文档内容
专题 01 圆的基本概念重难点题型专训
（2个知识点+9大题型+2拓展训练+自我检测）
题型一 圆的基本概念辨析
题型二 求圆中弦的条数
题型三 求过圆内一点的最长弦
题型四 圆的周长和面积问题
题型五 点与圆的位置关系
题型六 三角形的外接圆
题型七 圆中角度的计算
题型八 圆中线段长度的计算
题型九 点与圆上一点的最值问题
拓展训练一 点与圆的位置关系综合
拓展训练二 圆中的最值综合
知识点一、圆的定义
1．在一个平面内，线段 绕它固定的一个端点 旋转一周，另一个端点 所形成的图形叫圆．这个固
定的端点 叫做圆心，线段 叫做半径．以 点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．
点拨：
（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。
（2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。
（3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆
的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。
【即时训练】
1．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）战国时期数学家墨子撰写的《墨经》一书中，“一中同长也”
描述的几何图形是（ ）
A．圆 B．正方形 C．三角形 D．长方形
【答案】A
【分析】本题主要考查了圆的定义，解题的关键是掌握圆的定义．
利用圆的定义进行求解即可．
【详解】解：根据题意得，“一中”指的是定点（圆心），“同长”指的是到定点的距离相等（半径），所以，该图形是圆，
故选：A．
2．（2025九年级上·全国·模拟预测）如图，在 中，
（1）半径有： ．
（2）直径有： ．
【答案】 ， /
【分析】本题主要考查了圆的相关定义，正确识别半径和直径成为解题的关键．
（1）根据半径的定义即可解答；
（2）根据直径的定义即可解答．
【详解】解：（1）如图，在 中， 半径有 ， ．
（2）如图，在 中， 直径有 ．
故答案为： ； ．
知识点二、点和圆的位置关系
点和圆的 点到圆心的距离与半径的关系
图示
位置关系 文字语言 符号语言
圆内各点到圆心的距离都小于半径， P A
点在圆内 点 在圆内 r
到圆心的距离小于半径的点都在圆内 O
圆内各点到圆心的距离都等于半径， A P
点在圆上 点 在圆上 O
到圆心的距离等于半径的点都在圆上 r
圆内各点到圆心的距离都大于半径， A P
点在圆外 点 在圆外 O
到圆心的距离大于半径的点都在圆外 r
点拨：（1）利用 与 的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以
确定 与 的数量关系。
（2）符号“ ”读作“等价于”，它表示从符号“ ”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左
端。
【即时训练】1．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）两个同心圆的圆心为点O，大圆的半径为 ，小圆的半径为 ．
若点P在大圆内部但在小圆外部，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系的判定方法是解题的关键．
的半径为r，点P到圆心的距离 ，则有：①当点P在圆外时， ，②当点P在圆上时，
，③当点P在圆内时， ，据此即可解答．
【详解】解：∵P在大圆内部，
∴ ，
∵P在小圆外部，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）在坐标系中，以 为圆心，5为半径的 与点 的位置关系
是：点 在 （填“内”、“上”或“外”）．
【答案】外
【分析】勾股定理求得 的长，然后根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【详解】解： 的半径为 ，点 到圆心 的距离为 ，
，即 ，
即点A到圆心 的距离大于圆的半径，
点A在 外．
故答案为：外．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设 的半径为r，点P到圆心的距离 ，则有点P在圆外，
则 ；点P在圆上，则 ；点P在圆内，则 ．【经典例题一 圆的基本概念辨析】
【例1】（24-25九年级上·山东菏泽·期末）下列说法正确的是（ ）
A．直径是经过圆心的直线 B．半圆是弧
C．大于劣弧的弧叫作优弧 D．长度相等的弧是等弧
【答案】B
【分析】本题考查圆的基本概念，需逐一分析各选项的正误
【详解】解：选项A：直径是经过圆心的线段，而非直线，直线是无限延伸的，而直径两端在圆上，有固
定长度，故A错误；
选项B：半圆是圆上一条直径将圆分成的两部分，每部分均为弧，且弧的度数为 ，故B正确；
选项C：优弧是大于半圆（ ）的弧，劣弧是小于半圆的弧，但选项未限定“在同圆或等圆中”，且
“大于劣弧”的弧可能仍为劣弧（如 弧大于 劣弧，但仍是劣弧），故C错误；
选项D：等弧需满足长度相等且在同圆或等圆中能完全重合，仅长度相等未必是等弧（如不同半径的圆中
可能存在长度相等的弧），故D错误；
故选B
1．（2025·广东揭阳·模拟预测）如图，某仓库正门的截面是一个半径为 的半圆 ，一辆高为 的矩
形货车 恰好能通过该仓库正门．则车宽 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆的对称性，勾股定理，熟练掌握对称性和勾股定理是解题的关键.连接 ，根据勾
股定理，得 ，根据圆的对称性，得到 ，解答即可.【详解】解：连接 ，根据勾股定理，得 ，
根据圆的对称性，得到 ，
故 ，
故选：A.
