专题 02 二次函数（9 知识&23 题型&6 易错&6 方法清单）【清单01】 二次函数的概念
一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
【清单02】二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．
（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．
（3）交点式：y=a（x–x）（x–x），其中x，x 是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．
1 2 1 2
【清单03】二次函数的图象与性质
二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，
图象特征
对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.
基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c
y y y y
y
h>0,k>0
a>0 k>0
h<0 h>0
x x x x x
O O O O h<0,k<0 O
图
象 y
y y
y y h<0,k>0
x x x x
O O
a<0 O k<0 h<0 O h>0
h>0,k<0
x
O
b
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x=-
2a
b 4ac-b2
顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (- ， )
2a 4a
a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值；
最
值
a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值.4ac-b2
【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或 ）.
4a
增 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大.
减
性 a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小.
【清单04】二次函数的图象变换
1）二次函数的平移变换
平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀
向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加
向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减
向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加
向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减
2）二次函数图象的翻折与旋转
变换前 变换方式 变换后 口诀
绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变
y=a(x-h)²+k
绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号
沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变
沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号
【清单05】二次函数的对称性问题
抛物线的对称性的应用，主要体现在：1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标；
2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴.
解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对
x +x
称轴可表示为直线x= 1 2 .
2
解题技巧：
b
1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=- 的差的绝对值相等；
2a
b
2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=- 对称；
2a
3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图
象于x轴对称.
【清单06】二次函数的最值问题
自变量取值范围 图象 最大值 最小值
b
y 当x= - 时，二次函数
2a
x 4ac-b2
a>0 取得最小值
O 4a
全体实数
b
y 当x= - 时，二次函数
2a
4ac-b2
a<0 取得最大值
x 4a
O
当x=x2时，二次函数取 b
y 当x= - 时，二次函数
得最大值y2 2a
y
2
4ac-b2
x 取得最小值
4a
x O x
1 2y
当x=x1时，二次函数取
当x= -
b
时，二次函数
得最大值y1 2a
y
1 4ac-b2
x 取得最小值
x x 4a
1 2
x1≤x≤x2 a>0
y
2
当x=x2时，二次函数取 当x=x1时，二次函数取
y
得最大值y2 得最小值y1
x
1 x
O x
2
y
2
y
1
【清单07】二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.一元二次方程
的解就是二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标. 因此，二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程
根的情况.
与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0的根 判别式Δ=b2-4ac
2个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0
1个交点 有一个不相等的实数根 b2-4ac=0
0个交点 没有实数根 b2-4ac<0
【清单08】二次函数与不等式的关系:
b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
图象 y y y
x
x O x
1 2 x x
O x (x ) O
1 2
