文档内容
第 22 章 二次函数
【考点01】二次函数的概念
【考点02】特殊二次函数的图像和性质
【考点03】与特殊二次函数有关的几何知识
【考点04】二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质
【考点05】二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题
【考点06】根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息
【考点07】二次函数的平移变换
【考点08】二次函数与一次函数的交点个数问题
【考点09】根据二次函数图像确定一元二次方程的解
【考点10】根据二次函数图像确定不等式式的解
【考点11】二次函数应用-类抛物线问题
【考点12】二次函数应用-面积问题
【考点13】二次函数应用-利润问题
【考点14】二次函数与几何综合应用
【知识点1】 二次函数的概念
一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
【知识点2】 二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．
（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．
（3）交点式：y=a（x–x ）（x–x ），其中x ，x 是二次函数与x轴的交点的横坐标，
1 2 1 2
a≠0．【知识点3】 二次函数的图象及性质
解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
对称轴 x=–
顶点 （– ， ）
a的符号 a>0 a<0
图象
开口方向 开口向上 开口向下
最值 当x=– 时，y = 当x=– 时，y =
最小值 最大值
最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点
当x<– 时，y随x的增大而减小； 当x<– 时，y随x的增大而增
增减性
当x>– 时，y随x的增大而增大 大；当x>– 时，y随x的增大而
减小
【知识点4】抛物线的平移
二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的
加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之
间的平移求出变化后的解析式．
【知识点5】二次函数与一元二次方程的关系
1）二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0），当 y=0 时，就变成了一元二次方程 ax2+bx+c=0
（a≠0）．2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．
3）（1）b2–4ac>0 方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；
（2）b2–4ac=0 方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；
⇔
（3）b2–4ac<0 方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．
⇔
⇔
【知识点6】 用二次函数的性质解决实际问题
利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法
是：
（1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的
取值范围
（2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值
【知识点7】 用二次函数图象解决几何问题
二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二
次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和
未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的
模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的
有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的
【考点01】二次函数的概念
1．下列y关于x的函数中，是二次函数的是（ ）
2
A．y=22−x B．y=(x−1) 2−x2 C．y= D．y=3x2
x2
【答案】D
【分析】一般地，我们把形如ax2 +bx+c=0(a≠0)（其中是a、b、c为常数）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项，根据二次函数的
定义逐项判断即可．
本题考查了二次函数的定义，理解并掌握二次函数的定义是解题的关键．
【详解】A．y=22−x，是一次函数，故该选项不符合题意；
B．y=(x−1) 2−x2 =−2x+1，是一次函数，故该选项不符合题意；
2
C．y= ，不符合二次函数的定义，不是二次函数，故该选项不符合题意；
x2
D．y=3x2，是二次函数，故该选项符合题意．
故选：D．
2．二次函数y=2x2−3x的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．2，0，−3 B．2，−3，0 C．2，3，0 D．2，0，3
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键；因此
此题可根据“二次函数y=ax2 +bx+c中，二次项系数为a，一次项系数为b，常数项