2．（24-25九年级上·广东江门·期中）如图， 是 的弦，连接 ．若 ，则
度．
【答案】 / 度
【分析】本题考查了圆的基本性质和等边三角形性质，由已知可知 是等边三角形，由此可知
．
【详解】解：∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ．
故答案为 ．
3．（2025·河南信阳·模拟预测）如图， 等边 中． 点 为 边中点，点 为 边上一
点，且 ，将 绕点 在平面内旋转，连接 ， ，若 为直角三角形，则 的值为 ．【答案】 或
【分析】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质和判定，圆相关知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
连接 ，在等边 中， 点 为 边中点，得出 ，
勾股定理求出 ，根据题意可得点 在以点 为圆心，1为半径的圆上运动，若 为直角三角形，
根据题意可知只有 一种情况，此时，点 在 上或 延长线上，分情况分别根据勾股定理
求解即可．
【详解】解：连接 ，在等边 中． 点 为 边中点，
∴ ，
∴ ，
根据题意可得点 在以点 为圆心，1为半径的圆上运动，
若 为直角三角形，根据题意可知只有 一种情况，
此时，点 在 上或 延长线上，
当点 在 上时，如图，
则 ，
∴ ；
当点 在 延长线上时，如图，
则 ，∴ ；
故答案为： 或 ．
4．（2025九年级上·山东青岛·模拟预测）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐
光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心
为圆心的圆，已知圆心 始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦 为6米时，水面下盛水筒的最大深
度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）．
(1)求该圆的半径；
(2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦 从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？
【答案】(1)该圆的半径为5米
(2)水面下盛水筒的最大深度为2米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，求圆的半径．
（1）作 于点 ，交圆于点 ，设圆的半径为 米，根据勾股定理求解即可；
（2）当 米时， 米，根据勾股定理求出 米，即可求出最大深度．
【详解】（1）解：如图，作 于点 ，交圆于点 ，
则 米， 米，
设圆的半径为 米，在 中， ，
，
解得 ，
该圆的半径为5米；
（2）解：如图，当 米时， 米，
在 中， ，
，
米，
（米），
答：水面下盛水筒的最大深度为2米．
【经典例题二 求圆中弦的条数】
【例2】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的
条数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】试题分析：弦是连接圆上任意两点的线段，根据定义作答．
解：由图可知，点A、B、E、C是⊙O上的点，
图中的弦有AB、BC、CE，一共3条．
故选B．
考点：圆的认识．
1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在 中，弦的条数是（ ）A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确
【答案】C
【分析】本题主要考查了圆的弦．熟练掌握弦的定义是解决问题的关键．弦的定义：连接圆上任意两点的
线段叫做弦．
根据圆的弦的定义解答．
【详解】在 中，有弦 、弦 、弦 、弦 ，
共有4条弦．
故选：C．
2．（24-25九年级上·全国·课后作业） 的半径为 ，A为 上一定点，点P在 上沿圆周运动
（不与点A重合），则使弦 的长度为整数的点P共有 个．
【答案】7
【分析】本题主要考查了圆的弦的概念．熟练掌握圆的弦的定义和性质，是解决问题的关键．圆的弦的定
义：连接圆上任意两点间的线段叫做弦．最大弦是直径．
根据 的半径为 ，得到直径 ，根据 ，得到在半圆上， 有3个，另一侧也有3
个，加上长度为 的是与B点重合，一共有7个．
【详解】如图，∵ 的半径为 ，
∴直径 ，
∴弦 长的整数值有 或 或 或 ，共4种可能，
当 或 或 时,各有2条,
当 时有1条,
∴这样的弦共有7条．
∴这样的点P共有7个．
故答案为：7．3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在 中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图
中共有 条弦，它们分别是 ．
【答案】 三/3 ， ，
【分析】根据连接圆上任意两点的线段叫弦回答即可．
【详解】解：图中的弦有 ， ， 共三条．
故答案为：三； ， ， ．
【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握弦的概念是解题的关键．
4．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知：线段AB = 4 cm，画图说明：和点A、B的距离都不大于3 cm
的所有点组成的图形.
【答案】所求图形为阴影部分（包括阴影的边界）.
【分析】以A，B点为圆心，半径为3作圆，重叠的部分即为所求.
【详解】如图所示，以点A，B为圆心，3cm为半径画圆，两个圆相交的部分为阴影部分，图中阴影部分
就是到点A和点B的距离都不大于3 cm的所有点组成的图形.
【点睛】此题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据题意画出图形，根据所学的点与圆的位置关系的判断方法来解答.
【经典例题三 求过圆内一点的最长弦】
【例3】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知 中最长的弦为 ，则 的半径为（ ） ．
A．2 B．3 C．6 D．12
【答案】B
【分析】本题考查了圆的基本知识；熟练理解圆中最长的弦是直径是解题的关键．
根据圆中最长的弦是直径以及同圆或等圆中，直径是半径的2倍，即可求得结果．
【详解】解： 中最长的弦长为 ，
的直径的长为 ，
的半径为 ．
故选B．
1．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图， 的半径为5，弦 的长为6，延长 至点 ，使得点
为 的中点，在 上任取一点 ，连接 、 ，则 的最大值为（ ）
A．290 B．272 C．252 D．244
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，圆内最长弦是直径，过点C作 于点N，连接 ，根据勾股定理
可得 ， ，利用弦 最长等于直径即可得出答案．
【详解】解：过点C作 于点N，连接 ，点 为 的中点， ，
，
，
，
，
，
当 最大时， 最大，
在 中，
，
当 最大时， 最大，
的半径为5，
弦 最长等于直径是10，
，
．
故选：B．
2．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）在 中， ， ， ，则 的取值范围
．
【答案】
【分析】本题考查弦的性质、直角三角形的性质及勾股定理，解题关键是熟知直径是圆中最长的弦．作
的外接圆，当 时， 最长，即外接圆的直径；当 时， 是等边三角形，可求出 ，然后结合 即可求解．
【详解】解：作 的外接圆，当 时， 最长
∵
∴
∴
∵在 中， ，
∴
∴
∴ ，即 最长为
当 时，则 ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
综上所述： ，
故答案为： ．
3．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，以边长为1的正方形 的顶点O、P、R分别为圆心作圆，圆O
过点Q，圆P、R均和圆O内切．设圆P、R上任意两点之间的距离是d，则d的最大值是 ．【答案】
【分析】本题考查圆的内切，圆上两点间距离的最值：连接 ，延长 交圆 于C，求出圆P和圆R的
半径．连接P，R，并延长与圆P交于A，与圆R交于B，则AB的长度即为圆P、R上任意两点之间的距离
d的最大值．
【详解】如图，连接 ，延长 交圆 于C，
由圆O和圆P内切知C点即为切点，
∴ ，
连接P，R，并延长与圆P交于A，与圆R交于B，
则AB的长度即为圆P、R上任意两点之间的距离d的最大值，
∴ ，
故答案为： ．
4．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）请用无刻度的直尺在以下图中按要求作图（保留作图痕迹，不
写作法）(1)如图①， 内接于 中，画出 中一条最长的弦；
(2)如图②，等腰 内接于 中， ，画出底边 的中线 ；
(3)如图③，已知四边形 为矩形，点A、D在圆上， 与 分别交于点E、F ．画出线段
的垂直平分线；
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)见详解
【分析】（1）连接 ，并延长 交 上于一点D，则 是直径，符合题意，即可作答．
（2）因为等腰 内接于 中， ，则连接 ，因为 ，则直线 是 的垂
直平分线，记直线 与 的交点为 ，结合等腰三角形的三线合一，则 是底边 的中线，即可作
答．
（3）连接 交于点O，连接 交于点H，连接 ， 即为线段 的垂直平分线，即可
作答．
本题考查的是作图，主要涉及等腰三角形的性质、矩形的性质、线段的垂直平分线的判定和性质等知识，
解题的关键是灵活运用相关的知识解决问题．
【详解】（1）解： 是 中一条最长的弦，如图所示：
（2）解：底边 的中线 如图所示：
（3）解：直线 即为所求．如图所示：【经典例题四 圆的周长和面积问题】
【例4】（24-25九年级上·全国·课后作业）把圆的半径缩小到原来的 ，那么圆的面积缩小到原来的( )．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】因为圆的面积公式是：s=πr2，所以圆的面积和此圆半径的平方有关系，设出原圆的半径，再表示
出现在圆的半径代入公式求解即可．
【详解】解：设原来的圆的半径为r，则面积S=πr2，
1
∴半径缩小到原来的 后所得新圆的面积 ，
∴ .
