文档内容
专题 01 垂径定理
目录
A题型建模・专项突破
题型一、利用垂径定理求线段长问题..................................................................................................................1
题型二、利用垂径定理求平行弦问题..................................................................................................................4
题型三、利用垂径定理求同心圆问题..................................................................................................................7
题型四、利用垂径定理解实际应用问题..............................................................................................................9
B综合攻坚・能力跃升
题型一、利用垂径定理求线段长问题
1．如图， 是 的直径，弦 于点 ，连接 ，若 ， ，则 的长为
．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理及勾股定理，根据垂径定理得 ，再利用勾股定理得 ，进而
可求出 ，然后利用勾股定理求解即可．熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键．
【详解】解：连接 ，如图：
∵ 为直径，且 ， ，
∴ ，
在 中， ，根据勾股定理得：
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
故答案为： ．
2．如图，将 的一部分沿着弦 翻折，劣弧恰好经过圆心 ， ，则 的半径为
【答案】
【分析】本题考查的是翻转变换的性质、垂径定理，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状
和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
过O作垂直于 的半径 ，设交点为D，连接 ,根据折叠的性质可求出 的长；根据勾股定理
可 ，由垂径定理知 ，进而列方程求解即可．
【详解】解：过O作 于D，交 于C，连接 ，设 ，
由折叠可知： ，
中， ， ，
根据勾股定理，得： ，
∴ ，
解得： （负值已经舍去）
故答案 ： ．
3．如图， 是圆 的弦，直径 ，垂足为 ，若 ， ，则 的长为 ．【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，连接 ，首先根据题意可求得 ， ，根据勾
股定理即可求得 的长，再根据垂径定理即可求得 的长．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴在 中， ，
∴ ．
故答案为： ．
4．如图，将直角三角板 角的顶点 放在 上，斜边 与 交于点 ，若 恰好是 的中点，
，则点 到 的距离是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质，垂径定理以及勾股定理等知识，连接 ，证明
是等边三角形，得出 ，过点 作 于点 ，证明点 在 上，过点 作 于点 ，
得 ，由勾股定理求出 的长即可．
【详解】解：连接 ，如图，∵点 是斜边 的中点， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
过点 作 于点 ，
∴ 点 在 上，
过点 作 于点 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得， ，
∴点 到 的距离是 ，
故答案为： ．
题型二、利用垂径定理求平行弦问题
5.一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．小明同学所在的学习
小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四
点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为 ， ， ．请你根据上述数据计算纸杯的直径
是 ．
【答案】【分析】本题考查了矩形的性质，垂径定理，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的性质，垂径定理，勾股定
理是解题的关键．如图，记圆心为 ，连接 ，作 于 ，作 于 ，
则 ， ，由矩形的性质可知， ，则 三点共线，设 ，则
，由勾股定理得， ，即 ； ，即
；由 ，可得 ，可求 ，则 ，进而可求纸杯的直
径．
【详解】解：如图，记圆心为 ，连接 ，作 于 ，作 于 ，
∴ ， ，
由矩形的性质可知， ，
∴ 三点共线，
设 ，则 ，
由勾股定理得， ，即 ；
，即 ；
∵ ，
∴ ，
解得， ，
∴ 或 （舍去），
∴纸杯的直径是 ，
故答案为： ．
6.已知： 的半径为 ， ， 是 的两条弦， ， ， ，求 和
之间的距离．
【答案】 或
【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，分两种情况进行讨论：①弦 和 在圆心同侧；②弦 和
在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．
【详解】解：①当弦 和 在圆心同侧时，如图1所示，， ，
， ，
，
， ，
；
②当弦 和 在圆心异侧时，如图2所示，
， ，
， ，
，
， ，
；
综上所述： 和 之间的距离为 或 ．
7.已知：如图，CD是 的直径， 、AB、BD是 的弦， ．
(1)求证： ；
(2)如果弦AB长为8，它与劣弧 组成的弓形高为2，求CD的长．
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理和全等三角形的判定与性质：
（1）作 于点E，交 于点F，连接 运用 证明 ，可得出结论；
（2）设 的半径为 ，在 中，运用勾股定理列出方程求出 的值即可得出结论．【详解】（1）解：作 于点E，交 于点F，连接 如图，
∵AB∥CD,
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴ ，
∴ ；
（2）解：设 的半径为 ，则 ，
又 ，
∴ ，
在 中， ，
即： ，
解得， ，
∴ .
