第 24 章 圆
【考点1】圆的有关概念
【考点2】点与圆的位置关系
【考点3】垂径定理有关计算
【考点4】垂径定理的应用
【考点5】圆心角、弧、弦的关系
【考点6】确定圆的条件
【考点7】三角形的外接圆与外心
【考点8】利用圆周角定理求角度
【考点9】圆内接四边形的性质
【考点10】直线与圆的位置关系
【考点11】利用切线的性质求线段/角度
【考点12】切线的判定与性质
【考点13】切线长定理
【考点14】三角形的内切圆与内心
【考点15】正多边形和圆的综合应用
【考点16】弧长的有关运算
【考点17】圆锥的有关运算
【知识点1】圆的定义及性质
圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形
成的图形叫圆。这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。
圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。
确定圆的条件：1）圆心；2）半径。
备注：圆心确定圆的位置，半径长度确定圆的大小。【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；
2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；
3）半径相等的圆叫做等圆。
圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；
2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
【知识点2 】圆的有关概念
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。
直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。
备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。
⏜
弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作 ，读
AB
作圆弧AB或弧AB。
等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。
【知识点3】 垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条
弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；
2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分
【知识点4】 垂径定理的应用
经常为未知数，结合方程于勾股定理解答
【知识点5 】确定圆的条件
不在同一直线上的三个点确定一个圆。
【知识点6】三角形的外接圆与外心1.三角形的外接圆
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
2.三角形的外心
三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。
【知识点7】 圆心角的概念
圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。
弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
E
F
O
D
A
C
B
推论：在同圆或等圆中， 如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两
条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。
【知识点8】 圆角角的概念
圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=
1
圆心角）
2
C
B O
A
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 D C
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。
B O
A
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的
C
弦是直径。
B A
O
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形
是直角三角形。
C
B A
O【知识点9】圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙ 中， ∵四边 是内接四边形
D
C
∴
B
【知识点10】直线与圆的位置关系 A E
1、直线与圆相离 无交点；
2、直线与圆相切 有一个交点；
3、直线与圆相交 有两个交点；
r d d=r r d
【知识点11】切线的性质与判定定理
1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵ 且 过半径 外端
∴ 是⊙ 的切线 O
2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 M A N
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一
个。
【知识点12】切线长定理
切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两
条切线的夹角。
B
即：∵ 、 是的两条切线
∴ ； 平分
O
P
A【知识点13】三角形的内切圆和内心
1、三角形的内切圆
与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
2、三角形的内心
三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。
注意：内切圆及有关计算。
（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。
a+b−c
2
（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。
1
r(a+b+c)
2
（3）S = ，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。
△ABC
（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。
如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。
A D
O
B
【知识点14】 圆内正多边形的计算
（1）正三角形
在⊙ 中△ 是正三角形，有关计算在 中进行： ；
C
B C
O
O O
B A A D B
D E
A
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在 中进行， ：
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在 中进行，
【知识点15】 与正多边形有关的概念
1、正多边形的中心
正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
2、正多边形的半径正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。
3、正多边形的边心距
正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。
4、中心角
正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。
【知识点16】扇形的弧长和面积计算
扇形：（1）弧长公式： ； （2）扇形面积公式：
：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积
注意：
(1)对于弧长公式，关键是要理解 1°的圆心角所对的弧长是圆周长的 ，即
；
(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；
(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就
可以求出第三个量.
(4)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的 ，
即 ；
(5)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积 S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中
的两个量就可以求出第三个量.
【知识点17】扇形与圆柱、圆锥之间联系
1、圆柱：
D
A D1
（1）圆柱侧面展开图
母线长
底面圆周长
B C1
C=
（2）圆柱的体积：
B1
2、圆锥侧面展开图
（1） = O
R
（2）圆锥的体积：
C
A r B
注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（ ）
【考点1】圆的有关概念
1．下列命题是真命题的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧
B．圆中最长的弦是经过圆心的弦
C．一条弦把圆分成两条弧，分别是优弧和劣弧
D．平分弦的直径垂直于弦
【答案】B
【分析】本题考查了命题，圆中的有关概念，熟练掌握圆的概念和性质是解题的关键。
根据圆的概念和性质分析即可．
【详解】解：A．在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故原说法错误，是伪命题，
不符合题意；
B．圆中最长的弦是经过圆心的弦，说法正确，是真命题，符合题意；
C．一条弦（非直径）把圆分成两条弧，分别是优弧和劣弧，故原说法错误，是伪命题，
不符合题意；
D．平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故原说法错误，是伪命题，不符合题意；
故选：B．
2．如图，MN为⊙O的弦，∠MON=120°，则∠M等于（ ）A．30° B．60° C．90° D．120°
【答案】A
【分析】本题重点考查了圆的基本性质、等腰三角形的性质，并且利用三角形的内角和
定理求解角的度数，难度不大．根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵OM=ON，
∴∠M=∠N，
∵∠MON=120°，
∴∠M=(180°−∠MON)÷2=30°，
故选：A．
3．如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD=CD=8，
OD=6，则半径的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及圆的基本性质．根据等腰三
角形的性质得出OD⊥AC，根据勾股定理求出OC=10即可．
【详解】解：∵AD=CD=8，
∴点D为AC的中点，
∵AO=CO，
∴OD⊥AC，
由勾股定理得，OC=❑√CD2 +OD2 =❑√62 +82 =10，故选：D．
4．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E．若DE=OB,∠C=40°,则∠E等于
（ ）
A．20° B．10° C．30° D．40°
【答案】A
【分析】本题考查等腰三角形的性质，掌握三角形外角的性质和等腰三角形的性质是解
题的关键．连接，根据等腰三角形的性质证明∠DOE=∠E，利用三角形外角的性质
得到∠ODC=2∠E，再由等腰三角形的性质得到∠ODC=∠C，从而计算∠E的
度数即可．
【详解】解：如图，连接OD．
∵DE=OB，OB=OD
，
∴DE=OD，
∴∠DOE=∠E，
∴∠ODC=∠E+∠DOE=2∠E，
∵OC=OD，
∴∠ODC=∠C，
∵∠C=40°，
∴2∠E=40°，
∴∠E=20°．
故选：A．
【考点2】点与圆的位置关系
1．已知⊙O的半径r为6，若点P在⊙O内，则点P到圆心的距离可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A
【分析】本题考查点与圆的位置关系，关键是掌握点与圆的位置关系的判定方法．
已知⊙O的半径为6，若点P在⊙O内，则PO<6，据此即可得到答案．
【详解】解：∵⊙O的半径为6，点P在⊙O内，