故选D．
【点睛】本题考查了圆的面积公式，在公式中：圆的面积和半径的平方成正比．
1．（2025九年级·全国·模拟预测）如图， 的半径为1，分别以 的直径 上的两个四等分点 ，
为圆心， 为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把阴影部分进行对称平移，再根据半圆的面积公式计算即可.
【详解】解： ,
∴图中阴影部分的面积为 .
故选B.
【点睛】本题考查了圆的知识点，解题的关键是熟练掌握半圆的面积公式，注意对称平移思想的应用．
2．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）圆的半径是2厘米，则这个圆的周长是 厘米，这个圆的面
积是 平方厘米．
【答案】
【分析】根据圆的周长和面积公式求解即可．
【详解】解：∵圆的半径是2厘米，
∴圆的周长是 厘米，圆的面积为 平方厘米，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了求圆的周长和面积，熟知圆周长公式和圆面积公式是解题的关键．
3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）运动场上的环形跑道的跑道宽都是相同的，若一条跑道的两个
边缘所在的环形周长的差等于 米，则跑道的宽度为 米．【答案】
【分析】设运动场上的小环半径为r米，大环半径为R米，再根据圆的周长公式计算即可．
【详解】解：设运动场上的小环半径为r米，大环半径半径为R米，根据题意得：
2π（R﹣r）＝ ，
解得：R﹣r＝ ，
即跑道的宽度为 米．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆的周长公式，熟练掌握圆周长的计算公式是解题的关键．
4．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期末）求阴影部分的周长．（单位：cm）（若涉及 时不取近似值，用
表示既可）
【答案】阴影部分的周长是 厘米
【分析】由图可知，阴影部分的周长等于最大半圆周长与两个小半圆周长之和．
【详解】解：由题意得：大半圆半径为 ，两个小圆半径分别为 ， ，
阴影部分的周长 （厘米）
答：阴影部分的周长是 厘米．
【点睛】本题考查了认识平面图形，熟练掌握圆的周长计算公式是解题的关键．
【经典例题五 点与圆的位置关系】
【例5】（25-26九年级上·江西南昌·期中）已知 的半径为5，点 到圆心 的距离为4，那么点 与
的位置关系是（ ）A．点 在 上 B．点 在 内 C．点 在 外 D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，设 的半径为 ，点 到圆心的距离 ，则有：点 在圆
外则 ；点 在圆上则 ；点 在圆内则 ．
直接根据圆的半径以及点 到圆心 的距离，求解即可．
【详解】解：由题意可得， 的半径为5，点 到圆心 的距离为4，
∵ ，
∴点 在 内，
故选B．
1．（25-26九年级上·天津南开·期中）如图，点 ， ， ，点 为线段 的中点，以点
为圆心， 为半径作⊙ ，则下列结论中正确的是（ ）
A． 与⊙ 相切 B．点 在⊙ 上 C．点 在⊙ 上 D．点 在⊙ 上
【答案】A
【分析】本题考查点、直线与圆的位置关系，熟练掌握点、直线与圆的位置关系的判断方法是解题的关键．
根据两点间距离公式计算出 、 、 的距离，分别与半径 相比较，得出点是否在圆上；根据圆
心到直线 的距离等于半径 ，判断直线 与 相切即可．
【详解】解：由于点 ， ，点 为线段 的中点，那么 点的坐标为 ，直线 方程为： ，
选项A、过点 作 于点 ，由题意得， ，设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
在 中，由勾股定理得： ，
则 ，解得 ，
，即 长等于半径，
则 与 相切，故结论正确；
选项B、 ，则点 在 外，故结论错误；
选项C、 ，则点 在 外，故结论错误；
选项D、 ，则点 在 外，故结论错误；
故选：A．
2．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）已知 的直径为 ， ，则点P在
（填“上”、“内”或“外”）．
【答案】外
【分析】本题主要考查点和圆的位置关系，熟练掌握点和圆的位置关系是解题的关键．
根据直径求出半径，即可判断出点和圆的位置关系．
【详解】解： 的直径为 ，的半径为 ，
，
点P在 外．
故答案为：外．
3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系 中， 的半径为1.对于点 和线段 ，
给出如下定义：若将线段 绕点 旋转可以得到 的弦 （ ， 分别是 ， 的对应点），则称
线段 是 的以点 为中心的“关联线段”．如图，点A， ， ， ， ， ， 的横、纵坐标都
是整数．在线段 ， ， 中， 的以点A为中心的“关联线段”是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查旋转的性质、点和圆的关系．利用旋转的性质、点A到圆上一点的距离范围及“关
联线段”的定义来进行判别即可．
【详解】解：由旋转的性质可知： ， ， ，
由图可知点A到圆上一点的距离d的范围为 ，
∵ ，
∴ 点不可能在圆上，
∴ 不是 的以点A为中心的“关联线段”，∵ ， ，
∴ ， ，
∴ 是 的以点A为中心的“关联线段”，
∵ ， ，
当 在圆上时，则 或 ，
由图可知此时 不在圆上，
∴ 不是 的以点A为中心的“关联线段”，
故答案为： ．
4．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）阅读下列材料：
平面上两点 ， 之间的距离表示为 ，称为平面内两点间的距
离公式，根据该公式，设 是圆心坐标为 、半径为r的圆上任意一点，则点P适合的条件可表
示为 ，变形可得： ，我们称其为圆心为 ，半径为r的圆
的标准方程．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题．
(1)圆的标准方程 ，则它的圆心是________，半径是________．
(2)圆心为 ，半径为2的圆的标准方程为：____________；
(3)若已知 的标准方程为： ，圆心为C，请判断点 与 的位置关系并说明理
由．
【答案】(1) ，5
(2)(3)点A在 的内部，理由见解析
【分析】本题考查两点距离公式，圆的标准方程，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题关键．
（1）先设圆上任意一点的坐标 ，根据圆的标准方程公式求解即可；
（2）先根据圆的标准方程求出圆心坐标，利用两点距离公式求出点A到圆心的距离d，然后与半径r相比
较， ，点在圆外， ，点在圆上， ，点在圆内，即可判断点A与圆的位置关系．
【详解】（1）∵圆的标准方程 ，其中 为圆心， 为半径。
∴ ，圆心为 ，半径 。
故答案为： ，5
（2）解：设圆上任意一点的坐标为 ，
∵ ，半径为2
∴ ，
故答案为 ；
（3）∵ 的标准方程为： ，
∴圆心坐标为 ， ，
∵点 ，AC=
∴点A在 的内部．
【经典例题六 三角形的外接圆】
【例6】（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）下列语句中，正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧 B．在同一平面上的三点确定一个圆
C．直径是弦 D．三角形的外心到三角形各边的距离相等
【答案】C
【分析】本题主要考查圆的有关概念、三角形的外心，熟练掌握相关概念是解题的关键．根据等弧的概念，确定圆的条件以及三角形及其外心之间的关系解答即可．
【详解】解：A、在同圆或等圆中，能够重合的弧才是等弧，故选项错误，不符合题意；
B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故选项错误，不符合题意；
C、直径是弦，正确，符合题意；
D、三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
1．（24-25九年级上·全国·期末）如图，正三角形 是圆 的内接三角形，弦 ，且与 垂直，
则圆 的半径等于（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、垂径定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
连接 ，根据垂径定理推出 被 垂直平分，再根据勾股定理进行计算即可．
【详解】解：连接 ，
∵ 是等边三角形， ，
∴ ， ，
∴ ， ，设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
则 ，
