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专题 01 夯实基础专训（第 21-24 章）
一．试题
1．（2025秋•秦淮区校级月考）下列方程属于一元二次方程的是（ ）
1
A．x2+3y＝0 B．4x+ =3 C．2y2＝3y+2 D．3x+4＝10
x
【答案】C
【解答】解：A．∵方程x2+3y＝0有2个未知数，
∴方程x2+3y＝0不是一元二次方程，选项A不符合题意；
1
B．∵方程4x+ =3不是整式方程，
x
1
∴方程4x+ =3不是一元二次方程，选项B不符合题意；
x
C．方程2y2＝3y+2是一元二次方程，选项C符合题意；
D．∵方程3x+4＝10的未知数的最高次数为1，
∴方程3x+4＝10不是一元二次方程，选项D不符合题意．
故选：C．
2．（2024 秋•巴南区期末）若方程（m+3）x|m+1|﹣4x+1＝0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为
（ ）
A．﹣3或1 B．1 C．±1 D．﹣3
【答案】B
【解答】解：若方程（m+3）x|m+1|﹣4x+1＝0是关于x的一元二次方程，
则|m+1|＝2，
解得m＝1或m＝﹣3，
∵m+3≠0，
∴m≠﹣3，
∴m＝1，
故选：B．
3．（2025春•鲤城区校级期末）将一元二次方程x2﹣2x＝6化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、
常数项分别是（ ）
A．1，2，6 B．1，﹣2，6 C．1，﹣2，﹣6 D．1，2，﹣6
【答案】C【解答】解：一元二次方程x2﹣2x＝6化为一般形式，得x2﹣2x﹣6＝0，
则二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，﹣2，﹣6，
故选：C．
4．（2025秋•新余校级月考）如果2是方程x2﹣cx+2＝0的一个根，那么c的值是（ ）
A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3
【答案】A
【解答】解：∵2是方程x2﹣cx+2＝0的一个根，
∴22﹣2c+2＝0，
解得c＝3，
故选：A．
5．（2025秋•碑林区校级月考）若方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c满足a﹣b+c＝0和16a+4b+c＝
0，则方程的根是（ ）
A．0，4 B．0，﹣4 C．﹣1，4 D．1，4
【答案】C
【解答】解：由条件可得：a﹣b+c＝0，
∴方程的一个解是x＝﹣1，
∵把x＝4代入得：16a+4b+c＝0，
∴方程的一个解是x＝4．
故选：C．
6．（2024秋•澄海区期末）若m是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的一个根，则代数式2020﹣2m2+8m的值为
（ ）
A．2016 B．2018 C．2022 D．2024
【答案】D
【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的一个根，
∴m2﹣4m+2＝0，
∴m2﹣4m＝﹣2，
∴2020﹣2m2+8m＝2020﹣2（m2﹣4m）＝2020+4＝2024．
故选：D．
7．（2025春•嘉兴校级期中）一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0配方后，结果正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝9 C．（x﹣4）2＝21 D．（x﹣4）2＝11
【答案】B【解答】解：原方程移项，得x2﹣4x＝5，
x2﹣4x+4＝9，
配方得（x﹣2）2＝9，
故选：B．
8．（2025秋•郑州校级月考）方程x2﹣2x﹣3＝0配方后可化成（x+m）2＝n的形式，则m+n的值为 3
．
【答案】3．
【解答】解：由题知，
x2﹣2x﹣3＝0，
x2﹣2x+1＝3+1，
（x﹣1）2＝4．
因为方程x2﹣2x﹣3＝0配方后可化成（x+m）2＝n的形式，
所以m＝﹣1，n＝4，
则m+n＝﹣1+4＝3．
故答案为：3．
9．（2025•驿城区模拟）若点（m，n）在第四象限，则关于x的一元二次方程x2﹣mx+n＝0的根的情况是
（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．无法判定
【答案】B
【解答】解：方程x2﹣mx+n＝0的判别式Δ＝（﹣m）2﹣4n，
∵点P（m，n）在第四象限，
∴m＞0，n＜0，
∴（﹣m）2＞0，
∴Δ＝（﹣m）2﹣4n＞0，
方程mx2+x+n＝0有两个不相等的实数根．
故选：B．
10．（2025•天山区校级模拟）关于x的一元二次方程kx2﹣4x+4＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1且k≠0 B．k≤1 C．k≤1且k≠0 D．k＜1【答案】C
