐标．
（2）如果当2m﹣3≤x≤2m+1时，y的最大值为4，求m的值．
（3）点O（0，0），点A（1，0），如果该抛物线与线OA（不含端点）恰有一个交点，
求m的取值范围．
3 1
【答案】（1）（2，﹣1）；（2） 或﹣1；（3）m＞1或m＜− ．
2 2
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣4mx+2m+1经过点（4，3），
∴16﹣16m+2m+1＝3，
解得m＝1，
∴y＝x2﹣4x+3，
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴此抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；（2）∵y＝x2﹣4mx+2m+1＝（x﹣2m）2﹣4m2+2m+1；
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2m，
∵当2m﹣3≤x≤2m+1时，y的最大值为4，
∴当x＝2m﹣3时，y＝4，
∴（2m﹣3﹣2m）2﹣4m2+2m+1＝4，
整理得：2m2﹣m﹣3＝0，
3
∴m= 或m＝﹣1，
2
3
故m的值为 或﹣1；
2
（3）∵抛物线y＝x2﹣4mx+2m+1与线段OA恰有一个交点，
{ 2m+1＞0 ) { 2m+1＜0 )
∴ 或 ．
1−4m+2m+1＜0 1−4m+2m+1＞0
1
∴m＞1或m＜− ．
2
题型十五．二次函数图象上点的坐标特征（共3小题）
22．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）图象上三点A（﹣1，y ），B（2，y ）C（4，
1 2
y ），则y 、y 、y 的大小关系为（ ）
3 1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 1 3 1 3 2 3 1 2
【答案】D
【解答】解：y＝ax2﹣2ax+1（a＜0），
−2a
对称轴是直线x=− =1，
2a
即二次函数的开口向下，对称轴是直线x＝1，
即在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
A点关于直线x＝1的对称点是D（3，y ），
1
∵2＜3＜4，
∴y ＞y ＞y ，
2 1 3
故选：D．
23．若A（﹣1，y ），B（﹣5，y ），C（0，y ）为二次函数y＝x2+4x﹣m的图象上的三
1 2 3
点，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 1 3 2 3 1 2 2 1 3
【答案】B【解答】解：由题意，∵抛物线为y＝x2+4x﹣m＝（x+2）2﹣4﹣m，
∴抛物线的对称轴是直线x＝﹣2，且抛物线开口向上．
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．
∵A（﹣1，y ），B（﹣5，y ），C（0，y ），且﹣1﹣（﹣2）＝1＜0﹣（﹣2）＝2＜
1 2 3
﹣2﹣（﹣5）＝3，
∴y ＜y ＜y ．
1 3 2
故选：B．
24．在直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），若抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1与线段OA有且
只有一个公共点，则n的取值范围为 ﹣ 2 ≤ n ＜ 1 或 n ＝ 2 ．
【答案】﹣2≤n＜1或n＝2
【解答】解：∵点A的坐标为（3，0），抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1＝（x﹣1）2+n﹣2与线
段OA有且只有一个公共点，
{ n−1＜0 )
∴n﹣2＝0或 ，
32−2×3+n−1≥0
解得，﹣2≤n＜1或n＝2，
故答案为：﹣2≤n＜1或n＝2．
题型十六．二次函数图象与几何变换（共1小题）
25．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，
得到的抛物线的解析式是（ ）
A．y＝（x+2）2+2 B．y＝（x﹣2）2﹣2
C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x+2）2﹣2
【答案】B
【解答】解：将抛物线y＝x2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛
物线的解析式是y＝（x﹣2）2﹣4+2，即y＝（x﹣2）2﹣2．
故答案为：y＝（x﹣2）2﹣2．
故选：B．
题型十七．二次函数的最值（共1小题）
26．如图，已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值（
）A．﹣3和5 B．﹣4和5 C．﹣4和﹣3 D．﹣1和5
【答案】B
【解答】解：∵二次函数y＝（x+1）2﹣4，
对称轴是：x＝﹣1
∵a＝1＞0，
∴x＞﹣1时，y随x的增大而增大，x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
由图象可知：在﹣2≤x≤2内，x＝2时，y有最大值，y＝（2+1）2﹣4＝5，
x＝﹣1时y有最小值，是﹣4，
故选：B．
题型十八．待定系数法求二次函数解析式（共2小题）
27．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣2，5），对称轴为直线
1
x=− ．
2
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰
好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值；
9
（3）当﹣2≤x≤n时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为 ，求n的取值范
4
围．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意，∵二次函数为y＝x2+bx+c，
b 1
∴抛物线的对称轴为直线x=− =− ．
2 2
∴b＝1．
∴抛物线为y＝x2+x+c．又图象经过点A（﹣2，5），
∴4﹣2+c＝5．
∴c＝3．
∴抛物线为y＝x2+x+3．
（2）由题意，∵点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m个单位长度（m＞
0），
∴平移后的点为（1﹣m，9）．
又（1﹣m，9）在y＝x2+x+3，
∴9＝（1﹣m）2+（1﹣m）+3．
∴m＝4或m＝﹣1（舍去）．
∴m＝4．
1
（3）由题意，当 n＜− 时，
2
1 11 9
∴最大值与最小值的差为5−[(n+ ) 2+ ]= ．
2 4 4
1
∴n =n =− ，不符合题意，舍去．
1 2 2
1
当− ≤n≤1 时，
2
11 9
∴最大值与最小值的差为5− = ，符合题意．
4 4
1 11 11 9
当n＞1时，最大值与最小值的差为 (n+ ) 2+ − = ，解得 n ＝1 或 n ＝﹣2，
2 4 4 4 1 2
不符合题意．
1
综上所述，n的取值范围为− ≤n≤1．
2
28．在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，此时白球在
黑球前面70cm处．
小聪测量黑球减速后的运动速度v（单位：cm/s）、运动距离y（单位：cm）随运动时
间t（单位：s）变化的数据，整理得下表．运动时间t/s 0 1 2 3 4
运动速度v/ 10 9.5 9 8.5 8
cm/s
运动距离y/cm 0 9.75 19 27.75 36
小聪探究发现，黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，运动距离y与运
动时间t之间成二次函数关系．
（1）直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取
值范围）；
（2）当黑球减速后运动距离为64cm时，求它此时的运动速度；
（3）若白球一直以2cm/s的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说
明理由．
1 1
【答案】（1）v=− t+10；y=− t2+10t．（2）v＝6；
2 4
（3）黑球不会碰到白球．
{ n=10 )
【解答】解：（1）设v＝mt+n，将（0，10），（2，9）代入，得 ，
2m+n=9
{ m=− 1 )
解得， 2 ，
