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专题 01 旋转中的三种常见模型
模型一：“手拉手”模型
模型二：“半角”模型
模型三：“鸡爪”模型
模型一：“手拉手”模型
1．如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．线段CD绕点C顺时针旋转60°
得到线段CE，连接AE．
（1）求证：AE＝BD；
（2）若∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，求CD的长．
2．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ、PB、
PC．
（1）求证：CP＝BQ；
（2）若PA＝6，PB＝8，PC＝10．求∠APB的度数．3．如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．线段CD绕点C顺时针旋转60°
得到线段CE，连接AE，DE．
（1）求证：AE＝BD；
（2）若∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，求DE的长．
4．“感知”：如图①△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点B在线段AD上，
点C在线段AE上，我们很容易得到BD＝CE，不需证明．
“探究”：如图②将△ADE绕点A逆时针旋转 （0°＜ ＜90°），连接BD和CE，此时BD＝CE是否
依然成立？若成立，写出证明过程，若不成立，说明理由．
α α
“应用”：如图③将△ADE 绕点 A 逆时针旋转，使得点 D 落在 BC 的延长线上，连接 CE，若
AB=AC=2❑√2，CD＝2，求线段DE的长．
5．正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形A B C D 的顶点A 与点O重合，而且这两个正方形的边长
1 1 1 1 1都是1．已知A D ，A B 与正方形ABCD的边分别交于M，N两点．
1 1 1 1
1
（1）如图1，若A
1
D 1⊥DC，则重叠部分四边形OMCN的面积是
4
．
（2）当正方形A B C D 绕点O旋转到如图2所示的位置时，四边形OMCN的面积是否发生变化？证明
1 1 1 1
你的结论．
6．【教材呈现】以下是华师大版七年级下册数学教材第143页的部分内容：如图1，△ACD、△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD＝∠EAB＝90°，作出△ACE以点A为旋转中心，
逆时针旋转90°后的三角形．
【操作发现】
在图1中出△ACE以点A为旋转中心，逆时针旋转90°后的三角形，写出旋转前后CE与其对应线段的
数量关系和位置关系： ；
【探究理由】
如图2，将△ACE绕点A逆时针旋转90°得到△ADB，设CE、AC分别与BD交于点F、G，试判断CE
与BD的数量关系和位置关系，并说明理由；
【问题解决】
如图3，将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE，点D恰好落在BC上，DE与CA交于点F．若
△ABD与△AFD关于直线AD对称，且BC＝9，BD＝3，则
①∠DAE＝ °；
②线段EF的长是 ．
7．已知△ABC和△ADE都是等边三角形．
【模型感知】（1）如图1，求证：BE＝CD；【模型应用】（2）如图2，当点D在CB的延长线上时，求证：AB+BD＝BE；
【类比探究】（3）如图3，当点D在射线BC上时，过点E作EF⊥AB于点F．猜想线段AB，BF与BD
之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
模型二：“半角”模型
1．如图所示，已知正方形ABCD的边长为3，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE
绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCM．（1）证明：△DEF≌△DMF．
（2）若AE＝1，求FM的长．
2．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝BC＝2，∠B＝60°．将一个60°的∠PCQ的顶点放在点C处，并绕
点C旋转，当CP与AB交于点M，CQ同时与AD交于点N，连接AC．
（1）求平行四边形ABCD的面积；
（2）求证：△ANC≌△BMC；
（3）求△AMN的周长的最小值．
3．正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋
转90°，得到△DCM．
（1）求证：△DEF≌△DMF；
（2）若AE＝1，求EF的长．4．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°．若∠BAE＝
，则∠EFC—定等于（ ）
α
A．2 B．90°﹣2 C．45°﹣ D．90°﹣
5．（1）如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接AE，AF，EF，且∠EAF＝
α α α α
45°，延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG．求证：EF＝BE+DF．
（2）如图②，当点E，F分别在线段BC和CD的延长线上，连接AE，AF，EF，且∠EAF＝45°时，试
探究BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由．6．如图，在四边形ABCD中，点M、N分别在边CD、BC上，连接AM、AN．（1）如图1，四边形ABCD为正方形时，连结MN，且∠MAN＝45°，
①已知CM＝6，CN＝8，则MN的长是 ；
②已知DM＝3，CM＝2，求BN的值；
（2）如图2，四边形ABCD为矩形，∠AMD＝2∠BAN，点N为BC的中点，AN＝6，AM＝8，求AD的
长．
模型三：“鸡爪”模型
1．如图，点P是等边三角形ABC内一点，若PA＝3，PB＝4，PC＝5，则AB2＝ ．2．如图，P是等边三角形ABC中的一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，试利用图形的旋转求出∠APB的度数．
3．数学探究课上老师处这样一道题：“如图，等边△ABC中有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，试求
∠APB的度数．”小明和小军探讨时发现了一种求∠APB度数的方法，下面是这种方法的一部分思路，
请按照下列思路要求画图或判断
（1）在图中画出△APC绕点A顺时针旋转60°后的△AP B；
1
（2）试判断△AP P的形状，并说明理由；
1
（3）试判断△BP P的形状，并说明理由；
1
（4）由（2）、（3）两问可知：∠APB＝ ．
4．构造模型问题：
问题背景：如图1，P是等边△ABC外一点，∠APB＝30°，则PA2+PB2＝PC2．
小明为了证明这个结论，将△PAB绕点A逆时针旋转60°，请根据此思路完成这个证明；（1）迁移应用：如图2，P是等边△ABC内一点，且PC2+PB2＝PA2；求∠BPC的度数；
（2）拓展提升：如图3，在等腰直角△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，点P在△ABC外部，且∠BPC
＝45°，若PC＝6，则△APC的面积是 （不必证明）．
5．阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的
度数．小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．
（1）请你回答：图1中∠APB的度数等于 ．
参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：
（2）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝2❑√2，PB＝1，PD=❑√17，求∠APB的度数和正方形
的边长．
6．问题：如图1，在等边△ABC内部有一点P，已知PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数？
（1）请写出常见四组勾股数： 、 、 、 ．
（2）解决方法：通过观察发现PA，PB，PC的长度符合勾股数，但由于PA，PB，PC不在一个三角形
中，想法将这些条件集中在一个三角形，于是可将△ABP 绕 A 逆时针旋转 60°到△AP′C，此时△ABP≌△ACP'，这样利用等边三角形和全等三角形知识，便可求出∠APB＝ 150 ° ．请写出解题过
程．
（3）应用：请你利用（2）题的思路，解答下面的问题：
如图2，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E，F为BC的点，且∠EAF＝45°，若BE＝m，FC＝n，
请求出线段EF的长度（用m、n的代数式表示）．