【解答】解：由题意得k≠0且Δ＝（﹣4）2﹣16k≥0，
解得k≤1且k≠0．
故选：C．
11．（2025•韶关模拟）一元二次方程（x+1）2＝2（x+1）的解为（ ）
A．x＝2 B．x＝﹣1 C．x＝2或x＝﹣1 D．x＝1或x＝﹣1
【答案】D
【解答】解：（x+1）2＝2（x+1），
移项，得（x+1）2﹣2（x+1）＝0，
∴（x+1）（x+1﹣2）＝0．
∴（x+1）（x﹣1）＝0．
∴x+1＝0或x﹣1＝0．
∴x＝﹣1或x＝1．
故选：D．
12．（2025秋•古浪县校级月考）关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个根是x ，x ，则x +x ﹣x x 的
1 2 1 2 1 2
值为（ ）
A．8 B．﹣8 C．﹣2 D．2
【答案】A
-3 -5
【解答】解：由条件可知x +x =- =3，x x = =-5，
1 2 1 1 2 1
∴x +x ﹣x x ＝3﹣（﹣5）＝8，
1 2 1 2
故选：A．
13．（2025秋•九龙坡区校级月考）设a，b为方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，则a3+a2+3a+2023b的值
为（ ）
A．2024 B．﹣2024 C．2023 D．﹣2023
【答案】D
【解答】解：∵a，b为方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，
∴a2+a＝2020，a+b＝﹣1，
∴a3+a2+3a+2023b
＝（a2+a）a+3a+2023b
＝2020a+3a+2023b
＝2023（a+b）＝﹣2023，
故选：D．
1 1
14．（2025•山东校级二模）已知x 、x 是方程x2﹣6x﹣3＝0的两个实数根，则 + = （ ）
1 2 x x
1 2
1 1
A．﹣2 B．- C．2 D．
2 2
【答案】A
【解答】解：∵x 、x 是方程x2﹣6x﹣3＝0的两个实数根，
1 2
∴x +x ＝6，x x ＝﹣3，
1 2 1 2
1 1 x +x 6
∴ + = 1 2=- =-2，
x x x x 3
1 2 1 2
故选：A．
15．（2025春•嘉兴校级期中）某校八年级组织班级足球友谊赛，每个班级都要和其他班级比一场，共比
赛了21场．设参加这次比赛的有x个班级，根据题意，可列方程为（ ）
1
A．x（x+1）＝21 B． x(x+1)=21
2
1
C．x（x﹣1）＝21 D． x(x-1)=21
2
【答案】D
1
【解答】解：根据题意得： x（x﹣1）＝21．
2
故选：D．
16．（2025秋•长沙月考）近年来，我国人工智能核心产业规模快速增长．2023年某地区人工智能核心产
业规模为50亿元，2025年达到72亿元．设该地区这两年人工智能核心产业规模的年平均增长率为x，
根据题意可列方程为（ ）
A．50（1+x）＝72 B．50（1+x）2＝72
C．50（1+2x）＝72 D．50（1+x2）＝72
【答案】B
【解答】解：由题意可得：
50（1+x）2＝72．
故选：B．
17．（2024秋•桐柏县期末）如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的长为30米，宽为18米，种植面积为420平
方米，设修建的路宽为x米，根据题意可列方程为（ ）
A．（18﹣2x）（30﹣2x）＝420 B．（18﹣x）（30﹣x）＝420
C．（18﹣x）（30﹣2x）＝420 D．（18﹣2x）（30﹣x）＝420
【答案】C
【解答】解：∵该矩形基地的长为30米，宽为18米，种植面积为420平方米，设修建的路宽为x米，
∴（18﹣x）（30﹣2x）＝420，
故选：C．
18．（2025•甘孜州）对于抛物线y＝2（x﹣1）2+3，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的顶点坐标为（1，3）
C．抛物线的对称轴为直线x＝﹣1
D．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
【答案】B
【解答】解：由题知，
因为抛物线的解析式为y＝2（x﹣1）2+3，
所以抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，3），
则AC选项不符合题意，B选项符合题意；
因为当﹣3＜x＜1时，y随x的增大而减小，
所以D选项不符合题意．
故选：B．
19．（2025•湖北模拟）抛物线y＝ax2+bx+c的过点（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，且顶点在第二象限．
下列结论正确的是（ ）
A．a＜0 B．b＞0
C．4a﹣2b＞0 D．a+b+c＜4a+2b+c
【答案】Ab b
【解答】解：∵对称轴为x＝﹣1，根据公式x=- ，得：- =-1，即b＝2a．
2a 2a
将点（1，0）代入抛物线方程得：a+b+c＝0，
根据题意，令顶点坐标为（﹣1，k），其中k＝a（﹣1）2+b（﹣1）+c＝a﹣b+c，
