文档内容
专题 01 概率初步
目录
A题型建模・专项突破
题型一、列表法或画树状图法求概率..................................................................................................................1
题型二、几何概率..................................................................................................................................................6
题型三、利用概率求数量......................................................................................................................................9
题型四、游戏的公平性........................................................................................................................................12
题型五、频率和概率综合....................................................................................................................................16
B综合攻坚・能力跃升
题型一、列表法或画树状图法求概率
1．为了展示课后服务成果，某校开放了甲、乙、丙三个分会场，每位学生用抽签的方式从三个分会场中
随机抽取一个会场进行观摩 温馨提示：每位学生抽完签放回后摇匀 ．
(1)学生小李抽到甲分会场进行观摩的概率为______．
(2)请用列表法或画树状图法求学生小李和小王没有抽到同一分会场观摩的概率．
【答案】(1)
(2)见解析，
【分析】本题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两
步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有 种等可能的结果，其中学生小李和小王没有抽到去同一分会场观摩的结果有 种，
再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：∵有甲、乙、丙三个分会场
∴小李抽到甲分会场的概率为 ，
故答案为： ；
（2）解：画树状图如下：共有 种等可能的结果，其中学生小李和小王没有抽到去同一分会场观摩的结果有 种，
学生小李和小王没有抽到去同一分会场观摩的概率为 ．
2．如图，甲、乙为两个可以自由转动的转盘，它们分别被分成了4等份与3等份，每份内均标有字母．转
盘停止转动后，若指针落在两个区域的交线上，则重转一次．
(1)转动甲盘，待其停止转动后，指针落在A区域的概率为_______；
(2)转动甲、乙两个转盘，用列表或画树状图的方法，求转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未
落在Q区域的概率．
【答案】(1)
(2)转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率为
【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适
合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率 所求情况数与
总情况数之比．
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）列举出所有情况，乙盘指针落在C区域未落在Q区域的情况数，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：旋转甲转盘一次，指针落在“A”区域的概率是 ．
（2）解：列表如下：
由表知，所有的情况数有12种，其中转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的情
况数有2种，∴转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率为 ．
3．一个盒子中装有1个红球、1个白球和2个蓝球，这些球除颜色外都相同．
(1)从盒子中任意摸出一个球，恰好是白球的概率是 ．
(2)从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，试用树状图或表格列出所有可能的
结果，并求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率．（红色和蓝色在一起可配成紫色）
【答案】(1)
(2)表格见解析，
【分析】本题考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可
能性是均等的，即为等可能事件，同时注意“有放回”和“无放回”的区别．
（1）根据各种颜色球的个数，直接求出概率；
（2）无放回摸球，用列表法列举出所有等可能出现的情况，从中找出一红一蓝的情况，进而求出概率．
【详解】（1）解： ，
故答案为： ；
（2）用列表法得出所有可能出现的情况如下：
第1次
红 白 蓝1 蓝2
第2次
红 白红 蓝1红 蓝2红
白 红白 蓝1白 蓝2白
蓝1 红蓝1 白蓝1 蓝2蓝1
蓝2 红蓝2 白蓝2 蓝1蓝2
共有12种等可能的情况，其中一红一蓝的有4种，
．
4．人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力．为进一步了
解学习，小明打算先从比较热门的人工智能软件随机选择，现有如下四种 软件，他将四种图标依次制成