n=10
1
∴v=− t+10；
2
{
c=0
)
设y＝at2+bt+c，将（0，0），（2，19），（4，36）代入，得 4a+2b+c=19 ，
16a+4b+c=36
1
{ a=− )
4
解得 ，
b=10
c=0
1
∴y=− t2+10t．
4
1
（2）令y＝64，即− t2+10t＝64，
4
解得t＝8或t＝32，
当t＝8时，v＝6；当t＝32时，v＝﹣6（舍）；
（3）设黑白两球的距离为wcm，
根据题意可知，w＝70+2t﹣y
1
= t2﹣8t+70
4
1
= （t﹣16）2+6，
4
1
∵ ＞0，
4
∴当t＝16时，w的最小值为6，
∴黑白两球的最小距离为6cm，大于0，黑球不会碰到白球．
1
另解1：当w＝0时， t2﹣8t+70＝0，判定方程无解．
4
另解2：当黑球的速度减小到2cm/s时，如果黑球没有碰到白球，此后，速度低于白球
速度，不会碰到白球．先确定黑球速度为 2cm/s时，其运动时间为16s，再判断黑白两
球的运动距离之差小于70 cm．
题型十九．抛物线与x轴的交点（共2小题）
29．已知函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数 m的值为 1
4
或− ．
5
4
【答案】1或− ．
5
【解答】解：当m＝0时，y＝﹣1，与坐标轴只有一个交点，不符合题意．
当m≠0时，∵函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，
①过坐标原点，m﹣1＝0，m＝1，
②与x、y轴各一个交点，
∴Δ＝0，m≠0，
（3m）2﹣4m（m﹣1）＝0，
4
解得m＝0（舍去）或m=− ，
5
4
综上所述：m的值为1或− ．
5
30．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，且b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出
下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象
具有对称性，对称轴是直线x＝1；③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而
增大；④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；⑤当x＝1时，函数的最大值是4．
其中正确结论的个数是 4 ．
【答案】4
【解答】解：①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|，
∴①是正确的；
②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线 x＝1，因此②也是
正确的；
③根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，
因此③也是正确的；
④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1
或x＝3，因此④也是正确的；
⑤从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此
⑤是不正确的；
故答案为：4
题型二十．二次函数的应用（共7小题）
31．16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第
二级沿直线运行．
某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，
垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线 y＝ax2+x和直线y
1
=− x+b．其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级．
2
（1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km，
①直接写出a，b的值；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位
置之间的距离．
（2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①∵y＝ax2+x经过点（9，3.6），
∴81a+9＝3.6．
1
解得：a=− ．
15
1
∵y=− x+b经过点（9，3.6），
2
1
∴3.6=− ×9+b．
2
解得：b＝8.1；
1
②由①得：y=− x2+x
15
1 225 15
=− （x2﹣15x + ）+
15 4 4
1 15 15
=− （x− ）2+ （0≤x≤9）．
15 2 4
15
∴火箭运行的最高点是 km．
415
∴ −1.35＝2.4（km）．
4
1
∴2.4=− x2+x．
15
整理得：x2﹣15x+36＝0．
解得：x ＝12＞9（不合题意，舍去），x ＝3．
1 2
1
由①得：y=− x+8.1．
2
1
∴2.4=− x+8.1．
2
解得：x＝11.4．
∴11.4﹣3＝8.4（km）．
答：这两个位置之间的距离为8.4km；
（2）当x＝9时，y＝81a+9．
∴火箭第二级的引发点的坐标为（9，81a+9）．
设火箭落地点与发射点的水平距离为15km．
1
∴y=− x+b经过点（9，81a+9），（15，0）
2
1
{− ×9+b=81a+9)
2
∴ ．
1
− ×15+b=0
2
{ a=− 2 )
解得： 27 ．
b=7.5
2
∴− ＜a＜0时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km．
27
32．红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节
前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，
已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元．
（1）求甲、乙两种灯笼每对的进价；
（2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，
则每天少售出2对：物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元．
①求出y与x之间的函数解析式；
②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为（x+9）元/对，由
题意得：
3120 4200
= ，
x x+9
解得x＝26，
经检验，x＝26是原方程的解，且符合题意，
∴x+9＝26+9＝35，
答：甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对．
（2）①y＝（50+x﹣35）（98﹣2x）＝﹣2x2+68x+1470，
答：y与x之间的函数解析式为：y＝﹣2x2+68x+1470．
②∵a＝﹣2＜0，
b
∴函数y有最大值，该二次函数的对称轴为：x=− =17，
2a
物价部门规定其销售单价不高于每对65元，
∴x+50≤65，
∴x≤15，
∵x＜17时，y随x的增大而增大，
∴当x＝15时，y最大 ＝2040．
15+50＝65．
答：乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元．
33．某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由
长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距
离为4m．
（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2+m（k≠0）表示．求该抛物线
的函数表达式；
（2）现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内
加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为
50元/m2．已知GM＝2m，求每个B型活动板房的成本是多少？（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本）
（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B型活动板房，每月能售出100个，