∵顶点在第二象限，故k＞0，即：a﹣b+c＞0，
联立a+b+c＝0，消去c得：﹣2b＞0，则b＜0，故B错误；
结合b＝2a，得a＜0，故A正确；
∵b＝2a，
∴2b＝4a，
即4a﹣2b＝0，故选项C错误．
联立a+b+c＝0，消去b得：2a+2c＞0，则a+c＞0，
∵a＜0，则c＞0；
∵对称轴为x＝﹣1，与x轴一个交点为点（1，0），则与x轴另一个交点为点（﹣3，0），
令x＝1，则y＝a+b+c＝0，
令x＝2，则y＝4a+2b+c＜0，
故a+b+c＞4a+2b+c，故D错误．
故选：A．
20．（2025•晋中二模）若点A（﹣1，y ），B（2，y ），C（3，y ）都在二次函数y＝x2﹣4x﹣n的图象上，
1 3 3
则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 3 2 1 3 1 2 2 3 1
【答案】D
【解答】解：∵y＝x2﹣4x﹣n，
-4
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x=- =2，
2×1
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵|﹣1﹣2|＞|3﹣2|＞|2﹣2|，
∴y ＜y ＜y ；
2 3 1
故选：D．
21．（2024秋•滨海新区校级期末）如果将抛物线y＝x2﹣2平移，使平移后的抛物线与抛物线y＝（x﹣4）
2﹣7重合，那么它平移的过程可以是（ ）
A．向右平移4个单位，向上平移11个单位
B．向左平移4个单位，向上平移11个单位C．向左平移4个单位，向上平移5个单位
D．向右平移4个单位，向下平移5个单位
【答案】D
【解答】解：∵y＝x2﹣2的顶点坐标是（0，﹣2），y＝（x﹣4）2﹣7的顶点坐标是（4，﹣7），
∴顶点由（0，﹣2）到（4，﹣7）需要向右平移4个单位，向下平移5个单位，
故选：D．
22．（2025•沈阳三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx的图象可能是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不符合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不符合题意；
故选：B．
23．（2025秋•松滋市校级月考）如图，函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于A，B两点，其中点
A坐标为（1，0），顶点为点M（﹣1，4）．则下列说法正确的是（ ）
A．a＞0B．当x＝﹣1时，函数y有最小值4
C．当x＜﹣1时，函数y随自变量x增大而减小
D．点B的坐标为（﹣3，0）
【答案】D
【解答】解：A、由二次函数图象开口向下，所以a＜0，故不符合题意；
B、当x＝﹣1时，函数y有最大值4，故不符合题意；
C、当x＜﹣1时，函数y随自变量x增大而增大，故不符合题意；
D、二次函数图象与x轴关于对称轴对称，已知A（1，0），对称轴为x＝﹣1，设B点坐标为（x ，
0
1+x
0），根据对称轴公式 0=-1，可求出x ＝﹣3，即点B的坐标为（﹣3，0），故符合题意．
0
2
故选：D．
24．（2025•永寿县校级二模）如表给出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数y的一些对应值，
则下列说法正确的是（ ）
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣5 0 3 4 3 …
A．对称轴为直线x＝﹣1
B．当x＝3时，y＝﹣5
1
C．当x＜ 时，y随x的增大而增大
2
D．此函数有最小值4
【答案】C
0+2
【解答】解：由题意，结合表格数据可得抛物线的对称轴是直线x= =1，故A错误．
2
∵对称轴是直线x＝1，
∴当x＝3时的函数值与当x＝﹣1时的函数值相等．
∵当x＝﹣1时，y＝0，则当x＝3时，y＝0，故B错误．
结合表格数据可得，当x＜1时，y随x的增大而增大，
1
∴当x＜ 时，y随x的增大而增大，故C正确．
2
∵当x＜1时，y随x的增大而增大，且对称轴是直线x＝1，
∴抛物线开口向下．
∴当x＝1时，y取最大值，最大值为4，故D错误．故选：C．
25．（2025秋•朝阳区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列结论：①abc＞
0；②b2≥4ac；③9a+3b+c＞0；④2a+b＝0；⑤3a+c＜0．正确的结论是 ①④⑤ （填序号）．
【答案】①④⑤．
【解答】解：由于抛物线的开口向上，则a＞0，由于抛物线的对称轴在y轴右边，则a、b异号，所以
b＜0，由于抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，则c＜0，故abc＞0，故①正确；
由于抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，所以b2＞4ac，故②错误；
