第 22 章 二次函数
【考点01】二次函数的概念
【考点02】特殊二次函数的图像和性质
【考点03】与特殊二次函数有关的几何知识
【考点04】二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质
【考点05】二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题
【考点06】根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息
【考点07】二次函数的平移变换
【考点08】二次函数与一次函数的交点个数问题
【考点09】根据二次函数图像确定一元二次方程的解
【考点10】根据二次函数图像确定不等式式的解
【考点11】二次函数应用-类抛物线问题
【考点12】二次函数应用-面积问题
【考点13】二次函数应用-利润问题
【考点14】二次函数与几何综合应用
【知识点1】 二次函数的概念
一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
【知识点2】 二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．
（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．
（3）交点式：y=a（x–x ）（x–x ），其中x ，x 是二次函数与x轴的交点的横坐标，
1 2 1 2
a≠0．【知识点3】 二次函数的图象及性质
解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
对称轴 x=–
顶点 （– ， ）
a的符号 a>0 a<0
图象
开口方向 开口向上 开口向下
最值 当x=– 时，y = 当x=– 时，y =
最小值 最大值
最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点
当x<– 时，y随x的增大而减小； 当x<– 时，y随x的增大而增
增减性
当x>– 时，y随x的增大而增大 大；当x>– 时，y随x的增大而
减小
【知识点4】抛物线的平移
二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的
加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之
间的平移求出变化后的解析式．
【知识点5】二次函数与一元二次方程的关系
1）二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0），当 y=0 时，就变成了一元二次方程 ax2+bx+c=0
（a≠0）．2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．
3）（1）b2–4ac>0 方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；
（2）b2–4ac=0 方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；
⇔
（3）b2–4ac<0 方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．
⇔
⇔
【知识点6】 用二次函数的性质解决实际问题
利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法
是：
（1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的
取值范围
（2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值
【知识点7】 用二次函数图象解决几何问题
二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二
次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和
未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的
模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的
有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的
【考点01】二次函数的概念
1．下列y关于x的函数中，是二次函数的是（ ）
2
A．y=22−x B．y=(x−1) 2−x2 C．y= D．y=3x2
x2
2．二次函数y=2x2−3x的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．2，0，−3 B．2，−3，0 C．2，3，0 D．2，0，33．函数 是二次函数，则m的值为（ ）
y=(m+2)x(m2−m−4)+(m−3)x+m
A．1或−6 B．1 C．−2或3 D．3
【考点02】特殊二次函数的图像和性质
1．二次函数 图象的顶点坐标为（ ）
y=2(x−2) 2−1
A．(−2,1) B．(2,1) C．(2,−1) D．(−2,−1)
2．已知二次函数 下列说法正确的是（ ）
y=−3(x+2) 2−3
A．对称轴为：直线x=2 B．当x>2时，y随x的增大而减小
C．函数的最小值是−3 D．顶点坐标为(2, −3)
3．已知 ， 两点在抛物线 上，如果 ，那么下列
A(x ,y ) B(x ,y ) y=−(x+1) 2 x <x <−1
1 1 2 2 1 2
结论一定成立的是（ ）．
A．0<y <y B．0<y <y C．y <y <0 D．y <y <0
2 1 1 2 1 2 2 1
4．二次函数 的最大值为（ ）
y=−(x−3) 2+1
A．x=3 B．x=1 C．y=3 D．y=1
5．若二次函数y=x2+mx的对称轴为直线x=3，则m=（ ）
A．3 B．−3 C．6 D．−6
6．在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx的图象可能为
（ ）
A． B．
C． D．【考点03】与特殊二次函数有关的几何知识
1．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的
1
两条抛物线关于y轴对称，左轮廓ACB所在抛物线的解析式为y= (x+3) 2．则右轮廓
4
DFE所在抛物线的解析式为（ ）
1