而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．
不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利
润w（元）最大？最大利润是多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距
离为4m．
∴OH＝AB＝3，
∴EO＝EH﹣OH＝4﹣3＝1，
∴E（0，1），D（2，0），
∴该抛物线的函数表达式为：y＝kx2+1，
1
把点D（2，0）代入，得k=− ，
4
1
∴该抛物线的函数表达式为：y=− x2+1；
4
（2）∵GM＝2，
∴OM＝OG＝1，
3
∴当x＝1时，y= ，
4
3
∴N（1， ），
4
3
∴MN= ，
4
3 3
∴S矩形MNFG ＝MN•GM =
4
×2 =
2
，∴每个B型活动板房的成本是：
3
425+ ×50＝500（元）．
2
答：每个B型活动板房的成本是500元；
（3）根据题意，得
20(650−n)
w＝（n﹣500）[100+ ]
10
＝﹣2（n﹣600）2+20000，
∵每月最多能生产160个B型活动板房，
20(650−n)
∴100+ ≤160，
10
解得n≥620，
∵﹣2＜0，
∴n≥620时，w随n的增大而减小，
∴当n＝620时，w有最大值为19200元．
答：公司将销售单价n（元）定为620元时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）
最大，最大利润是19200元．
34．某农作物的生长率p与温度t（℃）有如下关系：如图，当10≤t≤25时可近似用函数
1 1 1
p= t− 刻画；当25≤t≤37时可近似用函数p=− （t﹣h）2+0.4刻画．
50 5 160
（1）求h的值．
（2）按照经验，该作物提前上市的天数m（天）与生长率p之间满足已学过的函数关
系，部分数据如下：
生长率p 0.2 0.25 0.3 0.35
提前上市的天数m（天） 0 5 10 15
求：①m关于p的函数表达式；
②用含t的代数式表示m．
③天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．大棚恒温20℃时每天的成本为100元
计划该作物30天后上市，现根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售
额可增加 600 元．因此决定给大棚继续加温，但加温导致成本增加，估测加温到
20≤t≤25时的成本为200元/天，但若欲加温到25＜t≤37，由于要采用特殊方法，成本
增加到400元/天．问加温到多少度时增加的利润最大？并说明理由．（注：农作物上市售出后大棚暂停使用）
【答案】见试题解答内容
1
【解答】解：（1）把（25，0.3）代入p=− （t﹣h）2+0.4得：
160
1
0.3=− （25﹣h）2+0.4
160
解得：h＝29或h＝21，
∵25≤t≤37
∴h＝29．
（2）①由表格可知，m是p的一次函数，
设m＝kp+b
{0=0.2×k+b
)
把（0.2，0），（0.3，10）代入得
10=0.3×k+b
{k=100)
解得
b=−20
∴m＝100p﹣20．
1 1
②当10≤t≤25时，p= t−
50 5
1 1
∴m＝100（ t− ）﹣20＝2t﹣40；
50 5
1
当25≤t≤37时，p=− （t﹣h）2+0.4
160
1 5
∴m＝100[− （t﹣h）2+0.4]﹣20=− （t﹣29）2+20
160 8
{2t−40， 10≤t≤25
)
∴m = 5
− (t−29) 2+20 ，25≤t≤37
8
③当20≤t≤25时，增加的利润为：
600m+[100×30﹣200（30﹣m）]＝800m﹣3000＝1600t﹣35000当t＝25时，增加的利润的最大值为1600×25﹣35000＝5000元；
当25＜t≤37时，增加的利润为：
600m+[100×30﹣400（30﹣m）]＝1000m﹣9000＝﹣625（t﹣29）2+11000
∴当t＝29时，增加的利润的最大值为11000元．
综上，当t＝29时，提前20天上市，增加的利润最大，最大值为11000元．
35．在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡OA，从点O处抛出一个小球，落到点A
3
（3， ）处．小球在空中所经过的路线是抛物线y＝﹣x2+bx的一部分．
2
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线最高点的坐标；
（3）斜坡上点B处有一棵树，点B是OA的三等分点，小球恰好越过树的顶端C，求这
棵树的高度．
7
【答案】（1）y=−x2+ x．
2
7 49
（2）( ， )．
4 16
（3）2．
3
【解答】解：（1）由题意，∵点 A(3， ) 是抛物线 y＝﹣x2+bx 上的一点，
2
3
∴−32+3b=
．
2
3
∴−9+3b= ．
2
7
∴b= ．
2
7
∴抛物线的解析式为y=−x2+ x．
27 7 49
（2）由题意，∵抛物线为y=−x2+ x=−(x− ) 2+ ，
2 4 16
7 49
∴抛物线最高点的坐标为( ， )．
4 16
（3）由题意，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别是点E、D，
又∠BOD＝∠AOE，∠BDO＝∠AEO，
∴△OBD∽△OAE．
OD BD OB
∴ = = ．
OE AE OA
由点B是OA的三等分点，
OB 1
①当B在靠近O时， = ．
OA 3
3
∵A(3， )，
2
3
∴AE= ，OE＝3．
2
BD OB 1
∴ = = ．
AE OA 3
1
∴BD= AE．
3
1 3
∴BD= × ．
3 2
1
∴BD= ．
2
OD OB 1
∴ = = ．
OE OA 3
1
∴OD= OE．
31
∴OD= ×3= 1．
3
∴点C的横坐标为1．
7
将x＝1代入 y=−x2+ x中，
2
7 5
∴y=−12+ ×1= ．
2 2
5
∴点C的坐标为 (1， )．
2
5
∴CD= ．
2
5 1
∴CB=CD−BD= − =2．
2 2
OB 2
②当B在靠近A时， = ．
OA 3
3
∵A(3， )，
2
3
∴AE= ，OE＝3．
2
BD OB 2
∴ = = ．
AE OA 3
2
∴BD= AE＝1．
3
OD OB 2
又∵ = = ，
OE OA 3
2
∴OD= OE＝2．
3
∴点C的横坐标为2．
7
将x＝2代入 y=−x2+ x中，
2
∴y＝3．
∴点C的坐标为（2，3）．
∴CD＝3．
∴CB＝CD﹣BD＝3﹣1＝2．
答：这棵树的高度是2．
36．某酒店有A、B两种客房，其中A种24间，B种20间．若全部入住，一天营业额为7200元；若A、B两种客房均有10间入住，一天营业额为3200元．
（1）求A、B两种客房每间定价分别是多少元？
（2）酒店对A种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定
价每增加10元，就会有一个房间空闲；当A种客房每间定价为多少元时，A种客房一天
的营业额W最大，最大营业额为多少元？
【答案】（1）A、B两种客房每间定价分别是200元、120元；（2）当A种客房每间定
价为220元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为4840元．
【解答】解：（1）设A种客房每间定价是x元，B种客房每间定价是y元，
{24x+20 y=7200)
∴ ．
10x+10 y=3200
{x=200)
∴ ．
y=120
答：A、B两种客房每间定价分别是200元、120元．
（2）由题意，设A种客房每间定价为m元，
m−200 1
∴W＝m（24− ）=− （m﹣220）2+4840．
10 10
1
∵− ＜0，
10
∴当m＝220时，W取最大值，最大值为4840．
答：当A种客房每间定价为220元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为
4840元．
37．数字农业正带领现代农业进入一个崭新的时代，而智能温室大棚将成为现代农业发展
进程中重要的参与者之一．某种植大户对自己的温室大棚进行改造时，先将大门进行了
装修，如图2所示，该大门门头示意图由矩形ABCD和抛物线形AED组成，测得AB＝
2m，BC＝8m，OE＝4m．以水平线BC为x轴，BC的中点O为原点建立平面直角坐标
系．
（1）求此门头抛物线部分的表达式；
