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南充市二〇一六年高中阶段教育学校
招生考试
数学
33A
(满分:120分 时间:120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共30分)
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分)
1.如果向右走5步记为+5,那么向左走3步记为( )
1 1
A.+3 B.-3 C.+ D.-
3 3
2.下列计算正确的是( )
√3 √3
A.√12=2√3 B. =
2 2
C. =x D. =x
√-x3 √-x √x2
3.如图,直线MN是四边形AMBN的对称轴,点P是直线MN上的点,下列判断错误的是( )
A.AM=BM B.AP=BN
C.∠MAP=∠MBP D.∠ANM=∠BNM
4.某校共有40名初中生参加足球兴趣小组,他们的年龄统计情况如图所示,则这40名学生年龄的中位数是( )
A.12岁 B.13岁 C.14岁 D.15岁
5.抛物线y=x2+2x+3的对称轴是( )
A.直线x=1 B.直线x=-1
C.直线x=-2 D.直线x=2
6.某次列车平均提速20 km/h.用相同的时间,列车提速前行驶400 km,提速后比提速前多行驶100 km.设提速前列车的平均速度为x km/h,下列方程正确的是( )
400 400+100 400 400-100
A. = B. =
x x+20 x x-20400 400+100 400 400-100
C. = D. =
x x-20 x x+20
7.如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,BC=1,点D,E分别是直角边BC,AC的中点,则DE的长为( )
A.1 B.2 C.√3 D.1+√3
8.如图,对折矩形纸片ABCD,使AB与DC重合得到折痕EF,将纸片展平;再一次折叠,使点D落到EF上点G处,并使折痕经过点A,展平纸片后∠DAG的大小为( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
x+1 2x+2
9.不等式 > -1的正整数解的个数是( )
2 3
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.如图,正五边形的边长为2,连接对角线AD,BE,CE,线段AD分别与BE和CE相交于点M,N.给出下列结论:
①∠AME=108°;②AN2=AM·AD;③MN=3-√5;④S
△EBC
=2√5-1.其中正确结论的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
x y2
11.计算: = .
xy
12.如图,菱形ABCD的周长是8 cm,AB的长是 cm.
13.计算22,24,26,28,30这组数据的方差是 .
14.如果x2+mx+1=(x+n)2,且m>0,则n的值是 .
15.如图是由两个长方形组成的工件平面图(单位:mm),直线l是它的对称轴,能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是 mm.1 1
16.已知抛物线y=ax2+bx+c开口向上且经过点(1,1),双曲线y= 经过点(a,bc).给出下列结论:①bc>0;②b+c>0;③b,c是关于x的一元二次方程x2+(a-1)x+ =0的两个实数根;④a-b-c≥3.其中正确结论是 (填写序号).
2x 2a
三、解答题(本大题共9个小题,共72分)
1
17.(6分)计算: √18+(π+1)0-sin 45°+|√2-2|.
2
18.(6分)在校园文化艺术节中,九年级一班有1名男生和2名女生获得美术奖,另有2名男生和2名女生获得音乐奖.
(1)从获得美术奖和音乐奖的7名学生中选取1名参加颁奖大会,求刚好是男生的概率;
(2)分别从获得美术奖、音乐奖的学生中各选取1名参加颁奖大会,用列表或树状图求刚好是一男生一女生的概率.
33B
19.(8分)已知△ABN和△ACM位置如图所示,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2.
(1)求证:BD=CE;
(2)求证:∠M=∠N.20.(8分)已知关于x的一元二次方程x2-6x+(2m+1)=0有实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)如果方程的两个实数根为x,x,且2xx+x+x≥20,求m的取值范围.
1 2 1 2 1 2
1
21.(8分)如图,直线y= x+2与双曲线相交于点A(m,3),与x轴交于点C.
2
(1)求双曲线解析式;
(2)点P在x轴上,如果△ACP的面积为3,求点P的坐标.
22.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC的平分线交BC于点O,OC=1,以点O为圆心,OC为半径作半圆.
(1)求证:AB为☉O的切线;
1
(2)如果tan∠CAO= ,求cos B的值.