A，B，C，D四张卡片(卡片的形状、大小、质地都相同)，将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．A．豆包 B． C． D．文心一言
(1)从中随机抽取一张，抽到 卡片的概率为 ；
(2)从中随机抽取一张不放回，洗匀后再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求两次抽取到的卡片中，
含有 卡片的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了求概率，利用列表法或画树状图法是解题的关键．
（1）根据简单事件的概率，所有可能情况有4种，抽到 卡片的情况有1种，则可求得概率；
（2）画出树状图，得到所有可能情况及含有 卡片的情况，由概率公式即可求解．
【详解】（1）解：抽到 卡片的概率为 ；
故答案为： ．
（2）解：画出树状图如下：
所有可能情况共有12种，其中含有 卡片的情况有6种，则含有 卡片的概率为 ；
答：含有 卡片的概率为 ．
5．西宁市某中学举行了“新时代好少年”演讲比赛活动，根据学生的成绩划分为 四个等级，
并绘制了不完整的两种统计图．
根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)参加演讲比赛的学生共有__________人，并把条形图补充完整，扇形统计图中， __________；
(2)学校欲从获A等级的学生中随机选取2人，参加市举办的演讲比赛，请利用列表法或树状图法，求获A
等级的小明参加市比赛的概率．
【答案】(1) ； ；图见解析(2)抽到小明参加市比赛的概率为 ．
【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合运用、求概率，读懂统计图，准确获取有用信息是解答
的关键．
（1）用D等级的人数除以它所占的百分比求出总人数，再由总人数减去其它等级人数可求得B等级的人
数，即可补全条形统计图，由等级人数除以总人数可求得 的值；
（2）利用列表法求解概率即可．
【详解】（1）解： （人），
等级的人数是： （人）,
作图如下：
解： ，
∴ ，
故答案为： ； ；
（2）解：获 等级的学生（用甲、乙、丙、丁表示），列表如下，
甲 乙 丙 丁
甲 甲乙 甲丙 甲丁
乙 乙甲 乙丙 乙丁
丙 丙甲 丙乙 丙丁
丁 丁甲 丁乙 丁丙
一共有12种等可能的结果，其中获A等级的甲（小明）参加市比赛的有6种结果，
∴抽到小明参加市比赛的概率为 ．
题型二、几何概率
6．如图，阴影部分是两个相同菱形的重合部分，假设可以随机在图中取点，则这个点取在阴影部分的概
率是 ．【答案】
【分析】本题主要考查了几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表
示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
先设阴影部分的面积是x，得出整个图形的面积是 ，再根据几何概率求解即可．
【详解】解：设阴影部分的面积是x，则整个图形的面积是 ，
则这个点取在阴影部分的概率是 ．
故答案为： ．
7．在如图所示的正方形和圆形组成的盘面上投掷飞镖，飞镖未落在阴影区域的概率是 ．
【答案】
【分析】本题考查了几何概率，以及正方形与圆的对称性，求出其他部分面积与总面积的比值是解决本题
的关键．
用阴影部分的面积除以总面积即可求得飞镖落在阴影部分的概率．
【详解】解：根据正方形与圆的对称性可知，阴影部分占所有面积的 ，
∴其他部分的面积占所有面积的 ，
∴飞镖未落在阴影区域的概率是 ．
故答案为： ．
8．如图，点D、点E是直线 与矩形 的边 、 的交点， ， ．若动点
在矩形 内随机运动，则动点P落在 内（包括边界）的概率为 ．
【答案】【分析】本题考查了一次函数的几何应用、矩形的性质，几何概率等知识点．先根据直线的解析式求出点
， 的坐标，从而可得 、 的长，再分别求解矩形与 的面积，结合概率公式计算即可．
【详解】解：点D、点E是直线 与矩形 的边 、 的交点， ， ，
∴ ， ，矩形面积为 ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
当 时，则 ，
解得： ，
∴ ，
∴ ， ，
则 的面积是 ，
∴动点P落在 内（包括边界）的概率为 ．
故答案为： ．
9．如图 ，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形 内，装饰图中的三角形顶点 ， 分别在边
， 上，三角形 的边 在边 上，若在矩形区域内随机取点，则这个点落在空白部分的概率
．
【答案】 /
【分析】设七巧板的边长为 ，根据正方形的性质、矩形的性质分别表示出 ， ，进一步求出落在空
白部分的概率．
本题考查了几何概率，矩形的性质，七巧板，关键是熟悉七巧板的特征，表示出 ， 的长．
【详解】解：设七巧板的边长为 ，则 ， ，∴矩形区域的面积 ，
∴空白部分的面积 ，
∴这个点落在空白部分的概率为 ．
故答案为： ．
10．如图，正方形 是一块绿化带，其中阴影部分 都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小
鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟不落在花圃上的概率为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质及几何概率，关键是表示出大正方形的边长，从而表示出两个阴影正方
形的边长，最后表示出面积．
设正方形 的边长为a，根据题意可得 是等腰直角三角形，从而得到 ，
再证得 和 都是等腰直角三角形， ，从而得到
，然后根据概率公式计算，即可．
【详解】解：设正方形 的边长为a，
∵四边形 为正方形，
∴ ，