∴PO<6，
∴点P到圆心的距离可能是5，选项A符合题意，B、C、D不符合题意，
故选：A．
2．⊙O的半径为3，点A到圆心O的距离为2，点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在⊙O外 B．点A在⊙O内
C．点A在⊙O上 D．不能确定
【答案】B
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点A到圆心O的距离d 与圆的半径r的关
AO
系进行判定即可求解．
【详解】解：设点A到圆心O的距离d ，
AO
d =2<3，
AO
∵点A在⊙O内，
∴故选：B ．
3．已知⊙O的半径为3cm，点P到圆心O的距离为6cm，则点P在（ ）
A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不能确定
【答案】C
【分析】本题考查了点与圆的位置关系．若圆的半径为r，点P到圆心的距离为d，则
点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d<r．根据点与圆的位置关系
进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，r=3，d=6，
∴d>r，
∴点P在⊙O外．
故选：C．
4．若⊙O的半径为3cm，点A不在⊙O内，则OA的长（ ）
A．大于3cm B．不小于3cm C．大于6cm D．不小于6cm
【答案】B
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是要牢记若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d<r时，点在圆内．
根据点与圆的位置关系即可得出答案．
【详解】解：∵⊙O的半径为3cm，点A不在⊙O内，
∴OA的长不小于3cm，
故选：B．
【考点3】垂径定理有关计算
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE=1，CD=4，则OC的长为（ ）
A．3 B．2.5 C．2 D．1.5
【答案】B
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由以上知识点得到关于r的方程．
设OC=OA=r，则OE=r−1，根据垂径定理可得CE=2，利用勾股定理列方程即可解
答．
【详解】解：设OC=OA=r，则OE=r−1，
∵CD⊥AB，
1
∴CE=DE= CD=2，
2
根据勾股定理可得22 +(r−1) 2 =r2，
解答r=2.5，
故选：B．
2．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，
不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达
即：如图，弦AB⊥CD，垂足为点D，CD=1寸，AB=1尺（10寸），则圆的直径
长度是（ ）A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸
【答案】D
【分析】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用．
1
连接OA，设⊙O的半径是r寸，由垂径定理得到AD= AB=5寸，由勾股定理得到
2
r2 =(r−1) 2 +52，求出r，即可得到圆的直径长．
【详解】解：连接OA，
设⊙O的半径是r寸，
∵弦AB⊥CD，垂足为点D，
1 1
∴AD= AB= ×10=5寸，
2 2
∵CD=1寸，
∴OD=(r−1)寸，
∵OA2 =OD2 +AD2，
∴r2 =(r−1) 2 +52，
∴r=13，
∴直径的长度为2r=26寸．
故选：D．
3．如图，在⊙O中，半径长为5，圆心O到弦AB的距离OE=3，则弦AB的长为( )A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】此题考查了垂径定理与勾股定理．由勾股定理即可求得AE的长，然后由垂
径定理求得AB的长．
【详解】解：依题意，OE⊥AB，OE=3，OA=5，由勾股定理得：
AE=❑√OA2−OE2 =4，
∵OE⊥AB O，
∴AB=2AE=8，
故选：C．
4．如图， 在⊙O中，OD⊥AB，AB=8，CD=2，则OA 的长为（ ）
A．5 B．3 C．4 D．6
【答案】A
【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，根据垂径定理可得AC=4，在
Rt△ACO中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
【详解】解：∵OD⊥AB，AB=8，
∴AC=4，
设OA=r，
∵CD=2，
∴OC=r−2，
在Rt△ACO中，AO2 =CO2 +AC2，∴r2 =(r−2) 2 +42，
解得：r=5，
即OA=5．
故选：A．
5．某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同
学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交
于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm，AB=3cm，
CD=4cm．请你帮忙计算纸杯杯底的半径为（ ）
A．2.4cm B．2.5cm C．4.8cm D．5cm
【答案】B
【分析】本题考查垂径定理，掌握相关知识是解决问题的关键．由垂径定理求出BN，
CM的长，设ON=xcm，由勾股定理得到(3.5−x) 2 +22 =x2 +1.52，求出x的值，得到
ON的长，由勾股定理求出OB长，即可求出纸杯的半径长．
【详解】解：如图，MN⊥AB，MN过圆心O，连接OC，OB，
∴MN=3.5cm
，
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD，
1 1 1 1
∴ CM= CD= ×4=2(cm)，BN= AB= ×3=1.5(cm)，
2 2 2 2
设ON=xcm，
∴OM=MN−ON=(3.5−x)cm，
∵OM2 +MC2 =OC2，ON2 +BN2 =OB2，
∴OM2 +MC2 =ON2 +BN2，∴(3.5−x) 2 +22 =x2 +1.52，
∴12.25−7x+x2 +4=x2 +2.25，
∴7x=14，
∴x=2，
∴ON=2cm，
∴ OB=❑√ON2 +NB2 =❑√22 +1.52 =2.5(cm)，
故选：B．
6．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为
（ ）
A．2cm B．2❑√2cm C．2❑√3cm D．2❑√5cm
【答案】C
【分析】本题考查垂径定理的运用以及翻折变换的性质，解题的关键在于作出辅助线
利用数形结合解答．连接OA，过点O作OE⊥AB于点E，交⊙O于点D，由折叠的
性质得：OE=DE=1，在Rt△AOE中，利用勾股定理可得AE，再由垂径定理可知
AB=2AE，从而求得答案．
【详解】解：连接OA，过点O作OE⊥AB于点E，交⊙O于点D，
∵ 2cm
将半径为 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，
∴ OE=DE=1，
∵ OE⊥AB，
1
∴ AE=BE= AB，
2在Rt△AOE中，AO=2cm，OE=1，
∴AE=❑√AO2−OE2 =❑√22−12 =❑√3cm，
∴AB=2AE=2❑√3cm，
故选：C．
7．如图，在⊙O中，圆心O到AB的距离OE为5cm，⊙O的半径为13cm，则弦AB的长
为 cm．
【答案】24
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上定理．
根据垂径定理得出AB=2AE，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵OE⊥AB，
∴AB=2AE，
由勾股定理得，AE=❑√OA2−OE2 =❑√132−52 =12cm，
∴AB=2AE=24cm，
故答案为：24．
8．已知P是⊙O内的一点，过点P的最长的弦长为10cm，最短的弦为6cm，则OP的长
为
【答案】4cm
【分析】本题综合考查了垂径定理和勾股定理．解此类题目要注意将圆的问题转化成
三角形的问题再进行计算．
根据圆内最长的弦为直径，最短的弦是过点P且与这条直径垂直的弦，由勾股定理和
垂径定理求解即可．
【详解】解：如图，∵圆内最长的弦为直径，最短的弦是过点P且与这条直径垂直的弦，
∴AB=10，CD=6，AB⊥CD，
1 1
∴OC= AB=5，CP= CD=3，
2 2
由勾股定理得：OP=❑√OC2−CP2 =❑√52−32 =4(cm)，
故答案为：4cm．
【考点4】垂径定理的应用
1．如图，圆弧形桥拱的跨度AB=16米，拱高CD=4米，则拱桥的半径为（ ）
A．3米 B．10米 C．12米 D．20米
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定
理是解题的关键．
设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，连接OA、OD，则O、D、C三点共线，根
据垂径定理得AD=8米，再由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，如图，连接OA、OD，则O、
D、C三点共线，∵拱高为CD，
∴OC⊥AB，
∵AB=16米，
1
∴AD= AB=8米，
2
在Rt△AOD中，根据勾股定理，得：AD2 +OD2 =OA2，
即r2 =82 +(r−4) 2，
解得：r=10，
即拱桥的半径为10米，
故选：B．
2．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为10cm，油面宽AB
为12cm，如果再注入尽可能多的一些油后，油面宽变为16cm，则油面AB上升了
cm．
【答案】14
【分析】本题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用．
由垂径定理和勾股定理求出OG、OH的长，即可解决问题．
【详解】解：当油面没超过圆心O，油面宽CD为16cm时，过O作OG⊥AB于G，交
CD于H，连接OA，OC，
则OH⊥CD，
1 1
∴AG= AB=6(cm)，CH= CD=8(cm)，
2 2
∵截面⊙O半径为10cm，∴OA=10cm，
∴OG=❑√OA2−AG2 =❑√102−62 =8(cm)，
OH=❑√OC2−CH2 =❑√102−82 =6(cm)，
则OG−OH=8−6=2(cm)，
即当油面没超过圆心O时，油上升了2cm；
当油面超过圆心O，
同理得OH′ =6cm，
则OG+OH′ =8+6=14(cm)，
即油面AB上升了14cm；
根据题意这时注入的油尽可能的多，
故答案为：14．
3．《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，
以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD
为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED=1寸，AB=6寸，求直径CD的长．”则CD
的长是 寸．
【答案】10
【分析】此题考查了垂径定理的应用，解决本题的关键是注意利用圆的半径，弦的一
半及弦心距所构成的直角三角形来解决实际问题．
连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DE垂直AB得到点E为AB的中点，由
AB=6可求出AE的长，再设出圆的半径OA为x，表示出OE，根据勾股定理建立关于
x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为圆的半径，把求出的半径代入即可得到
答案．
【详解】解：连接OA，如图，∵AB⊥DC，且AB=6寸，
∴AE=BE=3寸，
设⊙O的半径OA的长为x，则OC=OD=x，
∵ED=1寸，
∴OE=x−1寸，
在Rt△AOE中，根据勾股定理得：x2−(x−1) 2 =32
x2−(x2−2x+1)=9
x2−x2 +2x−1=9
2x=10
解得x=5，
∴CD=5×2=10寸．
故答案为：10．
4．如图，一个隧道的横截面是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=8m，高CD=6m，则
此圆的半径长为 m．
