文档内容
第 24 章 圆
【考点1】圆的有关概念
【考点2】点与圆的位置关系
【考点3】垂径定理有关计算
【考点4】垂径定理的应用
【考点5】圆心角、弧、弦的关系
【考点6】确定圆的条件
【考点7】三角形的外接圆与外心
【考点8】利用圆周角定理求角度
【考点9】圆内接四边形的性质
【考点10】直线与圆的位置关系
【考点11】利用切线的性质求线段/角度
【考点12】切线的判定与性质
【考点13】切线长定理
【考点14】三角形的内切圆与内心
【考点15】正多边形和圆的综合应用
【考点16】弧长的有关运算
【考点17】圆锥的有关运算
【知识点1】圆的定义及性质
圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形
成的图形叫圆。这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。
圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。
确定圆的条件：1）圆心；2）半径。
备注：圆心确定圆的位置，半径长度确定圆的大小。【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；
2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；
3）半径相等的圆叫做等圆。
圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；
2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
【知识点2 】圆的有关概念
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。
直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。
备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。
⏜
弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作 ，读
AB
作圆弧AB或弧AB。
等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。
【知识点3】 垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条
弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；
2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分
【知识点4】 垂径定理的应用
经常为未知数，结合方程于勾股定理解答
【知识点5 】确定圆的条件
不在同一直线上的三个点确定一个圆。
【知识点6】三角形的外接圆与外心1.三角形的外接圆
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
2.三角形的外心
三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。
【知识点7】 圆心角的概念
圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。
弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
E
F
O
D
A
C
B
推论：在同圆或等圆中， 如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两
条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。
【知识点8】 圆角角的概念
圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=
1
圆心角）
2
C
B O
A
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 D C
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。
B O
A
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的
C
弦是直径。
B A
O
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形
是直角三角形。
C
B A
O【知识点9】圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙ 中， ∵四边 是内接四边形
D
C
∴
B
【知识点10】直线与圆的位置关系 A E
1、直线与圆相离 无交点；
2、直线与圆相切 有一个交点；
3、直线与圆相交 有两个交点；
r d d=r r d
【知识点11】切线的性质与判定定理
1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵ 且 过半径 外端
∴ 是⊙ 的切线 O
2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 M A N
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一
个。
【知识点12】切线长定理
切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两
条切线的夹角。
B
即：∵ 、 是的两条切线
∴ ； 平分
O
P
A【知识点13】三角形的内切圆和内心
1、三角形的内切圆
与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
2、三角形的内心
三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。
注意：内切圆及有关计算。
（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。
a+b−c
2
（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。
1
r(a+b+c)
2
（3）S = ，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。
△ABC
（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。
如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。
A D
O
B
【知识点14】 圆内正多边形的计算
（1）正三角形
在⊙ 中△ 是正三角形，有关计算在 中进行： ；
C
B C
O
O O
B A A D B
D E
A
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在 中进行， ：
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在 中进行，
【知识点15】 与正多边形有关的概念
1、正多边形的中心
正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
2、正多边形的半径正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。
3、正多边形的边心距
正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。
4、中心角
正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。
【知识点16】扇形的弧长和面积计算
扇形：（1）弧长公式： ； （2）扇形面积公式：
：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积
注意：
(1)对于弧长公式，关键是要理解 1°的圆心角所对的弧长是圆周长的 ，即
；
(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；
(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就
可以求出第三个量.
(4)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的 ，
即 ；
(5)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积 S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中
的两个量就可以求出第三个量.
