文档内容
专题 01 圆的基本概念重难点题型专训
（2个知识点+9大题型+2拓展训练+自我检测）
题型一 圆的基本概念辨析
题型二 求圆中弦的条数
题型三 求过圆内一点的最长弦
题型四 圆的周长和面积问题
题型五 点与圆的位置关系
题型六 三角形的外接圆
题型七 圆中角度的计算
题型八 圆中线段长度的计算
题型九 点与圆上一点的最值问题
拓展训练一 点与圆的位置关系综合
拓展训练二 圆中的最值综合
知识点一、圆的定义
1．在一个平面内，线段 绕它固定的一个端点 旋转一周，另一个端点 所形成的图形叫圆．这个固
定的端点 叫做圆心，线段 叫做半径．以 点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．
点拨：
（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。
（2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。
（3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆
的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。
【即时训练】
1．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）战国时期数学家墨子撰写的《墨经》一书中，“一中同长也”
描述的几何图形是（ ）
A．圆 B．正方形 C．三角形 D．长方形
2．（2025九年级上·全国·模拟预测）如图，在 中，（1）半径有： ．
（2）直径有： ．
知识点二、点和圆的位置关系
点和圆的 点到圆心的距离与半径的关系
图示
位置关系 文字语言 符号语言
圆内各点到圆心的距离都小于半径， P A
点在圆内 点 在圆内 r
到圆心的距离小于半径的点都在圆内 O
圆内各点到圆心的距离都等于半径， A P
点在圆上 点 在圆上 O
到圆心的距离等于半径的点都在圆上 r
圆内各点到圆心的距离都大于半径， A P
点在圆外 点 在圆外 O
到圆心的距离大于半径的点都在圆外 r
点拨：（1）利用 与 的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以
确定 与 的数量关系。
（2）符号“ ”读作“等价于”，它表示从符号“ ”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左
端。
【即时训练】
1．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）两个同心圆的圆心为点O，大圆的半径为 ，小圆的半径为 ．
若点P在大圆内部但在小圆外部，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）在坐标系中，以 为圆心，5为半径的 与点 的位置关系
是：点 在 （填“内”、“上”或“外”）．【经典例题一 圆的基本概念辨析】
【例1】（24-25九年级上·山东菏泽·期末）下列说法正确的是（ ）
A．直径是经过圆心的直线 B．半圆是弧
C．大于劣弧的弧叫作优弧 D．长度相等的弧是等弧
1．（2025·广东揭阳·模拟预测）如图，某仓库正门的截面是一个半径为 的半圆 ，一辆高为 的矩
形货车 恰好能通过该仓库正门．则车宽 为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·广东江门·期中）如图， 是 的弦，连接 ．若 ，则
度．
3．（2025·河南信阳·模拟预测）如图， 等边 中． 点 为 边中点，点 为 边上一
点，且 ，将 绕点 在平面内旋转，连接 ， ，若 为直角三角形，则 的值为 ．
4．（2025九年级上·山东青岛·模拟预测）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐
光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心 始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦 为6米时，水面下盛水筒的最大深
度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）．
(1)求该圆的半径；
(2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦 从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？
【经典例题二 求圆中弦的条数】
【例2】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的
条数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在 中，弦的条数是（ ）A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确
2．（24-25九年级上·全国·课后作业） 的半径为 ，A为 上一定点，点P在 上沿圆周运动
（不与点A重合），则使弦 的长度为整数的点P共有 个．
3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在 中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图
中共有 条弦，它们分别是 ．
4．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知：线段AB = 4 cm，画图说明：和点A、B的距离都不大于3 cm
的所有点组成的图形.