A．y=4(x−3) 2 B．y= (x−3) 2
4
1
C．y=−4(x−3) 2 D．y=− (x−3) 2
4
2．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2的图象如图所示．已知A点坐标为(1,1)，过点A作
A A ∥x轴交抛物线于点A ，过点A 作A A ∥OA交抛物线于点A ，过点A 作
1 1 1 1 2 2 2
A A ∥x轴交抛物线于点A ，过点A 作A A ∥OA交抛物线于点A ⋯，依次进行
2 3 3 3 3 4 4
下去，则点A 的坐标为（ ）
2023
A． B．
(−1013,10132) (−1012,10122)
C． D．
(−1011,10112) (−1010,10102)
【考点04】二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质
1．对于二次函数y=x2−2x+3，下列说法正确的是（ ）
A．图象开口向下 B．当x=1时，y有最大值为2C．对称轴是直线x=1 D．与y轴的交点坐标为(0,−3)
2．在同一平面直角坐标系内，一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+8x+c的图象可能
是（ ）
A． B． C． D．
3．二次函数y=ax2+bx+3（a≠0）的图象过点(1,1)，则a+b−1的值（ ）
A．0 B．1 C．−1 D．−3
4．二次函数y=bx2+2b2x−6（b为常数，且b≠0）的图象经过(−2,n)和(4,n)两点，则
该二次函数（ ）
A．有最大值−7 B．有最小值−7 C．有最小值−5 D．有最大值−5
5．抛物线y=x2−4x+5的顶点坐标是（ ）
A．(−2,1) B．(2,1) C．(−2,−1) D．(2,−1)
6．已知二次函数y=x2−bx+1在−1≤x≤2时最小值为−3，则b的值为（ ）
A．4 B．4或−5 C．−5 D．±4或−5
7．已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表，则下列结
论正确的是（ ）
x ⋯ −3 −2 0 1 3 4 ⋯
y ⋯ −12 −5 3 4 0 −5 ⋯
A．图象的开口向上 B．当x>1时，y随x的增大而减小
C．a+b+c<0 D．该二次函数图象与x轴只有一个交点
8．点 ；点 ，点 都在二次函数 的图象上，则（ ）
A(0,y ) B(1,y ) C(3,y ) y=2(x−1) 2
1 2 3
A．y <y <y B．y <y <y C．y <y <y D．y <y <y
2 1 3 3 1 2 2 3 1 1 3 2
9．已知二次函数 的图象过点 ，若点
y=ax2+bx+c(a>0) A(1, n), B(3, n)
也在该二次函数图象上，则下列结论正确的是
C(−1, y ), D(0, y ), E(6, y )
1 2 3
（ ）A．y <y <y B．y <y <y C．y <y <y D．y <y <y
1 2 3 2 1 3 3 1 2 1 3 2
10．二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，且OA=OC，
已知对称轴为直线x=1，则下列结论中，不正确的是（ ）
A．abc<0
B．a+b+c>0
C．ac−b=0
D．2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根
【考点05】二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题
1．已知二次函数 （h为常数），当 时，y的最小值为10，则h的值
y=(x−h) 2+6 1≤x≤3
为（ ）
A．1或−5 B．1或−3 C．1或3 D．−1或5
2．二次函数y=x2+bx+c的图象过A(3,1)，B(5,1)两点，则此抛物线的对称轴是
（ ）
A．直线x=1 B．直线x=3 C．直线x=4 D．直线x=5
3．点P(m,n)在以y轴为对称轴的二次函数y=x2+ax+4的图象上．则m−n的最大值等于
（ ）
15 17 15
A． B．5 C．− D．−
4 4 4
4．已知二次函数y=ax2−4ax+3（a为常数，且a>0），当1≤x≤4时，函数的最小值为
−1，则a的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．已知二次函数y=ax2+4ax−a2+3（a是常数，且a≠0），当x<−3时，y随x的增大
而减小，当−1≤x≤1时，y的最小值是−1，则a的值为（ ）
A．4 B．−4或1 C．−4 D．1
6．已知二次函数 ，当 时， 随 的增大而增大．当
y=mx2−8mx+16m+8(m≠0) x<3 y x0<x<t时，函数的最大值是8，最小值是16m+8，则t的值可能是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．9
【考点06】根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息
1．对称轴为直线x=1的抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图，小明
同学得出了以下结论：①abc<0；②b2>4ac；③4a+2b+c>0；④3a+c>0；⑤
a+b≤m(am+b)（m为任意实数）；⑥当x<−1时，y随x的增大而增大．其中结论
正确的为（ ）．
A．①②④ B．②③④ C．②④⑤ D．②④⑥
2．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x=1，有下列结论：①
c−b
abc>0；②b2<4ac；③(a+c) 2>b2；④a< ，其中正确结论的个数是（ ）
2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图为二次函数 的图象，则下列说法：① ，② ，
y=ax2+bx+c(a≠0) abc>0 2a+b=0
③ ，④若 ， 是抛物线上的两点，则 ，其中说法正确
a+b+c>0 (−2,y ) (−3,y ) y >y
1 2 1 2
的有（ ）A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
4．如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是直线x=−1，且过点
(−3,0)，下列说法：①abc<0；②2a−b=0；③4a+2b+c<0；④若