13
【答案】
3
【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理；连接OA，设圆的半径为r，则
1
OA=OC=r，由垂径定理得AD= AB=4m，由OD=CD−OC=(6−r)m，由勾股
2
定理建立方程即可求解．【详解】解：如图，连接OA，
设圆的半径为r，则OA=OC=r，
∵CD⊥AB，且CD过圆心O，
1
∴AD= AB=4m，
2
∵OD=CD−OC=(6−r)m，
∴由勾股定理得：OA2 =OD2 +AD2，
即r2 =(6−r) 2 +42，
13
解得：r= ，
3
13
故答案为： ．
3
5．如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，
AB=50cm，MN为水面截线，MN=48cm，GH为桌面截线，MN∥GH．
(1)作OC⊥MN于点C，求OC的长；
(2)将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了13cm，求此时水面截线减
少了多少？
【答案】(1)OC的长7cm
(2)此时水面截线减少了18cm
【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用、勾股定理的应用等知识点，理解垂径
定理是解题的关键．（1）如图1：连接OM，由圆的性质可得OM=25cm，再利用垂径定理得出
MC=24cm，再运用勾股定理计算即可解答；
（2）如图2：过点O作OD⊥EF，垂足为点D，连接OE，利用勾股定理求出
ED=15，再利用垂径定理得出EF=2ED=2×15=30，最后MN与EF相减即可解答．
【详解】（1）解：如图1：连接OM，
∵AB=50，
∴OM=25cm
∵OC⊥MN，
1 1
∴∠OCM=90°，MC=NC= MN= ×48=24cm，
2 2
在Rt△OMC中，根据勾股定理得：OC2 +MC2 =OM2，
∴OC2 +242 =252，解得：OC=7，
∴OC的长7cm．
（2）解：如图2：过点O作OD⊥EF，垂足为点D，连接OE，
∴∠ODE=90°，EF=2ED
由题意可知：OD=7+13=20cm
在Rt△OED中，根据勾股定理得：OD2 +ED2 =OE2，
∴202 +ED2 =252 ，解得：ED=15，
∴EF=2ED=2×15=30，
∴48−30=18，
∴此时水面截线减少了18cm．【考点5】圆心角、弧、弦的关系
1．如图，AB和CD是⊙O上的两条弦，圆心O到它们的距离分别为OM和ON，若
AB>CD，则下列结论正确的是（ ）
A．A´B<C´D B．AM<CN C．OM>ON D．
∠AOM>∠CON
【答案】D
【分析】本题主要考查了弧、弦和圆心角之间的关系，垂径定理，勾股定理，由弧与
弦之间的关系可得A´B>C´D，据此可判断A；根据垂径定理可判断B；根据勾股定理可
判断C；根据弦与圆心角之间的关系和垂径定理可判断D．
【详解】解：A、∵AB和CD是⊙O上的两条弦，且AB>CD，
∴A´B>C´D，原说法错误，不符合题意；
B、∵AB和CD是⊙O上的两条弦，圆心O到它们的距离分别为OM和ON，
1 1
∴AM= AB，CN= CD，
2 2
∵AB>CD，
∴AM>CN，原说法错误，不符合题意；
C、在Rt△CON中，由勾股定理得ON=❑√OC2−CN2，
在Rt△AOM中，由勾股定理得OM=❑√OA2−AM2，
∵OA=OC，CN<AM，
∴OM<ON，原说法错误，不符合题意；
D、∵AB和CD是⊙O上的两条弦，且AB>CD，圆心O到它们的距离分别为OM和
ON，
1 1
∴∠AOB>∠COD，∠AOM= ∠AOB，∠CON= ∠COD，
2 2
∴∠AOM>∠CON，原说法正确，符合题意；
故选：D．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=20°，以点C为圆心，BC为半径的圆
分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（ ）
A．28° B．60° C．55° D．40°
【答案】D
【分析】本题考查了圆心角，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆心角的定
义；先求出∠B，再根据等腰三角形的性质求出∠BCD，∠BCD即为弧BD的度数，
即可得解．
【详解】解：∵∠ACB=90°,∠A=20°，
∴∠B=90°−∠A=70°，
∵CB=CD，
∴∠CDB=∠B=70°，
∴∠BCD=180°−70°−70°=40°，
∴弧BD的度数为40°，
故选：D．
⏜ ⏜ ⏜
3．如图，AB是⊙O的直径，
BC=CD=DE
，∠AOE=84°，则∠COD的度数为
（ ）
A．32° B．52° C．54° D．42°
【答案】A
【分析】本题考查了弧与圆心角的关系，根据已知得出
⏜ ⏜ ⏜
∠EOB=180°−∠AOE=96°，进而根据 ，即可求解．
BC=CD=DE【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∠AOE=84°，
∴∠EOB=180°−∠AOE=96°，
⏜ ⏜ ⏜
∵ ，
BC=CD=DE
1
∴∠BOC=∠EOD=∠COD= ∠EOB=32°，
3
故选：A．
4．如图，在以O为圆心的半圆中，AB是直径，点C是弧AB的中点，连接OC，OE平分
∠COB交⊙O于点E，连接AE，则∠AEO的度数是（ ）
A．20° B．22.5° C．30° D．45°
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理,圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理,等腰三角形的性质，
熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．
先利用垂径定理的推论得到OC⊥AB，再根据角平分线的定义得到∠BOE=45°，
则根据圆周角定理得到∠A=22.5°，然后根据等腰三角形的性质得到∠AEO的度数．
【详解】解：∵点C是弧AB的中点，
∴OC⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=90°，
∵OE平分∠COB，
1
∴∠BOE= ∠BOC=45°，
2
1
∴∠A= ∠BOE=22.5°，
2
∵OA=OE，
∴∠AEO=∠A=22.5°．
故选：B．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=26°，以点C为圆心，BC为半径的圆交
AB于点D，交AC于点E，则B´D的度数为 ．【答案】52°
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系．连接CD，如图，先根据三角形内角和
计算出∠B=64°，再根据等腰三角形的性质由CB=CD得到∠CDB=∠B=64°，
然后再利用三角形内角和计算出∠BCD=52°，最后根据圆心角的度数等于它所对的
弧的度数求解．
【详解】解：连接CD，如图，
∵∠C=90°，∠A=26°，
∴∠B=64°，
∵CB=CD，
∴∠CDB=∠B=64°，
∴∠BCD=180°−64°−64°=52°，
∴B´D的度数为52°，
故答案为：52°．
6．如图，在⊙O中，已知∠OAB=50°，则弧AB的度数是 ．
【答案】80°
【分析】本题考查了求弧的度数．
根据等边对等角求出∠AOB的度数即可．【详解】∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=50°，
∴∠AOB=180°−∠OAB−∠OBA=180°−50°−50°=80°，
∴弧AB的度数是80°．
故答案为：80°．
【考点6】确定圆的条件
1．如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多
可画出圆的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】找出不在同一条直线上的三个点的所有组合，即可解决问题．
【详解】解：过以下三点可以画出一个圆：A、B、P；A、C、P；A、D、P；B、
C、P；B、D、P；C、D、P．
∴最多可画出圆的个数为6个．
故选：D．
【点睛】本题考查确定圆的条件，掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键．
2．如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应
该带去店里的碎片是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】本题考查了确定圆的条件，根据不在一条直线上三点确定一个圆即可解得，
解题的关键是熟练掌握圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，只要有一段弧，即可
确定圆心和半径，
∴小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是②，
故选：B．
3．已知M(1,2)，N(3,−3)，P(x,y)三点可以确定一个圆，则以下P点坐标不满足要求的
是（ ）
A．(3,5) B．(−3,5) C．(−1,7) D．(1,−3)
【答案】C
【分析】考查了确定圆的条件及一次函数图象与点的关系，解题的关键是了解“不在
同一直线上的三点确定一个圆”，难度不大．利用待定系数法求出直线MN的解析式，
再把每点代入函数解析式，根据不在同一直线上的三点能确定一个圆，由于(−1,7)在
直线MN上，可知答案．
【详解】解：设直线MN的解析式为y=kx+b，
{ k+b=2 )
∴ ，
3k+b=−3
5
{ k=− )
2
解得 ，
9
b=
2
5 9
∴y=− x+ ，
2 2
5 9
A、当x=3，y=− ×3+ =−3≠5，故(3,5)不在直线MN上，根据不在同一直线三
2 2
点确定一个圆得(3,5)与M(1,2)，N(3,−3)可以确定一个圆，故本选项不符合题意；
5 9
B、当x=−3，y=− ×(−3)+ =12≠5，同理，故本选项不符合题意；
2 2
5 9
C、当x=−1，y=− ×(−1)+ =7，故(−1,7)在直线MN上，故不能确定一个圆，
2 2
故本选项符合题意；
5 9
D、x=1，y=− ×1+ =2≠−3，同理，故本选项不符合题意．
2 2
故选：C．
4．已知AB=4cm，经过A，B两点作圆，则所作的圆的半径最小是 cm．【答案】2
【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟知经过线段AB最小的圆即为以AB为直径的
圆是解答此题的关键．
经过线段AB最小的圆即为以AB为直径的圆，求出半径即可．
【详解】解：根据题意得：经过线段AB最小的圆即为以AB为直径的圆，则此时半径
为2cm．
故答案为：2．
5．若过平面直角坐标系中的三个点A(1,0)、B(0,2)、C(−1,m)能确定一个圆，则m≠
．
【答案】4
【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，圆的确定，根据不在同一直线的三个
点确定一个圆，得到当点C不在直线AB上，三个点确定一个圆，进行求解即可．
【详解】解：∵A(1,0)、B(0,2)，
∴设直线AB的解析式为：y=kx+2，把A(1,0)代入，得：k=−2，
∴y=−2x+2，
∴当x=−1时，y=−2×(−1)+2=4，
∴当m≠4时，平面直角坐标系中的三个点A(1,0)、B(0,2)、C(−1,m)能确定一个
圆，
故答案为：4
【考点7】三角形的外接圆与外心
1．如图，Rt△ABC中，∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm，则它的外心与顶点C的距离
为（ ）
A．10cm B．5cm C．3cm D．4cm
【答案】B
【分析】本题考查了直角三角形的外接圆半径的求法，熟记直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，以斜边的一半为半径的圆是解题关键．直角三角形的外心与斜边中
点重合，因此外心到直角顶点的距离正好是斜边的一半；由勾股定理易求得斜边AB
的长，进而可求出外心到直角顶点C的距离．
【详解】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm，
∴AB=❑√AC2 +BC2 =10(cm)，
1
斜边上的中线长 AB=5(cm)，
2
因而外心到直角顶点C的距离等于斜边的中线长5cm.