则 ，
解得： ．
故选：B ．
2．（2025·广东广州·模拟预测）三边长为3，4，5的三角形，它的外接圆半径为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查三角形的外接圆与外心、勾股定理的逆定理等知识点，掌握直角三角形的外心就是
斜边中点是解题的关键．
根据勾股定理的逆定理，可以判断这个三角形是直角三角形，且斜边就是外接圆的直径，据此即可解答．
【详解】解：∵三角形的三边长分别为3，4，5，
又∵ ，
∴这个三角形是直角三角形，
∴这个三角形的外接圆的直径的长就是斜边的长为5，
∴此三角形的外接圆半径是 ．
故答案为 ．
3．（2025九年级上·安徽宣城·模拟预测）如图，在 中， 边上的高 ，
①当 时，则 的周长为 ．
②若 的长变化时，则 周长的最小值为 ．
【答案】【分析】①先运用勾股定理算出 ，再证明 ，代入数值到 ，解
得 ，再运用勾股定理算出 ，然后列式计算得 的周长；
②先延长 到E，使得 ，延长 到F，使得 ，连接 ，作 的外接圆 ，
连接 ，过点O作 于点J，交 于点T．先整理得 ，则
，故 ，则 ， ，因为
，得 最小时， 的周长最小，即可作答．
【详解】解：①∵ 边上的高 ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
则 ，
∴ ，
∴ 的周长为 ．
故答案为：20；
②如图，延长 到E，使得 ，延长 到F，使得 ，连接 ，作 的外接圆
，连接 ，过点O作 于点J，交 于点T．∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
则 ， ，
∵ ，
∴ 最小时， 的周长最小，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ 的周长的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查轴对称最短问题，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，
三角形的外接圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考填空题
中的压轴题．
4．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）在一次趣味数学的社团活动中，有这样的一道数学探究性问题．
(1)问题情境：如图 ，在 中， ， ，则 的外接圆的半径为________；
(2)操作实践：如图2，用无刻度直尺与圆规在矩形 的内部作出一点 ，使得 ，且
（不写作法，保留作图痕迹）
(3)迁移应用：已知，在 中， ， ， ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接 、 ，根据圆周角定理及等边三角形的性质可得答案；
（2）作 的垂直平分线，交 于点O，以O为圆心， 为半径作圆，交垂直平分线于点P，则点P为
所求；
（3）作 的外接圆，利用特殊直角三角形的性质及等边三角形的性质可得答案．
【详解】（1）解：连接 、 ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ 的外接圆的半径为 ．
故答案为： ；
（2）解：如图中，点P为所求．
∵点 在 的垂直平分线，
∴ ， ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 过点E，
∵ ，
∴ ，
（3）解：如图，作 的外接圆，∵ ， ，
当 时， 为最长弦，即直径，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
当 时， 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ 的取值范围为： ．
【点睛】此题考查的是圆的综合题目，涉及圆的性质、勾股定理、直角三角形的性质、等边三角形的性质
等知识，正确作出辅助线是解决此题关键．
【经典例题七 圆中角度的计算】
【例7】（2025·湖北恩施·模拟预测）如图，A，B，C三点在 上，若 ， ，则 的
度数是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】本题考查了圆的基本性质，等边对等角，平行线的性质．利用半径相等结合等边对等角求得
， ，再根据平行线的性质列式计算即可求解．
【详解】解：连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故选：C．
1．（2025九年级上·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在 中, ，以点A为圆心, 长为
半径作圆，交 于点D，交 于点E，连接 ，则 的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质（等边对等角）及圆的半径相等的性质，解题的关键是利用圆的半径相等构造等腰三角形，结合直角三角形内角和逐步推导相关角度．
在 中，根据两锐角互余求出 的度数；由圆的半径相等得 ，利用等腰
的性质求出 的度数；进而求出 的度数；再结合等腰 的性质求出 的度数．
【详解】解：连接 ，
∵在 中，
∴
∵以点A为圆心， 长为半径作圆
∴ （圆的半径相等）
在 中，∵
∴
∴
∵
∴
在 中，∵
∴
∴
故选：B．
2．（25-26九年级上·甘肃定西·期中）如图，已知 是 的两条直径， ，则 的度数
为 ．
【答案】 /140度
【分析】本题主要考查了圆的半径相等，等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
根据半径 得到 ，再由三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵ 是 的两条直径，
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为： ．
3．（25-26九年级上·天津南开·阶段练习）如图， 是 的弦，C是 上一点，且 ，
，则 的度数是 ， 的半径为 ．
【答案】 /30度
【分析】本题考查了圆的性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和直角
三角形的性质是解题的关键，连接 ，由等边对等角得 ， ， 进而得
．再根据30度角的性质求出 ，从而利用勾股定理求出半径．
【详解】解：连接 ．
，
．
，
．
．
，
．，即 ．
．
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
4．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图， 是 的直径， 是 的一条弦，延长 与
的延长线相交于点 P，且 ，求 的度数．
【答案】
【分析】本题主要考查了圆的性质，等边对等角，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，列一元一次
方程解决几何问题，解题的关键是掌握以上性质．
连接 ，假设 ，利用等边对等角，三角形的外角性质表示出相关的角，利用三角形的内角和定理
和角的和差表示出 的度数，列出一元一次方程求解即可．
【详解】解：如图，连接 ，
假设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴
又∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ 的度数为 ．
【经典例题八 圆中线段长度的计算】
【例8】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，线段 ，以O为圆心，2为半径作 ．点P
为 上的动点，连接 ，并将 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 ．在点P运动的过程中，
长度的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图，作 ，且 ，连接 ， ，证明 ，可得 ，
在以点D为圆心，半径为2的圆上，结合 ，可得当 共线时， 最大，再进一步
求解即可.
【详解】解：如图，作 ，且 ，连接 ， ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 在以点D为圆心，半径为2的圆上，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
当 共线时， 最大，
即 长度的最大值为 .
故选：A．
【点睛】本题考查的是旋转的性质，勾股定理的应用，三角形三边关系的应用，圆的基本性质，作出合适
的辅助线是解本题的关键.