（2）改造时，为了加固，要在棚内梁AD的四等分点M，N处焊接两排镀锌管支撑大棚，
已知定制的每根镀锌管成品长2m，问是否需要截取，截取多少？1
【答案】（1）此门头抛物线部分的表达式为：y=− x2+4；
8
（2）需要截取，截取0.5m．
【解答】解：（1）∵点O是BC的中点，
1
∴OB＝OC= BC＝4（m），
2
∵AB＝CD＝2m，
∴点D的坐标为（4，2），
∵OE＝4m，
∴顶点E的坐标为（0，4），
∴设此门头抛物线部分的表达式为：y＝ax2+4，
把D（4，2）代入y＝ax2+4中得：2＝16a+4，
1
解答：a=− ，
8
1
∴此门头抛物线部分的表达式为：y=− x2+4（﹣4≤x≤4）；
8
（2）如图：过点M作GM⊥AD，交抛物线于点G，
由题意得：AD＝BC＝8m，
∵点M，N是AD的四等分点，
1
∴AM＝MF＝FN＝DN= AD＝2（m），
41 1 1 7
当x＝﹣2时，y=− ×（﹣2）2+4=− ×4+4=− +4= ，
8 8 2 2
7
∴点G的坐标为：（﹣2， ），
2
∵AB＝2m，
7 3
∴GM= −2= （m），
2 2
3
∴2− =0.5（m），
2
∴需要截取，截取0.5m．
题型二十一．二次函数综合题（共7小题）
38．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、
（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且
DC＝DE，求出点D的坐标；
（3）在第二问的条件下，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与
△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（0，﹣3），
{1−b+c=0)
∴ ，
c=−3
{b=−2)
解得 ，
c=−3故抛物线的函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）令x2﹣2x﹣3＝0，
解得x ＝﹣1，x ＝3，
1 2
则点C的坐标为（3，0），
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴点E坐标为（1，﹣4），
设点D的坐标为（0，m），作EF⊥y轴于点F，
∵DC2＝OD2+OC2＝m2+32，DE2＝DF2+EF2＝（m+4）2+12，
∵DC＝DE，
∴m2+9＝m2+8m+16+1，
解得m＝﹣1，
∴点D的坐标为（0，﹣1）；
（3）∵点C（3，0），D（0，﹣1），E（1，﹣4），
∴CO＝DF＝3，DO＝EF＝1，
根据勾股定理，CD=❑√OC2+OD2=❑√32+12=❑√10，
在△COD和△DFE中，
{
CO=DF
)
∵ ∠COD=∠DFE=90° ，
DO=EF
∴△COD≌△DFE（SAS），
∴∠EDF＝∠DCO，
又∵∠DCO+∠CDO＝90°，
∴∠EDF+∠CDO＝90°，
∴∠CDE＝180°﹣90°＝90°，
∴CD⊥DE，
①分OC与CD是对应边时，
∵△DOC∽△PDC，
OC OD
∴ = ，
DC DP3 1
即 = ，
❑√10 DP
❑√10
解得DP= ，
3
过点P作PG⊥y轴于点G，
DG PG DP
则 = = ，
DF EF DE
❑√10
即DG PG 3 ，
= =
3 1 ❑√10
1
解得DG＝1，PG= ，
3
当点P在点D的左边时，OG＝DG﹣DO＝1﹣1＝0，
1
所以点P（− ，0），
3
当点P在点D的右边时，OG＝DO+DG＝1+1＝2，
1
所以，点P（ ，﹣2）；
3
②OC与DP是对应边时，
∵△DOC∽△CDP，
OC OD
∴ = ，
DP DC
3 1
即 = ，
DP ❑√10
解得DP＝3❑√10，
过点P作PG⊥y轴于点G，
DG PG DP
则 = = ，
DF EF DE
DG PG 3❑√10
即 = = ，
3 1 ❑√10
解得DG＝9，PG＝3，
当点P在点D的左边时，OG＝DG﹣OD＝9﹣1＝8，
所以，点P的坐标是（﹣3，8），
当点P在点D的右边时，OG＝OD+DG＝1+9＝10，
所以，点P的坐标是（3，﹣10），1 1
综上所述，满足条件的点P共有4个，其坐标分别为（− ，0）、（ ，﹣2）、（﹣
3 3
3，8）、（3，﹣10）．
39．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点．
P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
（3）如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面
S S
积分别为S ，S ，S ．判断
1+ 2
是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，
1 2 3 S S
2 3
请说明理由．
4 16
【答案】（1）抛物线的解析式为：y=− x2+ x．
3 316
（2）P（2， ）或（3，4）．
3
9
（3） ．
8
【解答】解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入y＝ax2+bx，
4
{a=− )
{16a+4b=0) 3
∴ ，解得 ．
a+b=4 16
b=
3
4 16
∴抛物线的解析式为：y=− x2+ x．
3 3
（2）设直线AB的解析式为：y＝kx+t，
将A（4，0），B（1，4）代入y＝kx+t，
{4k+t=0)
∴ ，
k+t=4
4
{k=− )
3
解得 ．
16
t=
3
∵A（4，0），B（1，4），
1
∴S△OAB =
2
×4×4＝8，
∴S△OAB ＝2S△PAB ＝8，即S△PAB ＝4，
过点P作PM⊥x轴于点M，PM与AB交于点N，过点B作BE⊥PM于点E，如图，1 1 3
∴S△PAB ＝S△PNB +S△PNA =
2
PN×BE +
2
PN×AM =
2
PN＝4，
8
∴PN= ．
3
设点P的横坐标为m，
4 16 4 16
∴P（m，− m2+ m）（1＜m＜4），N（m，− m+ ），
3 3 3 3
4 16 4 16 8
∴PN=− m2+ m﹣（− m+ ）= ．
3 3 3 3 3
解得m＝2或m＝3；
16
∴P（2， ）或（3，4）．
3
（3）∵PD∥OB，
∴∠DPC＝∠BOC，∠PDC＝∠OBC，
∴△DPC∽△BOC，
∴CP：CO＝CD：CB＝PD：OB，
S CD PD S CP PD
∵ 1= = ， 2= = ，
S CB OB S CO OB
2 3
S S 2PD
∴
1+ 2=
．
S S OB
2 3
16
设直线AB交y轴于点F．则F（0， ），
3
过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH交AB于点G，如图，
∵∠PDC＝∠OBC，∴∠PDG＝∠OBF，
∵PG∥OF，
∴∠PGD＝∠OFB，
∴△PDG∽△OBF，
∴PD：OB＝PG：OF，
4 16
设P（n，− n2+ n）（1＜n＜4），
3 3
4 20 16
由（2）可知，PG=− n2+ n− ，
3 3 3
S S 2PD 2PG 3 1 5 9
∴ 1+ 2= = = PG =− （n− ）2+ ．
S S OB OF 8 2 2 8
2 3
∵1＜n＜4，
5 S S 9
∴当n= 时， 1+ 2 的最大值为 ．
2 S S 8
2 3
40．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，
0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；
（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所
有P点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，
6），{16a−4b+c=0
)
∴ 4a+2b+c=0 ，
c=6
3
{a=−
)
4
解得 3 ，
b=−
2
c=6
3 3
所以二次函数的解析式为：y=− x2− x+6，
4 2
1
（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直线解析式为y=− x−2，
2
过点D作DG⊥x轴于G，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为
H，如图
3 3 1
设D（m，− m2− m+6），则点F（m，− m−2），
4 2 2
3 3 1 3