故选：B．
2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠ABC=45°，AC=2，则⊙O的半径是
．
【答案】❑√2
【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心．连接OA、OC，根据圆周角定理得到
∠AOC=90°，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：连接OA、OC，则OA=OC，
∵∠ABC=45°
，
∴∠AOC=2∠ABC=90°，
∴OA2 +OC2 =AC2，即2OA2 =4，
解得：OA=❑√2（负值已舍去），
故答案为：❑√2．
3．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，若∠BAC=90°，BD=4．求△ABC外接圆的半径．
【答案】2❑√2
【分析】本题主要考查了三角形的外接圆，圆周角定理，勾股定理等知识，先根据圆
周角定理可知∠BDC=90°，BC为⊙O的直径，再结合题意得到BD=CD，利用勾
股定理求出BC的长，从而得出答案．
【详解】解：∵∠BAC=90°，
∴BC为⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴B´D=C´D，
∴BD=CD，
∵BD=4，
∴BC=❑√BD2 +CD2 =4❑√2，
1
∴△ABC外接圆的半径为 ×4❑√2=2❑√2．
2
4．如图，已知△ABC中，AB=AC=10，BC=16．
(1)用无刻度的直尺和圆规，作△ABC的外接圆⊙O．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，求圆O的半径R．
【答案】(1)见解析
25
(2)
3
【分析】（1）作线段AB，AC的垂直平分线交于点O，连接OB，以 O为圆心，OB为半径作圆即可；
（2）连接OB，OA，OA交BC于点D，设AO=OB=x，利用勾股定理构建方程求
解即可．
本题考查作图，复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题
的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
【详解】（1）解：如图，⊙O即为所求；
（2）解：连接OB，OA，OA交BC于点D．
设AO=OB=x．
∵AB=AC，
∴A´B=A´C，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC=10，BC=16，
∴BD=CD=8，
∴AD=❑√AB2−BD2 =❑√102−82 =6，
在Rt△OBD中，OB2 =BD2 +OD2，
∴x2 =82 +(x−6) 2，25
解得：x=
3
25
∴圆O的半径为： ．
3
5．如图所示，已知在△ABC中，AB=4，AC=BC=6．
(1)作出△ABC的外接圆⊙O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
(2)求△ABC的面积以及外接圆半径．
【答案】(1)见解析
9
(2)S =8❑√2，△ABC外接圆的半径是 ❑√2
△ABC 4
【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，尺规作图作三角形外接圆；作等腰
三角形的底边上高，运用三线合一的性质是解题的关键．
（1）作BC和AC的中垂线的交点就是圆心，则圆即可作出；
（2）连接CO并延长交AB于点D，连接OB，在直角△OAD中，利用勾股定理即可
列方程求得半径，进而求得直径．
【详解】（1）解：⊙O即为所作；
（2）连接CO并延长交AB于点D，连接OB，
∵BC=AC，CD⊥AB，1 1
∴AD= AB= ×4=2，
2 2
∴CD=❑√AC2−AD2 =❑√62−22 =4❑√2，
1 1
∴S = AB×CD= ×4×4❑√2=8❑√2，
△ABC 2 2
设圆的半径是r，则OD=CD−r=4❑√2−r，OA=r，
在直角△OAD中，OA2 =AD2 +OD2，即r2 =22 +(4❑√2−r) 2 ，
9 9
解得：r= ❑√2，则△ABC外接圆的半径是 ❑√2．
4 4
【考点8】利用圆周角定理求角度
1．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，若∠BAC=36°，则∠BOC的度数为（ ）
A．36° B．54° C．60° D．72°
【答案】D
【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题
的关键．根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵B´C=B´C，∠BAC=36°，
∴∠BOC=2∠BAC=72°．
故选：D．
2．如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上，若∠BDC=130°，则∠ABC的
度数为（ ）A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】A
【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟记圆周角定理及圆内接四
边形的性质是解题的关键．根据直径所对的圆周角是直角求得∠ACB=90°，根据圆
内接四边形的性质得出∠A=50°，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求解
∠ABC．
【详解】解：∵四边形ABCD为圆O的内接四边形，
∴∠A+∠BDC=180°，
∵∠BDC=130°，
∴∠A=50°，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∴∠ABC=40°，
故选：A．
3．如图，AB是⊙O的直径，A，B，C，D在圆周上，已知∠C=60°，则∠B为
（ ）
A．80° B．60° C．70° D．40°
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理的推论，熟练掌握圆周角定理的推论是解题的关键；
由同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠B=∠C=60°，即可得出答案．
【详解】解：∵A´D=A´D，∠C=60°，∴∠B=∠C=60°．
故选：B．
4．如图，点A,B,C在⊙O上，点A是B´C中点，若∠ABC=36°，则∠BCO的度数为
（ ）
A．8° B．16° C．18° D．28°
【答案】C
【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，等腰三角形的性质等，熟
练掌握以上性质是解题的关键．根据弧、弦、圆心角的关系，推出∠AOB=∠AOC，
再根据圆周角定理，推出∠AOC=2∠ABC，最后由等边对等角和三角形内角和定
理即可求得答案．
【详解】解：∵点A是B´C中点，
∴A´B=A´C，
∴∠AOB=∠AOC，
∵∠ABC=36°，
∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，
∴∠BOC=∠AOC+∠AOB=72°+72°=144°，
又∵OB=OC，
∴∠CBO=∠BCO，
∵∠CBO+∠BCO+∠BOC=180°，
1 1
∴∠BCO= (180°−∠BOC)= (180°−144°)=18°．
2 2
故选：C．
5．如图，A，B，C三点在⊙O上，且∠BOC=100∘，则∠A的度数为（ ）A．40∘ B．50° C．80∘ D．100∘
【答案】B
【分析】在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心
角的一半，由此可得出答案．
本题考查了圆周角定理，属于基础题，掌握圆周角定理的内容是解答本题的关键．
1 1
【详解】解：由题意得∠A= ∠BOC= ×100°=50°，
2 2
故选：B．
6．如图，在⊙O中，∠BAC=18°，∠ADC=24°，则∠AOB的度数为（ ）．
A．40° B．42° C．66° D．84°
【答案】D
【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理，连接OC是解题的关键；
连接OC，利用圆周角定理求出∠AOC，∠BOC，再由
∠AOB=∠AOC+∠BOC求解即可．
【详解】解：如图，连接OC，
根据圆周角定理，可得∠AOC=2∠ADC=48°，∠BOC=2∠BAC=36°，∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=84°．
故选：D．
【考点9】圆内接四边形的性质
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD=136°，那么它的外角∠DCE的度数是(
)
A．68° B．136° C．88° D．44°
【答案】A
【分析】本题考查圆内接四边形对角互补的性质和圆周角定理，解题关键是得出
∠BCD的大小．先根据圆周角定理得出∠BAD的大小，然后利用圆的内接四边形对
角互补的性质，得出∠BCD的大小，从而得出∠DCE的大小．
【详解】解：∵∠BOD=136°，
1
∴ ∠A= ∠BOD=68°，
2
∴∠BCD=180°−∠A=112°，
∴∠DCE=180°−∠BCD=68°．
故选：A．
2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE平分∠ABC，点A是劣弧B´E的中点．