∵四边形 为正方形，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ 和 都是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴小鸟不落在花圃上的概率为 ．
故答案为：
题型三、利用概率求数量
11．在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个
球，摸到红球的概率为 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了概率公式，分式方程的应用．
根据概率公式列方程计算即可．
【详解】∵在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸
出1个球，摸到红球的概率为 ，
∴ ，
解得： ，
经检验， 是原分式方程的解，
故答案为： ．
12．一个不透明的袋子中装有除颜色外其他完全相同的若干个红球和黄球，从袋子中随机摸出一个小球，
摸出的小球是红球的概率为 ，若袋子中有9个黄球，则袋子中红球的个数为 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查概率的应用，解题关键是根据概率公式建立方程求解．设袋子中红球的个数为 ，根据概率公式得到方程 ，求解即可．
【详解】解：设袋子中红球的个数为 ．
由题意，可知 ，
解得 ，
即袋子中红球的个数为6．
故答案为：6．
13．在一个不透明的口袋中有红、黄两种除颜色外其余均相同的球，其中红球有4个，黄球有 个．从中
随机摸出1个球，记下颜色后放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在 左右，则
的值为 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了用频率估计概率，利用频率估计概率是解题的关键．
由题意得，利用红球个数除以两球的总数为抽到红球的概率，解方程即可．
【详解】解：根据题意得，
，
解得 ，
故答案为：6．
14．（数据观念）一个暗箱中装有只有颜色不同的 个布娃娃，分别是4个白娃娃、6个绿娃娃、
5个红娃娃和n个黄娃娃，从中任意拿出1个布娃娃，记下颜色后放回并搅匀．经过大量重复试验，把拿
出白娃娃、绿娃娃、红娃娃的频率绘制成如图所示的条形统计图（不完整）．根据题中给出的信息，估计
暗箱中黄娃娃的个数为 ．
【答案】5
【分析】此题考查了概率和条形统计图，首先根据绿娃娃的概率得到方程，求解方程即可，解题的关键是
掌握概率的计算公式．
【详解】解：由题图可知，拿出绿娃娃的频率为0.3，
估计从中任意拿出一个布娃娃，恰好拿出的是绿娃娃的概率约为0.3，
，
解得 ．
经检验， 是原分式方程的解，
暗箱中黄娃娃的个数为5．故答案为： ．
15．王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出
一个球，放回、搅匀，下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到黑球的次数m 23 31 60 130 203 251
摸到黑球的频率
袋中白球的个数约为 ．
【答案】3
【分析】设袋子中白球有x个，利用表格中数据估算出得到黑球的频率列出关于x的分式方程，解之得出
答案；
此题考查了模拟实验以及频率求法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【详解】解：由表格数据估计从袋中摸出一个黑球的概率是 ，
设袋子中白球有x个，
根据从袋中摸出一个黑球的概率大约是 可得：
，
解得： ，
经检验： 是原分式方程的解，
估算袋中白球的个数为3，
故答案为：
题型四、游戏的公平性
16．在一个不透明的小口布袋中装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的质地、大小完全相同，小明从布
袋里随机摸出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为y，这样
确定了点M的坐标
(1)画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标．
(2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：x、y若满足 ，则小明胜；否则，小红胜；这个游戏公平
吗？说明理由．
【答案】(1)图见解析， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
(2)公平，理由见解析
【分析】本题考查列表或画树状图法求概率，概率的计算．（1）画树状图列出所有等可能的结果，根据x，y对应的值写出坐标即可；
（2）根据概率公式计算出小明、小红获胜的概率，即可求解．
【详解】（1）解：画树状图为：
共12种等可能的结果，
点M可能的坐标为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
．
（2）解：点M的坐标为 ， ， ， ， ， 时，x、y若满足 ，
小明胜的概率为： ，小红胜的概率为： ，
这个游戏公平．
17．有三张背面完全相同的卡片，它们的正面分别写上 、 、 ，把它们的背面朝上洗匀后，小丽
先从中抽取一张，然后小明从余下的卡片中再抽取一张．
(1)直接写出小丽取出的卡片恰好是 的概率；
(2)小刚为他们设计了一个游戏规则：若两人抽取卡片上的数字之积是有理数，则小丽获胜；否则小明获胜．
你认为这个游戏规则公平吗？若不公平，则对谁有利？请说明理由．
【答案】(1)小丽取出的卡片恰好是 的概率为
(2)这个游戏不公平，对小明有利，理由见解析
【分析】本题考查概率与游戏公平性的判断．
（1）根据概率公式求解即可；
（2）采用列表法可得小丽获胜的概率和小明获胜的概率，比较大小，判断公平性即可．
【详解】（1）解：小丽取出的卡片恰好是 的概率为 ．
（2）解：小丽和小明抽取卡片的所有可能列表如下：
小丽 小明 数字之积∴共有6种等可能结果，其中积是有理数的有2种，不是有理数的有4种，