与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点ax2＋bx＋c>0 x<x1或x>x2 b 取任意实数
-
x≠
2a
的解集情况
ax2＋bx＋c<0 x1<x<x2 无解 无解
的解集情况
【清单09】用二次函数解决实际问题的一般步骤
1.审：仔细审题，理清题意；
2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当
的未知数；
3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；
4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题；
5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.
【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果
顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论．
利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值
解决利润最大问题是否存在最大利润问题。
利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点
的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。
利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后
利用函数的最值解决面积最值问题。
【注意】自变量的取决范围。
利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合
直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条
件进行计算．
利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设
出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条
件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不
存在．【题型一】二次函数的定义
【典例1】下列函数中是二次函数的是（ ）
A．y=ax2+bx+c B．y=2x(x-3)
1
C．y=- D．y=(x-2) 2-x2
x2
【变式1】下列函数属于二次函数的是（ ）
1 5
A．y=x-1 B．y= C．y=x2+x D．y=
x2 x
【变式2】二次函数解析式y=x2+2x-1的二次项系数、一次项系数和常数项分别是( )
A．1，2，1 B．1，2，-1 C．0，2，-1 D．0，-2，-1
【变式3】若函数y=(m-2)xm2-2是关于x的二次函数，则m的值为
．
【题型二】特殊二次函数的图像和性质
【典例2】下面关于抛物线y=(x+1) 2-2的结论正确的是（ ）
A．开口向上，顶点坐标为(1,-2) B．开口向下，顶点坐标为(1,-2)
C．开口向上，顶点坐标为(-1,-2)） D．开口向下，顶点坐标为(-1,-2)
【变式1】若点A(-1,y )，B(2,y )在抛物线y=-(x+2) 2上，则y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 1 2
A．y >y B．y ≥ y C．y <y D．y ≤ y
1 2 1 2 1 2 1 2
【变式2】已知二次函数y=-(x-1) 2+2，当0≤x≤5时，y的取值范围是（ ）
A．-14≤ y≤1 B．1≤ y≤2 C．-14≤ y≤2 D．y≤1
【题型三】与特殊二次函数有关的几何知识
1
【典例3】已知[x]表示不超过实数x的最大整数，函数y=[x]的部分图象如图所示，若方程[x]=ax2+
2
在0≤x<3有2个解，则a的取值范围是（ ）1 3 1 3 5 3 5 3
A． <a≤ B． <a< C． <a≤ D． <a<
6 8 9 8 18 8 18 8
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线y=4，与二次函数y=x2和y=ax2分别交于A、
B和C、D四个点，此时，CD=2AB，把直线y=4向上平移b(b>0)个单位，则CD与AB之间的关系
是（ ）
A．CD=2AB B．随着直线y=4向上平移，CD>2AB
C．随着直线y=4向上平移，CD<2ABD．无法判断
【变式2】如图，在平面直角坐标系中、抛物线y=x2上已知A的坐标为(1,1)．过点A作A A ∥x轴交抛
1
物线于点A ，过点A 作A A ∥OA交抛物线于点A ，过点A 作A A ∥x轴交抛物线于点A ．过
1 1 1 2 2 2 2 3 3
点A 作A A ∥OA交抛物线于点A ，……依此规律进行下去，例点A 的坐标为 ．
3 3 4 4 2001
【题型四】二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质
【典例4】已知二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表：
x … -2 0 1 3 5 …y … 5 -3 -4 0 12 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．a-b+c=1 B．函数图象开口向下
C．当x>0时，y随x的增大而减小 D．y的最小值是-4
【变式1】抛物线y=-x2-4x+m的对称轴为（ ）．
A．直线x=-2 B．直线x=2 C．直线x=4 D．直线x=-4
【变式2】二次函数y=ax2+4ax-5a(a>0)与x轴交于M,N两点（点M在点N左侧），则点M的坐标为
（ ）
A．(-5,0) B．(-4,0) C．(-1,0) D．(1,0)
【变式3】已知点(-1,y )，(1,y )，(4,y )都在抛物线y=-x2+2x+c上，则y ，y ，y 的大小关系是
1 2 3 1 2 3
（ ）
A．y <y <y B．y <y <y C．y <y <y D．y <y <y
3 1 2 1 2 3 2 1 3 1 3 2
【题型五】二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题
【典例5】已知函数y=ax2+2ax-1在-3≤x≤2上有最大值7，则常数a的值是（ ）
8 8
A． B．1 C． 或-8 D．1或-8
3 3
【变式1】已知二次函数y=x2-2x-3，当m≤x≤m+2时，函数y的最小值是-4，则m的取值范围是
（ ）
A．m≥1 B．m≤1 C．-1≤m≤1 D．0≤m≤2
