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专题 01 图形的旋转
目录
A题型建模・专项突破
题型一、找旋转中心、旋转角、对应点..................................................................................................................1
题型二、求绕某点旋转90°点的坐标........................................................................................................................5
题型三、平面直角坐标系中旋转作图......................................................................................................................8
题型四、坐标与旋转规律问题................................................................................................................................13
题型五、旋转综合题——几何变换........................................................................................................................17
B综合攻坚・能力跃升
题型一、找旋转中心、旋转角、对应点
1．如图，在正方形网格中，图②是由图①绕点 、 、 、 中的某一点逆时针旋转得到，其旋转角度
是 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，连接对应点，作对应点连线的垂直平分线，交点即为旋转中心，结合网
格即可求得旋转角，即可求解．
【详解】解：如图，
旋转中心为点 ，旋转角为
故答案为： ．
2．如图， 与 都是等腰直角三角形， ， 和 都是直角，如果经旋转后能与 重合，那么旋转中心是点 ，绕中心逆时针旋转了 ．
【答案】 B 45°/45度
【分析】此题主要考查了旋转的性质及等腰直角三角形的性质．由于 与 都是等腰直角三角形，
由此可以得到 与 都是 ，如果 经过旋转后能与 重合，那么根据旋转的性质即
可确定旋转中心及旋转角．
【详解】解：∵ 与 都是等腰直角三角形， 和 都是直角，点C在 上，
∴ 与 都是 ，
而 经过旋转后能与 重合，
那么旋转中心为点B，旋转角为 ，
∴旋转角度为 ．
故答案为：B， ．
3．如图， 点的坐标为 ， 点的坐标为 ， 点的坐标为 ， 点的坐标为 ，小明发
现：线段 与线段 存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，
这个旋转中心的坐标可以是 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了坐标与图形变化中的旋转，根据给定点的坐标找出旋转中心的坐标是解题的关键．先
证明 ≌ ，确定 ，则可以看作线段 绕一点旋转 得到线段 ，作 和 的
垂直平分线交点为 作 和 的垂直平分线交点为 ，可得结论．
【详解】解：延长 交 于 ，建立平面直角坐标系，如图所示：
，
， ，，
，
即 ，
可以看作线段 绕一点旋转 得到线段 ，
如图 ，作 和 的垂直平分线交点为 ，得 ，
如图 ，作 和 的垂直平分线交点为 ，得
故答案为： 或 ．
4．如图所示，在三角形 中， ，D是 边上的一点，三角形 经过旋转后到达三角
形 的位置．
(1)旋转中心是哪一点？
(2)旋转了多少度？
(3)如果M是 的中点，那么经过上述的旋转后，点M到了什么位置？
【答案】(1)旋转中心是点A．
(2)逆时针旋转了 ．
(3)点M到了 的中点处．【分析】本题主要考查的是旋转变换后图形所具有的性质，等边三角形的性质和判定，关键在于明确旋转
中心，旋转角度和旋转位置．
（1）观察图形， 经旋转后到达 的位置，可得出旋转中心；
（2）观察图形，线段 旋转后，对应边是 就是旋转角，可得出旋转角；
（3）因为旋转前后 是对应边，故 的中点 ，旋转后就是 的中点．
【详解】（1）解：∵ 经旋转后到达 ，它们的公共顶点为 ，
∴旋转中心是点 ；
（2）解：∵
∴ 是等边三角形
∴
线段 旋转后，对应边是 就是旋转角，也是等边三角形的内角，是 ，
∴逆时针旋转了 ；
（3）解：旋转前后 是对应边，故 的中点 ，旋转后就是 的中点，
∴点 转到了 的中点．
题型二、求绕某点旋转90°点的坐标
5．已知点 ，将线段OA绕点O旋转90度得到线段 ，则点A的对应点 的坐标是 ．
【答案】 或
【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转、旋转的性质，根据旋转的性质作图求解即可．
【详解】解：如图，
∴点A的对应点 的坐标是 或 ；
故答案为： 或
6．如图，将正方形 先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转
，得到四边形 ，则点A的对应点 的坐标是 ．【答案】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化一旋转和平移，正方形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵
活运用．先根据题意得到平移方式为向右平移3个单位长度，则可得平移后点A的对应点坐标为 ；
如图所示，设 绕原点O顺时针旋转90度后的对应点为F，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别
为G、H，证明 ≌ ，得到 ， ，则 ，即点A的对应点
的坐标是
【详解】解：由题意得，平移前 ， ，
将正方形 先向右平移，使点B与原点O重合，
平移方式为向右平移3个单位长度，
平移后点A的对应点 的坐标为 ，
如图所示，设 绕原点O顺时针旋转90度后的对应点为F，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别
为G、H，
，
由旋转的性质可得 ， ，
，
，
≌ ，
， ，
，
， ，
，
点A的对应点 的坐标是故答案为：
7．如图，直线 分别与 轴， 轴交于点 ，将 绕着点 顺时针旋转90°得到 ，
则点 的对应点 的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，坐标与图形变化—旋转.