∴小丽获胜的概率 ，小明获胜的概率 ，
∵ ，
∴这个游戏不公平，对小明有利．
18．小明和小亮都想参加学校社团组织的暑期实践活动，但只剩下一个名额，小明提议用如下的办法决定
谁去参加活动：将一个可以自由转动的转盘等分成 个扇形，分别标有 ， ， ， ， ， ， ， ， ，
这 个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小明转动转盘，小亮猜数，
若所猜数字与转出的数字相符，则小亮参加活动，否则小明参加活动．猜数的方法从下面两种中选一种：
①猜“是 的倍数”或“不是 的倍数”；②猜“是大于 的数”或“不是大于 的数”．
(1)猜“是 的倍数”的概率是_______；
(2)如果你是小亮，那么为了尽可能参加活动，你将选择哪一种猜数方法？怎样猜？为什么？
(3)你认为这两种猜数方法对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请设计一种对双方都公平的猜
数方法．
【答案】(1)
(2)选择方法①中“不是3的倍数”，见解析
(3)不公平，猜“是奇数”或“是偶数”
【分析】本题主要考查了应用概率解决游戏公平问题，掌握概率的计算公式是解题的关键．
（1）利用简单概率公式进行求解即可；
（2）求出每种方式的概率，然后进行比较即可；
（3）根据概率相等设计方法即可．
【详解】（1）解：是 的倍数的数有：3，6，9，
∴猜“是 的倍数”的概率是 ，故答案为： ；
（2）解：选择方法①中“不是3的倍数”，理由如下：
大于 的数有：5，6，7，8，9，10，
∴猜“是大于 的数”的概率为： ；
不是大于4的数有：1，2，3，4，
∴猜“不是大于 的数”的概率为： ；
由①可得猜“不是 的倍数”的概率是 ，
∵ ，
∴选择方法①中“不是3的倍数”；
（3）解：不公平，因为两人抽到的概率不相等，
猜“是奇数”或“是偶数”比较公平．
19．如图，小明和小春制作了两个质地均匀、可以自由转动的转盘，A盘被等分为四个扇形，上面分别标
有数字1，2，4，5；B盘中圆心角为 的扇形上面标有数字3，其余部分上面标有数字
如图，是两个质地均匀、可以自由转动的转盘，A盘被等分为四
个扇形，上面分别标
(1)小明转动一次A盘，指针指向数字为2的概率是 ；
(2)小明和小春用如图所示的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别旋转两个转盘，将A盘转出的数字作为
被减数，B盘转出的数字作为减数；如果差为正数，则小春胜；若差为负数，则小明胜．这个游戏对双方
公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由．
【答案】(1)
(2)这个游戏对双方不公平，理由见解析
【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，
否则就不公平．用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出差为负数的情况数和差为正数的情况数，再根
据概率公式求出各自获胜的概率，然后进行比较，即可得出答案．
【详解】（1）解：小明转动一次A盘，则指针指向数字为2的概率是故答案为：
（2）解：这个游戏对双方不公平，
理由如下：列表如下：
被减数
1 2 4 5
减数
3 1 2
4 0 1
4 0 1
由表知，共有12种等可能结果，其中差为负数的有6种结果，差为正数的有4种结果，
则小明胜的概率是 ，小春胜的概率是 ，
，
这个游戏对双方不公平．
20．如图，一个均匀的转盘被平均分成12等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12这
12个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．
(1)P（转出的数字是4的倍数） ______；P（转出的数字不是4的倍数） ______．
(2)两人参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则猜数的人获胜，否则转
动转盘的人获胜．
①猜“是奇数”或“是偶数”；
②猜“是大于8的数”或“不是大于8的数”．如果轮到你猜数，那么为了尽可能获胜，你将选择哪一种
猜数方法？怎样猜？请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)选择②，猜“不是大于8的数”，理由见解析
【分析】（1）根据概率公式即可得到结论；
（2）分别求出各种情况下获胜的概率，比较得出答案．
本题考查是游戏的公平性，随机事件发生的概率，理解概率的意义，掌握概率的计算方法是正确解答的前
提．
【详解】（1）解：P（转出的数字是4的倍数） ；P（转出的数字不是4的倍数） ，
故答案为： ， ；
（2）解：选择②，猜“不是大于8的数”，理由如下：
①“是奇数”或“是偶数“都是 ，
②“是大于8的数”的有4种，“不是大于8的数”的有8种，因此“是大于8的数”可能性是 ，“不是
大于8的数”的可能性是 ，
因此，选择②，猜“不是大于8的数”，这样获胜的可能性为 ，获胜的可能性最大．
题型五、频率和概率综合
21．某公园移植A种花卉前查阅资料得到该花卉移植的成活率如下图．
(1)A种花卉成活的频率稳定在__________附近，估计成活概率为________；（精确到0.1）
(2)该公园规划共需要成活A种花卉9000株，分两批采购，第一批购入2000株，估计第二批需购入多少株？
【答案】(1)0.9，0.9
(2)8000株
【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量：
（1）根据统计图，以及频率和概率之间的关系，进行作答即可；
（2）利用需要成活的数量除以概率再减去已经移植的数量计算即可．
【详解】（1）解：由统计图可知：这种花卉成活的频率稳定在0.9附近，估计成活概率为0.9；
故答案为：0.9，0.9；
（2）解： （株）
答：估计第二批需购入8000株．