【变式2】（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数y=x2-bx+1在-1≤x≤2时最小值为-3，则b
的值为（ ）
A．4 B．4或-5 C．-5 D．±4或-5
【题型六】根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息
【典例6】（24-25九年级上·山东青岛·期末）抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1，部分图象如图
所示．下列判断中：①abc>0；②b2-4ac>0；③9a-3b+c=0；④若点(-0.5,y ),(-2,y₂)均在
1
抛物线上，则y >y ；⑤5a-2b<0．其中正确的个数有（ ）
1 2A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1】（24-25九年级上·广东茂名·期末）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示．下列结论：
①abc<0；②b2-4ac>0；③2a+b=0；④3a+c>0；⑤4a-2b+c>0．其中正确结论的个数有
（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式2】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）丽从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，观察
得出了下面五条信息：①c<0；②abc>0；③a-b+c>0；④2a-3b=0；⑤4a+2b+c>0．你认为
其中正确信息的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式3】（24-25九年级上·北京·期中）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列说法正
确的是（ ）①abc>0；②a-b+c=0；③2a+b=0；④若ax2+bx+c-k=0有两个实数根，则k≤4；⑤
am2+bm≤a+b．
A．②③④⑤ B．①②③④ C．③④⑤ D．①②④⑤
【题型七】二次函数与一次函数的图像问题
【典例7】在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+1与y=ax2+bx+1(a≠0)的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=-ax2+bx+c的图象可能为
（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b的图象和二次函数y=bx2+ax的图象可能是 ( )A． B．
C． D．
【题型八】二次函数的平移变换
【典例8】（24-25九年级上·全国·阶段练习）将抛物线y=-2x2向右平移3个单位长度，再向上平移5个
单位长度，所得的抛物线为（ ）
A．y=-2(x-5) 2+3 B．y=-2(x-3) 2+5
C．y=-2(x-3) 2-5 D．y=-2(x+5) 2-3
【变式1】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）抛物线y=-7(x+3) 2+1可以由抛物线y=-7x2平移得到，则
下列平移过程正确的是（ ）
A．先向左平移3个单位，再向上平移1个单位
B．先向右平移3个单位，再向上平移1个单位
C．先向左平移1个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移3个单位
【变式2】（24-25九年级上·全国·阶段练习）将抛物线y=-2x2向右平移3个单位长度，再向上平移5个
单位长度，所得的抛物线为（ ）
A．y=-2(x-5) 2+3 B．y=-2(x-3) 2+5
C．y=-2(x-3) 2-5 D．y=-2(x+5) 2-3
【变式3】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）抛物线y=-7(x+3) 2+1可以由抛物线y=-7x2平移得到，则
下列平移过程正确的是（ ）A．先向左平移3个单位，再向上平移1个单位
B．先向右平移3个单位，再向上平移1个单位
C．先向左平移1个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移3个单位
【题型九】二次函数的交点综合问题
【典例9】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线y=-2x2+8x-6与x轴交于点A、B，把
抛物线在x轴及其上方的部分记作C ，将C 向右平移得C ，C 与x轴交于点B，D．若直线
1 1 2 2
y=2x+m与C 、C 共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
1 2
15 7
A．-3<m<- B．-3<m<-
8 4
11
C．-3<m<-2 D．-6<m<-
2
【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）已知二次函数y=-x2+x+6，将该二次函数在x轴上方的图
象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图象（如图所示），当直线
y=x+m与新图象有3个或4个交点时，m的取值范围是（ ）
25 25
A．- ≤m≤-2B．- ≤m≤-3 C．-6≤m≤-2 D．-7≤m≤-3
4 4
【变式2】（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，抛物线y=-x2+12x-35与x轴交于A、B两点，把抛
物线在x轴及其上方的部分记作C ，将C 向左平移得到C ，C 与x轴交于B，D两点，若直线
1 1 2 2
y=-x+m与C ，C 共有3个不同的交点，则m的取值范围是 ．
1 2【题型十】二次函数与x轴交点问题
【典例10】（24-25九年级上·全国·期末）已知抛物线y=2x2+6x-m与x轴的一个交点的坐标为(1,0)，
则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 ．
【变式1】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）抛物线y=2x2-4x+c与x轴的一个交点坐标为(3,0)，
则c= ．