先根据一次函数解析式得到 ，则 ，再由旋转的性质可得
，据此可得答案．
【详解】解：在 中，当 时， ，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
由旋转的性质可得 ，
∴ ，即 ，
故答案为： ．
8．在平面直角坐标系中，把点 向右平移8个单位得到点 ，再将点 绕原点旋转 得到点 ，
则点 的坐标是 ．
【答案】 或
【分析】此题主要考查了坐标与图形的变化，正确利用图形分类讨论是解题关键．首先利用平移的性质得出点 的坐标，再分点 绕原点顺时针和逆时针旋转 讨论，结合旋转的性质画图求解即可．
【详解】解∶ ∵把点 向右平移8个单位得到点 ，
∴点 的坐标为： ，
如图所示：
将点 绕原点逆时针旋转 得到点 ，则其坐标为： ，
将点 绕原点顺时针旋转 得到点 ，则其坐标为： ，
综上， 故符合题意的点 的坐标为 或 ，
故答案为∶ 或 ．
题型三、平面直角坐标系中旋转作图
9．如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点 ，按要求解答问题：
(1)将 向下平移4个单位得到 ，画出 图形；
(2)将 以 点为旋转中心，逆时针旋转 ，得到 ，画出 图形；
(3)直接写出 的长度．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析(3)
【分析】本题考查坐标与图形变换—平移和旋转，熟练掌握平移和旋转的性质，是解题的关键：
（1）根据平移规则，画出 即可；
（2）根据旋转的性质，画出 ；
（3）利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：如图， 即为所求；
（2）如图， 即为所求；
（3）由图可知： ．
10．如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为 ．
(1)作出线段 绕点C逆时针旋转 后的对应线段 ，并写出点Q的坐标．
(2)作出 绕点O旋转 的 ，并直接写出点 的坐标．【答案】(1)图见解析；
(2)图见解析； ， ，
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，正确画出对应的旋转图形是解题的关键．
（1）先根据旋转的性质确定 对应点的位置，再连接 ，即可得到旋转图形，再根据所画图形求出点的
坐标即可；
（2）先根据旋转的性质确定 对应点的位置，再顺次连接对应点，即可得到旋转图形，再根据所
画图形求出点的坐标即可．
【详解】（1）解：如图，线段 即为所求；
由图可得，点Q的坐标为 ；
（2）解：如图， 即为所求．
由图可得， ， ， ．
11．在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点
（顶点为网格线的交点）．(1)将 绕点 旋转 得到 ，作出 ；
(2)将 向上平移4个单位得到 ，作出 ；
(3)已知 是 内一点，其坐标为 ，经过上面两次位置变换后，写出 中的对应点 的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查作图——旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是根据旋转变换和平移变换的定义作
出变换后的对应点．
（1）分别作出 的对应点 ，再顺次连接即可；
（2）根据平移分别作出点 的对应点 再顺次连接即可；
（3）根据所画图形，写出对应坐标的变化规律即可．
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求．
（2）解：如图所示， 即为所求．（3）解： 是 内一点，其坐标为 ，
∵ 上的点是由 上的点横纵坐标都乘以 ，然后横坐标不变，纵坐标 得到的，
∴ 中的对应点 的坐标为 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标分别为 ， ， ，将 绕点 逆时针方
向旋转得到 ，点 的对应点 的坐标为 ，点 在 轴上．
(1)点 的坐标是 ，旋转角的度数为 ；
(2)画出旋转后的 ；
(3)线段 的延长线与线段 交于点 ，则 的长为 ．
【答案】(1) ，
(2)见解析
(3)
【分析】（1）线段 的垂直平分线和 轴的交点 即为所求，进而求得 ，即可得出旋转角
为 ；
（2）根据要求作出图形；
（3）根据旋转的性质，证明 得出 ，进而根据等面积法求得 的长，即可求解．
【详解】（1）解：如图，旋转中心P的坐标为 ， ，则旋转角的度数为 ，
故答案为： ， ．
（2）解：如图， 即为所求作，
（3）解：由旋转的性质可得， ， ，
∴
∴ ，又 ，
∴ ，
则 ．
设 交于点 ，∴