题型三、利用垂径定理求同心圆问题
8.如图，在两个同心圆 中，大圆的弦AB与小圆相交于C，D两点．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，大圆的半径 ，求小圆的半径r的值．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，利用垂径定理构造直角三角形从而利用勾股定理求解是解题的关
键．
（1）过O作 于点E，由垂径定理可得 ， ，再用等式的性质即可得证；
（2）连接 、 ，利用垂径定理求出 ，在 中，由勾股定理求出 ，然后在 中，
利用勾股定理即可求出 ．
【详解】（1）证明：过O作 于点E，如图，
由垂径定理可得 ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：连接 、 ，如图，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴在 中， ，
∴ ，即小圆的半径r为
9.如图，在两个同心圆 中，大圆的弦 与小圆相交于C，D两点．
(1)求证： ．
(2)若 ，大圆的半径 ，求小圆的半径r．
【答案】(1)证明见解析
(2)小圆的半径r为【分析】（1）过O作 于点E，由垂径定理可知E为 和 的中点，则可证得结论；
（2）连接 ，由条件可求得 的长，则可求得 和 的长，在 中，利用勾股定理可求
得 的长，在 中可求得 的长；
【详解】（1）证明：过O作 于点E，如图1，
由垂径定理可得
∴
∴
（2）解：连接 ，如图2，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理可得 ，
在 中，由勾股定理可得
∴ ，即小圆的半径r为 ．
【点睛】本题考查了垂径定理与勾股定理的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，
注意辅助线的作法．
题型四、利用垂径定理解实际应用问题
10．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，
以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图， 为 的直径，弦
于E， 寸， 寸，求直径 的长”．（1尺 寸）则 ．【答案】 寸
【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点．
连接 ，由垂径定理得到 寸，设 的半径为x，则 ，根据勾股定理求出 ，
进而求解即可．
【详解】解：连接 ，
∵ 寸，
∴ 寸，
设 的半径为x，则 ，
∵ ，
∴ ，
在 中，根据勾股定理得： ，
解得： ，
∴ 寸，
故答案为： 寸．
11．石拱桥采用圆弧形的设计，不仅赋予了石拱桥独特的美学魅力，而且展现了我国古代工匠对力学原理
的深刻理解和应用．如图，石拱桥桥拱的半径 ，拱高 ，则石拱桥的跨度 m．
【答案】8
【分析】本题主要考查了垂径定理的应用、 勾股定理等知识点，掌握垂径定理是解题的关键．
根据垂径定理得到 ，再求得 ，在 中，
，可求得 ，进而完成解答．【详解】解：由题意可知， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，解得： ，
∴ ．
故答案为：8．
12．如图①，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．
图②是这一款拱门的示意图，已知拱门所在圆的半径为 ，拱门最下端 ．
(1)求拱门最高点到地面的距离；
(2)现需要给房间内搬进一个直径为 的圆桌面（桌面的厚度忽略不计），已知搬桌面的两名工人在搬运
时所抬高度相同（桌面与地面平行），通过计算说明工人将桌面抬高多少（即桌面与地面的距离）就可以
使该圆桌面通过拱门．
【答案】(1)拱门最高点到地面的距离为
(2)工人将桌面抬高 就可以使该圆桌面通过拱门
【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，熟知垂径定理是解题的关键．
（1）设拱门所在圆的圆心为O，，作 于C，延长 交圆于D，连接 ，由垂径定理可得
，则由勾股定理可得 的长，据此求出 的长即可得到答案；
（2）设弦 ，且 ，连接 ，同理求出 的长，进而求出 的长即可得到答案．
【详解】（1）解：如图②中，设拱门所在圆的圆心为O，，作 于C，延长 交圆于D，连接 ，
∵ ， 经过圆心O，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴拱门最高点到地面的距离为 ；
（2）解：如图，设弦 ，且 ，连接 ．
∵ ， 经过圆心O，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
答：工人将桌面抬高 就可以使该圆桌面通过拱门．
13．如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以 为直径的半圆O， ， 为水
面截线， ， 为桌面截线， ．
(1)作 于点C，求 的长；
(2)将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了 ，求此时水面截线减少了多少？
【答案】(1) 的长
(2)此时水面截线减少了
【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用、勾股定理的应用等知识点，理解垂径定理是解题的关键．
（1）如图1：连接 ，由圆的性质可得 ，再利用垂径定理得出 ，再运用勾股定理
计算即可解答；
（2）如图2：过点O作 ，垂足为点D，连接 ，利用勾股定理求出 ，再利用垂径定理
得出 ，最后 与 相减即可解答．