【变式2】抛物线y=ax❑ 2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，已知此抛物线与x轴的一个交点坐标为
(4,0)，抛物线的对称轴是直线x=1，则抛物线与x轴的另一个交点坐标是（ ）
A．(-4,0) B．(-3,0) C．(-5,0) D．(-2,0)
【题型十一】二次函数与不等式
【典例11】如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x=-1，与x轴的一个交点为(-5,0)，则
不等式ax2+bx+c<0的解集为 ．
【变式1】抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，且抛物线经过点A(-1,0)，对称轴是直线x=1，则
当y>0时，x的取值范围是 ．【变式2】如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-3,6)，B(1,3)，则不等式
ax2≥bx+c的解集是 ．
【变式3】二次函数y =ax2+bx+c与一次函数y =mx+c的图象如图所示，则满足ax2+bx>mx的x的取
1 2
值范围为 ．
【题型十二】二次函数的应用-图形问题
【典例12】（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，为了美化环境，刘大爷准备利用自家墙外的空地种植
3种不同的花卉，墙的最大可用长度是25m，现有长为100m的篱笆，计划靠着院墙围成一个中间有两
道隔栏的矩形花圃．
(1)若要围成总面积为400m2的花圃，边AB的长应是多少？
(2)当AB为多少米时，花圃的面积最大？
【变式1】（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形试验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗．设矩形试验田与墙垂直的一
边长为x（单位：m），面积为S（单位：m2）．
(1)求S与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(2)当x= m时，矩形试验田的面积最大，最大面积是 m2．
【变式2】（2023·陕西·中考真题）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱
门的跨度与拱高之积为48m2，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个
设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度ON=12m，拱高PE=4m其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE=EN．
方案二，抛物线型拱门的跨度ON'=8m，拱高P'E'=6m其中，点N'在x轴上，
P'E' ⊥O'N' ，O'E'=E'N'．
要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架
ABCD的面积记为S ，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A'B'C'D'的面积
1
记为S ，点A' ，D'在抛物线上，边B'C'在ON'上，现知，小华已正确求出方案二中，当A'B'=3m时，
2
S =12❑√2m2 ，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
2
(1)求方案一中抛物线的函数表达式；
(2)在方案一中，当AB=3m时，求矩形框架ABCD的面积S 并比较S ，S 的大小．
1 1 2【题型十三】二次函数的应用-图形运动问题
【典例13】（2025·吉林松原·三模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=BC，AB=8．动点P从点
A出发，沿AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AB与△ABC的直角边相交
于点D，延长PD至点Q，使得QD=PD，以PQ、PA为边作矩形PQMA．设矩形PQMA与△ABC
重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒(t>0)．
(1)当PQ=AB时，求t的值；
1
(2)当PQ= AB时，求t的值；
2
(3)求S与t之间的函数关系式．
【变式1】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，点E在BC边上，
且BE=6，点P从点B出发，沿B→A→D→C运动，速度为每秒2个单位；点Q从点B出发，沿
B→E方向运动，速度为每秒1个单位，点Q到达点E时停止运动．两个点同时出发，点P的运动时
间为x秒，且0<x<8．在运动过程中，△BPQ的面积为y．
(1)求出y与x的函数解析式，并在所给的坐标系中画出函数y的图象；
(2)结合图象，写出函数y的一条性质；
(3)根据图象直接写出当y≥4时，自变量x的取值范围．（误差不超过0.2）【变式2】（2025·江苏扬州·一模）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=12，动点E、F同
时从点A出发，分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动，且速度相等，当点E停止运动时，点F也
随之停止运动，连接EF，以EF为边向下作正方形EFGH，设点E运动的路程为x(0<x<12)，正方
形EFGH和等腰Rt△ABC重合部分的面积为y．
(1)当x=2时，y=_______；当x=8时，y=_______；
(2)求点E在整个运动过程中y的最大值．
【题型十四】二次函数的应用-拱桥问题
【典例14】如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线的一
部分，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若有一艘船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形，船比水面AB高出3m，当船的宽度小于多少米时，
船能安全穿过桥洞．（船舱顶部矩形的宽所在的边始终与AB平行）
1
【变式1】如图是根据某拱桥形状建立的直角坐标系，从中得到函数y=- x2 ．在正常水位时水面宽
25
AB=30m，当水位上升5m时，水面宽CD=（ ）A．8m B．10m C．15m D．20m
【变式2】根据以下素材，探索完成任务．
设计彩虹桥中彩色灯带的悬挂方