∴ ．
故答案为： ．
题型四、坐标与旋转规律问题
13．如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形 ， ，直角边 在 轴上，且
．将 绕原点 顺时针旋转 得到等腰直角三角形 ，且 ，再将 绕
原点 顺时针旋转 得到等腰直角三角形 ，且 ，……，依此规律，得到等腰直角三角形
，则点 的坐标是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了坐标与图形、点的坐标变化规律等知识．根据题意分析得出 点位置规律和
长度的变化规律，进而得出答案．
【详解】解：∵ 是等腰直角三角形， ，
将 绕原点 顺时针旋转 得到等腰直角三角形 ，
再将 绕原点 顺时针旋转 得到等腰直角三角形 ，
……，
∴依此规律，可知 ， ， ， 依次在 轴的负半轴， 轴的负半轴， 轴的正半轴和 轴的正半轴上，
每4次一个循环，
∵ ，
∴ 在 轴的负半轴上，
又∵ ， ， ，…，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．14．风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用 如图 ，风力发电
机有三个底端重合、两两成 角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为 轴建立平面直角坐标
系（如图 所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为 ，在一段时间内，叶片每秒绕原点
顺时针转动 ，则第 秒时，点 的对应点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查坐标规律探索，找出一般规律，是解题的关键．
根据旋转的性质分别求出第1、2、3、 秒时，点的对应点 的坐标，找到规律，进而得出第
秒时，点的对应点 的坐标．
【详解】解：如图，
，
在第一象限的角平分线上，
叶片每秒绕原点 顺时针转动 ，
， ， ， ，
点的坐标以每 秒为一个周期依次循环，
，
第 秒时，点A的对应点 的坐标与 相同，为 ，
故答案为： ．
15．如图，在平面直角坐标系中，正方形 的边 ， 分别落在 轴正半轴和 轴正半轴上，
．若将正方形 绕点 按顺时针方向依次旋转 后得到正方形 、正方形 、正
方形 、正方形 ……则点 的坐标是 ．【答案】
【分析】本题考查了旋转规律探究，坐标与图形，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；根据题
意得出规律为每旋转 次后点回到初始位置，点 的坐标与 的坐标相等，进而求得 ，即可求解．
【详解】解：∵将正方形 绕点 按顺时针方向依次旋转 ，
∴每旋转 次后点回到初始位置，
∵
∴点 的坐标与 的坐标相等，
如图，过点 作 轴的垂线 ，垂足为点 ，
∵
∴
∴ ，即点 的坐标是
故答案为： ．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知点A，C在第一象限，点 ， ， ，且
．将四边形 绕点 逆时针旋转，每次旋转90°，则第2025次旋转结束时，点C
的纵坐标为 ．【答案】
【分析】本题主要考查旋转的知识，熟练根据旋转的知识确定旋转后的位置是解题的关键．
作出旋转后的图形，再根据三角函数求出旋转后点的坐标即可．
【详解】解：由题意知，将四边形 绕点O逆时针旋转，每次旋转 ，每旋转4次则回到原位置，
∵ ，
∴第2025次旋转结束时，图形旋转了 ．
过点 作 于点E，过点 作 于点D，如图
有
∵点 ， ， ，且 ．
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，即 ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴点 的纵坐标为 ．
故答案为 ．题型五、旋转综合题——几何变换
17．如图， 绕点A逆时针旋转 得到 （点 与点B是对应点，点 与点C 是对应点，
点 与点D 是对应点），点 恰好落在 边上．求 的度数．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的性质等知识，根据旋转的性质得出
， ，根据等边对等角和三角形的内角和定理可求出 ，根据平行四边形的性
质得出 ，然后根据平行线的性质求解即可．
【详解】解∶ ∵旋转，
∴ ， ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
18．如图， 中，点E在 边上， ，将线段 绕A点旋转到 的位置，使得 ，
