文档内容
专题 01 二次函数重难点题型专训
（3个知识点+5大题型+3大拓展训练+自我检测）
题型一 二次函数的定义
题型二 列二次函数关系式
题型三 由二次函数的定义求参数的值
题型四 根据二次函数的定义求参数的取值
题型五 二次函数的一般形式
拓展训练一 二次函数关系式——销售问题
拓展训练二 二次函数关系式——几何图形
拓展训练三 二次函数关系式——增长率、循环等其他问题
知识点一：函数回顾
（1）函数的概念：在某个变化过程中有两个量x和y，如果在x的允许范围内，变量y随x的变化而变
化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫自变量，y叫做因变量．
（2）正比例函数：一般地，形如 的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
（3）一次函数：形如 ，其中 、 为常数，且 ．
特殊情况：当 时， 称为常值函数；
当 时， 称为正比例函数．
【即时训练】
1．（24-25九年级上·辽宁·期末）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．一般地，形如 是
常数， 的函数，叫做二次函数，据此进行判断即可．【详解】解： 符合二次函数的定义，它是二次函数；
不符合二次函数的定义，它们不是二次函数，
故选：A.
2．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）给出下列函数：① ；② ；③ ；
④ ．其中是二次函数的有 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键．根据二次函数的一般
形式：形如 （a，b，c为常数且 ），逐一判断即可解答．
【详解】解：① 不是二次函数；
② 是一次函数，不是二次函数；
③ 不是二次函数；
④ 是二次函数；
综上，是二次函数的有④，
故答案为： ．
知识点二：二次函数的定义
二次函数的定义：一般地，如果y=ax2 +bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数.它的
定义域为一切实数．
【即时训练】
1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）下列y与x之间的函数表达式是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义形如 的函数叫做二次函数，
熟记二次函数的定义是解题的关键．据此即可求解．
【详解】解：A、 是一次函数，不符合题意；
B、 ，未知数的最高次数是3，不符合题意；
C、 ，符合题意；
D、 ，等号右边不是整式，不符合题意，
故选：C．
2．（24-25九年级上·山东·课后作业）一般地，形如 的函数是二次函数．
【答案】y＝a x2＋bx＋c(a,b,c为常数，且a≠0)
【分析】根据二次函数的定义解答即可.
【详解】一般地,形如y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数,叫做二次函数.
故答案为y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数叫做二次
函数，据此求解即可.
知识点三：二次函数注意问题
（1）a、b、c三个系数中，必须保证 ，否则就不是二次函数了；而b、c两数可以为0，如特殊形
式： 等．
（2）由于二次函数的解析式是整式的形式，所以自变量 的取值范围是任意实数．
【即时训练】
1．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）把二次函数 变成一般形式后，其二次项系
数和一次项系数分别为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的一般式，把函数的表达式化简成 的形式即可求解，掌握二
次函数的一般式是解题的关键．【详解】解： 化成一般式为 ，
∴二次项系数和一次项系数分别为 ， ，
故选： ．
2．（24-25九年级·全国·阶段练习）二次函数的一般形式为 （其中 ， ， ， 为常
数）． ( )
【答案】正确
【分析】根据二次函数的分类可知二次函数的一般形式为y=ax2+bx+c（a≠0）．
【详解】解：根据一元二次方程的一般形式的概念知，应为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数），故正确．
【点睛】二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）；（3）交点式
（与x轴）：y=a（x-x）（x-x）（a≠0）．
1 2
【经典例题一 二次函数的定义】
【例1】（24-25九年级上·山东济南·期末）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．
一般地，形如 是常数， 的函数，叫做二次函数，据此进行判断即可．
【详解】解： 不符合二次函数的定义，它们不是二次函数；
符合二次函数的定义，它是二次函数；
故选：B．1．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）下列函数中，一定是关于 的二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义是解题关键，注意 是不等于零的常数．
根据二次函数的定义： （ 且 是常数）判断即可得答案．
【详解】解：A、 时不是二次函数，故A不符合题意；
B、 是一次函数，故B不符合题意；
C、 里含有分式，故C不符合题意；
D、 是二次函数，故D符合题意；
故选：D．
2．（24-25九年级·全国·单元测试） 中 ， ， .
【答案】 5 2 0
【分析】根据二次项系数、一次项系数、常数项的定义解答.