【知识点17】扇形与圆柱、圆锥之间联系
1、圆柱：
D
A D1
（1）圆柱侧面展开图
母线长
底面圆周长
B C1
C=
（2）圆柱的体积：
B1
2、圆锥侧面展开图
（1） = O
R
（2）圆锥的体积：
C
A r B
注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（ ）
【考点1】圆的有关概念
1．下列命题是真命题的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧
B．圆中最长的弦是经过圆心的弦
C．一条弦把圆分成两条弧，分别是优弧和劣弧
D．平分弦的直径垂直于弦
【答案】B
【分析】本题考查了命题，圆中的有关概念，熟练掌握圆的概念和性质是解题的关键。
根据圆的概念和性质分析即可．
【详解】解：A．在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故原说法错误，是伪命题，
不符合题意；
B．圆中最长的弦是经过圆心的弦，说法正确，是真命题，符合题意；
C．一条弦（非直径）把圆分成两条弧，分别是优弧和劣弧，故原说法错误，是伪命题，
不符合题意；
D．平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故原说法错误，是伪命题，不符合题意；
故选：B．
2．如图，MN为⊙O的弦，∠MON=120°，则∠M等于（ ）A．30° B．60° C．90° D．120°
【答案】A
【分析】本题重点考查了圆的基本性质、等腰三角形的性质，并且利用三角形的内角和
定理求解角的度数，难度不大．根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵OM=ON，
∴∠M=∠N，
∵∠MON=120°，
∴∠M=(180°−∠MON)÷2=30°，
故选：A．
3．如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD=CD=8，
OD=6，则半径的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及圆的基本性质．根据等腰三
角形的性质得出OD⊥AC，根据勾股定理求出OC=10即可．
【详解】解：∵AD=CD=8，
∴点D为AC的中点，
∵AO=CO，
∴OD⊥AC，
由勾股定理得，OC=❑√CD2 +OD2 =❑√62 +82 =10，故选：D．
4．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E．若DE=OB,∠C=40°,则∠E等于
（ ）
A．20° B．10° C．30° D．40°
【答案】A
【分析】本题考查等腰三角形的性质，掌握三角形外角的性质和等腰三角形的性质是解
题的关键．连接，根据等腰三角形的性质证明∠DOE=∠E，利用三角形外角的性质
得到∠ODC=2∠E，再由等腰三角形的性质得到∠ODC=∠C，从而计算∠E的
度数即可．
【详解】解：如图，连接OD．
∵DE=OB，OB=OD
，
∴DE=OD，
∴∠DOE=∠E，
∴∠ODC=∠E+∠DOE=2∠E，
∵OC=OD，
∴∠ODC=∠C，
∵∠C=40°，
∴2∠E=40°，
∴∠E=20°．
故选：A．
【考点2】点与圆的位置关系
1．已知⊙O的半径r为6，若点P在⊙O内，则点P到圆心的距离可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A
【分析】本题考查点与圆的位置关系，关键是掌握点与圆的位置关系的判定方法．
已知⊙O的半径为6，若点P在⊙O内，则PO<6，据此即可得到答案．
【详解】解：∵⊙O的半径为6，点P在⊙O内，
∴PO<6，
∴点P到圆心的距离可能是5，选项A符合题意，B、C、D不符合题意，
故选：A．
2．⊙O的半径为3，点A到圆心O的距离为2，点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在⊙O外 B．点A在⊙O内
C．点A在⊙O上 D．不能确定
【答案】B
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点A到圆心O的距离d 与圆的半径r的关
AO
系进行判定即可求解．
【详解】解：设点A到圆心O的距离d ，
AO
d =2<3，
AO
∵点A在⊙O内，
∴故选：B ．
3．已知⊙O的半径为3cm，点P到圆心O的距离为6cm，则点P在（ ）
A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不能确定
【答案】C
【分析】本题考查了点与圆的位置关系．若圆的半径为r，点P到圆心的距离为d，则
点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔dr，
∴点P在⊙O外．
故选：C．
4．若⊙O的半径为3cm，点A不在⊙O内，则OA的长（ ）
A．大于3cm B．不小于3cm C．大于6cm D．不小于6cm
【答案】B
