文档内容
专题 02 二次函数重难点题型汇编
【题型01 ：二次函数的概念】
【题型02 ：根据二次函数的定义求参数】
【题型03：列出二次函数关系式】
【题型04：特殊二次函数的图像和性质】
【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】
【题型06：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质】
【题型07：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题】
【题型08：根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息】
【题型09：二次函数的平移变换】
【题型10：已知抛物线上对称的两点求对称轴】
【题型11：二次函数的交点个数问题】
【题型11：抛物线与x轴的交点问题】
【题型12：抛物线与x轴的交点问题】
【题型13：根据二次函数图象确定相应方程根的情况】
【题型14：根据交点确定不等式的解集】
【题型01 ：二次函数的概念】
1．（24-25九年级上·广东韶关·阶段练习）下列关于x的函数一定为二次函数的是（ ）
2 1
A．y=2x+1 B．y= C．y= D．y=2x2−7
x x2
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的判断，根据形如y=ax2 +bx+c(a≠0)，这样的函数叫做
二次函数，进行判断即可．
【详解】解：A、是一次函数，不符合题意；B、是反比例函数，不符合题意；
C、y是x2的反比例函数，不符合题意；
D、是二次函数，符合题意；
故选D．
2．（24-25九年级上·山东潍坊·阶段练习）下列函数表达式中，一定属于二次函数的是（
）
1
A． y=5x−1 B．y=ax2 +bx+c C． y=2x(x+1) D．y=3x2 +
x
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的定义，判断各选项是否为二次函数，需满足形如
y=ax2 +bx+c(a≠0)且为整式函数的条件．
【详解】解：选项A：y=5x−1此为一次函数（最高次数为1），不符合二次函数定义，
排除；
选项B：y=ax2 +bx+c二次函数需满足a≠0，但题目未限定a的取值（如a=0时为一
次函数），因此不一定是二次函数，排除；
选项C：y=2x(x+1)，展开得：y=2x2 +2x，
符合y=ax2 +bx+c(a≠0)，且为整式函数，因此一定是二次函数；
1 1
选项D：y=3x2 + ，含分式项 （即x−1），非整式函数，不符合二次函数定义，排
x x
除．
故选：C．
3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）函数y=4x2−3x+1的二次项系数是（ ）
A．4 B．−3 C．3 D．1
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，二次函数的标准形式为y=ax2 +bx+c（其
中a、b、c是常数，且a≠0），其中a为二次项的系数，据此可得答案．
【详解】解：函数y=4x2−3x+1的二次项系数是4，
故选：A．
【题型02 ：根据二次函数的定义求参数】1．（24-25九年级上·广东惠州·期中）若函数y=(m−1)x|m))+1 +5是关于x的二次函数，则
m=（ ）
A．−1 B．1 C．1或−1 D．2
【答案】A
【分析】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的定义是解题关键．二次
函数的定义：一般地，形如y=ax2 +bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二
次函数．
根据“形如y=ax2 +bx+c（a≠0）的函数关系，称为y关于x的二次函数”，即可
求解．
【详解】解： ∵y=(m−1)x|m))+1 +5是关于x的二次函数，
|∴| m| +1=2且m−1≠0，
解得：m=−1．
故选：A．
2．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）已知y=(a+1)xa2+1 +3x−6是二次函数，则a=
（ ）
A．0 B．1 C．−1 D．1或−1
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义可得a2 +1=2且a+1≠0，
从而可得答案．
【详解】解：∵y=(a+1)xa2+1
+3x−6是二次函数，
∴a2 +1=2，
解得a =−1或a =1，
1 2
∵a+1≠0，
∴a≠−1，
∴a=1．
故选：B．
3．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）若函数y=mx|m−2)−(m+1)x+2是二次函数，则m的
值是 ．【答案】4
【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键；因
此此题可根据“形如y=ax2 +bx+c(a≠0)的函数称为二次函数”进行求解即可．
【详解】解：由题意得：
{ m≠0 )
，
|m−2)=2
解得：m=4；
故答案为4．
4．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）若函数y=(m−1)xm2+m−3x+5是二次函数．
(1)求m的值；
(2)当x=1时，求y的值．
【答案】(1)m=−2
(2)−1
【分析】本题主要考查二次函数的定义，函数值的计算，理解二次函数定义，函数值
的计算方法是解题的关键．
（1）根据二次函数的定义可得m−1≠0,m2 +m=2，即可求解；
（2）由（1）可得二次函数解析式，把x=1代入计算即可．
【详解】（1）解：函数y=(m−1)xm2+m−3x+5是二次函数，
∴m−1≠0,m2 +m=2，
解得，m≠1,m =1,m =−2，
1 2
∴m=−2；
（2）解：当m=−2时，二次函数解析式为y=−3x2−3x+5，
∴当x=1时，y=−3×12−3×1+5=−1．
【题型03：列出二次函数关系式】
1．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季
度平均每月的增长率为x，如果第三季度共生产零件y万个，那么y与x满足的函数关系
式是（ ）A．y=50(1+x) 2 B．y=50+50(1+x)
C．y=50(1+x)+50(1+x) 2 D．y=50+50(1+x)+50(1+x) 2
【答案】D
【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式．设该厂第三季度平均每月的增长
率为x，则八月份生产零件50(1+x)万个，九月份生产零件50(1+x) 2万个，根据第三季
度共生产零件y万个，即可列出y与x之间的函数关系式．
【详解】解：设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件50(1+x)万个，
九月份生产零件50(1+x) 2万个，根据题意得：
y与x满足的函数关系式是
y=50+50(1+x)+50(1+x) 2．
故选：D
2．（24-25九年级上·广东江门·期中）两个正方形的周长之和是24cm，其中一个正方形的
边长为xcm．若以两个正方形面积之和y(cm 2)为函数，其中一个正方形的边长x(cm)为
自变量，它们的关系式是（ ）