图1是一座隐藏在漳州城市中的“彩虹
桥”，也是近年来比较热门的网红打卡
点，它由200多个铁架和2400多个灯
笼组成．
如图2，每个铁架的横截面可以分为3
段，其中AB、CD是固定支架，分别
素材一 与地面BD垂直，主体支架可近似看作
一段抛物线，最高点离地面BD的距离
43
是 m，BD=4m，AB=CD=2.5m
14
．
由于灯笼颜色比较单一，街道准备把灯
笼替换成长度为0.25m的彩色灯带，沿
抛物线（主体支架）安装（如图3），
素材二 且相邻两条灯带安装点的水平间距为
0.4m．为了安全起见，灯带底部与地
面的距离不低于2.5m．灯带安装好后
成轴对称分布．
问题解决
确定主体支架的形状 请在图2中以点A为原点建立平面
任务一 直角坐标系，并求出抛物线的解析
式．
探究安装范围 在安全前提下，在任务一的坐标系
任务二 中，确定灯带安装点的横坐标取值
范围．
拟定设计方案 在同一个横截面下，最多能安装几
任务三 条灯带？并求出此时最右边灯带安
装点的坐标．
【题型十五】二次函数的应用-销售问题
【典例15】（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）“秋风起，吃腊味”是广东地区的习俗之一，东莞某腊
肠店销售A，B两类腊肠．A类腊肠进价50元/件，B类腊肠进价60元/件．已知购买1件A类腊肠和1件B类腊肠需132元，购买3件A类腊肠和5件B类腊肠需540元．
(1)求A类腊肠和B类腊肠每件的售价各是多少元？
(2)A类腊肠供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出
10件（每件售价不低于进价）．设每件A类腊肠降价x元，每天的销售量为y件，请直接写出y与x
的函数关系式，以及自变量x的取值范围．
(3)在（2）的条件下，设该店每天销售A类腊肠的利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件
A类腊肠降价多少元时利润w最大，最大利润是多少元？
【变式1】（24-25九年级上·天津静海·阶段练习）某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试
销发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系．
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)如果商场销售这种商品，每天要获得1500元利润，那么每件商品的销售价应定为多少元？
(3)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将销售价定为多少，来
保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？
【变式2】（24-25九年级上·河南郑州·期末）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出．每月能售出600
个．按商场管理规定，售价在40元至60元范围内．调查发现，在该范围内，这种台灯的售价每上涨1
元，其销售量就减少10个．
(1)为了实现每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？解：假设售价为x元，则每月台灯的销售量为______个，每个台灯的利润为______元．(用含x的代数
式表示，并完成解答)
(2)要使每月的销售利润最大，售价应定为多少？请说明原因．
【题型十六】二次函数的应用-投球问题
【典例16】打乒乓球是一项有氧运动，能提升反应速度、增强体力、释放压力、改善视力……乒乓球桌的
标准长度为274cm，小浩从球桌边沿正上方A击打乒乓球向正前方运动，乒乓球的运动路线近似是抛
物线的一部分．以球桌面所在直线为x轴、OA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，乒乓
球击打后的竖直高度y（单位：cm）与水平距离x（单位：cm）近似满足函数关系
y=-0.002(x-107) 2+24.2．
(1)此次击打乒乓球运行的最大竖直高度是多少？
(2)击打后乒乓球能过球桌正中间的网（网高15.25cm），并落到对方桌面上，算击打成功．请你通过
计算，判断这次乒乓球击打是否成功．
【变式1】如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系式
1 2 5
为：y=- x2+ x+ ．有下列结论；
12 3 3①该男生推铅球出手时，铅球的高度为1.6m；
②铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为3m；
③铅球落地时的水平距离为10m．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式2】再一次校运会上，一名男同学仍铅球时，其运动轨迹为如图所示的一条抛物线，已知仍出铅球
时，铅球距离男同学的水平距离长为x（单位：m），距离地面高度为y（单位：m）满足下表关系：.
x 0 1 2 3 4
1. 1. 2. 2. 2.
y
4 9 2 3 2
(1)求出铅球的运动轨迹的解析式；
(2)若铅球落地的沙坑低于水平面EF=0.2m，沙坑边缘EF与男同学的距离OE=5m，计算裁判员测量
的铅球落地位置G到F的距离；
(3)为了使铅球抛出距离更远，该男同学计划让铅球扔出后，达到的最大高度在B的下方0.7m米处，
试计算说明，该男同学的抛出的铅球距离是增大还是减少？增大（或减少）多少．
【题型十七】二次函数的应用-喷水问题
【典例17】（2024·陕西·中考真题）某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人
喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点A和点B是
一个柱形喷泉装置OB上的两个喷头，A喷头喷出的水流的落地点为C．以O为原点，以OC所在直线
为x轴，OB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计）
已知：OA=1m，OB=2m，OC=3m，从A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y(m)与水平距离x(m)
1 1
之间的关系式分别是y=- x2+bx+c和y=- x2+bx+c' ．
3 3
(1)求A喷头喷出的水流的最大高度；
(2)一名游人站在点D处，OD=4m．当围观游人喊声较大时，B喷头喷出的水流是否会落在该游人所
站的点D处？
【变式1】（23-24九年级下·陕西榆林·开学考试）如图1是洒水车为绿化带浇水的场景．洒水车喷水口H