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是要牢记若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当dCD，则下列结论正确的是（ ）
A．A´BON D．
∠AOM>∠CON
【答案】D
【分析】本题主要考查了弧、弦和圆心角之间的关系，垂径定理，勾股定理，由弧与
弦之间的关系可得A´B>C´D，据此可判断A；根据垂径定理可判断B；根据勾股定理可
判断C；根据弦与圆心角之间的关系和垂径定理可判断D．
【详解】解：A、∵AB和CD是⊙O上的两条弦，且AB>CD，
∴A´B>C´D，原说法错误，不符合题意；
B、∵AB和CD是⊙O上的两条弦，圆心O到它们的距离分别为OM和ON，
1 1
∴AM= AB，CN= CD，
2 2
∵AB>CD，
∴AM>CN，原说法错误，不符合题意；
C、在Rt△CON中，由勾股定理得ON=❑√OC2−CN2，
在Rt△AOM中，由勾股定理得OM=❑√OA2−AM2，
∵OA=OC，CNCD，圆心O到它们的距离分别为OM和
ON，
1 1
∴∠AOB>∠COD，∠AOM= ∠AOB，∠CON= ∠COD，
2 2
∴∠AOM>∠CON，原说法正确，符合题意；
故选：D．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=20°，以点C为圆心，BC为半径的圆
分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（ ）
A．28° B．60° C．55° D．40°
【答案】D
【分析】本题考查了圆心角，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆心角的定
义；先求出∠B，再根据等腰三角形的性质求出∠BCD，∠BCD即为弧BD的度数，
即可得解．
【详解】解：∵∠ACB=90°,∠A=20°，
∴∠B=90°−∠A=70°，
∵CB=CD，
∴∠CDB=∠B=70°，
∴∠BCD=180°−70°−70°=40°，
∴弧BD的度数为40°，
故选：D．
⏜ ⏜ ⏜
3．如图，AB是⊙O的直径，
BC=CD=DE
，∠AOE=84°，则∠COD的度数为
（ ）
A．32° B．52° C．54° D．42°
【答案】A
【分析】本题考查了弧与圆心角的关系，根据已知得出
⏜ ⏜ ⏜
∠EOB=180°−∠AOE=96°，进而根据 ，即可求解．
BC=CD=DE【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∠AOE=84°，
∴∠EOB=180°−∠AOE=96°，
⏜ ⏜ ⏜
∵ ，
BC=CD=DE
1
∴∠BOC=∠EOD=∠COD= ∠EOB=32°，
3
故选：A．
4．如图，在以O为圆心的半圆中，AB是直径，点C是弧AB的中点，连接OC，OE平分
∠COB交⊙O于点E，连接AE，则∠AEO的度数是（ ）
A．20° B．22.5° C．30° D．45°
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理,圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理,等腰三角形的性质，
熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．
先利用垂径定理的推论得到OC⊥AB，再根据角平分线的定义得到∠BOE=45°，
则根据圆周角定理得到∠A=22.5°，然后根据等腰三角形的性质得到∠AEO的度数．
【详解】解：∵点C是弧AB的中点，
∴OC⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=90°，
∵OE平分∠COB，
1
∴∠BOE= ∠BOC=45°，
2
1
∴∠A= ∠BOE=22.5°，
2
∵OA=OE，
∴∠AEO=∠A=22.5°．
故选：B．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=26°，以点C为圆心，BC为半径的圆交
AB于点D，交AC于点E，则B´D的度数为 ．【答案】52°
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系．连接CD，如图，先根据三角形内角和
计算出∠B=64°，再根据等腰三角形的性质由CB=CD得到∠CDB=∠B=64°，
然后再利用三角形内角和计算出∠BCD=52°，最后根据圆心角的度数等于它所对的
弧的度数求解．
【详解】解：连接CD，如图，
∵∠C=90°，∠A=26°，
∴∠B=64°，
∵CB=CD，
∴∠CDB=∠B=64°，
∴∠BCD=180°−64°−64°=52°，
∴B´D的度数为52°，
故答案为：52°．
6．如图，在⊙O中，已知∠OAB=50°，则弧AB的度数是 ．
【答案】80°
【分析】本题考查了求弧的度数．
根据等边对等角求出∠AOB的度数即可．【详解】∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=50°，
