文档内容
期末全册复习专题（8 大考点 29 类题型）
目 录
一.基础篇..........................................................................................................................................2
【考点一】概念与定义判断...........................................................................................................2
【★题型 1】一元二次方程（定义、一般形式、二次项系数限制）..............................................2
【★题型 2】二次函数的定义（一般式、顶点式、自变量取值范围）..........................................4
【★题型 3】旋转的核心概念（旋转中心、旋转角、对应点、中心对称）..................................5
【★题型 4】圆的基本概念（圆心、半径、弦、弧、圆周角、圆心角）......................................8
【★题型 5】概率的基础概念（确定事件、随机事件、概率的意义）..........................................9
【考点二】图形识别....................................................................................................................11
【★题型 6】中心对称图形与轴对称图形的区分............................................................................11
【★题型 7】二次函数图象的初步识别（开口方向、顶点位置）................................................13
【考点三】巩固基本运算.............................................................................................................16
【★题型 8】一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）............16
【★题型 9】根的判别式与根与系数关系（Δ 的计算、韦达定理简单应用）............................20
【★题型 10】二次函数的解析式求解（待定系数法：一般式、顶点式）..................................23
【★题型 11】圆的基础计算（弧长、扇形面积、圆锥侧面积 / 全面积）.................................25
【★题型 12】简单概率的计算（古典概率、几何概率）..............................................................31
【考点四】性质与判定辨析.........................................................................................................32
【★题型 13】旋转的性质（对应点到旋转中心的距离、对应角相等）......................................32
【★题型 14】垂径定理与圆周角定理及其推论（同弧所对圆周角与圆心角的关系）..............35
【★题型 15】二次函数的图象性质（开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性）......................37
【★题型 16】切线的性质与判定.....................................................................................................41
二综合篇...........................................................................................................................................48
【考点五】综合运算与实际应用..................................................................................................48
【★★题型 17】一元二次方程与代数式化简综合..........................................................................48
【★★题型 18】一元二次方程的实际应用（增长率、利润、几何面积问题）..........................51
【★★题型 19】二次函数的实际应用（最值问题：利润、高度、面积）..................................54
【★题型 20】圆的实际应用（拱桥跨度、扇形统计图、滚轮行程）..........................................61【★★题型 21】概率的实际应用（游戏公平性判断、抽奖概率计算）......................................66
【考点六】跨章节综合.................................................................................................................69
【★★题型 22】旋转与圆的综合（旋转中的弧长、扇形面积计算）..........................................69
【★★题型 23】二次函数与一元二次方程综合（抛物线与 x 轴的交点）................................73
【★★题型 24】圆与三角形、四边形的综合（内接多边形、切线与图形性质）......................76
【★★题型 25】旋转与二次函数的初步综合（旋转后抛物线的解析式）..................................81
三培优篇...........................................................................................................................................85
【考点七】几何变换压轴题.........................................................................................................85
【★★★题型 26】旋转与圆的动态探究（旋转中的切线判定、线段最值）..............................85
【★★★题型 27】二次函数的综合探究.........................................................................................91
【★★★题型 28】圆的存在性问题...............................................................................................100
【考点八】二次函数与几何探究................................................................................................105
【★★★题型 29】二次函数与几何图形的动态............................................................................106
一.基础篇
【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题
【考点一】概念与定义判断
【★题型 1】一元二次方程（定义、一般形式、二次项系数限制）
1．（25-26八年级上·上海青浦·期中）下列关于 的方程一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
根据一元二次方程的定义逐项判断即可．
解：一元二次方程需同时满足：①是整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数为2，
A： ，化简得 ，是一元一次方程，故该选项不合题意；
B： 是整式方程，且最高次数为2，故该选项符合题意；C：含有 ，是分式方程，不是整式方程，故该选项不合题意；
D： 中，若 则不是二次方程，故该选项不合题意．
故选：B．
2．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）若关于x的方程 是一元二次方程，则k的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，可知二次项系数不能为零，
据此作答即可．
解：∵方程 是一元二次方程，
∴二次项系数 ，
∴ ．
故选：B．
3．（25-26九年级上·广东潮州·期中）将一元二次方程 化为一般形式为： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，通过去括号、移项、合并同类项，将方程化为
（其中 ）的形式．
解： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
故答案为： ．
4．（25-26九年级上·江苏常州·期中）已知 是一元二次方程 一个根，则
的值为 ．
【答案】2026
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义等知识，根据 是一元二次方程 一个根，得到 变形为 ，把 变形为 ，整体代入即可
求解．
解：∵ 是一元二次方程 一个根，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：2026．
【★题型 2】二次函数的定义（一般式、顶点式、自变量取值范围）
1．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）下列函数，属于二次函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．
根据二次函数的定义（形如 ，其中 为常数，且 ）进行判断．
解：二次函数必须是整式函数且最高次项为二次，
对于A： ，含有分式项 ，不是整式函数，不是二次函数，故A不符合题意；
对于B： ，其中a是参数，未指定 ，若 则变 为一次函数，
即 不一定是二次函数，故B不符合题意；
对于C： ，符合 形式，且 ，是二次函数，故C符合题意；
对于D： ，是一次函数，不是二次函数，故D不符合题意；
故选：C．
2．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）已知二次函数 可化为 的形式，则
的值是（ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的一般式与顶点式的相互转化、待定系数法等知识，将顶点式化成一般式确定对应系数，然后配方即可求解，熟练能将一般式与顶点式相互转化是解题的关键．
解：
∴ ， ，
∴ ．
故选：A．
3．（25-26九年级上·山东烟台·期中）函数 是二次函数，则m的值
为 ．
【答案】3
【分析】本题考查二次函数的定义．根据二次函数定义可知最高次项次数为2，且最高次项系数不
为零，据此列出方程求解即可．
解：由题意得 ，
解得 ，
故答案为：3．
4．（25-26九年级上·安徽六安·期中）若函数 是关于 的二次函数，则一次函数
的图像不经过第 象限．
【答案】一
【分析】本题考查了根据二次函数的定义求参数，根据二次函数的定义，指数部分必须为2且系数
不为零，解出k的值，再代入一次函数解析式，分析其图像所经过的象限．
解：由题意得： 且 ，
解得： ，
∴一次函数为 ，
∵ ， ，
图像经过第二、第三和第四象限，不经过第一象限，
故答案为：一．
【★题型 3】旋转的核心概念（旋转中心、旋转角、对应点、中心对称）
1．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，将 绕着点O顺时针旋转得到 ，则旋转角
度是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查旋转的定义，掌握相关定义是解题关键．
根据“对应点与旋转中心的连线的夹角是旋转角”，可知 是旋转角，于是得到问题的答案．
解：将 绕着点O顺时针旋转得到 ，则旋转角度是 或 ．
故选：D．
3．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图， 是由 绕着某点旋转得到的，则这点（旋
转中心）的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查坐标与图形的旋转变换，熟练掌握图形旋转的性质，利用线段的垂直平分线
找旋转中心是解题的关键．连接 ，分别作 、 的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为
旋转中心，即可得出答案．
解：如图，
连接 ，
分别作 、 的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心，所以这点（旋转中心）的坐标是 ．
故选：C．
3．（24-25九年级上·福建福州·月考）如图，在平面直角坐标系 中， 由 绕点 旋
转得到．则点 的坐标为
【答案】
【分析】本题考查坐标与旋转，根据旋转中心在对应点连线的中垂线上，画出 ， 的中垂线，
， 的中垂线交点即为 点，写出点 坐标，即可解题．
解：作 ， 的中垂线交于点 ，
由图知，点 的坐标为 ；
故答案为： ．
4．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将 绕点 顺时针旋
转 得到 ，则 的度数是 ．【答案】 / 度
【分析】本题主要考查了旋转的性质，关键是要理解旋转角的定义，即对应点与旋转中心所连线段
的夹角等于旋转角，通过这个性质直接得出 的度数．
解： 因为 绕点B顺时针旋转 得到 ，根据旋转的性质，点 绕点B旋转，所以
就是旋转角． ．
故答案为：
【★题型 4】圆的基本概念（圆心、半径、弦、弧、圆周角、圆心角）
1．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）下列说法：（1）直径是弦；（2）弧是半圆；（3）经
过圆内一点可以作无数条直径；（4）半径相等的两个圆是等圆；（5）长度相等的两条弧是等弧．
其中错误的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查圆的基本概念，包括弦、弧、直径、等圆和等弧的定义．
根据圆的基本概念逐一判断各说法的正误即可．
解：直径是经过圆心的弦，说法（1）正确；
弧不一定是半圆，也可能是优弧或劣弧，说法（2）错误；
圆内一点只有是圆心时才能作无数条直径，否则只能作一条直径，说法（3）错误；
半径相等的两个圆是全等的，因此是等圆，说法（4）正确；
能够重合的弧是等弧，仅长度相等不一定能重合，说法（5）错误；
∴错误的说法的个数是3个．
故选：C．
2．（2023·福建厦门·模拟预测）如图，在半圆O中， 为直径，下列四个选项中 所对的圆周
角是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是圆周角的定义，根据圆周角的定义解答即可，熟知顶点在圆上，并且两边都
与圆相交的角叫做圆周角是解题的关键．
解： 所对的圆周角是 与 ，
故选：D．
3．（25-26九年级上·全国·课后作业）下图中的 是圆心角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆心角的概念，解决本题的关键是掌握顶点在圆心的角叫作圆心角.
根据圆心角的概念判断即可.