离地竖直高度OH为1.2m，喷出的水的上、下边缘近似的看作两条抛物线，下边缘抛物线是由上边缘
抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m．把绿化
带横截面抽象为矩形DEFG，绿化带的水平宽度DE=3m， 竖直高度EF=0.6m．洒水车到绿化带的
距离OD为d（单位：m），建立如图2所示的平面直角坐标系．
(1)求上边缘抛物线的函数解析式；
(2)此时，距喷水口水平距离为5.5米的地方正好有一个行人经过，试判断该行人是否会被洒水车淋到
水？并写出你的判断过程．
【变式2】（24-25九年级上·河南商丘·期中）水火箭（图1）又称气压式喷水火箭、水推进火箭，是用废弃的饮料瓶制作而成的一种玩具，水火箭科技含量高，寓教于乐，深受广大青少年喜爱．如图2，该
型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度y（m）与离发射
点O的水平距离x（m）呈抛物线模型，已知当水平距离为15米时，水火箭距离地面的竖直高度最大，
为9米．
(1)请确定抛物线的表达式；
(2)请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为10 m时，距离地面的竖直高度．
【题型十八】二次函数的应用-其他问题
【典例18】（24-25九年级上·广东湛江·期末）某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是
他们走进汽车研发中心考察．
【知识背景】“道路千万条，安全第一条”．汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段
距离称为刹车距离．
【探究发现】汽车研发中心设计一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它
的刹车性能进行测试，数学小组收集、整理数据，并绘制函数图象．
发现：开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶时间t（单位：s）之间成二次函数关系，函
数图象如图所示．
【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题：
(1)求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)若在汽车前60m处，有一测速仪，当汽车刹车过程中，经过多少时间，汽车超过测速仪12m；
(3)若汽车司机发现正前方80m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由．
【变式1】（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）【项目式学习】
项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”．
项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的
关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一
步应用．
实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点A处开
始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间x（单位：s）、运动速度v（单位：
cm/s）、滑行距离y（单位：cm）的数据．任务一：数据收集记录的数据如下：
运动时间x/s 0 2 4 6 8 10 …
运动速度 10 9 8 7 6 5 …
v/(cm/s)
滑行距离 0 1 36 51 6 75 …
y/cm 9 4
任务二：观察分析
（1）根据v，y随x的变化规律，从所学的三种函数模型（一次函数、反比例函数、二次函数）中，
选择适当的函数模型，分别求出v，y与x满足的函数关系式；（不用写出自变量的取值范围）
任务三：问题解决
（2）当小球在水平木板上停下来时，求小球的滑动距离；
（3）当小球到达木板上点A的同时，在点A的前方ncm处有一辆电动小车，以4cm/s的速度匀速向
右直线运动，若小球不能撞上小车，求n的取值范围．
【变化2】（24-25九年级上·广东中山·期中）图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体DEC呈抛物线状
（碗体厚度不计），碗口宽CD=12cm，此时面汤最大深度EG=8cm．(1)当面汤的深度ET为4cm时，求此时汤面的直径PQ的长；
(2)如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABM=45°时停止，求此时碗中液面宽度CH
的长．
【题型十九】二次函数的综合-面积问题
【典例19】如图，对称轴为x=-1的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐
标为(-3,0)．
(1)求点B的坐标．
(2)已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．
①若点P在抛物线上，且S =4S ，求点P的坐标．
△POC △BOC
②设点Q是线段AC上的一动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，试问△ADC是否存在最大值，若不
存在，说明理由；若存在，求出此时D点的坐标和△ADC面积的最大值．
【变式1】如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知B(2,0)，C(0,6)．(1)求抛物线的解析式；
(2)第二象限内的点P在该抛物线上，求△APC面积的最大值．
【变式2】如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B(2,0)，C(0,6)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得△APC的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标
和△APC的面积最大值；若不存在，请说明理由．
【题型二十】二次函数的综合-线段周长问题
【典例20】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx(a<0)与正比例函数y=kx的图象都经过点
A(3,3)，点P为二次函数图象上点O与点A之间的一点，过点P作x轴的垂线，交OA于点C，交x轴于
点D．若点A为该二次函数的顶点，