323.(8分)小明和爸爸从家步行去公园,爸爸先出发,一直匀速前行,小明后出发.家到公园的距离为2 500 m,如图是小明和爸爸所走路程s(m)与步行时间t(min)的函数图象.
(1)直接写出小明所走路程s与时间t的函数关系式;
(2)小明出发多少时间与爸爸第三次相遇?
(3)在速度都不变的情况下,小明希望比爸爸早20 min到达公园,则小明在步行过程中停留的时间需作怎样的调整?
24.(10分)已知正方形ABCD的边长为1,点P为正方形内一动点,若点M在AB上,且满足△PBC∽△PAM,延长BP交AD于点N,连接CM.
(1)如图一,若点M在线段AB上,求证:AP⊥BN,AM=AN;
(2)①如图二,在点P运动过程中,满足△PBC∽△PAM的点M在AB的延长线上时,AP⊥BN和AM=AN是否成立(不需说明理由)?
1
②是否存在满足条件的点P,使得PC= ?请说明理由.
225.(10分)如图,抛物线与x轴交于点A(-5,0)和点B(3,0),与y轴交于点C(0,5).有一宽度为1,长度足够的矩形(阴影部分)沿x轴方向平移,与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q,交直线AC于点M和N,交x轴于点E和F.
(1)求抛物线解析式;
√10
(2)当点M和N都在线段AC上时,连接MF,如果sin∠AMF= ,求点Q的坐标;
10
(3)在矩形的平移过程中,当以点P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形时,求点M的坐标.
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一、选择题
1.B 向右走与向左走是一对具有相反意义的量√,向3右走√35×步2记为√+65,则向左走3步记为-3,故选B.
2.A 选项A,√12=√22×3=2√3,正确;选项B, = = ,错误;选项C,因为-x3≥0,所以x≤0,所以√-x3=-x√-x,错误;选项D,需对x的符号进行讨论,不正确.故选A.
3.B 根据轴对称的性质,可知AM=BM,
MAP≌△2MBP2,×A2MN≌2△BMN,∴∠MAP=∠MBP,∠ANM=∠BNM,∴A、C、D正确.故选B.
评析 对于轴对称问题,一定要先找到对称点,进而由对称点构造出对称的线段、角或其他图形.
4.C 因为这40名学生年龄的中位b数是第2△ 20个数和第21△个数的平均数,年龄是12岁和13岁的共有6+10=16人,年龄为14岁的有14人,所以第20个数和第21个数都落在年龄为14岁的一组中,所以这40名学生年龄的中位数为14岁.
5.B 抛物线的对称轴为直线x=- =- =-1,故选B. 400 400+100 400 400+100
2a 2
6.A 提速前列车的平均速度为x km/h,则提速后列车的平均速度为(x+20)km/h,提速前行驶400 km需要 h,提速后行驶(400+100)km需要 h,根据时间相等可得 = ,故选A.
x x+20 x x+20
评析 本题考查分式方程的应用,根据题意正确找出等量关系是关键.
7.A 在Rt ABC中,∵∠A=30°,BC=1,∴AB=2.
∵点D,1E分别1是BC,AC的中点,
∴DE= AB△= ×2=1.
2 2
8.C 如图,根据第二次折叠可知,∠1=∠2,∠MGA=90°,由第一次折叠可知,MN=AN,即NG是Rt AMG的中线,故AN=GN,所以∠2=∠3.又EF∥AB,所以∠3=∠4,故∠1=∠2=∠4,又因为∠1+∠2+∠4=90°,所以∠1=∠2=∠4=30°,所以∠1+∠2=∠DAG=60°,故选C.
x+1 2x+2
9.D 解不等式 > -1得x<5,所以不等式的解集为x<5,所以不等式的正整数解为1、△2、3、4,共4个,故选D.