解：A、顶点C不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意；
B、顶点C在圆心，符合圆心角的概念，符合题意；
C、顶点C在圆内，不符合圆心角的概念，不符合题意；
D、顶点C在圆外，不符合圆心角的概念，不符合题意；
故选：B ．
4．（25-26九年级上·河南周口·期中）下列说法正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等 B．半圆是弧，但弧不一定是半圆
C．长度相等的两条弧是等弧 D．圆的切线垂直于半径
【答案】B
【分析】本题考查圆的基本概念，熟练掌握有关概念是解题的关键．
根据圆的基本概念逐项判断即可．
解：选项A：相等的圆心角所对的弧相等，需在同圆或等圆中才成立，否则不一定成立，故A错误；
选项B：直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做半圆，是弧的一种；但弧可以是劣弧、
优弧或半圆，故弧不一定是半圆，B正确；选项C：等弧指在同圆或等圆中能完全重合的弧，长度相等但圆不同则不是等弧，故C错误；
选项D：圆的切线垂直于过切点的半径，但选项未指定“过切点的”，因此说法不严谨，故D错误；
故选：B．
【★题型 5】概率的基础概念（确定事件、随机事件、概率的意义）
1．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下列事件属于必然事件的是（ ）
A．队员在罚球线上投篮一次未投中
B．掷一次骰子，向上一面的点数是6
C．经过某十字路口遇到红灯
D．抛一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上的概率为
【答案】D
【分析】本题考查了事件的分类．必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件，即概率为1的事
件．选项A、B、C描述的都是随机事件，其概率均小于1，不一定发生；选项D描述的是概率为
的事实，对于质地均匀的硬币，这一概率值是必然成立的，因此属于必然事件，即可作答．
解：A、队员罚球投篮一次未投中，可能投中也可能未投中，概率小于1，不是必然事件；
B、掷一次骰子向上一面的点数是6，有6种可能结果，概率为 ，不是必然事件；
C、经过某十字路口遇到红灯，交通灯的状态是随机的，概率小于1，不是必然事件；
D、抛一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上的概率为 ，这一概率值是客观必然的，始终成立，
因此属于必然事件；
故选：D．
2．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．投掷一枚硬币，正面向上 B．明天早晨太阳从东方升起
C．某运动员跳高成绩为20米 D．把水加热到 时，水沸腾
【答案】A
【分析】本题考查随机事件、必然事件、不可能事件的概念区分，理解“只有结果不唯一的事件才
是随机事件”是解题关键．
选项A中投掷硬币正面向上具有不确定性；选项B是必然事件；选项C和D都是不可能事件．
解：∵投掷一枚硬币，正面向上和向下都有可能发生，结果不确定，
∴A是随机事件，∵太阳从东方升起是必然事件，
∴B不是随机事件，
∵运动员跳高20米不可能，
∴C不是随机事件，
∵水在 时不会沸腾，
∴D不是随机事件．
故选：A．
3．（24-25九年级上·广东清远·期中）下列说法错误的是（ ）
A．同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是4的概率为
B．不可能事件发生的概率为0
C．买一张彩票会中奖是随机事件
D．连续掷一枚质地均匀的硬币，若5次都是正面朝上，则第6次是正面朝上
【答案】D
【分析】本题考查了概率是反映事件发生机会的大小的概念，解题的关键是掌握概率只是表示发生
的机会的大小，机会大不一定发生，机会小也有可能发生．
必然发生的事件就是一定发生的事件，因而概率是1．
不可能发生的事件就是一定不会发生的事件，因而概率为0．
不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率 并且 ．
解：A.同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是4的概率，第一个出现4的机会是 ，第二个出现4
的机会也是 ，因而点数都是4的概率为 ，故选项正确，不符合题意；
B.不可能事件发生机会为0，正确，不符合题意；
C.买一张彩票会中奖是随机事件，正确，不符合题意；
D. 连续掷一枚质地均匀的硬币，若5次都是正面朝上，则第6次不一定是正面朝上，故选项错误，
符合题意．
故选：D．
4．（24-25九年级上·广东清远·期末）概率试验活动环节，数学老师连续随机掷一枚质地均匀的硬
币，前4次的结果都是正面朝上，则第5次的结果是正面朝上的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A【分析】本题考查了概率的意义，概率公式．根据概率的意义，即可解答．
解：概率试验活动环节，数学老师连续随机掷一枚质地均匀的硬币，前4次的结果都是正面朝上，
则第5次的结果是正面朝上的概率是 ，
故选：A．
【考点二】图形识别
【★题型 6】中心对称图形与轴对称图形的区分
1．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，
直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕
着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，
这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故B不符合题意；
C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故C符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意．
故选：C．
2．（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，点 关于坐标原点的对称点 的坐标
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了关于原点的对称的点的坐标，掌握关于原点对称的性质是解决本题的关键．
根据关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数求解即可．解：∵点 关于坐标原点的对称点是点 ，
∴点 的坐标为 ，
故选A．
3．（25-26九年级上·河南·期中）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中
心对称图形的是（ ）
A． 杨辉三角 B． 笛卡尔心形线
C． 科克曲线 D． 斐波那契螺旋线
【答案】C
【分析】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的判定方法
是解题的关键．
根据把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫
做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相
重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐项判断，即可求解．
解：根据轴对称图形和中心对称图形的定义，可知，
A、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项A不合题意，
B、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项B不合题意，
C、原图既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项C符合题意，
D、原图不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项D不合题意．
故选：C．
4．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，将线段 绕原点
顺时针旋转 得到 ，则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查点坐标的变换，掌握点关于原点对称的特点是关键．
线段 绕原点O旋转 ，相当于点A关于原点中心对称，坐标变为相反数．解：∵点 绕原点O旋转 ，
∴点 与点A关于原点对称，
即x坐标和y坐标均取相反数，
∴ ，
故选：C．
【★题型 7】二次函数图象的初步识别（开口方向、顶点位置）
1．（25-26九年级上·云南昭通·期中）已知，如图，腰长为3的等腰直角三角形 的两个底角的
顶点分别与抛物线 与x轴、y轴交于点A、B，对称轴为直线 ，其顶点C的坐标
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、等腰直角三角形的性质以及二次函数其他有关
的性质，牢记二次函数的顶点式是解答本题的关键，难度不大．
由已知条件易求点A，B的坐标，代入抛物线 求出k的值即可求出其顶点C的坐标．
解： 是等腰直角三角形，
，
点 ，
，解得： ，
，
顶点C的坐标是 ，
故选：C．
2．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， ， ，形状相
同的抛物线 的顶点在直线 上，其对称轴与 轴的交点的横坐标依次为2，3，
5，8，13，…，根据上述规律，抛物线 的顶点坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标，待定系数法求直线关系式，根据待定系数法求出直
线 的关系式，再根据规律确定抛物线 的横坐标，再代入关系式得出答案．
解：设直线 的关系式为 ，根据题意，得
，
解得 ，
∴直线 的关系式为 ．
抛物线 的横坐标为21，
∴ ，∴抛物线 的顶点坐标为 ．
故答案为： ．
3．（13-14九年级上·北京·期中）已知函数图象如图所示，根据图象可得：
（1）抛物线顶点坐标 ．
（2）对称轴为 ．
（3）当 x= 时，y 有最大值是 ．
（4）当 时，y 随着 x 得增大而增大．
（5）当 时， ．
【答案】
【分析】（1）由抛物线与x轴两个交点的坐标，根据二次函数的对称性可得顶点坐标；
（2）根据二次函数的性质可得对称轴；
（3）根据抛物线的顶点坐标即可求解；
（4）根据二次函数的性质即可求解；
（5）抛物线在x轴上方的部分对应的x的取值即为所求．
解：（1） 抛物线与 轴交于点 ， ，
顶点横坐标为 ，
由图可知顶点纵坐标为2，
顶点坐标为 ；
（2）对称轴为 ；
（3）当 时， 有最大值是2；（4）当 时， 随着 得增大而增大；
（5）当 时， ．
故答案为（1） ；（2） ；（3） ，2；（4） ；（5） ．
【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数 的顶点坐标是 ，
，对称轴直线 ，二次函数 的图象具有如下性质：①当 时，
抛物线 的开口向上， 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的
增大而增大； 时， 取得最小值 ，即顶点是抛物线的最低点．②当 时，抛物
线 的开口向下， 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大
而减小； 时， 取得最大值 ，即顶点是抛物线的最高点．
【考点三】巩固基本运算
【★题型 8】一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）
1．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）用适当方法解下列一元二次方程：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
【答案】（1） ， ；；（2） ， ；（3） ， ；（4）
，
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键，
（1）利用提公因式法解方程即可得到答案；（2）利用直接开平方解方程即可得到答案；
（3）利用因式分解法解方程即可得到答案；
（4）利用公式法解方程即可得到答案
解：（1）解：
提公因式得：
解得： ， ．
（2）解： ，
开平方得： ，
解得： ， ．
（3）解：
因式分解得：
解得： ， ．
（4）解：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
2．（25-26九年级上·河北保定·期中）选择合适的方法解下列方程：
（1） （2）
（3） （4）【答案】（1） ， ；（2） ， ；（3） ，
；（4） ，
【分析】此题考查解一元二次方程，包括直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等，解题关
键在于掌握一元二次方程的各种解法．
（1）移项，直接开平方可求解．
（2）运用配方法求解．
（3）运用公式法求解．
（4）运用因式分解法求解．
解：（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故 ， ．
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故 ， ．
（3）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故 ， ．（4）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故 ， ．
3．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）下面是小昊同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完
成相应的任务．
解方程： ．
解：方程两边同除以 ，得 ．…第一步
移项，合并同类项，得 ．…第二步
系数化为1，得 ．…第三步
任务：
（1）小昊的解法从第_______步开始出现错误；
（2）此题的正确结果是_______．
（3）用因式分解法解方程： ．
【答案】（1）一；（2） ， ；（3） ，
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据解题过程结合等式的性质即可解答；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（3）利用因式分解法解一元二次方程即可．
解：（1）解：由题意可得：小昊的解法从第一步开始出现错误；
（2）解：∴ 或
∴ ， ；
（3）解：
∴ 或
∴ ， ．
4．（25-26八年级上·上海·期中）解方程：
（1） （2）
【答案】（1） ， ；（2）
【分析】本题考查了一元二次方程与分式方程的解法，解题的关键是整式方程通过展开化简后因式
分解求解，分式方程需去分母转整式方程并检验增根．
（1）将方程展开化简为一元二次方程，因式分解求解；
（2）分式方程去分母转整式方程，化简求解后检验增根，即可解答．
解：（1）解：
解得 ， ；（2）解：
或
检验：当 时， ，（舍去）．
∴方程的解为 ．
【★题型 9】根的判别式与根与系数关系（Δ 的计算、韦达定理简单应用）
1．（24-25八年级下·河南漯河·期末）已知关于 的一元二次方程 没有实数根，请写
出一个符合条件的整数 的值为 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的判别式的意义．
先根据根的判别式的意义得到 ，解不等式，可得 的范围，然后在此范围内取一个值
即可．
解：∵关于 的一元二次方程 没有实数根，
∴ ，
∴ ，
∴当 时，关于 的一元二次方程 没有实数根，
故答案为： ．
2．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）等腰三角形一条边的长度为3，另两条边的长度是关于x的
一元二次方程 的两个根，则k的值是 ．
【答案】18
【分析】本题主要考查了根的判别式、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质等知识点，分3为
等腰三角形的腰与3为等腰三角形的底两种情况考虑是解题的关键．分3为等腰三角形的腰与3为
等腰三角形的底两种情况讨论，再利用一元二次方程的解和根的判别式即可得解．解：当3为等腰三角形的腰时，将 代入原方程得， ，解得： ，
此时原方程为 ，
解方程得， ， ，
，
不能为等腰三角形的腰，
当3为等腰三角形的底时，方程 有两个相等的实根，
，
解得： ，
原方程为： ，
，
可以围成等腰三角形，
，
故答案为：18．
3．（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若 是方程的一个根，求 的值．
【答案】（1）证明见分析；（2） 的值为
【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程
的解，掌握知识点的应用是解题的关键．
（ ）求出 ，从而得证；
（ ）将 代入方程 得： ，然后求出 的值即可．
解：（1）证明： ，
∴该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：将 代入方程 得： ，
解得： ，∴ 的值为 ．
4．（24-25八年级下·北京房山·期末）关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根为非负数，求 的取值范围．