【经典例题三 求过圆内一点的最长弦】
【例3】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知 中最长的弦为 ，则 的半径为（ ） ．
A．2 B．3 C．6 D．12
1．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图， 的半径为5，弦 的长为6，延长 至点 ，使得点为 的中点，在 上任取一点 ，连接 、 ，则 的最大值为（ ）
A．290 B．272 C．252 D．244
2．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）在 中， ， ， ，则 的取值范围
．
3．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，以边长为1的正方形 的顶点O、P、R分别为圆心作圆，圆O
过点Q，圆P、R均和圆O内切．设圆P、R上任意两点之间的距离是d，则d的最大值是 ．
4．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）请用无刻度的直尺在以下图中按要求作图（保留作图痕迹，不
写作法）
(1)如图①， 内接于 中，画出 中一条最长的弦；
(2)如图②，等腰 内接于 中， ，画出底边 的中线 ；
(3)如图③，已知四边形 为矩形，点A、D在圆上， 与 分别交于点E、F ．画出线段
的垂直平分线；【经典例题四 圆的周长和面积问题】
【例4】（24-25九年级上·全国·课后作业）把圆的半径缩小到原来的 ，那么圆的面积缩小到原来的( )．
A． B． C． D．
1．（2025九年级·全国·模拟预测）如图， 的半径为1，分别以 的直径 上的两个四等分点 ，
为圆心， 为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）圆的半径是2厘米，则这个圆的周长是 厘米，这个圆的面
积是 平方厘米．
3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）运动场上的环形跑道的跑道宽都是相同的，若一条跑道的两个
边缘所在的环形周长的差等于 米，则跑道的宽度为 米．
4．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期末）求阴影部分的周长．（单位：cm）（若涉及 时不取近似值，用
表示既可）【经典例题五 点与圆的位置关系】
【例5】（25-26九年级上·江西南昌·期中）已知 的半径为5，点 到圆心 的距离为4，那么点 与
的位置关系是（ ）
A．点 在 上 B．点 在 内 C．点 在 外 D．无法确定
1．（25-26九年级上·天津南开·期中）如图，点 ， ， ，点 为线段 的中点，以点
为圆心， 为半径作⊙ ，则下列结论中正确的是（ ）
A． 与⊙ 相切 B．点 在⊙ 上 C．点 在⊙ 上 D．点 在⊙ 上
2．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）已知 的直径为 ， ，则点P在
（填“上”、“内”或“外”）．
3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系 中， 的半径为1.对于点 和线段 ，给出如下定义：若将线段 绕点 旋转可以得到 的弦 （ ， 分别是 ， 的对应点），则称
线段 是 的以点 为中心的“关联线段”．如图，点A， ， ， ， ， ， 的横、纵坐标都
是整数．在线段 ， ， 中， 的以点A为中心的“关联线段”是 ．
4．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）阅读下列材料：
平面上两点 ， 之间的距离表示为 ，称为平面内两点间的距
离公式，根据该公式，设 是圆心坐标为 、半径为r的圆上任意一点，则点P适合的条件可表
示为 ，变形可得： ，我们称其为圆心为 ，半径为r的圆
的标准方程．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题．
(1)圆的标准方程 ，则它的圆心是________，半径是________．
(2)圆心为 ，半径为2的圆的标准方程为：____________；
(3)若已知 的标准方程为： ，圆心为C，请判断点 与 的位置关系并说明理
由．【经典例题六 三角形的外接圆】
【例6】（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）下列语句中，正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧 B．在同一平面上的三点确定一个圆
C．直径是弦 D．三角形的外心到三角形各边的距离相等
1．（24-25九年级上·全国·期末）如图，正三角形 是圆 的内接三角形，弦 ，且与 垂直，
则圆 的半径等于（ ）
A．2 B． C． D．
2．（2025·广东广州·模拟预测）三边长为3，4，5的三角形，它的外接圆半径为 ．
3．（2025九年级上·安徽宣城·模拟预测）如图，在 中， 边上的高 ，
①当 时，则 的周长为 ．
②若 的长变化时，则 周长的最小值为 ．
4．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）在一次趣味数学的社团活动中，有这样的一道数学探究性问题．(1)问题情境：如图 ，在 中， ， ，则 的外接圆的半径为________；