【详解】解：在 中，a＝5，b＝2，c＝0．
【点睛】本题考查的是二次函数的一般形式、各项系数与常数项．
3．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·开学考试）如图，5个图形都是由小圆点按照某种规律排列而成的，
依据上述规律，第 个图形中点的个数 与 的关系式是 ，它是 函数．【答案】 二次
【分析】本题主要考查函数的概念、图形的变化类规律等知识点，由题目图形的变化、发现规律是解题的
关键．
先根据题目图形的变化发现规律，然后根据规律确定函数解析式，再判定函数类型即可．
【详解】解：由图可知，从第（2）个图形开始，每个图形除去中间的点，每条分支上的点数比分支数少
1，那么第（n）个图形有n条分支，每条分支的点数是 ，因此 ，它是二次
函数．
故答案为： ，二次．
4．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期中）关于x的函数 ，甲说：“此函数不一定
是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”谁的说法正确？为什么？
【答案】乙的说法对，理由见解析
【分析】本题考查了二次函数的定义，配方法的应用，将 配方得出 ，从而得出无论
取何值， ，结合二次函数的定义即可得解．
【详解】解：乙的说法对，理由如下：
，
∵ ，
∴ ，
∴无论 取何值， ，
∴此函数一定是二次函数，即乙的说法对．【经典例题二 列二次函数关系式】
【例2】（24-25九年级上·河北衡水·期中）国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分
率为x，该药品原价为18元，降价后的价格为y元，则y关于x的函数表达式为 （ ）
A．y＝36(1-x) B．y＝36(1+x) C．y＝18(1-x)2 D．y＝18(1+x)
【答案】C
【分析】原价为18，第一次降价后的价格是18×（1-x），第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降
价的为：18×（1-x）×（1-x）=18（1-x）2，则函数解析式即可求得．
【详解】原价为18，
第一次降价后的价格是18×（1-x）；
第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为：18×（1-x）×（1-x）=18（1-x）2．
则函数解析式是：y=18（1-x）2．
故选C．
【点睛】本题需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的．
1．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，矩形 的面积为 ，点 在 边上，点 在
边上，四边形 是正方形，记线段 的长为 的长为 ，正方形 的面积为
．当 在一定范围内变化时， 随 的变化而变化，则 与 满足的函数关系分别是
（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，一次函数关系
C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系
【答案】D
【分析】本题主要考查反比例函数和二次函数的定义，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，分别根据题意得 ，即可得 与 满足的函数关系．
【详解】解： 矩形 的面积为 ，线段 的长为 ， 的长为 ，
，
，
正方形 的面积为 ，
，
与 满足的函数关系分别是反比例函数关系，二次函数关系，
故选： ．
2．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次
数为m，则m关于n的函数解析式为 ．
【答案】
【分析】根据n个球队都要与除自己之外的 球队个打一场，因此要打 场，然而有重复一半的
场次，即可求出函数关系式．
【详解】解：根据题意，得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了函数关系式，理解题意是解题的关键．
3．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由
这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，则第n个叠放的图形中，小正方体木块总
数m与n的解析式是 ．【答案】m=2n2−n
【分析】图（1）中只有一层，有（4×0＋1）一个正方形，图（2）中有两层，在图（1）的基础上增加了
一层，第二层有（4×1＋1）个．图（3）中有三层，在图（2）的基础长增加了一层，第三层有（4×2＋
1），依此类推出第n层正方形的个数，即可推出当有n层时总的正方形个数．
【详解】解：经分析，可知：第一层的正方形个数为（4×0＋1），
第二层的正方形个数为（4×1＋1），
第三层的正方形个数为（4×2＋1），
……
第n层的个数为：[4×（n−1）＋1]，
第n个叠放的图形中，小正方体木块总数m为：
1＋（4×1＋1）＋（4×2＋1）＋…＋[4×（n−2）＋1]＋[4×（n−1）＋1]
＝1＋4×1＋1＋4×2＋1＋…＋4×（n−2）＋1＋4×（n−1）＋1
＝n＋4（1＋2＋3＋…＋n−2＋n−1）
＝n＋4
＝n＋2n（n−1）
＝2n2−n．
即：m=2n2−n．
故答案为：m=2n2−n
【点睛】本题解题关键是根据图形的变换总结规律，由图形变换得规律：每次都比上一次增加一层，增加
第n层时小正方形共增加了4（n−1）＋1个，将n层的小正方形个数相加即可得到总的小正方形个数．