【答案】（1）证明过程见详解；（2）
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，求根式公式的运用，理解题意，掌握判别式，求
根公式，分类讨论思想是关键．
（1）根据一元二次方程根的判别式计算即可；
（2）根据求根公式得到 ，分类讨论即可求解．
解：（1）解：关于 的一元二次方程 ，
∴ ，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：关于 的一元二次方程 ， ，
∴ ，
当 时， ，
解得， ，
∵方程有一个根为非负数，
∴ ，
解得， ，与 不符合；
当 时， ，
解得， ，
∴ ，
解得， ；
综上所述， ．【★题型 10】二次函数的解析式求解（待定系数法：一般式、顶点式）
1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数图象的顶点坐标为 ，且经过点 ．
（1）求该二次函数表达式；
（2）直接写出y随x的增大而减小时x的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【分析】主要考查的是二次函数的性质，求二次函数解析式．
（1）把 代入 中求出a即可得到抛物线解析式；
（2）根据抛物线的对称轴 即可得到结论；
解：（1）解：∵二次函数图象的顶点坐标为 ，
∴设二次函数表达式为 ，
把 代入 ，
得 ，
解得 ，
所以二次函数表达式为 ；
（2）∵ ，抛物线的开口向下，
抛物线的对称轴为 ，
∴当y随x的增大而减小时x的取值范围 ．
2．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）小明在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组 与 的
对应值．
… …
… …
（1）求该二次函数的表达式；
（2）该二次函数的图象与直线 恒有两个交点 ， ，请直接写出 的取值范围．
【答案】（1）该二次函数的表达式为 ；（2）【分析】（1）由表格知二次函数的顶点为 ，故可设二次函数 ，又图
象过 ，可得 ，求出 的值即可求解；
（2）由（1）得 ，令 ，从而可得 ，故 ，又二次函
数的图象与直线 恒有两个交点 ， ，进而可得 ，解出 的取值范围即可．
解：（1）解：由表格数据集合二次函数图象对称性可得图象顶点为 ，
设二次函数的表达式为 ，
将 代入得 ，
解得： ，
该二次函数的表达式为 ；
（2）解：由（1）得 ，
令 ，
，
，
二次函数的图象与直线 恒有两个交点 ， ，
，
．
【点拨】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象、二次函数的性质、二次
函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
3．（24-25九年级上·广东汕尾·期末）已知二次函数的图象交 轴于点 ， ，交y轴于
点 ．
（1）求此二次函数的解析式；（结果用一般式表示）
（2）当 时，求函数值y的取值范围．【答案】（1） ；（2）
【分析】本题考查了抛物线与 轴的交点问题、待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质，
熟练掌握以上知识点是关键．
（1）设交点式 ，然后把 点坐标代入求出 值即可；
（2）结合函数性质，写出当 时对应的函数值的范围即可．
解：（1）解：二次函数的图象经过点 ， ，
设抛物线解析式为 ，
把 代入得 ，
解得 ，
所以抛物线的解析式为 ，
即 ；
（2）解：抛物线与 轴交点坐标为 ， ，
抛物线的对称轴为直线 ，
当 时， ，函数最大值为 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时，函数值 的取值范围为： ．
【★题型 11】圆的基础计算（弧长、扇形面积、圆锥侧面积 / 全面积）
1．（25-26九年级上·河南安阳·期末）如图，在 中， ，将
绕直线 旋转一周得到的几何体的全面积为 （结果保留 ）．【答案】
【分析】本题考查了“旋转体的表面积”“勾股定理”，掌握旋转体与旋转面之间的关系是解题关
键．
利用勾股定理可以求出 的长，直角三角形沿直角边旋转得到的旋转体是圆锥，根据对应线段的
长度求全面积（即表面积）即可．
解：在 中，由勾股定理，得 ，
旋转一周得到的几何体是圆锥，根据旋转过程，其中 为圆锥的母线， 为高， 为底面圆半
径，
∴底面圆的面积为 ，底面圆的周长为 ，
∴圆锥的侧面积为 ，
∴圆锥的全面积（表面积）为 ，
故答案为： ．
2．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，
，且点B，C在 上．若 ，则 的长为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了圆的相关知识，涉及勾股定理，同弧所对的圆心角与圆周角的2倍关系，以及
弧长的计算．解题的关键是求出圆的半径与 所对的圆心角．根据 ，延长 到圆心E，在 设未知数求出半径的长，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍，即可求出 圆
心角 ，利用弧长公式即可求解．
解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 轴，
∴圆心在y轴上，
设圆心为点E，连接 、 、 ，
，
∵在坐标系中： ， ， ，
∴可知： ， ，
此时由于半径相等： ，
∴设 ，则 ，
∵由题可知： ，
∴在 中有勾股定理： ，
∴ ，解得： ，
∴半径为：5，
∵同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍， ，
∴ ，
∴ 的长为： ．
故答案为： ．
3．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，
现随机向该正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 结果保留【答案】
【分析】用阴影部分的面积除以正方形的面积即可求得答案．
本题主要考查了几何概率的知识，解题的关键是了解概率的求法，难度不大．
解： 正方形的边长为2，
阴影部分的面积 ，正方形的面积为4，
随机向该正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为
故答案为：
4．（24-25九年级下·山东青岛·期末）如图所示，已知圆锥的母线长 ，底面圆的半径为
，一只小虫从圆锥底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A处．则小虫所走的最短路程为（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，两点之间线段最短，弧长公式，先将圆锥的侧面展开，
得 ， ，再结合弧长公式求出 ，运用勾股定理列式计算得
，即可求出小虫所走的最短距离，即可作答．
解：圆锥的侧面展开图，如下所示：∴ ，
∴
设
∵圆锥的母线长 ，底面圆的半径为 ，
∴
则
解得
依题意，得 ，
∵
∴
∴
∴
∴
故选：D
5．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，四边形 内接于 ， ，
．若 的半径为6，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了圆的内接四边形的性质、圆周角定理、弧长计算、三角形内角和定理等知
识点，熟练掌握圆周角定理及弧长计算是解题的关键．先根据圆的内接四边形的性质可得： ，再根据三角形内角和定理可得 ，
然后运用圆周角定理可得 ，最后根据弧长公式计算即可．
解：如图：连接 ，
∵四边形 内接于 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的半径为6，
∴ 的长为 ．
故选：C．
6．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，在 中， ， ，以点 为圆心，
长为半径的 与 相交于点 ，连结 ．
（1）求 的度数；
（2）若 ，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题主要考查了扇形面积的计算、含 角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性
质及等腰三角形的性质，熟知扇形面积的计算公式是解题的关键．
（1）先求出 的度数，再由 得出 ，最后利用外角性质即可得答案；
（2）过点 作 于点 ，将阴影部分的面积转化为扇形 与 的面积之差即可解
决问题．
解：（1）解：∵ ， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：过点 作 于点 ，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【★题型 12】简单概率的计算（古典概率、几何概率）
1．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，在 中，对角线 ， 相交于点O，若在
内随机取点，则点落在 内的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了几何概率，平行四边形的性质，关键是求出 的面积与平行四边形的面积之比．先根据平行四边形的性质得出 ，求出 的面积与
的面积之比，即可得出点落在 内的概率．
解：∵在平行四边形 中， ，
∴ 的面积占 面积的 ，
∴点落在 内的概率为 ，
故选：C．
2．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，有两个同心转盘，现随意转动两转盘，两转盘静止后，
恰为如图情形（大转盘与小转盘的标号相对应）的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先观察图形，可知有6种等可能的结果，大转盘与小转盘的标号相对应的情况有1种，
然后根据概率公式求解，即可求得答案．
此题考查了概率公式的应用．
解：观察图形可知：只要1与1对应，则可满足大转盘与小转盘的标号相对应，
又∵1可能与1，2，3，4，5，6对应，即有6种等可能的结果，
大转盘与小转盘的标号相对应的情况有1种，
∴大转盘与小转盘的标号相对应的概率为 ．
故选：C．
3．（24-25七年级下·福建漳州·期末）2025年是蛇年，现将背面完全一样，正面分别写有“巳”、
“巳”、“如”、“意”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽取的两张
卡片上的文字恰好能组成“如意”的概率是 ．
【答案】【分析】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，根据题意，准确画出树状图或列出表格得到
所有等可能结果是解题的关键．
分别记“巳”、“巳”、“如”、“意”为A，B，C，D，利用树状图的方法可得所有等可能结果；
再找恰好组成“如意”字样的结果数，利用概率公式计算可得．
解：分别记“巳”、“巳”、“如”、“意”为A，B，C，D，画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中恰好组成“如意”字样的结果数有2种结果，
所以抽取的两张卡片上的文字恰好组成“如意”字样的概率为： ，
故答案为： ．
【考点四】性质与判定辨析
【★题型 13】旋转的性质（对应点到旋转中心的距离、对应角相等）
1．（24-25八年级下·山西晋中·期末）如图，将 绕点C顺时针旋转 得到 ．当点 落
在 的延长线上时，恰好 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等
知识点，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和平行线的性质．
利用旋转的性质得出 ，再利用等腰三角形的性质得出 ，
可得 ．
解：由旋转知 ， ， ，
，
，
，，
，
故选B．
2．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）如图，将 绕点 逆时针旋转一定的角度得到 ，
此时边 经过点 ，若 ， ，则 的长是 ．
【答案】
【分析】本题考查旋转的性质，由旋转得出 ，由 解题．
解： 由 绕点 逆时针旋转一定的角度得到，
，
．
故答案为： ．
3．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在等腰直角 中， ， 为 内一
点，将线段 绕点 逆时针旋转 后得到 ，连接 ，若 的度数为 ，则 的
度数为________．
【答案】 /10度
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、等腰直角三角形的性质、旋转的性质，解决问题的关
键是利用旋转性质得到全等判定的条件，利用全等转化角解决问题．
根据题意可得出 ，再证明 ，利用全等转化角即可求解．
解： 是等腰直角三角形，
，
，
，
，，
，
，
由题意得， ，
在 和 中，
，
，
，
，
故答案为： ．
4．（2022·广西贵港·中考真题）如图，将 绕点A逆时针旋转角 得到 ，
点B的对应点D恰好落在 边上，若 ，则旋转角 的度数是 ．
【答案】 /50度
【分析】先求出 ，由旋转的性质，得到 ， ，则 ，
即可求出旋转角 的度数．
解：根据题意，
∵ ，
∴ ，
由旋转的性质，则 ， ，
∴ ，
∴ ；
∴旋转角 的度数是50°；
故答案为：50°．
【点拨】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握旋转的性质进行计
算．【★题型 14】垂径定理与圆周角定理及其推论（同弧所对圆周角与圆心角的关系）
1．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图， 内接于 ，点B是 的中点， 是 的
直径，若 ， ，则 的长为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查圆周角定理，直角三角形中 角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知
识，正确地添加辅助线是解题的关键．
连接 ，则 ，由 是 的直径，得 ，而 ，则
，由点B是 的中点，得 ，则 ，由 ，
求得 ，于是得到问题的答案．
解：连接 ，则 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵点B是 的中点，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
2．（25-26九年级上·全国·期末）如图，已知 是 的直径，B，C，E是 上的三个点，连接
， ， ， ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质．根据圆内接四边形对角互补的性质求得
的度数，再利用直径所对的圆周角是直角进行求解即可．
解：连接 ，
∵四边形 内接于 ，且 ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
3．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图， 的弦 、 相交于点 ， ，为 ，则 °．
【答案】
【分析】本题考查了圆心角圆周角之间的关系，以及三角形的外角性质，熟练掌握基本性质是解题
关键；
先通过 得到 ，再通过 为 得到 ，进而再通过三角形的外角性质可求解．
解：∵ ，
∴ ，
∵ 为 ，
∴ ，
∵根据三角形的外角性质可知，
∴ ，
故答案为：100．
【★题型 15】二次函数的图象性质（开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性）
1．（19-20九年级上·浙江温州·期末）如果三点 ， 和 在抛物线
的图象上，那么 ， 与 之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，
能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
通过将二次函数化为顶点式，确定对称轴和开口方向，利用二次函数的性质比较点的纵坐标大小即
可．解：∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，当 时，y随x的增大而增大，
∴ 关于对称轴的对应点为 ，
∵ ，
∴ ．
故选：A
2．（11-12九年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）若一次函数 的图象经过第二、三、四象限，
则二次函数 的图象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的图像及性质，二次函数的图像及性质．根据一次函数的图像经过的象
限确定 ， ，进而根据二次函数的图像的开口方向及对称轴，即可解答．
解： 一次函数 的图像经过第二、三、四象限，
∵
， ，
二次函数 的图像开口向下， ，
∴
对称轴在y轴左侧，则符合题意的选项为C．
∴故选：C．
3．（24-25九年级上·湖南湘西·期末）如图，已知 为 的直径， 为 的弦，且11．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知二次函数 的图象如图所示，对称
