专题 02 二次函数重难点题型汇编
【题型01 ：二次函数的概念】
【题型02 ：根据二次函数的定义求参数】
【题型03：列出二次函数关系式】
【题型04：特殊二次函数的图像和性质】
【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】
【题型06：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质】
【题型07：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题】
【题型08：根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息】
【题型09：二次函数的平移变换】
【题型10：已知抛物线上对称的两点求对称轴】
【题型11：二次函数的交点个数问题】
【题型11：抛物线与x轴的交点问题】
【题型12：抛物线与x轴的交点问题】
【题型13：根据二次函数图象确定相应方程根的情况】
【题型14：根据交点确定不等式的解集】
【题型01 ：二次函数的概念】
1．（24-25九年级上·广东韶关·阶段练习）下列关于x的函数一定为二次函数的是（ ）
2 1
A．y=2x+1 B．y= C．y= D．y=2x2−7
x x2
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的判断，根据形如y=ax2 +bx+c(a≠0)，这样的函数叫做
二次函数，进行判断即可．
【详解】解：A、是一次函数，不符合题意；B、是反比例函数，不符合题意；
C、y是x2的反比例函数，不符合题意；
D、是二次函数，符合题意；
故选D．
2．（24-25九年级上·山东潍坊·阶段练习）下列函数表达式中，一定属于二次函数的是（
）
1
A． y=5x−1 B．y=ax2 +bx+c C． y=2x(x+1) D．y=3x2 +
x
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的定义，判断各选项是否为二次函数，需满足形如
y=ax2 +bx+c(a≠0)且为整式函数的条件．
【详解】解：选项A：y=5x−1此为一次函数（最高次数为1），不符合二次函数定义，
排除；
选项B：y=ax2 +bx+c二次函数需满足a≠0，但题目未限定a的取值（如a=0时为一
次函数），因此不一定是二次函数，排除；
选项C：y=2x(x+1)，展开得：y=2x2 +2x，
符合y=ax2 +bx+c(a≠0)，且为整式函数，因此一定是二次函数；
1 1
选项D：y=3x2 + ，含分式项 （即x−1），非整式函数，不符合二次函数定义，排
x x
除．
故选：C．
3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）函数y=4x2−3x+1的二次项系数是（ ）
A．4 B．−3 C．3 D．1
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，二次函数的标准形式为y=ax2 +bx+c（其
中a、b、c是常数，且a≠0），其中a为二次项的系数，据此可得答案．
【详解】解：函数y=4x2−3x+1的二次项系数是4，
故选：A．
【题型02 ：根据二次函数的定义求参数】1．（24-25九年级上·广东惠州·期中）若函数y=(m−1)x|m))+1 +5是关于x的二次函数，则
m=（ ）
A．−1 B．1 C．1或−1 D．2
【答案】A
【分析】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的定义是解题关键．二次
函数的定义：一般地，形如y=ax2 +bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二
次函数．
根据“形如y=ax2 +bx+c（a≠0）的函数关系，称为y关于x的二次函数”，即可
求解．
【详解】解： ∵y=(m−1)x|m))+1 +5是关于x的二次函数，
|∴| m| +1=2且m−1≠0，
解得：m=−1．
故选：A．
2．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）已知y=(a+1)xa2+1 +3x−6是二次函数，则a=
（ ）
A．0 B．1 C．−1 D．1或−1
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义可得a2 +1=2且a+1≠0，
从而可得答案．
【详解】解：∵y=(a+1)xa2+1
+3x−6是二次函数，
∴a2 +1=2，
解得a =−1或a =1，
1 2
∵a+1≠0，
∴a≠−1，
∴a=1．
故选：B．
3．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）若函数y=mx|m−2)−(m+1)x+2是二次函数，则m的
值是 ．【答案】4
【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键；因
此此题可根据“形如y=ax2 +bx+c(a≠0)的函数称为二次函数”进行求解即可．
【详解】解：由题意得：
{ m≠0 )
，
|m−2)=2
解得：m=4；
故答案为4．
4．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）若函数y=(m−1)xm2+m−3x+5是二次函数．
(1)求m的值；
(2)当x=1时，求y的值．
【答案】(1)m=−2
(2)−1
【分析】本题主要考查二次函数的定义，函数值的计算，理解二次函数定义，函数值
的计算方法是解题的关键．
（1）根据二次函数的定义可得m−1≠0,m2 +m=2，即可求解；
（2）由（1）可得二次函数解析式，把x=1代入计算即可．
【详解】（1）解：函数y=(m−1)xm2+m−3x+5是二次函数，
∴m−1≠0,m2 +m=2，
解得，m≠1,m =1,m =−2，
1 2
∴m=−2；
（2）解：当m=−2时，二次函数解析式为y=−3x2−3x+5，
∴当x=1时，y=−3×12−3×1+5=−1．
【题型03：列出二次函数关系式】
1．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季
度平均每月的增长率为x，如果第三季度共生产零件y万个，那么y与x满足的函数关系
式是（ ）A．y=50(1+x) 2 B．y=50+50(1+x)
C．y=50(1+x)+50(1+x) 2 D．y=50+50(1+x)+50(1+x) 2
【答案】D
【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式．设该厂第三季度平均每月的增长
率为x，则八月份生产零件50(1+x)万个，九月份生产零件50(1+x) 2万个，根据第三季
度共生产零件y万个，即可列出y与x之间的函数关系式．
【详解】解：设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件50(1+x)万个，
九月份生产零件50(1+x) 2万个，根据题意得：
y与x满足的函数关系式是
y=50+50(1+x)+50(1+x) 2．
故选：D
2．（24-25九年级上·广东江门·期中）两个正方形的周长之和是24cm，其中一个正方形的
边长为xcm．若以两个正方形面积之和y(cm 2)为函数，其中一个正方形的边长x(cm)为
自变量，它们的关系式是（ ）
A．y=x2 +(24−x) 2 B．y=x2 +(24−4x) 2
C．y=x2 +(6−x) 2 D．y=x2 +(6−4x) 2
【答案】C
【分析】本题考查了求二次函数关系式，求出另一个正方形的边长为(6−x)cm，再由
正方形面积公式计算即可得解，求出另一个正方形的边长为(6−x)cm是解此题的关键．
【详解】解：∵其中一个正方形的边长为xcm，
∴其中一个正方形的周长为4xcm，
∴另一个正方形的周长为(24−4x)cm，
∴另一个正方形的边长为(24−4x)÷4=(6−x)cm，
∵第一个正方形的面积为x2，第二个正方形的面积为(6−x) 2，∴面积之和为y=x2 +(6−x) 2，
故选：C．
3．（23-24九年级上·河南周口·期中）正方形的边长为3，若边长增加x，则面积增加y，y
与x的关系式为（ ）
A．y=x2 +6x B．y=x2 +6x+9
C．y=x2−6x D．y=x2−6x−9
【答案】A
【分析】首先表示出原边长为3的正方形面积，再表示出边长增加x后正方形的面积，
再根据面积随之增加y列出方程即可．
【详解】解：原边长为3的正方形面积为：3×3=9，
边长增加x后边长变为：x+3，
则面积为：(x+3) 2，
∴y=(x+3) 2−9=x2 +6x．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是正确表示出正
方形的面积．
4．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩
包的成本价为每个30元．经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（个）与销售
单价x（元/个）有如下关系：y=−x+60（30≤x≤60，且x为整数）．设这种双肩
包每天的销售利润为w元．则w与x之间的函数关系式为w= ．
【答案】−x2 +90x−1800
【分析】此题考查求二次函数解析式，根据销售总利润等于单件利润乘销售量计算解
答．
【详解】解：w=(x−30)y=(x−30)(−x+60)=−x2 +90x−1800，
故答案为：−x2 +90x−1800．
5．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，∠A=90°，AB=AC，BC=20，四边形
EFGH是△ABC的内接矩形，如果EF的长为x，矩形EFGH的面积为y，则y与x的
函数关系式为 ．1
【答案】y=− x2 +10x
2
【分析】根据题意可得△BEH，△CFG是等腰直角三角形，得出
BH=EH=CG=GF，进而根据矩形的面积即可求解．
【详解】∵∠A=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．
∵四边形 EFGH 是 △ABC 的内接矩形，
∴∠EHB=∠FGC=90°，EH=FG，EF=HG，
∴∠BEH=∠CFG=45°，
∴BH=EH=CG=GF．
∵BC=20，EF=x，
∴BC−HG=BC−EF=20−x，
1 1
∴BH=EH=CG=GF= (BC−HG)=10− x，
2 2
∴y=x ( 10− 1 x ) =− 1 x2 +10x．
2 2
1
故答案为：y=− x2 +10x．
2
【点睛】本题考查了列二次函数关系式，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
【题型04：特殊二次函数的图像和性质】
1．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）抛物线y=x2的对称轴是（ ）
A．直线x=−1 B．直线x=1 C．x轴 D．y轴
【答案】D
b
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数对称轴为：直线x=− 是解
2a
题的关键．直接根据二次函数对称轴的计算方法求解即可．
【详解】解：∵y=x2，b 0
