文档内容
专题 01 概率初步
目录
A题型建模・专项突破
题型一、列表法或画树状图法求概率..................................................................................................................1
题型二、几何概率..................................................................................................................................................6
题型三、利用概率求数量......................................................................................................................................9
题型四、游戏的公平性........................................................................................................................................12
题型五、频率和概率综合....................................................................................................................................16
B综合攻坚・能力跃升
题型一、列表法或画树状图法求概率
1．为了展示课后服务成果，某校开放了甲、乙、丙三个分会场，每位学生用抽签的方式从三个分会场中
随机抽取一个会场进行观摩 温馨提示：每位学生抽完签放回后摇匀 ．
(1)学生小李抽到甲分会场进行观摩的概率为______．
(2)请用列表法或画树状图法求学生小李和小王没有抽到同一分会场观摩的概率．
2．如图，甲、乙为两个可以自由转动的转盘，它们分别被分成了4等份与3等份，每份内均标有字母．转
盘停止转动后，若指针落在两个区域的交线上，则重转一次．
(1)转动甲盘，待其停止转动后，指针落在A区域的概率为_______；
(2)转动甲、乙两个转盘，用列表或画树状图的方法，求转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未
落在Q区域的概率．
3．一个盒子中装有1个红球、1个白球和2个蓝球，这些球除颜色外都相同．
(1)从盒子中任意摸出一个球，恰好是白球的概率是 ．(2)从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，试用树状图或表格列出所有可能的
结果，并求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率．（红色和蓝色在一起可配成紫色）
第1次
红 白 蓝1 蓝2
第2次
红 白红 蓝1红 蓝2红
白 红白 蓝1白 蓝2白
蓝1 红蓝1 白蓝1 蓝2蓝1
蓝2 红蓝2 白蓝2 蓝1蓝2
4．人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力．为进一步了
解学习，小明打算先从比较热门的人工智能软件随机选择，现有如下四种 软件，他将四种图标依次制成
A，B，C，D四张卡片(卡片的形状、大小、质地都相同)，将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．
A．豆包 B． C． D．文心一言
(1)从中随机抽取一张，抽到 卡片的概率为 ；
(2)从中随机抽取一张不放回，洗匀后再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求两次抽取到的卡片中，
含有 卡片的概率．
5．西宁市某中学举行了“新时代好少年”演讲比赛活动，根据学生的成绩划分为 四个等级，
并绘制了不完整的两种统计图．
根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)参加演讲比赛的学生共有__________人，并把条形图补充完整，扇形统计图中， __________；
(2)学校欲从获A等级的学生中随机选取2人，参加市举办的演讲比赛，请利用列表法或树状图法，求获A
等级的小明参加市比赛的概率．
甲 乙 丙 丁甲 甲乙 甲丙 甲丁
乙 乙甲 乙丙 乙丁
丙 丙甲 丙乙 丙丁
丁 丁甲 丁乙 丁丙
题型二、几何概率
6．如图，阴影部分是两个相同菱形的重合部分，假设可以随机在图中取点，则这个点取在阴影部分的概
率是 ．
7．在如图所示的正方形和圆形组成的盘面上投掷飞镖，飞镖未落在阴影区域的概率是 ．
8．如图，点D、点E是直线 与矩形 的边 、 的交点， ， ．若动点
在矩形 内随机运动，则动点P落在 内（包括边界）的概率为 ．
9．如图 ，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形 内，装饰图中的三角形顶点 ， 分别在边
， 上，三角形 的边 在边 上，若在矩形区域内随机取点，则这个点落在空白部分的概率
．
10．如图，正方形 是一块绿化带，其中阴影部分 都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟不落在花圃上的概率为 ．
题型三、利用概率求数量