为c”进行求解即可．
【详解】解：二次函数y=2x2−3x的二次项系数、一次项系数和常数项分别为
a=2,b=−3,c=0，
故选B．
3．函数y=(m+2)x(m2−m−4)+(m−3)x+m是二次函数，则m的值为（ ）
A．1或−6 B．1 C．−2或3 D．3
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的定义．根据二次函数定义可知最高次项次数为2，且最高
次项系数不为零，据此列出方程求解即可．
{ m+2≠0 )
【详解】解：由题意得 ，解得m=3，
m2−m−4=2
故选：D．
【考点02】特殊二次函数的图像和性质
1．二次函数y=2(x−2) 2−1图象的顶点坐标为（ ）A．(−2,1) B．(2,1) C．(2,−1) D．(−2,−1)
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，并明确
y=a(x−h) 2 +k(a≠0)的顶点坐标为(h,k)．
根据顶点式的意义直接解答即可．
【详解】解：二次函数y=2(x−2) 2−1的图象的顶点坐标为(2,−1)．
故选：C．
2．已知二次函数y=−3(x+2) 2−3下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为：直线x=2 B．当x>2时，y随x的增大而减小
C．函数的最小值是−3 D．顶点坐标为(2, −3)
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式解析式的图像和性质，解题的关键是掌握二
次函数的图像和性质．
利用二次函数的顶点式解析式的图像和性质，逐项进行判断即可．
【详解】解：由y=−3(x+2) 2−3得，y=−3[x−(−2)) 2 +(−3)，
∴对称轴为直线x=−2，顶点坐标为(−2, −3)，
故选项A和D错误，不符合题意；
∵a=−3<0，
∴顶点坐标为最高点，顶点纵坐标为最大值，最大值为−3，
故选项C错误，不符合题意；
当x>2时，y随x的增大而减小，
故选项B正确，符合题意；
故选：B．
3．已知A(x ,y )，B(x ,y )两点在抛物线y=−(x+1) 2上，如果x 0，x=− >0，得b<0，由直线可知，a>0，
2a
b<0，该选项正确，符合题意；
B、由抛物线可知，a>0，由直线可知，a<0，该选项错误，不合题意；
b
C、由抛物线可知，a<0，x=− >0，得b>0，由直线可知，a<0，b<0，该选项
2a
错误，不合题意；
D、由抛物线可知，a<0，由直线可知，a>0，该选项错误，不合题意；
故选：A．
【考点03】与特殊二次函数有关的几何知识
1．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的
1
两条抛物线关于y轴对称，左轮廓ACB所在抛物线的解析式为y= (x+3) 2．则右轮廓
4DFE所在抛物线的解析式为（ ）
1
A．y=4(x−3) 2 B．y= (x−3) 2
4
1
C．y=−4(x−3) 2 D．y=− (x−3) 2
4
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的应用，正确地理解题意是解题的关键．先根据左边抛物
线的解析式得出其顶点C的坐标，进而可得右边抛物线的顶点F的坐标，再根据左右
轮廓相同可得右轮廓DFE所在抛物线的解析式．
1
【详解】解：∵左轮廓ACB所在抛物线的解析式为y= (x+3) 2 ，
4
∴左边抛物线的顶点C的坐标为(−3,0)，
∴右边抛物线的顶点F的坐标为(3,0)，
1
故右边抛物线的解析式为y= (x−3) 2 ，
4
故选：B．
2．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2的图象如图所示．已知A点坐标为(1,1)，过点A作
A A ∥x轴交抛物线于点A ，过点A 作A A ∥OA交抛物线于点A ，过点A 作
1 1 1 1 2 2 2
A A ∥x轴交抛物线于点A ，过点A 作A A ∥OA交抛物线于点A ⋯，依次进行
2 3 3 3 3 4 4
下去，则点A 的坐标为（ ）
2023A．(−1013,10132) B．(−1012,10122)
C．(−1011,10112) D．(−1010,10102)
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，
根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键，根据二次函数性质可得出点 A 的坐标，
1
求得直线 A A 为 y=x+2，联立方程求得 A 的坐标，即可求得 A 的坐标，
1 2 2 3
同理求得 A 的坐标，即可求得 A 的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找
4 5
出点 A 的坐标．
2023
【详解】解：∵A点坐标为(1,1)，
∴直线OA为y=x,A (−1,1)，
1
∵
A A ∥OA，
1 2
∴直线A A 为y=x+2，
1 2
{y=x+2) {x=−1) {x=2)
解 得 或 ，
y=x2 y=1 y=4
∴
A (2,4)，
2
∴
A (−2,4)，
3
∵
A A ∥OA，
3 4
∴直线A A 为y=x+6，
3 4
{y=x+6) {x=−2) {x=3)
解 得 或 ，
y=x2 y=4 y=9
∴
A (3,9)，
4
∴
A (−3,9)
5
⋯，
∴A (−1012,10122)
2023
故选：B．
【考点04】二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质
1．对于二次函数y=x2−2x+3，下列说法正确的是（ ）A．图象开口向下 B．当x=1时，y有最大值为2