∴抛物线的对称轴为：x=− =− =0，即y轴；
2a 2×1
故选：D．
2．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知点(−2,y ),(−3,y )均在抛物线y=−x2上，
1 2
则y 、y 的大小关系为（ ）
1 2
A．y <y B．y >y C．y ≤ y D．y ≥ y
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数值的比较，属于基础题型．根据二次函数y=ax2(a≠0)
的性质解答，即可．
【详解】解：∵−1<0，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线y=−x2的对称轴为y轴，
∴当x<0时，y随x的增大而增大，
∵点(−2,y ),(−3,y )均在抛物线y=−x2上，且−2>−3，
1 2
∴ y >y ．
1 2
故选：B
3．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）抛物线y=2x2−1的顶点坐标是（ ）
A．(−1,0) B．(0,−1) C．(2,0) D．(0,2)
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握形如y=ax2 +k的顶点坐标为(0,k)是
解题的关键．
【详解】解：抛物线y=2x2−1的顶点坐标是(0,−1)，
故选：B．
4．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如果抛物线y=(a+2)x2−3在对称轴的左侧y
的值随x的增大而增大，那么a的取值范围是（ ）
A．a>−2 B．a>2 C．a<−2 D．a<2
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的增减性与开口方向
的关系是解题的关键；根据在对称轴的左侧y的值随x的增大而增大即可确定开口向下，可得a+2<0，即可得解．
【详解】解：∵抛物线y=(a+2)x2−3在对称轴的左侧y的值随x的增大而增大，
∴a+2<0，
∴a<−2，
故选：C．
5．（23-24九年级上·广西梧州·期末）关于函数y=−(x−1) 2 +2的图象与性质说法正确的
是（ ）
A．顶点坐标在第二象限 B．图象关于y轴对称
C．当x<1时，y随x的增大而增大 D．函数值的最小值为2
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
利用抛物线的顶点式的性质直接判断每个选项即可．
【详解】解：∵y=−(x−1) 2 +2，
∴抛物线的顶点坐标为(1,2)，在第一象限，对称轴直线为x=1，故选项A、B错误；
∵a=−1<0，
∴抛物线的开口向下，有最大值为2，且当x<1时，y随x增大而增大，故选项C正确，
选项D错误．
故选：C．
6．（24-25九年级上·北京海淀·期中）抛物线y=3(x−1) 2 +4的开口方向和顶点坐标是
（ ）
A．开口向上，(−1,4) B．开口向下，(−1,−4)
C．开口向上，(1,4) D．开口向下，(1,−4)
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据顶点式的顶点坐标公式，以及a的符
号，进行判断即可．
【详解】解：∵y=3(x−1) 2 +4，3>0，
∴抛物线的开口方向向上，顶点坐标为(1,4)；
故选C．7．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）二次函数y=(x−2) 2 +3的图象的顶点坐标是
（ ）
A．(2,−3) B．(−2,3) C．(−2,−3) D．(2,3)
【答案】D
【分析】本题考查求抛物线的顶点坐标，根据y=(x−ℎ) 2 +k的顶点坐标为(ℎ,k)，进
行求解即可．
【详解】解：二次函数y=(x−2) 2 +3的图象的顶点坐标是(2,3)．
故选：D．
8．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）若A(−3,y )，B(−2,y )，C(2,y )为二次函
1 2 3
数y=−(x+2) 2 +k的图象上的三点，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y <y <y B．y <y <y
1 2 3 1 3 2
C．y <y <y D．y <y <y
3 1 2 2 1 3
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，分别把B(−2,y )，A(−3,y )，C(2,y )
2 1 3
代入y=−(x+2) 2 +k计算，再比较y ，y ，y 的大小，即可作答．
1 2 3
【详解】解：∵ A(−3,y )，B(−2,y )，C(2,y )为二次函数y=−(x+2) 2 +k的图象
1 2 3
上的三点，
∴点B(−2,y )在顶点处，y =−(−2+2) 2 +k=k；
2 2
把A(−3,y )代入y=−(x+2) 2 +k，得y =−(−3+2) 2 +k=−1+k=k−1；
1 1
把点C(2,y )代入y=−(x+2) 2 +k，得y =−(2+2) 2 +k=−16+k=k−16，
3 3
∵k>k−1>k−16
∴ y <y <y ，
3 1 2
故选C9．（24-25九年级上·北京·期中）已知函数y=4x2−2，当函数值y随x的增大而减小时，x
的取值范围为（ ）
A．x<2 B．x>0 C．x>−2 D．x<0
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的增减性，是解题的关键．根
据二次函数的性质，进行求解即可．
【详解】解：∵y=4x2−2，a=4>0，对称轴为y轴，
∴在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；
∴当函数y=4x2−2的函数值y随着x的增大而减小时，x的取值范围是：x<0；
故选：D．
10．（24-25九年级上·江西赣州·阶段练习）下列关于二次函数y=3x2−1的图象说法中，
错误的是（ ）
A．它的对称轴是直线x=0
B．它的图象有最低点
C．它的顶点坐标是(0,−1)
D．在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据解析式可知，函数开口向上，对称轴
为直线x=0，顶点坐标为(0,−1)，则函数有最小值，在对称轴左侧y随着x的增大而
减小，据此可得答案．
【详解】解：A、它的对称轴是直线x=0，原说法正确，不符合题意；
B、由二次项系数大于0可知，函数开口向上，则它的图象有最低点，原说法正确，不
符合题意；
C、它的顶点坐标是(0,−1)，原说法正确，不符合题意；
D、函数开口向上，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小，原说法错误，符合题意；
故选：D．
11．（23-24九年级上·河北唐山·阶段练习）函数y=a(x+a)与y=ax2(a≠0)在同一坐标上
的图象大致是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象与性质，先由一次函数y=a(x+a)图
象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2的图象相比较看是否一致即可，掌握知
识点的应用是解题的关键．
【详解】解：A、由一次函数y=a(x+a)=ax+a2的图象，可知a>0，a2 >0，由二次
函数y=ax2的图象可知a>0，两者相吻合；故此选项符合题意；
B、由一次函数y=a(x+a)=ax+a2的图象可知a>0，a2 >0，由二次函数y=ax2的图
象可知a<0，两者不吻合；故此选项不符合题意；
C、由一次函数y=a(x+a)=ax+a2的图象可知a<0，a2 >0，由二次函数y=ax2的图
象可知a>0，两者不吻合；故此选项不符合题意；
D、由一次函数y=a(x+a)=ax+a2的图象可知a<0，a2 <0，此时a无实数根，故此选
项不符合题意；
故选：A．
12．（24-25九年级上·广东阳江·阶段练习）二次函数y=(x−1) 2 +7，当−2<x<2时，y的
取值范围为 ．
【答案】7≤ y<16
【分析】本题考查了二次函数的性质，先求出对称轴，然后确定−2和2哪个离对称轴
较远，从而代入确定y的范围．
【详解】解：∵二次函数y=(x−1) 2 +7，
∴对称轴是直线x=1，抛物线开口向上，
∴当x=1时有最小值是7，
∵1−(−2)=3,2−1=1，当x=−2时有最大值是y=(−2−1) 2 +7=16，
∴当−2<x<2时，y的取值范围是7≤ y<16，
故答案为：7≤ y<16．
13．（24-25九年级上·河南三门峡·阶段练习）当−3≤x≤1时，二次函数y=−2x2 +1中y
的取值范围是 ．
【答案】−17≤ y≤1
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握和运用二次函数的图象和性质
是解决本题的关键．
【详解】解：∵a<0，
∴该二次函数图象的开口向下，当x=0时，函数有最大值为y=1，
当x=−3时，y=−17，
当x=1时，y=−1，
故当−3≤x≤1时，y的取值范围是−17≤ y≤1，
故答案为：−17≤ y≤1．
【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知[x]表示不超过实数x的最大整数，函数y=[x]的部分
1
图象如图所示，若方程[x]=ax2 + 在0≤x<3有2个解，则a的取值范围是（ ）
2
1 3 1 3 5 3 5 3
A． <a≤ B． <a< C． <a≤ D． <a<
6 8 9 8 18 8 18 8
【答案】A
【分析】本题考查了函数图象，弄清函数图象与方程的关系是解题的关键．分别作出1
当y=ax2 + 经过(1,1)、(2,2)、(2,1)、(3,2)时的图象，再由图象判断出函数
2
1 1
y=ax2 + 与函数y=[x]的图象在0≤x<3有两个交点时[x]=ax2 + 在0≤x<3有两
2 2
个解，即可解答此题．
1
【详解】解：当函数y=ax2 + 与函数y=[x]的图象在0≤x<3有两个交点时
2
1
[x]=ax2 + 在0≤x<3有两个解，
2
1 1
令y=ax2 + 经过(1,1)，得a= ，
2 2
1 1
∴y= x2 + ，
2 2
1 3
令y=ax2 + 经过(2,2)，得a= ，
2 8
3 1
∴y= x2 + ，
8 2
1 1
令y=ax2 + 经过(2,1)，得a= ，
2 8
1 1
∴y= x2 + ，
8 2
1 1
令y=ax2 + 经过(3,2)，得a= ，
2 6
1 1
∴y= x2 + ，
6 2
如图，
3 1 1 1
可以看出经过(2,2)的y= x2 + 和经过(3,2)的y= x2 + ，与函数y=[x]的图象在
8 2 6 20≤x<3有两个交点，
1 3
∴ <a≤ ，
6 8
故选：A．
2．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线y=4，与
二次函数y=x2和y=ax2分别交于A、B和C、D四个点，此时，CD=2AB，把直线
y=4向上平移b(b>0)个单位，则CD与AB之间的关系是（ ）
A．CD=2AB B．随着直线y=4向上平移，CD>2AB
C．随着直线y=4向上平移，CD<2AB D．无法判断