(2)操作实践：如图2，用无刻度直尺与圆规在矩形 的内部作出一点 ，使得 ，且
（不写作法，保留作图痕迹）
(3)迁移应用：已知，在 中， ， ， ，求 的取值范围．
【经典例题七 圆中角度的计算】
【例7】（2025·湖北恩施·模拟预测）如图，A，B，C三点在 上，若 ， ，则 的
度数是（ ）
A． B． C． D．
1．（2025九年级上·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在 中, ，以点A为圆心, 长为
半径作圆，交 于点D，交 于点E，连接 ，则 的度数为( )
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·甘肃定西·期中）如图，已知 是 的两条直径， ，则 的度数
为 ．3．（25-26九年级上·天津南开·阶段练习）如图， 是 的弦，C是 上一点，且 ，
，则 的度数是 ， 的半径为 ．
4．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图， 是 的直径， 是 的一条弦，延长 与
的延长线相交于点 P，且 ，求 的度数．
【经典例题八 圆中线段长度的计算】
【例8】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，线段 ，以O为圆心，2为半径作 ．点P
为 上的动点，连接 ，并将 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 ．在点P运动的过程中，
长度的最大值是（ ）A． B． C． D．
1．（2025·湖南·模拟预测）如图，点 的坐标分别为 ，点 为坐标平面内一点，
，点 为线段 的中点，连接 ，则 最长为（ ）
A． B． C．2 D．3
2．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图， ，点 在射线 上滑动，点 在射线
上滑动，且线段 的长始终保持 不变；以 为斜边在 的右侧作 ，则在滑动的过程中线
段 长的最大值是 ．
3．（2025·甘肃平凉·模拟预测）如图， 的两条弦 、 的延长线交于C点， 的平分线
过点O，请直接写出图中一对相等的线段： ．
4．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）如图， 是 弦 的中点，A是 上一点， 与 交于点E，已知 ， ．
(1)求线段 的长．
(2)当 时，求 ， 的长．
【经典例题九 点与圆上一点的最值问题】
【例9】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）若 所在平面内一点P到 上的点的最大距离为a，最
小距离为b（ ），则此圆的半径为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，矩形 中， ，以A为圆心，2为半径
作 ．若点E在 上，点P在 上，则 的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
2．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上
的一动点，过P作PA⊥PB， A、B都在x轴上，且关于原点O对称，则AB的最小值为 ．3．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在菱形 中， ， ， 、 的半径分别为2
和1，点 、 、 分别是边 、 和 上的动点，则 的最小值是 ．
4．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”了，其原理为在
磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎；如图1，“豆腐石
磨”是我国古人制作豆腐的重要的生产工具，更是劳动人民智慧的结晶．它的主要工作部件可以看成一个
圆和线段，俯视图如图2所示．如图3，O为石磨的圆心，连接 ．已知 与石磨的边缘交于点D，木
柄 米，连接 ， ，O、B、C三点共线，A始终在 上运动， 的半径 米，固定
点C到石磨边缘距离 米．
(1)在使用过程中发现，当 时，工作最省力，求此时 的正切值；
(2)石磨转动过程中， 的长度是不断变化的，求 的最大值和最小值．【拓展训练一 点与圆的位置关系综合】
1．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知线段AB=4cm，以3cm长为半径作圆，使它经过点A.B，能作几
个这样的？请作出符合要求的图．
2．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， 、 、 ．
(1)经过 、 、 三点的圆弧所在圆的圆心 的坐标为______；
(2)这个圆的半径为______；
(3)直接判断点 与 的位置关系．点 在 ______（填内、外、上）．
3．（2025·云南曲靖·模拟预测）如图，在 中，直径 与弦 交于点E，连接 ， ．过点D的
直线 与 的延长线交于点F，且 ，
(1)求证： ；
(2)求证： 是 的切线；(3)若 ， ， ，点P为直线 上一动点，且 ，当 时，设点
P到 上的点的距离为t，求t的取值范围．
【拓展训练二 圆中的最值综合】
1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，半径为7的 上有一动点B，点A为半径 上一点，且 最大
为10，以 为边向外作正方形 ，连接 ．
