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专题 02 二次函数（9 知识&23 题型&6 易错&6 方法清单）【清单01】 二次函数的概念
一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
【清单02】二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．
（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．
（3）交点式：y=a（x–x）（x–x），其中x，x 是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．
1 2 1 2
【清单03】二次函数的图象与性质
二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，
图象特征
对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.
基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c
y y y y
y
h>0,k>0
a>0 k>0
h<0 h>0
x x x x x
O O O O h<0,k<0 O
图
象 y
y y
y y h<0,k>0
x x x x
O O
a<0 O k<0 h<0 O h>0
h>0,k<0
x
O
b
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x=-
2a
b 4ac-b2
顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (- ， )
2a 4a
a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值；
最
值
a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值.4ac-b2
【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或 ）.
4a
增 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大.
减
性 a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小.
【清单04】二次函数的图象变换
1）二次函数的平移变换
平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀
向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加
向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减
向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加
向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减
2）二次函数图象的翻折与旋转
变换前 变换方式 变换后 口诀
绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变
y=a(x-h)²+k
绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号
沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变
沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号
【清单05】二次函数的对称性问题
抛物线的对称性的应用，主要体现在：1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标；
2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴.
解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对
x +x
称轴可表示为直线x= 1 2 .
2
解题技巧：
b
1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=- 的差的绝对值相等；
2a
b
2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=- 对称；
2a
3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图
象于x轴对称.
【清单06】二次函数的最值问题
自变量取值范围 图象 最大值 最小值
b
y 当x= - 时，二次函数
2a
x 4ac-b2
a>0 取得最小值
O 4a
全体实数
b
y 当x= - 时，二次函数
2a
4ac-b2
a<0 取得最大值
x 4a
O
当x=x2时，二次函数取 b
y 当x= - 时，二次函数
得最大值y2 2a
y
2
4ac-b2
x 取得最小值
4a
x O x
1 2y
当x=x1时，二次函数取
当x= -
b
时，二次函数
得最大值y1 2a
y
1 4ac-b2
x 取得最小值
x x 4a
1 2
x1≤x≤x2 a>0
y
2
当x=x2时，二次函数取 当x=x1时，二次函数取
y
得最大值y2 得最小值y1
x
1 x
O x
2
y
2
y
1
【清单07】二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.一元二次方程
的解就是二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标. 因此，二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程
根的情况.
与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0的根 判别式Δ=b2-4ac
2个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0
1个交点 有一个不相等的实数根 b2-4ac=0
0个交点 没有实数根 b2-4ac<0
【清单08】二次函数与不等式的关系:
b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
图象 y y y
x
x O x
1 2 x x
O x (x ) O
1 2
与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点ax2＋bx＋c>0 xx2 b 取任意实数
-
x≠
2a
的解集情况
ax2＋bx＋c<0 x1y B．y ≥ y C．y 0)个单位，则CD与AB之间的关系
是（ ）
A．CD=2AB B．随着直线y=4向上平移，CD>2AB
C．随着直线y=4向上平移，CD<2ABD．无法判断
【变式2】如图，在平面直角坐标系中、抛物线y=x2上已知A的坐标为(1,1)．过点A作A A ∥x轴交抛
1
