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九年级上册人教版数学期末摸底测试题 将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB'C'，若AB = 3，则BB'的长度为
9.
（ ）
A. 3 B. 3❑√2 C. ❑√3 D. 6
（考试时间：120分钟 满分：120分）
某商品原价为200元，连续两次降价 x% 后售价为148元，下列所列方程正
10.
确的是（ ）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
A. 200(1 - x%)2 = 148 B. 200(1 + x%)2 = 148
C. 200(1 - 2x%) = 148 D. 200(1 - x 2%) = 148
下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
1.
A. 2x + 1 = 0 B. x2 + 2x - 3 = 0 C. x2 + y = 1 D. = 1
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
2.
将抛物线 y = x2 向上平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为（ ）
11.
一元二次方程 x2 - 2x = 0 的解是________。
A. y = x2 + 2 B. y = x2 - 2 C. y = (x + 2)2 D. y = (x - 2)2
12.
二次函数 y = 2(x - 1)2 + 3 的顶点坐标是________。
3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
13.如图，⊙O的直径AB = 10，弦CD⊥AB于点E，
A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 等腰梯形
AE = 2，则弦CD的长为________。
4. 已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为3，则点P与⊙O的位置关系是
14.在平面直角坐标系中，点P(2, -3)关于原点对称
（ ）
的点的坐标是________。
A. 点P在⊙O上 B. 点P在⊙O外 C. 点P在⊙O内 D. 无法确定
5.
一元二次方程 x2 - 4x + 3 = 0 的根的情况是（ ） 15.
若关于x的一元二次方程 kx2 - 2x - 1 = 0
有两个不相等的实数根，则k的取值范围是
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
________。
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
16.一个扇形的圆心角为60°，半径为6，则该扇形
6.
若二次函数 y = ax2 + bx + c （ a ≠ 0 ）的图象开口向下，则下列判
的弧长为________。
断正确的是（ ）
A. a > 0 B. a < 0 C. b > 0 D. c < 0
三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分。解答应写出文字说明、证
7. 如图，在⊙O中，弧AB所对的圆心角∠AOB =
明过程或演算步骤）
60°，则弧AB所对的圆周角∠ACB的度数是（ ）
（本题满分8分）解下列一元二次方程：
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 17.
（1） x2 - 5x + 6 = 0 （2） 2x2 - 4x - 1 = 0 （用配方法）
8. 一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这
些球除颜色外完全相同，从中随机摸出一个球，摸到
红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
18.（本题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1, 2)、B(3, 1)、
C(2, 3)。
（1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB C ，画出△AB C ，并写出B 、
C 的坐标。
₁ ₁ ₁ ₁ ₁
₁
21.（本题满分10分）某商场销售一种进价为20元/件的商品，售价为x元/件
时，每天可卖出(100 - x)件，设每天的利润为w元。
（2）将△ABC向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到
（1）求w与x之间的函数关系式；
△A B C ，画出△A B C ，并写出A 、B 、C 的坐标。
₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂
（2）当售价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
19.
（本题满分8分）已知二次函数 y = x2 - 2x - 3 。
（1）求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（3）若商场规定该商品的售价不低于25元，且不超过35元，求每天的利润的
取值范围。
（2）求该二次函数图象与x轴、y轴的交点坐标；
22.（本题满分10分）一个不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，
（3）画出该二次函数的大致图象。 分别标有数字1、2、3、4。
（1）从袋子中随机摸出一个小球，求摸出的小球上标有数字2的概率；
20.（本题满分8分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O
上一点，OD⊥AC于点D，过点C作⊙O的切线CE，交OD （2）先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字
的延长线于点E，连接AE。 后放回，再随机摸出一个小球，记下数字。请
求证：AE是⊙O的切线。 用列表或画树状图的方法，求两次摸出的小球上标有的数字之和为5的概率。
（3）点Q是抛物线上对称轴上的一点，连接QA、QC，求QA + QC的最小值。
23.（本题满分10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，以AC为直径作
⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线DE，交BC于点E。
（1）求证：DE = BE；
（2）若AC = 6，BC = 8，求DE的长。
24. （本题满分10分）如图，抛物线 y = ax 2 + bx + c 经过A(-1, 0)、
B(3, 0)、C(0, 3)三点。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一点，且点K在x
轴上方，连接KA、KB，若△PAB的面积
为6，求点K的坐标；参考答案及评分标准 20.（8分）
证明：连接OC，∵CE是⊙O的切线，∴OC⊥CE，即∠OCE = 90° ......2分
一、选择题（每小题3分，共30 分）
∵OD⊥AC，且OA = OC，∴OD垂直平分AC，∴EA = EC ……...........4分