【详解】（1）解：如图1：连接 ，∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
在 中，根据勾股定理得： ，
∴ ，解得： ，
∴ 的长 ．
（2）解：如图2：过点O作 ，垂足为点D，连接 ，
∴
由题意可知：
在 中，根据勾股定理得： ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴此时水面截线减少了 ．一、单选题
1．如图， 的半径为 ， 于点 ， ，则弦 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查垂径定理，连接 ，根据垂径定理和勾股定理进行求解即可．
【详解】解：连接 ，则： ，
∵ 于点 ， ，
∴ ；
故选C．
2．如图， 是 的直径，弦 于 ，若 ， ，则 的半径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解
是解题的关键．
先根据垂径定理求出 ，设 的半径为 ，再连接 ，利用勾股定理求值即可．
【详解】解：连接 ，∵ ， ，
∴ ，
设 的半径为 ，则 ，
在 中，
，
即 ，
解得： ．
故选：D ．
3．如图，在 中， 、 为 的两条弦， ， ，垂足为 、 ，连接 ，若
，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了垂径定理，全等三角形的判定和性质，等边对等角等知识．根据垂直于弦的直径平分
弦得出 ，推得 ，根据全等三角形的判定和性质得出 ，根据等边对等
角得出 ，即可求解．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ， ， ，即A选项、B选项说法正确；
在 和 中，
，
∴
∴ ，∴ ，即C选项说法正确，
不能确定 的度数，故D选项说法错误．
故选：D．
4．日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知
， ，垂足为点 ， ，垂足为点 ， ， 的半径 ，
则圆盘离桌面 最近的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、垂径定理、勾股定理，连接 ， ，作 于点 ，交
于点 ，交 于点 ，证明四边形 是矩形，得出 ， ，由垂径定理可
得 ，由勾股定理可得 ，求出 ，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运
用是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接 ， ，作 于点 ，交 于点 ，交 于点 ，
，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴圆盘离桌面 最近的距离是 ，
故选：D．
5． 是等腰三角形 的外接圆，圆心O到底边 的距离为 ， 的半径为 ，则腰 的长
为 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】本题主要考查了垂径定理，三线合一定理，勾股定理，分圆心在 内和在 外两种情况
讨论，先证明 三点共线，则可求出 的长，根据勾股定理先求得 的长，再根据勾股定理可
求得 的长即可．
【详解】解：分圆心在内接三角形内和在内接三角形外两种情况讨论，
如图一，假若 是锐角， 是等腰三角形，
连接 ，过点O作 于D，连接 ，
∵ ，
∴ 为 的中点，
∵ 是等腰三角形，且 为底，
∴ ，
∴ 三点共线，
， ，
，
，
；
如图二，若 是钝角， 是等腰三角形，
同理可得 ，
，综上可得腰长 或
故选：
二、填空题
6．如图，在 中，弦 的长为4， ，则 的度数为 ．
【答案】 /45度
【分析】本题主要考查了垂径定理和等腰直角三角形的性质，熟练掌握垂径定理是解答此题的关键．
利用垂径定理可得 ，由 可得 为等腰直角三角形，即可得结果．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
故答案为： ．
7． 的半径为 ，弦 ，则 与 之间的距离是 ．
【答案】 或
【分析】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，分两种情况：当 在圆心同侧，异侧，分别根据勾
股定理求出圆心到弦的距离，即可得出答案．
【详解】解：如图所示．
当 在圆心同侧时，过点O作 ，连接 ，
∵
∴ ．
在 中， ，
根据勾股定理，得 ．
同理 ．
∵ ，且 ，
∴ 之间的距离 ；当 在圆心异侧时，过点O作 ，连接 ，
∵
∴ ．
在 中， ，
根据勾股定理，得 ．
同理 ．
∵ ，且 ，
∴ 之间的距离 ．
所以两条直线之间的距离是 或 ．
故答案为： 或 ．
8．如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦 和小圆交于C，D两
点，若 ，则小圆半径是 ．
【答案】
【分析】过O点作 于H点，连接 、 ，如图，根据垂径定理得到 ，
，设 ，则 ，再利用双勾股得到 ，然后解方程求出r即
可．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．【详解】解：过O点作 于H点，连接 ，如图，则
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 或r （舍去），
即小圆半径是 ，
故答案为： ．
9．如图， 是 的直径，弦 交 于点 ， ，点 是 的中点，且 ，则
．
【答案】
【分析】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理和含 角的直角三角形的性质．如图，作 于