若∠D=92°，则∠AEB的度数是（ ）
A．40° B．44° C．45° D．46°
【答案】B
【分析】先利用圆内接四边形的性质求出∠ABC的度数，再由角平分线的定义得出∠ABE的度数，最后根据弧中点的性质得到∠AEB与∠ABE的关系，进而求出
∠AEB的度数．本题主要考查了圆内接四边形的性质、角平分线的定义以及弧与圆
周角的关系，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠D=92°
∴ ∠ABC=180°−∠D=180°−92°=88°
∵ BE平分∠ABC
1 1
∴ ∠ABE= ∠ABC= ×88°=44°
2 2
⏜
∵ 点A是劣弧 的中点
BE
⏜ ⏜
∴
AB=AE
∴ ∠AEB=∠ABE=44°．
故选：B．
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E为弧CD上任意一点（点E不与点D，C重合），
连接BE交DC于点P．若∠A=120°，则∠CPE的度数可能为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．69°
【答案】D
【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，解题关键是熟练掌握圆内接四边形对
角互补．由圆内接四边形的性质得∠C=60°，再由∠CPE为的外角求解．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠A=120°，
∴∠C=180°−∠A=60°，
∵∠CPE为△PCB的外角，
∴∠CPE>∠C，只有D选项满足题意；
故选：D．
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD至点E，已知∠AOC=140°，那么∠CDE=（ ）°
A．40 B．50 C．60 D．70
【答案】D
【分析】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的性质、
圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理得到∠B=70°，再根据圆内接四边形性
质和平角的定义即可得解．
【详解】解：∵∠AOC=140°，
1
∴∠B= ∠AOC=70°，
2
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠ADC=180°，
∵∠CDE+∠ADC=180°，
∴∠CDE=∠B=70°，
故选：D．
5．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=110°，点E在AB上，则
∠E= °．
【答案】125
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．等腰三角形的
性质和三角形内角和定理．先根据圆内接四边形的性质计算出
∠BAD=180°−∠C=70°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠ADB=55°，然后再根据圆内接四边形的性质可得∠E的度数．
【详解】解：连接BD，
在⊙O的内接四边形ABCD中，∠C=110°，
∴∠C+∠BAD=180°，
∴∠BAD=180°−110°=70°，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
1
∴∠ADB= ×(180°−70°)=55°，
2
∵四边形AEBD为圆的内接四边形，
∴∠E+∠ADB=180°，
∴∠E=180°−55°=125°．
故答案为：125．
【考点10】直线与圆的位置关系
1．如图用的是“日晷饮水计时，晷头红照雨衡前”这一景，图中的江面和太阳可看成直线
和圆，则它们的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．平行
【答案】C
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题关键．
根据直线与圆有两个交点，则直线与圆相交，由此即可得．【详解】解：由图可知，图中的江面和太阳的位置关系为相交，
故选：C．
2．已知⊙O的半径为2cm，圆心O到直线l的距离为3cm，直线l与⊙O的位置关系是
（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【答案】A
【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握当d>r，则直线与圆
相离，当d=r，则直线与圆相切，当d<r，则直线与圆相交．利用直线与圆的位置关
系即可求解．
【详解】解：∵⊙O的半径r为2cm，圆心O到直线l的距离d为3cm，
∴d>r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相离，
故选：A．
3．在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正
确的是（ ）
A．点B在⊙A内 B．点C在⊙A上
C．直线BC与⊙A相切 D．直线BC与⊙A相离
【答案】C
【分析】本题考查点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质，熟
练掌握点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系是解题的关键，过A点作AH⊥BC
1
于H，利用等腰三角形的性质得到BH=CH= BC=4，则利用勾股定理可求出
2
AH=3，然后根据点与圆的位置关系的判定方法对选项A、B进行判断，根据直线与
圆的位置关系对C、D进行判断即可得到答案．
【详解】解：过A点作AH⊥BC于H，如图，
∵AB=AC1
∴BH=CH= BC=4，
2
在Rt△ABH中，AH=❑√AB2−BH2 =❑√52−42 =3，
∵AB=5>3，
∴点B在⊙A外，则A不符合题意；
∵AC=5>3，
∴点C在⊙A外，则B不符合题意；
∴AH=3，AH⊥BC，
∴直线BC与⊙A相切， 则C符合题意；D不符合题意；
故选：C．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD是AB边上的高，AB=4，
若圆D是以点D为圆心，1.4为半径的圆，那么圆D与直线AC的关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定
【答案】B
【分析】此题考查了勾股定理、直线与圆的位置关系、含30°角的直角三角形的性质
等知识，熟练掌握直线与圆的位置关系是关键．过点D作DH⊥AC于点H，求出
1
DH= AD=1.5，由1.5>1.4即可得到结论．
2
【详解】解：过点D作DH⊥AC于点H，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，
1
∴BC= AB=2，
2
∴AC=❑√AB2−BC2 =2❑√3，
1 1
∴S = AC×BC= AB×CD，
△ABC 2 2
AC⋅BC
∴CD= =❑√3，
AB
∴AD=❑√AC2−CD2 =3
1
∴DH= AD=1.5
2
∵1.5>1.4，
∴则圆D与直线AC的关系是相离．
故选：B．
5.设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，并且方程x2−2❑√dx+r=0无实数根，
则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
【答案】C
【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，一元二次方程根的判别式；点O到直线
a的距离为d，若d<r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d>r，则直线
与圆相离，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
由方程x2−2❑√dx+r=0无实数根，求出d<r，从而得出答案．
【详解】解：∵点O到直线l距离是方程x2−2❑√dx+r=0无实数根，∴(−2❑√d) 2 −4r<0，
∴d<r，
∴直线l与圆相交，
故选：C．
【考点11】利用切线的性质求线段/角度
1．（2025·河南平顶山·模拟预测）如图，以AB为直径的半圆O交BC于点D，已知AC与
⊙O相切于点A，若∠AOD=60°，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．60° C．45° D．75°
【答案】B
【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线定理，直角三角形两锐角互余，熟练
1
掌握以上知识点是解题的关键．由圆周角定理可得出∠B= ∠AOD=30°，再由圆
2
的切线定理可得出∠BAC=90°，最后由直角三角形两锐角互余即可得出答案．
【详解】解：∵A´D=A´D，∠AOD=60°
1
∴∠B= ∠AOD=30°．
2
∵以AB为直径的⊙O与AC相切于点A，
∴∠BAC=90°，
∴∠C=90°−30°=60°．
故选：B．
2．（2025·甘肃张掖·模拟预测）如图所示，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C