1．（2025·湖南·模拟预测）如图，点 的坐标分别为 ，点 为坐标平面内一点，
，点 为线段 的中点，连接 ，则 最长为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】本题考查了坐标和图形，勾股定理，圆外一点到圆上一点的最值问题，三角形的中位线定理等知识．先得到点 在半径为1的 上，取 ，连接 ，可知 为射线 与圆B的交点时，
最大，即 最大，根据三角形的中位线定理可得结论．
【详解】解：∵点A、B的坐标分别为 ，
，
点 为坐标平面内一点， ，
在 上，且半径为1，
取 ，连接 ，
为线段 的中点， ，
是 的中位线，
，
当 最长时，即 最长，
∵
∴ ， ， 三点共线时， 最长，此时 为射线 与圆B的交点，
， ，
，
，
，
即 的最大值为 ，
故选：A．
2．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图， ，点 在射线 上滑动，点 在射线上滑动，且线段 的长始终保持 不变；以 为斜边在 的右侧作 ，则在滑动的过程中线
段 长的最大值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆的性质，利用圆的性质，确定 在以 为直径的圆上， 最大值为直径．
【详解】解：连接 ，以 为直径作 ，连接 ．
，
点 在 上，
当 为直径时有最大值，
，
的最大值为： ．
故答案为： ．
3．（2025·甘肃平凉·模拟预测）如图， 的两条弦 、 的延长线交于C点， 的平分线
过点O，请直接写出图中一对相等的线段： ．
【答案】 （或 或 ）
【分析】根据圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的每一条直线；角是轴对称图形，对称轴是角平分线所
在的直线结合进行判断．此题关键是根据图形的对称性，分析可以重合的线段．
【详解】这个图形是轴对称图形，对称轴即是直线 ，根据轴对称的性质，得 或 或．
故答案为： （或 或 ）．
4．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）如图， 是 弦 的中点，A是 上一点， 与 交于
点E，已知 ， ．
(1)求线段 的长．
(2)当 时，求 ， 的长．
【答案】(1)
(2) ，
【分析】本题考查了圆的基本性质、等腰三角形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握相关
知识点是解题的关键．
（1）连接 ， ，根据中点的定义得到 ，再根据三线合一的性质得到 ，
在 中利用勾股定理即可求解；
（2）设 ，表示出 、 的长，在 中利用勾股定理列出方程，求出 的值即可解答．
【详解】（1）解：如图，连接 ， ，
∵ 是 弦 的中点，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，
∵A是 上一点， ，
∴ 的半径为8，
∴在 中， ；
（2）解：设 ，则 ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
解得： ， （舍去），
∴ ， ．
【经典例题九 点与圆上一点的最值问题】
【例9】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）若 所在平面内一点P到 上的点的最大距离为a，最
小距离为b（ ），则此圆的半径为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】点P可能在圆内，也可能在圆外；当点P在圆内时，直径为最大距离与最小距离的和；当点P在
圆外时，直径为最大距离与最小距离的差；再分别计算半径．
【详解】解：若 所在平面内一点P到 上的点的最大距离为a，最小距离为b，
若这个点在圆的内部或在圆上时，圆的直径为 ，因而半径为 ；
当此点在圆外时，圆的直径是 ，因而半径是 ；
故选C．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，培养学生分类的思想及对点P到圆上最大距离、最小距离的认识．1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，矩形 中， ，以A为圆心，2为半径
作 ．若点E在 上，点P在 上，则 的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】延长 到点M，使得 ，连接 交 于点O，交 于点N，
当点E与点O重合，点P与点N重合时， 此时取得最小值，利用矩形
的性质和勾股定理解答即可．
【详解】解：延长 到点M，使得 ，连接 交 于点O，交 于点N，
∵ ，
∴当点E，P，M三点共线时， 取得最小值，此时为 ，
∵点E是 上动点，
∴当E与点O重合时， 最小，此时为 ，∴当点E与点O重合，点P与点N重合时， 此时取得最小值，
∵矩形 中， ，以A为圆心，2为半径作 ．
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，圆的基本性质，两点之间线段最短，熟练掌握矩形的性质，
勾股定理，圆的基本性质是解题的关键．
2．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上
的一动点，过P作PA⊥PB， A、B都在x轴上，且关于原点O对称，则AB的最小值为 ．
【答案】6
【分析】连接OP，由直角三角形的性质可知AB=2OP，则求AB的最小值即为求OP的最小值，当O、P、
M三点共线时，OP长度最小.
【详解】解：连接OP，由于PA⊥PB，故由直角三角形的性质可知AB=2OP，则OP最短时，AB最短；由图可知，O、P、M三点共线时，OP长度最小，OP=OM-MP= ，则AB的最小长度为6，
故答案为6.
【点睛】将求AB最短问题转化为求OP最短是解题关键.
3．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在菱形 中， ， ， 、 的半径分别为2
和1，点 、 、 分别是边 、 和 上的动点，则 的最小值是 ．
【答案】3
【分析】作 点关于直线 的对称点 ，连接 ，延长 交 于点 ，连接 ， ，利用菱形
的性质以及圆的性质得出 与 重合时 的最小值，进而求出即可．
【详解】解：如图，作 点关于直线 的对称点 ，连接 ，延长 交 于点 ，连接 ， ，
四边形 是菱形， ， ，
， ，
、 是等边三角形 ，
∴ ，
，
，
，
， ， 在一条直线上，
由题意可得出：当 与 重合， 点在 上， 在 上时， 最小，
∵ ， 、 的半径分别为2和1，
， ，
的最小值是3．故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质以及圆的性质等相关知识，
根据题意得出 点位置是解题关键．
4．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”了，其原理为在
磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎；如图1，“豆腐石
磨”是我国古人制作豆腐的重要的生产工具，更是劳动人民智慧的结晶．它的主要工作部件可以看成一个
圆和线段，俯视图如图2所示．如图3，O为石磨的圆心，连接 ．已知 与石磨的边缘交于点D，木
柄 米，连接 ， ，O、B、C三点共线，A始终在 上运动， 的半径 米，固定
点C到石磨边缘距离 米．
(1)在使用过程中发现，当 时，工作最省力，求此时 的正切值；
(2)石磨转动过程中， 的长度是不断变化的，求 的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2) 的最大值为 米，最小值为 米
【分析】本题考查的是圆的基本性质，三角形的三边关系的应用，锐角三角函数的应用，结合图形解题是
关键．
（1）由 ， 米，木柄 米，结合正切的定义解答即可；
（2）画出图形，结合点与圆上各点的最大距离与最短距离解答即可；
【详解】（1）解： ，
， 米，
米，
．（2）解：如图，当点 共线时，
的最小值为： 米，
； 的最大值为： 米，
； 米 米，
∴ 的最大值为 米，最小值为 米．
【拓展训练一 点与圆的位置关系综合】
1．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知线段AB=4cm，以3cm长为半径作圆，使它经过点A.B，能作几
个这样的？请作出符合要求的图．
【答案】作图见解析.