A．y=x2 +(24−x) 2 B．y=x2 +(24−4x) 2
C．y=x2 +(6−x) 2 D．y=x2 +(6−4x) 2
【答案】C
【分析】本题考查了求二次函数关系式，求出另一个正方形的边长为(6−x)cm，再由
正方形面积公式计算即可得解，求出另一个正方形的边长为(6−x)cm是解此题的关键．
【详解】解：∵其中一个正方形的边长为xcm，
∴其中一个正方形的周长为4xcm，
∴另一个正方形的周长为(24−4x)cm，
∴另一个正方形的边长为(24−4x)÷4=(6−x)cm，
∵第一个正方形的面积为x2，第二个正方形的面积为(6−x) 2，∴面积之和为y=x2 +(6−x) 2，
故选：C．
3．（23-24九年级上·河南周口·期中）正方形的边长为3，若边长增加x，则面积增加y，y
与x的关系式为（ ）
A．y=x2 +6x B．y=x2 +6x+9
C．y=x2−6x D．y=x2−6x−9
【答案】A
【分析】首先表示出原边长为3的正方形面积，再表示出边长增加x后正方形的面积，
再根据面积随之增加y列出方程即可．
【详解】解：原边长为3的正方形面积为：3×3=9，
边长增加x后边长变为：x+3，
则面积为：(x+3) 2，
∴y=(x+3) 2−9=x2 +6x．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是正确表示出正
方形的面积．
4．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩
包的成本价为每个30元．经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（个）与销售
单价x（元/个）有如下关系：y=−x+60（30≤x≤60，且x为整数）．设这种双肩
包每天的销售利润为w元．则w与x之间的函数关系式为w= ．
【答案】−x2 +90x−1800
【分析】此题考查求二次函数解析式，根据销售总利润等于单件利润乘销售量计算解
答．
【详解】解：w=(x−30)y=(x−30)(−x+60)=−x2 +90x−1800，
故答案为：−x2 +90x−1800．
5．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，∠A=90°，AB=AC，BC=20，四边形
EFGH是△ABC的内接矩形，如果EF的长为x，矩形EFGH的面积为y，则y与x的
函数关系式为 ．1
【答案】y=− x2 +10x
2
【分析】根据题意可得△BEH，△CFG是等腰直角三角形，得出
BH=EH=CG=GF，进而根据矩形的面积即可求解．
【详解】∵∠A=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．
∵四边形 EFGH 是 △ABC 的内接矩形，
∴∠EHB=∠FGC=90°，EH=FG，EF=HG，
∴∠BEH=∠CFG=45°，
∴BH=EH=CG=GF．
∵BC=20，EF=x，
∴BC−HG=BC−EF=20−x，
1 1
∴BH=EH=CG=GF= (BC−HG)=10− x，
2 2
∴y=x ( 10− 1 x ) =− 1 x2 +10x．
2 2
1
故答案为：y=− x2 +10x．
2
【点睛】本题考查了列二次函数关系式，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
【题型04：特殊二次函数的图像和性质】
1．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）抛物线y=x2的对称轴是（ ）
A．直线x=−1 B．直线x=1 C．x轴 D．y轴
【答案】D
b
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数对称轴为：直线x=− 是解
2a
题的关键．直接根据二次函数对称轴的计算方法求解即可．
【详解】解：∵y=x2，b 0
∴抛物线的对称轴为：x=− =− =0，即y轴；
2a 2×1
故选：D．
2．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知点(−2,y ),(−3,y )均在抛物线y=−x2上，
1 2
则y 、y 的大小关系为（ ）
1 2
A．y y C．y ≤ y D．y ≥ y
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数值的比较，属于基础题型．根据二次函数y=ax2(a≠0)
的性质解答，即可．
【详解】解：∵−1<0，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线y=−x2的对称轴为y轴，
∴当x<0时，y随x的增大而增大，
∵点(−2,y ),(−3,y )均在抛物线y=−x2上，且−2>−3，
1 2
∴ y >y ．
1 2
故选：B
3．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）抛物线y=2x2−1的顶点坐标是（ ）
A．(−1,0) B．(0,−1) C．(2,0) D．(0,2)
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握形如y=ax2 +k的顶点坐标为(0,k)是
解题的关键．
【详解】解：抛物线y=2x2−1的顶点坐标是(0,−1)，
故选：B．
4．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如果抛物线y=(a+2)x2−3在对称轴的左侧y
的值随x的增大而增大，那么a的取值范围是（ ）
A．a>−2 B．a>2 C．a<−2 D．a<2
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的增减性与开口方向
的关系是解题的关键；根据在对称轴的左侧y的值随x的增大而增大即可确定开口向下，可得a+2<0，即可得解．
【详解】解：∵抛物线y=(a+2)x2−3在对称轴的左侧y的值随x的增大而增大，
∴a+2<0，
∴a<−2，
故选：C．
5．（23-24九年级上·广西梧州·期末）关于函数y=−(x−1) 2 +2的图象与性质说法正确的
是（ ）
A．顶点坐标在第二象限 B．图象关于y轴对称
C．当x<1时，y随x的增大而增大 D．函数值的最小值为2
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
利用抛物线的顶点式的性质直接判断每个选项即可．
【详解】解：∵y=−(x−1) 2 +2，
∴抛物线的顶点坐标为(1,2)，在第一象限，对称轴直线为x=1，故选项A、B错误；
∵a=−1<0，
∴抛物线的开口向下，有最大值为2，且当x<1时，y随x增大而增大，故选项C正确，
选项D错误．
故选：C．
6．（24-25九年级上·北京海淀·期中）抛物线y=3(x−1) 2 +4的开口方向和顶点坐标是
（ ）
A．开口向上，(−1,4) B．开口向下，(−1,−4)
C．开口向上，(1,4) D．开口向下，(1,−4)
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据顶点式的顶点坐标公式，以及a的符
号，进行判断即可．
【详解】解：∵y=3(x−1) 2 +4，3>0，
∴抛物线的开口方向向上，顶点坐标为(1,4)；
故选C．7．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）二次函数y=(x−2) 2 +3的图象的顶点坐标是