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，表示出A、B、
C、D的横坐标是解题的关键．
将y=4分别代入y=x2和y=ax2，即可得出求出AB，CD长度，根据CD=2AB得出
4❑√a 1
=2×4，从而得出a的值，然后得到y=ax2表达式为y= x2 ，然后求出CD与
a 4
AB的值进而求解即可．
【详解】解：把y=4代入y=x2中得，x2 =4，
∴x=±2
∴A的横坐标为−2，B横坐标为2
∴AB=2−(−2)=4
把y=4代入y=ax2得，ax2 =4，
√4 2❑√a
∴x=±❑ =±
a a
2❑√a 2❑√a
∴C的横坐标为− ，D横坐标为
a a4❑√a
∴CD=
a
∵CD=2AB，
4❑√a
∴ =2×4
a
1
∴ a= （负值舍去）
4
1
∴y=ax2表达式为y= x2 ，
4
∵把直线y=4向上平移b(b>0)个单位，得到直线y=4+b
∴把y=4+b代入y=x2中得，x2 =4+b，
∴x=±❑√4+b
∴AB=❑√4+b−(−❑√4+b)=2❑√4+b
1 1
把y=4+b代入y= x2 得， x2 =4+b，
4 4
∴x=±2❑√4+b
∴CD=2❑√4+b−(−2❑√4+b)=4❑√4+b
∴CD=2AB．
故选：A．
3．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）如图，在平面直角坐标系中、抛物线y=x2上已
知A的坐标为(1,1)．过点A作A A ∥x轴交抛物线于点A ，过点A 作A A ∥OA交
1 1 1 1 2
抛物线于点A ，过点A 作A A ∥x轴交抛物线于点A ．过点A 作A A ∥OA交抛
2 2 2 3 3 3 3 4
物线于点A ，……依此规律进行下去，例点A 的坐标为 ．
4 2001
【答案】(−1001，10012)【分析】待定系数法求直线OA的解析式为y=x；如图，记
A A ，A A ，A A ，A A 与y轴的交点分别为B，C，D，E，由y=x2，可
1 1 2 2 3 3 4
得物线关于y轴对称，则A (−1，1)，AB=A B=1，A D=A D，A A ⊥y轴，
1 1 2 3 1
A A ⊥y轴，证明△AOB≌△A CB(AAS)，则CB=OB=1，即C(0，2)，直线
2 3 1
{y=x+2)
A A 的解析式为y=x+2，联立 ，可求A (2，4)，A (−2，4)，同理，
1 2 y=x2 2 3
直线A A 的解析式为y=x+6，A (3，9)，A (−3，9)，可推导一般性规律为，当
3 4 4 5
( n+1 (n+1) 2 )
n为奇数时，A = − ， ，然后计算求解即可．
n 2 2
【详解】解：设直线OA的解析式为y=kx，
将A(1，1)代入得，k=1，
∴直线OA的解析式为y=x；
如图，记A A ，A A ，A A ，A A 与y轴的交点分别为B，C，D，E，
1 1 2 2 3 3 4
∵y=x2，
∴抛物线关于y轴对称，
∴A (−1，1)，AB=A B=1，A D=A D，A A ⊥y轴，A A ⊥y轴，
1 1 2 3 1 2 3
∵
A A ∥OA，
1 2
∴∠AOB=∠A CB，
1
又∵∠ABO=∠A BC，AB=A B，
1 1
∴△AOB≌△A CB(AAS)，
1∴CB=OB=1，即C(0，2)，
∴直线A A 的解析式为y=x+2，
1 2
{y=x+2)
联立 ，
y=x2
{x=−1) {x=2)
解得， 或 ，
y=1 y=4
∴A (2，4)，A (−2，4)，D(0，4)，
2 3
同理，直线A A 的解析式为y=x+6，
3 4
{y=x+6)
联立 ，
y=x2
{x=−2) {x=3)
解得， 或 ，
y=4 y=9
∴A (3，9)，A (−3，9)，
4 5
( n+1 (n+1) 2 )
∴可推导一般性规律为，当n为奇数时，A = − ， ，
n 2 2
∴当n=2001时，A =(−1001，10012)，
2001
故答案为：(−1001，10012)．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，
点坐标的规律探究等知识．熟练掌握二次函数的性质，一次函数解析式，全等三角形
的判定与性质，点坐标的规律探究是解题的关键．
4．（24-25九年级上·吉林四平·期中）如图，将二次函数y=x2−4位于x轴的下方的图象
沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（实线部分）．当新函数中函数y随x的增大而增
大时，自变量x的最值范围是 ．【答案】−2≤x≤0或x≥2
【分析】本题考查了二次函数与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征；先求得
y=|x2−4)与x轴的交点坐标，根据图象求得答案即可．
【详解】解：由题意，将二次函数y=x2−4位于x轴的下方的图象沿x轴翻折，得到一
个新函数，
∴新函数的解析式为y=|x2−4)．
∴当y=0时，|x2−4)=0，
解得x=2或−2，
如图，
当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的范围是−2≤x≤0或x≥2．
故答案为：−2≤x≤0或x≥2．
5．（24-25九年级上·贵州黔南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的
顶点A、B、C的坐标分别为(2,2)，(2,5)，(5,5)．若抛物线y=ax2的图象与正方形
ABCD有公共点，则a的取值范围为 ．2 5
【答案】 ≤a≤
25 4
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知
识，求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题，解题的关键是熟练掌握基
本知识．
【详解】解：∵正方形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为(2,2)，(2,5)，(5,5)，
∴D(5,2)，
5
当抛物线经过点B(2,5)时，则a= ，
4
2
当抛物线经过D(5,2)时，a= ，
25
2 5
观察图象可知 ≤a≤ ，
25 4
2 5
故答案为： ≤a≤ ．
25 4
【题型06：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质】
1．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）关于抛物线y=x2−2x+1，下列说法错误的是
（ ）
A．开口向上 B．与x轴有一个交点
C．对称轴是直线x=1 D．当x>1时，y随x的增大而减小
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握相关知识是解题的关键．
由a=1>0得到抛物线开口向上，配方成y=x2−2x+1=(x−1) 2，得到对称轴x=1，
顶点坐标为(1,0)，进而逐项判断即可．
【详解】解：∵a=1>0，∴抛物线开口向上，故A正确；
∵y=x2−2x+1=(x−1) 2，
∴对称轴x=1，顶点坐标为(1,0)，故C正确；
∴抛物线的顶点在x轴上，
∴抛物线与x轴有一个交点，故B正确；
∴当x>1时，y随x的增大而增大，故D错误．
故选：D．
2．（24-25九年级上·全国·期末）二次函数y=x2 +4x−3图象的对称轴方程为（ ）
A．2 B．−2 C． x=2 D． x=−2
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象和性质．掌握二次函数的对称轴公式是解题关键．
b
根据二次函数y=ax2 +bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=− 求解即可．
2a
4
【详解】解：对称轴为直线x=− =−2，
2×1
故答案为：D．
3．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）抛物线y=ax2 +bx+c(a<0)如图所示，则关于
x的不等式ax2 +bx+c>0的解集是（ ）
A．−1<x<3 B．−3<x<1 C．−3<x<−1 D．1<x<3
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据函数图象，写出x轴上方部分的x的取
值范围即可．
【详解】解：∵抛物线y=ax2 +bx+c与x轴的交点坐标为(−3,0)，(1,0)，
∴关于x的不等式ax2 +bx+c>0的解集是−3<x<1．
故选：B．4．（24-25九年级上·天津蓟州·阶段练习）抛物线y=x2−4x−1的顶点坐标为（ ）
A．(2,3) B．(−2,3) C．(2,−5) D．(−2,−5)
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质；将解析式化为顶点式即可求解．
【详解】解：y=x2−4x−1=x2−4x+4−5=(x−2) 2−5，
∴抛物线的顶点坐标为(2,−5)，
故选：C．
5．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）已知点A(4,y )，B(3,y )，C(−3,y )均在抛
1 2 3
物线y=−x2 +2x−1上，则
A．y >y >y B．y >y >y C．y >y >y D．y >y >y
1 2 3 2 1 3 3 1 2 3 2 1
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质．结合题意，得抛物线的开口向下，且抛物线的
对称轴为x=1，根据二次函数的性质分析，即可得到答案．
【详解】解：∵a=−1<0，
2
∴抛物线的开口向下，抛物线的对称轴为x=− =1，
−2
∴当x>1时，y随着x的增大而减少，且当x=−3和x=5时，函数值均为y ，
3
∵1<3<4<5，
∴ y >y >y ，
2 1 3
故选：B．
6．（24-25九年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）已知二次函数y=x²−2mx，当x<1时，
y随x的增大而减小，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．m>1 C．m<1 D．m≤1
【答案】A
【分析】本题考查的是二次函数的性质，先根据二次函数的解析式判断出函数的开口
方向，再由当x<1时，函数值y随x的增大而减小可知二次函数的对称轴x=m≥1解答
即可．
−2m
【详解】解：二次函数的对称轴为直线x=− =m，开口向上，
2
∵x<1时，y随x的增大而减小，
∴m≥1，故选：A．
7．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）二次函数y=ax2 +bx+1(a≠0)与一次函数
y=ax+1(a≠0)在同一直角坐标系中的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数和一
次函数的图象与性质是解题关键．
根据二次函数和一次函数的图象与性质逐项判断分析即可．
【详解】解：A、图象中，二次函数开口向下，故a<0，与y轴交点为(0,1)，一次函数
的y随x的增大而减小，故a<0，与y轴交点为(0,1)，此两个函数图象可在同一直角坐
标系中，故此选项符合题意；