∴∠AOB=180°−∠OAB−∠OBA=180°−50°−50°=80°，
∴弧AB的度数是80°．
故答案为：80°．
【考点6】确定圆的条件
1．如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多
可画出圆的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】找出不在同一条直线上的三个点的所有组合，即可解决问题．
【详解】解：过以下三点可以画出一个圆：A、B、P；A、C、P；A、D、P；B、
C、P；B、D、P；C、D、P．
∴最多可画出圆的个数为6个．
故选：D．
【点睛】本题考查确定圆的条件，掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键．
2．如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应
该带去店里的碎片是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】本题考查了确定圆的条件，根据不在一条直线上三点确定一个圆即可解得，
解题的关键是熟练掌握圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，只要有一段弧，即可
确定圆心和半径，
∴小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是②，
故选：B．
3．已知M(1,2)，N(3,−3)，P(x,y)三点可以确定一个圆，则以下P点坐标不满足要求的
是（ ）
A．(3,5) B．(−3,5) C．(−1,7) D．(1,−3)
【答案】C
【分析】考查了确定圆的条件及一次函数图象与点的关系，解题的关键是了解“不在
同一直线上的三点确定一个圆”，难度不大．利用待定系数法求出直线MN的解析式，
再把每点代入函数解析式，根据不在同一直线上的三点能确定一个圆，由于(−1,7)在
直线MN上，可知答案．
【详解】解：设直线MN的解析式为y=kx+b，
{ k+b=2 )
∴ ，
3k+b=−3
5
{ k=− )
2
解得 ，
9
b=
2
5 9
∴y=− x+ ，
2 2
5 9
A、当x=3，y=− ×3+ =−3≠5，故(3,5)不在直线MN上，根据不在同一直线三
2 2
点确定一个圆得(3,5)与M(1,2)，N(3,−3)可以确定一个圆，故本选项不符合题意；
5 9
B、当x=−3，y=− ×(−3)+ =12≠5，同理，故本选项不符合题意；
2 2
5 9
C、当x=−1，y=− ×(−1)+ =7，故(−1,7)在直线MN上，故不能确定一个圆，
2 2
故本选项符合题意；
5 9
D、x=1，y=− ×1+ =2≠−3，同理，故本选项不符合题意．
2 2
故选：C．
4．已知AB=4cm，经过A，B两点作圆，则所作的圆的半径最小是 cm．【答案】2
【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟知经过线段AB最小的圆即为以AB为直径的
圆是解答此题的关键．
经过线段AB最小的圆即为以AB为直径的圆，求出半径即可．
【详解】解：根据题意得：经过线段AB最小的圆即为以AB为直径的圆，则此时半径
为2cm．
故答案为：2．
5．若过平面直角坐标系中的三个点A(1,0)、B(0,2)、C(−1,m)能确定一个圆，则m≠
．
【答案】4
【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，圆的确定，根据不在同一直线的三个
点确定一个圆，得到当点C不在直线AB上，三个点确定一个圆，进行求解即可．
【详解】解：∵A(1,0)、B(0,2)，
∴设直线AB的解析式为：y=kx+2，把A(1,0)代入，得：k=−2，
∴y=−2x+2，
∴当x=−1时，y=−2×(−1)+2=4，
∴当m≠4时，平面直角坐标系中的三个点A(1,0)、B(0,2)、C(−1,m)能确定一个
圆，
故答案为：4
【考点7】三角形的外接圆与外心
1．如图，Rt△ABC中，∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm，则它的外心与顶点C的距离
为（ ）
A．10cm B．5cm C．3cm D．4cm
【答案】B
【分析】本题考查了直角三角形的外接圆半径的求法，熟记直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，以斜边的一半为半径的圆是解题关键．直角三角形的外心与斜边中
点重合，因此外心到直角顶点的距离正好是斜边的一半；由勾股定理易求得斜边AB
的长，进而可求出外心到直角顶点C的距离．
【详解】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm，
∴AB=❑√AC2 +BC2 =10(cm)，
1
斜边上的中线长 AB=5(cm)，
2
因而外心到直角顶点C的距离等于斜边的中线长5cm.