连接 ， 与 交于点G．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由旋转的性质可得 ，证明 ，根据全等三角形的对应边相等即可得出
；
（2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出 ，那么 ．由 ，得出 ，再根据三角形外角的性质即可求出 ．
【详解】（1）证明： ，
，即 ．
将线段 绕 点旋转到 的位置，
．
在 与 中，
，
，
；
（2）解： ， ，
，
，
．
， ，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及
三角形外角的性质，证明 是解题的关键．
19．如图，在 中， ， ，点 为 内一点，连接 ，将 绕点 逆
时针方向旋转 得到 ．
(1)连接 交 于点 ．若点 、 、 三点共线，求 的度数；
(2)若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用 证明 ，得 ，由点 、 、 三点共线，得
，即可解决问题；
（2）过 作 于 ，利用等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质，勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：当点 、 、 三点共线，如图，将 绕点 逆时针方向旋转，使 与 重合，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
点 、 、 三点共线，
，
；
（2）解：过 作 于 ，如图，
∵ ， ，
∴
∵
∴ ，
∴ ，
，
，
，
，∵
．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的
性质，勾股定理等知识，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20．知： ，其中 ，直线 交直线 于点 ．
(1)图1中，点 在 上，求证： ；
(2)若将图1中的 绕点 按顺时针方向旋转，如图2，图3，你认为（1）中的结论还成立吗？请直接
写出 ， 与 之间的数量关系；
(3)若 ， ，则 ___________．
【答案】(1)见解析
(2)不成立，见解析
(3)3或13
【分析】（1）连接 ，由 ，可得 ， ，即可证明
，有 ，从而 ；
（2）图2中连接 ，证明 ，得 ，可得 ；图3中连接 ，
证明 ，可得 ；
（3）分为当 在线段 上时及当 在 的延长线上时，两种情况进行讨论即可．
【详解】（1）证明：连接 ，
，
， ，
，
，
，
，，
，
；
（2）：（1）中的结论不成立，
图2中 ，理由如下：
连接 ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
；
图3中 ，理由如下：
连接 ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：当 在线段 上时，由（1）知 ，，
当 在 的延长线上时，由（2）可知 ，
；
综上所述， 的长为3或13．
故答案为：3或13．
一、单选题
1．在平面直角坐标系 中，将点 绕原点 逆时针旋转 ，得到点 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平面直角坐标系中点绕原点逆时针旋转 的坐标变换规律来求解点 的坐标．本题主要考
查了平面直角坐标系中点绕原点逆时针旋转 的坐标变换，熟练掌握坐标变换规律是解题的关键．
【详解】解：设点 绕原点 逆时针旋转 后的点为 ，则 ， ．
∵ ，即 ， ．
，
点 的坐标为 ，
故选： ．
2．如图，在平面直角坐标系中， 是由 绕点 旋转得到，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，分别作线段 的垂直平分线，相交于点P，则 是
由 绕点P逆时针旋转 得到，即可得出答案．
【详解】解：分别作线段 的垂直平分线，相交于点P，则 是由 绕点P逆时针旋转 得到，
∴点P的坐标为 ．
故选：C．
3．如图，直线 与x轴、y轴分别相交于点A，B，将 绕点A逆时针方向旋转 得到 ，
则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，旋转的性质，正方形的判定和性质等，延长 交y轴
于点E，先求出点A和点B的坐标，再根据旋转的性质证明四边形 是正方形，进而求出 和 的
长度即可求解．
【详解】解：如图，延长 交y轴于点E，
中，令 ，则 ，令 ，解得 ，
， ，
， ，
绕点 逆时针方向旋转 得到 ，
， ， ，四边形 是正方形．
，
，
点 的坐标为 ．
故选：A．