C．对称轴是直线x=1 D．与y轴的交点坐标为(0,−3)
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数（a，b，c为常数，a≠0）的性质，熟练掌握二次函数
y=ax2 +bx+c的性质是解答本题的关键．
对于二次函数y=x2−2x+3，可化为顶点式再根据其性质分析即可．
【详解】解：∵二次项系数a=1>0，
∴抛物线开口向上，
∴选项A不符合题意，
∵y=x2−2x+3
=(x−1) 2 +2，
∴当x=1时，y有最小值为2，
∴选项B不符合题意，
∵y=(x−1) 2 +2，
∴二次函数的对称轴是直线x=1，
∴选项C符合题意，
当x=0时，y=(0−1) 2 +2
=1+2
=3，
∴与y轴的交点坐标为(0,3)，
∴选项D不符合题意，
故选：C．
2．在同一平面直角坐标系内，一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2 +8x+c的图象可能
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象，依据题意，本题可先由一次函数
y=ax+c图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2 +8x+c的图象相比较看是
否一致．
【详解】解：A．观察一次函数y=ax+c的图象得：a<0,c>0，由二次函数
y=ax2 +8x+c的图象得：a>0，相矛盾，故本选项不符合题意；
B、观察一次函数y=ax+c的图象得：a<0,c<0，由二次函数y=ax2 +8x+c的图象
得：c>0，相矛盾，故本选项不符合题意；
C、观察一次函数y=ax+c的图象得：a>0,c>0，由二次函数y=ax2 +8x+c的图象
得：a>0,c>0，有可能，故本选项符合题意；
D、观察一次函数y=ax+c的图象得：a>0,c<0，由二次函数y=ax2 +8x+c的图象
得：a<0，相矛盾，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．二次函数y=ax2 +bx+3（a≠0）的图象过点(1,1)，则a+b−1的值（ ）
A．0 B．1 C．−1 D．−3
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正确理解点在函数图象上的意义
是解题的关键；
将点(1,1)代入函数关系式，即可求解．
【详解】把(1,1)代入y=ax2 +bx+3得a+b+3=1，
∴a+b=−2，
∴a+b−1=−2−1=−3．
故选：D．
4．二次函数y=bx2 +2b2x−6（b为常数，且b≠0）的图象经过(−2,n)和(4,n)两点，则
该二次函数（ ）
A．有最大值−7 B．有最小值−7 C．有最小值−5 D．有最大值−5
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出b的值，然后化为
顶点式即可求解．
【详解】解：∵二次函数y=bx2 +2b2x−6图象经过(−2,n)和(4,n)两点，
−2+4
∴对称轴是直线x= =1，
22b2
∴− =1，
2b
∴b=−1，
∴y=−x2 +2x−6=−(x−1) 2−5，
∵−1<0，
∴二次函数y=−x2 +2x−6的图象开口向下，有最大值，
∴二次函数有最大值−5．
故选：D．
5．抛物线y=x2−4x+5的顶点坐标是（ ）
A．(−2,1) B．(2,1) C．(−2,−1) D．(2,−1)
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质，化成顶点解析式是求抛物线的顶点坐标的一种
方法，也可以直接代入顶点坐标公式．
利用配方法化成顶点式求解即可．
【详解】解：∵y=x2−4x+5=(x−2) 2 +1，
∴顶点坐标为(2,1)，
故选：B．
6．已知二次函数y=x2−bx+1在−1≤x≤2时最小值为−3，则b的值为（ ）
A．4 B．4或−5 C．−5 D．±4或−5
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解
题的关键．根据题意易得二次函数开口向上，其最小值可能在顶点或区间端点处，需
分顶点在区间内、左侧、右侧三种情况讨论，结合最小值条件求解．
【详解】解：由二次函数y=x2−bx+1= ( x− b) 2 + 4−b2 ，
2 4
b (b 4−b2 )
∴二次函数图象的对称轴为直线x= ，开口向上，且顶点坐标为 , ，
2 2 4
b
当 −1≤ ≤2 即 −2≤b≤4 时，顶点处取最小值，代入顶点坐标得：
24−b2
则 =−3，
4
解得 b2 =16，即 b=±4；
∴b=4；
b
当 <−1 即 b<−2 时，最小值在 x=−1 处，
2
则y=1+b+1=b+2=−3
解得 b=−5，满足 b<−2；
b
当 >2 即 b>4 时，最小值在 x=2 处，
2
则y=22−2b+1=5−2b=−3，
解得 b=4，但 b>4 不成立，舍去，
综上，b=4或−5．
故选：B．
7．已知一个二次函数y=ax2 +bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表，则下列结
论正确的是（ ）
x ⋯ −3 −2 0 1 3 4 ⋯
y ⋯ −12 −5 3 4 0 −5 ⋯
A．图象的开口向上 B．当x>1时，y随x的增大而减小
C．a+b+c<0 D．该二次函数图象与x轴只有一个交点
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质．
通过待定系数法求出二次函数解析式，结合二次函数的性质分析各选项即可．
【详解】解：分别将(−2,−5)，(0,3)，(1,4)代入得：
{4a−2b+c=−5
)
c=3 ，
a+b+c=4
{a=−1
)