1. B 2. A 3. C 4. C 5. B 6. B 7. A 8. C 9. B 10. A
在△AOE和△COE中，
二、填空题（每小题3分，共18 分） OA = OC
EA = EC
11. x = 0 ， x = 2 12. (1, 3) 13. 8 14. (-2, 3) 15. k > -1
1 2
OE = OE
且 k ≠ 0 16. 2π
∴△AOE≌△COE（SSS）................... .... .... .... .....6分
三、解答题（共72 分）
∴∠OAE = ∠OCE = 90°，∵OA是⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线.....8分
17.（8分）
21.（10分）
（1）解：因式分解得，(x - 2)(x - 3) = 0 ..............2分
（1）由题意得，w = (x - 20)(100 - x) = -x² + 120x - 2000.......3分
则x - 2 = 0或x - 3 = 0，解得 x = 2 ， x = 3........4分
1 2 （2）∵w = -x² + 120x - 2000 = -(x - 60)² + 1600，a = -1 < 0，
（2）解：移项得，2x²-4x=1，两边除以2得，x²-2x=......5分
∴当x = 60时，w有最大值，最大值为1600元.. ................. 6分
配方得，x² - 2x + 1 = + 1 ，即(x - 1)² = .......6分
答：当售价定为60元时，每天的利润最大，最大利润是1600元。
开方得，x - 1 = ± ❑√❑ ，解得 x
1
= 1 + ❑√❑ ， x
2
= 1 – ❑√❑
（3）∵w = -(x - 60)² + 1600，对称轴为直线x = 60，a = -1 < 0，
..................................................8分
∴当x ≤ 60时，w随x的增大而增大 ............................7分
18.（8分）
∵25 ≤ x ≤ 35，
（1）画图略（正确画出图形得2分）；B (2, 4)，C (0, 3)...4分
∴当x = 25时，w = -(25 - 60)² + 1600 = 575；
（2）画图略（正确画出图形得2分）；A (4, 0)，B (6, -1)，
₁ ₁
当x = 35时，w = -(35 - 60)² + 1600 = 975 .....................9分
C (5,1) ..............8分
₂ ₂
∴每天的利润的取值范围是575元 ≤ w ≤ 975元 ......... 10分
19.（8分）
₂
22.（10分）
（1）∵y = x² - 2x - 3 = (x - 1)² - 4，∴对称轴为直线x = 1，顶点坐标
为(1, -4) .3分 (1)∵袋子中共有4个小球，标有数字2的小球有1个，∴P(摸出数字
2)=.........4分
（2）令y = 0，得x² - 2x - 3 = 0，解得x = -1，x = 3，∴与x轴交点坐
（2）列表如下：
标为(-1, 0)、(3, 0)；令x = 0，得y = -3，∴与y轴交点坐标为(0,
₁ ₂
-3) .............................................................6分
（3）画图略（正确画出图象得2分） ..... . . . . . ..............8分∴抛物线解析式为y = -(x + 1)(x - 3) = -x² + 2x + 3 ...........3分
第一次\第 1 2 3 4
二次 （2）∵A(-1, 0)、B(3, 0)，∴AB = 4，设K(x, -x² + 2x + 3)（x ≠ -1且
x ≠ 3），∵点K在x轴上方，∴-x² + 2x + 3 > 0 ...............4分
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4)
△KAB的面积 = × AB × (-x² + 2x + 3) = 6 ，即 × 4 × (-x² + 2x +
3) = 6 ......................................5分
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4)
化简得，-x² + 2x + 3 = 3，解得x = 0，x = 2 ..............6分
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4)
当x = 0时，y = 3；当x = 2时，y = 3，∴点P的坐标为(0, 3)、(2,
₁ ₂
3) ...............7分
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4)
（3）抛物线的对称轴为直线x = = 1 ，点A关于对称轴x = 1的对称点为
由列表可知，共有16种等可能的结果，其中两次数字之和为5的结果有4种，
B(3, 0) ......................................8分
即(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1) ...............................8分
连接BC，交对称轴x = 1于点Q，此时QA + QC最小，且QA + QC =
∴P（两次数字之和为5）= = .........................10分
BC .......9分
23.（10分）
BC = ❑√a32+32 = 3❑√2 ，∴QA + QC的最小值为3❑√2............10分
（1）证明：连接OD、CD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC = 90°，∴∠CDB =
90° ......................................2分
∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，即∠ODE = 90°，∴∠ODC + ∠CDE =
90° ......................................3分
∵OC = OD，∴∠OCD = ∠ODC，又∵∠OCD + ∠B = 90°，∴∠CDE = ∠B，
∴DE = BE ......................................5分
（2）解：在Rt△ABC中，AB = ❑√AC2+BC2 = ❑√62+82❑ =
10 .................6分
设DE = BE = x，则CE = 8 - x，∵∠EDC = ∠B，∠DEC = ∠CEB，
∴△DEC∽△CEB ......................................7分
∴ = ，即 CE2 = DE × BE ，∴(8 - x)² = x·x ..........8分
解得x = ，即DE = ..................................10分
24.（10分）
（1）设抛物线解析式为y = a(x + 1)(x - 3)，将C(0, 3)代入得，3 = a(0
+ 1)(0 - 3)，解得a = -1 ......................................2分