（ ）
A．(2,−3) B．(−2,3) C．(−2,−3) D．(2,3)
【答案】D
【分析】本题考查求抛物线的顶点坐标，根据y=(x−ℎ) 2 +k的顶点坐标为(ℎ,k)，进
行求解即可．
【详解】解：二次函数y=(x−2) 2 +3的图象的顶点坐标是(2,3)．
故选：D．
8．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）若A(−3,y )，B(−2,y )，C(2,y )为二次函
1 2 3
数y=−(x+2) 2 +k的图象上的三点，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y k−1>k−16
∴ y 0 C．x>−2 D．x<0
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的增减性，是解题的关键．根
据二次函数的性质，进行求解即可．
【详解】解：∵y=4x2−2，a=4>0，对称轴为y轴，
∴在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；
∴当函数y=4x2−2的函数值y随着x的增大而减小时，x的取值范围是：x<0；
故选：D．
10．（24-25九年级上·江西赣州·阶段练习）下列关于二次函数y=3x2−1的图象说法中，
错误的是（ ）
A．它的对称轴是直线x=0
B．它的图象有最低点
C．它的顶点坐标是(0,−1)
D．在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据解析式可知，函数开口向上，对称轴
为直线x=0，顶点坐标为(0,−1)，则函数有最小值，在对称轴左侧y随着x的增大而
减小，据此可得答案．
【详解】解：A、它的对称轴是直线x=0，原说法正确，不符合题意；
B、由二次项系数大于0可知，函数开口向上，则它的图象有最低点，原说法正确，不
符合题意；
C、它的顶点坐标是(0,−1)，原说法正确，不符合题意；
D、函数开口向上，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小，原说法错误，符合题意；
故选：D．
11．（23-24九年级上·河北唐山·阶段练习）函数y=a(x+a)与y=ax2(a≠0)在同一坐标上
的图象大致是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象与性质，先由一次函数y=a(x+a)图
象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2的图象相比较看是否一致即可，掌握知
识点的应用是解题的关键．
【详解】解：A、由一次函数y=a(x+a)=ax+a2的图象，可知a>0，a2 >0，由二次
函数y=ax2的图象可知a>0，两者相吻合；故此选项符合题意；
B、由一次函数y=a(x+a)=ax+a2的图象可知a>0，a2 >0，由二次函数y=ax2的图
象可知a<0，两者不吻合；故此选项不符合题意；
C、由一次函数y=a(x+a)=ax+a2的图象可知a<0，a2 >0，由二次函数y=ax2的图
象可知a>0，两者不吻合；故此选项不符合题意；
D、由一次函数y=a(x+a)=ax+a2的图象可知a<0，a2 <0，此时a无实数根，故此选
项不符合题意；
故选：A．
12．（24-25九年级上·广东阳江·阶段练习）二次函数y=(x−1) 2 +7，当−20)个单位，则CD与AB之间的关系是（ ）
A．CD=2AB B．随着直线y=4向上平移，CD>2AB
C．随着直线y=4向上平移，CD<2AB D．无法判断
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，表示出A、B、
C、D的横坐标是解题的关键．
将y=4分别代入y=x2和y=ax2，即可得出求出AB，CD长度，根据CD=2AB得出
4❑√a 1
=2×4，从而得出a的值，然后得到y=ax2表达式为y= x2 ，然后求出CD与
a 4
AB的值进而求解即可．
【详解】解：把y=4代入y=x2中得，x2 =4，
∴x=±2
∴A的横坐标为−2，B横坐标为2
∴AB=2−(−2)=4
把y=4代入y=ax2得，ax2 =4，
√4 2❑√a
∴x=±❑ =±
a a
2❑√a 2❑√a
∴C的横坐标为− ，D横坐标为
a a4❑√a
∴CD=
a
∵CD=2AB，
4❑√a
∴ =2×4
a
1
∴ a= （负值舍去）
4
1
∴y=ax2表达式为y= x2 ，
4
∵把直线y=4向上平移b(b>0)个单位，得到直线y=4+b
∴把y=4+b代入y=x2中得，x2 =4+b，
∴x=±❑√4+b
∴AB=❑√4+b−(−❑√4+b)=2❑√4+b
1 1
把y=4+b代入y= x2 得， x2 =4+b，
4 4
∴x=±2❑√4+b
∴CD=2❑√4+b−(−2❑√4+b)=4❑√4+b
∴CD=2AB．
故选：A．
3．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）如图，在平面直角坐标系中、抛物线y=x2上已
知A的坐标为(1,1)．过点A作A A ∥x轴交抛物线于点A ，过点A 作A A ∥OA交
1 1 1 1 2
抛物线于点A ，过点A 作A A ∥x轴交抛物线于点A ．过点A 作A A ∥OA交抛
2 2 2 3 3 3 3 4
物线于点A ，……依此规律进行下去，例点A 的坐标为 ．
4 2001
【答案】(−1001，10012)【分析】待定系数法求直线OA的解析式为y=x；如图，记
A A ，A A ，A A ，A A 与y轴的交点分别为B，C，D，E，由y=x2，可
1 1 2 2 3 3 4
得物线关于y轴对称，则A (−1，1)，AB=A B=1，A D=A D，A A ⊥y轴，
1 1 2 3 1
A A ⊥y轴，证明△AOB≌△A CB(AAS)，则CB=OB=1，即C(0，2)，直线
2 3 1
{y=x+2)
A A 的解析式为y=x+2，联立 ，可求A (2，4)，A (−2，4)，同理，
1 2 y=x2 2 3
直线A A 的解析式为y=x+6，A (3，9)，A (−3，9)，可推导一般性规律为，当
3 4 4 5
( n+1 (n+1) 2 )
n为奇数时，A = − ， ，然后计算求解即可．
n 2 2
【详解】解：设直线OA的解析式为y=kx，
将A(1，1)代入得，k=1，
∴直线OA的解析式为y=x；
如图，记A A ，A A ，A A ，A A 与y轴的交点分别为B，C，D，E，
1 1 2 2 3 3 4
∵y=x2，
∴抛物线关于y轴对称，
∴A (−1，1)，AB=A B=1，A D=A D，A A ⊥y轴，A A ⊥y轴，
1 1 2 3 1 2 3
∵
A A ∥OA，
1 2
∴∠AOB=∠A CB，
1
又∵∠ABO=∠A BC，AB=A B，
1 1
∴△AOB≌△A CB(AAS)，
1∴CB=OB=1，即C(0，2)，
∴直线A A 的解析式为y=x+2，
1 2
{y=x+2)
联立 ，
y=x2
{x=−1) {x=2)
解得， 或 ，
y=1 y=4
∴A (2，4)，A (−2，4)，D(0，4)，
2 3
同理，直线A A 的解析式为y=x+6，
3 4
{y=x+6)
联立 ，
y=x2
{x=−2) {x=3)
解得， 或 ，
y=4 y=9
∴A (3，9)，A (−3，9)，
4 5
( n+1 (n+1) 2 )