4．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千
克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每
天能多售出10千克．设降价x元．(1)降价后平均每天可以销售荔枝 千克（用含x的代数式表示）．
(2)设销售利润为y，请写出y关于x的函数关系式．
(3)该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少
元/千克？
【答案】(1)
(2)
(3)24元/千克
【分析】（1）根据“当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克”可直接得出结论；
（2）利用利润=（售价-成本）×销售量可得出结论；
（3）令y=480，求出x的值，再根据题意对x的值进行取舍即可．
【详解】（1）根据题意得，降价后平均每天可以销售荔枝：（40+10x）千克，
故答案为：（40+10x）．
（2）根据题意得，
整理得
（3）令 ，代入函数得，
解方程，得 ，
因为要尽可能地清空库存，所以 舍去取
此时荔枝定价为 （元/千克）
答：应将价格定为24元/千克．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，列函数关系式，列代数式，根据题意列出函数关系式是解题的
关键．
【经典例题三 由二次函数的定义求参数的值】
【例3】（25-26九年级上·山东滨州·阶段练习）如果函数 是二次函数，则 的值是
（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】本题考查的是二次函数定义，根据二次函数的定义得到 且 ，由此求得m的值．
【详解】解：∵函数 是二次函数，
∴ 且 ，
解得 ．
故选：A．
1．（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）若函数 是二次函数，则m的值为（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程，根据二次函数的定义可得 且
即可，解题的关键是熟记二次函数的定义：形如 的函数叫做二次函
数．
【详解】解：由题意得 ，
解得： ，
故选： ．
2．（25-26九年级上·湖北十堰·阶段练习）已知函数 是关于x的二次函数，则k的值
为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，准确分析计算是解题的关键，根据二次函数的定义得到
且 ，然后解不等式和方程即可得到 的值．
【详解】解：∵函数 是关于 的二次函数，∴ 且 ，
解得 或 ，且 ，
∴ ．
故答案为： ．
3．（2025九年级上·全国·专题练习）若二次函数 有最小值，则 的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．首先根据二次函数有最小值可得抛物线开口向上，可以得到
且 ，由 可得 ，再根据 可得 ．
【详解】解： 二次函数 有最小值，
抛物线开口向上，二次项系数为正数，
，
解得： ，
故答案为： ．
4．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）若二次函数 的开口向下，求 的值．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可知 且 ，求得m的值即可．
【详解】解：∵二次函数 的开口向下，
∴ ，
解得 ．
【经典例题四 根据二次函数的定义求参数的取值】
【例4】（24-25九年级上·广东广州·期中）已知关于x的函数y=（m﹣1）xm+（3m+2）x+1是二次函数，则此解析式的一次项系数是（ ）
A．﹣1 B．8 C．﹣2 D．1
【答案】B
【分析】根据二次函数的一般形式为 ，其中二次项系数a≠0，且二次项指数为2求解
即可.
【详解】∵ 是二次函数，∴ ，即 ，∴此解析式的一
次项系数是 ，故本题正确答案为B选项.
【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的一般形式为 ，其中二次项系数
a≠0，且二次项指数为2是解决本题的关键.
1．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如果函数y=(k-3) +kx+1是二次函数,那么k= ．
A．– 3 B．3 C．0 D．3或0
【答案】C
【详解】试题解析：根据二次函数的定义，得：
k2-3k+2=2，
解得k=0或k=3；
又∵k-3≠0，
∴k≠3．
∴当k=0时，这个函数是二次函数．
故选C.
2．（24-25九年级上·山东济南·期末）点 是二次函数 图像上一点，则 的值为
【答案】6
【分析】把点 代入 即可求得 值，将 变形 ，代入即可．
【详解】解：∵点 是二次函数 图像上，
∴ 则 ．∴
故答案为：6．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据点坐标求待定系数是解题的关键．
3．（24-25九年级上·浙江温州·期末）一个小球从水平面开始竖直向上发射，小球的高度h（m）关于运动
时间t（s）的函数表达式为 ，其图象如图所示．若小球在发射后第2 s与第6 s时的高度相等，
则小球从发射到回到水平面共需时间 （s）．
【答案】8
【分析】根据题意可求得函数的对称轴，从而根据函数的对称性，可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
的对称轴为直线 ，
∴当x=4，h取得最大值，
∴由函数的对称性可得：小球从发射到回到水平面共需时间 .
故答案为：8.