22．为推动农业现代化进程，某农科所在相同条件下开展农作物种子发芽率的试验，试验数据如表：
种子颗数 100 400 600 700 900 1000
发芽种子颗数 94 378 571 664 951
发芽种子频率
(1)填空：上表中 的值为___________， 的值为___________；(2)估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率．（精确到 ）
【答案】(1) ，855
(2)估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率为
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，求频率，概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作
为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率．
（1）用发芽种子颗数 种子总数求出a的值，用总种子数 发芽种子频率求出b的值即可；
（2）随着种子数增多，发芽种子频率稳定在 左右，得出这种农作物种子在此条件下发芽的概率即可．
【详解】（1）解： ，
；
（2）解：∵观察表格，发现大量重复试验发芽的种子频率逐渐稳定在 左右，
∴估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率约为 ．
23．一个不透明袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小明每次从袋子中摸出一个球，记录下颜色，
然后放回，重复这样的试验1000次，记录结果如下：
实验次数 200 300 400 500 600 700 800 1000
摸到红球次数 144 214 276 352 425 491 559 702
摸到红球频率
(1)表格中 ___________；（精确到 ）
(2)估计从袋子中摸出一个球恰好是红球的概率约为___________；（精确到 ）
(3)若袋子中共有10个球，则除了红球，估计还有___________个其他颜色的球；
(4)在（3）的条件下，往袋子中再放入4个白球，摇匀后从袋中随机摸出一球，摸到红球小明胜，摸到其
他颜色的球小亮胜，你认为游戏对两人公平吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)估计还有3个其他颜色的球
(4)游戏公平，见解析
【分析】本题考查了频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆
动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就
是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（1）用702除以1000得到 的值；
（2）利用频率估计概率和随实验次数的增多，估计值越来越精确，从而可利用表中最后一个频率估计概
率；
（3）利用概率的意义计算出10个球中红球个数，然后计算出其他颜色的球的个数；
（4）分别求出摸到红球和摸到其他颜色的球的概率，即可得出答案．【详解】（1）解： ；
故答案为： ；
（2）解：估计从袋子中摸出一个球恰好是红球的概率约为 ；
故答案为： ；
（3）解： 估计摸出一个球恰好是红球的概率大约为 ，
∴袋子中有红球 （个），
（个），
估计还有3个其他颜色的球．
（4）解：游戏公平．理由如下：
往袋子中再放入4个白球，则共有14个小球，其中红球有7个．
（摸到红球） ；
（摸到其他颜色球） ；
（摸到红球） （摸到其他颜色球），
游戏公平．
24．某射击运动员在同一条件下进行射击，相关统计结果见下表：
射击总次数 10 20 50 100 200 500 C
击中靶心的次
9 16 41 168 429 861
数
击中靶心的频
率
(1)填空：表格中 ___________， ___________， ___________；
(2)根据上表，画出该运动员击中靶心的频率的折线统计图；
(3)根据图表信息，估计该运动员射击一次便击中靶心的概率约为___________（精确到百分位）．
【答案】(1)0.8，88，1000
(2)见解析(3)
【分析】本题主要考查了利用频率估计概率、频率的求法等知识点，正确理解频率的意义是解题关键．
（1）根据频率、频数、数据总数的关系列式计算即可；
（2）根据表格中的频率，画出该运动员击中靶心的频率的折线统计图即可；
（3）利用频率估计概率即可解答．
【详解】（1）解：由频率、频数、数据总数的关系可得： ； ；
．
故答案为： ．
（2）解：画出该运动员击中靶心的频率的折线统计图如下：
（3）解：根据折线统计图，可得击中靶心的频率接近于 ．
25．同学们学习完频率估计概率之后，觉得特别有趣，在班级进行了一次实验验证．已知一个不透明的袋
子中有7个除颜色外完全相同的小球，大家进行了大量的摸球实验得到如下表格：
摸出红球的次数
10 21 32 54 90 145 203
实验的总次数 40 80 120 200 320 500 700
摸出红球的频率
0． 0． 0． 0． 0．
25 26 27 28 29
(1)表格中的 ________； _______；（保留两位小数）
(2)根据频率估计概率的知识，同学们算出袋子中大约有红球_______个，打开袋子发现红球的个数与计算
结果相同；
(3)小明经过思考，又提出了一个问题，若不透明的袋子中现在有8个除颜色外完全相同的小球，如果想让
摸出红球的概率与下图所示自由转盘转到红色区域的概率相同，应该有几个红球？请你帮助小明计算出来．【答案】(1) ；
(2)2
(3)3个
【分析】本题主要考查了已知概率求数量，几何概率，用频率估计概率，熟知概率计算公式是解题的关键．
（1）根据频率等于频数除以总数计算求解即可；
（2）根据表格可得摸出红球的频率逐步稳定在 附近，则摸出红球的概率约为 ，再根据概率计算
公式求解即可；
