文档内容
第 24 章 圆
【考点1】圆的有关概念
【考点2】点与圆的位置关系
【考点3】垂径定理有关计算
【考点4】垂径定理的应用
【考点5】圆心角、弧、弦的关系
【考点6】确定圆的条件
【考点7】三角形的外接圆与外心
【考点8】利用圆周角定理求角度
【考点9】圆内接四边形的性质
【考点10】直线与圆的位置关系
【考点11】利用切线的性质求线段/角度
【考点12】切线的判定与性质
【考点13】切线长定理
【考点14】三角形的内切圆与内心
【考点15】正多边形和圆的综合应用
【考点16】弧长的有关运算
【考点17】圆锥的有关运算
【知识点1】圆的定义及性质
圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形
成的图形叫圆。这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。
圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。
确定圆的条件：1）圆心；2）半径。
备注：圆心确定圆的位置，半径长度确定圆的大小。【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；
2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；
3）半径相等的圆叫做等圆。
圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；
2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
【知识点2 】圆的有关概念
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。
直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。
备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。
⏜
弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作 ，读
AB
作圆弧AB或弧AB。
等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。
【知识点3】 垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条
弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；
2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分
【知识点4】 垂径定理的应用
经常为未知数，结合方程于勾股定理解答
【知识点5 】确定圆的条件
不在同一直线上的三个点确定一个圆。
【知识点6】三角形的外接圆与外心1.三角形的外接圆
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
2.三角形的外心
三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。
【知识点7】 圆心角的概念
圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。
弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
E
F
O
D
A
C
B
推论：在同圆或等圆中， 如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两
条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。
【知识点8】 圆角角的概念
圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=
1
圆心角）
2
C
B O
A
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 D C
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。
B O
A
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的
C
弦是直径。
B A
O
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形
是直角三角形。
C
B A
O【知识点9】圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙ 中， ∵四边 是内接四边形
D
C
∴
B
【知识点10】直线与圆的位置关系 A E
1、直线与圆相离 无交点；
2、直线与圆相切 有一个交点；
3、直线与圆相交 有两个交点；
r d d=r r d
【知识点11】切线的性质与判定定理
1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵ 且 过半径 外端
∴ 是⊙ 的切线 O
2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 M A N
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一
个。
【知识点12】切线长定理
切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两
条切线的夹角。
B
即：∵ 、 是的两条切线
∴ ； 平分
O
P
A【知识点13】三角形的内切圆和内心
1、三角形的内切圆
与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
2、三角形的内心
三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。
注意：内切圆及有关计算。
（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。
a+b−c
2
（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。
1
r(a+b+c)
2
（3）S = ，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。
△ABC
（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。
如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。
A D
O
B
【知识点14】 圆内正多边形的计算
（1）正三角形
在⊙ 中△ 是正三角形，有关计算在 中进行： ；
C
B C
O
O O
B A A D B
D E
A
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在 中进行， ：
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在 中进行，
【知识点15】 与正多边形有关的概念
1、正多边形的中心
正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
2、正多边形的半径正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。
3、正多边形的边心距
正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。
4、中心角
正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。
【知识点16】扇形的弧长和面积计算
扇形：（1）弧长公式： ； （2）扇形面积公式：
：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积
注意：
(1)对于弧长公式，关键是要理解 1°的圆心角所对的弧长是圆周长的 ，即
；
(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；
(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就
可以求出第三个量.
(4)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的 ，
即 ；
(5)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积 S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中
的两个量就可以求出第三个量.