11．在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个
球，摸到红球的概率为 ，则 ．
12．一个不透明的袋子中装有除颜色外其他完全相同的若干个红球和黄球，从袋子中随机摸出一个小球，
摸出的小球是红球的概率为 ，若袋子中有9个黄球，则袋子中红球的个数为 ．
13．在一个不透明的口袋中有红、黄两种除颜色外其余均相同的球，其中红球有4个，黄球有 个．从中
随机摸出1个球，记下颜色后放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在 左右，则
的值为 ．
14．（数据观念）一个暗箱中装有只有颜色不同的 个布娃娃，分别是4个白娃娃、6个绿娃娃、
5个红娃娃和n个黄娃娃，从中任意拿出1个布娃娃，记下颜色后放回并搅匀．经过大量重复试验，把拿
出白娃娃、绿娃娃、红娃娃的频率绘制成如图所示的条形统计图（不完整）．根据题中给出的信息，估计
暗箱中黄娃娃的个数为 ．
15．王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出
一个球，放回、搅匀，下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到黑球的次数m 23 31 60 130 203 251
摸到黑球的频率
袋中白球的个数约为 ．题型四、游戏的公平性
16．在一个不透明的小口布袋中装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的质地、大小完全相同，小明从布
袋里随机摸出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为y，这样
确定了点M的坐标
(1)画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标．
(2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：x、y若满足 ，则小明胜；否则，小红胜；这个游戏公平
吗？说明理由．
17．有三张背面完全相同的卡片，它们的正面分别写上 、 、 ，把它们的背面朝上洗匀后，小丽
先从中抽取一张，然后小明从余下的卡片中再抽取一张．
(1)直接写出小丽取出的卡片恰好是 的概率；
(2)小刚为他们设计了一个游戏规则：若两人抽取卡片上的数字之积是有理数，则小丽获胜；否则小明获胜．
你认为这个游戏规则公平吗？若不公平，则对谁有利？请说明理由．
小丽 小明 数字之积
∴共有6种等可能结果，其中积是有理数的有2种，不是有理数的有4种，
∴小丽获胜的概率 ，小明获胜的概率 ，
18．小明和小亮都想参加学校社团组织的暑期实践活动，但只剩下一个名额，小明提议用如下的办法决定
谁去参加活动：将一个可以自由转动的转盘等分成 个扇形，分别标有 ， ， ， ， ， ， ， ， ，
这 个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小明转动转盘，小亮猜数，
若所猜数字与转出的数字相符，则小亮参加活动，否则小明参加活动．猜数的方法从下面两种中选一种：
①猜“是 的倍数”或“不是 的倍数”；②猜“是大于 的数”或“不是大于 的数”．(1)猜“是 的倍数”的概率是_______；
(2)如果你是小亮，那么为了尽可能参加活动，你将选择哪一种猜数方法？怎样猜？为什么？
(3)你认为这两种猜数方法对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请设计一种对双方都公平的猜
数方法．
19．如图，小明和小春制作了两个质地均匀、可以自由转动的转盘，A盘被等分为四个扇形，上面分别标
有数字1，2，4，5；B盘中圆心角为 的扇形上面标有数字3，其余部分上面标有数字
如图，是两个质地均匀、可以自由转动的转盘，A盘被等分为四
个扇形，上面分别标
(1)小明转动一次A盘，指针指向数字为2的概率是 ；
(2)小明和小春用如图所示的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别旋转两个转盘，将A盘转出的数字作为
被减数，B盘转出的数字作为减数；如果差为正数，则小春胜；若差为负数，则小明胜．这个游戏对双方
公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由．
被减数
1 2 4 5
减数
3 1 2
4 0 1
4 0 1
20．如图，一个均匀的转盘被平均分成12等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12这
12个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．
(1)P（转出的数字是4的倍数） ______；P（转出的数字不是4的倍数） ______．
(2)两人参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则猜数的人获胜，否则转
动转盘的人获胜．①猜“是奇数”或“是偶数”；
②猜“是大于8的数”或“不是大于8的数”．如果轮到你猜数，那么为了尽可能获胜，你将选择哪一种
猜数方法？怎样猜？请说明理由．
题型五、频率和概率综合
21．某公园移植A种花卉前查阅资料得到该花卉移植的成活率如下图．
(1)A种花卉成活的频率稳定在__________附近，估计成活概率为________；（精确到0.1）
(2)该公园规划共需要成活A种花卉9000株，分两批采购，第一批购入2000株，估计第二批需购入多少株？