(−5,y )，(3,y )是抛物线上的两点，则y <y ．其中说法正确的是（ ）
1 2 1 2
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
【考点07】二次函数的平移变换
1．将二次函数y=−2x2的图象向右平移3个单位，再向上平移4个单位，那么所得的解析
式为（ ）．
1
A．y=− (x−3) 2−4 B．y=−2(x−3) 2+4
2
1
C．y=−2(x+3) 2−4 D．y=− (x+3) 2+4
2
2．将抛物线 向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的
y=(x−1) 2+2
抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
y=(x−4) 2 y=(x−4) 2+4 y=(x+1) 2+5 y=(x−3) 2+5
3．将抛物线y=x2+2x+4的图象向右平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的函数是
（ ）
A． B． C． D．
y=x2 y=(x+2) 2 y=(x−2) 2−2 y=x2+1
4．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，顶点C的纵坐标为−2，现将
抛物线向右平移2个单位，得到抛物线 ，则下列结论正确的是
y=a x2+b x+c
1 1 1
（ ）A．b>0 B．a−b+c<0
C．阴影部分的面积为4 D．若c=1，则b2=−4a
【考点08】二次函数与一次函数的交点个数问题
1．如图，抛物线y=−x2+14x−45与x轴交于点A, B，把抛物线在x轴及共其上方的部
分记作C 将C 向左平移得到C ，C 与x轴交于点B, D，若直线y=−x+m与C , C
1 1 2 2 1 2
共3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
29 29 45 45
A．5<m< B．1<m< C．5<m< D．1<m<
4 4 4 4
2．函数y=¿的图象如图所示，若直线y=x+t与该图象只有一个交点，则t的取值范围为
．
3．在平面直角坐标系中，将横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知抛物线y=x²−2x
与x轴的交点为A，B．
（1） 线段AB上的整点个数为 ；
（2） 抛物线在点A，B之间的部分与线段AB 所围成的区域内（包括边界）整点个数
为 ．
4．如图，抛物线y=−2x2+4x与x轴交于点O，A，把抛物线在x轴及其上方的部分记为C ，将C 以y轴为对称轴作轴对称得到C ，C 与x轴交于点B，若直线y=m与C ，
1 1 2 2 1
C 共有4个不同的交点，则m的取值范围是 ．
2
【考点09】根据二次函数图像确定一元二次方程的解
1．如图，抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(−1,p)，B(3,q)两点，则方程
ax2+c=mx+n的解为（ ）
A．x=−1 B．x=3 C．x=−1或3 D．x<−1或x>3
2．已知二次函数y=x2−4x−5，则该二次函数图象与y轴交点坐标为 ．
3．已知抛物线 与 轴的一个交点坐标为 ，则抛物线与 轴的
y=ax2−4ax+2(a≠0) x (−3,0) x
另一个交点坐标为 ．
4．抛物线 与 轴有两个交点，则 的取值范围是 ．
y=(k−1)x2−2x−3 x k
5．如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n相交于点A(1,6),B(4,3)．则关于x的方
程 的根是 ．
ax2+(b−m)x+c=n6．若二次函数y=3x2+bx+c的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程
3x2+bx+c=0的一个解x =3，则另一个解x = ．
1 2
【考点10】根据二次函数图像确定不等式式的解
1．如图，抛物线y=−x2+bx+c交y轴于点(0，5)，对称轴为直线x=−2，若y<5，则x
的取值范围是（ ）
A．−4<x<0 B．−5<x<0 C．x<−4或x>0 D．x<−5或x>0
2．二次函数y=x2+x−2的图象如图所示，则当函数值y>0时，x的取值范围是 ．
3．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，当y<0时，自变量x的取值范围是 ．
4．如图，二次函数y=x2+4x+3的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A(−1,0)，
B(−4,3)，则不等式x2+4x+3<kx+b的解集是 ．【考点11】二次函数应用-类抛物线问题
1．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加
（ ）
A．(2❑√2+2)m B．(2❑√2−2)m C．(4❑√2−4)m D．(4❑√2+4)m
2．如图，铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系是
1 2 5
y=− x2+ x+ ，则该运动员此次掷铅球的成绩是（ ）m．
12 3 3
A．12 B．10 C．8 D．2
3．一次足球训练中，小明从球门正前方8米的A处射门，足球射向球门的路线呈抛物线，
当足球飞行的水平距离为6米时，足球达到最高点，此时球离地面3米．已知球门OB
高为2.44米，现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系．(1)求y关于x的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽路其他因素）？
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带
5
球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方 米处？
3
4．【综合与探究】
乒乓球被誉为中国国球．在世界乒乓球大赛中，中国队经常夺得冠军，成绩的取得与
平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的，如题图1，是乒乓球台的截面示意图，
一位运动员从球台边缘正上方以击球高度OA为28.75cm的高度，将乒乓球向正前方击