4．如图，在平面直角坐标系中，长方形 的四个顶点坐标分别为 ， ， ，
点 从点 出发，沿长方形 的边顺时针运动，速度为每秒2个单位长度，点 从点 出发，
沿长方形 的边逆时针运动，速度为每秒3个单位长度，记点 在长方形 边上第1次相遇时
的点为 ，第二次相遇时的点为 ，第三次相遇时的点为 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标变换，正确找出规律是解题的关键．根据点坐标计算长方
形的周长为10，设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为 ，Q点走的路程为 ，根据题意列方
程，即可求出经过2秒第一次相遇，进一步求出第一次、第二次、第三次……相遇点的坐标，直到找出五
次相遇一循环，再用 的结果即可求出第2025次相遇点的坐标．
【详解】解： ， ， ， ，
，
长方形的周长为 ，
设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为 ，Q点走的路程为 ，
根据题意得 ，
解得 ，
∴当 时，P，Q第一次相遇，则路程为 ，此时相遇点 坐标为 ，
当 时，P，Q第二次相遇，则路程为 ，此时相遇点 坐标为 ，
当 时，P，Q第三次相遇，则路程为 ，此时相遇点 坐标为 ，
当 时，P，Q第四次相遇，则路程为 ，此时相遇点 坐标为 ，
当 时，P，Q第五次相遇，则路程为 ，此时相遇点 坐标为 ，当 时，P，Q第六次相遇，则路程为 ，此时相遇点 坐标为 ，
五次相遇循环一次，
，
点 的坐标为 ．
故选：C．
5． 如图，正方形 边长为 ， 从 出发沿对角线 向 运动，连接 ，将线段 绕 点顺
时针旋转 得到 ，连接 ， ，设 ，下列说法：① 是直角三角形；②当 时，
；③有且只有一个实数 ，使得 ；④取 中点 ，连接 ， ， 的面积
随着 的增大而增大，正确的有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【分析】根据正方形的性质可得 ， ， 再根据旋转的性质可得
， ，从而证得 ，得到 ，即可求得
，可判断①正确；根据正方形的性质可得 的长，再根据
可得 的长，再利用勾股定理可得 ，可判断②正确；根据题意列出关于
面积的一元二次方程，求得有且只有一个实数 ，使得 ，可判断③正确；连接 ，
作 于点 ，可得 ，由 ，点 为 的中点，可得 ，
则 ，从而求得 ，可判断④错误；即可解题．
【详解】解：四边形 是正方形， 为对角线，
∴ ， ， ，
∵线段 绕点 顺时针旋转 得到 ，
∴ ， ，
又∵ ， ，
∴ ，
在 和 中：，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，故①正确；
∵正方形边 长为 ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
由题可知： ，
要 ，则 ，
整理得： ，
解得： ，
∴有且只有一个实数 ，使得 ，故③正确；
如图，连接 ，作 于点 ，
则 ，
∴ ，
∴ 与 的边 上的高相等，
∵ ，点 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ 的面积不随着 的变化而变化，故④错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解
一元二次方程，旋转的性质，直角三角形性质，综合运用以上知识是解题的关键．
二、填空题
6．在平面直角坐标系中，已知 ，将点A绕原点逆时针旋转45度得到点B，则点B的坐标为
．
【答案】
【分析】本题考查了一线三等角构造全等三角形，一次函数解析式，勾股定理． 绕点A顺时针旋转
得到线段 ，得到等腰 ， ，点B在 上，利用点A坐标构造全等三角形，求出点
E坐标，得到直线 的解析式，再根据 ，可得点B坐标．
【详解】解：如图，过A作x轴的垂线，垂足为C， 绕点A顺时针旋转 得到线段 ，过点E作
的垂线交 于点D．连接 ．
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ．
∴ ， ，
∴E的坐标为 ．
∴ 所在直线的解析式为 ，
中， ， ，
∴ ，∴点B在 上．
设点B坐标为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点B在第三象限，
∴ ， ，
点B坐标为 ．
故答案为： ．
7．如图，在矩形 中， ，将矩形 绕点 逆时针旋转得到矩形 ，点 的对应点 落
在 上，且 ，则旋转角等于 度．
【答案】45
【分析】本题考查了矩形的性质，图形旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质．根据矩形的性质及图