22．为推动农业现代化进程，某农科所在相同条件下开展农作物种子发芽率的试验，试验数据如表：
种子颗数 100 400 600 700 900 1000
发芽种子颗数 94 378 571 664 951
发芽种子频率
(1)填空：上表中 的值为___________， 的值为___________；
(2)估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率．（精确到 ）
23．一个不透明袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小明每次从袋子中摸出一个球，记录下颜色，
然后放回，重复这样的试验1000次，记录结果如下：
实验次数 200 300 400 500 600 700 800 1000
摸到红球次数 144 214 276 352 425 491 559 702
摸到红球频率
(1)表格中 ___________；（精确到 ）
(2)估计从袋子中摸出一个球恰好是红球的概率约为___________；（精确到 ）
(3)若袋子中共有10个球，则除了红球，估计还有___________个其他颜色的球；
(4)在（3）的条件下，往袋子中再放入4个白球，摇匀后从袋中随机摸出一球，摸到红球小明胜，摸到其
他颜色的球小亮胜，你认为游戏对两人公平吗？请说明理由．
24．某射击运动员在同一条件下进行射击，相关统计结果见下表：
射击总次数 10 20 50 100 200 500 C
9 16 41 168 429 861
击中靶心的次数
击中靶心的频
率
(1)填空：表格中 ___________， ___________， ___________；
(2)根据上表，画出该运动员击中靶心的频率的折线统计图；
(3)根据图表信息，估计该运动员射击一次便击中靶心的概率约为___________（精确到百分位）．
25．同学们学习完频率估计概率之后，觉得特别有趣，在班级进行了一次实验验证．已知一个不透明的袋
子中有7个除颜色外完全相同的小球，大家进行了大量的摸球实验得到如下表格：
摸出红球的次数
10 21 32 54 90 145 203
实验的总次数 40 80 120 200 320 500 700
摸出红球的频率
0． 0． 0． 0． 0．
25 26 27 28 29
(1)表格中的 ________； _______；（保留两位小数）
(2)根据频率估计概率的知识，同学们算出袋子中大约有红球_______个，打开袋子发现红球的个数与计算
结果相同；
(3)小明经过思考，又提出了一个问题，若不透明的袋子中现在有8个除颜色外完全相同的小球，如果想让
摸出红球的概率与下图所示自由转盘转到红色区域的概率相同，应该有几个红球？请你帮助小明计算出来．一、单选题
1．一个不透明的袋子中有除颜色外完全相同的红色、黑色小球各一个，从中随机摸出一个小球，记录其
颜色，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其颜色，那么两次都摸到黑球的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．一个不透明的盒子里有8个红球和若干个白球，红球和白球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒
子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率
稳定在0.4，那么估计盒子中白球的个数为（ ）
A．12 B．15 C．20 D．8
3．2024年11月，中国苹果产业协会和国家苹果产业技术体系最新联合发布，截至目前，中国苹果产量世
界第一，当前我国已培育自主产权苹果新品种152个．某科学研究院为研究一类新品种苹果树的成活率，
在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示：估计这一类新品种苹果树成活的概率为（ ）
移植总数n 50 270 400 750 1500 3500 7000 10000 14000
成活总数m 47 235 369 682 1359 3203 6398 9102 12782
成活率
A． B． C． D．
4．已知人的卷舌性状由常染色体上的一对基因决定，决定能卷舌的基因R是显性的，不能卷舌的基因r是
隐性的，因此决定能否卷舌的基因有 三对，其中基因为 和 的人能卷舌，基因为 的人不
能卷舌，父母分别将他们一对基因中的一个基因等可能地遗传给子女．若父母的基因都是 ，则他们的子
女可以卷舌的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，为某小组做“用频率估计概率”的实验时，绘制的频率分布折线图，则符合这一结果的实验是
（ ）
A．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
B．抛两枚硬币，一枚正面朝上，一枚反面朝上
C．掷一个正六面体的骰子，朝上点数是3的倍数D．一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是红球
二、填空题
6．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．
可以估计“钉尖向上”的概率是 ．（结果精确到0.01）．
7．如图，一个转盘被分成3个扇形，扇形A、扇形B、扇形C的圆心角分别为 ， ， ，自由转
动转盘1次，则指针落在扇形A的概率是 ．