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
4．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知关于x的函数 ．
当m为何值时，y是x的二次函数；
当m为何值时，y是x的一次函数；
【答案】（1） （2）当 或 时，函数 ，是一次函数
【分析】（1）根据二次函数的定义得到得m-2≠0且m2-2m+2=2，然后解不等式和方程即可得到满足条件
的m的值；
（2）根据一次函数的定义分类讨论：当m-2=0且m-1≠0时，y是x的一次函数；当m2-2m+2=0且m-2≠0
且m-1≠0时，y是x的一次函数；当m2+m-4=1且m-2≠0，m-2+m-1≠0时，y是x的一次函数，然后分别解方程或不等式即可．
【详解】解： 函数 ，是二次函数，
；
函数 ，是一次函数，
解得： ，
，
，
，
无解，
当 或 时，函数 ，是一次函数．
【点睛】本题考查二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次
函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c
（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．也考查了一次函数的定义．
【经典例题五 二次函数的一般形式】
【例5】（25-26九年级上·安徽·阶段练习）把二次函数 化为一般形式，一次项系数为
（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了二次函数的一般形式，把 化为一般形式，即可得到答案．
【详解】解： ；
其中二次项系数是 、一次项系数是 、常数项是4．
故选：D
1．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）将二次函数 化为一般形式后，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的一般式，根据整式乘法展开后合并同类项即可．
【详解】 ，
故选：D．
2．（24-25九年级上·广东汕尾·阶段练习）把y＝(3x-2)(x＋3)化成一般形式后，一次项系数与常数项的和
为 ．
【答案】1
【分析】先将其化为一般式，即可求出一次项系数和常数项，从而求出结论．
【详解】解：y＝(3x-2)(x＋3)=3x2＋7x-6
∴一次项系数为7，常数项为-6
∴一次项系数与常数项的和为7＋（-6）=1
故答案为：1．
【点睛】此题考查的是二次函数的一般式，掌握二次函数的一般形式是解题关键．
3．（2025九年级上·全国·专题练习）二次函数的定义：一般地，形如 （a、b、c是常数，
）的函数，叫作 ．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是 ，b是，c是 ． （a、b、c是常数， ）也叫作二次函数的一般形式．判断函数是
否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次
函数的定义作出判断，要抓住二次项系数 这个关键条件．
【答案】 二次函数 二次项系数 一次项系数 常数项 不等于0
【分析】此题考查的是二次函数，掌握其定义是解决此题的关键．直接根据二次函数的定义解答即可．
【详解】解：二次函数的定义：一般地，形如 （a、b、c是常数， ）的函数，叫作二次
函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
（a、b、c是常数， ）也叫作二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后
再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不等于0这个关键条件．
故答案为：二次函数，二次项系数，一次项系数，常数项，不等于0．
4．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知二次函数 ．
(1)将该函数表达式化为二次函数的一般形式；
(2)写出该二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．
【答案】(1)
(2)二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是4．
【分析】本题考查了二次函数的一般形式和二次项、一次项系数及常数项的定义，熟练掌握以上知识点是
解题的关键．把方程化为二次函数的一般形式，根据定义即可得到答案．
【详解】（1）解：
该二次函数的一般形式是 ；
（2）解：由（1）可得，该函数的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是4．【拓展训练一 二次函数关系式——销售问题】
1．（25-26九年级上·新疆和田·阶段练习）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40
元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬
衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元，求：
(1)写出衬衫降价x元与盈利y元得函数关系式．
(2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
【答案】(1)
(2)15
【分析】本题考查了二次函数的应用：
（1）由题知每件盈利为 元，每天售出 件，根据数量关系即可求得结果；
（2）根据二次函数图象的性质即可求解．
【详解】（1）解：每件盈利为 元，每天售出 件，
∴ ；
（2）解：对于二次函数 ，
∵ ，
∴抛物线开口向下，顶点处取得最大值，
顶点的横坐标为 ，
