文档内容
专题 05 圆重难点题型汇编
【题型01 ：垂径定理及应用】..................................................................................................1
【题型02 ：点与圆上一点最值问题】......................................................................................3
【题型03 ：直线与圆的位置关系的判定】...............................................................................4
【题型04：切线判定与性质综合】.............................................................................................6
【题型05 ：圆周角定理】...........................................................................................................9
【题型06：圆内接四边形】........................................................................................................10
【题型07：三角形的内切圆】....................................................................................................11
【题型08：三角形的外接圆】....................................................................................................12
【题型09 ：正多边形与圆的综合】.........................................................................................13
【题型10 ：弧长和扇形的面积】............................................................................................14
【题型11 ：圆锥的侧面积】....................................................................................................16
【题型12 ：不规则图形的阴影面积】....................................................................................17
【题型13 ：圆锥侧面最短路径问题】.....................................................................................18
【题型01 ：垂径定理及应用】
1．已知在⊙O中，半径r=13，弦AB∥CD，且AB=24，CD=10，则AB与CD的距离为
（ ）．
A．7或17 B．7 C．7或12 D．12
2．如图，圆弧形桥拱的跨度AB=24米，拱高CD=8米，则拱桥的半径为（ ）
A．6.5米 B．9米 C．13米 D．15米4．如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，若AB=4，
OC=1，则⊙O的半径为 ．
5．如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知大小，将它锯下测得深度CD为1寸，锯长AB为
10寸，则圆材的半径为 寸．
6．小明不小心把妈妈的圆形玻璃镜面打碎了，他拿着如图所示的残缺镜面请工人师傅配同
样大小的镜面，聪明的工人师傅在图纸上用尺规作图的方法确定了残缺镜面所在圆的
圆心和半径，并还原了整个圆形镜面，请你完成这个尺规作图（保留作图痕迹，不写
作法）．
7．晨晨在学习了圆的有关性质后，想利用所学知识测量家中盛汤用的碗口的直径．以下是
他的测量方案和相关数据：
测量主
测量碗口的直径
题
测量工 一张矩形纸条和刻度尺
具
测量方 将纸条拉直并紧贴碗口，纸条的上下边沿分别与碗口相交于A，B，C，D四
案 点，分别测量出纸条的宽度、纸条的上下边沿与碗口相交的线段长度
实物图
及测量
示意图
测量说 CD为纸条上沿与碗口相交的线段，AB为纸条下沿与碗口相交的线段，测量
明 时纸条处于拉直状态且纸条和碗均未发生移动测量数 AB=16cm，CD=12cm，纸条宽度14cm．
据
请你根据上述方案和数据计算出碗口直径．
【题型02 ：点与圆上一点最值问题】
1．如图，MN为⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B
作BD⊥MN于点D， P为DC上的任意一点，若MN=26,AC=12,BD=5，则
PA+PB的最小值为（ ）
A．15❑√2 B．17❑√2 C．17❑√3 D．15❑√3
2．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，以A为圆心，2为半径作⊙A．若点E在⊙A
上，点P在BC上，则PE+PD的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
1
3．如图，抛物线y= x2−1与x轴交于A，B两点，D是以点C(0,4)为圆心，1为半径的圆
9
上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（ ）
3 5 3❑√2
A． B．2 C． D．
2 2 21
4．如图，抛物线y= x2−4与x轴交于A，B两点，P是以点C(0,3)为圆心，❑√3为半径的
4
圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ、则线段OQ的最大值是（ ）
5−❑√3 5+❑√3 5+2❑√3
A． B．3 C． D．
2 2 2
5．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，点P、
E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是 ．
6．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的一动点，过P作PA⊥PB， A、B
都在x轴上，且关于原点O对称，则AB的最小值为 ．
【题型03 ：直线与圆的位置关系的判定】
1．已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2cm，线段OA=3cm，OB=2cm，则直
线AB与⊙O的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切2．如图，在边长为4的等边△AOB中，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作
⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则线段PQ长度的最小值为（ ）
A．❑√7 B．❑√11 C．2❑√3 D．❑√5
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(−3,0)，将OP沿x
轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1 B．1或5 C．3 D．3或5
4．如图， O 的直径AB长度为12， O 的直径为8，∠AOO＝30°， O 沿直线OO 平移，
1 2 1 2 2 1 2
当 O⊙平移到与 O 和AB所在⊙直线都有公共点时，令圆心距⊙OO＝x，则x的取值范
2 1 1 2
围⊙是（ ） ⊙
A．2≤x≤10 B．4≤x≤16 C．4≤x❑≤4√3 D．2≤x≤8
5．如图，半径r=2❑√2的⊙M在x轴上平移，且圆心M在x轴上，当⊙M与直线y=x+2相切时，
圆心M的坐标为（ ）
A．(0，0) B．(2，0) C．（-6，0） D．(2，0) 或（-6，0）【题型04：切线判定与性质综合】
1．如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，点B是⊙O上的一点，且
∠BAC=30°，∠APB=60°．
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为2，求弦AB及PA，PB的长．
2．如图AB=AC，点O在AB上，⊙O过点B，分别与BC,AB交于D,E，过D作
DF⊥AC于F．
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若AC与⊙O相切于点G,AC=8,CF=1，求⊙O的半径．3．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D为AC的中点，过点C作⊙O的切线
交OD的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连接EA．
(1)求证∶EA与⊙O相切；
(2)若CE=6，CF=4，求⊙O的半径r．
4．如图，在四边形ABCD中，AO平分∠BAD．点 O在AC上，以点O为圆心，OA为半
径，作⊙O经过点D，与BC相切于点B，BO延长线交⊙O于点 E，交AD于点 F，
连接AE，DE．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AE=DE=8，求AF的长．
5．如图，以点O为圆心，AB长为直径作圆，在⊙O上取一点C，延长AB至点D，连接DC，∠DCB=∠DAC，过点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E．
(1)求证：CD是⊙O的切线
(2)若CD=4，DB=2，则AE的长
6．如图，AB为⊙O的一条弦，PB切⊙O于点B,PA=PB，直线PO交AB于点E，交
⊙O于点C．
(1)求证：PA是⊙O的切线；
(2)若CD∥ PA,CD交直线AB于点D，交⊙O于另一点F．
①求证：AD=CD；
②若AB=8,BD=2，求⊙O的半径．
【题型05 ：圆周角定理】
1．如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC=45°，则∠BOC的度数为（ ）A．27° B．108° C．126° D．90°
2．如图，线段 为 的直径， ⏜ ⏜ ⏜ ．若 ， 与 的延长
AC ⊙O ∠BAC=28° BC ED
BC= CD =DE
线交于F，则∠F的度数是（ ）
A．68° B．84° C．56° D．58°
3．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD=30°，则∠ODB等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
4．如图，A、B、C是⊙O上的点，BC是圆的直径，在BA延长线上取一点D，使
AD=AC，连接CD，则∠ACD为（ ）
A．70° B．50° C．45° D．40°
5．如图，△BCD内接于⊙O，点B是C´D的中点，CD是⊙O的直径，若∠ABC=30°，AC=3，则BC的长为（ ）
A．4 B．4❑√2 C．3❑√2 D．3❑√3
6．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠B=62°，∠ACD=39°，则∠CAD=（
）
A．23° B．28° C．31° D．33°
【题型06：圆内接四边形】
1．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=128°，则∠BOD的度数是（ ）
A．52° B．64° C．82° D．104°
2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE平分∠ABC，点A是劣弧B´E的中点．
若∠D=92°，则∠AEB的度数是（ ）
A．40° B．44° C．45° D．46°3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE=64°，那么∠BOD=
（ ）
A．128° B．100° C．120° D．132°
4．如图，△ABC内接于⊙O，连接OA、OB，若∠AOB=130°，则∠ACB的度数为
（ ）
A．105° B．110° C．115° D．120°
5．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，过点B作BE∥AD，交CD于点E．若
∠ABC=140°，则∠BEC的度数为 ．
【题型07：三角形的内切圆】
1．如图，边长为a的正三角形的内切圆半径是（ ）
❑√3 ❑√3 ❑√3
A． a B． a C． a D．❑√3
6 3 2
2．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且AD=2，△ABC的周长为14，则BC的长为 ．
3．如图所示的是周长为15cm的三角形纸片ABC，小刚想用剪刀剪出它的内切圆⊙O，他
先沿着与⊙O相切的DE剪下了一个三角形纸片BDE．若AC=4cm，则三角形纸片
BDE的周长为 cm．
【题型08：三角形的外接圆】
1．三角形的外心就是三角形外接圆圆心，是三角形（ ）
A．三边上的高线的交点 B．三边中线的交点
C．三边垂直平分线的交点 D．三个内角平分线的交点
2．如图，直角坐标系中A(0,4),B(4,4),C(6,2)，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，则
点M的坐标为（ ）
A．(1,−1) B．(1,0) C．(2,0) D．(2,1)
3．如图，已知△ABC．(1)用直尺和圆规作△ABC的外接圆⊙O（保留作图的痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若⊙O的半径为5，点O到BC的距离为3，求BC的长．
【题型09 ：正多边形与圆的综合】
1．如图，正方形ABCD内接于⊙O，则A´B的度数是（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
2．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB=18°，