B、图象中，二次函数开口向上，故a>0，与x轴交点为(−1,0)，这与二次函数
y=ax2 +bx+1(a≠0)与y轴交点(0,1)相矛盾，故此选项不符合题意；
C、图象中，二次函数开口向下，故a<0，一次函数的y随x的增大而增大，故a>0，
且两图象的交点为(1,0)，与二次函数y=ax2 +bx+1(a≠0)与一次函数
y=ax+1(a≠0)在同一直角坐标系中的交点为(0,1)相矛盾，故此选项不符合题意；
D、图象中，二次函数开口向上，故a>0，一次函数的y随x的增大而增大，故a<0，
此相矛盾，故此选项不符合题意．
故选：A．8．（23-24九年级上·山东日照·期中）二次函数y=ax2 +bx+c，自变量x与函数y的对应
值如下表：
x … −5 −4 −3 −2 −1 0 …
y … 4 0 −2 −2 0 4 …
下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．当x>−3时，y随x的增大而增大
C．当−4<x<−1时，y<0 D．二次函数的最小值是−2
【答案】C
【分析】本题考查了待定系数求函数解析式以及二次函数的性质，选出3点的坐标，
利用待定系数法求出函数的解析式，再根据二次函数的性质逐项分析四个选项即可得
出结论．
【详解】解：将点(−4,0)，(−1,0)，(0,4)代入到二次函数y=ax2 +bx+c中，得：
{16a−4b+c=0
)
a−b+c=0 ，
c=4
{a=1
)
解得： b=5 ，
c=4
∴二次函数的解析式为y=x2 +5x+4．
A、a=1>0，抛物线开口向上，A不正确；
B、y=x2 +5x+4= ( x+ 5) 2 − 9 ，
2 4
5
∴抛物线的对称轴为直线x=− ，
2
5
∴当x>− 时，y随x的增大而增大，B不正确；
2
C、∵抛物线线与x轴交于点(−4,0)，(−1,0)，且抛物线开口向上，
∴当−4<x<−1时，y<0，故C正确；
D、y=x2 +5x+4= ( x+ 5) 2 − 9 ，二次函数的最小值是− 9 ，D不正确；
2 4 4
故选：C．
9．（24-25九年级上·广西南宁·期中）已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值0，有最大值2 B．有最小值0，有最大值3
C．有最小值−1，有最大值2 D．有最小值−1，有最大值3
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数的最值，正确识别函数图象，理解最值的意义是解题
的关键．
依据题意，由函数图象可看出其最大值和最小值，逐个判断可以得解．
【详解】解：由图象可知当x=1时，y有最小值−1 ，当x=3时，y有最大值 3 ，
∴函数有最小值−1，有最大值3，
故选：D．
【题型07：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题】
1．（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数y=x2−bx+1在−1≤x≤2时最小值为
−3，则b的值为（ ）
A．4 B．4或−5 C．−5 D．±4或−5
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解
题的关键．根据题意易得二次函数开口向上，其最小值可能在顶点或区间端点处，需
分顶点在区间内、左侧、右侧三种情况讨论，结合最小值条件求解．
【详解】解：由二次函数y=x2−bx+1= ( x− b) 2 + 4−b2 ，
2 4
b (b 4−b2 )
∴二次函数图象的对称轴为直线x= ，开口向上，且顶点坐标为 , ，
2 2 4
b
当 −1≤ ≤2 即 −2≤b≤4 时，顶点处取最小值，代入顶点坐标得：
24−b2
则 =−3，
4
解得 b2 =16，即 b=±4；
∴b=4；
b
当 <−1 即 b<−2 时，最小值在 x=−1 处，
2
则y=1+b+1=b+2=−3
解得 b=−5，满足 b<−2；
b
当 >2 即 b>4 时，最小值在 x=2 处，
2
则y=22−2b+1=5−2b=−3，
解得 b=4，但 b>4 不成立，舍去，
综上，b=4或−5．
故选：B．
2．（2024·山东济南·模拟预测）已知二次函数y=mx2−2mx+3（m为常数，且m≠0），
当−1≤x≤2时，该二次函数有最小值2，则m的值是（ ）
1 1 1
A．1 B． C．1或− D．1或
3 3 3
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质，由题意可得二次函数的对称轴为直线x=1，再
分两种情况：当m>0时，当m<0时，分别利用二次函数的性质求解即可，熟练掌握二
次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
【详解】解：∵二次函数y=mx2−2mx+3，
−2m
∴二次函数的对称轴为直线x=− =1，
2×m
∵当−1≤x≤2时，该二次函数有最小值2，
∴当m>0时，当x=1时，y=2，
∴m−2m+3=2，
解得：m=1；
当m<0时，对称轴为直线x=1，
故当x=−1时，y取得最小值为2，
∴m+2m+3=2，1
解得：m=− ；
3
1
综上所述，m的值为1或− ，
3
故选：C．
3．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）已知二次函数y=a(x+1) 2 +a，当−2≤x≤2时，
y的最小值为−5，则a的值为（ ）
1 1 5 1
A．−5 B．− C．−5或− D．− 或−
2 2 2 2
【答案】B
【分析】根据解析式y=a(x+1) 2 +a，确定对称轴，分开口方向向上和向下两种情况
解答，确定−2≤x≤2时，二次函数的最大值与最小值，解答即可．
本题考查了顶点式，抛物线的增减性，最值，熟练掌握增减性和最值确定方法，是解
题的关键．
【详解】解：∵y=a(x+1) 2 +a，
∴对称轴为直线x=−1，
当抛物线开口向上时，a>0，得抛物线上的点与对称轴的距离越大，函数值越大，
∵−2≤x≤2，
∴x=−1在这个范围内，
∵y的最小值为−5，
∴a=−5，与a>0矛盾，
当抛物线开口向下时，a<0，故抛物线上的点与对称轴的距离越大，函数值越小，
∵|2−(−1))=3＞|−2−(−1))=1，
∴当x=2时，取得最小值，且最小值为y=10a，
由y的最小值为−5，
得10a=−5，
1
解得a=− ．
2
故选：B．4．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）已知抛物线y=(x−m) 2−2（m为常数），当
1≤x≤3时，其对应的函数值最小为7，则m的值为（ ）
A．4 B．−2 C．−1或4 D．−2或6
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论
是解题的关键．
根据题意得到当x>m时，y随x的增大而增大，当x<m时，y随x的增大而减小，然后
分m<1≤x≤3，1≤x≤3<m和1<m<3三种情况讨论，然后分别根据二次函数的性质
求解即可．
【详解】解：∵当x>m时，y随x的增大而增大，当x<m时，y随x的增大而减小，
∴①若m<1≤x≤3，x=1时，y取得最小值7，
可得：(1−m) 2−2=7，
解得：m=−2或m=4（舍）；
②若1≤x≤3<m，当x=3时，y取得最小值7，
可得：(3−m) 2−2=7，
解得：m=6或m=0（舍）；
③若1<m<3时，当x=m时，y取得最小值为−2，不是7，
∴此种情况不符合题意，舍去．
综上，m的值为−2或6，
故选：D．
5．（24-25九年级上·山东济南·期中）已知二次函数y=mx2 +2mx+1(m≠0)，在
−2≤x≤2时有最小值−4，则m=（ ）
5 5 5
A．5 B．5或 C．5或− D．−5或−
8 8 8
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象的增减性和对称性，注意分类讨论是解题的关键．
结合二次函数的图象增减性，对称性，分m>0和m<0两种情况分别进行讨论即可．
【详解】解：当m>0时，
二次函数y=mx2 +2mx+1的开口向上，2m
此时该函数对称轴为直线x=− =−1，
2m
即当x=−1时，函数有最小值y=m−2m+1=−m+1，
∵二次函数y=mx2 +2mx+1（m≠0）在−2≤x≤2时有最小值−4，
∴−m+1=−4，
解得，m=5；
当m<0时，
二次函数y=mx2 +2mx+1的开口向下，
2m
此时该函数对称轴为直线x=− =−1，
2m
即当−2≤x≤−1时，y随x的增大而增大，
当−1＜x≤2时，y随x的增大而减小，
∵二次函数的自变量x的取值范围为−2≤x≤2，
∴当x=2时，函数有最小值y=4m+4m+1=8m+1，
∵二次函数y=mx2 +2mx+1（m≠0）在−2≤x≤2时有最小值−4，
∴8m+1=−4，
5
解得，m=− ；
8
5
综上，m=5或m=− ，
8
故选：C．
6．（2023·陕西西安·一模）已知二次函数y=mx2−2mx+2（m≠0）在−2≤x<2时有
最小值−2，则m=（ ）
1 1 1 1
A．−4或− B．4或− C．−4或 D．4或
2 2 2 2
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值，解一元一次方程
等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
利用二次函数的性质求出对称轴，然后分m>0和m<0两种情况讨论即可求解．
【详解】解：∵二次函数解析式为y=mx2−2mx+2（m≠0），
∴二次函数对称轴为直线x=1，
当m>0时，
∵在−2≤x<2时有最小值−2，∴当x=1时，y=m−2m+2=−2，
m=4；
当m<0时，
∵在−2≤x<2时有最小值−2，
∴当x=−2时，y=4m+4m+2=−2，
1
解得：m=− ；
2
1
综上所述：m=4或− ，
2
故选：B．
7．（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）二次函数y=−x2−2x+c在−3≤x≤2的范围内
有最小值为−5，则c的值为（ ）
A．1 B．−1 C．3 D．−3
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数解析式可得图象开口向下，
对称轴为x=−1，可知离对称轴越远，值越小，当x=2时，取到最小值，代入计算即
可求解．
【详解】解：二次函数y=−x2−2x+c中，−2<0，
∴图象开口向下，对称轴为x=−1，
∴离对称轴越远，值越小，
∵−1−(−3)=2，2−(−1)=3，
∴当x=2时，取到最小值，
∴−22−2×2+c=−5，
解得，c=3，
故选：C ．
8．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数y=x2−2x(−1≤x≤t)，当x=−1时，
函数取得最大值；当x=1时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A．−1<t≤1 B．−1<t≤3 C．t≥1 D．1≤t≤3
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次
函数的图象与性质是解题的关键．由y=x2−2x=(x−1) 2−1，可知图象开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为