【详解】试题分析：
由所作圆过点A、B，可知，圆心到A、B的距离相等，由此可知，圆心在线段AB的垂直平分线上，且到
点A的距离等于3cm，这样先作AB的垂直平分线，再以点A为圆心，3cm为半径作弧与AB的垂直平分
线相交，则交点为所求圆的圆心，这样就可作出所求圆了.
试题解析：
这样的圆能画2个．作AB的垂直平分线l，再以点A为圆心，3cm为半径作圆交l于O 和O，然后分别以
1 2
O 和O 为圆心，以3cm为半径作圆，如图：
1 2则⊙O1和⊙O2为所求圆．
2．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， 、 、 ．
(1)经过 、 、 三点的圆弧所在圆的圆心 的坐标为______；
(2)这个圆的半径为______；
(3)直接判断点 与 的位置关系．点 在 ______（填内、外、上）．
【答案】(1)
(2)
(3)内
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫
做三角形的外心，也考查了点与圆的位置关系，勾股定理．
（1）利用网格特点，作 和 的垂直平分线，它们的交点为 点，从而得到点 的坐标；
（2）利用两点间的距离公式计算出 即可；
（3）先计算出 ，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点 与 的位置关系．
【详解】（1）解：如图，圆心 的坐标为 ；；
故答案为： ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
即 的半径为 ；
故答案为： ；
（3）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴点 在 内．
故答案为：内．
3．（2025·云南曲靖·模拟预测）如图，在 中，直径 与弦 交于点E，连接 ， ．过点D的
直线 与 的延长线交于点F，且 ，
(1)求证： ；
(2)求证： 是 的切线；
(3)若 ， ， ，点P为直线 上一动点，且 ，当 时，设点
P到 上的点的距离为t，求t的取值范围．
【答案】(1)见解析(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据圆周角定理得 ，再结合三角形外角性质，得 ，
进行角的等量代换，即可作答．
（2）根据 得 ，再证明 ，进行角的等量代换得 ，
再根据 为直径，则 ，即 ，即可作答．
（3）结合 ， 得 ，根据 ，则 ，在 中， ，证明
，结合 ，得
故 ，即P，F两点重合，再列式求出 ，则
，即可得出t的取值范围．
【详解】（1）解：∵在 中， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ；
（2）解：连接
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∵ 为直径，
∴ ，
即 ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∵ 是 半径，
∴ 是 的切线，
（3）解：如图3：连接 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
则
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
在 和 中
∴∴
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴P，F两点重合，
∴在 中，
∴ ，
∴ .
∴P到 上的点的最大距离为 .
∴P到 上的点的最小距离为 .
∴t的取值范围是
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形的相关计算，全等
三角形的判定与性质，切线的判定与性质，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【拓展训练二 圆中的最值综合】
1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，半径为7的 上有一动点B，点A为半径 上一点，且 最大
为10，以 为边向外作正方形 ，连接 ．
(1)请直接写出 的长．
(2)过点A作 ，且 ，连接 ，在点B的运动过程中， 的长度会发生变化吗？变化请
说明理由，不变化请求出 的长．
(3)当点A，B，F三点在一条直线上时，请直接写 的长．
(4)请直接写出 的最大值和最小值．
【答案】(1)(2) 的长度不变，
(3) 或
(4) 的最大值为12，最小值为2
【分析】（1）连接 ，根据题意可得当A，O，B共线时， ，即可求解；
（2）证明 ，即可解答；
（3）分两种情况：当点B在F上方时，当点B在F下方时，即可解答；
（4）作 ，且 ，连接 ，证明 ，即可解答．
【详解】（1）解：连接 ，
∵ ，仅当A，O，B共线时， ，
又∵ 最大为10， ，
∴ ；
（2）解： 的长度不变，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：根据题意得： ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，当点B在F上方时， ，
当点B在F下方时， ，
∴综上所述， 的长为 或 ；
（4）解：作 ，且 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最大值为 ，最小值为 ．
∴ 的最大值为12，最小值为2．
【点睛】本题综合考查了圆、正方形、勾股定理、全等三角形等相关知识，要求学生理解并掌握圆的性质、正方形的性质、勾股定理的内容及公式、全等三角形的判定与性质等，并能通过作辅助线构造全等三角形，
能进行线段之间的转化和运算等，理解三角形的三边关系，并能用于解决求有一端点为动点的线段的最值
问题，该题综合性较强，对学生的分析推理与计算的能力都有一定的要求，蕴含了分类讨论和数形结合的
思想．
2．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）在平面直角坐标系 中， 的半径为1．对于点A和线段
，给出如下定义：若将线段 绕点A旋转可以得到 的弦 （ ， 分别是B，C的对应点），
则称线段 是 的以点A为中心的“关联线段”．
(1)如图，点 ， ， ， ， ， ， 的横、纵坐标都是整数．在线段 ， ， 中， 的
以点A为中心的“关联线段”是_______；
(2)等腰直角三角形 的斜边长 为 ，点A不为原点．若 是 的以点A为中心的“关联线段”，
在坐标系中画出点A组成的图形．
(3)在 中， ， ．若 是 的以点 为中心的“关联线段”，直接写出 的最小值和
最大值，以及相应的 长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3) 最小值为2，此时 ； 最大值为3，此时
【分析】（1）以点 为圆心，分别以 ， ， ， ， ， 为半径画圆，进而观察是否与
圆 有交点即可；（2）当 是 的以点 为中心的“关联线段”时，则有 是等腰直角三角形，连接 ，由
，可知 ， ，可证四边形 为正方形，得到
，从而得到点 组成的图形为以点 为圆心， 为半径的圆；
（3）根据题意可知 ， 都在 上，当以 为圆心，3为半径作圆，然后以点 为圆心，2为半径作圆，
即可得到点 的运动轨迹，连接 ， ，可知当 、 、 共线时 取得最小值，连接 ，作
于点 ，设 ，则 ，利用勾股定理得到 ，
，解之得到 ，再利用勾股定理得到 ，解之即可；同理当当 、
、 共线时 取得最大值，用同样的方法可求得此时的 ．
【详解】（1）解：以点 为圆心，分别以 ， ， ， ， ， 为半径画圆，如图，
观察图象可得，线段 能绕点 旋转 得到 的“关联线段”， ， 都不能绕点 进行旋转
得到．
故答案为： ；