轴是直线 ．给出下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其
中正确的是 填序号
【答案】①④
【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想
是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．
根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定a、b、c的符号，根据对称轴和图象确定当
时，当 时， 的范围，确定代数式的符号．
解：由题图知 ， ，
，
抛物线与 轴交于负半轴，
，
，故 正确；
对称轴为直线 ，
，即 ，
，故 错误；
当 时， ，
，故 错误；
当 时， ，对称轴为直线 ，
当 时， ，
，故 正确．
故答案为：①④．
4．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， ，连接 ．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）在 下方的抛物线上有一点N，过点N作 轴，交 于点M，交x轴于点D，当点
N的坐标为多少时，线段 的长度最大？最大是多少？
【答案】（1） ；（2）当点 的坐标为 时， 有最大值，最大值为
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一
次函数的解析式，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可．
（2）利用待定系数法求出 的解析式，设 ，则 ，可得出
，最后利用二次函数的性质即可求解即可．
解：（1）解： 抛物线 经过 、 两点，且 ，
， ，
将 ， 代入抛物线解析式，得 ，
解得 ，
故此抛物线的函数解析式为： ；（2）设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入，得 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
设 ，
∵ 轴，
∴ ，
，
，
当 时， ，
把 代入抛物线，得点 的坐标为 ，
当点 的坐标为 时， 有最大值，最大值为
【★题型 16】切线的性质与判定
1．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，在 中，以边 上一点O为圆心， 为半径
作 ，与 相切于点A．作 交 的延长线于点D，且 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若A ， ，则 的半径是__________．【答案】（1）见分析；（2）
【分析】本题考查切线的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解
题的关键是掌握切线的判定和性质．
（1）过O点作 于点E，推导出 ，然后根据角平分线的性质即可得到
，证明结论；
（2）先利用勾股定理求出 长，然后利用全等三角形得到 ，然后再在 中利
用勾股定理解题即可．
解：（1）证明：过O点作 于点E，
∵ 与 相切于点A，
∴
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ 是 的切线；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，即 ，
解得： ．
故答案为： 。
2．（23-24九年级上·北京东城·期末）如图， 为 的直径，点C在 上， 的平分线
交 于点D，过点D作 ．交 的延长线于点E．
（1）求证：直线 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）证明见分析；（2）
【分析】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理，勾股定理，相似三角
形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决问题的关键．
（1）连接 ，利用角平分线的定义，圆周角定理和圆的切线的判定定理进行解答即可；
（2）设 与 交于点F，利用含 角的直角三角形的性质，勾股定理求得 和 的长度，
再利用相似三角形的判定与性质求得 和 的长度，最后利用勾股定理进行解答即可．
解：（1）证明：连接 ，如图，
是 的平分线，
，
，
为 的直径，
，，
，
，
为 的半径，
直线 是 的切线．
（2）解：设 与 交于点F，如图，
为 的直径，
， ，
， ，
，
， ，
过点C作 于点H，则 ，
，
，
，
，
，
令 ，则 ，
，
，， ，
，
，
．
答： 的长为 ．
3．（24-25九年级上·广东广州·期末）已知线段 、 与 相切，切点分别为 、 ，
， ．
（1）过点 作 的切线（在线段 的上方）与 的延长线交于点 ，切点为点 ．（要求：
尺规作图、保留作图痕迹、不写作法）．
（2）求证： 与 相切．
（3）若 ， ，求 的半径．
【答案】（1）作图见分析；（2）证明见分析；（3）
【分析】（1）连接 并延长 交 于点 ，以 为圆心 为半径作弧交 于点 ，连接
，延长 交 的延长线于点 ；
（2）由（1）可得结论；
（3）设 的半径为 ，过点 作 于点 ，则四边形 是矩形，利用勾股定理构
建方程求解．
解：（1）解：如图，连接 并延长 交 于点 ，以 为圆心 为半径作弧交 于点 ，
连接 ，延长 交 的延长线于点 ，连接 、 、 ，∴ ，
∵线段 、 与 相切，切点分别为 、 ， ，
∴ ， ， ， ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∵ ， ， ，
∴四边形 是矩形，
又∵ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的直径，即点 在 上，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ 是 的半径，
∴ 与 相切于点 ，
则 即为所作；
（2）证明：由（1）知： 即 ，且点 在 上，
∴ 与 相切；
（3）解：设 的半径为 ，
过点 作 于点 ，则 ，∵ ， ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 、 、 都是 的切线，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ 的半径为 ．
【点拨】本题考查作图—复杂作图，切线的判定和性质，切线长定理，正方形的判定和性质，矩形
的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是理解题意，学会利用
数形结合的思想解决问题．
4．（21-22九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，已知 为 的直径，点C为 上一点，延
长 至点D，连接 ，且 ，过点A作 交 的延长线于点E．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）见分析；（2）6
【分析】本题考查了切线的判定和性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了
圆周角定理的推论，切线长定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
（1）连接 ，结合圆周角定理以及等腰三角形的性质可得 ，即可求证；
（2）在 中，由勾股定理可得 ，从而得到 ，再由切线长定理可得 ，
然后在 中，由勾股定理解答即可．
解：（1）证明：如图，连接 ，∵ 为 的直径，
∴ ，
，
∵ ，
∵ ，
，
∴ ，即 ，
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线．
（2）解：由（1）知， ，
∴在 中，由勾股定理，得 ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∵ ， 为 的直径，
∴ 是 的切线，
∵ 是 的切线，
∴ ，
在 中，由勾股定理，得 ，
即 ，
解得： ．
二综合篇【考点五】综合运算与实际应用
【★★题型 17】一元二次方程与代数式化简综合
1．（24-25九年级上·湖南怀化·开学考试）先化简，再求值： ，其中x满足方程：
．
【答案】 ，
【分析】本题考查了分式的化简求值，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．
先计算括号内的，再将除法变为乘法化简，根据题意解方程 ，再根据分式有意义的条
件确定 的值，代入到化简结果计算即可．
解：
，
，
，
解得： ， ，
要分式有意义，则 且 且 ，
当 时，
原式 ．
2．（2023九年级·全国·专题练习）先化简，再求值： ，其中x是方程
的根．
【答案】 ，
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用因式分解法解方程求出x的值，继而选择使分式有意义的x的值代入计算可得．
解：原式
，
解 ，
分解因式得： ，
或 ，
或 ，
，
，
，
当 时，
原式 ．
【点拨】本题主要考查分式的化简求值，解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识
进行求解．
3．（25-26九年级上·江西新余·期中）先化简．再求值： ．其中 是方程
的解．
【答案】 ，
【分析】本题主要考查分式的化简求解及一元二次方程的解，熟练掌握分式的化简求解及一元二次
方程的解法是解题的关键；因此此题可先化简分式，然后根据一元二次方程的解可求解．
解：原式；
∵ 是方程 的解，
∴ ，即 ，
∴原式 ．
4．（25-26九年级上·湖南邵阳·阶段练习）先化简，再求值： ，其中 是一
元二次方程： 的一个解．
【答案】 ，
【分析】本题考查分式化简求值，涉及分式混合运算、解一元二次方程等知识，熟练掌握分式混合
运算法则是解决问题的关键．
先由分式混合运算化简得到 ，再解一元二次方程，根据分式分母不为零得到 ，代入化简
后的式子计算即可得到答案．
解：
，
解方程 得： ， ，
分式分母不能为零，
，
把 代入 ．
【★★题型 18】一元二次方程的实际应用（增长率、利润、几何面积问题）1．（25-26九年级上·广东揭阳·期中）某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业
额共1000万元，如果平均月增长率为x， 则由题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用—增长率问题．
根据一月份的营业额，计算二月份和三月份的营业额，利用第一季度总营业额列方程即可．
解：一月份营业额为200万元，
二月份营业额为 万元，
三月份营业额为 万元，
∴第一季度总营业额为 ．
故选：D．
2．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，若线段 将边长为6、8、 的三个正方形组成的图
形分成面积相等的两部分，则 ．
【答案】2或6
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、三角形的面积等知识，找准等量关系，正确列出一元二
次方程是解题的关键．
延长 相交于点 ，则 是直角三角形，根据线段 将边长为6、8、 的三个正方形
组成的图形分成面积相等的两部分，列出一元二次方程，解方程即可．
解：如图，延长 相交于点 ，
则 是直角三角形，由题意得： ，
整理得： ，
解得： ，
∴m为2或6，
故答案为：2或6．
3．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一
带”的规定.某经销商销售某品牌头盔，进价为30元/个，经统计该品牌头盔2月份销售256个，4
月份销售400个，且从2月份到4月份销售量的月平均增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月平均增长率；
（2）经测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1
元/个，则月销售量将减少10个．
①为使月销售利润达到11250元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应上涨多
少元？
②若想使月销售利润达到12500元，则这个要求能否实现？请通过计算说明．
【答案】（1） ；（2）①15元；②不能实现，计算说明见分析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，熟练掌握增长率问题和
销售利润问题，列出一元二次方程，判断一元二次方程解的情况，是解题的关键．
（1）设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x，根据经统计该品牌头盔2月份销售256个，4月份
销售400个，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）设该品牌头盔的实际售价每个应增长a元，则此时售价为 元，①根据月销售利润达到
11250元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；②根据使月销售利润达到12500元，列
出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论．
解：（1）解：设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x，
由题意得： ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为 ；
（2）①解：设该品牌头盔的实际售价每个应增长a元，
则此时售价为 元，由题意得： ，
解得： （不符合题意，舍去）， ，
答：品牌头盔的实际售价每个应上涨15元；
②不能实现，理由如下：
由题意得： ，
整理得： ，
∴ ，
∴方程无实数根，
故不能实现利润为12500元．
4．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）一个小球以 的速度开始向前滚动，并且均匀减
速， 后停止运动．
（1）小球的滚动速度平均每秒少 ．
（2）已知小球滚动 用了 秒．（温馨提示： 表示小球滚动 秒时的瞬时速度，平均速度
，滚动路程 ）
①求这段时间内小球的平均速度 （用含 的整式表示）
②求 值．
【答案】（1） ；（2）① ，②
【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用．
（1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间，再进一步求解即
可.
（2）①利用 列代数式即可；
②利用 建立一元二次方程求解即可.
解：（1）解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间，
即 ，故小球的滚动速度平均每秒减少 ．
（2）解：①这段时间内小球的平均速度 ；
②由题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ，
∵ ，
∴ 不符合题意，
∴ .
【★★题型 19】二次函数的实际应用（最值问题：利润、高度、面积）
1．（25-26九年级上·山东济宁·期中）在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物琮琮、莲莲、宸宸
家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店销售一批吉祥物毛绒玩具，平均每天可销售30件，
每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现：每件毛绒玩具
每降价1元，商场平均每天可多售出2件，据此规律，请回答：
（1）设每件毛绒玩具降价 元，则商场此商品可多售出________件；此毛绒玩具每件盈利
________元；此毛绒玩具每天可销售________件；
（2）每件毛绒玩具降价多少元时；商场日盈利可达到2100元？
（3）每件毛绒玩具降价多少元时，商场日盈利最大？
【答案】（1） ， ， ；（2）每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元；
（3）每件商品降价17.5元，商场日盈利最大
【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列方程求解是解题的关键．
（1）降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出 件，盈利的钱数原来的盈利减去降低的钱
数；
（2）等量关系为：每件商品的盈利×可卖出商品的件数 ，把相关数值代入计算得到合适的解
即可；
（3）设每件商品降价 元，商场日盈利 元，得 ，当 时， 有最
大值．
解：（1）解：设每件商品降价 元，则商场此商品可多售出 件，此商品每件盈利 元，
此商品每天可销售 件.
故答案为： ， ， ；
（2）解：设每件商品降价 元，由题意得：
，
化简得： ，
解得： ， ，
该商场为了尽快减少库存，则 不合题意，舍去. .
答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元.
（3）解：设每件商品降价 元，商场日盈利 元，由题意得：
，
， 时， 有最大值．
答：每件商品降价17.5元，商场日盈利最大.