(1)求二次函数的表达式；
(2)求线段PC长度的最大值．【变式1】如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点A(6,0)，与y轴交于点B(0,-6)，抛物线经过
点A，B，且对称轴是直线x=1．
(1)求直线l的解析式；
(2)求抛物线的解析式；
(3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，交直线l于点D，求线段PD的
最大值．
【变式2】如图，抛物线y=-x2+bx+c交x轴于点A(-3,0)和点B，交y轴于点C(0,3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M为该抛物线对称轴上的一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标．
【题型二十一】二次函数的综合-角度问题1 1
【典例21】如图，直线y= x+c与x轴交于点B(4,0)，与y轴交于点C，抛物线y= x2+bx+c经过点
2 2
B，C，与x轴的另一个交点为A．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线BC下方抛物线上一动点，求四边形ACPB面积最大时点P的坐标；
(3)若M是抛物线上一点，且∠MCB=∠ABC，请直接写出点M的坐标．
【变式1】二次函数y=ax2+bx+4(a≠0)的图象经过点A(-4,0)，B(1,0)，与y轴交于点C，点P为第二
象限内抛物线上一点，连接BP、AC交于点Q，过点P作PD⊥x轴于点D．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1，连接BC，当∠DPB=2∠BCO时，求直线BP的解析式；【变式2】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，y轴
交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线PE交直线BC于点E，过点
P作x轴的平行线PF交直线BC于点F，求△PEF面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，连接AC，BC，抛物线上是否存在点Q，使∠CBQ+∠ACO=45°？若存在，请直接写
出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型二十二】二次函数的综合-特殊三角形问题
【典例22】如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+3分别交x轴，y轴于A，B两点，经过A，B
两点的抛物线y=-x2+bx+c与x轴的负半轴相交于点C(-1,0)．
(1)求抛物线的解析式和直线BC的解析式；
(2)如图2，点P为线段AB上的点，且点P的横坐标为m，过P作y轴的平行线交抛物线于M，连接
BM．
①当△PBM是MP为腰的等腰三角形时，求MP的长；
②若抛物线顶点D在以PM、PB为邻边的平行四边形的形内（不含边界），求m的取值范围．1
【变式1】如图，拋物线y=- x2+mx+n交x轴于点A(-4,0)和点B，交y轴于点C(0,2)
2
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)设点N是线段AC上的一动点，作DN⊥x轴，交抛物线于点D，是否存在点N，使得四边形
DNOC是平行四边形，如果有，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由
(3)x轴上，是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请
说明理由．
【变式2】如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)点E为直线BC上的任意一点，过点E作x轴的垂线与此抛物线交于点F．
①若点E在第一象限，连接CF、BF，求△CFB面积的最大值；
②此抛物线对称轴与直线BC交于点D，连接DF，若△DEF为直角三角形，请直接写出E点坐标．【题型二十三】二次函数的综合-特殊四边形
【典例23】如图，已知二次函数y=(x+2) 2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
(1)求点A、B的坐标；
(2)求S ；
△AOB
(3)求对称轴方程；
(4)在对称轴上是否存在一点P，使以P、A、O、B为顶点的四边形为平行四边形？
【变式1】如图，抛物线y=ax2+bx-4交x轴于点A(-2,0)和点B(4,0)，交y轴于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点P是直线BC下方抛物线上一动点，连接PC,PB，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标及
面积的最大值；
(3)在（2）的条件下，若点N是直线BC上的动点，在平面内的是否存在点Q，使得以PB为边、以
P、B、N、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有Q点的坐标:若不存在，请说明
理由．【变式2】如图1，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A(-3,0)和B(1,0)两点，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)P是抛物线上，位于直线AC上方的一个动点，过点P作PD⊥AC于点D，求P坐标为何值时PD
最大，并求出最大值；
(3)如图②，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y'，y'与原抛物线相交于点M，点N为原抛
物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩
形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型01 ：根据二次函数的定义求参数】
1．（24-25九年级上·广东惠州·期中）若函数y=(m-1)x¿¿是关于x的二次函数，则m=（ ）
A．-1 B．1 C．1或-1 D．2
2．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）已知y=(a+1)xa2+1+3x-6是二次函数，则a=（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．1或-1