【知识点17】扇形与圆柱、圆锥之间联系
1、圆柱：
D
A D1
（1）圆柱侧面展开图
母线长
底面圆周长
B C1
C=
（2）圆柱的体积：
B1
2、圆锥侧面展开图
（1） = O
R
（2）圆锥的体积：
C
A r B
注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（ ）
【考点1】圆的有关概念
1．下列命题是真命题的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧
B．圆中最长的弦是经过圆心的弦
C．一条弦把圆分成两条弧，分别是优弧和劣弧
D．平分弦的直径垂直于弦
2．如图，MN为⊙O的弦，∠MON=120°，则∠M等于（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
3．如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD=CD=8，
OD=6，则半径的长为（ ）A．4 B．6 C．8 D．10
4．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E．若DE=OB,∠C=40°,则∠E等于
（ ）
A．20° B．10° C．30° D．40°
【考点2】点与圆的位置关系
1．已知⊙O的半径r为6，若点P在⊙O内，则点P到圆心的距离可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．⊙O的半径为3，点A到圆心O的距离为2，点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在⊙O外 B．点A在⊙O内
C．点A在⊙O上 D．不能确定
3．已知⊙O的半径为3cm，点P到圆心O的距离为6cm，则点P在（ ）
A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不能确定
4．若⊙O的半径为3cm，点A不在⊙O内，则OA的长（ ）
A．大于3cm B．不小于3cm C．大于6cm D．不小于6cm
【考点3】垂径定理有关计算
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE=1，CD=4，则OC的长为（ ）A．3 B．2.5 C．2 D．1.5
2．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，
不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达
即：如图，弦AB⊥CD，垂足为点D，CD=1寸，AB=1尺（10寸），则圆的直径
长度是（ ）
A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸
3．如图，在⊙O中，半径长为5，圆心O到弦AB的距离OE=3，则弦AB的长为( )
A．4 B．6 C．8 D．10
4．如图， 在⊙O中，OD⊥AB，AB=8，CD=2，则OA 的长为（ ）
A．5 B．3 C．4 D．6
5．某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同
学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交
于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm，AB=3cm，
CD=4cm．请你帮忙计算纸杯杯底的半径为（ ）A．2.4cm B．2.5cm C．4.8cm D．5cm
6．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为
（ ）
A．2cm B．2❑√2cm C．2❑√3cm D．2❑√5cm
7．如图，在⊙O中，圆心O到AB的距离OE为5cm，⊙O的半径为13cm，则弦AB的长
为 cm．
8．已知P是⊙O内的一点，过点P的最长的弦长为10cm，最短的弦为6cm，则OP的长
为
【考点4】垂径定理的应用
1．如图，圆弧形桥拱的跨度AB=16米，拱高CD=4米，则拱桥的半径为（ ）
A．3米 B．10米 C．12米 D．20米
2．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为10cm，油面宽AB
为12cm，如果再注入尽可能多的一些油后，油面宽变为16cm，则油面AB上升了
cm．3．《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，
以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD
为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED=1寸，AB=6寸，求直径CD的长．”则CD
的长是 寸．
4．如图，一个隧道的横截面是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=8m，高CD=6m，则
此圆的半径长为 m．
5．如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，
AB=50cm，MN为水面截线，MN=48cm，GH为桌面截线，MN∥GH．
(1)作OC⊥MN于点C，求OC的长；
(2)将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了13cm，求此时水面截线减
少了多少？【考点5】圆心角、弧、弦的关系
1．如图，AB和CD是⊙O上的两条弦，圆心O到它们的距离分别为OM和ON，若
AB>CD，则下列结论正确的是（ ）
A．A´BON D．
∠AOM>∠CON
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=20°，以点C为圆心，BC为半径的圆
分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（ ）
A．28° B．60° C．55° D．40°
⏜ ⏜ ⏜
3．如图，AB是⊙O的直径，
BC=CD=DE
，∠AOE=84°，则∠COD的度数为
（ ）
A．32° B．52° C．54° D．42°4．如图，在以O为圆心的半圆中，AB是直径，点C是弧AB的中点，连接OC，OE平分
∠COB交⊙O于点E，连接AE，则∠AEO的度数是（ ）
A．20° B．22.5° C．30° D．45°
5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=26°，以点C为圆心，BC为半径的圆交