（3）用球的总数乘以自由转盘转到红色区域的概率即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得， ， ；
（2）解；由表格可知，随着实验次数的增加，摸出红球的频率逐步稳定在 附近，
∴摸出红球的概率约为 ，
∴袋子中大约有红球 个；
（3）解： 个，
∴应该有3个红球．
一、单选题
1．一个不透明的袋子中有除颜色外完全相同的红色、黑色小球各一个，从中随机摸出一个小球，记录其
颜色，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其颜色，那么两次都摸到黑球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．
先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：画树状图为：由树状图可知一共有4种等可能性的结果数，其中两次都摸到黑球的结果数有1种，
∴两次都摸到黑球的概率是 ，
故选：A．
2．一个不透明的盒子里有8个红球和若干个白球，红球和白球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒
子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率
稳定在0.4，那么估计盒子中白球的个数为（ ）
A．12 B．15 C．20 D．8
【答案】A
【分析】本题主要考查了利用频率估计概率、概率公式的应用等知识点，应用概率公式解决实际问题是解
题的关键．
设盒子中白球的个数为n个，根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为 ，再根据概率公式计算即
可．
【详解】解：设盒子中白球的个数为n个，
根据题意得 ，解得： ．
经检验， 是分式方程的解，
∴盒子中白球的个数为12个．
故选A．
3．2024年11月，中国苹果产业协会和国家苹果产业技术体系最新联合发布，截至目前，中国苹果产量世
界第一，当前我国已培育自主产权苹果新品种152个．某科学研究院为研究一类新品种苹果树的成活率，
在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示：估计这一类新品种苹果树成活的概率为（ ）
移植总数n 50 270 400 750 1500 3500 7000 10000 14000
成活总数m 47 235 369 682 1359 3203 6398 9102 12782
成活率
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了用频率估计概率，根据表格频率接近，即可求解，理解概率是大量重复实验的情况下，
频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，熟练掌握用频率估计概率的条件
和方法是解题的关键．【详解】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越
接近于概率，
估计这一类新品种苹果树成活的概率为 ，
故选：A．
∴
4．已知人的卷舌性状由常染色体上的一对基因决定，决定能卷舌的基因R是显性的，不能卷舌的基因r是
隐性的，因此决定能否卷舌的基因有 三对，其中基因为 和 的人能卷舌，基因为 的人不
能卷舌，父母分别将他们一对基因中的一个基因等可能地遗传给子女．若父母的基因都是 ，则他们的子
女可以卷舌的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．
先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：由题意画树状图为：
由树状图可知一共有4种等可能性的结果数，其中他们的子女可以卷舌的结果数有3种，
∴他们的子女可以卷舌的概率是 ，
故选：D．
5．如图，为某小组做“用频率估计概率”的实验时，绘制的频率分布折线图，则符合这一结果的实验是
（ ）
A．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
B．抛两枚硬币，一枚正面朝上，一枚反面朝上
C．掷一个正六面体的骰子，朝上点数是3的倍数
D．一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是红球
【答案】C
【分析】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率等于
所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．根据统计图可知，试验结果在 附近波动，即其概率 ，计算四个选项的频率，约为 者即为
正确答案．
【详解】解：A、一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是 ，本
选项不符合题意；
B、抛两枚硬币，一枚正面朝上，一枚反面朝上的频率是 ，本选项不符合题意；
C、掷一个正六面体的骰子，朝上点数是3的倍数 ，本选项符合题意；
D、从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是红球的概率是 ，本选项不符合题意；
故选：C．
二、填空题
6．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．
可以估计“钉尖向上”的概率是 ．（结果精确到0.01）．
【答案】
【分析】本题考查了用频率估计概率．当试验次数足够大，频率趋于稳定，此时可以频率来表示概率．用
频率估计概率作答即可．
【详解】解：由题意知，估计“钉尖向上”的概率是 ，
故答案为： ．
7．如图，一个转盘被分成3个扇形，扇形A、扇形B、扇形C的圆心角分别为 ， ， ，自由转
动转盘1次，则指针落在扇形A的概率是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了几何概率，直接求出扇形A的面积与整个转盘的面积的比值即可得到答案．