打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分，如题图2所示．
乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位；cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位；
cm）测得数据如下表所示：
水平距离
0 10 50 90 130 170 230
x/cm
竖直高度 28.75 33 45 49 45 33 0
y/cm
(1)在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点(x,y)，并画出表示乒
乓球运行轨迹形状的大致图象；
(2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是__________cm，当乒乓球落在对
面球台上时，到起始点的水平距离是__________cm；
②求满足条件的抛物线解析式；(3)技术分析：如果只上下调整击球高度OA，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了
确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出OA的取值范围，以利于有
针对性的训练．如图②，乒乓球台长OB为270cm，球网高CD为15.25cm，现在已经
计算出乒乓球恰好过网的击球高度OA的值约为44cm．请你计算出乒乓球恰好落在对
面球台边缘点B处时，击球高度OA的值（乒乓球大小忽略不计）
5．如图1所示的是山西晋城景德桥，是继赵州桥之后我国现存历史悠久的古代珍贵桥梁之
一．桥拱截面OBA可以看作抛物线的一部分（如图2），在某一时刻，桥拱内的水面
宽约20米，桥拱顶点B到水面的距离为4米．
(1)如图2，以该时刻水面为x轴，桥拱与水面的一个交点为原点建立直角坐标系，求
桥拱部分抛物线的解析式．
(2)现有两个宽为4米，高3米的小舟，相向而行，恰好同时接近拱桥，问两小舟能否
同时从桥下穿过，并说明理由．
6．项目学习实践
项目主题：合理设置智慧洒水车喷头
项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化．
如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组
成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌
到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的
项目式学习．
任务一：测量建模
利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、
下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口H离地面竖直高度h为1.2米．上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米；
（1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式；
任务二：推理分析
小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状
不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
（2）请你结合模型探究下边缘抛物线与x轴交点B的坐标；
任务三：实践探究
如果我们把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE=1.8米，竖直高度
EF=1.1米，洒水车到绿化带的距离OD为d米．
（3）当调整与绿化带距离为d=2.2米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否洗灌到整
个绿化带？请说明理由．
【考点12】二次函数应用-面积问题
1．如图小张想用总长60m的篱笆围成矩形ABCD场地，其中AD边靠墙，墙体最多能用
，矩形 的面积 随矩形边长 设为 的变化而变化．
30m ABCD S(m2) AB x(m)
(1)求S与x之间的函数关系；
(2)当x为多少m时，矩形的面积是400m2？此时长宽分别是多少m？2．如图，学校准备在教学楼后面搭建两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙
（可利用墙长为60m），其他的边用总长70m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个
1m的出口，不锈钢栅栏呈“山”字形．
(1)设自行车车棚面积为 ，车棚宽 为 ，求 与 之间的函数关系式，并
Sm2 AB xm S(m2) x(m)
写出自变量x的取值范围；
(2)若车棚面积为285m2，求自行车车棚的长和宽；
(3)求车棚面积的最大值．
3．某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度
OM=12米，顶点P到底部OM的距离为9米．将该抛物线放入平面直角坐标系中，
点M在x轴上．其内部支架有两个符合要求的设计方案：方案一是“川”字形内部支
架（由线段AB，PN，DC构成），点B，N，C在OM上，且OB=BN=NC=CM，
点A，D在抛物线上，AB，PN，DC均垂直于OM；方案二是“H”形内部支架（由
线段A′B′，D′C′，EF构成），点B′，C′在OM上，且OB′=B′C′=C′M，点A′，D′
在抛物线上，A′B′，D′C′均垂直于OM，E，F分别是A′B′，D′C′的中点．(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架节省材
料？请说明理由．
4．【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒
等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变
形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例：求代数式y2+4 y+8的最小值．
解： ，
y2+4 y+8= y2+4 y+4+4=(y+2) 2+4
∵ ，∴ ，
(y+2) 2≥0 (y+2) 2+4≥4