2 3
10.C 如图,∵五边形ABCDE是正五边形,∴AB=EA=DE,∠EAB=∠DEA=108°,∴△EAB≌△DEA,∴∠AEB=∠EDA,∵∠AMEA=E∠MAEMD+∠EDA,∴∠AME=∠MED+∠AEB=∠DEA=108°,故①正确;
易得∠1=∠2=∠4=∠5=36°,∴∠3=36°,∴∠6=∠AEN=72°,∴AE=AN,∵∠1=∠1,∠AED=∠AME=108°,∴△AEM∽△ADE,∴ = ,∴AE2=AM·AD,∴AN2=AM·AD,故②正确;
设AM=x,则AD=AM+MD=1x+2,由②得22=x(x+2),解得x=√5-1,x=-√5-1(不合题意,舍去),∴AD=1√5-1+2=√15+1,∴MN=AN-A A M D =3-√A5E ,故③正确;
作EH⊥BC于点H,则BH= BC=1,EB=AD=√5+1,∴EH 1 =√BE22 -BH2=√5+2√5,∴S = BC·EH= ×2×√5+2√5=√5+2√5,故④错误.故选C.
2 EBC 2 2
△
评析 本题考查了正五边形的性质、相似多边形的判定及性质、勾股定理等知识.
二、填空题
11. 答案x yy2 xy·y
解析 = =y.
xy xy
12. 答案 2 8
解析 因为菱形的四条边长都相等,周长是8 cm,所以AB的长是 =2 cm.
4
13. 答案 8 1
解析 1因为x= ×(22+24+26+28+30)=26,
5
所以s2= ×[(22-26)2+(24-26)2+(26-26)2+(28-26)2+(30-26)2]=8.
5
14. 答案 1解析{ n2因=为1(,x+n)2=x{2+n2=nx±+n12=,x2+mx+1,
所以 所以
∵m>0 m ,∴ = n> 2 0 n ,∴ , n=1. m=±2,
15. 答案 50
解析 设符合条件的圆为☉O,由题意知,圆心O在对称轴l上,且点A、B都在☉O上.设OC=x mm,则OD=(70-x)mm,由OA=OB,得OC2+AC2=OD2+BD2,即x2+302=(70-x)2+402,解得x=40,∴OA=√AC2+OC2=√302+402=50 mm,即能完全覆盖这个平面图形的
圆面的最小半径是50 mm.
16. 答案 ①③④ 1 1
解析 ∵抛物线开口向上,∴a>0.∵双曲线y= 经过点(a,bc),∴2abc=1,∴abc= >0,∴bc>0,故①正确.
2x 2
∵抛物线y=ax2+b1x+c经过点(1,1),∴a+b+c=1.当a>1时,b+c<0;当a=1时,b+c=0,这与题设矛盾;当00,故②错误.
方程x2+(a-1)x+ =0可化为x2-(b+c)x+bc=0,
2a
解得x=b,x=c,故③正确. 1 1
1 2
∵b和c是方程x2+(a-1)x+ =0的两个实数根,∴b+c=-(a-1),bc= ,∴a-b-c=a-(b+c)=2a-1,又a+b+c=1,故b+c=1-a<1.
2a 2a
当-1<1-a<1,即02,矛盾,故a≥2,
∴2a-1≥3,即a-b-c≥3,故④正确.
故正确结论为①③④.
三、解答题 1 √2
173.√解2析√ 2原式= ×3√2+1- +(2-√2)(4分)
= - -√2+1 2 +2 2
2 2
=3.(6分)
18. 解析 (1)获奖男生3人,女生4人,男女生3共7人.
故参加颁奖大会的学生刚好是男生的概率P= .(2分)
7
(2)从获得美术奖、音乐奖的学生中各选取1名参加颁奖大会,用列表法列出所有可能结果:
分类 美术男 美术女1 美术女2
音乐男1 音乐男1 美术男 音乐男1 美术女1音乐男1 美术女2
音乐男2 音乐男2 美术男 音乐男2 美术女1音乐男2 美术女2
音乐女1 音乐女1 美术男 音乐女1 美术女1音乐女1 美术女2
音乐女2 音乐女2 美术男 音乐女2 美术女1音乐女2 美术女2
(4分)
∵共有12种等可能的结果,其中一男生
{
一A女B生=的A有C6,种,(5分) 6 1
∴从获得美术奖、音乐奖的学生中各选取1名参加颁奖大会,刚好是一男生一女生的概率P= = .(6分)
19. 证明 (1)∵在△ABD和△ACE中, ∠1=∠2, 12 2
∴△ABD≌△ACE(SAS).(3分) AD=AE,
∴BD=CE.(4分)
(2)∵△ABD≌△ACE,∴∠ADB=∠AEC.(5分)
又∵∠MDO=∠ADB,∠NEO=∠AEC,
∴∠MDO=∠NEO.(6分)
∵∠MOD=∠NOE,(7分)
∴180°-∠MDO-∠MOD=180°-∠NEO-∠NOE,
即∠M=∠N.(8分)
评析 本题考查了全等三角形的判定与性质,要根据题意选择合适的判定方法.