形旋转的性质可求得 ， 是等腰直角三角形，据此即得答案．
【详解】解： 四边形 是矩形，
， ，
矩形 绕点A逆时针旋转，得到矩形 ，
，
，
，
∴ 是等腰直角三角形，
，即旋转角等于45度．
故答案为：45．
8．如图，在 中， ， ， ，将 绕点 逆时针旋转得到
，使点 落在 上，连接 ，则 的长为 ．【答案】
【分析】本题考查了直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，由直角三角形的性质可
得 ， ，进而由旋转的性质得 为等边三角形，再根据等边三角形的性质即
可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
由旋转可得， ， ，
∴ 为等边三角形，
∴
故答案为： ．
9．如图，在 中， ， ，点M为 中点，点N在直线 上运动，连接以
，将 绕点A逆时针方向旋转 得到 ，连接 ，则点N在运动过程中， 的最小值为 ．
【答案】
【分析】设 的中点为 ，连接 ，过点 作 交直线 于点 ，依题意得
，先证明 ，进而依据“ ”判定
和 全等得 ，由此得当 为最小时， 为最小，根据“垂线段最短”得当点 与点 重
合时， 为最小，最小值为线段 的长，则 的最小值为线段 的长，然后在 中，由
得 ，由此即可得出 的最小值．
【详解】解：设 的中点为 ，连接 ，过点 作 交直线 于点 ，如图：在 中， ，
，
∵点 是 的中点，
，
，
根据旋转可得 ，
，
，
，
在 和 中
，
，
，
∴当 为最小时， 为最小，
根据“垂线段最短”得： ，
∴当点 与点 重合时， 为最小，最小值为线段 的长，
∴ 的最小值为线段 的长，
在 中， ，
，
∴ 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，含
30 度角的直角三角形的性质，理解等腰三角形的性质，垂线段最短，熟练掌握全等三角形的判定与性质，
灵活运用含 30 度角的直角三角形的性质是解决问题的关键．
10．如图，在 中， ， ， 绕点C逆时针旋转 到位置， ， 的延长线相交于点F．
（1）若 ，则 ；
（2）请用等式表示 与 之间的数量关系： ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于
旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行线的性质．
（1）先根据平行线的性质得到 ，则 ，然后根据旋转的性质得到
；
（2）先计算出 ，则 ，再根据旋转的性质得到 ， ，则
，接着计算出 ， ，据此计算即可求解．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 绕点C逆时针旋转 到 位置，
∴ ；
故答案为：150；
（2）∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 绕点C逆时针旋转 到 位置，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
∴ 与 之间的数量关系为 ．
故答案为： ．
三、解答题
11．如图，在 中， ， ， ，将 逆时针旋转一角度后与 重
合，且点D恰好是 的中点．(1)旋转中心是点 ，旋转的角度是 °；
(2)求 的长及 的度数．
【答案】(1)A；120
(2) ， ．
【分析】本题考查了旋转的相关知识点．熟记相关结论进行几何推理是解题关键．
（1）由“ 顺时针旋转一定角度后与 重合”可得旋转中心点，求出 即可得旋转角；
（2）根据旋转的性质得出 ， ， ，根据线段中点的定义求出 ，
即可求解．
【详解】（1）解：在 中， ， ，
∴ ，
即 ，
∵ 顺时针旋转一定角度后与 重合，
∴旋转中心为点A，旋转的度数为 ；
故答案为：A；120；
（2）解：∵ 顺时针旋转一定角度后与 重合，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵点D恰好成为 的中点，
∴ ，
∴ ．
12．如图，正方形 中，点E为 边上的一点，将 顺时针旋转后得到 ．
(1)指出旋转中心为点_____及旋转角的度数为_______ ；
(2)判断 与 的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)旋转中心是 ，旋转角是(2) ，理由见解析
【分析】（1）将 旋转后得到 ，要确定旋转中心及旋转的角度，首先确定哪个点是对应点，即
可确定；
（2）根据旋转的性质可知，旋转前后两个图形一定全等，根据全等三角形的对应角相等，即可作出判断．
【详解】（1）解：∵将 顺时针旋转后得到
∴旋转中心是点 ，旋转角的度数是 ；