故选：B．
2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠ABC=45°，AC=2，则⊙O的半径是
．
【答案】❑√2
【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心．连接OA、OC，根据圆周角定理得到
∠AOC=90°，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：连接OA、OC，则OA=OC，
∵∠ABC=45°
，
∴∠AOC=2∠ABC=90°，
∴OA2 +OC2 =AC2，即2OA2 =4，
解得：OA=❑√2（负值已舍去），
故答案为：❑√2．
3．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，若∠BAC=90°，BD=4．求△ABC外接圆的半径．
【答案】2❑√2
【分析】本题主要考查了三角形的外接圆，圆周角定理，勾股定理等知识，先根据圆
周角定理可知∠BDC=90°，BC为⊙O的直径，再结合题意得到BD=CD，利用勾
股定理求出BC的长，从而得出答案．
【详解】解：∵∠BAC=90°，
∴BC为⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴B´D=C´D，
∴BD=CD，
∵BD=4，
∴BC=❑√BD2 +CD2 =4❑√2，
1
∴△ABC外接圆的半径为 ×4❑√2=2❑√2．
2
4．如图，已知△ABC中，AB=AC=10，BC=16．
(1)用无刻度的直尺和圆规，作△ABC的外接圆⊙O．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，求圆O的半径R．
【答案】(1)见解析
25
(2)
3
【分析】（1）作线段AB，AC的垂直平分线交于点O，连接OB，以 O为圆心，OB为半径作圆即可；
（2）连接OB，OA，OA交BC于点D，设AO=OB=x，利用勾股定理构建方程求
解即可．
本题考查作图，复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题
的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
【详解】（1）解：如图，⊙O即为所求；
（2）解：连接OB，OA，OA交BC于点D．
设AO=OB=x．
∵AB=AC，
∴A´B=A´C，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC=10，BC=16，
∴BD=CD=8，
∴AD=❑√AB2−BD2 =❑√102−82 =6，
在Rt△OBD中，OB2 =BD2 +OD2，
∴x2 =82 +(x−6) 2，25
解得：x=
3
25
∴圆O的半径为： ．
3
5．如图所示，已知在△ABC中，AB=4，AC=BC=6．
(1)作出△ABC的外接圆⊙O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
(2)求△ABC的面积以及外接圆半径．
【答案】(1)见解析
9
(2)S =8❑√2，△ABC外接圆的半径是 ❑√2
△ABC 4
【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，尺规作图作三角形外接圆；作等腰
三角形的底边上高，运用三线合一的性质是解题的关键．
（1）作BC和AC的中垂线的交点就是圆心，则圆即可作出；
（2）连接CO并延长交AB于点D，连接OB，在直角△OAD中，利用勾股定理即可
列方程求得半径，进而求得直径．
【详解】（1）解：⊙O即为所作；
（2）连接CO并延长交AB于点D，连接OB，
∵BC=AC，CD⊥AB，1 1
∴AD= AB= ×4=2，
2 2
∴CD=❑√AC2−AD2 =❑√62−22 =4❑√2，
1 1
∴S = AB×CD= ×4×4❑√2=8❑√2，
△ABC 2 2
设圆的半径是r，则OD=CD−r=4❑√2−r，OA=r，
在直角△OAD中，OA2 =AD2 +OD2，即r2 =22 +(4❑√2−r) 2 ，
9 9
解得：r= ❑√2，则△ABC外接圆的半径是 ❑√2．
4 4
【考点8】利用圆周角定理求角度
1．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，若∠BAC=36°，则∠BOC的度数为（ ）
A．36° B．54° C．60° D．72°
【答案】D
【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题
的关键．根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵B´C=B´C，∠BAC=36°，
∴∠BOC=2∠BAC=72°．
故选：D．
2．如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上，若∠BDC=130°，则∠ABC的
度数为（ ）A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】A
【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟记圆周角定理及圆内接四
边形的性质是解题的关键．根据直径所对的圆周角是直角求得∠ACB=90°，根据圆
内接四边形的性质得出∠A=50°，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求解
∠ABC．
【详解】解：∵四边形ABCD为圆O的内接四边形，
∴∠A+∠BDC=180°，
∵∠BDC=130°，
∴∠A=50°，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∴∠ABC=40°，