连接OA、OB，则∠AOB=（ ）
A．18° B．36° C．54° D．72°
3．如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，
顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O逆时针旋转，每次旋转
90°，那么经过2025次旋转后，顶点D的坐标为（ ）A．(❑√3 3) B．( 3 ) C．( 3) D．( 3)
, − ,−❑√3 ❑√3,− −❑√3,
2 2 2 2 2
4．如图，正六边形螺帽的边长为4，则这个螺帽的面积是（ ）
A．❑√3 B．6 C．❑24√3 D．❑12√3
5．中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，
金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图
如图2所示，已知该正六边形ABCDEF的周长约120mm，则该正六边形铁块的外接圆
的半径为 mm．
【题型10 ：弧长和扇形的面积】
1．如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，
⏜ 是以点 为圆心， 为半径的弧，弦 的长为 ，则 ⏜ 的长是（ ）
O 18cm AB 18cm
AB ABA．24πcm B．12πcm C．10πcm D．6πcm
2．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧A´C，点O是这段弧所在圆的圆心，B为A´C上的一
个点，OB⊥AC于点D．若AC=300❑√3m，∠OAD=30°，则A´C的长为（ ）
A．300πm B．200πm C．150πm D．100❑√3πm
3．已知一个圆心角为270°扇形工件，未搬动前如图所示，A、B两点触地放置，搬动时，
先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两
点再次触地时停止，扇形的直径为5m，则圆心O所经过的路线长是（ ）m.（结果用
含的式子表示）
15 15
A． π B．5π C． π D．10π
4 2
4．如图，将Rt△ABC以点A为中心顺时针旋转得到△ADE，若点B的对应点D恰为BC
边的中点，AB=1，则C´E的长为（ ）
π π ❑√3π ❑√3π
A． B． C． D．
3 6 3 65．物理实验课上，分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小丽
发现重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变．已知滑轮的半径为6cm，当滑轮上
点A转过的度数为30°时，重物上升了（ ）
π
A． cm B．πcm C．3πcm D．6πcm
2
6．如图，点A，B，C是⊙O上的点，且∠ACB=40°，⊙O的半径为2，则此阴影部分
的面积为（ ）
8 2 8 2
A． π B． π C． D．
9 9 9 9
5π
7．一把折扇打开后，如图，小扇形OAB的半径为2cm，弧长为 cm，大扇形OCD的半
3
径为26cm，扇面的宽度CE为12cm，则扇面的面积（阴影部分）是 cm 2（结果
保留π ）．
【题型11 ：圆锥的侧面积】
1．圆锥的底面半径为6cm，母线长为8cm，则圆锥的侧面积为（ ）cm 2．
A．30π B．48π C．60π D．80π
2．已知圆锥的侧面积为15π ，母线长为5，则圆锥的底面半径是 ．
3．如图，圆锥的底面圆心为O，顶点为A，母线l长为4，母线l与高AO的夹角为30°，那么圆锥侧面展开图的面积为 ．
4．如图1所示的蛋筒冰淇淋由上下两个圆锥组成，图2为其主视图，其中∠A=90°，
∠ABC=105°，若上圆锥的侧面积为2，则下圆锥的侧面积为 ．
【题型12 ：不规则图形的阴影面积】
1．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，连接BC．若AB=2,BC=1，则阴影部分的
面积为（ ）
❑√3 π ❑√3 2π ❑√3 π
A． + B． + C．π D． +
2 3 4 3 4 3
2．如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E，F分别为BC，AD的中点．
以C为圆心，BC为半径作圆弧BD，再分别以E，F为圆心，BE为半径作圆弧BO，
OD，则图中阴影部分的面积为（ ）A．π −1 B．π −2 C．π −3 D．4−π
3．如图，扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=2，点C为OB上一点，将扇形AOB沿AC折
叠，使点B的对应点B′落在射线AO上，则图中阴影部分的面积为 ．
4．如图，将半径OB=9的半圆绕点B按顺时针方向旋转30°，此时点A到了点A′，则图中
涂色部分的面积为 ．
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，∠A=60°，将Rt△ABC绕点C顺
时针旋转90°后得到Rt△DCE，点B经过的路径为B´E，将线段AB绕点A顺时针旋转
60°后，点B恰好落在CE上的点F处，点B经过的路径为B´F，则图中阴影部分的面积
是 （结果保留π）
【题型13 ：圆锥侧面最短路径问题】
1．如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是1，母线长是4．
（1）求这个圆锥的侧面展开图中∠ABC的度数．
（2）如果A是底面圆周上一点，一只蚂蚁从点A出发，绕圆锥侧面一圈再回到A点，
求这只蚂蚁爬过的最短距离．2．综合与实践
【主题】制作圆锥形生日帽
【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带．
【实践操作】
步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为
n°的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料．
步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽．
【实践探索】在制作好的生日帽中，AB=8cm，l=8cm，C是PB的中点，现要从点
A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值．3．综合与实践
问题情境：如图1，将一个圆心角为n°、半径为R 的扇形，可制作成圆锥（如图2），
圆锥的底面半径为r，点A与点A′重合，工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇
形圆心角度数，再度量裁剪材料．
(1)探索尝试：图1中，圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长_____（填“相等”或“不相等”）．
(2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求 n的值，请用含 r， R的式子表示 n；
(3)拓展延伸： 图 3是一种纸质圆锥形生日帽，AB=6c m，R=6cm，C是PB中点，现
要从点A到点 C再到点A之间拉一装饰彩带（如图4），求彩带长度的最小值．