AB于点D，交AC于点E，则B´D的度数为 ．
6．如图，在⊙O中，已知∠OAB=50°，则弧AB的度数是 ．
【考点6】确定圆的条件
1．如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多
可画出圆的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应
该带去店里的碎片是（ ）A．① B．② C．③ D．④
3．已知M(1,2)，N(3,−3)，P(x,y)三点可以确定一个圆，则以下P点坐标不满足要求的
是（ ）
A．(3,5) B．(−3,5) C．(−1,7) D．(1,−3)
4．已知AB=4cm，经过A，B两点作圆，则所作的圆的半径最小是 cm．
5．若过平面直角坐标系中的三个点A(1,0)、B(0,2)、C(−1,m)能确定一个圆，则m≠
．
【考点7】三角形的外接圆与外心
1．如图，Rt△ABC中，∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm，则它的外心与顶点C的距离
为（ ）
A．10cm B．5cm C．3cm D．4cm
2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠ABC=45°，AC=2，则⊙O的半径是
．3．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，若∠BAC=90°，BD=4．求
△ABC外接圆的半径．
4．如图，已知△ABC中，AB=AC=10，BC=16．
(1)用无刻度的直尺和圆规，作△ABC的外接圆⊙O．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，求圆O的半径R．
5．如图所示，已知在△ABC中，AB=4，AC=BC=6．
(1)作出△ABC的外接圆⊙O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．(2)求△ABC的面积以及外接圆半径．
【考点8】利用圆周角定理求角度
1．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，若∠BAC=36°，则∠BOC的度数为（ ）
A．36° B．54° C．60° D．72°
2．如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上，若∠BDC=130°，则∠ABC的
度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
3．如图，AB是⊙O的直径，A，B，C，D在圆周上，已知∠C=60°，则∠B为
（ ）
A．80° B．60° C．70° D．40°
4．如图，点A,B,C在⊙O上，点A是B´C中点，若∠ABC=36°，则∠BCO的度数为
（ ）A．8° B．16° C．18° D．28°
5．如图，A，B，C三点在⊙O上，且∠BOC=100∘，则∠A的度数为（ ）
A．40∘ B．50° C．80∘ D．100∘
6．如图，在⊙O中，∠BAC=18°，∠ADC=24°，则∠AOB的度数为（ ）．
A．40° B．42° C．66° D．84°
【考点9】圆内接四边形的性质
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD=136°，那么它的外角∠DCE的度数是(
)A．68° B．136° C．88° D．44°
2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE平分∠ABC，点A是劣弧B´E的中点．
若∠D=92°，则∠AEB的度数是（ ）
A．40° B．44° C．45° D．46°
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E为弧CD上任意一点（点E不与点D，C重合），
连接BE交DC于点P．若∠A=120°，则∠CPE的度数可能为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．69°
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD至点E，已知∠AOC=140°，那么
∠CDE=（ ）°
A．40 B．50 C．60 D．70
5．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=110°，点E在AB上，则
∠E= °．【考点10】直线与圆的位置关系
1．如图用的是“日晷饮水计时，晷头红照雨衡前”这一景，图中的江面和太阳可看成直线
和圆，则它们的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．平行
2．已知⊙O的半径为2cm，圆心O到直线l的距离为3cm，直线l与⊙O的位置关系是
（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
3．在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正
确的是（ ）
A．点B在⊙A内 B．点C在⊙A上
C．直线BC与⊙A相切 D．直线BC与⊙A相离
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD是AB边上的高，AB=4，
若圆D是以点D为圆心，1.4为半径的圆，那么圆D与直线AC的关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定
5.设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，并且方程x2−2❑√dx+r=0无实数根，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
【考点11】利用切线的性质求线段/角度
1．（2025·河南平顶山·模拟预测）如图，以AB为直径的半圆O交BC于点D，已知AC与
⊙O相切于点A，若∠AOD=60°，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．60° C．45° D．75°
2．（2025·甘肃张掖·模拟预测）如图所示，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C
为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠P=70°，则∠ACB的度数为( )
A．50° B．55° C．60° D．65°
3．（24-25九年级上·天津·阶段练习）如图，AB,BC,CD分别与⊙O相切于E,F,G三点．