当x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，故③错误；
b
因为对称轴为x=- =1，则b＝﹣2a，所以2a+b＝0，故④正确；
2a
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，则a+2a+c＜0，即3a+c＜0，故⑤正确；
故答案为：①④⑤．
26．（2024秋•三门峡期末）二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值如下表所示，根据
表中数据判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的正数解x的取值范围可能是（ ）
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 … 3 4 …
y＝ … 3.25 1 ﹣0.75 … ﹣2 ﹣0.75 …
ax2+bx+c
A．﹣4＜x＜﹣3 B．﹣3＜x＜﹣2 C．3＜x＜4 D．4＜x＜5
【答案】D
【解答】解：由表格可发现y的值在﹣（+0.75）＝﹣0.75最接近0，
y＝0时，对应的x就是方程ax2+bx+c＝0的解，
∴据表中数据判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的正数解x的取值范围可能是4＜x＜5．
故选：D．
27．（2025秋•海安市月考）已知抛物线y＝（x﹣x ）（x﹣x ）+1（x ＜x ），抛物线与x轴交于（m，
1 2 1 2
0），（n，0）两点（m＜n），则m，n，x ，x 的大小关系是（ ）
1 2
A．m＜x ＜x ＜n B．m＜x ＜x ＜﹣n
1 2 1 2C．m＜x ＜n＜x D．x ＜m＜x ＜n
1 2 1 2
【答案】A
【解答】解：抛物线y＝（x﹣x ）（x﹣x ）+1（x ＜x ），抛物线与x轴交于（m，0），（n，0）两点，
1 2 1 2
设y′＝（x﹣x ）（x﹣x ），则x 、x 是函数y′和x轴的交点的横坐标，
1 2 1 2
而y＝（x﹣x ）（x﹣x ）+1＝y′+1，
1 2
即函数y′向上平移1个单位得到函数y，
∴m＜x ＜x ＜n，
1 2
故选：A．
28．（2024秋•南平期末）飞机着陆后滑行的距离s（m）关于滑行时间t（s）的函数解析式为s＝60t﹣
1.5t2，下列能反映这一变化过程的图象是（ ）
A．
B．C．
D．
【答案】C
【解答】解：飞机着陆后滑行的距离 s（m）关于滑行时间t（s）的函数解析式为s＝60t﹣1.5t2＝﹣1.5
（t﹣20）2+600，
∴函数图象是对称轴为x＝20，最值为600，开口方向向下的抛物线，
∵时间不可能为负，飞机着陆后滑行就回停止，
∴C选项符合题意．
故选：C．
29．（2025春•鼓楼区校级期末）将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商
品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列
关系式正确的是（ ）
A．y＝（x﹣35）（200﹣5x） B．y＝（x+40）（200﹣10x）
C．y＝（x+5）（200﹣5x） D．y＝（x+5）（200﹣10x）
【答案】C
【解答】解：根据题意可得：y＝（40+x﹣35）（200﹣5x）＝（x+5）（200﹣5x），
故选：C．
30．（2026•延安开学）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【解答】解：A选项中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，
故A不符合题意；
B选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，
故B符合题意；
C选项中的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，
故C符合题意；
D选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，
故D不符合题意；
故选：C．
31．（2025•铁东区校级模拟）如图，将△ABC绕顶点A逆时针旋转30°到△ADE，∠B＝40°，∠DAC＝
50°，则∠E的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】C
【解答】解：∵将△ABC绕顶点A逆时针旋转30°到△ADE，∠B＝40°，
∴∠BAD＝∠CAE＝30°，∠D＝∠B＝40°，
∵∠DAC＝50°，
∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝50°+30°＝80°，
∴∠E＝180°﹣∠DAE﹣∠D＝180°﹣80°﹣40°＝60°，
故选：C．
32．（2025•柳州模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．将△ABC绕点C旋转至