∴DF=− m2− m+6−（− m−2）=− m2−m+8，
4 2 2 4
1 1
∴S△ADE ＝S△ADF +S△EDF =
2
×DF×AG +
2
DF×EH
1
= ×DF×（AG+EH）
2
1
= ×4×DF
2
3
＝2×（− m2−m+8）
43 2 50
=− (m+ ) 2+ ，
2 3 3
2 50
∴当m=− 时，△ADE的面积取得最大值为 ．
3 3
3 3
（3）y=− x2− x+6的对称轴为x＝﹣1，
4 2
设P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），
可求PA2＝9+n2，PE2＝1+（n+2）2，AE2＝16+4＝20，
当PA2＝PE2时，9+n2＝1+（n+2）2，
解得，n＝1，此时P（﹣1，1）；
当PA2＝AE2时，9+n2＝20，
解得，n=±❑√11，此时点P坐标为（﹣1，±❑√11）；
当PE2＝AE2时，1+（n+2）2＝20，
解得，n＝﹣2±❑√19，此时点P坐标为：（﹣1，﹣2±❑√19）．
综上所述，
P点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，±❑√11），（﹣1，﹣2±❑√19）．
41．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交
于点C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是直线BC下方的抛物线上一动点（不点B，C重合），过点P作y轴的平
行线交直线BC于点D，设点P的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段PD的长．
②连接PB，PC，求△PBC的面积最大时点P的坐标．
（3）设抛物线的对称轴与BC交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一
点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如
果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），
与y轴交于点C，
{ a+b+3=0 ) { a=1 )
∴ ，解得 ，
9a+3b+3=0 b=−4
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）如图：
①设P（m，m2﹣4m+3），
将点B（3，0）、C（0，3）代入直线BC解析式y＝kx+b，
得k＝﹣1，b＝3，
所以直线BC解析式为y ＝﹣x+3．
BC
∵过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，
∴D（m，﹣m+3），
∴PD＝（﹣m+3）﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m．
答：用含m的代数式表示线段PD的长为﹣m2+3m．
②S△PBC ＝S△CPD +S△BPD
1 3 9
= OB•PD=− m2+ m
2 2 23 3 27
=− （m− ）2+ ．
2 2 8
3
∴当m= 时，S有最大值．
2
3 3
当m= 时，m2﹣4m+3=− ．
2 4
3 3
∴P（ ，− ）．
2 4
3 3
答：△PBC的面积最大时点P的坐标为（ ，− ）．
2 4
（3）存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形．
根据题意，点E（2，1），抛物线的对称轴与BC交于点E，点M是抛物线的对称轴上
一点，N为y轴上一点，
∴EN＝CN＝2，
∴EC＝2❑√2，
根据菱形的四条边相等，
∴M′E＝EC＝2❑√2，
∴M′（2，1﹣2❑√2）或（2，1+2❑√2），
当EM＝EN＝2时，CMEN是正方形，
∴M（2，3），
答：点M的坐标为（2，3）或（2，1﹣2❑√2）或（2，1+2❑√2）．
42．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A（﹣1，
0），C（4，0），AC＝BC．（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段AB上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于
点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标及S△ABF ；
（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使△ABP成为直角三
角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；
3 5 125
（2）点E的坐标为（
2
，
2
），S△ABF =
8
；
（3）（1，8）或（1，﹣2）或（1，6）或（1，﹣1）．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0），C（4，0），
∴AC＝5，OC＝4，
∵AC＝BC＝5，
∴B（4，5），
把A（﹣1，0）和B（4，5）代入二次函数y＝x2+bx+c中得：
{ 1−b+c=0 ) {b=−2)
，解得： ，
16+4b+c=5 c=−3
∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图1，∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
{−k+b=0) {k=1)
∴ ，解得： ，
4k+b=5 b=1
∴直线AB的解析式为：y＝x+1，
∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3，∴设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3），
3 25
∴EF＝（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣（t− ）2+ ，
2 4
3 25
∴当t= 时，EF的最大值为 ，
2 4
3 5
∴点E的坐标为（ ， ），
2 2
1 1 25 125
∴S△ABF =
2
EF⋅(x
B
−x
A
)=
2
×
4
×(4+1)=
8
．
（3）存在，
y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴设P（1，m），
分三种情况：
①以点B为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+AB2＝PA2，
∴（4﹣1）2+（m﹣5）2+（4+1）2+52＝（1+1）2+m2，
解得：m＝8，
∴P（1，8）；
②以点A为直角顶点时，由勾股定理得：PA2+AB2＝PB2，
∴（1+1）2+m2+（4+1）2+52＝（4﹣1）2+（m﹣5）2，
解得：m＝﹣2，
∴P（1，﹣2）；
③以点P为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+PA2＝BA2，
∴（1+1）2+m2+（4﹣1）2+（m﹣5）2＝（4+1）2+52，解得：m＝6或﹣1，
∴P（1，6）或（1，﹣1）；
综上，点P的坐标为（1，8）或（1，﹣2）或（1，6）或（1，﹣1）．
2 2
43．如图，抛物线y=− x2+ x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物
3 3
线上的一点且横坐标为m．
（1）A，B，C三点的坐标为 （﹣ 2 ， 0 ） ， （ 3 ， 0 ） ， （ 0 ， 4 ） ．
（2）连接AP，交线段BC于点D，
PD
①当CP与x轴平行时，求 的值；
DA
PD
②当CP与x轴不平行时，求 的最大值；
DA
（3）连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存
在，请说明理由．
【答案】（1）（﹣2，0）；（3，0）；（0，4）．
1
（2） ．
5
9
② ．
40
7
（3）存在，m= ．
4
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4）；
2 2
令y＝0，则− x2+ x+4＝0，
3 3∴x＝﹣2或x＝3，
∴A（﹣2，0），B（3，0）．
故答案为：（﹣2，0）；（3，0）；（0，4）．
（2）①∵CP∥x轴，C（0，4），