(1,−1)，当x=−1时，y=3，即(−1,3)关于对称轴对称的点坐标为(3,3)，由当x=−1
时，函数取得最大值；当x=1时，函数取得最小值，可得1≤t≤3．
【详解】解：∵y=x2−2x=(x−1) 2−1，
∴图象开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1,−1)，
当x=−1时，y=3，
∴(−1,3)关于对称轴对称的点坐标为(3,3)，
∵当x=−1时，函数取得最大值；当x=−1时，函数取得最小值，
∴1≤t≤3，
故选：D．
9．（24-25九年级上·四川绵阳·阶段练习）已知函数y=x2−4x+5，当0≤x≤m时，有最
大值5，最小值1，则m的取值范围是（ ）
A．m≥2 B．0≤m≤4 C．2≤m≤4 D．m≤4
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的
对称性和增减性，以及求二次函数的最值的方法．
先将该函数的表达式化为顶点式，得出当x=2时，y有最小值1，再把y=5代入
y=x2−4x+5，求出x的值，即可求出m的取值范围．
【详解】解：∵y=x2−4x+5=(x−2) 2 +1,a=1>0，
∴当x=2时，y有最小值1，
把y=5代入y=x2−4x+5得：5=x2−4x+5，
解得：x =4,x =0，
1 2
∵当0≤x≤m时，有最大值5，最小值1，
∴2≤m≤4，
故选：C．
【题型08：二次函数与一次函数图像的综合】
1．（2025九年级上·浙江·专题练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次
函数y=a(x+c) 2的图象大致为( )A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象，利用一次函数，二次函数系数及常数项与图象位
置之间关系是解题关键．
一次函数y=ax+c，可判断a、c的符号；根据二次函数y=a(x+c) 2的图象位置，可
得a，c．
【详解】解：A、函数y=ax+c中，a>0，c>0，y=a(x+c) 2中，a<0，c<0，故A
错误；
B、函数y=ax+c中，a<0，c>0，y=a(x+c) 2中，a<0，c>0，故B正确；
C、函数y=ax+c中，a>0，c<0，y=a(x+c) 2中，a>0，c>0，故C错误；
D、函数y=ax+c中，a<0，c>0，y=a(x+c) 2中，a>0，c<0，故D错误．
故选：B．
2．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+1与
y=ax2 +bx+1(a≠0)的图像可能是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数图像的综合，解题关键是结合二次函数
图像和一次函数图像的性质求解．假设其中一个图像正确，然后根据图像得到系数的
取值范围，再根据另一函数图像确定系数的取值范围，是否一致，即可获得答案．
【详解】解：A．根据图像可知两个函数图像与y轴的交点坐标为(0,1)，同时也可得
a>0，故选项正确，符合题意；
B．根据一次函数图像可知a<0，而根据二次函数的图像可得a>0，故选项错误，不
符合题意；
C．根据二次函数的图像可知a<0，根据一次函数的图像可得a>0，故选项错误，不
符合题意；
D．二次函数图像与y轴的交点不是(0,1)，故本选项错误，不符合题意．
故选：A．
3．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二
次函数y=−ax2 +bx+c的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好
的方法．本题可先由二次函数y=−ax2 +bx+c图象得到字母系数的正负，再与一次函数
y=ax+b的图象相比较看是否一致．
b
【详解】解∶A、由抛物线可知，a>0，x= >0，得b>0，由直线可知，a>0，
2a
b>0，故本选项符合题意；
B、由抛物线可知，a<0，由直线可知，a>0，故本选项不合题意；
b
C、由抛物线可知，a<0，x= >0，得b<0，由直线可知，a<0，b>0，故本选项
2a
不合题意；
D、由抛物线可知，a>0，由直线可知，a<0，故本选项不合题意．
故选∶A．
4．（24-25九年级上·江西南昌·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b的图
象和二次函数y=bx2 +ax的图象可能是 ( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，熟练掌握函数
图象与系数之间的关系是解题的关键．分别根据一次函数的图象得出a,b的取值范围，
再判断对应的二次函数图象，然后可得答案．
【详解】解：A．由一次函数图象可得a<0,b>0，则二次函数y=bx2 +ax图象应开口
b
向上，对称轴x=− >0，在y轴右侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选
2a
项符合题意；
B．由一次函数图象可得a>0,b<0，则二次函数y=bx2 +ax图象应开口向下，对称轴b
x=− >0，在y轴右侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选项不符合题意；
2a
C．由一次函数图象可得a>0,b>0，则二次函数y=bx2 +ax图象应开口向上，对称轴
b
x=− <0，在y轴左侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选项不符合题意；
2a
D．由一次函数图象可得a<0,b<0，则二次函数y=bx2 +ax图象应开口向下，对称轴
b
x=− <0，在y轴左侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选不项符合题意；
2a
故选：A．
【题型08：二次函数y=ax²+bx+c的图像与系数关系】
1．（24-25九年级上·山东青岛·期末）抛物线y=ax2 +bx+c的对称轴为直线x=−1，部分
图象如图所示．下列判断中：①abc>0；②b2−4ac>0；③9a−3b+c=0；④若点
(−0.5,y ),(−2,y₂)均在抛物线上，则y >y ；⑤5a−2b<0．其中正确的个数有
1 1 2
（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，先根据开口
方向判断出a>0，结合对称轴位置判断出b>0，再根据与y轴的交点位置，判断c<0，
进而得出结论①错误；根据抛物线与x轴的交点个数，判断出②正确；利用抛物线的
对称轴确定出抛物线与x轴的另一个交点坐标，判断出③正确，根据两点与对称轴的
距离判断出④错误；根据对称轴得出b=2a，进而得出5a−2b=5a−4a=a>0，即
可判断⑤错误；综上即可得答案．
【详解】解：抛物线开口向上，
∴a>0，b
∵抛物线的对称轴为直线x=− =−1，
2a
∴b=2a>0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c<0，
∴abc<0，
故①错误；
抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ=b2−4ac>0，
②正确；
抛物线的对称轴为直线x=−1，抛物线与x轴的一个交点坐标为(1,0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−3,0)，
∴9a−3b+c=0，
③正确；
点(−0.5,y )到直线x=−1的距离比点(−2,y )到直线x=−1的距离小，且抛物线开口
1 2
向上，
∴y <y ，
1 2
故④错误；
∵b=2a，
∴5a−2b=5a−4a=a>0，
故⑤错误．
综上所述，正确的有②③，一共2个．
故选：A．
2．（24-25九年级上·广东茂名·期末）二次函数y=ax2 +bx+c(a≠0)的图象如图所示．下
列结论：①abc<0；②b2−4ac>0；③2a+b=0；④3a+c>0；⑤4a−2b+c>0．
其中正确结论的个数有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象和性质．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，
由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进
行推理，进而对所得结论进行判断．
b
【详解】解：由图象可知a<0，c>0，− >0，
2a
∴b>0，
∴abc<0，故①正确；
根据抛物线与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，故②正确；
b
根据图象知对称轴为直线x=1，则− =1
2a
∴b=−2a
∴2a+b=0故③正确；
∵对称轴为直线x=1
∴当x=3和x=−1时，函数值相等
根据函数图象可得当x=3时，y<0，
∴当x=−1时，y=a−b+c<0
∴a+2a+c<0即3a+c<0，故④错误；
∴当x=−2时y=a(−2) 2 +(−2)⋅b+c=4a−2b+c<0，故⑤不正确．
故选：B．
3．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）丽从如图所示的二次函数y=ax2 +bx+c的图象中，
观察得出了下面五条信息：①c<0；②abc>0；③a−b+c>0；④2a−3b=0；⑤
4a+2b+c>0．你认为其中正确信息的个数有（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握：二次项系数决定抛物线
的开口方向和大小，当a>0时，抛物线向上开口，当a<0时，抛物线向下开口；一次
项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置，当a与b同号时，对称轴在x轴左侧，
当a与b异号时，对称轴在x轴右侧，常数项决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交
于(0,c)，掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键．
【详解】解：∵函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴可知，
∴c<0．
∴①正确．
∵函数图象开口向上，
∴a>0，
b
由函数的对称轴在x的正半轴上可知，x=− >0，b<0，
2a
又由①知，c<0,
∴abc>0，
∴②正确．
∵把x=−1代入函数解析式，由函数的图象可知，x=−1时，y>0即a−b+c>0，
∴③正确．
∵a>0，b<0，
∴2a>3b．
∴2a−3b>0．
∴④错误；
∵把x=2代入函数解析式，由函数的图象可知，x=2时，y>0
即4a+2b+c>0，
∴⑤正确．
其中正确的有①②③⑤．故选：A．
4．（24-25九年级上·广东茂名·期中）二次函数y=ax2 +bx+c的图象如图所示，则下列结
论中，正确的个数是（ ）
①a+b+c>0；②a−b+c<0；③abc>0；④b=2a
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用特殊值代入法求得特
殊的式子，如：y=a+b+c，y=a−b+c，然后根据图象判断其值． 根据x=1和