△A'CB'，使CB'⊥AB，A'B'交边AC于点D，则CD的长是（ ）24
A．4 B． C．5 D．6
5
【答案】C
【解答】解：∵将△ABC绕点C旋转至△A'CB'，
∴∠B＝∠B′，A′B′＝AB，∠A′CB′＝∠ACB＝90°，
∵CB'⊥AB，
∴∠B+∠BCB′＝∠BCB′+∠ACB′＝90°，
∴∠B＝∠ACB′，
∴∠ACB′＝∠B′，
∴CD＝DB′，
而∠A′+∠B′＝∠ACB′+∠A′CD＝90°，
∴∠A′＝∠A′CD，
∴DA′＝DC，
1 1 1 1 1
∴DA′＝DC＝DB′= A′B′= AB= ❑√AC2+BC2= ❑√62+82= ×10＝5．
2 2 2 2 2
故选：C．
33．（2025•江西模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝22°．将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△A′B′C，
点B′落在AC边上，连接AA′，则∠AA′B′的度数为（ ）
A．22° B．30° C．38° D．44°
【答案】C
【解答】解：由旋转的性质可得：AC＝A′C，∠ACA′＝60°，∠B′A′C＝∠BAC＝22°，
∴△ACA′是等边三角形，∴∠CA′A＝60°，
∴∠AA′B′＝60°﹣22°＝38°，
故选：C．
34．（2025秋•海淀区校级月考）在平面直角坐标系中，点A（m，﹣2）和B（3，2）关于原点对称，则
m＝ ﹣ 3 ．
【答案】﹣3．
【解答】解：∵点A（m，﹣2）和B（3，2）关于原点对称，
∴m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
35．（2025•泸县校级一模）点A（﹣1，a）与点A′（b，2）关于原点对称，则（a+b）2024的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2024 D．2024
【答案】B
【解答】解：∵点A（﹣1，a）与点A′（b，2）关于原点对称，
∴b＝1，a＝﹣2，
则（a+b）2024＝（﹣2+1）2024＝1．
故选：B．
36．（2025•甘孜州）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠O＝64°，则∠A＝（ ）
A．16° B．32° C．48° D．64°
【答案】B
【解答】解：∵∠O＝64°，
1
∴∠A= ∠O＝32°．
2
故选：B．
37．（2025•赣州模拟）阿基米德不仅是物理学家，还是伟大的数学家，阿基米德折弦定理就是圆中关于弦
的一个定理，其条件大致如下：如图，AB，BC为⊙O的两条弦（AB＜BC），点E是^ABC的中点，过
点E作ED⊥BC于点D，根据以上条件，下列说法错误的是（ ）A．^AB+^BE=C^E
B．连接BE、CE，则AB+BE＝CE
C．CD＝BD+AB
D．作射线EO交⊙O于点F，则BF平分∠ABC
【答案】B
【解答】解：由条件可知^AE=C^E，
∵^AB+^BE=^AE，
∴^AB+^BE=C^E，则选项A正确，不符合题意；
如图，连接BE，CE，AE，
由条件可知AE＝CE，
∵AB+BE＞AE，
∴AB+BE＞CE，则选项B错误，符合题意；
如图，在CD上截取点G，使得CG＝AB，连接EG，BE，CE，AE，
由圆周角定理得：∠BAE＝∠GCE，
∵^AE=C^E，
∴AE＝CE，
在△BAE和△GCE中，{
AB=CG
∠BAE=∠GCE，
AE=CE
∴△BAE≌△GCE（SAS），
∴BE＝EG，
∵ED⊥BC，
∴BD＝DG，
∴CD＝DG+CG＝BD+AB，则选项C正确，不符合题意；
由题意，画出图形如下：
∵EF是⊙O的直径，
∴^EAF=^ECF，
又∵^AE=C^E，
∴^AF=C^F，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴BF平分∠ABC，则选项D正确，不符合题意；
故选：B．
38．（2025•安州区模拟）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝26°，D是圆周上直径AB左侧的点，则
∠ADC应是（ ）
A．60° B．64° C．70° D．74°
【答案】B
【解答】解：连接BC，如图，
∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣26°＝64°，
∴∠ADC＝∠B＝64°．
故选：B．
39．（2025•兖州区二模）我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工
具﹣﹣筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的小上方，⊙O
被水面截得的弦AB长为8米，点C是运行轨道的最低点，点C到弦AB的距离为2米，则⊙O的半径长
为（ ）