，连接 ，根据垂径定理得 ，由题意得 ， ，在 中，根据含 的直角
三角形的性质计算出 ，然后在 中，利用勾股定理计算得到 ，即
．
【详解】解：如图，作 于 ，连接 ，∵ ，
∴ ，则 ，
∵ ，点 是 的中点，
∴ ，则 ，
∴ ，则 ，
∵ ， ，则 ，
∴ ，
在 中，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
10．日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图， 表示日晷
的晷面圆周，日晷底座的底边 在水平线l上， 为等边三角形， ， 与 分别交于P，Q
两点．点C，D是 上两点， ，过O作 于点E，交 于点F，交 于点M．已知
， ， ．
（1） 的半径是 ；
（2）图中阴影部分的面积是 ．
【答案】 60
【分析】本题考查垂径定理的实际应用，与圆有关的阴影部分面积；（1）连接 ，先证明 ，再由垂径定理得到 ，然后设 的半径 ，在
中，利用勾股定理得到 ，列方程计算即可；（2）由 ，求出
等边三角形 的边长，再分别求出 ， ，最后根据 计算即可．
【详解】解：（1）∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
连接 ，如图
设 的半径为 ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，即 的半径为 ；
故答案为60．
（2）∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，解得 或 （负值舍去）
∴ ，
∵ ，∴ ．
故答案为 ．
三、解答题
11．如图，有一拱桥为圆弧形，跨度 ，拱高 ，当洪水泛滥时，跨度只有 时要采取
紧急措施．当测量人员测得水面 到拱顶距离只有 时，是否需要采取紧急措施？
【答案】不需要采取紧急措施
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，连接 、 ，由题意可得 ， ，
， ， ， ，由垂径定理可得 ， ，再
利用勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图：连接 、 ，
，
由题意可得： ， ， ， ， ， ，
由垂径定理可得： ， ，
由勾股定理可得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴不需要采取紧急措施．
12．如图，在 中，已知 是垂直平分半径 的弦．(1)求 的度数；
(2)若弦 ，求 的半径．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）证明 是等边三角形，即可得到结论；
（2）证明 ， ，由 是 的垂直平分线，可得 ，
（ ），再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ；
（2）解：如图，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴在 中， （ ），
由勾股定理，得 ，解得： （ 舍去），
∴ 的半径为 ．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，垂径定理的应用，线段的垂直平分线
的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键.
13．如图，已知点 是两个同心圆的圆心，大圆的弦 与小圆交于点 、 ．
(1)求证： ；
(2)如果 ， ，大圆面积是小圆面积的 倍，求大圆半径的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理、圆的面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）过点 作 于 ，根据垂径定理得 ， ，所以 ，即可求解；
（2）连接 、 ，在 与 中，由勾股定理得： ， ，
再结合 ， 得 ，又大圆面积是小圆面积的 倍，即可求解大圆半径的长．
【详解】（1）解：过点 作 于 ，
， ，
，
；
（2）解：连接 、 ，在 与 中，由勾股定理得： ， ，
，
，
， ，
， ，
，
大圆面积是小圆面积的 倍，
，即 ，
根据 可得： ，
．
14．如图， 的直径 与弦 交于点 ， ， ．
(1)求 的长．
(2)当 时，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理及直角三角形的性质．
（1）过点 作 于点 ，根据 是 的直径， ， ，求出 ，进而利用勾
股定理求出 ，再根据垂径定理即可求出 ；
（2）根据题意求出 ，利用勾股定理求出 即可解答．
【详解】（1）解：如图，过点 作 于点 ．
是 的直径， ，．
，
，
，
，即 的长为 ；
（2）解： ， ，
．
又 ， ，
， ．
，即 的长为 ．
15．图1是某城市一座造型独特的桥梁，该桥因索塔为圆形而被称为“戒指桥”，图2是该桥索塔示意图，
已知桥面在圆形索塔上的部分 ， 为 的中点， 为圆心，连接 ．
(1)求证： ；
(2)经测量， 到 的距离为 ，求该 的半径．
【答案】(1)见解析
(2) 的半径为
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握吹经定理．
（1）设 与 交于点 ，由 为 的中点，可得 ，推出 ，即可证明；
（2）连接 ，由题意可得： ，根据垂径定理可得 ，设 的半径为 ，则
，在 中，根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：设 与 交于点 ，为 的中点，