解得： b=2 ，
c=3
即解析式为y=−x2 +2x+3．
A：a=−1<0，开口向下，错误；b
B：对称轴x=− =1，开口向下，当x>1时，y随x增大而减小，正确；
2a
C：当x=1时，a+b+c=−1+2+3=4>0，错误；
D：判别式Δ=b2−4ac=16>0，与x轴有两个交点，错误；
故选：B．
8．点A(0,y )；点B(1,y )，点C(3,y )都在二次函数y=2(x−1) 2的图象上，则（ ）
1 2 3
A．y 0)的图象过点A(1, n), B(3, n)，若点
C(−1, y ), D(0, y ), E(6, y )也在该二次函数图象上，则下列结论正确的是
1 2 3
（ ）
A．y 0，和点A(1, n), B(3, n)，得出二次函数图象开口向上，对称轴为直线
x=2，即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数y=ax2 +bx+c(a>0)的图象过点A(1, n), B(3, n)，
1+3
∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线x= =2，
2
∴距离对称轴越远的点，函数值越大，∵点C(−1, y ), D(0, y ), E(6, y )在该二次函数图象上，且点E离对称轴最远，
1 2 3
点D离对称轴最近，
∴y 0
C．ac−b=0
D．2+c是关于x的一元二次方程ax2 +bx+c=0的一个根
【答案】C
【分析】本题考查了根据二次函数的图象判断式子符号，先根据图像判断出a,b,c的
正负，再依次对各项分析判断即可．
【详解】解：根据图像可知：开口方向向下，a<0
图像交y轴正半轴于点C，c>0
b
对称轴− =1
2a
∵a<0
∴b=−2a>0
∴abc<0，A正确，不符合题意
当x=1时，即二次函数y=ax2 +bx+c=a+b+c
观察图像可知，y>0
故B正确，不符合题意
∵b=−2a
∴ac−b=ac+2a=a(c+2)
∵a<0,ac−b=0∴c+2=0
解得：c=−2
∵c>0
∴C错误，符合题意
∵OA=OC=c且对称轴为x=1
∴OB=c+2
即B(c+2,0)
根据图像，点B在二次函数图像上，即当x=c+2时，y=ax2 +bx+c=0
故D正确，不符合题意
故答案为：C．
【考点05】二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题
1．已知二次函数y=(x−h) 2 +6（h为常数），当1≤x≤3时，y的最小值为10，则h的值
为（ ）
A．1或−5 B．1或−3 C．1或3 D．−1或5
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，
二次函数y=(x−h) 2 +6的顶点为(h,6)，开口向上，当h不在1≤x≤3范围内时，函数
在1≤x≤3范围内端点处取得最小值，分h<1和h>3两种情况讨论，分别代入端点求
解h的值．
【详解】当h<1时：
函数在1≤x≤3上函数值随着x的增大而增大，最小值在x=1处取得，
当x=1，得：(1−h) 2 +6=10，
解得h=1±2，
即h=3（舍去，因h<1）或h=−1；
当h>3时：
函数在1≤x≤3上函数值随着x的增大而减小，最小值在x=3处取得，
当x=3，得：(3−h) 2 +6=10，
解得h=3±2，即h=5或h=1（舍去，因h>3）．
当1≤h≤3时：
顶点在1≤x≤3范围内，此时最小值为6，与题目矛盾，故舍去．
综上，h的值为−1或5．
故选：D．
2．二次函数y=x2 +bx+c的图象过A(3,1)，B(5,1)两点，则此抛物线的对称轴是
（ ）
A．直线x=1 B．直线x=3 C．直线x=4 D．直线x=5
【答案】C
【分析】本题考查了求抛物线的解析式，解题关键是正确利用待定系数法求出抛物线
解析式，牢记对称轴公式．将A点和B点坐标代入解析式即可求出解析式，利用对称
b −8
轴是x=− =− =4即可求解．
2a 2
【详解】解：将A(3,1)，B(5,1)代入y=x2 +bx+c得：
{9+3b+c=1 )
，
25+5b+c=1
{b=−8)
解得 ，
c=16
∴y=x2−8x+16，
b −8
∴抛物线的对称轴是x=− =− =4．
2a 2
故选：C ．
3．点P(m,n)在以y轴为对称轴的二次函数y=x2 +ax+4的图象上．则m−n的最大值等于
（ ）
15 17 15
A． B．5 C．− D．−
4 4 4
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数y=x2 +ax+4的图象的对称轴为y
轴，得到a=0，进而得到函数关系式为y=x2 +4，得到n=m2 +4，进而得到
m−n=−m2 +m−4=− ( m− 1) 2 − 15 ，利用二次函数的性质，求最值即可．解题的
2 4关键是根据对称轴求出二次函数的解析式．
【详解】解：∵二次函数y=x2 +ax+4的图象的对称轴为y轴，
∴a=0，
∴y=x2 +4，
∵点P(m,n)在抛物线上，
∴n=m2 +4，
∴m−n=−m2 +m−4=− ( m− 1) 2 − 15 ，
2 4
1 15
∴当m= 时，m−n有最大值为− ；
2 4
故选D．
4．已知二次函数y=ax2−4ax+3（a为常数，且a>0），当1≤x≤4时，函数的最小值为
−1，则a的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图像及性质，解题的关键是将二次函数的解析式化为
顶点式．根据题意，将二次函数的解析式化为顶点式，当1≤x≤4时，最小值为
3−4a，即可求解．
【详解】解：将二次函数解析式化为顶点式，即y=ax2−4ax+3=a(x−2) 2 +3−4a
（a为常数，且a>0），
则该二次函数图像的对称轴为x=2，且开口向上，
∵当1≤x≤4时，函数的最小值为3−4a，
