文档内容
专题 01 二次函数重难点题型专训
（3个知识点+5大题型+3大拓展训练+自我检测）
题型一 二次函数的定义
题型二 列二次函数关系式
题型三 由二次函数的定义求参数的值
题型四 根据二次函数的定义求参数的取值
题型五 二次函数的一般形式
拓展训练一 二次函数关系式——销售问题
拓展训练二 二次函数关系式——几何图形
拓展训练三 二次函数关系式——增长率、循环等其他问题
知识点一：函数回顾
（1）函数的概念：在某个变化过程中有两个量x和y，如果在x的允许范围内，变量y随x的变化而变
化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫自变量，y叫做因变量．
k
（2）正比例函数：一般地，形如 的函数叫做正比例函数，其中 叫做比例系数．
（3）一次函数：形如 ，其中 、 为常数，且 ．
特殊情况：当 时， 称为常值函数；
当 时， 称为正比例函数．
【即时训练】
1．（24-25九年级上·辽宁·期末）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）给出下列函数：① ；② ；③ ；
④ ．其中是二次函数的有 ．知识点二：二次函数的定义
y=ax2 +bx+c(a,b,c a≠0) y x
二次函数的定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数.它的
定义域为一切实数．
【即时训练】
1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）下列y与x之间的函数表达式是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·山东·课后作业）一般地，形如 的函数是二次函数．
知识点三：二次函数注意问题
（1）a、b、c三个系数中，必须保证 ，否则就不是二次函数了；而b、c两数可以为0，如特殊形
式： 等．
（2）由于二次函数的解析式是整式的形式，所以自变量 的取值范围是任意实数．
【即时训练】
1．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）把二次函数 变成一般形式后，其二次项系
数和一次项系数分别为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
2．（24-25九年级·全国·阶段练习）二次函数的一般形式为 （其中 ， ， ， 为常
数）． ( )
【经典例题一 二次函数的定义】【例1】（24-25九年级上·山东济南·期末）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
1．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）下列函数中，一定是关于 的二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25九年级·全国·单元测试） 中 ， ， .
3．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·开学考试）如图，5个图形都是由小圆点按照某种规律排列而成的，
依据上述规律，第 个图形中点的个数 与 的关系式是 ，它是 函数．
4．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期中）关于x的函数 ，甲说：“此函数不一定
是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”谁的说法正确？为什么？
【经典例题二 列二次函数关系式】
【例2】（24-25九年级上·河北衡水·期中）国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分
率为x，该药品原价为18元，降价后的价格为y元，则y关于x的函数表达式为 （ ）
A．y＝36(1-x) B．y＝36(1+x) C．y＝18(1-x)2 D．y＝18(1+x)1．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，矩形 的面积为 ，点 在 边上，点 在
边上，四边形 是正方形，记线段 的长为 的长为 ，正方形 的面积为
．当 在一定范围内变化时， 随 的变化而变化，则 与 满足的函数关系分别是
（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，一次函数关系
C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系
2．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次
数为m，则m关于n的函数解析式为 ．
3．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由
这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，则第n个叠放的图形中，小正方体木块总
数m与n的解析式是 ．
4．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千
克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每
天能多售出10千克．设降价x元．
(1)降价后平均每天可以销售荔枝 千克（用含x的代数式表示）．
(2)设销售利润为y，请写出y关于x的函数关系式．(3)该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少
元/千克？
【经典例题三 由二次函数的定义求参数的值】
【例3】（25-26九年级上·山东滨州·阶段练习）如果函数 是二次函数，则 的值是
（ ）
A． B． C． D．
1．（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）若函数 是二次函数，则m的值为（ ）