x=−1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断①和②，由抛物线
的开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点可以判断③、④、从而可得答案．
【详解】解：当x=1时，y>0，
∴a+b+c>0，故①正确；
当x=−1时，y=a−b+c，
由图象可知，当x=−1时，y=a−b+c<0，故②正确；
∵图象开口向下，
∴a<0，
b
∵
x=− >0，
2a
∴b>0，
∵图象与y轴的交点在y轴的上半轴，
∴c>0，
∴abc<0，故③错误；
b b
∵
x=− <1，x=− >0，a<0，
2a 2a
当b=2a，
b
则x=− =−1，产生矛盾，故④错误；
2a
∴正确的有2个．故选：C．
5．（24-25九年级上·北京·期中）二次函数y=ax2 +bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列
说法正确的是（ ）
①abc>0；②a−b+c=0；③2a+b=0；④若ax2 +bx+c−k=0有两个实数根，则
k≤4；⑤am2 +bm≤a+b．
A．②③④⑤ B．①②③④ C．③④⑤ D．①②④⑤
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由二次函数的图象可得a<0，c>0，
b
− =1，即得b=−2a>0，即可判断①；由对称性可得抛物线与x轴的另一个交点坐
2a
标为(−1,0)，即可判断②；由对称轴可判断③；由ax2 +bx+c−k=0有两个实数根，
可知抛物线y=ax2 +bx+c与直线y=k相交，结合图象可判断④；由顶点坐标可判断
⑤，综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴相交于正半轴上，
∴a<0，c>0，
∵对称轴为直线x=1，
b
∴
− =1，
2a
∴b=−2a>0，
∴abc<0，故①错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(3,0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−1,0)，
∴a−b+c=0，故②正确；b
∵对称轴x=− =1，
2a
∴2a+b=0，故③正确；
若ax2 +bx+c−k=0有两个实数根，则抛物线y=ax2 +bx+c与直线y=k相交，
∵抛物线的顶点坐标为(1,4)，
∴k≤4，故④正确；
∵抛物线的顶点坐标为(1,4)，开口向下，
∴当x=1时，y取最大值，
∴am2 +bm+c≤a+b+c，
即am2 +bm≤a+b，故⑤正确；
综上，说法正确的是②③④⑤，
故选：A．
6．（24-25八年级下·江西宜春·阶段练习）二次函数y=ax2 +bx+c(a≠0)的部分图象如图
所示，图象经过点(−1,0)，对称轴为直线x=2，给出下列结论：①abc<0；②
4a+c>2b；③4a+2b≥m(am+b)（m为常数）；④3b−2c>0．其中正确的是（
）
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，
采用数形结合的思想解题，是解题的关键．根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴
的交点，即可判断a、b、c的大小，从而即可判断①，根据对称轴和经过(−1,0)，得
到b=−4a，c=−5a，代入进行求解即可判断②④，根据当x=2时二次函数取得最大
值，即可判断③．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，
∴a<0，
b
∵抛物线的对称轴为直线x=− =2，
2a∴b>0，
∵抛物线交y轴正半轴，
∴c>0，
∴abc<0，故①正确，
b
∵抛物线的对称轴为直线x=− =2，
2a
∴b=−4a，
∵图象过点(−1,0)，
∴a−b+c=0，
∴c=−5a，
∴4a+c−2b=4a−5a−2×(−4a)=7a<0，
∴4a+c<2b，故②错误，
当x=2时，函数由最大值4a+2b+c，
∴4a+2b+c≥am2 +bm+c，
∴ 4a+2b≥m(am+b)（m为常数），故③正确，
∵3b−2c=3×(−4a)−2×(−5a)=−12a+10a=−2a>0，
∴3b−2c>0，故④正确，
故选：C．
【题型09：二次函数的平移变换】
1．（24-25九年级上·全国·阶段练习）将抛物线y=−2x2向右平移3个单位长度，再向上
平移5个单位长度，所得的抛物线为（ ）
A．y=−2(x−5) 2 +3 B．y=−2(x−3) 2 +5
C．y=−2(x−3) 2−5 D．y=−2(x+5) 2−3
【答案】B
【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移原则，计算即可．
本题考查了二次函数的平移计算，熟练掌握平移规律是解题的关键．
【详解】解：抛物线y=−2x2向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所
得的抛物线为y=−2(x−3) 2 +5．故选：B．
2．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）抛物线y=−7(x+3) 2 +1可以由抛物线y=−7x2平移
得到，则下列平移过程正确的是（ ）
A．先向左平移3个单位，再向上平移1个单位
B．先向右平移3个单位，再向上平移1个单位
C．先向左平移1个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移3个单位
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的平移，
根据平移的规律“左加右减，上加下减”，解答即可.
【详解】解：将抛物线y=−7x2向左平移3个单位，再向上平移1个单位得抛物线
y=−7(x+3) 2 +1.
故选：A.
3．（24-25九年级上·吉林长春·期末）若将抛物线y=x2向左平移4个单位，再向上平移2
个单位，则所得抛物线的解析式为（ ）
A．y=(x+4) 2 +2 B．y=(x−4) 2 +2
C．y=(x+2) 2−4 D．y=(x−2) 2−4
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，掌握“上加下减，左加右减”的
平移规律是解题的关键．
根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．
【详解】解：若将抛物线y=x2向左平移4个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物
线的解析式为y=(x+4) 2 +2．
故选：A．
4．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）将函数y=x2−4x−1的图象向左平移5个单位
后得到的新抛物线的顶点坐标为（ ）
A．(−1,−4) B．(3,−5) C．(−3,−4) D．(−3,−5)【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的图象与性质．熟练掌握二
次函数的平移，二次函数的图象与性质是解题的关键．先把原二次函数解析式转化为
顶点式，然后根据平移规律求出新二次函数解析式，即可求解．
【详解】解：由题意知，y=x2−4x−1=(x−2) 2−5，
∴平移后的抛物线的解析式为y=(x−2+5) 2−5=(x+3) 2−5，
∴平移后抛物线的顶点坐标为(−3,−5)，
故选：D．
5.（24-25九年级上·河北保定·期中）将抛物线y=2x2−4x+3向左平移1个单位长度得到
新的抛物线，则新抛物线的表达式是（ ）
A．y=2x2 +1 B．y=2x2−1
C．y=2x2−2x D．y=2(x+1) 2 +4
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象的平移．将抛物线解析式化为顶点式，再根据二次
函数的平移规则“左加右减”即可得到答案．
【详解】解：∵y=2x2−4x+3=2(x−1) 2 +1，
∴抛物线y=2x2−4x+3向左平移1个单位长度得到新的抛物线为y=2x2 +1．
故选：A
6．（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）将抛物线y=x2 +2x−3先向左平移1个单位，再向
上平移2个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A．y=(x+2) 2−6 B．y=(x+2) 2−2
C．y=(x−2) 2−6 D．y=(x−2) 2−2
【答案】B
【分析】此题考查了二次函数的平移，根据上加下减，左加右减进行解答即可．
【详解】解：y=x2 +2x−3=(x+1) 2−4，
∴抛物线y=x2 +2x−3先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式是y=(x+2) 2−2，
故选：B
【题型10：已知抛物线上对称的两点求对称轴】
1．（24-25九年级上·贵州黔南·阶段练习）如图，二次函数y=ax2 +bx+c图象的对称轴是
直线x=1，与x轴一个交点A(3,0)，则与x轴的另一个交点坐标是（ ）
( 1) ( 1 )
A． 0,− B． − ,0 C．(0,−1) D．(−1,0)
2 2
【答案】D
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，利用抛物线的对称性求得点A的对称点的坐
标是解题的关键．找出点A关于x=1的对称点的坐标即可．
【详解】解：∵次函数y=ax2 +bx+c图象的对称轴是直线x=1，与x轴一个交点
A(3,0)，
∴另一个交点为：(2×1−3,0)，即(−1,0)，
故选：D．
2．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）已知抛物线与x轴的交点分别为A(−3,0)，
B(1,0)，则该抛物线的对称轴是（ ）
A．x=−2 B．x=−1 C．x=1 D．x=2
【答案】B
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，利用抛物线的对称性求解是解题的关
键．
根据抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称求解即可．
【详解】解：∵抛物线与x轴的交点坐标分别为A(−3,0)和B(1,0)，
∴A(−3,0)和B(1,0)关于抛物线的对称轴对称，−3+1
∴抛物线的对称轴为直线x= =−1．
2
故选：B．
3．（23-24九年级上·吉林·期中）抛物线y=ax❑ 2 +bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，已
知此抛物线与x轴的一个交点坐标为(4,0)，抛物线的对称轴是直线x=1，则抛物线与x
轴的另一个交点坐标是（ ）
A．(−4,0) B．(−3,0) C．(−5,0) D．(−2,0)
【答案】D
【分析】本题主要考查了抛物线的对称性，解题的关键在于能够熟练掌握抛物与x轴
的两个交点关于抛物线对称轴对称．利用抛物线的对称性求解即可得到答案．
【详解】解∶∵物线y=ax❑ 2 +bx+c(a≠0)与x轴的一个交点坐标为(4,0)，抛物线的