∴P（1，4），
∴CP＝1，AB＝5，
∵CP∥x轴，
PD CP 1
∴ = = ．
DA AB 5
②如图，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，
4
∴直线BC的解析式为：y=− x+4．
3
设点P的横坐标为m，
2 2 1 1 2 2
则P（m，− m2+ m+4），Q（ m2− m，− m2+ m+4）．
3 3 2 2 3 3
1 1 1 3
∴PQ＝m﹣（ m2− m）=− m2+ m，
2 2 2 2
∵PQ∥AB，
1 3
− m2+ m 3 9
∴PD PQ 2 2 1 （m− ）2+ ，
= = =− 2 40
DA AB 5 10
3 PD 9
∴当m= 时， 的最大值为 ．
2 DA 40
另解：分别过点P，A作y轴的平行线，交直线BC于两点，仿照以上解法即可求解．
（3）假设存在点P使得∠BCO+2∠BCP＝90°，即0＜m＜3．过点C作CF∥x轴交抛物线于点F，
∵∠BCO+2∠PCB＝90°，∠BCO+∠BCM+∠MCF＝90°，
∴∠MCF＝∠BCP，
延长CP交x轴于点M，
∵CF∥x轴，
∴∠PCF＝∠BMC，
∴∠BCP＝∠BMC，
∴△CBM为等腰三角形，
∵BC＝5，
∴BM＝5，OM＝8，
∴M（8，0），
1
∴直线CM的解析式为：y=− x+4，
2
2 2 1
令− x2+ x+4 =− x+4，
3 3 2
7
解得x= 或x＝0（舍），
4
7
∴存在点P满足题意，此时m= ．
4
44．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于
点C，顶点为D（2，1），抛物线的对称轴交直线BC于点E．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；
（2）把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为h（h＞0），在平移过程中，
该抛物线与直线BC始终有交点，求h的最大值；（3）M是（1）中抛物线上一点，N是直线BC上一点．是否存在以点D，E，M，N为
顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣（x﹣2）2+1＝﹣x2+4x﹣3．
9
（2） ．
4
3−❑√17 −3−❑√17 3+❑√17 −3+❑√17
（3）存在，N（1，﹣2）或（ ， ）或（ ， ）或
2 2 2 2
（3，0）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点为D（2，1），
∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣2）2+1＝﹣x2+4x﹣3．
（2）由（1）知，抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）；
令y＝0，则x＝1或x＝3，
∴A（1，0），B（3，0）．
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3．
设平移后的抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+1﹣h，
令﹣（x﹣2）2+1﹣h＝x﹣3，整理得x2﹣3x+h＝0，
∵该抛物线与直线BC始终有交点，
∴Δ＝9﹣4h≥0，
9
∴h≤ ．
4
9
∴h的最大值为 ．
4（3）存在，理由如下：
由题意可知，抛物线的对称轴为：直线x＝2，
∴E（2，﹣1），
∴DE＝2，
设点M（m，﹣m2+4m﹣3），
若以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，则分以下两种情况：
①当DE为边时，DE∥MN，
则N（m，m﹣3），
∴MN＝|﹣m2+4m﹣3﹣（m﹣3）|＝|﹣m2+3m|，
3−❑√17 3+❑√17
∴|﹣m2+3m|＝2，解得m＝1或m＝2（舍）或m= 或m= ．
2 2
3−❑√17 −3−❑√17 3+❑√17 −3+❑√17
∴N（1，﹣2）或（ ， ）或（ ， ）．
2 2 2 2
②当DE为对角线时，
设点N的横坐标为t，
则N（t，t﹣3），
{ m+t=2+2 )
∴ ，
−m2+4m−3+t−3=1+(−1)
{m=1) {m=2)
解得m 或 （舍），
t=3 t=2
∴N（3，0）．
3−❑√17 −3−❑√17 3+❑√17
综上，点 N 的坐标为 N（1，﹣2）或（ ， ）或（ ，
2 2 2
−3+❑√17
）或（3，0）．
2
题型二十二．垂径定理的应用（共1小题）
45．“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图 1所示是一个
竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为10cm，开口AB宽为
12cm，这个水容器所能装水的最大深度是 1 8 cm．【答案】18
【解答】解：连接AB，OB，过点O作OC⊥AB于点C，延长CO交 O于点D，
∵OC⊥AB， ⊙
∴AC＝CB＝6cm，
由题意可知，OB＝10cm，
∴在Rt△OBC中，OC=❑√OB2−BC2=❑√102−62=8（cm），
∴CD＝OC+OD＝8+10＝18（cm），
即这个水容器所能装水的最大深度是18cm．
题型二十三．圆周角定理（共1小题）
46．如图， O的半径为1，AB是 O的一条弦，且AB=❑√3，则弦AB所对圆周角的度数
为（ ⊙） ⊙
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
【答案】D
【解答】解：如图，连接OA、OB，过O作AB的垂线；
❑√3
在Rt△OAC中，OA＝1，AC= ；
2
∴∠AOC＝60°，∠AOB＝120°；1
∴∠D= ∠AOB＝60°；
2
∵四边形ADBE是 O的内接四边形，
∴∠AEB＝180°﹣∠⊙D＝120°；
因此弦AB所对的圆周角有两个：60°或120°；
故选：D．
题型二十四．点与圆的位置关系（共1小题）
47．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝
1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（ ）
1 1
A．❑√2+1 B．❑√2+ C．2❑√2+1 D．2❑√2−
2 2
【答案】B
【解答】解：如图，
∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，
∴C在 B上，且半径为1，
取OD＝⊙OA＝2，连接CD，∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
1
∴OM= CD，
2
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM
最大，
∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，
∴BD＝2❑√2，
∴CD＝2❑√2+1，
1 1 1
∴OM= CD=❑√2+ ，即OM的最大值为❑√2+ ；
2 2 2
故选：B．
题型二十五．切线的判定（共1小题）
48．如图，半圆O的直径DE＝12cm，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝
12cm．半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，当圆心O运动到点B时停止，点D、E始
终在直线BC上．设运动时间为t（s），运动开始时，半圆O在△ABC的左侧，OC＝
8cm．当t＝ 1 s ， 4 s ， 7 s 时，Rt△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切．
【答案】1s，4s，7s
【解答】解：①当圆心O运动到点E与点C重合是时，
∵AC⊥OE，OC＝OE＝6cm，此时AC与半圆O所在的圆相切，点O运动了2cm，
所求运动时间为t＝2÷2＝1（s）；
②当圆心O运动到AC右侧与AC相切时，
此时OC＝6cm，点O运动的距离为8+6＝14（cm），
所求运动时间为t＝14÷2＝7（s）；
③如图1，过C点作CF⊥AB，交AB于F点；
∵∠ABC＝30°，BC＝12cm，
∴FO＝6cm；
当半圆O与△ABC的边AB相切时，
∵圆心O到AB的距离等于6cm，
且圆心O又在直线BC上，
∴O与C重合，