（2）解：由题意可得，当 是 的以点 为中心的“关联线段”时，
则有 是等腰直角三角形，如图，连接 ，，
，即 ，
，
， ，
又 ，
四边形 为菱形，
，
菱形 为正方形，
，
点 组成的图形为以点 为圆心， 为半径的圆，
故点 组成的图形如下图即为所求，
（3）解： 是 的以点 为中心的“关联线段”，
， 都在 上，， ,
， ，
当以 为圆心，3为半径作圆，然后以点 为圆心，2为半径作圆，
即可得到点 的运动轨迹，如图，连接 ， ，
，
当 、 、 共线时 取得最小值，
最小值为 ，
如下图，连接 ，作 于点 ，
则 ，
设 ，则 ，
，
，即 ，解得 ，
， ，
，
当 取的最小值为2时， ；
同理，当 、 、 共线时 取得最大值，如图，
最大值为 ，
连接 ，作 于点 ，
设 ，则 ，
，
，即 ，
解得 ，
， ，；
当 取的最大值为3时，
综上所述， 最小值为2，此时 ， 最大值为3，此时 ．
【点睛】本题考查了旋转的综合，圆的基本性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，正方形的判定与性
质，熟练掌握旋转的性质以及作出合适的辅助线构建直角三角形是解题的关键．
3．（2025·广东肇庆·模拟预测）如图1所示，等边三角形 内接于圆 ，点 是劣弧 上任意一点
（不与 重合），连接 、 、 ．
【初步探索】
（1）将 绕点 顺时针旋转 到 ，使点 与点 重合，可得 、 、 三点在同一直线上，
则线段 、 、 存在的数量关系是：________________．
【知识迁移】
（2）如图1所示，若圆的半径为8，问 的最大值是多少？
【拓展延伸】
（3）如图2所示，等腰 内接于圆 ， ，点 是弧 上任一点（不与 重合），
连接 、 、 ，若圆的半径为8，试求 周长的最大值．
【答案】（1）
（2）16
（3）【分析】（1）由旋转的性质得 ， ， ，由等边三角形的判定及性质得
是等边三角形，即可求解；
（2）由圆的定义得当 经过圆心 ，即 是 的直径时，此时 的值最大，最大值为16，即可求解；
（3）将 绕点 顺时针旋转 到 ，使点 与点 重合，由圆的内接四边形性质得
，可得 、 、 三点在同一条直线上，由勾股定理得 ，即可求解．
【详解】解：（1）由旋转得 ，
，
，
是等边三角形，
，
，
；
故答案为： ；
（2）∵ 是 的弦，且 的半径为8，
∴当 经过圆心 ，即 是 的直径时，此时 的值最大，最大值为16，
，
∴ 的最大值是16；
（3）∵ ， ，
∴ 是 的直径，且圆心 在 上，
∴ ， ，将 绕点 顺时针旋转 到 ，使点 与点 重合，
， ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ 、 、 三点在同一条直线上，
∵ ，
∴
，
∵当 经过圆心 ，即 是 的直径时，此时 的值最大，最大值为16，
∴ 的最大值为 ，
∴ 的最大值为 ，
∴ 周长的最大值是 ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，圆的定义，等边三角形的判定及性质，圆的内接四边形的性质等；理解
圆的定义，掌握旋转的性质，等边三角形的判定及性质，圆的内接四边形的性质，能找出取得最值的条件
是解题的关键．
1．（24-25九年级上·青海西宁·期中）下列命题是真命题的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧
B．圆中最长的弦是经过圆心的弦
C．一条弦把圆分成两条弧，分别是优弧和劣弧
D．平分弦的直径垂直于弦
【答案】B【分析】本题考查了命题，圆中的有关概念，熟练掌握圆的概念和性质是解题的关键。
根据圆的概念和性质分析即可．
【详解】解：A．在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故原说法错误，是伪命题，不符合题意；
B．圆中最长的弦是经过圆心的弦，说法正确，是真命题，符合题意；
C．一条弦（非直径）把圆分成两条弧，分别是优弧和劣弧，故原说法错误，是伪命题，不符合题意；
D．平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故原说法错误，是伪命题，不符合题意；
故选：B．
2．（24-25九年级上·湖北武汉·单元测试）如图， 个正方形的边长均为 ，则涂色部分的面积是
的图有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【分析】本题考查了求不规则图形的面积．
由图可知，前三个图形空白部分面积均与直径为 的圆的面积相同，第四个图形涂色部分的面积与直径为
的圆的面积相同，计算后判断即可．
【详解】①涂色部分的面积是 ，符合题意；
②涂色部分的面积是 ，符合题意；
③涂色部分的面积是 ，符合题意；
④涂色部分的面积是 ，不符合题意；
即涂色部分的面积是 的图有 个，
故选：C．
3．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知P是 外一点，Q是 上的动点，线段 的中点为
M，连接 ，若 的半径为4， ，则线段 的最小值是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题主要考查的是点与圆的位置关系、三角形的中位线定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．
设 与 交于点N，连接 ，如图，由题意可知ON＝ OP，从而可知MN为△POQ的中位线，
由三角形中位线的性质可知 ；当点M、O、N在一条直线上时， 有最小值，接下
来依据 求解即可．
【详解】解：设 与 交于点N，连接 ，如图，
∵ ， ，
∴N是 的中点．
∵M是 的中点，N是 的中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∴点M在以N为圆心，2为半径的圆上．
∵当点M在 上时， 最小，
∴线段 的最小值为 ．
故选：A．
4．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）把圆剪拼成长方形（如图），圆的周长比长方形少 ，长方形
的面积是（ ） ．
A． B． C． D．【答案】C
【分析】本题考查了圆、长方形的周长、圆的面积，解决本题的关键是拼成的长方形的周长比圆的周长增
加了 2 条半径长．
拼成的长方形的周长比圆的周长增加了2条半径长，从而求出半径长，代入计算即可．
【详解】解：∵圆的周长比长方形少 ，
半径是 （厘米），
长方形的长是 （厘米），
长方形的面积是 （平方厘米）．
故选：C．
5．（2025·浙江金华·模拟预测）如图，已知直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点， 是以
为圆心， 为半径的圆上一动点，连结 、 ．则 面积的最小值是（ ）
A． B．6 C．8 D．
【答案】A
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，一次函数与坐标轴交点问题，三角形的面积，勾股定理；过 作
于 ，连接 ，则由三角形面积公式得， ，可求圆 上点到直线
的最短距离，由此求得答案．
【详解】解：过 作 于 ，连接 ，直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点，
令 ，则 ；令 ，则 ；
点 为 ，点 为 ，
；
， ，
则由三角形面积公式得， ，
，
，
圆 上点到直线 的最小距离是 ，
面积的最小值是
故选：A．
6．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为 ，下方的弧半径为 ，
则 ．（填“ ”， “ ”，“ ”）
【答案】
【分析】本题考查了过确定圆的条件，熟练掌握不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键，分别在