∴当每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多．
2．（24-25九年级上·内蒙古兴安盟·阶段练习）某食品零售店为食品厂代销一种馒头，未售出的馒头可退
回厂家，经统计销售情况发现，当这种馒头的单价定为7角时，每天卖出160个，在此基础上，这种馒头
的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个．考虑了所有因素后，该零售店每个馒头的成本是5
角．设这种馒头的单价为 角，零售店每天销售这种馒头所获得的利润为 角．
(1)求 与 之间的函数表达式；
(2)当馒头单价定为多少角时，该零售店每天销售这种馒头获得的利润最大？最大利润为多少？
【答案】(1)(2)当每个馒头单价定为10角时，该零售店每天获得的利润最大．最大利润为 角．
【分析】本题考查二次函数的实际应用，二次函数的最值问题，能够根据题意找出等量关系，列出方程是
解决此类题目的关键．
（1）设每个馒头的利润为 角，根据馒头的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个，可
知卖出的馒头个数为 个；根据：利润=单个馒头利润×卖出馒头数量，可列出关系式；
（2）将函数一般式 转化为顶点式，求最值即可．
【详解】（1）解：每个馒头的利润为 角，卖出的馒头个数为 个
∴ ，
即 ．
（2） ，
∴当 时，y的最大值为
∴当每个馒头单价定为10角时，该零售店每天获得的利润最大．最大利润为 角．
3．（2025·金山南通·模拟预测）某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价
x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
2
每件的售价x/元 … 25 31 …
8
1
日销售量y/件 … 15 9 …
2
(1)求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2)当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价．
【答案】(1)
(2)10元或30元
【分析】本题考查了一次函数解析式的求解，二次函数解析式的求解，解决本题的关键是正确求解出一次
函数与二次函数的解析式．
（1）先设出一次函数解析式，再根据待定系数法代值求解即可；
（2）先表示出日销售额的函数表达式，再令 求解x的值即可．【详解】（1）解：∵日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，
∴设函数表达式为 ，
∵当 时， ；当 时， ；
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴y与x之间的函数表达式为 ；
（2）解：由（1）知， ，
∴日销售额 ，
∵玩具日销售额为300元，
∴令 ，即 ，
整理可得 ，
解得 ， ，
∴每件玩具的售价为10元或30元时，日销售额为300元．
【拓展训练二 二次函数关系式——几何图形】
1．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有
两道篱笆的长方形花圃，若墙的最大可用长度为8米，设花圃的宽 为x米，面积为S平方米．
(1)写出S与x的函数关系式，并化为一般形式；
(2)求自变量的取值范围；
(3)当这个花圃的面积为20平方米时，求x的值．
【答案】(1)
(2)(3)
【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，求自变量取值范围，二次函数与一元二次方程，
对于（1），先表示花圃的长，再根据面积相等列出函数关系式；
对于（2），根据墙的长度可得 ，求出解集即可；
对于（3），将 代入函数关系式，求出解即可.
【详解】（1）解：∵ 为x米、篱笆长为24米，
∴花圃长为 米，
∴ ；
（2）解：∵墙的可用长度为8米，
∴ ，
解得 ；
（3）解：当 时，
，
解得 ，
∵ ，
∴ .
2．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图所示，在直角梯形 中，
， ．动点 从点 出发，沿射线 的方向以每秒2个单位长
度的速度运动，动点 同时从点 出发，在线段 上以每秒1个单位长度的速度向点 运动，当点 到
达端点 时，另一个动点 也随之停止运动．设运动的时间为 （秒）．
(1)设 的面积为 ，求 与 之间的关系式；
(2)当 为何值时，以点 为顶点的四边形是平行四边形？(3)分别求出当 为何值时，① ；② ．
【答案】(1)
(2)当 或 时，以点 为顶点的四边形是平行四边形
(3)①当 或 时， ；②当 时，
【分析】本题考查了平行四边形的性质，列函数关系式，勾股定理；
（1）根据题意设 ，得出 ，过点 作 于 ，根据三角形的
面积公式列出函数关系式，即可求解；
（2）分两种情况讨论，①当四边形 是平行四边形时；②当四边形 为平行四边形时，根据平
行四边形的性质列出方程，解方程即可求解；
（3）①分当点 与点 重合时与不重合时两种情况讨论，根据题意列出一元一次方程，即可求解．
②根据勾股定理表示出 ，根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）在直角梯形 中， ，
设 ，则 ，
过点 作 于 ，
则四边形 是矩形， ，
∴
故答案为： ．
（2）I：当四边形 是平行四边形时， ，
∴ 解得： ，∴当 时，四边形 是平行四边形．
II：当四边形 为平行四边形时， ．
∴ ，
∴
综上所述，当 或 时，以点 为顶点的四边形是平行四边形．
（3）∵ ，
①I：当点 与点 重合时， ，此时， ．
II：当点 与点 不重合时，
当 时， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴当 或 时， ．
②当 时，
∴ 解得：
∴当 时，