【题型02 ：根据二次函数的自变量取值范围求函数值取值范围】
1．（24-25九年级上·广东阳江·阶段练习）二次函数y=(x-1) 2+7，当-2<x<2时，y的取值范围为
．
2．（24-25九年级上·河南三门峡·阶段练习）当-3≤x≤1时，二次函数y=-2x2+1中y的取值范围是
．
【题型03 ：根据二次函数的增减性求参数取值范围】1．（24-25九年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）已知二次函数y=x²-2mx，当x<1时，y随x的增大而
减小，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．m>1 C．m<1 D．m≤1
【题型04：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题】
1．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）已知抛物线y=(x-m) 2-2（m为常数），当1≤x≤3时，其对
应的函数值最小为7，则m的值为（ ）
A．4 B．-2 C．-1或4 D．-2或6
2．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数y=x2-2x(-1≤x≤t)，当x=-1时，函数取得最大值；
当x=1时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A．-1<t≤1 B．-1<t≤3 C．t≥1 D．1≤t≤3
【题型05：二次函数与一次函数图像的综合】
1．（2025九年级上·浙江·专题练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数
y=a(x+c) 2的图象大致为( )
A． B．
C． D．
2．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+1与
y=ax2+bx+1(a≠0)的图像可能是（ ）A． B． C． D．
【题型06：根据交点确定不等式的解集】
1．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，已知二次函数y =ax2+bx+c(a≠0)与一次函数
1
y =kx+b(k≠0)的图象相交于点A(-2,4)，B(8,2)，则ax2+bx+c<kx+b的解集是 ．
2
2．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c的部分图象交坐标轴于点A(-1,0)，
B(0.3)，对称轴为x=1．则当y>0时，x的取值范围是 ．
题型1二次函数的图象与性质
1.对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象：
b b 4ac−b2
x=− (− ， )
2a 2a 4a
形状：抛物线； 对称轴：直线 ；顶点坐标： ；
2、抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y随x的增大而增大（或减小）是
不对的，必须在确定a的正负后，附加一定的自变量x取值范围；3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最值
都是定点坐标的纵坐标。
题型2 二次函数图象与几何变换
1.、二次函数的几何变化，多考察其平移规律，对应方法是：
①将一般式转化为顶点式；②根据口诀“左加右减，上加下减”去变化。
2、二次函数一般式往顶点式转化，可以用顶点公式转化，也可以用配方法
题型3 二次函数图象与系数的关系
二次函数图象与系数a、b、c的关系
a的特征与作用 b的特征与作用(a与b“左同右 c的特征与作用
异”）
a＞0⇔抛物线开口向上 a⋅b＞0⇔对称轴在y轴的左侧 c＞0⇔抛物线与y轴的正半轴相交
a＜0⇔抛物线开口向下 a⋅b＜0⇔对称轴在y轴的右侧 c=0⇔抛物线与原点相交
|a|越大，抛物线开口越窄 b=0⇔对称轴为y轴 c＜0⇔抛物线与y轴的负半轴相交
2、二次函数图象题符号判断类问题大致分为以下几种基本情形∶
①a、b、c单个字母的判断，a 由开口判断，b由对称轴判断（左同右异），c由图象与y轴交点判
断;
②含有a、b两个字母时，考虑对称轴;
③含有a、b、c三个字母，且a 和b系数是平方关系，给x取值，结合图像判断，
例如∶二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），
当x=1时，y=a+b+c，
当x=-1时，y=a-b+c，
当x=2时，y=4a+2b+c
当x=-2 时，y=4a-2b+c;
另：含有 a、b、c 三个字母，a和b系数不是平方关系，想办法消掉一到两个字母再判断∶
④含有b2和 4ac，考虑顶点坐标，或考虑△.
⑤其他类型，可考虑给x取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图像增减性进行判断。
题型4 抛物线与x轴交点问题
1、求抛物线与x轴的交点，就是让抛物线解析式的y=0，就得到了一元二次方程，而①一元二次方程的解
法、②根的判别式、③根与系数的关系等性质也就分别对应①抛物线与x轴交点横坐标、②交点个数、③
交点横坐标与其对称轴的关系的考点；
2、求抛物线与直线的交点时，联立抛物线与直线的解析式，得新的一元二次方程时，上述结论与用法大
多依然适用，使用时注意联想和甄别。
题型5 二次函数与不等式1、当抛物线与x轴相交、与直线相交时，只要有交点，就可以接着考察两图象的上下关系，进而得不等式，
根据图象直接写出不等式的解集。
2、由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中不等号开口朝
向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范围
题型6 利用二次函数的性质求最值
1、利用二次函数的性质求解最值多出现在销售问题中，利用二次函数解决销售中最大利润问题一般步骤
如下：
①设自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入
②用含自变量的代数式表示销售商品成本
③用含自变量的关系式分别表示销售利润，根据销售利润=单件利润×销售量，得到函数
表达式
④根据函数表达式求出最值及取得最值时的自变量的值
2.利润最大化问题与二次函数模型
牢记两公式：①单位利润=售价-进价；
②总利润=单件利润×销量；
谨记两转化：①销量转化为售价的一次函数；
②总利润转化为售价的二次函数；
函数性质的应用：常利用二次函数的性质求出在自变量取值范围内的函数最值；