为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠P=70°，则∠ACB的度数为( )A．50° B．55° C．60° D．65°
【答案】B
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，掌握切线的性质是解题的关键，先利
用切线的性质得∠OAP=∠OBP=90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB的度
数，然后根据圆周角定理计算∠ACB的度数．
【详解】连接OA、OB，
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠P=70°，
∴∠AOB=180°−∠P=180°−70°=110°，
1 1
∴∠ACB= ∠AOB= ×110°=55°．
2 2
故选：B．
3．（24-25九年级上·天津·阶段练习）如图，AB,BC,CD分别与⊙O相切于E,F,G三点．
且AB∥CD，BO=3,CO=4，则OF的长为（ ）9 16 12
A．5 B． C． D．
5 5 5
【答案】D
【分析】本题考查了圆的切线性质定理、角平分线的判定定理、平行线的性质，勾股
定理等知识，熟练掌握圆的切线性质定理是解题关键．连接OE,OF,OG，先根据圆
的切线性质定理可得OE⊥AB,OF⊥BC,OG⊥CD，且OE=OF=OG，再根据角
平分线的判定定理可得OB平分∠ABC，OC平分∠BCD，然后证出∠BOC=90°，
利用勾股定理可得BC的长，最后利用三角形的面积公式求解即可得．
【详解】解：如图，连接OE,OF,OG，
∵AB,BC,CD分别与⊙O相切于E,F,G三点，
∴OE⊥AB,OF⊥BC,OG⊥CD，且OE=OF=OG，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠BCD，
1 1
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠BCD，
2 2
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
1 1
∴∠OBC+∠OCB= ∠ABC+ ∠BCD=90°，
2 2
∴∠BOC=90°，
∵BO=3,CO=4，
∴BC=❑√BO2 +CO2 =5，
1 1
又∵S = BC⋅OF= BO⋅CO，
△ABC 2 2
BO⋅CO 3×4 12
∴OF= = = ，
BC 5 5
故选：D．
【考点12】切线的判定与性质1．（24-25九年级上·北京朝阳·期末）如图，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，
∠ABO=30°，C为OB边的中点，⊙O经过点C，BD与⊙O相切于点D．
(1)求证：AB与⊙O相切；
(2)若AB=2，求AD的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判
定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
1
（1）在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠ABO=30°，得到OA= OB，由C为OB
2
1
边的中点，求得OC= OB，根据切线的性质得到结论；
2
（2）连接OD，根据切线的性质得到AB=BD，证明△ABO≌△DBO(SSS)，根
据全等三角形的性质得到∠DBO=∠ABO=30°，根据等边三角形的判定和性质得
到结论．
【详解】（1）证明：在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠ABO=30°，
1
∴OA= OB，
2
∵C为OB边的中点，
1
∴OC= OB，
2
∴OA=OC，
∴OA是⊙O的半径，
∴AB与⊙O相切；
（2）解：连接OD，∵BD ⊙O AB ⊙O
与 相切于点D， 与 相切，
∴AB=BD，
在△ABO与△DBO中，
{OA=OD
)
AB=BD ，
OB=OB
∴△ABO≌△DBO(SSS)，
∴∠DBO=∠ABO=30°，
∴∠ABD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=AB=2．
2．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，O在AB上．以O
为圆心，OB为半径的圆与AC相切于点F，交BC于点D，交AB于点G，过D作
DE⊥AC，垂足为E．
(1)DE与⊙O有什么位置关系，请写出你的结论并证明；
(2)若⊙O的半径长为6，AF=8，求CE的长．
【答案】(1)DE与⊙O相切，证明见解析
(2)2
【分析】本题考查了圆的切线的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质、正方形
的判定与性质等知识，熟练掌握圆的切线的判定与性质是解题关键．
（1）连接OD，先根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠C，∠ABC=∠ODB，从而可得∠C=∠ODB，再证出∠ODE=90°，然后根据圆的切线的判定即可得证；
（2）连接OD,OF，先根据圆的切线的性质可得OF⊥AC，利用勾股定理可得OA的
长，从而可得AB,AC的长，再证出四边形ODEF是正方形，从而可得EF=OD=6，
然后根据线段的和差求解即可得．
【详解】（1）解：DE与⊙O相切，证明如下：
如图，连接OD，
∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB，
∴∠C=∠ODB，
∵DE⊥AC，
∴∠C+∠CDE=90°，
∴∠ODB+∠CDE=90°，
∴∠ODE=90°，即OD⊥DE，
又∵OD为⊙O的半径，
∴DE与⊙O相切．
（2）解：如图，连接OD,OF，∵⊙O的半径长为6，
∴OD=OF=OB=6，
∵AC与⊙O相切，
∴OF⊥AC，
在Rt△AOF中，OA=❑√OF2 +AF2 =❑√62 +82 =10，
∴AB=OA+OB=10+6=16，
∵AB=AC，
∴AC=16，
∵OF⊥AC，DE⊥AC，OD⊥DE，OD=OF，
∴四边形ODEF是正方形，
∴EF=OD=6，
∴CE=AC−AF−EF=16−8−6=2．
3．（23-24九年级上·河南信阳·期末）如图，AB是⊙O的直径，射线BC交⊙O于点D，
E是劣弧AD上一点，且A´E=D´E，过点E作EF⊥BC于点F，延长FE和BA的延长
线交于点G．
(1)求证：GF是⊙O的切线；
(2)若AG=6，¿=6❑√2，求△GOE的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)9❑√2
【分析】（1）连接OE，由A´E=D´E知∠1=∠2，由∠2=∠3可证OE∥BF，根
据BF⊥GF得OE⊥GF，即可得证；
（2）设OA=OE=r，在Rt△GOE中由勾股定理求得r=3，即OE=3，再根据三角
形的面积公式得解．
【详解】（1）证明：如图，连接OE，∵A´E=D´E，
∴∠1=∠2，
∵OE=OB，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OE∥BF，
∵BF⊥GF，点E在⊙O上，
∴OE⊥GF，
∴GF是⊙O的切线；
（2）解：设OA=OE=r，
∵GF是⊙O的切线，
∴∠OEG=90°，
在Rt△GOE中，AG=6，¿=6❑√2，
∴OG2 =GE2 +OE2，即(6+r) 2 =(6❑√2) 2 +r2，
解得：r=3，
即OE=3，
1 1
∴S = OE⋅≥= ×3×6❑√2=9❑√2，
△GOE 2 2
∵△GOE的面积为9❑√2．
【点睛】本题主要考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理及平行线的判定与性质，
解题的关键是掌握切线的判定：连接半径，证明半径与直线垂直．
4．（24-25九年级上·山东日照·期中）如图，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，
OP=2OA，在圆上取一点C，使得PC=PA，延长AB、PC，交点为D．(1)求证：PD与⊙O相切；
(2)若BD=2，求⊙O的半径．
【答案】(1)见解析
(2)⊙O的半径为2．
【分析】（1）连接OC，证明△OPA≌△OPC(SSS)，得到∠OCP=90°，即可
证明PD与⊙O相切；
（2）先求得∠POA=60°，得到∠POA=∠POC=60°，求得∠D=30°，再利
用含30度角的直角三角形的性质列式计算即可求解．
【详解】（1）证明：连接OC，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
∵PC=PA，OC=OA，OP=OP，
∴△OPA≌△OPC(SSS)，
∴∠OCP=∠OAP=90°，
∵OC为⊙O的半径，
∴PD与⊙O相切；
（2）解：延长OA到点E，使AE=AO，连接PE，OC，设⊙O的半径为r，
∵PA是⊙O的切线，∴PA⊥OE，
∵AE=AO，
∴PA是线段OE的垂直平分线，
∴PO=PE，
∵OP=2OA，
∴PO=PE=OE，
∴△POE是等边三角形，
∴∠POA=60°，
∴∠POA=∠POC=60°，
∴∠DOC=180°−∠POA−∠POC=60°，
∴∠D=30°，
1 1
∴OC= DO，即r= (r+2)，
2 2
解得r=2，
∴⊙O的半径为2．
【考点13】切线长定理
1．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，⊙O的半径为1，PA，PB是⊙O的两条切