∴可推导一般性规律为，当n为奇数时，A = − ， ，
n 2 2
∴当n=2001时，A =(−1001，10012)，
2001
故答案为：(−1001，10012)．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，
点坐标的规律探究等知识．熟练掌握二次函数的性质，一次函数解析式，全等三角形
的判定与性质，点坐标的规律探究是解题的关键．
4．（24-25九年级上·吉林四平·期中）如图，将二次函数y=x2−4位于x轴的下方的图象
沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（实线部分）．当新函数中函数y随x的增大而增
大时，自变量x的最值范围是 ．【答案】−2≤x≤0或x≥2
【分析】本题考查了二次函数与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征；先求得
y=|x2−4)与x轴的交点坐标，根据图象求得答案即可．
【详解】解：由题意，将二次函数y=x2−4位于x轴的下方的图象沿x轴翻折，得到一
个新函数，
∴新函数的解析式为y=|x2−4)．
∴当y=0时，|x2−4)=0，
解得x=2或−2，
如图，
当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的范围是−2≤x≤0或x≥2．
故答案为：−2≤x≤0或x≥2．
5．（24-25九年级上·贵州黔南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的
顶点A、B、C的坐标分别为(2,2)，(2,5)，(5,5)．若抛物线y=ax2的图象与正方形
ABCD有公共点，则a的取值范围为 ．2 5
【答案】 ≤a≤
25 4
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知
识，求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题，解题的关键是熟练掌握基
本知识．
【详解】解：∵正方形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为(2,2)，(2,5)，(5,5)，
∴D(5,2)，
5
当抛物线经过点B(2,5)时，则a= ，
4
2
当抛物线经过D(5,2)时，a= ，
25
2 5
观察图象可知 ≤a≤ ，
25 4
2 5
故答案为： ≤a≤ ．
25 4
【题型06：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质】
1．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）关于抛物线y=x2−2x+1，下列说法错误的是
（ ）
A．开口向上 B．与x轴有一个交点
C．对称轴是直线x=1 D．当x>1时，y随x的增大而减小
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握相关知识是解题的关键．
由a=1>0得到抛物线开口向上，配方成y=x2−2x+1=(x−1) 2，得到对称轴x=1，
顶点坐标为(1,0)，进而逐项判断即可．
【详解】解：∵a=1>0，∴抛物线开口向上，故A正确；
∵y=x2−2x+1=(x−1) 2，
∴对称轴x=1，顶点坐标为(1,0)，故C正确；
∴抛物线的顶点在x轴上，
∴抛物线与x轴有一个交点，故B正确；
∴当x>1时，y随x的增大而增大，故D错误．
故选：D．
2．（24-25九年级上·全国·期末）二次函数y=x2 +4x−3图象的对称轴方程为（ ）
A．2 B．−2 C． x=2 D． x=−2
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象和性质．掌握二次函数的对称轴公式是解题关键．
b
根据二次函数y=ax2 +bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=− 求解即可．
2a
4
【详解】解：对称轴为直线x=− =−2，
2×1
故答案为：D．
3．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）抛物线y=ax2 +bx+c(a<0)如图所示，则关于
x的不等式ax2 +bx+c>0的解集是（ ）
A．−10的解集是−3y >y B．y >y >y C．y >y >y D．y >y >y
1 2 3 2 1 3 3 1 2 3 2 1
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质．结合题意，得抛物线的开口向下，且抛物线的
对称轴为x=1，根据二次函数的性质分析，即可得到答案．
【详解】解：∵a=−1<0，
2
∴抛物线的开口向下，抛物线的对称轴为x=− =1，
−2
∴当x>1时，y随着x的增大而减少，且当x=−3和x=5时，函数值均为y ，
3
∵1<3<4<5，
∴ y >y >y ，
2 1 3
故选：B．
6．（24-25九年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）已知二次函数y=x²−2mx，当x<1时，
y随x的增大而减小，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．m>1 C．m<1 D．m≤1
【答案】A
【分析】本题考查的是二次函数的性质，先根据二次函数的解析式判断出函数的开口
方向，再由当x<1时，函数值y随x的增大而减小可知二次函数的对称轴x=m≥1解答
即可．
−2m
【详解】解：二次函数的对称轴为直线x=− =m，开口向上，
2
∵x<1时，y随x的增大而减小，
∴m≥1，故选：A．
7．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）二次函数y=ax2 +bx+1(a≠0)与一次函数
y=ax+1(a≠0)在同一直角坐标系中的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数和一
次函数的图象与性质是解题关键．
根据二次函数和一次函数的图象与性质逐项判断分析即可．
【详解】解：A、图象中，二次函数开口向下，故a<0，与y轴交点为(0,1)，一次函数
的y随x的增大而减小，故a<0，与y轴交点为(0,1)，此两个函数图象可在同一直角坐
标系中，故此选项符合题意；
B、图象中，二次函数开口向上，故a>0，与x轴交点为(−1,0)，这与二次函数
y=ax2 +bx+1(a≠0)与y轴交点(0,1)相矛盾，故此选项不符合题意；
C、图象中，二次函数开口向下，故a<0，一次函数的y随x的增大而增大，故a>0，
且两图象的交点为(1,0)，与二次函数y=ax2 +bx+1(a≠0)与一次函数
y=ax+1(a≠0)在同一直角坐标系中的交点为(0,1)相矛盾，故此选项不符合题意；
D、图象中，二次函数开口向上，故a>0，一次函数的y随x的增大而增大，故a<0，
此相矛盾，故此选项不符合题意．
故选：A．8．（23-24九年级上·山东日照·期中）二次函数y=ax2 +bx+c，自变量x与函数y的对应
值如下表：
x … −5 −4 −3 −2 −1 0 …
y … 4 0 −2 −2 0 4 …
下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．当x>−3时，y随x的增大而增大