∴3−4a=−1，
解得a=1，
故选：D．
5．已知二次函数y=ax2 +4ax−a2 +3（a是常数，且a≠0），当x<−3时，y随x的增大
而减小，当−1≤x≤1时，y的最小值是−1，则a的值为（ ）
A．4 B．−4或1 C．−4 D．1
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据题意得出抛物线的对称轴为直线x=−2，再根据当x<−3时，y随x的增大而减小，得a>0，再根据抛物线的增减性得
当x=−1时，y=−1，代入抛物线解析式求值即可．
【详解】解：y=ax2 +4ax−a2 +3=a(x+2) 2−4a−a2 +3，
∴二次函数y=ax2 +4ax−a2 +3的对称轴为直线x=−2，
∵当x<−3时，y随x的增大而减小，
∴a>0，
∵当−1≤x≤1时，y的最小值是−1，在对称轴的右边，此时y随x的增大而增大，
∴当x=−1时，y=−1，
∴a−4a−a2 +3=−1，
解得a=1或a=−4（舍去），
即a的值为1．
故选：D．
6．已知二次函数y=mx2−8mx+16m+8(m≠0)，当x<3时，y随x的增大而增大．当
08，
故t的值可能是9，
故选：D．【考点06】根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息
1．对称轴为直线x=1的抛物线y=ax2 +bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图，小明
同学得出了以下结论：①abc<0；②b2 >4ac；③4a+2b+c>0；④3a+c>0；⑤
a+b≤m(am+b)（m为任意实数）；⑥当x<−1时，y随x的增大而增大．其中结论
正确的为（ ）．
A．①②④ B．②③④ C．②④⑤ D．②④⑥
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2 +bx+c系数符号
由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定．
由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据
对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】①由图象可知：a>0，c<0，
b
∵
− =1，
2a
∴b=−2a<0，
∴abc>0，故①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，
∴b2 >4ac，故②正确；
③当x=2时，y=4a+2b+c<0，故③错误；
④当x=−1时，y=a−b+c=a−（−2a）+c>0，
∴3a+c>0，故④正确；
⑤当x=1时，y取到值最小值，此时，y=a+b+c，
而当x=m时，y=am2 +bm+c，
所以a+b+c≤am2 +bm+c，
故a+b≤am2 +bm，即a+b≤m（am+b），故⑤正确，⑥当x<−1时，y随x的增大而减小，故⑥错误，
所以②④⑤正确．
故选：C．
2．已知二次函数y=ax2 +bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x=1，有下列结论：①
c−b
abc>0；②b2 <4ac；③(a+c) 2 >b2；④ a< ，其中正确结论的个数是（ ）
2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】由抛物线开口方向、对称轴及与y轴的交点位置可判断出a、b、c的符号，
可判断①；由抛物线与x轴的交点个数可判断②；利用x=1和x=−1时的函数值可判
断a+b+c和a−b+c的符号，可判断③；把b=−2a代入整理可得c>0，可判断④，
可求得答案．
【详解】因为抛物线开口向下，所以a<0，
∵对称轴为x=1，
b
∴− =1，即b=−2a>0，
2a
因为抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c>0，
∴abc<0，故①不正确；
因为抛物线与x轴有两个交点，所以方程ax2 +bx+c=0有两个不相等的实数根，
∴b2−4ac>0，
∴b2 >4ac故②不正确；
当x=−1时，y<0，当x=1时，y>0，
∴a−b+c>0，a+b+c<0，
∴(a−b+c)(a+b+c)<0，
即(a+c) 2−b2 <0，∴(a+c) 2 0，而由题意可知c>0，故④正确；
综上可知正确的只有1个，所以A选项是正确的．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质等知识，解题的关键
是熟练运用这些知识解决问题．
3．如图为二次函数y=ax2 +bx+c(a≠0)的图象，则下列说法：①abc>0，②2a+b=0，
③a+b+c>0，④若(−2,y )，(−3,y )是抛物线上的两点，则y >y ，其中说法正确
1 2 1 2
的有（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数图象
上点的坐标特征，二次函数y=ax2 +bx+c(a≠0)系数符号由抛物线开口方向、对称
轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．根据抛物线的开口方向，
抛物线与y轴的交点，对称轴的位置，可判断①，根据对称轴可判断②，根据特殊点
可判断③，利用抛物线的增减性判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵抛物线与x轴交点横坐标分别是−1和3，b −1+3
∴抛物线对称轴为：− = =1>0，
2a 2
∴2a+b=0，故②正确；
b
∵a<0，− >0，
2a
∴b>0，
∵抛物线交于y轴的正半轴，
∴c>0，