线，切点分别为A，B．连接OA，OB，AB，PO，若∠APB=60°，则△PAB的周
长为（ ）
A．6❑√3 B．3❑√3 C．6 D．3
【答案】B
【分析】由切线的性质可得出∠PAO=∠PBO=90°，由切线长定理可得出PA=PB，
从而可判断△APB为等边三角形，又易证△PAO≌△PBO(HL)，即可求出
∠APO=∠BPO=30°，从而可求出PO=2AO=2，进而可求出PA=❑√3，最后由
三角形周长公式求解即可．【详解】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，
∴PA=PB，∠PAO=∠PBO=90°．
∵∠APB=60°，
∴△APB为等边三角形，
∴PA=PB=AB．
∵PO=PO，
∴△PAO≌△PBO(HL)，
1
∴∠APO=∠BPO= ∠APB=30°，
2
∴PO=2AO=2，
∴PA=❑√PO2−AO2 =❑√22−12 =❑√3，
∴△PAB的周长为PA+PB+AB=3❑√3．
故选：B．
【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，等边三角形的判定和性质，三角形全等
的判定和性质．掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题关键．
2．（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）如图，射线PA，PB切⊙O于点A，B，直线
DE切⊙O于点C，交PA于点D，交PB于点E，若△PDE的周长是12cm，则PA的
长是（ ）
A．6cm B．3cm C．24cm D．12cm
【答案】A
【分析】此题重点考查切线长定理、三角形的周角等知识，推导出
PA+PB=PD+DE+PE=12cm是解题的关键．由切线长定理得PA=PB，AD=CD，
BE=CE，而△PDE的周长是12cm，可推导出PA+PB=PD+DE+PE=12cm，所
以2PA=12cm，求得PA=6cm，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵射线PA，PB切⊙O于点A，B，
∴PA=PB，∵直线DE切⊙O于点C，交PA于点D，交PB于点E，
∴AD=CD,BE=CE，
∵△PDE的周长是12cm，
∴PA+PB=PD+AD+BE+PE=PD+CD+CE+PE=PD+DE+PE=12cm，
∴2PA=12cm，
∴PA=6cm，
故选：A．
3．（2025·江苏宿迁·三模）如图，⊙O为△ABC的内切圆，AB=7，BC=12，AC=10，
点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为 ．
【答案】15
【分析】本题考查的是切线长定理，根据切线长定理，得
AG=AN,BG=BM,NE=WE,MD=WD，结合线段的和差关系得
CM+NC=AC+BC−(BM+AN)=15，再结合△CDE的周长转化为
=EC+DC+ED=CM+NC，由此得解．切线长定理图提供了很多等线段，分析图
形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长．
【详解】解：依题意，设DE、BC、AB、AC与⊙O的切点分别为W、M、G、N
，连接GO,MO,WO,NO，如图所示：
∵⊙O为△ABC的内切圆，DE为⊙O的切线，
∴AG=AN,BG=BM,NE=WE,MD=WD，
∵AB=7，
∴AB=AG+BG=AN+BM=7，DE=DW+WE=MD+NE，
则EC+DC+ED=EC+DC+MD+NE=CM+NC，∵BC=12，AC=10，
∴CM+NC=AC+BC−(BM+AN)=12+10−7=15，
则△CDE的周长=EC+DC+ED=CM+NC=15，
故答案为：15．
4．（2025·黑龙江大庆·二模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD，CD分别与扇
形BAF切于点A，E．若AB=15，BC=17，则AD的长为 ．
【答案】9
【分析】此题考查了切线的性质定理，切线长定理，勾股定理，矩形的判定与性质等
知识，掌握知识点的应用及正确作出辅助线是解题的关键．
连接BE，作DH⊥BC于点H，则∠BHD=∠CHD=90°，AD，CD分别与扇形
BAF切于点A，E，AB=15，BC=17，得AB=EB=15，AD⊥AB，CD⊥EB，
AD=ED，求得CE=❑√BC2−EB2 =8，再证明四边形ABHD是矩形，则BH=AD，
DH=AB=15，由勾股定得理152 +(17−AD) 2 =(8+AD) 2，求得AD=9，于是得到
问题的答案．
【详解】解：连接BE，作DH⊥BC于点H，则∠BHD=∠CHD=90°，
∵AD，CD分别与扇形BAF切于点A，E，AB=15，BC=17，
∴AB=EB=15，AD⊥AB，CD⊥EB，AD=ED，
∴∠BAD=∠BEC=90°，
∴CE=❑√BC2−EB2 =❑√172−152 =8，∵AD∥BC，
∴∠ADH=∠CHD=90°，
∵∠BAD=∠ADH=∠BHD=90°，
∴四边形ABHD是矩形，
∴BH=AD，DH=AB=15，
∴CH=BC=BH=17−AD，
∵DH2 +CH2 =CD2，且CD=CE+ED=8+AD，
∴152 +(17−AD) 2 =(8+AD) 2，
解得：AD=9，
故答案为：9．
【考点14】三角形的内切圆与内心
1．（2025年安徽省阜阳市部分中考模拟考试九年级数学试卷（6月））如图，AB为⊙O
的弦，OA=4，OC⊥AB交⊙O于点C，点D为⊙O上一点，∠BDC=30°，则
A´C的长度是（ ）
4π 2π π
A． B．π C． D．
3 3 3
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，弧长公式，由圆周角定理
得∠BOC=2∠BDC=60°，由垂径定理得∠AOC=∠BOC=60°，再根据弧长
公式求解即可．
【详解】解：如图：∵∠BDC=30°，
∴∠BOC=2∠BDC=60°，
∵OC⊥AB，
∴A´C=B´C，
∴∠AOC=∠BOC=60°，
∵OA=4，
60π×4 4
∴A´C= = π．
180 3
故选：A．
2．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如图，直角三角形ABC的内切圆分别与
AB，BC相切于点D，E，根据图中标示的长度，则AD的长度为 ．
5
【答案】
3
【分析】本题考查了切线长定理，勾股定理，设AD=x，由切线长定理得BD=BE=1，
AF=AD=x，CF=CE=4，即得AB=x+1，AC=AD+CE=x+4，进而由勾股定
理可得(x+1) 2 +52 =(x+4) 2，解方程即可求解，掌握切线长定理是解题的关键．
【详解】解：设AD=x，
∵直角三角形ABC的内切圆分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，
∴BD=BE=1，AF=AD=x，CF=CE=4，
∴AB=x+1，AC=AD+CE=x+4，在Rt△ABC中，AB2 +BC2 =AC2，
∴(x+1) 2 +52 =(x+4) 2，
5
解得x= ，
3
5
∴AD的长度为 ，
3
5
故答案为： ．
3
【考点15】正多边形和圆的综合应用
1．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，在正多边形ABCD⋯PMN中，若∠AMB=18°，
则该多边形的边数为 ．
【答案】10
【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形中心角的计算方法以及圆周角定理是
正确解答的关键．
根据正多边形的性质，中心角的计算方法以及圆周角定理列方程求解即可
【详解】解：如图，1
设这个正n边形的外接圆为⊙O，连接OA，OB，则∠AMB= ∠AOB=18°，
2
1 360°
∴ × =18°，
2 n
解得n=10，
经检验，n=10是原方程的解，
∴这个正多边形是正十边形，
故答案为：10．
2．（2025·陕西西安·模拟预测）若正方形的周长为12，则这个正方形的边心距为 ．
3
【答案】 /1.5
2
【分析】本题主要考查正方形的性质、正多边形和圆、等腰直角三角形的判定与性质
等知识点，正确地画出图形并且添加相应的辅助线是解题的关键．
根据正方形的周长为12，易得BC=3，如图∶作正方形ABCD的外接圆，圆心为点
O，连接OB、OC，作OE⊥BC于点E，则OB=OC，∠BOC=90°，所以
1 3
OE= BC= 即可解答．
2 2
【详解】解：如图，正方形ABCD的周长为12，
∴AB=BC=CD=AD，且AB+BC+CD+AD=12，
∴BC=3，
如图∶作正方形ABCD的外接圆，圆心为点O，连接OB、OC，作OE⊥BC于点
E，
1
∵OB=OC，∠BOC= ×360°=90°，
4
1 3
∴OE=BE=CE= BC=
2 2
3
∴正方形ABCD的边心距为 ．
23
故答案为： ．
2
3．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，边长为2的正六边形ABCDEF内接于⊙O，
则它的内切圆半径为 ．
【答案】❑√3
【分析】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌
握以上知识点是解答本题的关键．
过点O作OM⊥AB，垂足为点M，根据正六边形的性质得∠AOB=60°，再结合
1
OA=OB，证明出△AOB是正三角形，又OM⊥AB，所以AM=BM= AB=1，
