文档内容
专题 01 垂径定理
目录
A题型建模・专项突破
题型一、利用垂径定理求线段长问题..................................................................................................................1
题型二、利用垂径定理求平行弦问题..................................................................................................................4
题型三、利用垂径定理求同心圆问题..................................................................................................................7
题型四、利用垂径定理解实际应用问题..............................................................................................................9
B综合攻坚・能力跃升
题型一、利用垂径定理求线段长问题
1．如图， 是 的直径，弦 于点 ，连接 ，若 ， ，则 的长为
．
∵ 为直径，且 ， ，
∴ ，
在 中， ，根据勾股定理得：
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
2．如图，将 的一部分沿着弦 翻折，劣弧恰好经过圆心 ， ，则 的半径为3．如图， 是圆 的弦，直径 ，垂足为 ，若 ， ，则 的长为 ．
4．如图，将直角三角板 角的顶点 放在 上，斜边 与 交于点 ，若 恰好是 的中点，
，则点 到 的距离是 ．
题型二、利用垂径定理求平行弦问题
5.一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．小明同学所在的学习
小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四
点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为 ， ， ．请你根据上述数据计算纸杯的直径
是 ．
6.已知： 的半径为 ， ， 是 的两条弦， ， ， ，求 和
之间的距离．
7.已知：如图，CD是 的直径， 、AB、BD是 的弦， ．(1)求证： ；
(2)如果弦AB长为8，它与劣弧 组成的弓形高为2，求CD的长．
题型三、利用垂径定理求同心圆问题
8.如图，在两个同心圆 中，大圆的弦AB与小圆相交于C，D两点．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，大圆的半径 ，求小圆的半径r的值．
9.如图，在两个同心圆 中，大圆的弦 与小圆相交于C，D两点．
(1)求证： ．
(2)若 ，大圆的半径 ，求小圆的半径r．
题型四、利用垂径定理解实际应用问题
10．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，
以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图， 为 的直径，弦
于E， 寸， 寸，求直径 的长”．（1尺 寸）则 ．
11．石拱桥采用圆弧形的设计，不仅赋予了石拱桥独特的美学魅力，而且展现了我国古代工匠对力学原理的深刻理解和应用．如图，石拱桥桥拱的半径 ，拱高 ，则石拱桥的跨度 m．
12．如图①，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．
图②是这一款拱门的示意图，已知拱门所在圆的半径为 ，拱门最下端 ．
(1)求拱门最高点到地面的距离；
(2)现需要给房间内搬进一个直径为 的圆桌面（桌面的厚度忽略不计），已知搬桌面的两名工人在搬运
时所抬高度相同（桌面与地面平行），通过计算说明工人将桌面抬高多少（即桌面与地面的距离）就可以
使该圆桌面通过拱门．
13．如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以 为直径的半圆O， ， 为水
面截线， ， 为桌面截线， ．
(1)作 于点C，求 的长；
(2)将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了 ，求此时水面截线减少了多少？一、单选题
1．如图， 的半径为 ， 于点 ， ，则弦 （ ）
A． B． C． D．
2．如图， 是 的直径，弦 于 ，若 ， ，则 的半径长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在 中， 、 为 的两条弦， ， ，垂足为 、 ，连接 ，若
，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
4．日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知
， ，垂足为点 ， ，垂足为点 ， ， 的半径 ，
则圆盘离桌面 最近的距离是（ ）A． B． C． D．
5． 是等腰三角形 的外接圆，圆心O到底边 的距离为 ， 的半径为 ，则腰 的长
为 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
二、填空题
6．如图，在 中，弦 的长为4， ，则 的度数为 ．
7． 的半径为 ，弦 ，则 与 之间的距离是 ．
8．如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦 和小圆交于C，D两
点，若 ，则小圆半径是 ．
9．如图， 是 的直径，弦 交 于点 ， ，点 是 的中点，且 ，则
．
10．日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图， 表示日晷
的晷面圆周，日晷底座的底边 在水平线l上， 为等边三角形， ， 与 分别交于P，Q
两点．点C，D是 上两点， ，过O作 于点E，交 于点F，交 于点M．已知
， ， ．（1） 的半径是 ；
（2）图中阴影部分的面积是 ．
三、解答题
11．如图，有一拱桥为圆弧形，跨度 ，拱高 ，当洪水泛滥时，跨度只有 时要采取
紧急措施．当测量人员测得水面 到拱顶距离只有 时，是否需要采取紧急措施？
12．如图，在 中，已知 是垂直平分半径 的弦．
(1)求 的度数；
(2)若弦 ，求 的半径．
13．如图，已知点 是两个同心圆的圆心，大圆的弦 与小圆交于点 、 ．
(1)求证： ；
(2)如果 ， ，大圆面积是小圆面积的 倍，求大圆半径的长．14．如图， 的直径 与弦 交于点 ， ， ．
(1)求 的长．
(2)当 时，求 的长．
15．图1是某城市一座造型独特的桥梁，该桥因索塔为圆形而被称为“戒指桥”，图2是该桥索塔示意图，
已知桥面在圆形索塔上的部分 ， 为 的中点， 为圆心，连接 ．
(1)求证： ；
(2)经测量， 到 的距离为 ，求该 的半径．
16．如图，是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径 是河底截线，弦 是水位线，
于点 ．
(1)当测得水面宽 时，求此时水位的高度 ；
(2)当水位的高度比（1）上升1m时，有一艘宽为10m，船舱顶部高出水面2m的货船要经过桥洞（船舱截
面为矩形 ），请通过计算判断该货船能否顺利通过桥洞？
17．如图， 是 的直径， 是 的两条弦，点C与点D在 的两侧，E是 上一点（
），连接 ，且 ．(1)如图1，若 ， ，求 的半径；
(2)如图2，若 ，求证： ．
18．素材：图1中有一座拱桥，图2是其圆弧形或抛物线形桥拱的示意图．某时测得水面宽 ，拱顶离
水面 ．据调查，该河段水位在此基础上再涨 达到最高．
解决问题：
(1)若桥拱形状是圆弧，该河段水位涨 达到最高时，有一艘货船它漏出水面高2.2米，船体宽9米，判
断它是否能顺利通行并说明理由；
(2)若拱桥是抛物线形，为迎佳节，拟在图3所示的桥拱上悬挂 长的灯笼．要求灯笼底部距离水面不
小于 ，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为 ．为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满
后成轴对称分布，则悬挂的灯笼数量是 个．