A．2米 B．3米 C．4米 D．5米
【答案】D
【解答】解：如图，连接OA、OC，交AB于点D，设⊙O的半径长为x，
∵点C是运行轨道的最低点，点C到弦AB的距离为2米，
∴OC⊥AB，OD＝x﹣2，
1
∴AD=BD= AB=4，
2
在Rt OAD中，OA2＝OD2+AD2，
∴x2＝△42+（x﹣2）2，解得：x＝5，
∴⊙O的半径长为5米．
故选：D．
40．（2025•湖北模拟）如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接 AC，延长 AB 至点 E，若
∠ACD=40°，^AC=C^D，则∠CBE的度数为（ ）
A．80° B．76° C．72° D．70°
【答案】D
【解答】解：∵^AC=C^D，∠ACD=40°，
∴AC＝CD，
1
∴∠CDA=∠CAD= (180°-∠ACD)=70°，
2
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠CBE＝∠CDA＝70°，
故选：D．
41．（2025•港南区四模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC、BD为对角线，BD经过圆心O．若∠BAC
＝55°，则∠DBC的度数是（ ）
A．50° B．45° C．40° D．35°
【答案】D
【解答】解：∵BD经过圆心O．
∴BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∵∠BAC＝∠BDC＝55°，∴∠DBC＝90°﹣∠BDC＝35°，
故选：D．
42．（2025•海南二模）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与过点A且垂直于该切
线的直线AD相交于点D，连接OC、AC，若∠AOC＝80°，则∠DAC的度数为（ ）
A．49° B．80° C．62° D．50°
【答案】D
【解答】解：∵∠AOC＝80°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝100°，
∵OC＝OA，
1
∴∠OCA＝∠BAC= ∠BOC＝50°，
2
∵CD与⊙O相切于点C，
∴CD⊥OC，
∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠DAC＝∠OCA＝50°，
故选：D．
43．（2024秋•韶关期末）如图，周长为15cm的三角形纸片ABC，小刚想用剪刀剪出它的内切圆⊙O，他
先沿着与⊙O相切的DE剪下了一个三角形纸片BDE，已知AC＝4cm，则三角形纸片BDE的周长是（
）
A．10cm B．9cm C．8cm D．7cm【答案】D
【解答】解：设三角形ABC与⊙O相切于M、N、F，DE与⊙O相切于G，如图，
由切线长定理可知：AM＝AF，CN＝CF，BM＝BN，DM＝DG，EG＝EN，
∵AB+AC+BC＝15cm，AC＝4cm，
∴AM+CN＝AC＝4cm，AB+BC＝11（cm），
∴三角形纸片BDE的周长＝DB+DE+BE＝BD+DG+GE+BE＝BM+BN＝AB+BC﹣AC＝7（cm），
故选：D．
44．（2025•西安校级一模）如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若
∠CAI＝34°，则∠OBC的度数为（ ）
A．27° B．24° C．22° D．20°
【答案】C
【解答】解：连接OC，
∵点I是△ABC的内心，∴AI平分∠BAC，
∵∠CAI＝34°，
∴∠BAC＝2∠CAI＝68°，
∵点O是△ABC外接圆的圆心，
∴∠BOC＝2∠BAC＝136°，
∵OB＝OC，
1 1
∴∠OBC＝∠OCB= ×(180°-∠BOC)= ×(180°-136°)=22°，
2 2
故选：C．
45．（2024秋•平原县期末）已知圆心A到直线m的距离为d，⊙A的半径为r，若d、r是方程x2﹣7x+12
＝0的两个根，则直线m和⊙A的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离
C．相交 D．相离或相交
【答案】D
【解答】解：（x﹣3）（x﹣4）＝0
∴x ＝3，x ＝4，
1 2
当d＝3，r＝4时，直线和圆相交，
当d＝4，r＝3时，直线和圆相离．
故选：D．
46．（2024秋•江岸区校级月考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内
心，BE的延长线交⊙O于点F，连接CF．若BC＝5，CE=❑√10，则AC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．2❑√5
【答案】B
【解答】解：⊙O 是△ABC 的外接圆，点 E 为△ABC 的内心，如图，连接 OF 交 AC 于点 G，作
FH⊥BC于点H，1 1
∴∠CBF＝∠ABF= ∠ABC，∠ACE＝∠BCF= ∠ACB，
2 2
∴^AF=C^F，
1
∴OG⊥AC，AG＝CG= AC，