即当O点运动到C点时，半圆O与△ABC的边AB相切；
此时点O运动了8cm，所求运动时间为t＝8÷2＝4（s），
当点O运动到B点的右侧，且OB＝12cm时，
如图2，过点O作OQ⊥直线AB，垂足为Q．
在Rt△QOB中，∠OBQ＝30°，则OQ＝6cm，
即OQ与半圆O所在的圆相切．
此时点O运动了32cm．
所求运动时间为：t＝32÷2＝16s，
综上可知当t的值为1s或4s或7秒或16s时，
Rt△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切．
因为圆心O运动到点B时停止，
所以此种情况不符合题意舍去，
故答案为：1s，4s，7s．题型二十六．旋转的性质（共3小题）
49．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A BC ，
1 1
则阴影部分的面积为 9 ．
【答案】9
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到
△A BC ，
1 1
∴△ABC≌△A BC ，
1 1
∴A B＝AB＝6，
1
∴△A BA是等腰三角形，∠A BA＝30°，
1 1
1
如图，过A 作A D⊥AB于D，则A D= A B＝3，
1 1 1 2 1
1
∴S△A1BA =
2
×6×3＝9，
又∵S阴影 ＝S△A1BA +S△A1BC1 ﹣S△ABC ，
S△A1BC1 ＝S△ABC ，
∴S阴影 ＝S△A1BA ＝9．
故答案为：9．50．如图，长方形ABCD中AB＝2，BC＝4，正方形AEFG的边长为1．正方形AEFG绕点
A旋转的过程中，线段CF的长的最小值为 2❑√5−❑√2 ．
【答案】2❑√5−❑√2
【解答】解：如图，连接AF，CF，AC，
∵长方形ABCD中AB＝2，BC＝4，正方形AEFG的边长为1，
∴AC＝2❑√5，AF=❑√2，
∵AF+CF≥AC，
∴CF≥AC﹣AF，
∴当点A，F，C在同一直线上时，CF的长最小，最小值为2❑√5−❑√2，
故答案为：2❑√5−❑√2．
51．阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，
求∠APB的度数．
为 了 解 决 本 题 ， 我 们 可 以 将 △ ABP 绕 顶 点 A 旋 转 到 △ ACP′ 处 ， 此 时
△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三
角形中，从而求出∠APB＝ 150 ° ；
（2）基本运用请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，
求证：EF2＝BE2+FC2；
（3）能力提升
如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，
连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵△ACP′≌△ABP，
∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB，
由题意知旋转角∠PA P′＝60°，
∴△AP P′为等边三角形，
P P′＝AP＝3，∠A P′P＝60°，
易证△P P′C为直角三角形，且∠P P′C＝90°，
∴∠APB＝∠AP′C＝∠A P′P+∠P P′C＝60°+90°＝150°；
故答案为：150°；
（2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，
由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，
∠EAE′＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAF＝∠E′AF，
在△EAF和△E′AF中，
{
AE=AE′
)
∠EAF=∠E′ AF
AF=AF
∴△EAF≌△E′AF（SAS），∴E′F＝EF，
∵∠CAB＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠E′CF＝45°+45°＝90°，
由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2，
即EF2＝BE2+FC2．
（3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2，
∴BC=❑√AB2−AC2=❑√3，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，
∴△A′O′B如图所示；
∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，
∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，
∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，
∴△BOO′是等边三角形，
∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，
∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，
∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BOO′＝120°+60°＝180°，
∴C、O、A′、O′四点共线，在Rt△A′BC中，A′C=❑√BC2+A′B2=❑√(❑√3) 2+22=❑√7，
∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C=❑√7．
题型二十七．黄金分割（共1小题）
52．某品牌20寸的行李箱拉杆拉开后放置如图所示，经测量该行李箱从轮子底部到箱子上
沿的高度AB与从轮子底部到拉杆顶部的高度CD之比是黄金比（约等于0.618）．已知
CD＝80cm，则AB约是 4 9 cm（结果保留整数）．
【答案】49
AB
【解答】解：由题意得： ≈0.618，
CD
∵CD＝80cm，
∴AB≈0.618CD＝0.618×80≈49（cm），
∴AB约是49cm，
故答案为：49．
题型二十八．相似三角形的判定（共2小题）
53．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE；
（1）求证：△ABE∽△ECD；
（2）若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长；
（3）当△AED∽△ECD时，请写出线段AD、AB、CD之间数量关系，并说明理由．【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠B＝∠C＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，
∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB+∠DEC＝90°，
∴∠DEC＝∠BAE，
∴△ABE∽△ECD；
（2）解：Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝5，
∴BE＝3，
∵BC＝5，
∴EC＝5﹣3＝2，
由（1）得：△ABE∽△ECD，
AB EC
∴ = ，
BE CD
4 2
∴ = ，
3 CD
3
∴CD= ；
2
（3）解：线段AD、AB、CD之间数量关系：AD＝AB+CD；
理由是：过E作EF⊥AD于F，
∵△AED∽△ECD，
∴∠EAD＝∠DEC，
∵∠AED＝∠C，
∴∠ADE＝∠EDC，
∵DC⊥BC，∴EF＝EC，
∵DE＝DE，
∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL），
∴DF＝DC，
同理可得：△ABE≌△AFE，
∴AF＝AB，
∴AD＝AF+DF＝AB+CD．
54．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向
点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为
1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2；
（2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求