2．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）如图，一小球 从原点 处抛出，球的抛出路线近似拋物线．
若小球到达最高点的坐标为 ， ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若要在斜坡OA上的点 处竖直立一个高5米的广告牌，点 的横坐标为3，请判断小球 能
否飞过这个广告牌？通过计算说明理由；
（3）计算小球 在飞行的过程中与斜坡OA的最大高度？此时距原点的水平距离是多少？【答案】（1） ；（2）能飞过，理由见分析；（3） 米， 米
【分析】本题主要考查了二次函数的应用、待定系数法求二次函数的解析式和一次函数解析式等知
识，解题的关键是利用数形结合与方程思想分析解决问题．
（1）设抛物线的表达式为 ，把点 坐标代入解析式求出 即可；
（2）先用待定系数法求出 的解析式为 ，再把把 分别代入 和
，即可得到答案；
（3）结合题意，可知小球 在飞行的过程中离斜坡 的高度为 ，用二次
函数的性质即可得到结论．
解：（1）解：∵小球到达的最高的点坐标为 ，
∴设抛物线的表达式为 ，
把 代入函数解析式，可得 ，
解得 ，
∴抛物线的表达式为 ；
（2）设直线 的解析式为 ，
则有 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，
∴ ，
对于 ，当 时， ，∵ ，
∴小球 能飞过这个广告牌；
（3）小球 在飞行的过程中离斜坡 的高度为
，
∵ ，
∴当 时， 有最大值，最大值为 ，
∴ 在飞行的过程中距离斜坡 的高度最大为 米，与原点的水平距离是 米．
3．（25-26九年级上·河南安阳·期末）已知二次函数 （ 为非零常数）经过点
．
（1）求 的值；
（2）若原二次函数的图象与 轴交于 两点，与 轴交于点 ，求 的值；
（3）当 时，求 的最大值与最小值的差．
【答案】（1） ；（2）15；（3）16
【分析】本题主要考查了求二次函数与 轴的交点坐标，二次函数的性质，熟知二次函数的相关知
识是解题的关键．
（1）将 代入函数解析式即可求解；
（2）先求出原解析式，令 和 ，求出 的值和点C的坐标，进而计算即可得出答案；
（3）先将函数变为顶点式，再根据顶点式的性质求解即可．
解：（1）解：将 代入 ，
得： ，
解得 ；
（2）解：当 时， ，
令 ，则 或 ，可得 ，
将 代入 ，得 ，
故点 坐标为 ，
；
（3）解：由题意得 ，
∴对称轴为直线 ，且 ，
∴抛物线开口向上，
当 时， 有最小值为 ，
，且直线 比直线 距离对称轴较远，
将 代入 可得 的最大值为7，
当 时， 的最大值与最小值的差为： ．
4．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，二次函数 的图象与 轴相交于点 和点
，与 轴交于点 ，连接
（1）求此二次函数的解析式；
（2）点 在二次函数图象上，且位于直线 上方，求 面积的最大值
（3）若点 在二次函数图象上，且满足 ，直接写出所有符合条件的点 的坐标．【答案】（1） ；（2） ；（3） 或
【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，求二次函数解析式，数形结合是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）连接 ，设 ，然后根据 列出函数关系式，再根
据二次函数的性质求解即可；
（3）根据待定系数法求出直线 解析式为 ，则可求直线 与直线 相交于 ，
设为点D，连接 并延长交抛物线于P，根据抛物线的对称性得出A、C关于直线 对称，则
，即 ，同理可求出直线 解析式为 ，联立方程组
，即可求出点P的坐标；作点D关于x轴的对称轴点E，连接 并延长交抛物线
于 ，则 ， ，即 同理可求点 的坐标，即可求解．
解：（1）解：把 和 代入 ，
得 ，
解得 ，
∴ ；
（2）解：如图，连接 ，设 ，
当 ，则 ，
解得 ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，∴ ．
，
∵ ，抛物线开口向下，
∴当 时， 的面积取得最大值 ；
（3）解：∵ ，
∴对称轴为直线
设直线 解析式为 ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
∴ 与直线 相交于 ，设为点D，连接 并延长交抛物线于P，∵A、C关于直线 对称，
∴ ，即 ，
同理可求出直线 解析式为 ，
联立方程组 ，
解得 或 ，
∴ ，
作点D关于x轴的对称轴点E，连接 并延长交抛物线于 ，
则 ， ，即 ，
同理可求直线 解析式为 ，联立方程组 ，
解得 或 ，
∴ ，
综上，当 时，点P的坐标为 或 ．
【★题型 20】圆的实际应用（拱桥跨度、扇形统计图、滚轮行程）
1．（25-26九年级上·山东日照·期中）如图，圆弧形桥拱的跨度 米，拱高 米，则拱
桥的半径为（ ）
A．13米 B．10米 C．12米 D．20米
【答案】A
【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关
键．设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，连接 ，则O、D、C三点共线，根据垂径定理
得 米，再由勾股定理得出方程，解方程即可．
解：设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，如图，连接 ，则O、D、C三点共线，
∵拱高为 ，
∴ ，
∵ 米，
∴ 米，在 中，根据勾股定理，得： ，
即 ，
解得： ，
即拱桥的半径为13米，
故选：A．
2．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，赵州桥又名安济桥，俗称大石桥，始建于隋代，由匠
师李春设计建造，它是世界上现存最古老跨度最大的敞肩圆弧拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的
结晶．主桥拱的跨度 约为 米，拱高 约为 米，则主拱桥的半径为 米（结果精确到
）．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由垂径定理可得 ，再利用勾股定
理解答即可求解，掌握垂径定理是解题的关键．
解：如图，由题意可得 ，
∴ 米， ，
设 米，则 米，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴主拱桥的半径为 米，
故答案为： ．3．（2025·甘肃平凉·模拟预测）生活中常见的轮子都是圆形，有一种特殊的莱洛三角形，是由三段
相等的圆弧构成，虽然不是圆，但是用它的形状做成滚轮（如图①）的效果和圆形滚轮是相同的，
其原理为每个顶点到所对圆弧的距离都为等边三角形的边长，如图② 的边长为 ，则这个
莱洛三角形的周长为 cm．
【答案】
【分析】本题考查等边三角形的性质，弧长的计算．先得出 ，
， 则 ，再用弧长公式计算即可．
解： 是等边三角形，
， ，
，
∵每个顶点到所对圆弧的距离都为等边三角形的边长，
∴ ，
这个莱洛三角形的周长为 ．
故答案为： ．
4．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）赵州桥是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的
石拱桥（如图1），始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．
现有一座仿赵州桥建造的圆拱桥，已知在某个时间段这座桥的水面跨度是16米（即 米，如
图2），拱顶到水面的距离4米（即 弧的中点C到 的距离 等于4米）．
（1）在图2中画出线段 ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）问一艘宽12米，水面以上高 米的货轮能否顺利通过？【答案】（1）见分析；（2）能顺利通过
【分析】本题主要考查圆的实际应用，考查数形结合的能力，正确的画出图形结合垂径定理和勾股
定理计算是解题的关键．
（1）作线段 的垂直平分线即可；
（2）设圆O的半径为 ，画出草图，结合勾股定理，即可求解．
解：（1）分别以A、B为圆心，大于 的长度为半径画弧，交于M、N两点，连接 交 于
D，交 于C，如图所示，线段 即为所求，
（2）在 上方作一个矩形 ，其中点 在 上， 在 上， 交 于 ，且
∵
∴
设 圆心为 ，连接 ，设半径为 ，
在 中， ， ，
∴
解得：
∴在 中，
∴
∴
∴一艘宽12米，水面以上高 米的货轮能顺利通过
5．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在
数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题．
问题情境：
如图①，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段 ，
若圆柱的高 为 ，底面直径 为 ．
问题解决：
（1）判断最短路线的依据是___________；
（2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线 的长；（结果保留根号和 ）
拓展迁移：
（3）如图②，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是 的中点，母线 ，底面圆
半径为2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹，请求出蚂蚁爬
行的最短距离．
【答案】（1）两点之间线段最短；（2）蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线 的长为 ；
（3）蚂蚁爬行的最短距离为
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，圆锥的侧面展开图及弧长公式，熟练掌握勾股定理，圆锥
的侧面展开图及弧长公式是解题的关键；
（1）根据题意可直接进行求解；
（2）由题意易得 ， ，然后根据勾股定理可进行求解；
（3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为 ，由题意易得 ，则有该圆锥的侧面展开图是圆心角为 的扇形，如解图，线段 的长为蚂蚁爬行的最短距离，然后根据勾股定理可进行求
解．
解：（1）由题意可知：判断最短路线的依据是两点之间线段最短；
故答案为两点之间线段最短；
（2）剪开后， ， ，
，
蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线 的长为 ，
（3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为 ，
圆锥的底面周长为 ，
，
解得： ，
该圆锥的侧面展开图是圆心角为 的扇形，
如解图，线段 的长为蚂蚁爬行的最短距离，
在 中，
，
点 为 的中点，
是 的中位线，
，
蚂蚁爬行的最短距离为 ．
【★★题型 21】概率的实际应用（游戏公平性判断、抽奖概率计算）
1．（2024·浙江·模拟预测）在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且
每人只有一次挑战机会．小金和小华一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球，小
金先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（ ）A．一定是小金获胜
B．一定是小华获胜
C．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小金获胜
D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小金获胜
【答案】C
【分析】本题考查了随机事件，列举法等知识，利用排除法求解即可．
解：假设两人第一次都摸到红球，若第二次小金摸到红球，小华摸到白球，则小金获胜；若第二次
小金摸到白球，小华摸到红球，则小华获胜；
故A、B都不正确；
若第一轮两人都摸到了白球，剩下只能是红球，因为小金先摸球，则小金先摸到2个红球，所以
一定是小金获胜，
故C正确；
若第一轮两人都摸到了红球，剩下4球为两个红球，两个白球，假设两人第三次都摸到红球，若第
四次小金摸到红球，小华摸到白球，则小金获胜；若第四次小金摸到白球，小华摸到红球，则小华
获胜；
故D不正确．
故选：C．
2．（21-22七年级下·北京顺义·期末）如图，有8张标记数字1-8的卡片．甲、乙两人玩一个游戏，
规则是：甲、乙两人轮流从中取走卡片；每次可以取1张，也可以取2张，还可以取3张卡片（取
2张或3张卡片时，卡片上标记的数字必须连续）；最后一个将卡片取完的人获胜．
若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，则 （填
“甲”或“乙”）一定获胜；若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首
次取卡片的方案是 ．（只填一种方案即可）
【答案】 甲 取走标记5，6，7的卡片（答案不唯一）
【分析】由游戏规则分析判断即可作出结论．
解：若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，为4，5或
5，6，则剩余的卡片为1，6或1，4，然后乙只能取走一张卡片，最后甲将一张卡片取完，则甲一
定获胜；
若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案5，6，7，理由如下：
乙取走5，6，7，则甲再取走4和8中的一个，最后乙取走剩下的一个，则乙一定获胜，
故答案为：甲；5，6，7（答案不唯一）．
【点拨】本题考查游戏公平性，理解游戏规则是解答的关键．
3．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）小明看到路边有人设摊玩“有奖掷币”游戏，规则是：交二
元钱就可以玩一次游戏．每次同时掷三枚硬币，如果出现三枚硬币均正面或均反面朝上奖金5元；
如果是其他情况，没有奖金（硬币落地只有正面朝上和反面朝上两种情况）．小明拿不定主意去玩
还是不玩，请你帮助他解决下列问题：
（1）请用“画树状图”或“列表”的方法求出中奖的概率；
（2）如果有100个人，每人玩一次这种游戏，则约有 人中奖，奖金共 元，设摊者获利 元．
【答案】（1） ；（2） ， ，
【分析】本题考查树状图法求概率．熟练掌握利用树状图法求概率是解题的关键．
（1）画树状图进行求解即可；
（2）利用概率求人数，再用人数×奖金得到奖金数，再用交的总费用减去中奖费用即可得到获利多
少．