2
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BFC＝90°，
∵∠CEF＝∠CBF+∠BCE，∠ECF＝∠ACF+∠ACE，∠CBF＝∠ABF＝∠ACF，
∴∠CEF＝∠ECF，
❑√2
∴△CEF是等腰直角三角形，CF=EF= CE=❑√5，
2
在直角三角形BCF中，由勾股定理得：BF=❑√BC2-CF2=❑√52-(❑√5) 2=2❑√5，
1 1
∵S = BF•CF = BC•FH，
BCF 2 2
△
BF⋅CF 2❑√5⋅❑√5
∴FH= = =2，
BC 5
1 1
∵S = OC•FH = OF•CG，OC＝OF，
OCF 2 2
△
∴FH＝CG＝2，
∴AC＝2CG＝4，
故选：B．
47．（2025•崂山区校级三模）如图，⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，点M，N，F分别是边AE，AB，
CD与⊙O的切点，则∠MFN的度数为（ ）A．25° B．36° C．35° D．40°
【答案】B
【解答】解：如图，连接OM，ON．
∵M，N，F分别是AE，AB，CD与⊙O的切点，
∴OM⊥AE，ON⊥AB，
∴∠OMA＝∠ONA＝90°，
∵∠A＝108°，
∴∠MON＝180°﹣108°＝72°，
1
∴∠MFN= ∠MON＝36°，
2
故选：B．
48．（2025•成都校级模拟）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为^AB上一点，连接PA，PE，则∠APE
的度数为（ ）
A．18° B．36° C．54° D．72°
【答案】B【解答】解：连接OA、OE，
∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
1
∴∠AOE= ×360°＝72°，
5
∵P为^AB上一点，
1 1
∴∠APE= ∠AOE= ×72°＝36°，
2 2
故选：B．
49．（2025•丰南区校级三模）如图，已知A，B，C为⊙O上的三点，且AC＝BC＝2，∠ACB＝120°．点P
从点A出发，沿着逆时针方向运动到点B，连接CP与弦AB相交于点D，当△ACD为直角三角形时，
弧AP的长为（ ）
1 2 1 4
A．2π B． π C． π或 π D．2π或 π
2 3 2 3
【答案】D
【解答】解：如图所示，当∠ADC＝90°时，连接OA，OD，
∵AC＝BC＝2，∠ACB＝120°，
1
∴∠ACD= ∠ACB=60°，点D为AB的中点，
2∴OD⊥AB，
∴C、D、O三点共线，
∵OA＝OC，
∴△OAC是等边三角形，
∴OA＝AC＝2，∠AOC＝60°，
∴∠AOP＝120°，
120π×2 4
∴弧AP的长为 = π；
180 3
如图所示，当∠ACD＝90°时，则∠ACP＝90°，
∴AP为直径，
180π×2
∴弧AP的长为 =2π；
180
4π
综上所述，弧AP的长为2π或 ，
3
故选：D．
50．（2025•射洪市校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB，BC分别交于点
D，E，连接AE，DE，若∠BED＝45°，AB＝2，则阴影部分的面积为（ ）
π π 2π
A． B． C． D．π
4 3 3
【答案】A
【解答】解：连接OE，OD，
∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC＝90°，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE，
即点E是BC的中点，
∵点O是AC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥AB，
∴S ＝S ，
AOD AED
∴S △
阴影
＝S扇 △
形OAD
，
∵∠AEC＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∵∠BED＝45°，
∴∠AED＝45°，
∴∠AOD＝90°，
90π×12 π
∴S = = ，
扇形OAD 360 4
π
∴S = ，
阴影 4
故选：A．
51．（2025•镇江）如图，直线l ∥l ，直线m分别交l 、l 于点A、B，以A为圆心，AB长为半径画弧，分
1 2 1 2
别交l 、l 于直线m同侧的点C、D，∠ADB＝35°，AB＝9，则C^D的长等于（ ）
2 1
7 7
A．5π B．4π C． π D． π
2 4【答案】C
【解答】解：连接AC，如图所示：
由条件可知∠CBD＝∠ADB＝35°，
根据作图可知：AB＝AC＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD＝35°，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝70°，
由条件可知∠DAC＝∠ACB＝70°，
70π×9 7
∴C^D的长为 = π．
180 2
故选：C．