20. 解析 (1)∵方程x2-6x+(2m+1)=0有实数根,
∴Δ=(-6)2-4(2m+1)≥0,(2分)
化简,得32-8m≥0,解不等式,得m≤4.(4分)
(2)根据一元二次方程根与系数的关系,得x+x=6,xx=2m+1.(5分)
1 2 1 2
∵2xx+x+x≥20,∴2(2m+1)+6≥20.(6分)
1 2 1 2
解不等式,得m≥3.(7分)
由(1)得m≤4,∴m的取值范围是3≤m≤4.(8分)
评析 本题考查了一元二次方程1根的判别式1及根与系数的关系.
21. 解析 (1)∵A(m,3)在直线y= x+2上,∴ m+2=3,(1分)
2 2
解得m=2.∴A的坐标为k(2,3).(2分)
设双曲线解析式为y= (k≠0k).(3分)
x
∵点A(2,3)在双曲线上6,∴3= ,解得k=6.
2
故双曲线解析式为y=1 .(4分)
x
(2) ∵点C是直线y= x+2与x轴的交点,∴C(-4,0).(5分)
2
∵点P在1x轴上,设点P到点C的距离为n,且A(2,3),
∴S = n·3=3,解得n=2.(6分)
ACP 2
∴P(-2,0)或P(-6,0).(8分)
22. △ 解析 (1)证明:作OD⊥AB于点D.(1分)
∵AO平分∠CAB,OC⊥AC,∴OD=OC.(2分)
∵OD是☉O的半径,即点D在☉O上,∴AB是☉O的切线.(3分)
(2)∵∠ACB=90°,∴AC是☉O的切线,∴AC=AD.(4分)
在Rt ACB和Rt ODOBB中,∵OD∠ABOCC=∠OBD, 1
∴△ACB∽△ODB,∴ = = =tan∠CAO= .(6分)
AB AC AC 3
又∵O△C=OD=1,∴△AC=AD=3,设OB为x,则AB=3x,∴BD=AB-AD=3x-3. 5
在Rt O3DB中,OB2=DOBD2+3DB2,即x2=12+(3x-3)2,解得x= ,x=1(不合题意,舍去).(7分)
1 4 2
∴DB= ,∴cos B= = .(8分)
4 OB 5
评 {5析△0 t,本 题考 查 切 线的0判≤t定<、2勾0股定理、三角函数等知识.
23. 解析 (1)小明所走路程s与时间t的函数关系式为
s= 1 000,20≤t<30 (3分) { b=250, {b=250,
(2)设爸50爸t所-走50路0程.3 s与0≤时t间≤ t 6的0函数关系式为s=kt+b(k≠0),由题图得
25k+b=1 000,
解得
k=30.
则爸爸所走路程s与时间t的函数关系式为s=30t+250.(5分)
{由s题=图30可t得+,2小5明0与,爸爸{第s三=次1 相3遇7应5,该是t>30 min,根据题意,得
解得
s=50t-500, t=37.5.
答:小明出发37.5 min时与爸爸第三次相遇.(6分)
(3)当s=2 500时,由题意,得2 500=30t+250,解得t=75.(7分)
爸爸到达公园时t=75 min,小明到达公园时t=60 min,小明比爸爸早15 min到达公园;如果小明希望比爸爸早20 min到达公园,则小明在步行过程中停留的时间应该减少5 min.(8分)
24. 解析 (1)证明:∵△PBC∽△PAM,∴∠PBC=∠PAM.(1分)
∵四边形ABCD是正方形,∴AD∥BC,∴∠PBC=∠ANP.