且AB∥CD，BO=3,CO=4，则OF的长为（ ）
9 16 12
A．5 B． C． D．
5 5 5【考点12】切线的判定与性质
1．（24-25九年级上·北京朝阳·期末）如图，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，
∠ABO=30°，C为OB边的中点，⊙O经过点C，BD与⊙O相切于点D．
(1)求证：AB与⊙O相切；
(2)若AB=2，求AD的长．
2．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，O在AB上．以O
为圆心，OB为半径的圆与AC相切于点F，交BC于点D，交AB于点G，过D作
DE⊥AC，垂足为E．
(1)DE与⊙O有什么位置关系，请写出你的结论并证明；
(2)若⊙O的半径长为6，AF=8，求CE的长．3．（23-24九年级上·河南信阳·期末）如图，AB是⊙O的直径，射线BC交⊙O于点D，
E是劣弧AD上一点，且A´E=D´E，过点E作EF⊥BC于点F，延长FE和BA的延长
线交于点G．
(1)求证：GF是⊙O的切线；
(2)若AG=6，¿=6❑√2，求△GOE的面积．
4．（24-25九年级上·山东日照·期中）如图，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，
OP=2OA，在圆上取一点C，使得PC=PA，延长AB、PC，交点为D．
(1)求证：PD与⊙O相切；
(2)若BD=2，求⊙O的半径．【考点13】切线长定理
1．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，⊙O的半径为1，PA，PB是⊙O的两条切
线，切点分别为A，B．连接OA，OB，AB，PO，若∠APB=60°，则△PAB的周
长为（ ）
A．6❑√3 B．3❑√3 C．6 D．3
2．（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）如图，射线PA，PB切⊙O于点A，B，直线
DE切⊙O于点C，交PA于点D，交PB于点E，若△PDE的周长是12cm，则PA的
长是（ ）
A．6cm B．3cm C．24cm D．12cm
3．（2025·江苏宿迁·三模）如图，⊙O为△ABC的内切圆，AB=7，BC=12，AC=10，
点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为 ．
4．（2025·黑龙江大庆·二模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD，CD分别与扇
形BAF切于点A，E．若AB=15，BC=17，则AD的长为 ．【考点14】三角形的内切圆与内心
1．（2025年安徽省阜阳市部分中考模拟考试九年级数学试卷（6月））如图，AB为⊙O
的弦，OA=4，OC⊥AB交⊙O于点C，点D为⊙O上一点，∠BDC=30°，则
A´C的长度是（ ）
4π 2π π
A． B．π C． D．
3 3 3
2．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如图，直角三角形ABC的内切圆分别与
AB，BC相切于点D，E，根据图中标示的长度，则AD的长度为 ．
【考点15】正多边形和圆的综合应用
1．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，在正多边形ABCD⋯PMN中，若∠AMB=18°，
则该多边形的边数为 ．
2．（2025·陕西西安·模拟预测）若正方形的周长为12，则这个正方形的边心距为 ．
3．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，边长为2的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则它的内切圆半径为 ．
4．（24-25九年级下·上海·阶段练习）边心距为2的正六边形面积是 ．
5．（2025·湖北襄阳·三模）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是其
中一个正六边形ABCDEF，将其放在平面直角坐标系中，点B，C，D均为正六边形
的顶点且在坐标轴上．若正六边形的边长是2，则点A的坐标为 ．
【考点16】弧长的有关运算
1．（2025·安徽合肥·二模）若扇形AOB的弧长为4π ，∠AOB=120°，则扇形AOB的
半径为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
2．（2025·贵州安顺·三模）2017年6月，安顺市获得了“国家卫生城市”这一称号．如图
1，这是一块“创建国家卫生城市”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示．
若∠BAC=120°，AB的长为45cm，AD的长为15cm，则扇面（阴影）的面积为
（ ）A．375πcm 2 B．450πcm 2 C．600πcm 2 D．750πcm 2
3．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，点E为边AD的中点，以点B为圆
心、BE长为半径画圆弧交边CD于点F．若∠ABC=120∘，BE=2，则劣弧EF的长
为 ．
4．（2025·四川南充·三模）如图，正五边形和正六边形有公共边AB=5cm．以点A为圆心，
AB为半径画圆．则扇形ACD的面积为 ．
5．（2025·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）圆锥的高为2❑√2，母线长为3，沿一条母线将其侧
面展开，展开图（扇形）的圆心角是 度．
【考点17】圆锥的有关运算
1．（2025·河北沧州·模拟预测）已知某建筑物的顶端为圆锥形（如图），为了美观，要在
圆锥形建筑上装饰一条灯带，灯带自B处开始绕侧面一周又回到点B，若这个圆锥形
建筑物的底面周长为40πcm，母线AB的长为60cm，则这条灯带的最短长度是
（ ）A．40cm B．60cm C．30❑√3cm D．60❑√3cm
2．（2025·江苏宿迁·三模）一个圆锥的侧面积是12π ，它的底面半径是3，则它的母线长
等于 ．
3．（2025·山西朔州·三模）如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可
以折成一个底面半径r为3cm，高h为4cm的圆锥体，那么这个扇形的圆心角∠AOB
的度数是 ．
4．（24-25九年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，圆锥的底面半径OC=5，高AO=12，则
该圆锥的侧面积等于 ．