(1)请直接写出 的长．
(2)过点A作 ，且 ，连接 ，在点B的运动过程中， 的长度会发生变化吗？变化请
说明理由，不变化请求出 的长．
(3)当点A，B，F三点在一条直线上时，请直接写 的长．
(4)请直接写出 的最大值和最小值．
2．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）在平面直角坐标系 中， 的半径为1．对于点A和线段
，给出如下定义：若将线段 绕点A旋转可以得到 的弦 （ ， 分别是B，C的对应点），
则称线段 是 的以点A为中心的“关联线段”．(1)如图，点 ， ， ， ， ， ， 的横、纵坐标都是整数．在线段 ， ， 中， 的
以点A为中心的“关联线段”是_______；
(2)等腰直角三角形 的斜边长 为 ，点A不为原点．若 是 的以点A为中心的“关联线段”，
在坐标系中画出点A组成的图形．
(3)在 中， ， ．若 是 的以点 为中心的“关联线段”，直接写出 的最小值和
最大值，以及相应的 长．
3．（2025·广东肇庆·模拟预测）如图1所示，等边三角形 内接于圆 ，点 是劣弧 上任意一点
（不与 重合），连接 、 、 ．
【初步探索】
（1）将 绕点 顺时针旋转 到 ，使点 与点 重合，可得 、 、 三点在同一直线上，
则线段 、 、 存在的数量关系是：________________．【知识迁移】
（2）如图1所示，若圆的半径为8，问 的最大值是多少？
【拓展延伸】
（3）如图2所示，等腰 内接于圆 ， ，点 是弧 上任一点（不与 重合），
连接 、 、 ，若圆的半径为8，试求 周长的最大值．
1．（24-25九年级上·青海西宁·期中）下列命题是真命题的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧
B．圆中最长的弦是经过圆心的弦
C．一条弦把圆分成两条弧，分别是优弧和劣弧
D．平分弦的直径垂直于弦
2．（24-25九年级上·湖北武汉·单元测试）如图， 个正方形的边长均为 ，则涂色部分的面积是
的图有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
3．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知P是 外一点，Q是 上的动点，线段 的中点为
M，连接 ，若 的半径为4， ，则线段 的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．54．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）把圆剪拼成长方形（如图），圆的周长比长方形少 ，长方形
的面积是（ ） ．
A． B． C． D．
5．（2025·浙江金华·模拟预测）如图，已知直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点， 是以
为圆心， 为半径的圆上一动点，连结 、 ．则 面积的最小值是（ ）
A． B．6 C．8 D．
6．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为 ，下方的弧半径为 ，
则 ．（填“ ”， “ ”，“ ”）
7．（25-26九年级上·广东揭阳·期中）如图， 、 是表示两个曲边形的面积，那么M、N的大小关系是
．
8．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知点P到圆上的最远距离是 ，最近距离是 ，则此圆的半
径是 cm．9．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，线段 为 的直径，点 在 的延长线上， ， ，
点 是 上一动点，连接 ，以 为斜边在 的上方作 ，且使得 ，连接 ，
则 长的最大值为 ．
10．（2025九年级上·全国·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ， 经过点
， 是 上的一动点，将线段 绕点B顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，则 的取值范围
是 ．
11．（2025九年级上·全国·模拟预测）如图所示， 是 的直径，图中的弦有哪些？哪一段弧是优弧，
哪一段弧是劣弧？
12．（24-25九年级上·全国·课后作业）体育课上，小明和小丽的铅球成绩分别是 和 ，他们投出
的铅球分别落在图中哪个区域内？13．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，点 在 上， ，求 的度
数．
14．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，射击运动的枪靶是由10个同心圆组成的，其中每两个相邻的同
心圆的半径的差等于中间最小圆的半径．每相邻两个圆之间围成一个圆环，从外向里顺次叫做1环、2环、
3环……8环、9环，最小圆里面的圆盘形区域，叫做10环．一枪射出去，打中的环数越高，说明枪法越
好．那么请问1环的面积是10环面积的多少倍？
15．（24-25九年级上·广东珠海·期末）如图，以 直径 ，已知 ，点 为⊙ 上一动点．(1)如图1所示， 时，求 的长．
(2)如图2所示，移动点 使它和边 上的点 满足 且 ，四边形 是什么四边形，
请说明理由；
(3)如图3，在 中， ，线段 绕点 在平面内旋转，过点 作 的
垂线，交射线 于点 ．若 ，求 的最大值．