【详解】解；由题意得，自由转动转盘1次，则指针落在扇形A的概率是 ，故答案为： ．
8．在一个不透明袋子里装有红球、黄球，其中红球16个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发
现，摸出黄球的频率稳定在 左右，则袋子中黄球的个数大约是 ．
【答案】5
【分析】设黄球有x个，根据题意，得 解答即可．
本题考查了摸球概率计算，熟练掌握概率计算方法是关键．
【详解】解：设黄球有x个，根据题意，得
解得 ．
经检验， 是原方程的根．
由球的个数为整数，故大约为5个，
故答案为：5．
9．十二生肖，作为中国传统文化的重要组成部分，具有深远的历史和丰富的文化内涵．小云购买了一套
“十二生肖”主题邮票，他要将“猴”“牛”“蛇”“龙”四张邮票中的两张送给同学小南，小云将它们
背面朝上放在桌面上，让小南从中随机抽取两张，四张邮票的大小、形状、质地、背面完全相同．则小南
抽到的两张邮票恰好是“牛”和“龙”的概率是 ．
【答案】
【分析】本题考查列表法与画树状图法求概率，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．根据题
意，可以画出相应的树状图，从而可以得到小南抽到的两张邮票恰好是“牛”和“龙”的概率．
【详解】解：“猴”“牛”“蛇”“龙”四张邮票分别用 表示，画树状图如下，
由图可得，一共有12种等可能性的结果，
其中小南抽到的两张邮票恰好是“牛”和“龙”的有2种，
∴小南抽到的两张邮票恰好是“牛”和“龙”的概率是 ，
故答案为： ．
10．如图，两个带指针的转盘A，B分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是2，5，9，转
盘B上的数字分别是3，6，8（两个转盘除表面数字不同之外，其他完全相同）．小美拨动A转盘上的指
针，小丽拨动B转盘上的指针，使之旋转，指针停止后所指数字较大的一方获胜（若箭头恰好停留在分界
线上，则重转一次），则 （填“小美”或“小丽”）获胜的可能性大．【答案】小丽
【分析】考查了判断游戏公平性．解题关键抓住判断游戏公平性要先计算每个事件的概率，概率相等就公
平，否则就不公平．
先用列表法求得各自获胜的概率，再进行比较进行判断即可．
【详解】解：列表得：
B A 2 5 9
3 2，3 5，3 9，3
6 2，6 5，6 9，6
8 2，8 5，8 9，8
共有 9 种可能，其中小美获胜的次数为 ，小丽获胜的次数为5，
∴ ，
∴ ，
∴小丽的获胜可能性较大．
故答案为：小丽．
三、解答题
11．小明的笔袋中有4支中性笔，其中3支为蓝色，1支为红色，且这4支中性笔的外观完全相同．
(1)小明从笔袋中随机取出一支中性笔，则取出的中性笔为蓝色的概率为______；
(2)小明从笔袋中随机取出两支中性笔，请用列表或画树状图的方法，求取出的两支中性笔都是蓝色的概率．
【答案】(1)
(2)取出的两支中性笔都是蓝色的概率为 ．
【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率．
（1）直接由概率公式即可得出结果；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中取出的两支中性笔都是蓝色的可能性有6种，再由概率公
式求解即可得出结论．
【详解】（1）解：小明从笔袋中随机取出一支中性笔，则取出的中性笔为蓝色有3种情况，∴小明能取到红笔的概率为： ；
（2）解：将3支蓝色笔记为A，B，C，1支为红色记为D，则画树状图为：
所有等可能的情况有12种，其中取出的两支中性笔都是蓝色的可能性有6种，
∴取出的两支中性笔都是蓝色的概率为 ．
12．国庆假期，小明一家准备去西安某景点旅游，出发前需要采购一些生活用品，小明提议采用掷骰子的
方式决定谁去采购．小明抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别标有数字 ），若向上的点数是3的倍
数，则妈妈去；若向上的点数不是3的倍数，则爸爸去．
(1)上述方式公平吗？请说明理由；
(2)为了能使游戏更为公平，请你帮小明设计一种对爸爸、妈妈都公平的规则，并说明你的设计依据．
【答案】(1)不公平，理由见解析，
(2)若向上的点数是奇数，则妈妈去，若向上的点数是偶数，则爸爸去．（不唯一）
【分析】此题主要考查了概率公式，正确应用概率公式是解题关键．
（1）直接得出是3的倍数的个数，再利用概率公式求出答案．
（2）保证他们的概率相等即可．
【详解】（1）根据题意可知，抛掷这个骰子得到的数共6种等可能结果，其中是3的倍数是3，6共2种
结果，
所以向上的点数是3的倍数的概率为： ．
向上的点数不是3的倍数的概率为： ．
∴爸爸去的概率大，不公平，
（2）保证爸爸、妈妈去的概率相等即可；
如：若向上的点数是奇数，则妈妈去，若向上的点数是偶数，则爸爸去，此时他们的概率为 ，所以公平．
13．近日，国产 大模型 的爆火引发了全球科技界的广泛关注．人工智能（ ）是一种模拟人
类智能行为的科学和技术．它通过计算机系统模拟、延伸和扩展人类的感知、推理、学习和决策等智能能
力，使机器能够像人一样进行思考和处理问题．现有四场网络直播，这四场直播分别以A．机器人技术，
B．计算机视觉，C．自然语言处理，D．专家系统为主题，对这四类人工智能分别进行讲解，这四场直播
同时开始．乐乐和千千准备各自听一场网络直播然后两人互相分享，乐乐先从这四类中随机选择一类进直
播间听讲解，然后千千从剩下的三类中随机选择一类进直播间听讲解，记乐乐的选择为x，千千的选择为
y．(1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求 所有可能出现的结果总数；
(2)求乐乐和千千中有一人选择计算机视觉的概率P．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了概率的基本概念与计算方法，列举法（列表法或树状图法），通过列表法或树状图法