∴当y=−2时，y2+4 y+8的最小值是4．(1)【类比探究】
代数式x2−10x+30的最小值是 ；
(2)【灵活运用】
试说明：无论 取何实数，二次根式 都有意义；
x ❑√x2+x+2
(3)【拓展应用】
如图某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙
（墙的长度为15m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2
的矩形，栅栏的总长度为24m．当BF为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为
多少？
【考点13】二次函数应用-利润问题
1．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，
每降价1元，每星期可多卖出30件．已知商品的进价为每件40元．设每件商品降价x
元．
(1)用含x的代数式表示下列各量．
①每件商品的利润为______元；②每星期卖出商品的件数为______件．
(2)当商家每星期想获得利润5280元，如何定价？
(3)如何定价才能使每星期的利润最大，其最大值是多少．
2．某超市销售樱桃，已知樱桃的进价为15元/千克，如果售价为20元/千克，那么每天可
售出250千克，如果售价为25元/千克，那么每天可售出200千克，经调查发现：每
天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系．
(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若该超市每天要获得利润810元，同时又要让消费者得到实惠，则售价x应定为多
少元？
(3)若樱桃的售价不得高于28元/千克，请问售价定为多少时，该超市每天销售樱桃所
获的利润最大？最大利润是多少元？
3．某超市购进甲、乙两种商品，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，
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甲商品比乙商品每箱多盈利5元，甲商品箱数是乙商品箱数的 倍．
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(1)求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？
(2)甲、乙两种商品全部售完后，该超市又购进一批甲商品，在原来每箱盈利额不变的
前提下，平均每天可售出100箱．若调整价格，每降价1元，平均每天可多售出20箱，
那么当降价多少元时，该超市获得的利润最大？最大利润是多少元？
【考点14】二次函数与几何综合应用
1．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(−1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,−3)．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点Q为抛物线上一点，若S =8，求出此时点Q的坐标．
△QAB2．如图所示，抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点
A的坐标为A(−2,0)，点C的坐标为C(0,6)，对称轴为直线x=1．点D是抛物线上一
个动点，设点D的横坐标为m(1<m<4)，连接AC、BC、DC、DB．
(1)求出二次函数表达式；
3
(2)若△BCD的面积等于△AOC面积的 时，求m的值；
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(3)在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否
存在这样的点M，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请
直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
3．若一次函数y=−3x−3的图象与x轴、y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为(3,0)，
二次函数y=ax2+bx+c的图象过A，B，C三点，如图所示．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若BC恰好平分∠DBE，求直线BE的表达式．
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4.如图，已知二次函数y =− x2+ x+c的图象与x轴的一个交点为A(4, 0)，与y轴的交
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点为B，过A、B的直线为y =kx+b．
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(1)求二次函数y 的解析式及点B的坐标；
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(2)由图象写出满足y <y 的自变量x的取值范围；
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(3)在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，
求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，直线BC与x轴，y轴的交点分别为B(4,0)，C(0,4)，过
点B、C的抛物线y=−x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，连接AC、BC．(1)求该抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在点Q，使∠CBQ=90°−∠ACB？若存在，请求出点Q的坐标；
若不存在，请说明理由．
(3)P是抛物线上的任意一点（不与点C重合），且点P的横坐标为m，过点P作
PM⊥y轴于点M，作PN⊥x轴于点N，当此抛物线在矩形PMON内部的点的纵坐
标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围．