C．当−40，抛物线开口向上，A不正确；
B、y=x2 +5x+4= ( x+ 5) 2 − 9 ，
2 4
5
∴抛物线的对称轴为直线x=− ，
2
5
∴当x>− 时，y随x的增大而增大，B不正确；
2
C、∵抛物线线与x轴交于点(−4,0)，(−1,0)，且抛物线开口向上，
∴当−42 即 b>4 时，最小值在 x=2 处，
2
则y=22−2b+1=5−2b=−3，
解得 b=4，但 b>4 不成立，舍去，
综上，b=4或−5．
故选：B．
2．（2024·山东济南·模拟预测）已知二次函数y=mx2−2mx+3（m为常数，且m≠0），
当−1≤x≤2时，该二次函数有最小值2，则m的值是（ ）
1 1 1
A．1 B． C．1或− D．1或
3 3 3
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质，由题意可得二次函数的对称轴为直线x=1，再
分两种情况：当m>0时，当m<0时，分别利用二次函数的性质求解即可，熟练掌握二
次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
【详解】解：∵二次函数y=mx2−2mx+3，
−2m
∴二次函数的对称轴为直线x=− =1，
2×m
∵当−1≤x≤2时，该二次函数有最小值2，
∴当m>0时，当x=1时，y=2，
∴m−2m+3=2，
解得：m=1；
当m<0时，对称轴为直线x=1，
故当x=−1时，y取得最小值为2，
∴m+2m+3=2，1
解得：m=− ；
3
1
综上所述，m的值为1或− ，
3
故选：C．
3．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）已知二次函数y=a(x+1) 2 +a，当−2≤x≤2时，
y的最小值为−5，则a的值为（ ）
1 1 5 1
A．−5 B．− C．−5或− D．− 或−
2 2 2 2
【答案】B
【分析】根据解析式y=a(x+1) 2 +a，确定对称轴，分开口方向向上和向下两种情况
解答，确定−2≤x≤2时，二次函数的最大值与最小值，解答即可．
本题考查了顶点式，抛物线的增减性，最值，熟练掌握增减性和最值确定方法，是解
题的关键．
【详解】解：∵y=a(x+1) 2 +a，
∴对称轴为直线x=−1，
当抛物线开口向上时，a>0，得抛物线上的点与对称轴的距离越大，函数值越大，
∵−2≤x≤2，
∴x=−1在这个范围内，
∵y的最小值为−5，
∴a=−5，与a>0矛盾，
当抛物线开口向下时，a<0，故抛物线上的点与对称轴的距离越大，函数值越小，
∵|2−(−1))=3＞|−2−(−1))=1，
∴当x=2时，取得最小值，且最小值为y=10a，
由y的最小值为−5，
得10a=−5，
1
解得a=− ．
2
故选：B．4．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）已知抛物线y=(x−m) 2−2（m为常数），当
1≤x≤3时，其对应的函数值最小为7，则m的值为（ ）
A．4 B．−2 C．−1或4 D．−2或6
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论
是解题的关键．
根据题意得到当x>m时，y随x的增大而增大，当xm时，y随x的增大而增大，当x0和m<0两种情况分别进行讨论即可．
【详解】解：当m>0时，
二次函数y=mx2 +2mx+1的开口向上，2m
此时该函数对称轴为直线x=− =−1，
2m
即当x=−1时，函数有最小值y=m−2m+1=−m+1，
∵二次函数y=mx2 +2mx+1（m≠0）在−2≤x≤2时有最小值−4，
∴−m+1=−4，
解得，m=5；
当m<0时，
二次函数y=mx2 +2mx+1的开口向下，
2m
此时该函数对称轴为直线x=− =−1，
2m
即当−2≤x≤−1时，y随x的增大而增大，
当−1＜x≤2时，y随x的增大而减小，
∵二次函数的自变量x的取值范围为−2≤x≤2，
∴当x=2时，函数有最小值y=4m+4m+1=8m+1，
∵二次函数y=mx2 +2mx+1（m≠0）在−2≤x≤2时有最小值−4，
∴8m+1=−4，
5
解得，m=− ；
8
5
综上，m=5或m=− ，
8
故选：C．
6．（2023·陕西西安·一模）已知二次函数y=mx2−2mx+2（m≠0）在−2≤x<2时有
最小值−2，则m=（ ）
1 1 1 1
A．−4或− B．4或− C．−4或 D．4或
2 2 2 2
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值，解一元一次方程
等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
利用二次函数的性质求出对称轴，然后分m>0和m<0两种情况讨论即可求解．
【详解】解：∵二次函数解析式为y=mx2−2mx+2（m≠0），
∴二次函数对称轴为直线x=1，
当m>0时，
∵在−2≤x<2时有最小值−2，∴当x=1时，y=m−2m+2=−2，
m=4；
当m<0时，
∵在−2≤x<2时有最小值−2，
∴当x=−2时，y=4m+4m+2=−2，
1
解得：m=− ；
2
1
综上所述：m=4或− ，
2
故选：B．
7．（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）二次函数y=−x2−2x+c在−3≤x≤2的范围内
有最小值为−5，则c的值为（ ）
A．1 B．−1 C．3 D．−3
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数解析式可得图象开口向下，
对称轴为x=−1，可知离对称轴越远，值越小，当x=2时，取到最小值，代入计算即
可求解．
【详解】解：二次函数y=−x2−2x+c中，−2<0，
∴图象开口向下，对称轴为x=−1，
∴离对称轴越远，值越小，
∵−1−(−3)=2，2−(−1)=3，
∴当x=2时，取到最小值，
∴−22−2×2+c=−5，
解得，c=3，
故选：C ．
8．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数y=x2−2x(−1≤x≤t)，当x=−1时，
函数取得最大值；当x=1时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A．−10，
∴当x=2时，y有最小值1，
把y=5代入y=x2−4x+5得：5=x2−4x+5，
解得：x =4,x =0，
1 2
∵当0≤x≤m时，有最大值5，最小值1，
∴2≤m≤4，
故选：C．
【题型08：二次函数与一次函数图像的综合】
1．（2025九年级上·浙江·专题练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次
函数y=a(x+c) 2的图象大致为( )A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象，利用一次函数，二次函数系数及常数项与图象位
置之间关系是解题关键．
一次函数y=ax+c，可判断a、c的符号；根据二次函数y=a(x+c) 2的图象位置，可
得a，c．
【详解】解：A、函数y=ax+c中，a>0，c>0，y=a(x+c) 2中，a<0，c<0，故A
错误；
B、函数y=ax+c中，a<0，c>0，y=a(x+c) 2中，a<0，c>0，故B正确；
C、函数y=ax+c中，a>0，c<0，y=a(x+c) 2中，a>0，c>0，故C错误；