8．在一个不透明袋子里装有红球、黄球，其中红球16个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发
现，摸出黄球的频率稳定在 左右，则袋子中黄球的个数大约是 ．
9．十二生肖，作为中国传统文化的重要组成部分，具有深远的历史和丰富的文化内涵．小云购买了一套
“十二生肖”主题邮票，他要将“猴”“牛”“蛇”“龙”四张邮票中的两张送给同学小南，小云将它们
背面朝上放在桌面上，让小南从中随机抽取两张，四张邮票的大小、形状、质地、背面完全相同．则小南
抽到的两张邮票恰好是“牛”和“龙”的概率是 ．
10．如图，两个带指针的转盘A，B分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是2，5，9，转
盘B上的数字分别是3，6，8（两个转盘除表面数字不同之外，其他完全相同）．小美拨动A转盘上的指
针，小丽拨动B转盘上的指针，使之旋转，指针停止后所指数字较大的一方获胜（若箭头恰好停留在分界
线上，则重转一次），则 （填“小美”或“小丽”）获胜的可能性大．
B A 2 5 9
3 2，3 5，3 9，3
6 2，6 5，6 9，68 2，8 5，8 9，8
三、解答题
11．小明的笔袋中有4支中性笔，其中3支为蓝色，1支为红色，且这4支中性笔的外观完全相同．
(1)小明从笔袋中随机取出一支中性笔，则取出的中性笔为蓝色的概率为______；
(2)小明从笔袋中随机取出两支中性笔，请用列表或画树状图的方法，求取出的两支中性笔都是蓝色的概率．
12．国庆假期，小明一家准备去西安某景点旅游，出发前需要采购一些生活用品，小明提议采用掷骰子的
方式决定谁去采购．小明抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别标有数字 ），若向上的点数是3的倍
数，则妈妈去；若向上的点数不是3的倍数，则爸爸去．
(1)上述方式公平吗？请说明理由；
(2)为了能使游戏更为公平，请你帮小明设计一种对爸爸、妈妈都公平的规则，并说明你的设计依据．
13．近日，国产 大模型 的爆火引发了全球科技界的广泛关注．人工智能（ ）是一种模拟人
类智能行为的科学和技术．它通过计算机系统模拟、延伸和扩展人类的感知、推理、学习和决策等智能能
力，使机器能够像人一样进行思考和处理问题．现有四场网络直播，这四场直播分别以A．机器人技术，
B．计算机视觉，C．自然语言处理，D．专家系统为主题，对这四类人工智能分别进行讲解，这四场直播
同时开始．乐乐和千千准备各自听一场网络直播然后两人互相分享，乐乐先从这四类中随机选择一类进直
播间听讲解，然后千千从剩下的三类中随机选择一类进直播间听讲解，记乐乐的选择为x，千千的选择为
y．
(1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求 所有可能出现的结果总数；
(2)求乐乐和千千中有一人选择计算机视觉的概率P．
A B C D
A
B
C
D
14．某班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘
的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据：10
转动转盘的次数 200 300 400 500 1000
0
落在“书画”区域的次数 60 122 180 298 604
落在“书画”区域的频率
0.6 0.61 0.6 0.59 0.604
(1)完成上述表格： ______； ______；
(2)假如你去转动该转盘一次，你获得“书画”奖品的概率约是______（精确到0.1）；
(3)在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是多少度？
15．新考法结合转盘考查概率的计算王老师要从班上选一个学生参加周末的志愿者服务活动，小红和小宇
积极要求参加，但是只有一个指标，王老师为解决这个问题，拿出两个质地均匀的转盘A，B（如图），转
盘A被四等分，分别标有数字1，2，3，4；转盘B 被三等分，分别标有数字5，6，7.制定如下规则：随
意转动A，B转盘各一次，转盘停止后，将A，B转盘的指针所指数字相乘（指针指向两个扇形的交线时，
重新转动转盘），若积为偶数，则小红参加；若积为奇数，则小宇参加．
(1)这个规则对双方公平吗？请说明理由．
(2)数学课代表小华认为只要在转盘 B上修改其中一个数字，就可以使这个规则对双方公平，请你写出小
华是如何修改的．
转盘A
转盘
B
1 2 3 4
5
6
7
16．某店举办“盲盒抽奖”活动，在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共30个，这些球除颜色
外其余完全相同，每次摸奖，店员将球搅匀后，顾客从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子
中，店员记录了抽奖数据如下：摸球的次数 50 100 300 500 800 1000 2000
摸到红球的次数 14 33 95 155 241 298 598
摸到红球的频率 0.33 0.317 0.31 0.301 0.298 0.299
(1)上表中的 _____；
(2)通过以上摸奖数据，摸到红球的概率估计为_____（结果精确到0.01）；
(3)若先从袋子中取出 个红球，不放回，再从袋子中随机摸出1个球，此时“摸出黑球”为必然事件，则
_____；
(4)若先从袋子中取出 个红球，再放入 个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个红球的概率为 ．求 的值．