3．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）【问题提出】（1）如图1，正方形 的边长为6，点 、
分别在边 、 上（点 不与 、 重合，点 与 、 重合），且 ，点 为 边的中
点，分别连接 、 ， ，五边形 的面积为 ，求 与 之间的函数解析式；
【问题解决】（2）如图2，在菱形 中， ， ，点 是菱形 内一点，连接
、 、 ， ，点 、 分别在边 、 上，连接 、 ， ，设 的长为
，四边形 的面积为 ．①求 与 之间的函数解析式；
②当 最小时，求四边形 的面积．
【答案】（1） ；（2）① ；②
【分析】（1）根据四边形 为正方形，边长为6，得出 ，结合
，表示出 ， ，根据点 G 为 边的中点，得出
，根据五边形 的面积 求解即可．
（2）①如图，过点P作 ，在菱形 中， ， ，
， ，证明 是等边三角形，得出 ，证明
，得出 ，则
，根据 ，得出 ， ，
，求出 ，即可求解．
②根据 ， ，得出当 时， 最小，此时，点 共线，结合四边形
是菱形，得出 ，求出 ，代入①中解析式求解即可．
【详解】解：（1）∵四边形 为正方形，边长为6，
，
，
， ，
∵点 G 为 边的中点，，
，
，
，
∴五边形 的面积
．
即 ．
（2）①如图，过点P作 ，
在菱形 中， ， ， ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
，
即 ．
②∵ ，
∴ ，
则 最小时， 最小，
当 时， 最小，此时，点 共线，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】该题考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定以及函数解析式等知识，难度较大，正确作出辅助线是解答本题的关键．
【拓展训练三 二次函数关系式——增长率、循环等其他问题】
1．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）某商场销售某种商品的进价为70元/件，当售价为150元/件时，每周可以
售出200件，每件售价每上涨5元，则每周会少售出10件，若设每周销售利润为w元，每件商品的售价为
x元/件：
(1)求w与x之间的函数关系式；
(2)该商场响应“学习雷锋精神”的号召，决定每售出一件该款商品捐款30元，若该款商品的售价不超过
180元/价，请问商场捐款之后能否保证每周销售利润随售价增加而增加？并说明理由．
【答案】(1)
(2)不能保证，理由见解析
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以写出w与x之间的函数关系式；
（2）根据题意列出利润和售价的函数关系式，然后利用二次函数的性质和售价的取值范围即可判断．
【详解】（1）解：由题意可得： ，
（2）解：不能保证每周销售利润随售价增加而增加，理由如下：
，
，
，即抛物线开口问下，对称轴 ，
，
∴当 时，w随x增大而减小，
∴不能保证每周销售利润随售价增加而增加，
答：不能保证每周销售利润随售价增加而增加．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，明确题意，列出函数关系式是解题的关键．
2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，矩形绿地的长、宽各增加 ，写出扩充后的绿地的面积y与
x的关系式．【答案】
【分析】根据题意可知，增加后的矩形的长和宽分别为（20+x）m，（30+x）m，再由矩形面积公式求解
即可．
【详解】解：∵矩形原来的长和宽分别为30m、20m，矩形绿地的长、宽各增加xm，
∴增加后的矩形的长和宽分别为（20+x）m，（30+x）m，
∴ .
【点睛】本题主要考查了从实际问题出抽象出二次函数，解题的关键在于能够熟练掌握矩形面积公式．
3．（24-25九年级上·山东东营·期中）某商场销售一批名牌衬衫，每件成本 元，当每件售价 元时，每
天可售出 件．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，若每件降价1元，
商场平均每天可多销售2件．
(1)若现在设每件衬衫降价x元，平均每天盈利为y元．求出y与x之间的函数关系式．
(2)当每件降价多少元时，商场平均每天盈利最多？此时，与降价前比较，每天销售这种商品可多获利多少
元？
(3)若商场每天平均需盈利 元，每件衬衫应降价多少元．
【答案】(1)
(2)当每件降价 元时，商场平均每天盈利最多，此时，与降价前比较，每天销售这种商品可多获利 元
(3) 元或 元
【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的最值，一元二次方程的应用．
（1）由题意知，降价后的价格为 元，销量为 件，依题意得， ，整
理求解即可；
（2）由题意知， ，根据二次函数的性质进行求解，然后作答即可；
（3）由题意知，当 时， ，计算求出满足要求的解即可．【详解】（1）解：由题意知，降价后的价格为 元，销量为 件，
依题意得， ，
∴y与x之间的函数关系式为 ；
（2）解：由题意知， ，
∵ ，
∴当 时，y有最大值 ，
∴ （元），
∴当每件降价15元时，商场平均每天盈利最多，此时，与降价前比较，每天销售这种商品可多获利 元；
（3）解：由题意知，当 时， ，
解得 ， ，
∴商场每天平均需盈利 元，每件衬衫应降价 元或 元．
1．（25-26九年级上·天津·阶段练习）下列变量间具有二次函数关系的是（ ）
A．正方形的周长y与边长x
B．正方形的面积S与边长x
C．三角形的高一定时，面积y与底边长x
D．速度一定时，路程s与时间t
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的定义．
根据二次函数的定义（形如 ，其中 ），逐一分析各选项变量间的关系式，判断是否为
二次函数即可．