2
最后根据OM=❑√OA2−AM2即可求解．
【详解】解：如图，连接OA，OB，过点O作OM⊥AB，垂足为点M，
∵ ABCDEF O
六边形 是正六边形，点 是它的中心，
360°
∴∠AOB= =60°，
6
∵OA=OB，
∴△AOB是正三角形，
∵OM⊥AB，
1
∴AM=BM= AB=1，
2
在Rt△AOM中，OA=2，AM=1，∴OM=❑√OA2−AM2 =❑√3，即内切圆半径为❑√3，
故答案为：❑√3．
4．（24-25九年级下·上海·阶段练习）边心距为2的正六边形面积是 ．
【答案】8❑√3
【分析】本题考查正多边形和圆，根据题意，求出正六边形的边长，根据正六边形的
面积为6个全等的等边三角形的面积之和，进行求解即可．
【详解】解：如图，连接OA,OB，作OH⊥AB，由题意可知：OH=2，
360°
∠AOB= =60°，OA=OB，
6
∴△AOB为等边三角形，
∴OA=OB=AB，
∵OH⊥AB，
1 1
∴AH= AB= OA，
2 2
∴OH=❑√3AH=2，
2❑√3
∴AH= ，
3
4❑√3
∴AB=2AH= ，
3
1 4❑√3
∴正六边形面积为：6× × ×2=8❑√3；
2 3
故答案为：8❑√3．
5．（2025·湖北襄阳·三模）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是其
中一个正六边形ABCDEF，将其放在平面直角坐标系中，点B，C，D均为正六边形
的顶点且在坐标轴上．若正六边形的边长是2，则点A的坐标为 ．【答案】(4,❑√3)
【分析】本题考查了正多边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，点的坐标．作
360°
AG⊥x轴于点G，求得∠DCO=∠ABG= =60°，CD=BC=AB=2，利用
6
直角三角形的性质和勾股定理求得OC=1，BG=1，AG=❑√3，据此求解即可．
【详解】解：如图，作AG⊥x轴于点G，
∵正六边形ABCDEF，
360°
∴∠DCO=∠ABG= =60°，CD=BC=AB=2，
6
∴∠CDO=∠BAG=30°，
1 1
∴OC= CD=1，BG= AB=1，AG=❑√AB2−BG2 =❑√3，
2 2
∴OG=1+2+1=4，
∴点A的坐标为(4,❑√3)，
故答案为：(4,❑√3)．
【考点16】弧长的有关运算
1．（2025·安徽合肥·二模）若扇形AOB的弧长为4π ，∠AOB=120°，则扇形AOB的
半径为（ ）A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】B
nπr
【分析】本题考查了弧长公式，弧长公式为 ，n,r分别是圆心角，半径，据此列
180
式代数进行计算，即可作答．
【详解】解：依题意，设扇形AOB的半径为r，
∵扇形AOB的弧长为4π ，∠AOB=120°，
120×π×r
则 =4π
180
2×r
∴ =4
3
解得r=6，
故选：B
2．（2025·贵州安顺·三模）2017年6月，安顺市获得了“国家卫生城市”这一称号．如图
1，这是一块“创建国家卫生城市”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示．
若∠BAC=120°，AB的长为45cm，AD的长为15cm，则扇面（阴影）的面积为
（ ）
A．375πcm 2 B．450πcm 2 C．600πcm 2 D．750πcm 2
【答案】C
nπr2
【分析】本题主要考查了扇形的面积公式．根据扇形的面积公式= ，利用
360
S 减去S 即可得扇面的面积．
扇形BAC 扇形DAE
【详解】解：∵AB=45cm，AD=15cm，
120π×452 120π×152
∴S = ，S = ，
扇形BAC 360 扇形DAE 360
120π×452 120π×152
∴S =S −S = − =600π(cm 2)．
扇面 扇形BAC 扇形DAE 360 360
故选：C．3．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，点E为边AD的中点，以点B为圆
心、BE长为半径画圆弧交边CD于点F．若∠ABC=120∘，BE=2，则劣弧EF的长
为 ．
2
【答案】 π
3
【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，弧
长公式，先根据菱形得到△ABD，△BCD是等边三角形，即可得到BE⊥AD，过
点B作BG⊥CD于点G，BG=BE=BF，进而得到点F和点G重合，进而求出
∠EOF，利用弧长公式计算解题．
【详解】解：连接BD，
∵ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=CD=AD，∠ADB=∠CDB，
∴△ABD，△BCD都是等边三角形，
又∵点E为边AD的中点，
∴BE⊥AD，
过点B作BG⊥CD于点G，
则BG=BE=BF，
∴点F和点G重合，
∴∠EBD=∠DBF=30°，
即∠EOF=60°，
60π×2 2
∴劣弧EF的长为 = π，
180 32
故答案为： π．
3
4．（2025·四川南充·三模）如图，正五边形和正六边形有公共边AB=5cm．以点A为圆心，
AB为半径画圆．则扇形ACD的面积为 ．
55π
2
【答案】 cm
6
【分析】本题考查了扇形面积和正多边形内角和的计算，根据正多边形内角和公式求
出∠CAB、∠DAB的度数，利用扇形面积公式计算即可，熟练掌握扇形面积公式
和正多边形内角和公式是解题的关键．
(5−2)×180°
【详解】解：由正五边形和正六边形可得：∠CAB= =108°，
5
(6−2)×180°
∠DAB= =120°，
5
∴∠CAD=360°−∠CAB−∠DAB=360°−108°−120°=132°，
132×π×52 132×π×25 55π
∴扇形ACD的面积为 = = (cm 2)，
360 360 6
55π
2
故答案为： cm ．
6
5．（2025·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）圆锥的高为2❑√2，母线长为3，沿一条母线将其侧
面展开，展开图（扇形）的圆心角是 度．
【答案】120
【分析】本题考查了求圆锥侧面展开图的圆心角；根据扇形弧长计算公式即可求解．
【详解】解：设圆锥侧面展开图扇形的圆心角为n度，
由勾股定理得圆锥底面圆的半径为：❑√32−(2❑√2) 2 =1，
nπ ×3
由题意得： =2π ×1，
180
解得：n=120；
故答案为：120．【考点17】圆锥的有关运算
1．（2025·河北沧州·模拟预测）已知某建筑物的顶端为圆锥形（如图），为了美观，要在
圆锥形建筑上装饰一条灯带，灯带自B处开始绕侧面一周又回到点B，若这个圆锥形
建筑物的底面周长为40πcm，母线AB的长为60cm，则这条灯带的最短长度是
（ ）
A．40cm B．60cm C．30❑√3cm D．60❑√3cm
【答案】D
【分析】本题考查了圆锥的计算，首先求出圆锥底面的周长，再求出圆锥侧面的圆心
角度数，最后运用勾股定理求出BB 的长即可．
1
【详解】如图，扇形BAB 为圆锥的侧面展开图，连接BB ．
1 1
∵ 40πcm AB 60cm
圆锥形底面周长为 ，母线 的长为 ，
nπ×60
∴40π= ．解得n=120°，即∠BAB =120°，
180° 1
∵AB=AB ，
1
∴∠ABB =∠AB B=30°，
1 1
过点A作AD⊥BB 于点D，
1
∴∠ADB=90°．
∵AB=60cm．
∴AD=30cm，BD=30❑√3cm，
∵AB=AB ，AD垂直BB ，
1 11
∴B D=BD= BB ，
1 2 1
∴BB =60❑√3cm．
1
故这条灯带的最短长度为60❑√3cm，
故选D．
2．（2025·江苏宿迁·三模）一个圆锥的侧面积是12π ，它的底面半径是3，则它的母线长
等于 ．
【答案】4
【分析】本题考查了圆锥的相关知识，熟知圆锥的侧面积公式是解题的关键；
根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长建立方程求解即可．
【详解】解：设母线长为R，底面半径是3，
∴3πR=12π，
解得R=4．
故答案为4．
3．（2025·山西朔州·三模）如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可
以折成一个底面半径r为3cm，高h为4cm的圆锥体，那么这个扇形的圆心角∠AOB
的度数是 ．
【答案】216°/216度
【分析】本题考查了圆锥与扇形之间的关系，扇形的弧长，勾股定理；设圆锥的母线
nπl
为l，由勾股定理得l=❑√h2 +r2，由弧长公式得 =2πr，即可求解；理解圆锥与扇
180
形之间的关系，掌握弧长公式是解题的关键．
【详解】解：设圆锥的母线为l，这个扇形的圆心角∠AOB=n，
∴l=❑√h2 +r2=❑√32 +42
=5cm，
nπl
∵ =2πr，
180
nπ×5
∵ =2π×3，
180
解得：n=216，
故答案为：216°．
4．（24-25九年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，圆锥的底面半径OC=5，高AO=12，则
该圆锥的侧面积等于 ．
【答案】65π
【分析】本题主要考查圆锥的侧面积，熟练掌握圆锥的侧面积计算公式是解题的关键．
根据底面半径和高利用勾股定理得AC=13，然后根据圆锥的侧面积计算公式可直接
进行求解．
【详解】解：∵OC=5，AO=12，∠AOC=90°
∴AC=❑√OA2 +OC2 =13
∴圆锥的侧面积为S=π rR=π ×5×13=65π
故答案为：65π ．