∴abc<0，故①错误；
由图可知，当x=1时，y>0，
∴a+b+c>0，故③正确；
∵−3<−2<1，且(−2,y )，(−3,y )这两个点都在对称轴左侧，
1 2
∴根据抛物线开口向下，在对称轴的左侧，函数值随x的增大而增大可得，y >y ，
1 2
④正确．
所以②③④都正确．
故选：D．
4．如图所示的是二次函数y=ax2 +bx+c图象的一部分，其对称轴是直线x=−1，且过点
(−3,0)，下列说法：①abc<0；②2a−b=0；③4a+2b+c<0；④若
(−5,y )，(3,y )是抛物线上的两点，则y 0，再由抛物线对
b
称轴为直线x=− =−1，可得b=2a>0，2a−b=0，②正确．再由c<0，可得
2a
abc<0，①正确．再根据抛物线的对称性可得抛物线经过(1,0)，从而得到x=2时，y=4a+2b+c>0，③错误．再根据二次函数的对称性可得y =y ，④错误，即可求
1 2
解．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
b
∵抛物线的对称轴为直线x=− =−1，
2a
∴b=2a>0，则2a−b=0，所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c<0，
∴abc<0，所以①正确；
∵x=2时，y>0，
∴4a+2b+c>0，
∴③错误；
∵点(−5,y )与点(3，y )关于对称轴x=−1对称，
1 2
∴ y =y ，所以④错误．
1 2
故选：A．
【考点07】二次函数的平移变换
1．将二次函数y=−2x2的图象向右平移3个单位，再向上平移4个单位，那么所得的解析
式为（ ）．
1
A．y=− (x−3) 2−4 B．y=−2(x−3) 2 +4
2
1
C．y=−2(x+3) 2−4 D．y=− (x+3) 2 +4
2
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象平移变换，掌握二次函数的平移规律“上加
下减、左加右减”是解题的关键．
根据二次函数的平移变换的规律求解即可．
【详解】解：根据二次函数的平移变换的规律可得：将二次函数y=−2x2的图象向右
平移3个单位，再向上平移4个单位，那么所得的解析式为y=−2(x−3) 2 +4．
故选B．2．将抛物线y=(x−1) 2 +2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的
抛物线的解析式为（ ）
A．y=(x−4) 2 B．y=(x−4) 2 +4 C．y=(x+1) 2 +5 D．y=(x−3) 2 +5
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的平移规律，根据“左加右减，上加下减”的平移规律
进行解答即可．
【详解】解：∵将抛物线y=(x−1) 2 +2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位
长度
∴得到的抛物线的解析式为y=(x−1−3) 2 +2+2
即y=(x−4) 2 +4，
故选：B
3．将抛物线y=x2 +2x+4的图象向右平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的函数是
（ ）
A．y=x2 B．y=(x+2) 2 C．y=(x−2) 2−2 D．y=x2 +1
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规
律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键．
【详解】解：由y=x2 +2x+4=(x+1) 2 +3，
∵抛物线y=x2 +2x+4的图象向右平移1个单位，再向下平移3个单位，
∴根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线平移后是y=(x+1−1) 2 +3−3=x2，
故选：A．
4．如图，已知抛物线y=ax2 +bx+c与x轴交于A，B两点，顶点C的纵坐标为−2，现将
抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a x2 +b x+c ，则下列结论正确的是
1 1 1
（ ）A．b>0 B．a−b+c<0
C．阴影部分的面积为4 D．若c=1，则b2 =−4a
【答案】C
b
【分析】首先根据抛物线开口向上，可得a>0；然后根据对称轴为直线x=− >0，
2a
可得b<0，据此判断A；根据抛物线y=ax2 +bx+c的图象，可得x=−1时，y>0，
即a−b+c>0，据此判断B；首先判断出阴影部分是一个平行四边形，然后根据平行
四边形的面积=底×高，求出阴影部分的面积即可判断C；根据函数的最小值是
4ac−b2
=−2，判断出c=1时，a、b的关系即可判断D．
4a
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
b
∵对称轴为直线x=− >0，
2a
∴b<0，故A不正确；
∵x=−1时，y>0，
∴a−b+c>0，故B不正确；
∵抛物线向右平移了2个单位，
∴阴影部分是平行四边形，且平行四边形的底是2，
∵函数y=ax2 +bx+c顶点C的纵坐标为−2，
∴最小值是y=−2，
∴平行四边形的高是2，
∴阴影部分的面积是：2×2=4，故C正确；
4ac−b2
∵ =−2，c=1，
4a
∴b2 =12a，故D不正确．故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的图象与系数的关系，
平行四边形的性质等知识，解决此题的关键是熟练掌握二次函数的相关知识点．
【考点08】二次函数与一次函数的交点个数问题
1．如图，抛物线y=−x2 +14x−45与x轴交于点A, B，把抛物线在x轴及共其上方的部