A． B． C． D． 或
2．（25-26九年级上·湖北十堰·阶段练习）已知函数 是关于x的二次函数，则k的值
为 ．
3．（2025九年级上·全国·专题练习）若二次函数 有最小值，则 的值是 ．
4．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）若二次函数 的开口向下，求 的值．
【经典例题四 根据二次函数的定义求参数的取值】
【例4】（24-25九年级上·广东广州·期中）已知关于x的函数y=（m﹣1）xm+（3m+2）x+1是二次函数，
则此解析式的一次项系数是（ ）
A．﹣1 B．8 C．﹣2 D．11．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如果函数y=(k-3) +kx+1是二次函数,那么k= ．
A．– 3 B．3 C．0 D．3或0
2．（24-25九年级上·山东济南·期末）点 是二次函数 图像上一点，则 的值为
3．（24-25九年级上·浙江温州·期末）一个小球从水平面开始竖直向上发射，小球的高度h（m）关于运动
时间t（s）的函数表达式为 ，其图象如图所示．若小球在发射后第2 s与第6 s时的高度相等，
则小球从发射到回到水平面共需时间 （s）．
4．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知关于x的函数 ．
当m为何值时，y是x的二次函数；
当m为何值时，y是x的一次函数；
【经典例题五 二次函数的一般形式】
【例5】（25-26九年级上·安徽·阶段练习）把二次函数 化为一般形式，一次项系数为
（ ）
A． B． C． D．1．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）将二次函数 化为一般形式后，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25九年级上·广东汕尾·阶段练习）把y＝(3x-2)(x＋3)化成一般形式后，一次项系数与常数项的和
为 ．
3．（2025九年级上·全国·专题练习）二次函数的定义：一般地，形如 （a、b、c是常数，
）的函数，叫作 ．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是 ，b是
，c是 ． （a、b、c是常数， ）也叫作二次函数的一般形式．判断函数是
否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次
函数的定义作出判断，要抓住二次项系数 这个关键条件．
4．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知二次函数 ．
(1)将该函数表达式化为二次函数的一般形式；
(2)写出该二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．
【拓展训练一 二次函数关系式——销售问题】
1．（25-26九年级上·新疆和田·阶段练习）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40
元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元，求：
(1)写出衬衫降价x元与盈利y元得函数关系式．
(2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
2．（24-25九年级上·内蒙古兴安盟·阶段练习）某食品零售店为食品厂代销一种馒头，未售出的馒头可退
回厂家，经统计销售情况发现，当这种馒头的单价定为7角时，每天卖出160个，在此基础上，这种馒头
的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个．考虑了所有因素后，该零售店每个馒头的成本是5
角．设这种馒头的单价为 角，零售店每天销售这种馒头所获得的利润为 角．
(1)求 与 之间的函数表达式；
(2)当馒头单价定为多少角时，该零售店每天销售这种馒头获得的利润最大？最大利润为多少？
3．（2025·金山南通·模拟预测）某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价
x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
2
每件的售价x/元 … 25 31 …
8
1
日销售量y/件 … 15 9 …
2
(1)求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2)当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价．
【拓展训练二 二次函数关系式——几何图形】
1．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有
两道篱笆的长方形花圃，若墙的最大可用长度为8米，设花圃的宽 为x米，面积为S平方米．
(1)写出S与x的函数关系式，并化为一般形式；
(2)求自变量的取值范围；(3)当这个花圃的面积为20平方米时，求x的值．
2．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图所示，在直角梯形 中，
， ．动点 从点 出发，沿射线 的方向以每秒2个单位长
度的速度运动，动点 同时从点 出发，在线段 上以每秒1个单位长度的速度向点 运动，当点 到
达端点 时，另一个动点 也随之停止运动．设运动的时间为 （秒）．
(1)设 的面积为 ，求 与 之间的关系式；
(2)当 为何值时，以点 为顶点的四边形是平行四边形？
(3)分别求出当 为何值时，① ；② ．
3．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）【问题提出】（1）如图1，正方形 的边长为6，点 、
分别在边 、 上（点 不与 、 重合，点 与 、 重合），且 ，点 为 边的中