出对应的时间t；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）分别过点D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足为F、G
如图DF BD
∴DF∥AG， =
AG AB
∵AB＝AC＝10，BC＝16∴BG＝8，∴AG＝6．
∵AD＝BE＝t，∴BD＝10﹣t，
DF 10−t
∴ =
6 10
3
解得DF= （10﹣t）
5
1
∵S△BDE =
2
BE•DF＝7.5
3
∴ （10﹣t）•t＝15
5
解得t＝5．
答：t为5秒时，△BDE的面积为7.5cm2．
（2）存在．理由如下：
①当BE＝DE时，△BDE∽△BCA，
BE BD t 10−t
∴ = 即 = ，
AB BC 10 16
50
解得t= ，
13
②当BD＝DE时，△BDE∽△BAC，
BE BD t 10−t
= 即 = ，
BC AB 16 10
80
解得t= ．
13
50 80
答：存在时间t为 或 秒时，使得△BDE与△ABC相似．
13 13
题型二十九．相似三角形的判定与性质（共1小题）
55．如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，连结HF交DE于点M．若
AH 1 HM
= ，则 的值为（ ）
AE 2 MF4 1 4 2
A． B． C． D．
9 2 7 3
【答案】C
【解答】解：如图所示，延长CB，DE，交于点N，设AH＝1，AE＝2，
∵正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，
∴BE＝1，DH＝BF＝2，
∵AD∥BN，
∴△ADE∽△BNE，
AD AE 3 2
∴ = ，即 = ，
BN BE BN 1
∴BN＝1.5，
∵DH∥NF，
∴△DHM∽△NFM，
HM DH 2 4
∴ = = = ，
FM NF 3.5 7
故选：C．
题型三十．解直角三角形的应用（共2小题）
56．学科综合我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图 1），我们把n
sinα
= 称为折射率（其中 代表入射角， 代表折射角）．
sinβ
α β
观察实验
为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，即通过细管MN可以看见水底的物
块C，但不在细管MN所在直线上，图3是实验的示意图，四边形ABFE为矩形，点
A，C，B在同一直线上，测得BF＝12cm，DF＝16cm．
（1）求入射角 的度数．
α 4
（2）若BC＝7cm，求光线从空气射入水中的折射率 n．（参考数据：sin53°≈ ，
5
3 4
cos53°≈ ，tan53°≈ ）
5 3
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图：过点D作DG⊥AB，垂足为G，
由题意得：四边形DGBF是矩形，
∴DG＝BF＝12cm，BG＝DF＝16cm，
BG 16 4
在Rt△DGB中，tan∠BDG= = = ，
DG 12 3
∴∠BDG＝53°，
∴∠PDH＝∠BDG＝53°，
∴入射角 的度数为53°；
α（2）∵BG＝16cm，BC＝7cm，
∴CG＝BG﹣BC＝9（cm），
在Rt△CDG中，DG＝12cm，
∴DC=❑√CG2+DG2=❑√92+122=15（cm），
CG 9 3
∴sin ＝sin∠GDC= = = ，
CD 15 5
β
由（1）得：∠PDH＝53°，
4
∴sin∠PDH＝sin ≈ ，
5
α
4
sinα 5 4
∴折射率n= = = ，
sinβ 3 3
5
4
∴光线从空气射入水中的折射率n约为 ．
3
57．如图1是我国古代提水的器具桔槔，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿
中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终
与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，
从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示
意图，大竹竿AB＝6米，O为AB的中点，支架OD垂直地面EF．
（1）当水桶在井里时，∠AOD＝120°，求此时支点O到小竹竿AC的距离（结果精确到
0.1m）；
（2）如图3，当水桶提到井口时，大竹竿AB旋转至A B 的位置，小竹竿AC至A C 的
1 1 1 1
位置，此时∠A OD＝143°，求点A上升的高度（结果精确到0.1m）．
1（参考数据：❑√3≈1.73，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）过点O作OG⊥AC，垂足为G，
∴∠AGO＝90°，
由题意得：AC∥OD，
∴∠DOG＝∠AGO＝90°，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOG＝∠AOD﹣∠DOG＝30°，
∵O为AB的中点，
1
∴OA= AB＝3（米），
2
在Rt△AOG中，
1
∴AG= AO＝1.5（米），OG=❑√3AG＝1.5❑√3≈2.6（米），
2
∴此时支点O到小竹竿AC的距离约为2.6米；
（2）设OG交A C 于点H，
1 1
由题意得：OG⊥A C ，OD∥A C ，OA ＝OA＝3米，
1 1 1 1 1
∴∠A ＝180°﹣∠A OD＝180°﹣143°＝37°，
1 1
在RtΔOA H中，A H＝OA •cos37°＝3×0.8≈2.4（米），
1 1 1
∵AG＝1.5米，
∴A H﹣AG＝2.4﹣1.5＝0.9（米），
1∴点A上升的高度约为0.9米．
题型三十一．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
58．如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图 2，AB是灯杆，
CD是灯管支架，灯管支架CD与灯杆间的夹角∠BDC＝60°．综合实践小组的同学想知
道灯管支架CD的长度，他们在地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为60°，在点
F处测得灯管支架顶部C的仰角为30°，测得AE＝3m，EF＝8m（A，E，F在同一条直
线上）．根据以上数据，解答下列问题：
（1）求灯管支架底部距地面高度AD的长（结果保留根号）；
（2）求灯管支架CD的长度（结果精确到0.1m，参考数据：❑√3≈1.73）．
【答案】（1）灯管支架底部距地面高度AD的长为3❑√3米；
（2）灯管支架CD的长度约为1.2米．
【解答】解：（1）在Rt△DAE中，∠AED＝60°，AE＝3m，
∴AD＝AE•tan60°＝3❑√3（米），
∴灯管支架底部距地面高度AD的长为3❑√3米；
（2）延长FC交AB于点G，
∵∠DAE＝90°，∠AFC＝30°，
∴∠DGC＝90°﹣∠AFC＝60°，∵∠GDC＝60°，
∴∠DCG＝180°﹣∠GDC﹣∠DGC＝60°，
∴△DGC是等边三角形，
∴DC＝DG，
∵AE＝3米，EF＝8米，
∴AF＝AE+EF＝11（米），
❑√3 11
在Rt△AFG中，AG＝AF•tan30°＝11× = ❑√3（米），
3 3
11 2
∴DC＝DG＝AG﹣AD= ❑√3−3❑√3= ❑√3≈1.2（米），
3 3
∴灯管支架CD的长度约为1.2米．
题型三十二．简单组合体的三视图（共1小题）
59．沿正方体相邻的三条棱的中点截掉一部分，得到如图所示的几何体，则它的主视图是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：这个几何体的主视图如下：
故选：A．
题型三十三．由三视图判断几何体（共1小题）
60．一个由16个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了9个小立方块，
它的主视图和左视图如图所示，那么这个几何体的搭法共有 1 0 种．【答案】10．
【解答】解：由题意可知俯视图由9个正方形组成，并设这9个位置分别如图所示：
由主视图和左视图知：①第1个位置一定是4，第6个位置一定是3；
②一定有2个2，其余有5个1；
解法一：③最后一行至少有一个2，当中一列至少有一个2；
根据2的排列不同，这个几何体的搭法共有10种：如图所示：
解法二：③（i）若第8个位置是2时，有以下6种搭法：
（ii）若第8个位置是1时，有以下4种搭法：故答案为：10．