D、函数y=ax+c中，a<0，c>0，y=a(x+c) 2中，a>0，c<0，故D错误．
故选：B．
2．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+1与
y=ax2 +bx+1(a≠0)的图像可能是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数图像的综合，解题关键是结合二次函数
图像和一次函数图像的性质求解．假设其中一个图像正确，然后根据图像得到系数的
取值范围，再根据另一函数图像确定系数的取值范围，是否一致，即可获得答案．
【详解】解：A．根据图像可知两个函数图像与y轴的交点坐标为(0,1)，同时也可得
a>0，故选项正确，符合题意；
B．根据一次函数图像可知a<0，而根据二次函数的图像可得a>0，故选项错误，不
符合题意；
C．根据二次函数的图像可知a<0，根据一次函数的图像可得a>0，故选项错误，不
符合题意；
D．二次函数图像与y轴的交点不是(0,1)，故本选项错误，不符合题意．
故选：A．
3．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二
次函数y=−ax2 +bx+c的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好
的方法．本题可先由二次函数y=−ax2 +bx+c图象得到字母系数的正负，再与一次函数
y=ax+b的图象相比较看是否一致．
b
【详解】解∶A、由抛物线可知，a>0，x= >0，得b>0，由直线可知，a>0，
2a
b>0，故本选项符合题意；
B、由抛物线可知，a<0，由直线可知，a>0，故本选项不合题意；
b
C、由抛物线可知，a<0，x= >0，得b<0，由直线可知，a<0，b>0，故本选项
2a
不合题意；
D、由抛物线可知，a>0，由直线可知，a<0，故本选项不合题意．
故选∶A．
4．（24-25九年级上·江西南昌·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b的图
象和二次函数y=bx2 +ax的图象可能是 ( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，熟练掌握函数
图象与系数之间的关系是解题的关键．分别根据一次函数的图象得出a,b的取值范围，
再判断对应的二次函数图象，然后可得答案．
【详解】解：A．由一次函数图象可得a<0,b>0，则二次函数y=bx2 +ax图象应开口
b
向上，对称轴x=− >0，在y轴右侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选
2a
项符合题意；
B．由一次函数图象可得a>0,b<0，则二次函数y=bx2 +ax图象应开口向下，对称轴b
x=− >0，在y轴右侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选项不符合题意；
2a
C．由一次函数图象可得a>0,b>0，则二次函数y=bx2 +ax图象应开口向上，对称轴
b
x=− <0，在y轴左侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选项不符合题意；
2a
D．由一次函数图象可得a<0,b<0，则二次函数y=bx2 +ax图象应开口向下，对称轴
b
x=− <0，在y轴左侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选不项符合题意；
2a
故选：A．
【题型08：二次函数y=ax²+bx+c的图像与系数关系】
1．（24-25九年级上·山东青岛·期末）抛物线y=ax2 +bx+c的对称轴为直线x=−1，部分
图象如图所示．下列判断中：①abc>0；②b2−4ac>0；③9a−3b+c=0；④若点
(−0.5,y ),(−2,y₂)均在抛物线上，则y >y ；⑤5a−2b<0．其中正确的个数有
1 1 2
（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，先根据开口
方向判断出a>0，结合对称轴位置判断出b>0，再根据与y轴的交点位置，判断c<0，
进而得出结论①错误；根据抛物线与x轴的交点个数，判断出②正确；利用抛物线的
对称轴确定出抛物线与x轴的另一个交点坐标，判断出③正确，根据两点与对称轴的
距离判断出④错误；根据对称轴得出b=2a，进而得出5a−2b=5a−4a=a>0，即
可判断⑤错误；综上即可得答案．
【详解】解：抛物线开口向上，
∴a>0，b
∵抛物线的对称轴为直线x=− =−1，
2a
∴b=2a>0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c<0，
∴abc<0，
故①错误；
抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ=b2−4ac>0，
②正确；
抛物线的对称轴为直线x=−1，抛物线与x轴的一个交点坐标为(1,0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−3,0)，
∴9a−3b+c=0，
③正确；
点(−0.5,y )到直线x=−1的距离比点(−2,y )到直线x=−1的距离小，且抛物线开口
1 2
向上，
∴y 0，
故⑤错误．
综上所述，正确的有②③，一共2个．
故选：A．
2．（24-25九年级上·广东茂名·期末）二次函数y=ax2 +bx+c(a≠0)的图象如图所示．下
列结论：①abc<0；②b2−4ac>0；③2a+b=0；④3a+c>0；⑤4a−2b+c>0．
其中正确结论的个数有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象和性质．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，
由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进
行推理，进而对所得结论进行判断．
b
【详解】解：由图象可知a<0，c>0，− >0，
2a
∴b>0，
∴abc<0，故①正确；
根据抛物线与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，故②正确；
b
根据图象知对称轴为直线x=1，则− =1
2a
∴b=−2a
∴2a+b=0故③正确；
∵对称轴为直线x=1
∴当x=3和x=−1时，函数值相等
根据函数图象可得当x=3时，y<0，
∴当x=−1时，y=a−b+c<0
∴a+2a+c<0即3a+c<0，故④错误；
∴当x=−2时y=a(−2) 2 +(−2)⋅b+c=4a−2b+c<0，故⑤不正确．
故选：B．
3．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）丽从如图所示的二次函数y=ax2 +bx+c的图象中，
观察得出了下面五条信息：①c<0；②abc>0；③a−b+c>0；④2a−3b=0；⑤
4a+2b+c>0．你认为其中正确信息的个数有（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握：二次项系数决定抛物线
的开口方向和大小，当a>0时，抛物线向上开口，当a<0时，抛物线向下开口；一次
项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置，当a与b同号时，对称轴在x轴左侧，