可以清晰地展示所有可能的结果，这是求概率的基础．
（1）根据题意由列表法或树状图法可以清晰地展示所有可能的结果即可．
（2）在得出所有结果后，找出满足“乐乐和千千中有一人选择计算机视觉”的结果数，再根据概率公式
（其中 n 是所有可能结果数，m 是事件A发生的结果数）计算概率．
【详解】（1）解：列表如下：
A B C D
A
B
C
D
由表可得，共有12种等可能的结果；
（2）解：由表格可知，乐乐和千千中有一人选择计算机视觉的共有6种结果，
分别为： ，
记作事件M：乐乐和千千中有一人选择计算机视觉，
．
14．某班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘
的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据：
10
转动转盘的次数 200 300 400 500 1000
0
落在“书画”区域的次数 60 122 180 298 604落在“书画”区域的频率
0.6 0.61 0.6 0.59 0.604
(1)完成上述表格： ______； ______；
(2)假如你去转动该转盘一次，你获得“书画”奖品的概率约是______（精确到0.1）；
(3)在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是多少度？
【答案】(1)295；0.745
(2)0.6
(3)
【分析】本题考查利用频率估计概率、扇形统计图、可能性大小，解答本题的关键是明确题意，利用数形
结合的思想解答本题．
（1）根据频率 频数 总数求解即可；
（2）根据表格中的数据可以估计频率是多少以及转动该转盘一次，获得“书画作品”的概率；
（3）用 乘以获得“手工”奖品的概率即可．
【详解】（1）解： ，
故答案为：295；0.745；
（2）估计当 很大时，频率将会接近0.6，
即假如转动该转盘一次，获得“书画”奖品的概率约是0.6，
故答案为：0.6；
（3） ，
答：在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是 ．
15．新考法结合转盘考查概率的计算王老师要从班上选一个学生参加周末的志愿者服务活动，小红和小宇
积极要求参加，但是只有一个指标，王老师为解决这个问题，拿出两个质地均匀的转盘A，B（如图），转
盘A被四等分，分别标有数字1，2，3，4；转盘B 被三等分，分别标有数字5，6，7.制定如下规则：随
意转动A，B转盘各一次，转盘停止后，将A，B转盘的指针所指数字相乘（指针指向两个扇形的交线时，
重新转动转盘），若积为偶数，则小红参加；若积为奇数，则小宇参加．
(1)这个规则对双方公平吗？请说明理由．
(2)数学课代表小华认为只要在转盘 B上修改其中一个数字，就可以使这个规则对双方公平，请你写出小华是如何修改的．
【答案】(1)不公平，见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了游戏公平性的判断，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，
否则就不公平，用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．游戏是否公平，关键要看游戏双方
取胜的机会是否相等，采用列表法分别求出小红、小宇参加的概率，判断概率是否相等．
【详解】（1）不公平；理由如下：
根据题意列表如下：
转盘A
转盘
B
1 2 3 4
5
6
7
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中积是奇数的结果有4种，积是偶数的结果有8种，
（小宇参加） ，P（小红参加） ，
，
这个规则对双方不公平；
（2）将B转盘上的数字6改成奇数即可；
，4与任何整数相乘都是偶数，
只要满足1，3与转盘B上的数字的乘积是奇数即可．
16．某店举办“盲盒抽奖”活动，在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共30个，这些球除颜色
外其余完全相同，每次摸奖，店员将球搅匀后，顾客从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子
中，店员记录了抽奖数据如下：
摸球的次数 50 100 300 500 800 1000 2000
摸到红球的次数 14 33 95 155 241 298 598
摸到红球的频率 0.33 0.317 0.31 0.301 0.298 0.299
(1)上表中的 _____；
(2)通过以上摸奖数据，摸到红球的概率估计为_____（结果精确到0.01）；
(3)若先从袋子中取出 个红球，不放回，再从袋子中随机摸出1个球，此时“摸出黑球”为必然事件，则
_____；(4)若先从袋子中取出 个红球，再放入 个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个红球的概率为 ．求 的值．
【答案】(1)0.28
(2)0.30
(3)9
(4)3
【分析】此题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体
数目 总体数目 相应频率．
（1）根据表中的数据计算即可；
（2）由表中摸球次数逐渐增大后，摸到红球的频率逐渐靠近于0.3，从而得出摸到红球的概率；
（3）根据盒子里有9个红球，再根据“摸出黑球”为必然事件，从而得出 ；
（4）根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
【详解】（1）解： ．
故答案为：0.28；
（2）解：通过以上实验，摸到红球的概率估计为 ，
故答案为： ；
（3）解： 摸到红球的概率估计为0.3，
盒子里红球的数量为 （个），
“摸出黑球”为必然事件，
．
故答案为：9；
（4）解：由（3）知红球9个，黑球21个，根据题意得：
，
解得： ，
答： 的值为3．