【详解】解：A．正方形的周长 与边长 的关系为 ，是一次函数，不符合题意；B．正方形的面积 与边长 的关系为 ，符合二次函数形式，符合题意；
C．三角形的高一定时，面积 与底边 的关系为 （ 为定值），是一次函数，不符合题意；
D．速度一定时，路程 与时间 的关系为 （ 为定值），是一次函数，不符合题意；
故选：B．
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）下列各点中，在二次函数 图象上的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把选项坐标代入二次函数验证即可．
【详解】A． ，选项错误，不符合题意；
B． ，选项正确，符合题意；
C． ，选项错误，不符合题意；
D． ，选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了二次函数，解题的关键是把选项坐标代入二次函数验证．
3．（25-26九年级上·山东临沂·阶段练习）已知关于x的二次函数 ，则m的值
是（ ）
A． B．1 C． D．0
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如 ，a、b、c是常数的函数叫
做二次函数．
根据二次函数的定义求解即可．
【详解】解：∵ 是关于x的二次函数，
∴ 且 ，解得： ．故选：B．
4．（25-26九年级上·金山南通·阶段练习）某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长
），墙对面有一个 宽的门，另外三边用木栏围成，木栏长 ，若鸡场的宽为 ，养鸡场面积为
，则S与x之间的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是列二次函数关系式，根据长方形的面积公式列出函数关系式即可.
【详解】解：设鸡场的宽为 ．
由题意可得： ，
∴ .
故选：B
5．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）如图①，在矩形 中，当直角三角板 的直角顶点P在 上移
动时，直角边 始终经过点A，设直角三角板的另一直角边 与 相交于点Q．在运动过程中线段
的长度为x，线段 的长为y，y与x之间的函数关系如图②所示．则 的长为( )
A． B．3 C．4 D．6
【答案】C【分析】根据条件先推出 ，设 ， ，利用对应边成比例列出函数关系式，结合抛
物线对称轴即可求出 ，将顶点坐标代入解析式，从而求出 的长．
【详解】解： ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
设 ， ，则 ，
，
整理得 ，
对称轴为 ，则 ， ，
即 ，将点 代入得 ，
解得 ，
故选 C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定、求二次函数解析式，采用数形结合列出函数关系是解题关
键．
6．（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）已知 是 关于 的二次函数，则
．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握定义，正确求出 的值．根据二次函数的定义，得出 即可求出 的值．
【详解】解：∵ 是 关于 的二次函数，
∴
解得 ，
故答案为： ．
7．（25-26九年级上·宁夏吴忠·阶段练习）以 为自变量的函数：① ；② ；③
；④ ，是二次函数的有 ．
【答案】①②③
【分析】本题考查了二次函数的定义，熟记概念是解题的关键．
根据二次函数的定义进行判断．
【详解】解：① ，符合二次函数的定义，故①是二次函数；
② ，符合二次函数的定义，故②是二次函数；
③ ，符合二次函数的定义，故③是二次函数；
④ ，不符合二次函数的定义，故④不是二次函数．
所以，是二次函数的有①②③，
故答案为①②③．
8．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知长方形的边长分别为 、 ，如果将它的长和宽都
缩短 后，那么它减少的面积y关于x的函数解析式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是正确表示出长方形的面积．先表示出
边长缩短后的长方形的长和宽，计算出边长缩短后的长方形的面积，再计算出原长方形的面积，作差即可
得到答案．【详解】解：根据题意得：长和宽缩短后的长方形的长为： ，宽为 ，
边长缩短后的长方形的面积为：
，
原长方形的面积为： ，
它减少的面积 为： ，
它减少的面积 关于 的函数解析式为 ，
故答案为： ．
9．（25-26九年级上·金山南通·阶段练习）已知函数 的图像是抛物线，则k的值为
．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据题意得 且 ，即可求出 ．
【详解】解：由题意得 且 ，
∴ ．
故答案为：
10．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）二次函数 的图象如图所示，下列结论：① ；
② ；③一元二次方程 有两个不相等的实数根；④当 或 时，
．上述结论中正确的是 ．（填上所有正确结论的序号）
【答案】②③④．
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：由图可知，对称轴 ，与 轴的一个交点为 ，
∴ ，与 轴另一个交点 ，
①∵ ，
∴ ；
∴①错误；
②当 时， ，
∴ ；
②正确；
③一元二次方程 可以看作函数 与 的交点，
由图象可知函数 与 有两个不同的交点，
∴一元二次方程 有两个不相等的实数根；
∴③正确；
④由图象可知， 时， 或
∴④正确；
故答案为②③④．
【点睛】本题考查二次函数图像，解题关键在于根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行判断选项.