对称轴是直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标是(−2,0)，
故选∶D．
4．（22-23九年级上·山西吕梁·期中）若抛物线y=ax2 +bx+c与x轴的两个交点为(−2,0)，
(4,0)，则该抛物线的对称轴为（ ）
A．直线x=−3 B．直线x=3 C．直线x=1 D．直线x=−1
【答案】C
【分析】直接根据两个交点坐标可得对称轴．
【详解】解：∵抛物线y=ax2 +bx+c与x轴的两个交点为(−2,0)，(4,0)，
−2+4
∴该抛物线的对称轴为x= =1，
2
故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题．对于求抛物线的对称轴的题目，可以x +x
用公式法，也可以将函数解析式化为顶点式求得，或直接利用公式 1 2求解．
2
【题型11：二次函数的交点个数问题】
1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线y=−2x2 +8x−6与x轴交于点
A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C ，将C 向右平移得C ，C 与x轴交于
1 1 2 2
点B，D．若直线y=2x+m与C 、C 共有3个不同的交点，则m的取值范围是
1 2
（ ）
15 7
A．−3<m<− B．−3<m<−
8 4
11
C．−3<m<−2 D．−6<m<−
2
【答案】D
【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出C 解析式，分别求出直线y=2x+m
2
与抛物线C 相切时m的值以及直线y=2x+m过点B时m的值，结合图形即可得到答
2
案．
【详解】解：如图，
令y=−2x2 +8x−6=0，即x2−4x+3=0，解得x=1或x=3，则点A(1,0)，B(3,0)，
∴AB=2，
∴ C 向右平移两个长度单位得C ，
1 2
∵y=−2x2 +8x−6=−2(x−2) 2 +2，∴ C 解析式为y=−2(x−4) 2 ＋2(3≤x≤5)，
2
当y=2x+m 与C 相切时，令2x+m =−2(x−4) 2 +2，即2x2−14x+30+m =0，
1 2 1 1
∵Δ=(−14) 2−4×2×(30+m )=−8m −44=0，
1 1
11
∴ m =− ；
1 2
当y=2x+m 过点B时，即0=6+m ，
2 2
∴
m =−6，
2
11
∴当−6<m<− 时直线y=2x+m与C 、C 共有3个不同交点．
2 1 2
故选：D．
【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何交换的知识，解答
本题的关键是正确画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．
2．（2024九年级上·全国·专题练习）已知二次函数y=−x2 +x+6，将该二次函数在x轴上
方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图象（如
图所示），当直线y=x+m与新图象有3个或4个交点时，m的取值范围是（ ）
25 25
A．− ≤m≤−2B．− ≤m≤−3 C．−6≤m≤−2 D．−7≤m≤−3
4 4
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数的翻折、二次函数与一次函数的交点问题、二次函数
与一元二次方程的关系，熟练掌握以上知识点，学会二次函数的翻折规律，善于转化
二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题意容易求解抛物线与x轴的交点
分别为A(−2,0)，B(3,0)，再利用函数翻折性质求得翻折部分解析式为
y=x2−x−6(−2≤x≤3)，再求出直线y=x+m经过点B(3,0)时m的值，以及与抛物
线y=x2−x−6有唯一公共点时m的值，最后根据图象即可求解m的取值范围．【详解】解：当y=0时，0=−x2 +x+6，解得x =−2，x =3，则A(−2,0)，B(3,0)，
1 2
∵将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，
∴翻折部分的解析式为y=(x+2)(x−3)=x2−x−6(−2≤x≤3)，
当直线y=x+m经过点B(3,0)时，3+m=0，解得m=−3；
当直线y=x+m与抛物线y=x2−x−6有唯一公共点时，方程x2−x−6=x+m有相等
的实数根，即方程x2−2x−m−6=0有相等的实数根，
∴Δ=(−2) 2−4(−m−6)=0，
解得：m=−7；
∴结合图象可知，当直线y=−x+m与新图象有3个或4个交点时，m的取值范围为
−7≤m≤−3．
故选：D．
3．（2023·福建泉州·二模）已知二次函数y=x2−2x−3，将该二次函数在x轴下方的图象
沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图象(如图所示)，当
直线y=−x+m与新图象有3个交点时，m的值为( )
13 21
A．−1 B．5 C．3或 D．3或
4 4
【答案】D
【分析】y=x2−2x−3，令y=0，则x=3或−1，则点A(3,0)，二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，对应的函数表达式为：y=−x2 +2x+3，联立
{y=−x2 +2x+3) 21
，消去y整理得：−x2 +3x+3−m=0，令Δ=0，求得m= ，结
y=−x+m 4
合图象即可求解．
【详解】如图所示，直线在图示位置时，直线与新图象有3个交点，
y=x2−2x−3 y=0 x=3 −1 A(3,0)
，令 ，则 或 ，则点 ，
将点A的坐标代入y=−x+m并解得：m=3，
二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，对应的函数表达式为：
y=−x2 +2x+3，
{y=−x2 +2x+3)
联立 ，消去y整理得：−x2 +3x+3−m=0，
y=−x+m
Δ=9+4(3−m)=0，
21
解得：m= ，
4
21
∴当m=3或 时，直线y=x+m与这个新图象有三个交点，
4
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据函数图象判断根的情况，数形结合是解题
的关键．
4．（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，抛物线y=−x2 +12x−35与x轴交于A、B两
点，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C ，将C 向左平移得到C ，C 与x轴交于
1 1 2 2
B，D两点，若直线y=−x+m与C ，C 共有3个不同的交点，则m的取值范围是
1 2
．21
【答案】5<m<
4
【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出C 解析式，分别求出直线y=−x+m
2
与抛物线C 相切时m的值以及直线y=−x+m过点B时m的值，结合图形即可得到答
2
案．
【详解】解：把y=0代入y=−x2 +12x−35得0=−x2 +12x−35，
解得x=5或x=7，
则点A(7,0)，B(5,0)，
抛物线C ：y=−x2 +12x−35=−(x−6) 2 +1，(5≤x≤7)，
1
由于抛物线C 向左平移2个长度单位得抛物线C ，
1 2
则抛物线C 解析式为y=−(x−6+2) 2 +1=−(x−4) 2 +1，(3≤x≤5)，
2
令y=−(x−4) 2 +1=0，即−(x−4) 2 +1=0，
解得x=3或x=5，
则点D(3,0)，
如图，当y=−x+m与抛物线C ：y=−(x−4) 2 +1相切时，
2
令−(x−4) 2 +1=−x+m，即−x2 +9x−15−m=0，
根据相切可知方程有两个相等的解，即Δ=92−4×(−1)×(−15−m)=0，
21
解得m= ，
4
当y=−x+m过点B(5,0)时，即：0=−5+m，
解得：m=5，
21
结合图象可知：直线y=−x+m与C ，C 共有3个不同的交点时，5<m< ．
1 2 4
21
故答案为：5<m< ．
4
【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何交换的知识，解答
本题的关键是正确画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．
5．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，抛物线y=x2−14x+45与x轴交于点A、
B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作C ，将C 向左平移得到C ，C 与x轴交于点
1 1 2 2
B、D，若直线y=x+k与C 、C 共有3个不同的交点，则k的取值范围是 ．
1 2
29
【答案】− <k<−5
4
【分析】本题考查了二次函数的应用．
依据题意，首先求出点A和点B的坐标，然后求出C 解析式，分别求出直线y=x+k
2
与抛物线C 相切时k的值以及直线y=x+k过点B时k的值，结合图形即可得到答案
2
【详解】解：∵抛物线y=x2−14x+45与x轴交于点A、B，
∴B(5，0)，A(9，0)．
又抛物线为y=x2−14x+45=(x−7) 2−4，
∴抛物线向左平移4个单位长度∴平移后解析式y=(x−3) 2−4．
当直线y=x+k过B点，有2个交点
∴0=5+k，
∴k=−5．
当直线y=x+k与抛物线C 相切时，有2个交点
2
∴x+k=(x−3) 2−4，
即x2−7x+5−k=0．
∵相切，
∴Δ=49−20+4k=0
29
∴ k=− ．
4
如图，
∵若直线y=x+k与C 、C 共有3个不同的交点，
1 2
29
∴
− <k<−5．
4
29
故答案为：− <k<−5．
4
6．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在平面直角坐标系中，将二次函数
y=x2−2x−3在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，将这
个组合的图象记为M．1
(1)若直线y= x+n与图象M恰好有3个交点．求n的值．
2
1
(2)若直线y= x+n与图象M恰好有2个交点．求n的取值范围．
2
3 73
【答案】(1)n=− 或 n=−
2 16
3 1 73
(2)− <n< 或 n<−
2 2 16
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c(a,b, c是常
数,a≠0))与x轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程.也考查了二次函数图
象与几何变换．
1
（1）解方程: x²−2x−3=0得A(−1，0)，B(3，0)，然后求出直线y= x+n经
2
1
过点 B(3,0)时n的值和当直线y= x+n与抛物线y=x²−2x−3有唯一公共点时n的
2
1
值，从而得到直线y= x+n与图象M恰好有3个交点时，n的值.
2
1
（2）求出直线y= x+n经过点A(−1,0)时n的值，结合（1）的结果即可得到直线
2
1
y= x+n与图象M恰好有2个交点时n的取值范围.
