专题 01 动圆问题探究（40 题）（举一反三专项训练）
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共40题，涉及函数与动圆问题、三角形与动圆问题、四边形与动圆问题. 题型针对性较
高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对动圆问题探究的理解！
【题型1 函数与动圆问题】
3
1．（2025·广东韶关·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y= x+6的图象与x轴、y轴分别交于
4
A、B两点，点P在线段OA上，⊙P与x轴交于M、O两点，⊙P当与该一次函数的图象相切时，AM的
长度是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．2
6
2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，⊙P的半径为2，圆心P在函数y= (x>0)的图象
x
上运动，当⊙P与坐标轴相切时，点P的坐标为 ．
❑√3
3．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，一次函数y=− x+2❑√3的图像与x轴交于点A，与y
3
轴交于点B，以M(1,0)为圆心的⊙M与y轴相切，点M以每秒2个单位的速度从(1,0)向x轴正方向运动，1
同时⊙M的半径以每秒 个单位的速度扩大，当M运动了 秒时，⊙M与直线AB只有一个公
2
共点．
4．已知⊙O是以坐标原点为圆心，半径为1，函数y=x与⊙O交于点A，点P（x，0）在x轴上运动，过点
P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，则x的范围是 ．
❑√3
5．如图，点P在函数y= (x>0)的图象上运动，O为坐标原点，点A为PO的中点，以点P为圆心，PA
x
为半径作⊙P，则当⊙P与坐标轴相切时，点P的坐标为 ．
6．如图所示，一次函数y=x−3的图象与x轴、y轴分别交于点M，N，⊙O的半径为1，将⊙O以每秒1
个单位的速度沿x轴向右作平移运动，当移动 秒时，直线MN恰好与⊙O相切．
7．如图，点A在第一象限上运动，始终保持∠AOB=90°，点B(2m,0)在x轴正半轴上，点C(0,−m)
在y轴的负半轴上，则CA的最大值为 （用含m的式子表示）．16
8．如图,已知一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y=− 的图像交于点D(2,m),且与x轴交于点B,第
x
16
二象限内点A在反比例函数y=− 的图像上,且以点A为圆心的圆与x,y轴分别相切于点B,C,则一次函数
x
解析式为 ．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x−2与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为1的⊙P的圆心P从
点A(4,m)（点A在直线y=x−2上）出发以每秒❑√2个单位长度的速度沿射线AC运动，设点P运动的时
间为t秒，则当t= 时，⊙P与坐标轴相切．
10．（2025·江苏常州·一模）在平面直角坐标系xOy中，点T的坐标为(0,−1)，点P、Q是平面中的任意两
个点，连接PT、QT、PQ得到△PQT，如果△PQT是等腰直角三角形，且∠PTQ=90°，那么我们称
点P、Q关于点T关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．(1)已知点P(1,0)，在点B(−1,0)、C(−1,−1)、D(1,−2)中，点P的关联点是______（填字母）；
(2)点P、Q分别在一次函数y=−2x+1、y=x+1的图像上运动，若点P、Q关于点T关联，求点Q的坐
标．
(3)已知点M的坐标为(t,0)，以点M为圆心，1为半径作⊙M，若存在⊙M上的点P和直线y=x+1上的
点Q关于点T关联，请直接写出t的取值范围．
【题型2 四边形与动圆问题】
1．如图，∠MON=45°，点A、B分别在射线OM、射线ON上运动，四边形ABCD是矩形，且AB=2
，AD=1，则OD的最大值为（ ）
A．❑√2+❑√5 B．2❑√2+1 C．❑√2+❑√3 D．无最大值
2．如图，四边形ABCD是正方形，动点E、F分别从D、C两点同时出 发，以相同的速度分别在边DC、CB
上移动，当点E运动到点C时都停止运动，DF与AE相交于点P，若AD=8，则点P运动的路径长为
（ ）
A．8❑√2 B．4❑√2 C．4π D．2π
3．（2025·河南南阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1,0),B(2,0)，以点O为圆心，OA的长为半径作圆，C是⊙O上一动点，连接BC，以点B为旋转中心，将BC顺时针旋转90°得BD，连接CD．
π
若点C从点A出发，按照逆时针方向以每秒 个单位长度运动，则第33秒时，点D的坐标是（ ）
2
A．(2,4) B．(3,2) C．(1,2) D．(2,1)