11．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）已知函数 （ 为常数），求当 为何值时，
是 的二次函数？
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的定义，熟记概念是解题的关键．根据二次函数的定义，最高指数是2且二
次项系数不能等于0列式求解．
【详解】解：因为 是 的二次函数，
所以 且 ，
由 得 ，
解得 ，
又 ，即 ，
所以 ．12．（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、
一次项系数和常数项．
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ，二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1
(2) ，二次项系数为 ，一次项系数为1，常数项为
【分析】本题考查了二次函数的一般形式，即可得到答案．
（1）将 化为 ，即可求解；
（2）将 化为 ，即可求解.
【详解】（1）解： ，
二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1；
（2） ，
二次项系数为 ，一次项系数为1，常数项为 .
13．（24-25九年级上·全国·阶段练习）已知正方体的棱长为 ，它的表面积为 ，体积为
(1)分别写出 与 、 与 之间的函数表达式；
(2)这两个函数中，哪一个是关于 的二次函数？
【答案】(1) ，
(2) 是关于 的二次函数
【分析】此题主要考查了正方体的表面积和体积公式以及二次函数的定义，正确记忆二次函数的定义是解
题关键．
（1）直接利用正方体的表面积和体积公式分别求出即可；
（2）利用二次函数的定义得出答案．
【详解】（1）解： 正方体的棱长为 ，它的表面积为 ，体积为， ；
（2）解：依题意， 是关于 的二次函数．
14．（25-26九年级上·广东·阶段练习）某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出
300件，现需降价处理，且经市场调查，每降价1元，每星期可多卖出20件，在确保盈利的前提下，设每
件降价x（x为整数）元，每星期售出商品的利润为y元，解答下列问题：
(1)请写出x与y之间的函数关系式；
(2)当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
小明解答过程如下：
解：（1）根据题意，可列出表达式：
．
即 ．
（2）∵ ，
∴当 时，y有最大值， ．
所以，当降价2．5元时，每星期的利润最大，最大利润为6125．
老师看了小明的解题过程，说小明第（1）问的表达式是正确的，但自变量x的取值范围不准确．（2）问
的答案，也都存在问题．请你就老师说的问题，进行探究，写出你认为（1）（2）中正确的答案，或说明
错误原因．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的性质、二次函数的应用等知识点，掌握二次函
数的性质是解题的关键．
（1）根据题意列出函数解析式并确定自变量的取值范围即可；
（2）根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，可列出表达式：
．即 ．
∵降价要确保盈利，
∴ ．即： ．
∴ ．（2）解：∵ ，
∴ ，对称轴为 ，
∵x为整数，
∴当 或3时，y有最大值， 元．
所以，当降价2或3元时，每星期的利润最大，最大利润为6120．
15．（2025九年级上·全国·专题练习）如图所示，一个矩形的长为 ，宽为 ，如果将这个矩形的长
与宽都增加 ，那么这个矩形的面积增加
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)这个函数是二次函数吗？为什么？
(3)求自变量的取值范围．
【答案】(1)
(2)是二次函数；理由见解析
(3)
【分析】本题考查的是二次函数的应用，以及二次函数的定义，熟知一般地，形如 （a、
b、c是常数， ）的函数，叫做二次函数是解题的关键．
（1）根据题意，算出原来矩形的面积，再算边长增加后的面积，然后列出y与x的函数关系式；
（2）结合（1）得到的函数关系式，根据所学过的函数表达式即可判断；
（3）因为边长的增加量是非负数，即可写出x的取值范围．
【详解】（1）解：∵矩形的长为 ，宽为 ，
∴矩形的面积 ．
∵矩形的长与宽都增加 ，∴增加后矩形的面积 ，
∴ ，即 ，
故y与x之间的函数关系式为 ．
（2）解：∵一般地，形如 （a、b、c是常数， ）的函数，叫做二次函数，
∴ 是二次函数；
（3）解：∵x为矩形增加的长与宽，
∴自变量x的取值范围为 ．