（2）解：延长 交 于点 ．
由旋转可知： ，
， ．
又 ， ，
，
．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的性质，旋转只是改变图形的位置，不
改变图形的形状与大小，旋转前后的两个图形一定全等．
13．如图，在四边形 中， 是对角线， 是等边三角形．线段 绕点 顺时针旋转
得到线段 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见详解
(2)5
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，
解题的关键是熟练掌握以上性质．
（1）利用等边三角形的性质和旋转的性质，得出相等的边和角，证明 即可得出结论；
（2）连接 ，得出 为等边三角形，得到直角三角形，然后利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵ 是等边三角形，∴ ,
∵线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，
，
∴ ，
∴ ，
即 ，
，
∴ ；
（2）解：如图，连接 ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
，
，
在 中，由勾股定理得 ，
由（1）得 ，
∴ 的长为5．
14．如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别是 ， ， ．
(1)将 绕点 旋转 得到 ，画出 ；
(2)平移 ，使点 的对应点 的坐标为 ，画出平移后对应的 ；
(3)观察发现 与 关于某点成中心对称，则该点的坐标为______．【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了中心对称图形及图形的平移，理解题意，熟练掌握作图方法是解题关键．
（1）根据中心对称图形的作法作图即可；
（2）根据题意确定平移方式为：向右平移4个单位长度，向下平移6个单位长度，然后作图即可；
（3）连接 交点为D，即为对称中心，读出点的坐标即可．
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求；
（2）根据题意得： ，平移后的点的坐标为 ，
∴平移方式为：向右平移 个单位长度，向下平移6个单位长度，
如图所示： 即为所求；
（3）如图所示，连接 交点为 ，即为对称中心，
由图得： ，
故答案为： ．15． 在平面直角坐标系中，如图所示，
(1)请画出 向右平移5个单位后得到的 ．
(2) 经过一次旋转得到
①请直接写出旋转中心点P的坐标_______．
② 经过怎样的旋转可以得到 ？
【答案】(1)见解析
(2)① ；② 绕点 逆时针旋转 可以得到
【分析】此题考查了平移和旋转的作图和性质，根据旋转和平移的性质进行解答即即可．
（1）根据平移方式作图即可得到答案；
（2）①根据旋转的特征找到旋转中心即可；②根据旋转的特征找到旋转三要素即可．
【详解】（1）解：如图， 即为所求，（2）①旋转中心点P的坐标为 ，
故答案为：
②由题意可得， 绕点 逆时针旋转 可以得到
16．已知： 和 都是等腰直角三角形， ．
(1)如图①E在 上，点D在 上时，线段 与 的数量关系是______，位置关系是______；
(2)把 绕点C旋转到如图②的位置，连接 ，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
【答案】(1) ，
(2)（1）中的结论还成立，理由见解析
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点，
灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）根据等腰直角三角形的性质可得 ， ；再利用线段的和差可得 ；
（2）运用等腰直角三角形的性质证明 可得 、 ；如图：设
与 、 分别交与O，F，结合 运用三角形内角和定理可得 ，即
．
【详解】（1）解： ， ，理由如下：
∵ 和 都是等腰直角三角形， ．
∴ ， ，
∴ ，即 ．
（2）解：（1）中的结论还成立，理由如下：
∵ 和 都是等腰直角三角形， ．
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ， ，
如图：设 与 、 分别交于O，F，∵ ，
∴ ，即 ．
17．综合与探究
【教材呈现】以下是华师大版七年级下册数学教材第143页的部分内容：
如图1， 都是等腰直角三角形， ，作出 以点 为旋转中心、逆时
针旋转 后的三角形．
【操作发现】