4．（2025九年级下·江苏南京·专题练习）如图，在平面直角坐标系中， A(2,0),B(−1,0)，以点A为圆
心，OA长为半径作圆，交x轴正半轴于点C，点D为⊙A上一动点，连接BD，以BD为边，在直线BD
π
的上方作正方形BDEF，若点D从点O出发，按顺时针方向以每秒 个单位长度的速度在⊙A上运动，
2
则第2022秒结束时，点F的坐标为（ ）
(3 ) (3 )
A．(1,3) B．(1,❑√3) C． ,3 D． ,❑√3
2 2
5．如图，⊙O 的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O 为正方形ABCD的中心，O O 垂直AB于P点，
1 2 1 2
O O ＝8．若将⊙O 绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O 与正方形ABCD的边只有一个公共
1 2 1 1
点的情况一共出现（ ）A．3次 B．5次 C．6次 D．7次
6．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在正方形ABCD中，AB=4，点E，F分别在CD，AD上，
CE=DF，BE，CF相交于点G，连结DG．当点E从点C运动到点D的过程中，DG的最小值为
．
7．（2025·江苏宿迁·一模）如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=8，点E在边AB上运动，以AE为直
径作圆与DE交于点F，连接BF，则线段BF的最小值为 ．
8．（2025·河南南阳·二模）在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，动点P在BC上运动（点P不与B，C点
重合），点E在线段AP上，且∠ADE=∠BAP．
（1）连结BE，则BE的最小值是 ；（2）当∠PBE最小时，BP的长为 ．
9．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）已知正方形ABCD边长为2，点E是正方形AB边上的动点，点F在
边BC上，且BF=AE，线段AF、DE相交于点M，连接CM，则点E从点A运动到点B的过程中，线段
FM扫过的面积是 ．
10．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，∠MON=45°，点A、B分别在射线OM、射线ON上
运动，四边形ABCD是矩形，且AB=2，AD=1，则OD的最大值为 ．
11．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图， 四边形ABCD为矩形，AB=12，BC=8，点E在边DC
上，从点D运动到点C，运动速度为每秒2个单位，点F从点A开始沿射线AD方向运动，运动速度为每
秒3个单位，当点E停止时，点F也随之停止．连接AE和BF交于点G，直线CG交直线AD于点 M，则
DM的最小值为 ．
12．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=12，AD=10，AD<BC，点E在线段
BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF=∠BAE，则线段BF的最小值为 ．13．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠BCD=90°，AD=2，CD=3，AD<BC点N在线段BC上
运动，点M在线段DN上，∠DAM=∠CDN，则线段CM的最小值为 ．
14．如图，已知四边形ABCD是矩形，AB=8，AD=12，点E是线段DC上一个动点，分别以DE、EC
为边向线段DC的下方作正方形DEFG、正方形CEHI，连接GI，过点B作直线GI的垂线，垂足是J，连
接AJ，求点E运动过程中，线段AJ的最大值是 ．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是BC的中点，点F在AD上运动，沿直线EF折叠四
边形CDFE，得到四边形GHFE，其中点C落在点G处，连接AG，AH，则AG的最小值是 ．
16．如图，点A在以BC为直径的半圆上，BC=8，∠ACB=30°，点D在线段BC上运动，点E与点D关于AB对称，点F与点D关于AC对称，点G与点D关于点A对称．连接DE、EG、GF、FD、EF、
GD，则：
（1）当四边形DEGF是正方形时，BD= ；
（2）当△GEF的一边EG与⊙O相切时，BD的长为 ．
17．如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且
AB=7，EF=10，BC＞5．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形ABCD
随之运动，运动时间为t秒．
(1)如图②，当t=2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；