两段弧上各选三个点，作出过这三个点的圆．
【详解】解：如图，分别在两段弧上各选三个点，作出过这三个点的圆，显然． ，
故答案为： ．7．（25-26九年级上·广东揭阳·期中）如图， 、 是表示两个曲边形的面积，那么M、N的大小关系是
．
【答案】
【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，解决此题的关键是正确的计算；根据图形的规则先设空白部分
的面积，再根据扇形的面积公式得到答案即可；
【详解】解：如图，两空白的面积相等，
设每一空白部分面积为 ，圆的半径为r，
∵扇形的圆心角为 ，
∴扇形的面积为： ，半圆的面积为： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
8．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知点P到圆上的最远距离是 ，最近距离是 ，则此圆的半
径是 cm．
【答案】2或3/3或2
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，分点在圆外和点在圆内两种情况分类讨论，求出直径，即可求解．
【详解】解：当点P到圆外时，∵点P到圆上的最远距离是 ，最近距离是 ，
∴圆的直径为 ；∴半径为 ；
当点P到圆内时，∵点P到圆上的最远距离是 ，最近距离是 ，
∴圆的直径为 ；
∴半径为 ；
∴圆的半径为 或 ．
故答案为：2或3
9．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，线段 为 的直径，点 在 的延长线上， ， ，
点 是 上一动点，连接 ，以 为斜边在 的上方作 ，且使得 ，连接 ，
则 长的最大值为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系、轨迹等知识，如图，作 ，使得
， ，则 ， ， ，由 ，推出
，即 （定长），由点 是定点， 是定长，推出点 在半径为 的 上，由
此即可解决问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
【详解】解：如图，作 ，使得 ， ，则 ， ，
，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 （定长），
∵点 是定点， 是定长，
∴点 在半径为 的 上，
∵ ，
∴ 的最大值为 ，
故答案为： ．
10．（2025九年级上·全国·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ， 经过点
， 是 上的一动点，将线段 绕点B顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，则 的取值范围
是 ．
【答案】
【分析】将线段 绕点B顺时针旋转 得到线段 ，连接 ， ， ，由旋转可得 ，
， ，再证明 ，得到 ，从而得到点C在以点E
为圆心，1为半径的圆上运动，当点C运动至 的延长线与 的交点处时， 取得最大值为 ，
当点C运动至 与 的交点处时， 取得最小值为 ，再根据勾股定理求出 的长，即可得出
答案．
【详解】解：将线段 绕点B顺时针旋转 得到线段 ，连接 ， ， ，∵ ， 经过点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由旋转可得： ， ， ，
∵ ，
，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
，
∴点C在以点E为圆心，1为半径的圆上运动，
∴当点C运动至 的延长线与 的交点处时，
取得最大值为 ，
当点C运动至 与 的交点处时，
取得最小值为 ，
在 中， ，
的取值范围是 ．
【点睛】本题考查了平面直角坐标，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆的知识，掌握
相关知识是解题的关键．
11．（2025九年级上·全国·模拟预测）如图所示， 是 的直径，图中的弦有哪些？哪一段弧是优弧，哪一段弧是劣弧？
【答案】图中的弦有 ， ， ，图中的劣弧有 ， ，图中的优弧有 ，
【分析】根据弦，优弧，劣弧的定义求解即可，连接圆上任意两点的线段叫做弦；所对圆心角大于 的
圆弧叫作优弧；所对圆心角小于 的圆弧叫作劣弧．
【详解】解：图中的弦有 ， ， ，
图中的劣弧有 ， ，
图中的优弧有 ， ．
【点睛】本题考查了圆的基本概念，弦、优弧、劣弧的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
12．（24-25九年级上·全国·课后作业）体育课上，小明和小丽的铅球成绩分别是 和 ，他们投出
的铅球分别落在图中哪个区域内？
【答案】见解析
【分析】根据小明和小丽的铅球成绩分别是 和 ，得出其所在的范围，即可得出答案．
【详解】解：6.4m落在6m到7m之间；
5.1m落在5m到6m之间；
【点睛】此题考查了点与圆的位置关系，关键是根据 和 分别求出其所在的范围，用到的知识点
是近似数．
13．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，点 在 上， ，求 的度
数．【答案】
【分析】本题考查等腰三角形的性质、圆的有关概念．连接 ，由圆的有关概念知 ， ，
然后根据等腰三角形的性质求解即可．
【详解】解：连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
14．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，射击运动的枪靶是由10个同心圆组成的，其中每两个相邻的同
心圆的半径的差等于中间最小圆的半径．每相邻两个圆之间围成一个圆环，从外向里顺次叫做1环、2环、
3环……8环、9环，最小圆里面的圆盘形区域，叫做10环．一枪射出去，打中的环数越高，说明枪法越
好．那么请问1环的面积是10环面积的多少倍？
【答案】19
【分析】本题考查了圆的面积的计算，理解题意，掌握圆的面积的计算是关键．
根据题意，设最小圆的半径为r，最大圆的半径为 ，次大圆的半径为 ，根据圆的面积公式，圆环面积的计算即可求解．
【详解】解：设最小圆的半径为r，最大圆的半径为 ，次大圆的半径为 ，
1环的面积为：
10环面积为：
1环的面积与10环面积的倍数关系：
15．（24-25九年级上·广东珠海·期末）如图，以 直径 ，已知 ，点 为⊙ 上一动点．
(1)如图1所示， 时，求 的长．
(2)如图2所示，移动点 使它和边 上的点 满足 且 ，四边形 是什么四边形，
请说明理由；
(3)如图3，在 中， ，线段 绕点 在平面内旋转，过点 作 的
垂线，交射线 于点 ．若 ，求 的最大值．
【答案】(1)
(2)菱形，见解析
(3)
【分析】本题是圆的综合题，考查了等腰直角三角形性质和判定，圆周角定理及其推论，垂径定理，勾股
定理，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理．
（1）先根据圆周角定理得 ，再由勾股定理即可解答；
（2）先根据垂径定理得： ，再证明 ，得 ，根据对角线互相垂直的平行
四边形是菱形可得结论；
（3）如图3，连接 ，先根据圆周角定理可知：点 在以 为直径的圆上，且 ，由旋转可得：点 在以 为圆心，2为半径的圆上，则当 为 相切时， 的值最大，即可解答．
【详解】（1）∵ 为直径，
∴在 中 ．
∵在 中 ，
（2）∵ 为直径
， ．
四边形 是平行四边形
∴四边形 是平行四边形
∴平行四边形 是菱形
（3）如图， ， ，
∴点 是在以 为直径的圆上运动，
，且 是绕点C旋转，
∴点 是在以 为圆心，以 为半径的圆上运动，
，
∵当 最小时， 最大，此时 与圆C相切于点D，
，
，
连接，
，
，
此时 ，即AE的最大值为 ．