物线于点A ，过点A 作A A ∥OA交抛物线于点A ，过点A 作A A ∥x轴交抛物线于点A ．过
1 1 1 2 2 2 2 3 3
点A 作A A ∥OA交抛物线于点A ，……依此规律进行下去，例点A 的坐标为 ．
3 3 4 4 2001
【题型四】二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质
【典例4】已知二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表：
x … -2 0 1 3 5 …y … 5 -3 -4 0 12 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．a-b+c=1 B．函数图象开口向下
C．当x>0时，y随x的增大而减小 D．y的最小值是-4
【变式1】抛物线y=-x2-4x+m的对称轴为（ ）．
A．直线x=-2 B．直线x=2 C．直线x=4 D．直线x=-4
【变式2】二次函数y=ax2+4ax-5a(a>0)与x轴交于M,N两点（点M在点N左侧），则点M的坐标为
（ ）
A．(-5,0) B．(-4,0) C．(-1,0) D．(1,0)
【变式3】已知点(-1,y )，(1,y )，(4,y )都在抛物线y=-x2+2x+c上，则y ，y ，y 的大小关系是
1 2 3 1 2 3
（ ）
A．y 0；②b2-4ac>0；③9a-3b+c=0；④若点(-0.5,y ),(-2,y₂)均在
1
抛物线上，则y >y ；⑤5a-2b<0．其中正确的个数有（ ）
1 2A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1】（24-25九年级上·广东茂名·期末）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示．下列结论：
①abc<0；②b2-4ac>0；③2a+b=0；④3a+c>0；⑤4a-2b+c>0．其中正确结论的个数有
（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式2】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）丽从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，观察
得出了下面五条信息：①c<0；②abc>0；③a-b+c>0；④2a-3b=0；⑤4a+2b+c>0．你认为
其中正确信息的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式3】（24-25九年级上·北京·期中）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列说法正
确的是（ ）①abc>0；②a-b+c=0；③2a+b=0；④若ax2+bx+c-k=0有两个实数根，则k≤4；⑤
am2+bm≤a+b．
A．②③④⑤ B．①②③④ C．③④⑤ D．①②④⑤
【题型七】二次函数与一次函数的图像问题
【典例7】在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+1与y=ax2+bx+1(a≠0)的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=-ax2+bx+c的图象可能为
（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b的图象和二次函数y=bx2+ax的图象可能是 ( )A． B．
C． D．
【题型八】二次函数的平移变换
【典例8】（24-25九年级上·全国·阶段练习）将抛物线y=-2x2向右平移3个单位长度，再向上平移5个
单位长度，所得的抛物线为（ ）
A．y=-2(x-5) 2+3 B．y=-2(x-3) 2+5
C．y=-2(x-3) 2-5 D．y=-2(x+5) 2-3
【变式1】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）抛物线y=-7(x+3) 2+1可以由抛物线y=-7x2平移得到，则
下列平移过程正确的是（ ）
A．先向左平移3个单位，再向上平移1个单位
B．先向右平移3个单位，再向上平移1个单位
C．先向左平移1个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移3个单位
【变式2】（24-25九年级上·全国·阶段练习）将抛物线y=-2x2向右平移3个单位长度，再向上平移5个
单位长度，所得的抛物线为（ ）
A．y=-2(x-5) 2+3 B．y=-2(x-3) 2+5
C．y=-2(x-3) 2-5 D．y=-2(x+5) 2-3
【变式3】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）抛物线y=-7(x+3) 2+1可以由抛物线y=-7x2平移得到，则
下列平移过程正确的是（ ）A．先向左平移3个单位，再向上平移1个单位
B．先向右平移3个单位，再向上平移1个单位
C．先向左平移1个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移3个单位
【题型九】二次函数的交点综合问题
【典例9】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线y=-2x2+8x-6与x轴交于点A、B，把
抛物线在x轴及其上方的部分记作C ，将C 向右平移得C ，C 与x轴交于点B，D．若直线
1 1 2 2
y=2x+m与C 、C 共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
1 2
15 7
A．-30时，x的取值范围是 ．【变式2】如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-3,6)，B(1,3)，则不等式
ax2≥bx+c的解集是 ．
【变式3】二次函数y =ax2+bx+c与一次函数y =mx+c的图象如图所示，则满足ax2+bx>mx的x的取
1 2
值范围为 ．
【题型十二】二次函数的应用-图形问题
【典例12】（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，为了美化环境，刘大爷准备利用自家墙外的空地种植
3种不同的花卉，墙的最大可用长度是25m，现有长为100m的篱笆，计划靠着院墙围成一个中间有两
道隔栏的矩形花圃．
(1)若要围成总面积为400m2的花圃，边AB的长应是多少？
(2)当AB为多少米时，花圃的面积最大？
【变式1】（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形试验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗．设矩形试验田与墙垂直的一
边长为x（单位：m），面积为S（单位：m2）．
(1)求S与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(2)当x= m时，矩形试验田的面积最大，最大面积是 m2．
【变式2】（2023·陕西·中考真题）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱
门的跨度与拱高之积为48m2，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个
设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度ON=12m，拱高PE=4m其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE=EN．
方案二，抛物线型拱门的跨度ON'=8m，拱高P'E'=6m其中，点N'在x轴上，
P'E' ⊥O'N' ，O'E'=E'N'．
要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架
ABCD的面积记为S ，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A'B'C'D'的面积
1
记为S ，点A' ，D'在抛物线上，边B'C'在ON'上，现知，小华已正确求出方案二中，当A'B'=3m时，
2
S =12❑√2m2 ，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
2
(1)求方案一中抛物线的函数表达式；
(2)在方案一中，当AB=3m时，求矩形框架ABCD的面积S 并比较S ，S 的大小．
1 1 2【题型十三】二次函数的应用-图形运动问题
【典例13】（2025·吉林松原·三模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=BC，AB=8．动点P从点
A出发，沿AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AB与△ABC的直角边相交
于点D，延长PD至点Q，使得QD=PD，以PQ、PA为边作矩形PQMA．设矩形PQMA与△ABC
重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒(t>0)．
(1)当PQ=AB时，求t的值；
1
(2)当PQ= AB时，求t的值；
2
(3)求S与t之间的函数关系式．
【变式1】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，点E在BC边上，
且BE=6，点P从点B出发，沿B→A→D→C运动，速度为每秒2个单位；点Q从点B出发，沿
B→E方向运动，速度为每秒1个单位，点Q到达点E时停止运动．两个点同时出发，点P的运动时
间为x秒，且01 C．m<1 D．m≤1
【题型04：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题】
1．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）已知抛物线y=(x-m) 2-2（m为常数），当1≤x≤3时，其对
应的函数值最小为7，则m的值为（ ）
A．4 B．-2 C．-1或4 D．-2或6
2．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数y=x2-2x(-1≤x≤t)，当x=-1时，函数取得最大值；
当x=1时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A．-10时，x的取值范围是 ．
题型1二次函数的图象与性质
1.对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象：
b b 4ac−b2
x=− (− ， )
2a 2a 4a
形状：抛物线； 对称轴：直线 ；顶点坐标： ；
2、抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y随x的增大而增大（或减小）是
不对的，必须在确定a的正负后，附加一定的自变量x取值范围；3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最值
都是定点坐标的纵坐标。
题型2 二次函数图象与几何变换
1.、二次函数的几何变化，多考察其平移规律，对应方法是：
①将一般式转化为顶点式；②根据口诀“左加右减，上加下减”去变化。
2、二次函数一般式往顶点式转化，可以用顶点公式转化，也可以用配方法
题型3 二次函数图象与系数的关系
二次函数图象与系数a、b、c的关系
a的特征与作用 b的特征与作用(a与b“左同右 c的特征与作用
异”）
a＞0⇔抛物线开口向上 a⋅b＞0⇔对称轴在y轴的左侧 c＞0⇔抛物线与y轴的正半轴相交
a＜0⇔抛物线开口向下 a⋅b＜0⇔对称轴在y轴的右侧 c=0⇔抛物线与原点相交
|a|越大，抛物线开口越窄 b=0⇔对称轴为y轴 c＜0⇔抛物线与y轴的负半轴相交
2、二次函数图象题符号判断类问题大致分为以下几种基本情形∶
①a、b、c单个字母的判断，a 由开口判断，b由对称轴判断（左同右异），c由图象与y轴交点判
断;
②含有a、b两个字母时，考虑对称轴;
③含有a、b、c三个字母，且a 和b系数是平方关系，给x取值，结合图像判断，
例如∶二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），
当x=1时，y=a+b+c，
当x=-1时，y=a-b+c，
当x=2时，y=4a+2b+c
当x=-2 时，y=4a-2b+c;
另：含有 a、b、c 三个字母，a和b系数不是平方关系，想办法消掉一到两个字母再判断∶
④含有b2和 4ac，考虑顶点坐标，或考虑△.
⑤其他类型，可考虑给x取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图像增减性进行判断。
题型4 抛物线与x轴交点问题
1、求抛物线与x轴的交点，就是让抛物线解析式的y=0，就得到了一元二次方程，而①一元二次方程的解
法、②根的判别式、③根与系数的关系等性质也就分别对应①抛物线与x轴交点横坐标、②交点个数、③
交点横坐标与其对称轴的关系的考点；
2、求抛物线与直线的交点时，联立抛物线与直线的解析式，得新的一元二次方程时，上述结论与用法大
多依然适用，使用时注意联想和甄别。
题型5 二次函数与不等式1、当抛物线与x轴相交、与直线相交时，只要有交点，就可以接着考察两图象的上下关系，进而得不等式，
根据图象直接写出不等式的解集。
2、由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中不等号开口朝
向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范围
题型6 利用二次函数的性质求最值
1、利用二次函数的性质求解最值多出现在销售问题中，利用二次函数解决销售中最大利润问题一般步骤
如下：
①设自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入
②用含自变量的代数式表示销售商品成本
③用含自变量的关系式分别表示销售利润，根据销售利润=单件利润×销售量，得到函数
表达式
④根据函数表达式求出最值及取得最值时的自变量的值
2.利润最大化问题与二次函数模型
牢记两公式：①单位利润=售价-进价；
②总利润=单件利润×销量；
谨记两转化：①销量转化为售价的一次函数；
②总利润转化为售价的二次函数；
函数性质的应用：常利用二次函数的性质求出在自变量取值范围内的函数最值；
