文档内容
第 22 章 二次函数
【考点01】二次函数的概念
【考点02】特殊二次函数的图像和性质
【考点03】与特殊二次函数有关的几何知识
【考点04】二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质
【考点05】二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题
【考点06】根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息
【考点07】二次函数的平移变换
【考点08】二次函数与一次函数的交点个数问题
【考点09】根据二次函数图像确定一元二次方程的解
【考点10】根据二次函数图像确定不等式式的解
【考点11】二次函数应用-类抛物线问题
【考点12】二次函数应用-面积问题
【考点13】二次函数应用-利润问题
【考点14】二次函数与几何综合应用
【知识点1】 二次函数的概念
一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
【知识点2】 二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．
（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．
（3）交点式：y=a（x–x ）（x–x ），其中x ，x 是二次函数与x轴的交点的横坐标，
1 2 1 2
a≠0．【知识点3】 二次函数的图象及性质
解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
对称轴 x=–
顶点 （– ， ）
a的符号 a>0 a<0
图象
开口方向 开口向上 开口向下
最值 当x=– 时，y = 当x=– 时，y =
最小值 最大值
最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点
当x<– 时，y随x的增大而减小； 当x<– 时，y随x的增大而增
增减性
当x>– 时，y随x的增大而增大 大；当x>– 时，y随x的增大而
减小
【知识点4】抛物线的平移
二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的
加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之
间的平移求出变化后的解析式．
【知识点5】二次函数与一元二次方程的关系
1）二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0），当 y=0 时，就变成了一元二次方程 ax2+bx+c=0
（a≠0）．2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．
3）（1）b2–4ac>0 方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；
（2）b2–4ac=0 方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；
⇔
（3）b2–4ac<0 方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．
⇔
⇔
【知识点6】 用二次函数的性质解决实际问题
利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法
是：
（1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的
取值范围
（2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值
【知识点7】 用二次函数图象解决几何问题
二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二
次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和
未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的
模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的
有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的
【考点01】二次函数的概念
1．下列y关于x的函数中，是二次函数的是（ ）
2
A．y=22−x B．y=(x−1) 2−x2 C．y= D．y=3x2
x2
2．二次函数y=2x2−3x的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．2，0，−3 B．2，−3，0 C．2，3，0 D．2，0，33．函数 是二次函数，则m的值为（ ）
y=(m+2)x(m2−m−4)+(m−3)x+m
A．1或−6 B．1 C．−2或3 D．3
【考点02】特殊二次函数的图像和性质
1．二次函数 图象的顶点坐标为（ ）
y=2(x−2) 2−1
A．(−2,1) B．(2,1) C．(2,−1) D．(−2,−1)
2．已知二次函数 下列说法正确的是（ ）
y=−3(x+2) 2−3
A．对称轴为：直线x=2 B．当x>2时，y随x的增大而减小
C．函数的最小值是−3 D．顶点坐标为(2, −3)
3．已知 ， 两点在抛物线 上，如果 ，那么下列
A(x ,y ) B(x ,y ) y=−(x+1) 2 x 1时，y随x的增大而减小
C．a+b+c<0 D．该二次函数图象与x轴只有一个交点
8．点 ；点 ，点 都在二次函数 的图象上，则（ ）
A(0,y ) B(1,y ) C(3,y ) y=2(x−1) 2
1 2 3
A．y 0) A(1, n), B(3, n)
也在该二次函数图象上，则下列结论正确的是
C(−1, y ), D(0, y ), E(6, y )
1 2 3
（ ）A．y 0
C．ac−b=0
D．2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根
【考点05】二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题
1．已知二次函数 （h为常数），当 时，y的最小值为10，则h的值
y=(x−h) 2+6 1≤x≤3
为（ ）
A．1或−5 B．1或−3 C．1或3 D．−1或5
2．二次函数y=x2+bx+c的图象过A(3,1)，B(5,1)两点，则此抛物线的对称轴是
（ ）
A．直线x=1 B．直线x=3 C．直线x=4 D．直线x=5
3．点P(m,n)在以y轴为对称轴的二次函数y=x2+ax+4的图象上．则m−n的最大值等于
（ ）
15 17 15
A． B．5 C．− D．−
4 4 4
4．已知二次函数y=ax2−4ax+3（a为常数，且a>0），当1≤x≤4时，函数的最小值为
−1，则a的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．已知二次函数y=ax2+4ax−a2+3（a是常数，且a≠0），当x<−3时，y随x的增大
而减小，当−1≤x≤1时，y的最小值是−1，则a的值为（ ）
A．4 B．−4或1 C．−4 D．1
6．已知二次函数 ，当 时， 随 的增大而增大．当
y=mx2−8mx+16m+8(m≠0) x<3 y x04ac；③4a+2b+c>0；④3a+c>0；⑤
a+b≤m(am+b)（m为任意实数）；⑥当x<−1时，y随x的增大而增大．其中结论
正确的为（ ）．
A．①②④ B．②③④ C．②④⑤ D．②④⑥
2．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x=1，有下列结论：①
c−b
abc>0；②b2<4ac；③(a+c) 2>b2；④a< ，其中正确结论的个数是（ ）
2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图为二次函数 的图象，则下列说法：① ，② ，
y=ax2+bx+c(a≠0) abc>0 2a+b=0
③ ，④若 ， 是抛物线上的两点，则 ，其中说法正确
a+b+c>0 (−2,y ) (−3,y ) y >y
1 2 1 2
的有（ ）A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
4．如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是直线x=−1，且过点
(−3,0)，下列说法：①abc<0；②2a−b=0；③4a+2b+c<0；④若
(−5,y )，(3,y )是抛物线上的两点，则y 0 B．a−b+c<0
C．阴影部分的面积为4 D．若c=1，则b2=−4a
【考点08】二次函数与一次函数的交点个数问题
1．如图，抛物线y=−x2+14x−45与x轴交于点A, B，把抛物线在x轴及共其上方的部
分记作C 将C 向左平移得到C ，C 与x轴交于点B, D，若直线y=−x+m与C , C
1 1 2 2 1 2
共3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
29 29 45 45
A．53
2．已知二次函数y=x2−4x−5，则该二次函数图象与y轴交点坐标为 ．
3．已知抛物线 与 轴的一个交点坐标为 ，则抛物线与 轴的
y=ax2−4ax+2(a≠0) x (−3,0) x
另一个交点坐标为 ．
4．抛物线 与 轴有两个交点，则 的取值范围是 ．
y=(k−1)x2−2x−3 x k
5．如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n相交于点A(1,6),B(4,3)．则关于x的方
程 的根是 ．
ax2+(b−m)x+c=n6．若二次函数y=3x2+bx+c的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程
3x2+bx+c=0的一个解x =3，则另一个解x = ．
1 2
【考点10】根据二次函数图像确定不等式式的解
1．如图，抛物线y=−x2+bx+c交y轴于点(0，5)，对称轴为直线x=−2，若y<5，则x
的取值范围是（ ）
A．−40 D．x<−5或x>0
2．二次函数y=x2+x−2的图象如图所示，则当函数值y>0时，x的取值范围是 ．
3．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，当y<0时，自变量x的取值范围是 ．
4．如图，二次函数y=x2+4x+3的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A(−1,0)，
B(−4,3)，则不等式x2+4x+3