∴∠PAM=∠ANP.(2分)
∵∠PAM+∠PAN=90°,∴∠ANP+∠PAN=90°.
∴∠APN=90°,即AP⊥BN.(3分)
∵∠BAN=90°,AP⊥BN,∴∠BPA=∠BAANN=90°.AP
∵∠ABP=∠NBA,∴△AABPP∽△ANMBA,∴ = .(4分)
AB PB
又∵A△NPBCA∽M△PAM,∴ = .(5分)
PB BC
故 = .又∵AB=BC,∴AM=AN.(6分)
AB BC
(2)①点M在AB的延长线上时,AP⊥BN和AM=AN仍然成立.(7分)
②不存在.理由如下:
如图,以AB为直径,作半圆O,连接OC,OP.
1 √5
∵BC=1,OB= ,∴OC= .(8分) 1
∵AP⊥BN,∴ 2 点P一定在 2 以点O为圆心√、5-为1半径的半圆上(A,B两点除外).
2
如果√5存-在1点1P,那么OP+PC≥OC,则PC≥ .(91分)
∵ > ,故不存在满足条件的点P,使 2 得PC= .(10分)
2 2 2
评析 本题是以考查相似三角形为主的综合题,涉及正方形的性质、圆的性质等知识,有一定难度.
25. 解析 (1)根据题意知,点A(-5,0),B(3,0)为抛物线与x轴的交点,
设抛物线解析式为y=a(x+51)(x-3).(1分)
∵抛物线过点C(0,5),∴1a=- . 1 2
3
∴抛物线解析式为y=- (x+5)(x-3)=- x2- x+5.(2分)
3 3 3
(2)作FD⊥AC于点D,∵OA=5,OC=5,∴∠CAO=45°.(3分)
√2 √2
设AF长为m,则DDFF= m,ME=ADEF=m+1. 10× m
∵sin∠AMF= ,∴2 MF= = 2 =√5m.(4分)
在△MEF中,FM
M
21=
F
ME2+EF2,∴
si
(
n√∠5m) A
2=
M
(m
F
+1)2+12,
√10
解得m=1,m=- (不符合题意,舍去).(5分)
1 2 2
∴AF=1,∴点Q的横坐1标为2-4. 7
又点(Q在抛7物)线y=- x2- x+5上,将x=-4代入,得y= ,
∴Q -4, .(6分 3 ) 3 3
3
(3)设直线{A-C5的k解+析n式=0为,y=kx+{nk(k=≠10),,
由题意,得 解得
n=5, n=5.
∴直线AC的解析式为y=x+5.(7分)
由已知得,点Q,N,F及点P,M,E的横坐标分别相同. 1 2
设
∴Q
F((t,
t
0
,
),
-
E(t1+1
t
,
2
0
-
),∵2点
t+
M
5
,N)
,
在
P
(直
t+
线
1
y
,
=
-
x+15上
t2
,
-
∴4N(
t
t,
+
t+5
4
)),M
.(
(
8
t+
分
1,
)
t+6),∵点P,Q在抛物线y=-
3
x2-
3
x+5上,
3 3 3 3
在矩形平移过程中,以P,Q,N,M为顶点的平行四边形有两种情况:
① ∴ (点 - Q1,P t 在 2- 直2线 t A + C 5 同) - 侧 (t+ 时 5) , = Q(N - =P1M t . 2- 4 t+4 ) -(t+6),
3 3 3 3
解得t=-3.∴M(-2,3).(9分)
② ∴ (点 - Q1,P t 在 2- 直2线 t A + C 5 异) - 侧 (t+ 时 5) , = Q (t N + = 6 M )- (P - . 1 t2- 4 t+4 ) ,
解得t 3 =-3+√63 ,t=-3-√6, 3 3
1 2
∴M(-2+√6,3+√6)或(-2-√6,3-√6).
综上所述,符合条件的点M的坐标为(-2,3),(-2+√6,3+√6)或(-2-√6,3-√6).(10分)
评析 本题是二次函数与几何知识相结合的综合题,涉及了三角函数、勾股定理等知识,解题关键是用待定系数法求出解析式,难点是分类讨论和方程思想的应用,难度比较大.