解：（1）解：画树状图如下：
共有：正正正、正正反、正反正、正正反、反正正、反正反、反反正、反反反，8种情况，其中正
正正、反反反，共2种情况，
∴ ；
（2） ，故约有25人中奖．
奖金共： （元）；
设摊者获利： （元）；
故答案为：25，125，75．
4．（25-26九年级上·山东济南·期中）某中学化学实验课上，李老师带来了 （镁）、 （铝）、
（铜）三种金属材料及其元素卡片（如图，除正面信息不同外，其余均相同），将三张元素卡片背面朝上洗匀，让学生随机抽取一张，然后用抽取到的金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属
活动顺序可知： 可以置换出氢气，而 不能置换出氢气）
抽取规则如下：3张卡片背面朝上洗匀，小明先随机抽取一张，记录下抽取的卡片不放回，小华再
从中随机抽取一张．若他们抽到的金属均能置换出氢气，则小明上台实验；其他的情况，则小华上
台实验．这个规则对小明和小华公平吗？请用列表或画树状图法说明理由．
【答案】不公平，理由见分析
【分析】本题主要考查了概率的计算，解题的关键是掌握树状图或列表求概率．
利用树状图求出概率，然后进行比较即可．
解：不公平，理由如下：
画树状图如下，
共有6种等可能结果，
其中均能置换出氢气的结果有2种，
所以小明上台实验的概率为 ，
则小华上台实验的概率为 ，
，
∴不公平．
【考点六】跨章节综合
【★★题型 22】旋转与圆的综合（旋转中的弧长、扇形面积计算）
1．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图， ， 为射线 上一点，以点 为圆心、长为半径作 ，当射线 绕点 按顺时针方向旋转 与 相切，则 的度
数为（ ）
A． B． 或 C． 或 D．
【答案】B
【分析】题目主要考查切线的性质和旋转的性质，设旋转后与 相切于点 ，连接 ，则可求
得 ，再利用角的和差可求得结果，理解题意，分两种情况分析是解题关键．
解：如图，设旋转后与 相切于点 ，连接 ，设 与 交于点 ，连接 ，
，即 ，
，
∴
∴ 是等边三角形，
则
又∵ ，
，
当点 在射线 上方时，
，
当点 在射线 下方时，同理可得
，
故选：B．
2．（25-26九年级上·浙江·期中）如图， 为半圆的直径，将半圆绕点B顺时针旋转 ，使点A
恰好旋转到点C的位置．若 ，则图中阴影部分的面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了扇形面积的计算及旋转的性质，根据题意，将阴影部分的面积转化为扇形
的面积，再结合扇形的面积公式进行计算即可，熟知旋转的性质及扇形的面积公式是解题的
关键．
解：如图：旋转可知，
，
则 ，
所以 ，
所以阴影部分的面积可转化为扇形 的面积．
因为 ， ，
所以扇形 的面积为： ，即阴影部分的面积为 ，
故选：D．
3．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图， 是 的内接三角形， ， ，
将 绕A点顺时针方向旋转，旋转后的三角形为 （点B与点 对应，点C与点 对
应），若点 落在 上，则 ．
【答案】 /27度【分析】本题考查了旋转性质，圆内接四边形，等边对等角，三角形内角和性质，正确掌握相关性
质内容是解题的关键．先作图，再运用三角形内角和性质，得 ，结合四边形 是
的内接四边形，得 ，再根据旋转的性质，得 ， ，
则 ，运用三角形内角性质列式计算得 ，再把数值代入
进行计算，即可作答．
解：依题意，点 落在⊙ 上，连接 如图所示：
∵ ， ，
∴ ，
∵点 落在⊙ 上， 是 的内接三角形，
∴四边形 是 的内接四边形，
∴ ，
∴ ，
∵旋转，
∴ ，
∴ ，
则 ，
∴ ，
故答案为： ．
4．（25-26九年级上·山东临沂·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长
度，在平面直角坐标系中， 的三个顶点 、 、 均在格点上．
（1）将 向下平移 个单位得到 ，并写出点 的坐标；
（2）画出 绕点 逆时针旋转 后得到的 ，并写出点 的坐标；
（3）在（2）的条件下，求 在旋转过程中扫过的面积（结果保留 ）．【答案】（1）作图见分析，点 的坐标为 ；（2）作图见分析，点 的坐标为 ；
（3）
【分析】本题考查了网格作图，平移作图，旋转作图，勾股定理，扇形面积的计算，解题的关键是
作出平移或旋转后的对应点．
（1）利用平移的性质分别作出 ， ， 的对应点 ， ， ，再顺次连接即可；
（2）利用旋转的性质分别作出点 ， 绕点 逆时针旋转 的对应点 ， ，再顺次连接即可；
（3）先利用勾股定理求出 的长，然后利用扇形的面积公式和三角形的面积公式求解即可．
解：（1）解：如图， 即为所求，点 的坐标为 ；
（2）解：如图， 即为所求，点 的坐标为 ；
（3）解： ， ，
在旋转过程中扫过的面积为 ．【★★题型 23】二次函数与一元二次方程综合（抛物线与 x 轴的交点）
1．（25-26九年级上·河南信阳·期中）已知二次函数 的对称轴是直线 ，若关于x
的一元二次方程 的一个根为 ，则另一个根为 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，以及抛物线的对称性，明确抛物线与x轴的两
个交点关于对称轴对称是解题的关键．根据抛物线的对称性，可知 的图象与x轴的
两个交点关于直线 对称，两交点的横坐标即为方程 的两根，根据对称性建立关
系式即可求解．
解：设方程的另一根为 ，
方程 整理为 ，
∵二次函数的对称轴是直线 ，关于 的一元二次方程 的一个根为 ，
∴ ，
解得 ，
∴另一根为 ，
故答案为： ．
2．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）如图是二次函数 和一次函数 的图像，
当 时， 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数与不等式，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据图像可以直接回答即可．
解：观察图像得：当 时，二次函数的图像位于一次函数的图像的下方，
∴当 时， 的取值范围是 ，
故选：B．
3．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）已知抛物线 ．
（1）求它的顶点坐标和对称轴；
（2）求它与x轴两个交点A，B的坐标，并求出 的长．（点A在点B左边）
【答案】（1） ，直线 ；（2） ，
【分析】本题考查了抛物线的顶点坐标和对称轴及与x轴的交点，理解函数与方程的关系是解题的
关键．
（1）将抛物线 化成顶点式，即可得出答案；
（2）令 ，求出和x轴的交点坐标，即可得出答案．
解：（1）解： ，
它的顶点坐标为 ，对称轴为直线 ；
（2）解：令 ，
得 ，
解得： ，
与x轴两个交点 ，
．
4．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，二次函数的图象经过点 ，顶点坐标为 ．
（1）求这个二次函数的表达式；当 时，求 的取值范围．
（2）将该抛物线向上平移___________个单位后，所得抛物线与坐标轴有两个公共点．【答案】（1）这个二次函数的表达式为 ；当 时，y的取值范围为
；
（2）3或4
【分析】本题主要考查了待定系数法确定二次函数的解析式及二次函数图象的平移，解题的关键是
正确地求得解析式．
（1）设为顶点式，运用待定系数法求解即可；抛物线开口向上，有最小值，在 范围内，
有最小值是 ，求出当 时， ，结合函数图象可得y的取值范围；
（2）根据题意分两种情况：当抛物线与x轴只有一个公共点时，当与原点相交时，结合二次函数
的性质及平移的性质求解验证即可．
解：（1）解：根据题意，设二次函数的表达式为 ，
将 代入 ，得， ，
解得， ，
∴这个二次函数的表达式为 ．
当 时， ，
∵抛物线的顶点坐标为
∴y的最小值为 ，
∴当 时，y的取值范围为 ；
（2）解：当抛物线与x轴只有一个公共点时，向上平移4个单位长度得 ，
∴与x轴只有一个交点即 ，
当 时， ，∴与y轴的有一个交点即 ，
符合题意；当经过原点时，
，向上平移3个单位长度，
函数解析式为： ，
当 时， ，
解得： ，
所得交点为 ，符合题意；
∴该抛物线向上平移3或4个单位后，所得抛物线与坐标轴有两个公共点．
故答案为：3或4．
【★★题型 24】圆与三角形、四边形的综合（内接多边形、切线与图形性质）
1．（24-25八年级下·黑龙江绥化·月考）如图，边长为a的正三角形的内切圆半径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了求三角形内切圆半径，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，角平
分线的判定定理，等边三角形的性质，设等边 的内切圆圆心为O， 与 分别相切
于D、E，连接 ，由切线的性质可得 ，再由 可得
平分 ，则 ，同理可得 ，则可证明 ，可得
，据此可得答案．
解：如图所示，设等边 的内切圆圆心为O， 与 分别相切于D、E，连接，
由切线的性质可得 ，
∵ ，
∴ 平分 ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
同理可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴边长为a的正三角形的内切圆半径是 ，
故选：A．
2．（20-21九年级上·山东临沂·期中）如图，在平行四边形 中， ，点 ， 在
上，点 在 上， ，则 的度数为（ ）A．112.5° B．120° C．135° D．150°
【答案】C
【分析】延长DO交AB于点H，连接OB，证明 ，OD是 的角平分线，求得
，进行求解即可；
解：延长DO交AB于点H，连接OB，
∵四边形ABCD是平行四边形， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴OD是 的角平分线，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了与圆有关的计算，结合全等三角形的性质和角平分线的性质计算即可．
3．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，正方形 内接于 ．点E为 上一点，连接
、 ，若 ， ，则 的长为 ．【答案】
【分析】连接 、 、 ，由圆内接正方形的性质可得到 ，
， ，进而证得 是等边三角形，得到 ，根据勾股定
理求出 ，即可得到 ．
解：如图，连接 、 、 ，
∵正方形 内接于 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了正多边形和圆，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，证
得 是等边三角形是解决问题的关键．
4．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图， 是 的弦， ， 交 于点 ， 恰
为 的中点，连接 ．（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的半径．
【答案】（1）见分析；（2）
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，垂直平分线的判定，垂径定理，勾股定理，构
造合适的辅助线是解题的关键．
（1）连接 ， ， ，先由直角三角形斜边上的中线性质可得 ，结合
，可知 垂直平分 ，即可得证；
（2）根据垂径定理可得 ，利用勾股定理即可求得 的长，设 ，则
，在 中，再次利用勾股定理列方程求解即可．
解：（1）证明：如图，连接 ， ， ，
， 为 的中点，
，
又 ，
垂直平分 ，
；
（2）解：如图，设 交 于点 ．半径 ，垂足为 ， ，
，
是 的中点， ，
，
，
设 ，则 ，
在 中， ，
即 ，
，即 的半径为 ．
【★★题型 25】旋转与二次函数的初步综合（旋转后抛物线的解析式）
1．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图， 的顶点 在抛物线 上，将
绕点 顺时针旋转 ，得到 ，边 与该抛物线交于点 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的解析式求解、图形的旋转变换，解题的关键是利用旋转的坐标变化规律确定线段 的位置，再结合抛物线解析式求交点坐标．
1． 代入点 坐标求出抛物线解析式；
2． 根据旋转规则确定点 的坐标，得到 的纵坐标；
3． 将 的纵坐标代入抛物线解析式，求出点 的横坐标，得到点 坐标．
解：将 代入 ，
得 ，
解得 ，
故抛物线解析式为 ．
绕点 顺时针旋转 得到 ，
则 旋转后对应
且 ，
故 的纵坐标为 ．
点 在 上，故其纵坐标为 ；
将 代入抛物线 ，得 （舍去负根，因 在第一象限），
旋转后对应 ，
故 是从 到 的线段，
纵坐标恒为 ．
代入 得 （ 舍去），
故 ．
故选：C．
2．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）抛物线 向左平移2个单位，向下平移3个单
位，然后将所得抛物线绕坐标原点旋转 ，所得抛物线的解析式是 ．
【答案】
【分析】此题考查了二次函数图像的平移，二次函数的性质，解题的关键是理解二次函数图象的平
移规则．先对原抛物线进行平移变换，得到新抛物线的解析式，再根据绕原点旋转 的性质，确
定旋转后的顶点坐标和开口方向，从而得出解析式．解：抛物线 ，
向左平移2个单位，向下平移3个单位后，解析式为 ，则顶点为 ，
将所得抛物线绕原点旋转 后，顶点变为 ，开口方向由向上变为向下，
故解析式为 ．
故答案为： ．
3．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，抛物线 与x轴交于点A，B，点B
的坐标为 ．
（1）求b的值及顶点坐标；
（2）若 是y轴上一点， ，将点Q绕着点P逆时针方向旋转 得到点E．
①用含t的式子表示点E的坐标；
②当点E恰好在该抛物线上时，求t的值．
【答案】（1） ，顶点坐标为 ；（2）①点E的坐标为 ；②
【分析】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，旋转变换的性质，全等三
角形的判定和性质，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤，全等三角形的判定定理和性质定理
是解题的关键．
（1）把点B的坐标代入二次函数解析式，求出b，利用配方法求出抛物线的顶点坐标；
（2）①作 轴于H，证明 ，关键全等三角形的性质得到 ，
，得到点E的坐标；
②把点E的坐标代入二次函数解析式，计算得到答案．解：（1）∵抛物线 与x轴交于点B，点B的坐标为 ．
∴ ，