(2)在点B运动的过程中，当AD、BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接OG、OH，若
∠GOH为直角，求此时t的值．
(3)当矩形ABCD为正方形时，连接AC，在点B运动的过程中，若直线AC与半圆只有一个交点，则t的取
值范围是 ．
18．在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿AB边以1cm/s的速度向点B移动（点
P可以与点A重合），同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动（点Q可以与点B重
合），其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．(1)如图1，几秒后，△BPQ的面积等于8cm2？
(2)如图2，在运动过程中，若以P为圆心、PA为半径的⊙P与BD相切，求t值；
(3)若以Q为圆心，PQ为半径作⊙Q．如图3，若⊙Q与四边形CDPQ的边有三个公共点，则t的取值范围
为 ．（直接写出结果，不需说理）
【题型3 三角形与动圆问题】
1．如图，一个半径为r的圆形纸片在边长为a(a⩾2❑√3r)的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形
内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（ ）
(3❑√3−π) π
A．(3❑√3−π)r2 B． r2 C． r2 D．πr2
3 3
2．如图，在等边三角形ABC中，AB=3，点P为BC边上一动点，连接AP，在AP左侧构造三角形OAP
，使得∠AOP=120°，OA=OP．当点P由点B运动到点C的过程中，点O的运动路径长为（ ）
4❑√3 4❑√3
A． B．❑√3 C． π D．❑√3π
3 9
3．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=2，点P在以斜边AB
为直径的半圆上，M为PC的中点，则点P沿半圆由点A运动至点B的过程中，线段BM的最小值为（ ）❑√10+❑√2 ❑√10−❑√2
A．❑√2+1 B．❑√2−1 C． D．
2 2
4．（24-25九年级下·安徽安庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1,0)，B(1−a，0)，
C(1+a，0)(a>0)，点P在以D(3,4)为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的
最大值是 ．
5．（24-25九年级上·广东中山·期末）如图， 在平面直角坐标系中， 已知点A(1−m,0)，B(1+m,0)，
D(1,0)，点C在以E(5,3)为圆心， 1为半径的⊙E上运动， 且始终满足∠ACB=90°， 则m的取值范
围是 ．
6．如图，点A在第一象限上运动，始终保持∠AOB=90°，点B(2m,0)在x轴正半轴上，点C(0,−m)
在y轴的负半轴上，则CA的最大值为 （用含m的式子表示）．7．（2025·安徽淮北·一模）如图，在△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=45°，AB=2，点P从点A出
发沿AB方向运动，到点B时停止运动，连接CP，点A关于直线CP的对称点A ，连接A C，A P．
1 1 1
（1）线段A C的长为 ；
1
（2）在运动的过程中，点A 到直线AB距离的最大值是 ．
1
8．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，点D为
边AB上一动点，连接CD，以CD为斜边在CD右侧作Rt△CED，∠CED=90°，∠CDE=30°，连接
BE，随着点D的运动，BE的最小值为 ．
9．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在等腰Rt△ABC中，斜边AB=8cm，点P在以AC为直
径的半圆上，M为PB的中点，当点P沿半圆从点A运动至点C时，点M运动的路径长是 cm．
10．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2−m,0)、B(2+m,0)、
D(2,0)，点C在以E(10,6)为圆心，2为半径的⊙E上运动，且始终满足∠ACB=90°，则m的取值范围
是 ．11．（2025·山东·二模）如图，点A是⊙B上一个动点，点C在⊙B外一个定点，已知
AB=1cm，BC=2cm，△ACD是等边三角形．当点A在⊙B上运动时，点D的位置也跟着发生改变，
则△DBC的最小面积为 ．
12．（2025·河南信阳·三模）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，点D，E分别
为AC，BC的中点．如图2，将△CDE绕点C顺时针旋转，设旋转角为α(0°≤α≤180°)，记直线AD与
直线BE的交点为点P，BP交AC于点O，则在运动过程中，点P到直线BC距离的最大值为 ；点P
运动的长度为 ．