（1）在图1中画出 以点 为旋转中心、逆时针旋转 后的三角形，写出旋转前后CE与其对应线
段的数量关系和位置关系：________，_______．
【探究理由】
（2）如图2，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，设CE，AC分别与BD交于点F，G，试判断
CE与BD的数量关系和位置关系，并说明理由．
【问题解决】
（3）如图3，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，点 恰好落在BC上，DE与CA交于点 ．若
与 关于直线AD对称，且 ，则
① _________ ；
②线段EF的长是________．
【答案】（1）画图见解析， ， ；（2） ， ，理由见解析；（3）① ，
②
【分析】（1）根据要求作出图形，然后根据旋转的性质得出 ，利用全等三角形的性质解决
问题即可；（2）由旋转的性质得出 ，利用全等三角形的性质解决问题即可；
（3）①利用轴对称的性质求出 ，然后根据旋转的性质得出答案；
②利用旋转的性质和轴对称的性质求出 和 即可解决问题．
【详解】解：（1）如图， 即为所求， ， ，
证明：设 、 分别与 交于点 、 ，
∵ 绕点 逆时针旋转 得到 ，
∴ ，
∴ ， ， ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ， ；
（2） ， ；
理由：∵ 绕点 逆时针旋转 得到 ，
∴ ，
∴ ， ， ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ， ；
（3）①∵ 与 关于 对称，
∴ ，
∴ ，
由旋转的性质可知， ，
故答案为： ；
②由旋转的性质可知， ，
∵ 与 关于 对称，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．【点睛】本题考查了旋转变换的性质，全等三角形的性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是学会利用
旋转的性质和轴对称的性质解决问题．
18．【课本再现】
如图1，正方形 的对角线相交于点 ，点 又是正方形 的一个顶点，而且这两个正方形的边
长相等，四边形 为两个正方形的重叠部分，正方形 可绕点 转动．
【问题发现】
（1）①线段 之间的数量关系是_______________；
②在①的基础上，连接 ，则线段 之间的数量关系是____________．
【拓展应用】
（2）如图2，若矩形 的一个顶点 是矩形 对角线 的中点， 与边 相交于点 ，延
长 交 于点 ， 与边 相交于点 ，连接 ．矩形 可绕点 转动，猜想
之间的数量关系，并进行证明．
【类比迁移】
（3）如图3，在 中， ，点 在边 的中点处，它的两条边
和 分别与直线 相交于点 ． 可绕点 转动，当 时，请直接写出 的面
积．
【答案】（1）① ② （2） ，证明见解析（3） 或
【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，三角形全等的判
定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
（1）①根据题型先证明 ，进而即可得出线段 之间的数量关系；
②根据 ，得出 ，进而根据勾股定理得出 ，根据线段之间的数量关
系，即可得出结论；
（2）猜想： ，连接 ，延长 交 于 ，证明 ，再利用勾股
定理证明即可；
（3）设 ，分两种情况讨论：①当点 在线段 上时，②当点 在 延长线上时，结合勾股定理，
即可求解．
【详解】解：（1）①证明：∵四边形 是正方形，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
②解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解： ；理由如下：
连接 ，如图2：
∵ 为矩形中心，
∴ ，
延长 交 于 ，
∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
又∵四边形 是矩形，
∴ ，∴ 垂直平分 ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ；
（3）设 ，
①当 在线段 上时，如图3，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
又由（2）易知 ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，即 ，
；
②当点 在 延长线上时，
同理可证 ，
∴ ，
又在 中，
，
∴ ，
解得 ，即 ，；
故 的面积为 或 ．