故选：A．
3．如图，AB是⊙O的直径，A，B，C，D在圆周上，已知∠C=60°，则∠B为
（ ）
A．80° B．60° C．70° D．40°
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理的推论，熟练掌握圆周角定理的推论是解题的关键；
由同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠B=∠C=60°，即可得出答案．
【详解】解：∵A´D=A´D，∠C=60°，∴∠B=∠C=60°．
故选：B．
4．如图，点A,B,C在⊙O上，点A是B´C中点，若∠ABC=36°，则∠BCO的度数为
（ ）
A．8° B．16° C．18° D．28°
【答案】C
【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，等腰三角形的性质等，熟
练掌握以上性质是解题的关键．根据弧、弦、圆心角的关系，推出∠AOB=∠AOC，
再根据圆周角定理，推出∠AOC=2∠ABC，最后由等边对等角和三角形内角和定
理即可求得答案．
【详解】解：∵点A是B´C中点，
∴A´B=A´C，
∴∠AOB=∠AOC，
∵∠ABC=36°，
∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，
∴∠BOC=∠AOC+∠AOB=72°+72°=144°，
又∵OB=OC，
∴∠CBO=∠BCO，
∵∠CBO+∠BCO+∠BOC=180°，
1 1
∴∠BCO= (180°−∠BOC)= (180°−144°)=18°．
2 2
故选：C．
5．如图，A，B，C三点在⊙O上，且∠BOC=100∘，则∠A的度数为（ ）A．40∘ B．50° C．80∘ D．100∘
【答案】B
【分析】在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心
角的一半，由此可得出答案．
本题考查了圆周角定理，属于基础题，掌握圆周角定理的内容是解答本题的关键．
1 1
【详解】解：由题意得∠A= ∠BOC= ×100°=50°，
2 2
故选：B．
6．如图，在⊙O中，∠BAC=18°，∠ADC=24°，则∠AOB的度数为（ ）．
A．40° B．42° C．66° D．84°
【答案】D
【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理，连接OC是解题的关键；
连接OC，利用圆周角定理求出∠AOC，∠BOC，再由
∠AOB=∠AOC+∠BOC求解即可．
【详解】解：如图，连接OC，
根据圆周角定理，可得∠AOC=2∠ADC=48°，∠BOC=2∠BAC=36°，∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=84°．
故选：D．
【考点9】圆内接四边形的性质
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD=136°，那么它的外角∠DCE的度数是(
)
A．68° B．136° C．88° D．44°
【答案】A
【分析】本题考查圆内接四边形对角互补的性质和圆周角定理，解题关键是得出
∠BCD的大小．先根据圆周角定理得出∠BAD的大小，然后利用圆的内接四边形对
角互补的性质，得出∠BCD的大小，从而得出∠DCE的大小．
【详解】解：∵∠BOD=136°，
1
∴ ∠A= ∠BOD=68°，
2
∴∠BCD=180°−∠A=112°，
∴∠DCE=180°−∠BCD=68°．
故选：A．
2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE平分∠ABC，点A是劣弧B´E的中点．
若∠D=92°，则∠AEB的度数是（ ）
A．40° B．44° C．45° D．46°
【答案】B
【分析】先利用圆内接四边形的性质求出∠ABC的度数，再由角平分线的定义得出∠ABE的度数，最后根据弧中点的性质得到∠AEB与∠ABE的关系，进而求出
∠AEB的度数．本题主要考查了圆内接四边形的性质、角平分线的定义以及弧与圆
周角的关系，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠D=92°
∴ ∠ABC=180°−∠D=180°−92°=88°
∵ BE平分∠ABC
1 1
∴ ∠ABE= ∠ABC= ×88°=44°
2 2
⏜
∵ 点A是劣弧 的中点
BE
⏜ ⏜
∴
AB=AE
∴ ∠AEB=∠ABE=44°．
故选：B．
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E为弧CD上任意一点（点E不与点D，C重合），
连接BE交DC于点P．若∠A=120°，则∠CPE的度数可能为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．69°
【答案】D
【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，解题关键是熟练掌握圆内接四边形对
角互补．由圆内接四边形的性质得∠C=60°，再由∠CPE为的外角求解．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠A=120°，
∴∠C=180°−∠A=60°，
∵∠CPE为△PCB的外角，
∴∠CPE>∠C，只有D选项满足题意；
故选：D．
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD至点E，已知∠AOC=140°，那么∠CDE=（ ）°
A．40 B．50 C．60 D．70
【答案】D