点，分别连接 、 ， ，五边形 的面积为 ，求 与 之间的函数解析式；
【问题解决】（2）如图2，在菱形 中， ， ，点 是菱形 内一点，连接
、 、 ， ，点 、 分别在边 、 上，连接 、 ， ，设 的长为
，四边形 的面积为 ．
①求 与 之间的函数解析式；
②当 最小时，求四边形 的面积．【拓展训练三 二次函数关系式——增长率、循环等其他问题】
1．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）某商场销售某种商品的进价为70元/件，当售价为150元/件时，每周可以
售出200件，每件售价每上涨5元，则每周会少售出10件，若设每周销售利润为w元，每件商品的售价为
x元/件：
(1)求w与x之间的函数关系式；
(2)该商场响应“学习雷锋精神”的号召，决定每售出一件该款商品捐款30元，若该款商品的售价不超过
180元/价，请问商场捐款之后能否保证每周销售利润随售价增加而增加？并说明理由．
2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，矩形绿地的长、宽各增加 ，写出扩充后的绿地的面积y与
x的关系式．
3．（24-25九年级上·山东东营·期中）某商场销售一批名牌衬衫，每件成本 元，当每件售价 元时，每
天可售出 件．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，若每件降价1元，
商场平均每天可多销售2件．
(1)若现在设每件衬衫降价x元，平均每天盈利为y元．求出y与x之间的函数关系式．(2)当每件降价多少元时，商场平均每天盈利最多？此时，与降价前比较，每天销售这种商品可多获利多少
元？
(3)若商场每天平均需盈利 元，每件衬衫应降价多少元．
1．（25-26九年级上·天津·阶段练习）下列变量间具有二次函数关系的是（ ）
A．正方形的周长y与边长x
B．正方形的面积S与边长x
C．三角形的高一定时，面积y与底边长x
D．速度一定时，路程s与时间t
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）下列各点中，在二次函数 图象上的点是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26九年级上·山东临沂·阶段练习）已知关于x的二次函数 ，则m的值
是（ ）
A． B．1 C． D．0
4．（25-26九年级上·金山南通·阶段练习）某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长
），墙对面有一个 宽的门，另外三边用木栏围成，木栏长 ，若鸡场的宽为 ，养鸡场面积为
，则S与x之间的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．5．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）如图①，在矩形 中，当直角三角板 的直角顶点P在 上移
动时，直角边 始终经过点A，设直角三角板的另一直角边 与 相交于点Q．在运动过程中线段
的长度为x，线段 的长为y，y与x之间的函数关系如图②所示．则 的长为( )
A． B．3 C．4 D．6
6．（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）已知 是 关于 的二次函数，则
．
7．（25-26九年级上·宁夏吴忠·阶段练习）以 为自变量的函数：① ；② ；③
；④ ，是二次函数的有 ．
8．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知长方形的边长分别为 、 ，如果将它的长和宽都
缩短 后，那么它减少的面积y关于x的函数解析式为 ．
9．（25-26九年级上·金山南通·阶段练习）已知函数 的图像是抛物线，则k的值为
．
10．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）二次函数 的图象如图所示，下列结论：① ；
② ；③一元二次方程 有两个不相等的实数根；④当 或 时，
．上述结论中正确的是 ．（填上所有正确结论的序号）11．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）已知函数 （ 为常数），求当 为何值时，
是 的二次函数？
12．（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、
一次项系数和常数项．
(1) ；
(2) ．
13．（24-25九年级上·全国·阶段练习）已知正方体的棱长为 ，它的表面积为 ，体积为
(1)分别写出 与 、 与 之间的函数表达式；
(2)这两个函数中，哪一个是关于 的二次函数？
14．（25-26九年级上·广东·阶段练习）某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出
300件，现需降价处理，且经市场调查，每降价1元，每星期可多卖出20件，在确保盈利的前提下，设每
件降价x（x为整数）元，每星期售出商品的利润为y元，解答下列问题：
(1)请写出x与y之间的函数关系式；
(2)当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
小明解答过程如下：
解：（1）根据题意，可列出表达式：
．即 ．
（2）∵ ，
∴当 时，y有最大值， ．
所以，当降价2．5元时，每星期的利润最大，最大利润为6125．
老师看了小明的解题过程，说小明第（1）问的表达式是正确的，但自变量x的取值范围不准确．（2）问
的答案，也都存在问题．请你就老师说的问题，进行探究，写出你认为（1）（2）中正确的答案，或说明
错误原因．
15．（2025九年级上·全国·专题练习）如图所示，一个矩形的长为 ，宽为 ，如果将这个矩形的长
与宽都增加 ，那么这个矩形的面积增加
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)这个函数是二次函数吗？为什么？
(3)求自变量的取值范围．