解得， ，
抛物线的解析式为： ，
，
∴抛物线的顶点坐标为 ；
（2）①作 轴于H，
由旋转的性质可知， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
则点E的坐标为 ；
②当点E恰好在该抛物线上时， ，解得，
∵ ，
∴ ．
4．（25-26九年级上·广东广州·期中）抛物线 交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），
交y轴于点C．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）将点C向右平移 个单位长度得到点D，点D关于原点的对称点E在抛物线上，求a
的值；
（3）点C关于x轴的对称点为M，将线段 绕某点旋转 得到线段 （点A与点F对应，
点M与点N对应）．若点F与点N都在抛物线上，求 的面积．
【答案】（1） ；（2）3；（3）15
【分析】（1）分别令 和 ，即可求解；
（2）根据平移的性质可得 ，从而得到点 ，然后点 代入抛物线解析式，即
可求解；
（3）根据题意可得点 ，设点 ， ，再由旋转的性质可得
，可求出点 ， ，即可求解．
解：（1）解：当 时， ，
当 时， ，
解得： ，
∴点 ；
（2）解：∵将点C向右平移 个单位长度得到点D， ，
∴ ，∵点D关于原点的对称点为点E，
∴点 ，
∵点E在抛物线上，
∴ ，
解得： （舍去），
∴a的值为3；
（3）解：根据题意得：点 ，
设点 ， ，
∵将线段 绕某点旋转 得到线段 ， ，
∴ ，解得： ，
∴点 ， ，
∴ ，
∴ 的面积为 ．
【点拨】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，求抛物线与坐标轴的交点问题，中
心对称的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
三培优篇
【考点七】几何变换压轴题
【★★★题型 26】旋转与圆的动态探究（旋转中的切线判定、线段最值）
1．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图， 的三个顶点都在一圆上，将 绕点 顺时
针方向旋转，旋转后的三角形为 ，且 会落在同一圆上，其中 与 的夹角为 ．若
， ，则 值是（ ）．A．27 B．31 C．32 D．37
【答案】D
【分析】本题主要考查了旋转的性质、圆心角、弧、弦的关系、三角形内角和定理、等边对等角等
知识点，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解决问题的关键．
如图：设圆的圆心为O，连接 ，由圆周角定理可得 ，
即 ，进而得到 ，则
，由旋转的性质得 ，
进而得 ，再由三角形内角和定理求出 ，继而得
，由此即可得出x的值．
解：如图：设圆的圆心为O，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵将 绕点 顺时针方向旋转，旋转后的三角形为 ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，∴ ，
∴x的值为37．
故选：D．
2．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图， 是半圆直径 上的一点， 于点 ，
由 旋转得到，点 在 上，点 在 上，已知半圆的直径为7， ，则
的长 ．
【答案】
【分析】由半圆的直径为 是半圆的直径，得 ，因为 于点 ，所以
，则 ，由旋转得
，所以 ，则 ，
而 ，由勾股定理得 ，求得 ，即可得到答案．
解： 半圆的直径为 是半圆的直径，
，
是 上一点， 于点 ，
，
，
由 旋转得到，点 在 上，点 在 上，
，
，
，
，
，
，
，且 ，
，解得 或 大于圆的直径，不符合题意，舍去 ，
故答案为： ．
【点拨】此题重点考查直角所对的圆周角是直角、旋转的性质、平行线的判定与性质、等腰三角形
的性质、勾股定理等知识，推导出 是解题的关键．
3．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图， 经过 的中点 ，点 为 上动点，过
点 作 的垂线，垂足为 ．当点 旋转一周时，点 运动的路程为 ．
【答案】
【分析】此题重点考查切线的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等边三角形的判定
与性质、三角形中位线定理、弧长公式等知识，当 与 相切时，连接 、 ，则
，因为 ， 是 的中点，所以 ，则 ，
所以 ，延长 交 于点 ，取 的中点 ，连接 ，可证明 ，则
，所以 ，可知当点 从点 运动到 与 相切时，点 的运动路径
为以 为圆心、半径为 且圆心角等于 的圆弧，当点 旋转一周时，点 的运动路径为四段这
样的圆弧，即可由弧长公式求得点 运动的路程为 ，于是得到问题的答案．正确地作出辅助线
是解题的关键．
解：如图，当 与 相切时，连接 、 ，则 ，
，
，
是 的中点，
，
，是等边三角形，
，
延长 交 于点 ，取 的中点 ，连接 ，
于点 ，
，
，
， ，
，
、 分别为 、 的中点，
，
，
当点 从点 运动到 与 相切时，点 的运动路径为以 为圆心、半径为 且圆心角等于
的圆弧，
当点 旋转一周时，点 的运动路径为四段半径为 且圆心角等于 的圆弧，
点 运动的路程为 ，
故答案为： ．
4．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图1，将 的顶点 放在 上，边 与 相切
于点 ，边 与 交于点 ．已知 的直径为8．
（1）如图1，过点 作 于点 ，求 的长度；
（2）从图1的位置开始，将 绕点 顺时针旋转，设旋转角为 ．
①如图2，当 经过圆心 时，试判断 与 之间的位置关系，并说明理由；②在旋转过程中，直接写出点 到边 的距离 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）① 与 相切，理由见分析；②
【分析】本题考查切线的判定和性质，含 角的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，掌
握圆的相关性质是解题的关键．
（1）连接 ，根据切线的性质得到 ，进而得到 ，利用勾股定理即可求出
的长；
（2）①过点 作 于点 ，根据 角的直角三角形的性质可以得到 ，即可得到
结论；②由旋转可以找到距离最大和最小位置，然后计算解题即可．
解：（1）解：连接 ，
边 与 相切于点 ，
，
又 ，
，
，
；
（2）解：① 与 相切，理由为：
过点 作 于点 ，， ，
，
，
，
，
与 相切；
②如图，当点O、C、B三点共线时，h最大，这时 ；
如图，当点O在 上时，h最小，这时 ；
∴在旋转过程中，h的取值范围为 ．
【★★★题型 27】二次函数的综合探究
1．（2025·广东揭阳·一模）如图1，过点 的抛物线 与直线 交于点 ．
点 是线段 上一动点，过点 作 轴的垂线，垂足为点 ，交抛物线于点 ．设 的面积
为 ，点 的横坐标为 ．
（1）求出 的值及抛物线的解析式．
（2）为探究 最大时点 的位置，甲、乙两同学结合图形给出如下分析：
甲：借助 的长与三角形面积公式，求出 关于 的函数关系式，可确定点 的位置．乙：当点 运动到点 或点 时， 的值可看作0，则当点 运动到 中点时， 最大，即 最大
时，点 为 的中点．
请参考甲的方法求出 最大时点 的坐标，进而判断乙的猜想是否正确，并说明理由．
（3）拓展探究：如图2，直线 与任意抛物线相交于 、 两点， 是线段 上的一个动点，
过点 作抛物线对称轴的平行线，交该抛物线于点 ．当 的面积最大时，点 一定是线段
的中点吗？试作出判断并说明理由．
【答案】（1） ， ；（2） 的坐标为 ，乙的猜想是正确的，见分析；
（3）点 一定是 的中点，见分析
【分析】（1）根据直线 经过点 ，代入直线关系式，求出n的值即可；用待定系数
法求出抛物线的解析式即可；
（2）设 ，得出 ，求出
，根据二次函数的性质得出当 即
时， 最大，此时点 的坐标为 ，根据中点坐标公式，求出结果即可；
（3）将图2中的抛物线放置在平面直角坐标系 中，抛物线对称轴平行于 轴．设 的面
积为 ，点 的横坐标分别为 ．根据甲的方法可知， 是 的二次函数，其中
，图象是开口向下的一段抛物线，记作“抛物线 ”，抛物线 过 与 两
点，这两点关于抛物线 的对称轴对称，根据解析（2）可知，当 时， 最大，此时点恰为 的中点，即可得出答案．
本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，解题的关键，熟练掌握二次函数的性质．
解：（1）解： 直线 经过点 ，
，
，
把 代入抛物线 ，得：
，
解得： ，
抛物线的解析式为 ；
（2）解：乙的猜想是正确的．理由如下：
设 ，
，
，
，
∴当 即 时， 最大，此时点 的坐标为 ，
，
设线段 的中点为 ，则由线段中点坐标公式可得 ，即
的坐标为 ，
重合，即 为 的中点，
乙的猜想正确．
（3）解：点 一定是 的中点，理由如下：将图2中的抛物线放置在平面直角坐标系 中，抛物线对称轴平行于 轴．设 的面积为 ，
点 的横坐标分别为 ．
由甲的方法可知， 是 的二次函数，其中 ，图象是开口向下的一段抛物线，记作
“抛物线 ”，
当 或 ，即点 与点 或点 重合时， ．
抛物线 过 与 两点，这两点关于抛物线 的对称轴对称，
当 时， 最大，此时点 恰为 的中点．
即当 的面积最大时，点 为 的中点．
2．（2025·山东青岛·模拟预测）【问题探究】
数学兴趣小组成员小亮在研究抛物线的性质时，发现其开口也可向左或向右．如图①，曲线
相当于 作为自变量的二次函数，抛物线开口朝向 轴正半轴方向，在平面直角坐标系中，即为一
条开口向右的抛物线，根据书写习惯，一般将其写为 ．已知抛物线 过 ， 与原点
三点．
（1）请直接写出 的解析式；
【延伸拓展】
小亮所在小组的组长小蓝对该问题经过研究后，便寻找更复杂的情况进行学习研究：
如图②，已知抛物线 ： 与直线 ： 有两个交点 ， ，在直线 上有
一点 ，连接 ，
（2）请直接写出点A，B的坐标；
（3）小亮和小蓝通过资料查阅得到了平面内两点的距离公式如下：
在平面直角坐标系中，设两点 ， ，则A，B两点间的距离公式为：
则当 取得最小值时，请求出点 的坐标和 的长度．【答案】（1） ；（2） ， ；（3） ，
【分析】本题考查了二次函数的变形题型，仔细阅读材料是解题关键．
（1）设 的解析式为 ，将 代入即可求解；
（2）由 ： 得： ： ；由直线 ： 得： 联立
①②得： ，解方程即可；
（3）作 关于直线 的对称点 ，连接 ，可得此时 取得最小值；求
出直线 的解析式，得到 ，即可求解；
解：（1）设 的解析式为 ，
将 代入得： ，
解得： ；
∴ 的解析式为 ；
（2）由 ： 得： ： ；
由直线 ： 得：
联立①②得： ，
解得： ；
∴ 或 ；即： ， ；
（3）作 关于直线 的对称点 ，连接 如图所示：
∵
∴ 的最小值为线段 的长度；
设直线 的解析式为： ，
则 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
∴当 时， ；
即： ；
∵ ， ，
∴ ；
3．（25-26九年级上·江西赣州·阶段练习）综合与实践
综合实践小组模拟某游乐园“光影塔”夜间灯光秀布局，通过对直线、抛物线的分析，解决与“光
影塔”最高点、游客位置、观景平台相关的问题，感受数学在实际场景中的应用．
如图，经过塔基主入口 的迎宾步道 （把步道抽象成直线）与 轴交于点 ．经过原点 的抛物线 交直线 于点 ，抛物线顶点 对应“光影塔”最高一束激光的
末端．
初步感知
（1）求抛物线顶点 的坐标．
拓展应用
（2）游客 看作迎宾步道 上一点，无人机航拍点 是抛物线上一点， 平行于 轴且交
轴于点 ，当 时，求游客位置点 的坐标．
延伸探究
（3）虚拟观景平台 是直线 上方抛物线上一点，连接 ， ，设点 的横坐标为 ，
的面积为 ，求 关于 的函数解析式并化为顶点式．
【答案】（1） ；（2） 或 ；（3） ，化为顶点式为
【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，
解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
（1）利用待定系数法求出函数解析式，再把解析式化为顶点式，即可求解；
（2）求出直线 的解析式，然后求出点 ，设点E的坐标为 ，可得点 ，
，则可得 ， ，再根据
建立方程，解方程即可得；（3）过点P作 轴，交 于点Q，由（2）得：点 ， ，从而得
到 ，再根据 ，即可列出函数解析式．
解：（1）把点 ， 代入 得： ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ，
∵ ，
∴抛物线顶点 的坐标为 ．
（2）由题意，画出图形如下：
设直线 的解析式为 ，
把点 ， 代入得： ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
联立 ，解得 或 ，
∴ ，
设点 的坐标为 ，
∵ 轴，∴ ， ，
∴ ， ，
当点 在 的上方时，此时 ，
，
解得： 或4（舍去），
此时点 的坐标为 ；
当点N在M的下方时，此时 或 ，
若点M，N均在x轴上方，此时 ，
，
解得： 或 （舍去），
此时点 的坐标为 ；
若点M，N均在x轴下方，此时 ，
，
解得： 或4，均不符合题意；
综上所述，点 的坐标为 或 ．
（3）过点 作 轴，交 于点 ，
∵点 是直线 上方抛物线上一点，且 ，点 的横坐标为 ，
∴ ，由（2）得：直线 的解析式为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 与 的 边上的高之和为 ，
∴
，
综上， 关于 的函数解析式为 ，化为顶点式为
．
4．（25-26九年级上·辽宁锦州·阶段练习）【项目学习】把一个二次式通过添项或拆项的方法得到
完全平方式，再制用“ ”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学
习中有着广泛的应用．
例如：求 的最小值．
解： ， ， ，所以当
时，即当 时， 有最小值，最小值为1．
（1）【类比探究】
当 为何值时， 有最小值，最小值为多少？
（2）【举一反三】若代数式 ；当 时， 有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ；
（3）【拓展应用】如图，物业公司准备利用一面墙（墙足够长），用总长度58米的棚栏（图中实
线部分）围成一个长方形场地 ，中间用棚栏隔开，且 边上留两个1米宽的小门，设
长为 米，当 为何值时，长方形场地 的面积最大？最大值是多少？
【答案】（1）当 时， 有最小值，最小值3；（2） ，大，1；（3）当 时，
有最大值300
【分析】本题考查了完全平方公式的应用；