2
【详解】（1）如图，当y=0时，x²−2x−3=0，
解得 x =−1,x =3，
1 2
则A(−1，0)，B(3，0)，
1 3
当直线y= x+n经过B(3，0)时, +n=0，
2 2
3
解得n=− ；
21
当直线y= x+n与抛物线y=x²−2x−3有唯一公共点时，
2
1
方程x2−2x−3= x+n有相等的实数解，
2
73
解得 n=− ，
16
1 3 73
所以当直线y= x+n与图象M恰好有3个交点时，n=− 或 n=− ．
2 2 16
1 1 1
（2）当直线y= x+n经过点A(−1，0)时, − +n=0,解得n= ,
2 2 2
1 3 1
观察图象，若直线 y= x+n与图象M恰好有2个交点时，n的取值范围为− <n<
2 2 2
73
或 n<− ．
16
【题型12：抛物线与x轴的交点问题】
1．（24-25九年级上·贵州·期末）抛物线y=x2−2x+2与坐标轴交点个数为（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．无交点
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是
解题关键．
先求出x=0时，y的值，再求出当y=0时，判别式的值，由此即可得出交点个数．
【详解】解：∵y=x2−2x+2，
当x=0时，y=x2−2x+2=2，即与y轴的交点为(0,2)，有1个，
当y=0时，x2−2x+2=0，
此时Δ=(−2) 2−4×1×2=−4<0
即抛物线与x轴无交点，
综上，此抛物线与坐标轴的交点个数为1个，故选：C．
2．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）二次函数y=x2 +2x+a的图象与坐标轴有两个
交点，则a的值是（ ）
A．−2或1 B．2或0 C．1或0 D．1或2
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与x轴，y轴的交点
的个数与其所对应一元二次方程根的判别式之间的关系是解题的关键．由二次函数
y=x2 +2x+a的图象坐标轴有两个交点，则与x轴有一个交点，或两个交点中一个交点
在原点，再进一步求解即可．
【详解】解：由题知，∵二次函数y=x2 +2x+a的图象与坐标轴有两个交点，
则二次函数y=x2 +2x+a的图象与x轴只有一个交点，或有两个交点，两个交点中一个
交点在原点，
则22−4a=0，或a=0，
解得a=1或a=0．
∴C符合题意；
显然四个选项中只有C选项符合要求．
故选：C．
3．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）抛物线y=−x2 +bx+c的部分图象如图所示，
则关于x的一元二次方程−x2 +bx+c=0的解为 ．
【答案】x =1,x =−3
1 2
【分析】此题考查了二次函数的图象和一元二次方程的根的关系．观察图象可知，抛物
线y=−x2 +bx+c与x轴的一个交点为(1,0)，对称轴为直线x=−1，再求出抛物线与x
轴的另一交点坐标为(−3,0)，即可得到答案．
【详解】解：观察图象可知，抛物线y=−x2 +bx+c与x轴的一个交点为(1,0)，对称轴
为直线x=−1，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(−3,0)，∴一元二次方程−x2 +bx+c=0的解为x =1,x =−3．
1 2
故本题答案为：x =1,x =−3
1 2
4．（24-25九年级上·全国·期末）已知抛物线y=2x2 +6x−m与x轴的一个交点的坐标为
(1,0)，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 ．
【答案】(−4,0)
【分析】本题考查的是抛物线的对称性，先求解抛物线的对称轴，再根据对称性求解
即可．
6 3
【详解】解：由题可知，y=2x2 +6x−m的对称轴为直线x=− =− ，
2×2 2
抛物线与x轴的一个交点坐标为(1,0)，
根据抛物线的对称性知，与x轴的另一个交点坐标为(−4,0)．
故答案为：(−4,0)．
5．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）抛物线y=2x2−4x+c与x轴的一个交点坐标为
(3,0)，则c= ．
【答案】−6
【分析】本题主要考查了二次函数图像与坐标轴交点的知识，熟练掌握二次函数图像
与性质是解题关键．将点(3,0)代入抛物线y=2x2−4x+c，求解即可获得答案．
【详解】解：将点(3,0)代入抛物线y=2x2−4x+c，
可得2×32−4×3+c=0，解得c=−6．
故答案为：−6．
【题型13：根据二次函数图象确定相应方程根的情况】
1．（24-25九年级上·北京·期中）如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+6交于A(−2,4)，
B(3,9)两点，则一元二次方程ax2−bx−6=0的根为 ．
【答案】x =−2，x =3
1 2【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，一次函数的性质，一次函数图象上点的特征，
二次函数的性质，二次函数图象上点的特征，解题关键是通过图象求解．将一元二次方
程ax2−bx−6=0变形为ax2 =bx+6，由交点坐标即可得出答案．
【详解】解：把一元二次方程ax2−bx−6=0变形为ax2 =bx+6，
∵抛物线y=ax2与直线y=bx+6交于A(−2,4)，B(3,9)两点，点A，B横坐标分别为
−2，3，
∴关于x的一元二次方程ax2−bx−6=0的解是x =−2，x =3．
1 2
故答案为：x =−2，x =3．
1 2
2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）抛物线y=−x2 +bx+3的部分图像如图所示，则一元
二次方程−x2 +bx+3=0的根为 ．
【答案】x =−3，x =1
1 2
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识
点，掌握二次函数图象与x轴的交点横坐标，就是对应的一元二次方程的解成为解题的
关键．
先根据二次函数图象的性质确定抛物线与与x轴的交点横坐标，然后根据二次函数与一
元二次方程的关系即可解答．
【详解】解：由图象得：抛物线y=−x2 +bx+3与x轴的一个交点为(1, 0)，且对称轴
为直线x=−1，
∴抛物线y=−x2 +bx+3与x轴的另一个交点为(−3, 0)，
∴一元二次方程y=−x2 +bx+3的根为：x =−3，x =1．
1 2
故答案为：x =−3，x =1．
1 2
3．（21-22九年级上·湖南益阳·期末）若二次函数y=ax2 +bx+c(a≠0)部分图象如图所示，
图象过点(−1,0)，对称轴为直线x=1，则关于x的一元二次方程ax2 +bx+c=0的根为：．
【答案】x =−1，x =3
1 2
【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与方程的关系，根据二次函数的对称
性求得抛物线与x轴的另一个交点，然后根据图象即可求得ax2 +bx+c=0时x的取值
范围．
【详解】解：由图象可知：抛物线与x轴交于A(−1,0)，对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一交点为：(3,0)，
∴ax2 +bx+c=0的解为x =−1，x =3，
1 2
故答案为：x =−1，x =3．
1 2
【题型14：根据交点确定不等式的解集】
1．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，二次函数y=ax2 +bx+c的图象的对称轴是直
线x=−1，与x轴的一个交点为(−5,0)，则不等式ax2 +bx+c<0的解集为 ．
【答案】x<−5或x>3
【分析】本题考查图象法求不等式的解集，对称性，求出抛物线与x轴的另一个交点的
坐标，图象法求出不等式的解集即可．
【详解】解：∵二次函数y=ax2 +bx+c的图象的对称轴是直线x=−1，与x轴的一个
交点为(−5,0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(3,0)，
由图象可知：不等式ax2 +bx+c<0的解集为x<−5或x>3；故答案为：x<−5或x>3．
2．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）抛物线y=ax2 +bx+c的部分图象如图所示，且抛物
线经过点A(−1,0)，对称轴是直线x=1，则当y>0时，x的取值范围是 ．
【答案】−1<x<3
【分析】本题主要考查了图象法解一元二次不等式，轴对称的性质等知识点，熟练掌握
二次函数的对称性是解题的关键．
利用轴对称的性质求出A(−1,0)关于对称轴x=1的对称点，然后结合图象即可得出
y>0时x的取值范围．
【详解】解：∵对称轴是直线x=1，且抛物线与x轴交于点A(−1,0)，
∴利用轴对称的性质可得，抛物线与x轴的另一个交点为(1+1−(−1),0)，即(3,0)，
根据图象可知，当y>0时，−1<x<3，
故答案为：−1<x<3．
3．（24-25九年级上·重庆江津·期末）如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐
标分别为A(−3,6)，B(1,3)，则不等式ax2≥bx+c的解集是 ．
【答案】x≤−3或x≥1/x≥1或x≤−3
【分析】本题考查利用图象的交点解决不等式的解集问题．解题的关键是：利用数形结
合的思想确定图象的位置关系．利用图象找到抛物线在直线上方时的x的取值范围，即可得解．
【详解】解：∵ax2≥bx+c，
∴化为抛物线y=ax2在直线y=bx+c上方，
由图可知：
当x≤−3或x≥1时，抛物线在直线上方，即：ax2≥bx+c；
∴不等式ax2−bx−c≥0的解集是：x≤−3或x≥1；
故答案为：x≤−3或x≥1．
4．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）二次函数y =ax2 +bx+c与一次函数y =mx+c的图
1 2
象如图所示，则满足ax2 +bx>mx的x的取值范围为 ．
【答案】−3<x<0
【分析】本题考查了二次函数与不等式，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函
数图象可知，当−3<x<0，二次函数y =ax2 +bx+c的图象在一次函数y =mx+c的
1 2
图象上方，进而得到ax2 +bx+c>mx+c的x的取值范围，即可得到答案．
【详解】解：∵ax2 +bx>mx，
∴ax2 +bx+c>mx+c，
由函数图象可知，当−3<x<0，二次函数y =ax2 +bx+c的图象在一次函数
1
y =mx+c的图象上方，
2
∴ax2 +bx<mx的x的取值范围为−3<x<0，
故答案为：−3<x<0．
5．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，已知二次函数y =ax2 +bx+c(a≠0)
1
与一次函数y =kx+b(k≠0)的图象相交于点A(−2,4)，B(8,2)，则
2
ax2 +bx+c<kx+b的解集是 ．【答案】−2<x<8
【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据函数图象求不等式的解，关键在于认准
在上方与下方的函数图象所对应的函数解析式，数形结合是数学中的重要思想之一．
根据图象，找出二次函数图象在一次函数图象下方的部分的x的取值范围即可．
【详解】解∶由图形可得，当−2<x<8时，二次函数图象在一次函数图象下方，
y <y ，所以，
1 2
使ax2 +bx+c<kx+b成立的x的取值范围是−2<x<8．
故答案为∶−2<x<8．
6．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，抛物线y=ax2 +bx+c的部分图象交坐标轴于
点A(−1,0)，B(0.3)，对称轴为x=1．则当y>0时，x的取值范围是 ．
【答案】−1<x<3
【分析】本题考查二次函数与一元二次不等式的关系，根据图象及对称轴求出x=1的
对称点，结合图象x轴上方即为y>0的部分求解即可得到答案．
【详解】解：∵A(−1,0)，对称轴为直线x=1，
∴与x轴另一个交点为(3,0)，
∴当y>0时，−1<x<3，
故答案为：−1<x<3．