【分析】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的性质、
圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理得到∠B=70°，再根据圆内接四边形性
质和平角的定义即可得解．
【详解】解：∵∠AOC=140°，
1
∴∠B= ∠AOC=70°，
2
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠ADC=180°，
∵∠CDE+∠ADC=180°，
∴∠CDE=∠B=70°，
故选：D．
5．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=110°，点E在AB上，则
∠E= °．
【答案】125
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．等腰三角形的
性质和三角形内角和定理．先根据圆内接四边形的性质计算出
∠BAD=180°−∠C=70°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠ADB=55°，然后再根据圆内接四边形的性质可得∠E的度数．
【详解】解：连接BD，
在⊙O的内接四边形ABCD中，∠C=110°，
∴∠C+∠BAD=180°，
∴∠BAD=180°−110°=70°，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
1
∴∠ADB= ×(180°−70°)=55°，
2
∵四边形AEBD为圆的内接四边形，
∴∠E+∠ADB=180°，
∴∠E=180°−55°=125°．
故答案为：125．
【考点10】直线与圆的位置关系
1．如图用的是“日晷饮水计时，晷头红照雨衡前”这一景，图中的江面和太阳可看成直线
和圆，则它们的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．平行
【答案】C
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题关键．
根据直线与圆有两个交点，则直线与圆相交，由此即可得．【详解】解：由图可知，图中的江面和太阳的位置关系为相交，
故选：C．
2．已知⊙O的半径为2cm，圆心O到直线l的距离为3cm，直线l与⊙O的位置关系是
（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【答案】A
【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握当d>r，则直线与圆
相离，当d=r，则直线与圆相切，当dr，
∴直线l与⊙O的位置关系是相离，
故选：A．
3．在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正
确的是（ ）
A．点B在⊙A内 B．点C在⊙A上
C．直线BC与⊙A相切 D．直线BC与⊙A相离
【答案】C
【分析】本题考查点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质，熟
练掌握点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系是解题的关键，过A点作AH⊥BC
1
于H，利用等腰三角形的性质得到BH=CH= BC=4，则利用勾股定理可求出
2
AH=3，然后根据点与圆的位置关系的判定方法对选项A、B进行判断，根据直线与
圆的位置关系对C、D进行判断即可得到答案．
【详解】解：过A点作AH⊥BC于H，如图，
∵AB=AC1
∴BH=CH= BC=4，
2
在Rt△ABH中，AH=❑√AB2−BH2 =❑√52−42 =3，
∵AB=5>3，
∴点B在⊙A外，则A不符合题意；
∵AC=5>3，
∴点C在⊙A外，则B不符合题意；
∴AH=3，AH⊥BC，
∴直线BC与⊙A相切， 则C符合题意；D不符合题意；
故选：C．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD是AB边上的高，AB=4，
若圆D是以点D为圆心，1.4为半径的圆，那么圆D与直线AC的关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定
【答案】B
【分析】此题考查了勾股定理、直线与圆的位置关系、含30°角的直角三角形的性质
等知识，熟练掌握直线与圆的位置关系是关键．过点D作DH⊥AC于点H，求出
1
DH= AD=1.5，由1.5>1.4即可得到结论．
2
【详解】解：过点D作DH⊥AC于点H，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，
1
∴BC= AB=2，
2
∴AC=❑√AB2−BC2 =2❑√3，
1 1
∴S = AC×BC= AB×CD，
△ABC 2 2
AC⋅BC
∴CD= =❑√3，
AB
∴AD=❑√AC2−CD2 =3
1
∴DH= AD=1.5
2
∵1.5>1.4，
∴则圆D与直线AC的关系是相离．
故选：B．
5.设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，并且方程x2−2❑√dx+r=0无实数根，
则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
【答案】C
【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，一元二次方程根的判别式；点O到直线
a的距离为d，若dr，则直线
与圆相离，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
由方程x2−2❑√dx+r=0无实数根，求出d