，
，
；
（2）连接 ，
由题意可得： ，
，
，
设 的半径为 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理可得： ，即 ，
解得： ，
的半径为 ．
16．如图，是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径 是河底截线，弦 是水位线，
于点 ．
(1)当测得水面宽 时，求此时水位的高度 ；(2)当水位的高度比（1）上升1m时，有一艘宽为10m，船舱顶部高出水面2m的货船要经过桥洞（船舱截
面为矩形 ），请通过计算判断该货船能否顺利通过桥洞？
【答案】(1)此时水位的高度 为
(2)该货船能顺利通过桥洞，见解析
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，作出合适的辅助线，牢记特殊角三角函数值是解题的关键．
（1）根据垂径定理可得 ，求出桥洞的半径，然后利用勾股定理计算即可；
（2）由（1）中水位高度为 可知此时 ，延长 交 于F，连接 ，则 ，
可得 ，货船居中行驶时 ，利用勾股定理求出 ，然后与桥洞的半径比较后可得结论．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴此时水位的高度 ；
（2）解：该货船能顺利通过桥洞；
理由：由（1）中水位高度为 可知此时 ，
延长 交 于F，连接 ，则 ，
∵货船宽为 ，船舱顶部高出水面 ，
∴ ，货船居中行驶时 ，
∴ ，
∴该货船能顺利通过桥洞．
17．如图， 是 的直径， 是 的两条弦，点C与点D在 的两侧，E是 上一点（
），连接 ，且 ．(1)如图1，若 ， ，求 的半径；
(2)如图2，若 ，求证： ．
【答案】(1) 的半径为3；
(2)见解析．
【分析】（1）利用等边对等角、三角形内角和定理求出 ，结合
，可得出 ，在 中，利用勾股定理求解即可；
（2）过O作 于F，利用垂径定理等可得出 ，然后利用 定理证明
，得出 ，然后利用平行线的判定即可得证；
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
即 的半径为3；
（2）证明：过O作 于F，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质等知
识，明确题意，灵活运用所学知识解题是解题的关键．
18．素材：图1中有一座拱桥，图2是其圆弧形或抛物线形桥拱的示意图．某时测得水面宽 ，拱顶离
水面 ．据调查，该河段水位在此基础上再涨 达到最高．
解决问题：
(1)若桥拱形状是圆弧，该河段水位涨 达到最高时，有一艘货船它漏出水面高2.2米，船体宽9米，判
断它是否能顺利通行并说明理由；
(2)若拱桥是抛物线形，为迎佳节，拟在图3所示的桥拱上悬挂 长的灯笼．要求灯笼底部距离水面不
小于 ，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为 ．为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满
后成轴对称分布，则悬挂的灯笼数量是 个．
【答案】(1)能顺利通行，理由见解析
(2)7或8
【分析】本题考查了二次函数和圆的综合应用，解题的关键是能把实际问题转化为数学问题，掌握二次函
数，圆的相关性质．
（1）画出图形，根据题意可知， ，T ，由勾股定理可得
，即可得到答案．
（2）先求出二次函数的解析式，然后根据该河段水位再涨 达到最高，灯笼底部距离水面不小于 ，
灯笼长 ，可知悬挂点的纵坐标的最小值是 ，即可知悬挂点的横坐标的取值范围是： ；
方案一：从顶点处开始悬挂灯笼，根据 ，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为 ，可知共可
挂7盏灯笼；方案二：从距顶点 处开始挂灯笼，可知共可挂8盏灯笼．
【详解】（1）解：如图，设圆心为M，设圆的半径为r米，由题意得 于点C， 于点
T，连接 ，则 米，
∴ ，解得 米，
根据题意可知， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴能顺利通行，船航行线路是船的中心线沿 航行；
（2）解：如图，以拱桥的顶点为坐标原点，抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系，
则点B的坐标为 ，
设函数关系式为 ，代入得 ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ，
∵该河段水位再涨 达到最高，灯笼底部距离水面不小于 ，灯笼长 ，
∴当悬挂点的纵坐标 ，
即悬挂点的纵坐标的最小值是 ，
当 时， ，
∴ ，
∴悬挂点的横坐标的取值范围是： ；
方案一：如图3（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼，
∵ ，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为 ，
∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时， ，
若顶点一侧悬挂3盏灯笼时， ，
∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼，
∵灯笼挂满后成轴对称分布，∴共可挂7盏灯笼，
方案二：从距顶点 处开始挂灯笼，如图4，
∵若顶点一侧悬挂5盏灯笼时， ，
若顶点一侧悬挂4盏灯笼时， ，
∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼，
∵灯笼挂满后成轴对称分布，
∴共可挂8盏灯笼，
故答案为：7或8．