（1）先配方，再根据 求解即可；
（2）先计算 ，根据 可得 时，作判断即可；
（3）设 长为 米，长方形 的面积为S平方米，则 ，求出
，然后利用配方法求出最大值即可．
解：（1）解： ，
，
，
当 时， 有最小值，最小值3；
（2）解： ，
，
∵
，
∴
则 ， 有最大值，这个值是1；（3）解：当 时， 有最大值300．
理由如下：设 的长为 米，四边形 的面积为 ，则 米，则
，
，
∵
当 时，长方形场地 的面积最大，最大值是300平方米．
【★★★题型 28】圆的存在性问题
1．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）在矩形 中， ，点P从点A出发，
沿 边向点B以每秒 的速度移动，同时点Q从点D出发沿 边向点A以每秒 的速度移
动，P、Q其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒．解答下列问题：
（1）如图①，t为何值时， 的面积等于 ；
（2）如图②，若以点P为圆心， 为半径作 ．在运动过程中，是否存在t值，使得 经过
点C？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
【答案】（1） 或 5；（2）当 时， 经过点
【分析】本题主要考查了矩形的性质，解一元二次方程，圆的相关知识点，勾股定理等知识，解题
的关键是学会添加常用辅助线．
（1）直接利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题；
（2）连接 ，根据切线长定理可得 ，利用勾股定理构建方程即可解决问题；
解：（1）解：在矩形 中， ，
由题意设运动时间为 秒，，
∵ 的面积等于 ，
，
整理得： ，
解得： ，
即 或 5 时， 的面积等于 ；
（2）解：在运动过程中，存在 值，使得 经过点 ，理由如下：
如图②，连接 ，
∵ 经过点 ，
，
在直角三角形 中，由勾股定理得： ，
在直角三角形 中，由勾股定理得： ，
，
，
解得： 或 （不合题意，舍去），
∴当 时， 经过点 ．
2．（25-26九年级上·江苏南通·期中）综合与探究
问题情境：如图，已知 为 的直径，点 为 上异于 ， 的一点，过点 作 的切线
，过点 作 于点 ，连接 ．
（1）探究发现：证明：无论点 在何处，将 沿 折叠，点 一定落在直径 上；
（2）探究引申：如图 ，小明同学继续探究发现，若 是等腰三角形且对称轴经过点 时，与 存在什么数量关系？请给予证明；
（3）探究规律：如图 ，小亮同学继续探究发现，当 为等边三角形时， 与 存在什么
数量关系？请给予证明．
【答案】（1）证明过程见分析；（2） ，理由见分析；（3） ，证明见分析
【分析】本题主要涉及圆的切线性质、等腰三角形和等边三角形的性质、矩形的判定与性质以及含
特殊角的直角三角形等知识，准确分析计算是解题的关键．
（1）通过证明角相等，利用折叠性质确定点的位置；
（2）根据等腰三角形对称的性质得到角的度数，进而证明四边形是矩形，得到线段关系；
（3）依据求出相关角度，再利用含 角的直角三角形的边的关系来推导线段关系．
解：（1）证明： 为 的切线，
，
，
，
，
，
，
，
无论点 在何处，将 沿 折叠，点 一定落在直径 上；
（2）解： ．
理由如下： 是等腰三角形且对称轴经过点 ，
，
，
为 的切线，
，，
，
，
，
四边形 为矩形，
，
；
（3）解： ．理由如下：
为正三角形，
， ，
，
，
， ，
，
，
而 ，
．
3．（24-25九年级下·陕西西安·开学考试）【问题探究】
（1）如图1， 内接于 ， ，点D为劣弧 上任意一点（点D不与点A、C重
合），连接 ，点D在运动的过程中始终有 ，求 的度数；
【问题解决】
（2）如图2是一块半径为2米的圆形废旧铁皮，工人李叔叔计划从该铁皮上裁剪出一块四边形
进行再利用，根据李叔叔的规划要求，点A，B，C，D均为 上的点， ，
，请问该四边形 的周长是否存在最大值？若存在，求出四边形 周长
的最大值；若不存在，请说明理由．【答案】（1） ；（2）存在，最大值为
【分析】本题考查了圆的基本性质（圆周角定理、直径性质）、全等三角形的判定与性质、勾股定
理逆定理及弦长最值的应用．解题的关键是通过构造全等三角形转化线段和，结合 的固定角
度确定固定线段长度，利用直径是最长弦求动态线段的最大值．
（1）在 上截取线段构造全等三角形，利用圆内接图形的角度关系和等腰三角形性质，推导出
的度数；
（2）延长 至F使 ，连接 ，证明 ，得 ，可得 ，
由勾股定理的逆定理可得 ；由 及 ，得 为直径 圆
周角对直径），四边形 周长 ，利用直径是最长弦，得 最大
值为4米，进而求周长最大值．
解：（1）如图3所示，延长 至E，使 ，连接 ，
四边形 为 的内接四边形，
，
又 ，
，
在 和 中，，
，
， ，
，
为等边三角形．
，
即
（2）该四边形 的周长存在最大值，最大值为 ，理由如下：
如图4所示，延长 至F，使 ，连接 ，
∵
∴ ，
从而 ，
又 ，
在 中，因 ， ，
∴ ，故 ，
从而可得 ，故 为直径， ，
即 ，则 ，
四边形 周长
，当 最大时 即为直径时 ，四边形 周长最大值为
【考点八】二次函数与几何探究
【★★★题型 29】二次函数与几何图形的动态
1．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，抛物线 的图象与x轴的交点为A
和B，与y轴交点为 ，与直线 交点为A和C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在直线 上是否存在一点M ，使得 是等腰直角三角形？如果存在，求出点M的
坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）若点E是x轴上一个动点，点E向上平移4个单位长度得到点F，点F向右平移2个单位长度
得到点G，点G向下平移4个单位长度得到点H，若四边形 与抛物线有公共点，请直接写出
点E的横坐标的取值范围．
【答案】（1） ；（2）存在，点M的坐标为 或 ；（3）
或 ．
【分析】（1）先求得 ，然后将 ， 代入 ，即可求函数的解
析式；
（2）设 ，根据 是等腰三角形，分类讨论，根据勾股定理即可求解；
（3）首先根据平移规则确定四边形 的坐标特征，可知其为横坐标在 到 之间、纵坐
标在 到 之间的矩形．接着分析抛物线 的图象性质，其开口向上，顶点为 ，与 轴交于 、 ，与直线 交于 ．通过确定抛物线在 时的横坐
标范围，再分两类讨论矩形横坐标范围与该范围的交集情况，从而得出点 横坐标的取值范围．
解：（1）解：由 得， 时， ，
∴ ．
∵抛物线 经过 、 两点，
∴ ，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：由 ，令 ， ，
解得： ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∵ 是直线 上的点，设 ，
当 为斜边时， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
当 时， ，
∴ ，
解得： （不合题意舍去）∴ ；
综上所述，存在，点M的坐标为 或 ；
（3）解：设点 E 的横坐标为 ，根据平移规则：
点 向上平移4个单位得 ；
点 F 向右平移2个单位得 ；
点 G 向下平移4个单位得
因此，四边形 是横坐标范围为 到 、纵坐标范围为0到4的矩形．
先求抛物线 在 时的横坐标范围：
当 时，解方程 ，得 或 ；
当 时，解方程 ，即 ，由求根公式得
因为抛物线开口向上，所以：
当 时，第一种横坐标范围是 ；
第二种横坐标范围是
再分析矩形与抛物线的公共点条件：
矩形的横坐标范围是 到 ，需与上述两种范围有重叠，分两类讨论：
情况一：与 重叠需满足：
（矩形左端点不超过-3）；
（矩形右端点不小于 ），移项得 ，
因此，这种情况的取值范围是 ．
情况二：与 重叠，需满足：（矩形左端点不超过 ）；
（矩形右端点不小于1），移项得 ，
因此，这种情况的取值范围是 ．
综上，点E的横坐标的取值范围是 或 ．
【点拨】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，数形
结合解题是关键．
2．（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，点A在
原点左边，点B在原点右边，与y轴交于点 ，且 ．点P为抛物线上一动点，
且P点横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如果 ，垂足为C，求P点坐标；
（3）过点P作 轴于点M，当点P与点M都不与点C重合时，以 ， 为边作矩形
，设矩形 的周长为l．
①求l与m的函数解析式；
②若对于l的每一个取值，都有两个m的值与它对应，直接写出l的取值范围．
【答案】（1） ；（2）P点坐标为 ；（3）① ；②
或【分析】（1）先根据C点坐标为 ，求得 ，再结合 ，求得 ，
．设抛物线解析式为 ，将 代入求得： ，从而求得抛物线的解析
式；
（2）先求出 的解析式为 ，再求得 的解析式为 ，然后联立方程组得：
，求得P点坐标为 ；
（3）①分 、 、 三段，分别求得 与 的函数解析式；
②根据l的函数图象,得出当 或 时，对于l的每一个取值，都有两个m的值与它对应．
解：（1）解：∵C点坐标为 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ， ．
∵点A在原点左边，点B在原点右边，
∴ ， ．
设抛物线解析式为 ，
将 代入得： ．
∴ ．
（2）∵ ， ，
∴ 的解析式为 ．
∵ ，
∴ 的解析式为 ．
联立方程组得： ，解得 或 ．
所以P点坐标为 ；
（3）① ， 轴，
∴ ．
如图，当点P在y轴左侧，
当 时，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ；
如图，当点P在直线 上方，即 时，
同理得： ， ，
∴ ；
如图，当点P在y轴右侧 下方， 时，同理得： ， ，
∴ ．
综上， ；
②l的函数图象如图所示，由图象可知：
当 或 时，对于l的每一个取值，都有两个m的值与它对应．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，利用不等式求自变量或函数值的范围，线段周
长问题（二次函数综合），其他问题（二次函数综合）等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运
用求解．
3．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）抛物线 交 轴于点 ，交 轴于点
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点 是线段 上方抛物线上一动点，当 的面积最大值时，求出此时 点的坐标；（3）在抛物线对称轴上找一点 ，使以点 、 、 为顶点的三角形为等腰三角形，直接写出点
的坐标．
【答案】（1） ；（2） ；（3） 或 或 或
或
【分析】本题考查了抛物线的解析式，根据动点求面积最值问题，坐标系中特殊三角形问题，把握
二次函数相关的特征与性质，分析出面积与线段关系，并能够进行准确的计算是解题的关键．
（1）将A、B两点的坐标代入解析式求解即可；
（2）过点 作 轴交 于点 ，先利用A、B两点的坐标求出直线 的解析式，设
，求得 ，列出 与 的函数关系式即可求解；
（3）设点 坐标为 ，根据两点距离公式可求得 、 、 ，再根据等腰三角形有两边
相等列方程求解即可．
解：（1）解：将点 ， 代入 ，
得 ，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）如图1，过点 作 轴交 于点 ，设直线 的解析式为 ，将A、B两点的坐标代入，
得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
当 时， 的面积有最大值 ， ，
此时 ；
（3）∵ 抛物线的解析式为 ，
∴对称轴为 ，
设点 坐标为 ，
由点 ， ，可得：
， ， ，
当 时， ，解得： ， ，即点 ， ，
当 时， ，解得： ， 即点 ，，
当 时， ，解得： ，即点 ，
综上所述：点 坐标为 或 或 或 或 ．
4．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，抛物线与轴交于 ， ， 顶点为 ．
（1）抛物线的解析式是___________，顶点D的坐标是___________，对称轴是___________．
（2） 为抛物线上一点，当 时，求M点坐标．
（3）点E是y轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在这样的点E，F使得四边形
是矩形？若存在，求出E，F的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1） ，顶点D的坐标是 ，对称轴是直线 ；（2） ；
（3） ，
【分析】（ ）利用待定系数法解答即可求解；
（ ）如图，把 绕着点 逆时针旋转 到 位置，过点 作 轴于点 ，可证
，得到 ， ，即可得 ，过点 作 的垂线交
于点 ，交抛物线于点 ，可知 ， ，利用中点坐标公式可得
，再利用待定系数法求出直线 的函数解析式，最后联立两函数解析式解方程组即可求
解；（ ）先求出顶点 的坐标，设 ， ，画出图形，利用矩形的性质和勾股定理解答即
可求解．
解：（1）解：设抛物线的解析式为 ，把 代入得，
，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ，
∴顶点D的坐标是 ，对称轴是直线 ；
（2）解：如图，把 绕着点 逆时针旋转 到 位置，过点 作 轴于点 ，则
， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
过点 作 的垂线交 于点 ，交抛物线于点 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
即点 为 的中点，∴ ，
即 ，
设直线 的函数解析式为 ，把 、 代入得，
，
解得 ，
∴直线 的函数解析式为 ，
由 ，解得 ， ，
∴ ；
（3）解：存在．
∵ ，
∴ ，
设 ， ，
如图，∵ ，
∴ ，
整理得， ，
∴ ，
∴ ，
∴对角线交点 的坐标为 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
【点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，
二次函数与一次函数的交点问题，等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，掌握二次函数的图
象和性质是解题的关键．