分记作C 将C 向左平移得到C ，C 与x轴交于点B, D，若直线y=−x+m与C , C
1 1 2 2 1 2
共3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
29 29 45 45
A．50或t=−4
【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次
函数的相关知识是解决本题的关键．由y=x+t与y=x平行，可得当t>0时，直线与原图象只有一个交点，联立{y=x2−3x)，即得 ，再由只有一
y=x+t x2−3x=x+t
y=x+t
个交点求解即可．
【详解】解：∵y=x+t与y=x平行，
∴当t>0时，直线y=x+t与原图象只有一个交点，
{y=x2−3x)
联立 ，
y=x+t
∴x2−3x=x+t，
即，x2−4x−t=0，
∵只有一个交点，
∴16+4t=0，
∴t=−4，
∴t的取值范围为：t>0或t=−4
故答案为：t>0或t=−4
3．在平面直角坐标系中，将横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知抛物线y=x²−2x
与x轴的交点为A，B．
（1） 线段AB上的整点个数为 ；
（2） 抛物线在点A，B之间的部分与线段AB 所围成的区域内（包括边界）整点个数
为 ．
【答案】 3 4
【分析】本题考查了二次函数图象与x轴交点，二次函数图象与性质等知识；
（1）令y=0，即可求得图象与x轴交点的横坐标，从而可确定线段AB上的整点个数；
（2）求出当x=1时的函数值，根据函数值及线段AB即可确定整点个数．
【详解】解：（1）令y=x²−2x=0，
解得：x =0，x =2，
1 2
在0与2间的整数有1，
则线段AB上的整点为(0,0)，(1,0)，(2,0)，共有3个整点；
故答案为：3．
（2）当x=1时， y=12−2×1=−1，
在x轴下方抛物线内的整点只有(1,−1)，加上线段AB上的3个整点
(0,0)，(1,0)，(2,0)，则满足题意的整点数为4；
故答案为：4．
4．如图，抛物线y=−2x2 +4x与x轴交于点O，A，把抛物线在x轴及其上方的部分记为
C ，将C 以y轴为对称轴作轴对称得到C ，C 与x轴交于点B，若直线y=m与C ，
1 1 2 2 1
C 共有4个不同的交点，则m的取值范围是 ．
2
【答案】03
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握二次函数与一次函
数的交点是解题的关键．根据抛物线y=ax2 +c与直线y=mx+n交于A(−1,p)，
B(3,q)两点，即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线y=ax2 +c与直线y=mx+n交于A(−1,p)，B(3,q)两点，
∴ ax2 +c=mx+n的解为x=−1或3，
故选：C．
2．已知二次函数y=x2−4x−5，则该二次函数图象与y轴交点坐标为 ．
【答案】(0,−5)
【分析】本题考查了二次函数与y轴的交点坐标问题，掌握与y轴的交点坐标的横坐
标为0是解题的关键．将x=0代入二次函数y=x2−4x−5求解即可．
【详解】解：将x=0代入二次函数y=x2−4x−5中，则y=−5，
故二次函数与y轴的交点坐标为(0,−5)．
故答案为：(0,−5)．
3．已知抛物线y=ax2−4ax+2(a≠0)与x轴的一个交点坐标为(−3,0)，则抛物线与x轴的
另一个交点坐标为 ．
【答案】(7,0)
【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点问题，对称性，求出二次函数的对称
轴，根据对称性求出另一个交点的坐标即可．
【详解】解：∵y=ax2−4ax+2(a≠0)，
−4a
∴抛物线的对称轴为直线为y=− =2，
2a∵抛物线y=ax2−4ax+2(a≠0)与x轴的一个交点坐标为(−3,0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(7,0)；
故答案为：(7,0)．
4．抛物线y=(k−1)x2−2x−3与x轴有两个交点，则k的取值范围是 ．
2
【答案】k> 且k≠1
3
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，该抛物线与x轴有两个交点，则方程
(k−1)x2−2x−3=0有两个不相等的实数根，可得Δ>0，进而可得答案．
【详解】解：∵抛物线y=(k−1)x2−2x−3与x轴有两个交点，
{Δ=(−2) 2−4×(k−1)×(−3)>0)
∴ ，
k−1≠0
2
解得k> 且k≠1，
3
2
故答案为：k> 且k≠1．
3
5．如图，抛物线y=ax2 +bx+c与直线y=mx+n相交于点A(1,6),B(4,3)．则关于x的方
程ax2 +(b−m)x+c=n的根是 ．
【答案】x =1,x =4
1 2
【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的交点问题，解题的关键是读懂函数图象；
由方程 变形为 ，则可看作是二次函数
ax2 +(b−m)x+c=n ax2 +bx+c=mx+ny=ax2 +bx+c与直线y=mx+n的交点问题，进而问题可求解．
【详解】解：由方程ax2 +(b−m)x+c=n变形为ax2 +bx+c=mx+n，
∵抛物线y=ax2 +bx+c与直线y=mx+n相交于点A(1,6),B(4,3)，
∴方程ax2 +(b−m)x+c=n的根是x =1,x =4；
1 2
故答案为x =1,x =4．
1 2
6．若二次函数y=3x2 +bx+c的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程
3x2 +bx+c=0的一个解x =3，则另一个解x = ．