当a与b异号时，对称轴在x轴右侧，常数项决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交
于(0,c)，掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键．
【详解】解：∵函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴可知，
∴c<0．
∴①正确．
∵函数图象开口向上，
∴a>0，
b
由函数的对称轴在x的正半轴上可知，x=− >0，b<0，
2a
又由①知，c<0,
∴abc>0，
∴②正确．
∵把x=−1代入函数解析式，由函数的图象可知，x=−1时，y>0即a−b+c>0，
∴③正确．
∵a>0，b<0，
∴2a>3b．
∴2a−3b>0．
∴④错误；
∵把x=2代入函数解析式，由函数的图象可知，x=2时，y>0
即4a+2b+c>0，
∴⑤正确．
其中正确的有①②③⑤．故选：A．
4．（24-25九年级上·广东茂名·期中）二次函数y=ax2 +bx+c的图象如图所示，则下列结
论中，正确的个数是（ ）
①a+b+c>0；②a−b+c<0；③abc>0；④b=2a
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用特殊值代入法求得特
殊的式子，如：y=a+b+c，y=a−b+c，然后根据图象判断其值． 根据x=1和
x=−1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断①和②，由抛物线
的开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点可以判断③、④、从而可得答案．
【详解】解：当x=1时，y>0，
∴a+b+c>0，故①正确；
当x=−1时，y=a−b+c，
由图象可知，当x=−1时，y=a−b+c<0，故②正确；
∵图象开口向下，
∴a<0，
b
∵
x=− >0，
2a
∴b>0，
∵图象与y轴的交点在y轴的上半轴，
∴c>0，
∴abc<0，故③错误；
b b
∵
x=− <1，x=− >0，a<0，
2a 2a
当b=2a，
b
则x=− =−1，产生矛盾，故④错误；
2a
∴正确的有2个．故选：C．
5．（24-25九年级上·北京·期中）二次函数y=ax2 +bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列
说法正确的是（ ）
①abc>0；②a−b+c=0；③2a+b=0；④若ax2 +bx+c−k=0有两个实数根，则
k≤4；⑤am2 +bm≤a+b．
A．②③④⑤ B．①②③④ C．③④⑤ D．①②④⑤
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由二次函数的图象可得a<0，c>0，
b
− =1，即得b=−2a>0，即可判断①；由对称性可得抛物线与x轴的另一个交点坐
2a
标为(−1,0)，即可判断②；由对称轴可判断③；由ax2 +bx+c−k=0有两个实数根，
可知抛物线y=ax2 +bx+c与直线y=k相交，结合图象可判断④；由顶点坐标可判断
⑤，综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴相交于正半轴上，
∴a<0，c>0，
∵对称轴为直线x=1，
b
∴
− =1，
2a
∴b=−2a>0，
∴abc<0，故①错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(3,0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−1,0)，
∴a−b+c=0，故②正确；b
∵对称轴x=− =1，
2a
∴2a+b=0，故③正确；
若ax2 +bx+c−k=0有两个实数根，则抛物线y=ax2 +bx+c与直线y=k相交，
∵抛物线的顶点坐标为(1,4)，
∴k≤4，故④正确；
∵抛物线的顶点坐标为(1,4)，开口向下，
∴当x=1时，y取最大值，
∴am2 +bm+c≤a+b+c，
即am2 +bm≤a+b，故⑤正确；
综上，说法正确的是②③④⑤，
故选：A．
6．（24-25八年级下·江西宜春·阶段练习）二次函数y=ax2 +bx+c(a≠0)的部分图象如图
所示，图象经过点(−1,0)，对称轴为直线x=2，给出下列结论：①abc<0；②
4a+c>2b；③4a+2b≥m(am+b)（m为常数）；④3b−2c>0．其中正确的是（
）
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，
采用数形结合的思想解题，是解题的关键．根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴
的交点，即可判断a、b、c的大小，从而即可判断①，根据对称轴和经过(−1,0)，得
到b=−4a，c=−5a，代入进行求解即可判断②④，根据当x=2时二次函数取得最大
值，即可判断③．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，
∴a<0，
b
∵抛物线的对称轴为直线x=− =2，
2a∴b>0，
∵抛物线交y轴正半轴，
∴c>0，
∴abc<0，故①正确，
b
∵抛物线的对称轴为直线x=− =2，
2a
∴b=−4a，
∵图象过点(−1,0)，
∴a−b+c=0，
∴c=−5a，
∴4a+c−2b=4a−5a−2×(−4a)=7a<0，
∴4a+c<2b，故②错误，
当x=2时，函数由最大值4a+2b+c，
∴4a+2b+c≥am2 +bm+c，
∴ 4a+2b≥m(am+b)（m为常数），故③正确，
∵3b−2c=3×(−4a)−2×(−5a)=−12a+10a=−2a>0，
∴3b−2c>0，故④正确，
故选：C．
【题型09：二次函数的平移变换】
1．（24-25九年级上·全国·阶段练习）将抛物线y=−2x2向右平移3个单位长度，再向上
平移5个单位长度，所得的抛物线为（ ）
A．y=−2(x−5) 2 +3 B．y=−2(x−3) 2 +5
C．y=−2(x−3) 2−5 D．y=−2(x+5) 2−3
【答案】B
【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移原则，计算即可．
本题考查了二次函数的平移计算，熟练掌握平移规律是解题的关键．
【详解】解：抛物线y=−2x2向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所
得的抛物线为y=−2(x−3) 2 +5．故选：B．
2．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）抛物线y=−7(x+3) 2 +1可以由抛物线y=−7x2平移
得到，则下列平移过程正确的是（ ）
A．先向左平移3个单位，再向上平移1个单位
B．先向右平移3个单位，再向上平移1个单位
C．先向左平移1个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移3个单位
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的平移，
根据平移的规律“左加右减，上加下减”，解答即可.
【详解】解：将抛物线y=−7x2向左平移3个单位，再向上平移1个单位得抛物线
y=−7(x+3) 2 +1.
故选：A.
3．（24-25九年级上·吉林长春·期末）若将抛物线y=x2向左平移4个单位，再向上平移2
个单位，则所得抛物线的解析式为（ ）
A．y=(x+4) 2 +2 B．y=(x−4) 2 +2
C．y=(x+2) 2−4 D．y=(x−2) 2−4
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，掌握“上加下减，左加右减”的
平移规律是解题的关键．
根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．
【详解】解：若将抛物线y=x2向左平移4个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物
线的解析式为y=(x+4) 2 +2．
故选：A．
4．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）将函数y=x2−4x−1的图象向左平移5个单位
后得到的新抛物线的顶点坐标为（ ）
A．(−1,−4) B．(3,−5) C．(−3,−4) D．(−3,−5)【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的图象与性质．熟练掌握二
次函数的平移，二次函数的图象与性质是解题的关键．先把原二次函数解析式转化为
顶点式，然后根据平移规律求出新二次函数解析式，即可求解．
【详解】解：由题意知，y=x2−4x−1=(x−2) 2−5，
∴平移后的抛物线的解析式为y=(x−2+5) 2−5=(x+3) 2−5，
∴平移后抛物线的顶点坐标为(−3,−5)，
故选：D．
5.（24-25九年级上·河北保定·期中）将抛物线y=2x2−4x+3向左平移1个单位长度得到
新的抛物线，则新抛物线的表达式是（ ）
A．y=2x2 +1 B．y=2x2−1
C．y=2x2−2x D．y=2(x+1) 2 +4
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象的平移．将抛物线解析式化为顶点式，再根据二次
函数的平移规则“左加右减”即可得到答案．
【详解】解：∵y=2x2−4x+3=2(x−1) 2 +1，
∴抛物线y=2x2−4x+3向左平移1个单位长度得到新的抛物线为y=2x2 +1．
故选：A
6．（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）将抛物线y=x2 +2x−3先向左平移1个单位，再向
上平移2个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A．y=(x+2) 2−6 B．y=(x+2) 2−2
C．y=(x−2) 2−6 D．y=(x−2) 2−2
【答案】B
【分析】此题考查了二次函数的平移，根据上加下减，左加右减进行解答即可．
【详解】解：y=x2 +2x−3=(x+1) 2−4，
∴抛物线y=x2 +2x−3先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式是y=(x+2) 2−2，
故选：B
【题型10：已知抛物线上对称的两点求对称轴】
1．（24-25九年级上·贵州黔南·阶段练习）如图，二次函数y=ax2 +bx+c图象的对称轴是
直线x=1，与x轴一个交点A(3,0)，则与x轴的另一个交点坐标是（ ）
( 1) ( 1 )
A． 0,− B． − ,0 C．(0,−1) D．(−1,0)
2 2
【答案】D
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，利用抛物线的对称性求得点A的对称点的坐
标是解题的关键．找出点A关于x=1的对称点的坐标即可．
【详解】解：∵次函数y=ax2 +bx+c图象的对称轴是直线x=1，与x轴一个交点
A(3,0)，
∴另一个交点为：(2×1−3,0)，即(−1,0)，
故选：D．
2．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）已知抛物线与x轴的交点分别为A(−3,0)，
B(1,0)，则该抛物线的对称轴是（ ）
A．x=−2 B．x=−1 C．x=1 D．x=2
【答案】B
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，利用抛物线的对称性求解是解题的关
键．
根据抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称求解即可．
【详解】解：∵抛物线与x轴的交点坐标分别为A(−3,0)和B(1,0)，
∴A(−3,0)和B(1,0)关于抛物线的对称轴对称，−3+1
∴抛物线的对称轴为直线x= =−1．
2
故选：B．
3．（23-24九年级上·吉林·期中）抛物线y=ax❑ 2 +bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，已
知此抛物线与x轴的一个交点坐标为(4,0)，抛物线的对称轴是直线x=1，则抛物线与x
轴的另一个交点坐标是（ ）
A．(−4,0) B．(−3,0) C．(−5,0) D．(−2,0)
【答案】D
【分析】本题主要考查了抛物线的对称性，解题的关键在于能够熟练掌握抛物与x轴
的两个交点关于抛物线对称轴对称．利用抛物线的对称性求解即可得到答案．
【详解】解∶∵物线y=ax❑ 2 +bx+c(a≠0)与x轴的一个交点坐标为(4,0)，抛物线的
对称轴是直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标是(−2,0)，
故选∶D．
4．（22-23九年级上·山西吕梁·期中）若抛物线y=ax2 +bx+c与x轴的两个交点为(−2,0)，
(4,0)，则该抛物线的对称轴为（ ）
A．直线x=−3 B．直线x=3 C．直线x=1 D．直线x=−1
【答案】C
【分析】直接根据两个交点坐标可得对称轴．
【详解】解：∵抛物线y=ax2 +bx+c与x轴的两个交点为(−2,0)，(4,0)，
−2+4
∴该抛物线的对称轴为x= =1，
2
故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题．对于求抛物线的对称轴的题目，可以x +x
用公式法，也可以将函数解析式化为顶点式求得，或直接利用公式 1 2求解．
2
【题型11：二次函数的交点个数问题】
1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线y=−2x2 +8x−6与x轴交于点
A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C ，将C 向右平移得C ，C 与x轴交于
1 1 2 2
点B，D．若直线y=2x+m与C 、C 共有3个不同的交点，则m的取值范围是
1 2
（ ）
15 7
A．−33
【分析】本题考查图象法求不等式的解集，对称性，求出抛物线与x轴的另一个交点的
坐标，图象法求出不等式的解集即可．
【详解】解：∵二次函数y=ax2 +bx+c的图象的对称轴是直线x=−1，与x轴的一个
交点为(−5,0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(3,0)，
由图象可知：不等式ax2 +bx+c<0的解集为x<−5或x>3；故答案为：x<−5或x>3．
2．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）抛物线y=ax2 +bx+c的部分图象如图所示，且抛物
线经过点A(−1,0)，对称轴是直线x=1，则当y>0时，x的取值范围是 ．
【答案】−10时x的取值范围．
【详解】解：∵对称轴是直线x=1，且抛物线与x轴交于点A(−1,0)，
∴利用轴对称的性质可得，抛物线与x轴的另一个交点为(1+1−(−1),0)，即(3,0)，
根据图象可知，当y>0时，−1mx的x的取值范围为 ．
【答案】−3mx+c的x的取值范围，即可得到答案．
【详解】解：∵ax2 +bx>mx，
∴ax2 +bx+c>mx+c，
由函数图象可知，当−30时，x的取值范围是 ．
【答案】−10的部分求解即可得到答案．
【详解】解：∵A(−1,0)，对称轴为直线x=1，
∴与x轴另一个交点为(3,0)，
∴当y>0时，−1