1 2
【答案】−1
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据
二次函数的图象与x轴的交点关于对称轴对称，可直接求出x 的值．
2
【详解】解：∵二次函数y=3x2 +bx+c的对称轴为x=1，关于x的一元二次方程
3x2 +bx+c=0的一个解x =3，另一个解为x ，
1 2
∴1−x =3−1，
2
∴x =−1，
2
故答案为：−1．
【考点10】根据二次函数图像确定不等式式的解
1．如图，抛物线y=−x2 +bx+c交y轴于点(0，5)，对称轴为直线x=−2，若y<5，则x
的取值范围是（ ）
A．−40 D．x<−5或x>0
【答案】C【分析】本题考查二次函数和不等式，根据条件求出函数解析式是解题的关键．
由交y轴于点(0，5)，求出c=5，由对称轴为直线x=−2，求出b=−4，确定函数解
析式为y=−x2−4x+5，由y=−x2−4x+5<5即可求解．
【详解】解：∵抛物线y=−x2 +bx+c交y轴于点(0，5)，
∴c=5，
∵对称轴为直线x=−2，
b b
∴ − = =−2，
2a 2
∴b=−4，
∴抛物线y=−x2−4x+5，
当y<5时，−x2−4x+5<5，即x(x+4)>0，
{ x>0 ) { x<0 )
∴ 或 ，
x+4>0 x+4<0
∴x>0或x<−4，
∴当y<5时，x>0或x<−4．
故选：C．
2．二次函数y=x2 +x−2的图象如图所示，则当函数值y>0时，x的取值范围是 ．
【答案】x<−2或x>1
【分析】此题主要考查了二次函数与不等式．熟练掌握二次函数图象与x轴交点坐标，
识图是解题的关键．
根据y>0，知函数图象在x轴的上方，所以找出函数图象在x轴上方对应的x的取值
范围即可．
【详解】由二次函数y=x2 +x−2的图象开口向上，与x轴交于(−2,0)，(1,0)可知，
当x<−2或x>1时，函数图象在轴的上方，y>0．
故答案为：x<−2或x>1．
3．二次函数y=ax2 +bx+c的图象如图所示，当y<0时，自变量x的取值范围是 ．【答案】x<−2或x>6
【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，图象法解一元二次不等式等知识
点，找出二次函数图象与x轴的交点并运用数形结合思想是解题的关键．
利用函数图象得到x=−2或x=6时y=0，然后写出函数图象在x轴下方所对应的自变
量的范围即可．
【详解】解：∵二次函数y=ax2 +bx+c的图象与x轴的交点坐标为(−2,0)，(6,0)，
即：当x=−2或x=6时，y=0，
∴当x<−2或x>6时，y<0，
故答案为：x<−2或x>6．
4．如图，二次函数y=x2 +4x+3的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A(−1,0)，
B(−4,3)，则不等式x2 +4x+30，解得x=10．
故选：B．
3．一次足球训练中，小明从球门正前方8米的A处射门，足球射向球门的路线呈抛物线，
当足球飞行的水平距离为6米时，足球达到最高点，此时球离地面3米．已知球门OB
高为2.44米，现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系．(1)求y关于x的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽路其他因素）？
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带
5
球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方 米处？
3
1
【答案】(1)y=− (x−2) 2 +3，球不能射进球门
12
(2)当时他应该带球向正后方移动2米射门
【分析】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平
移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a
的值即可得到函数表达式，再把x=0代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较
即可得到结论；
( 5)
（2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点 0, 代入平移后
3
的解析式中即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为(2,3)，
设抛物线解析式为y=a(x−2) 2 +3，
把点A(8,0)代入y=a(x−2) 2 +3，得36a+3=0，
1
解得a=− ，
12
1
∴抛物线的函数表达式为y=− (x−2) 2 +3，
12
1 8
当x=0时，y=− ×4+3= >2.44，
12 3
∴球不能射进球门；
（2）解：设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为1
y=− (x−2−m) 2 +3，
12
把点 ( 0, 5) 代入到y=− 1 (x−2−m) 2 +3得 5 =− 1 (−2−m) 2 +3，
3 12 3 12
解得：m=2或m=−6（舍去）
∴当时他应该带球向正后方移动2米射门．
4．【综合与探究】
乒乓球被誉为中国国球．在世界乒乓球大赛中，中国队经常夺得冠军，成绩的取得与
平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的，如题图1，是乒乓球台的截面示意图，
一位运动员从球台边缘正上方以击球高度OA为28.75cm的高度，将乒乓球向正前方击
打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分，如题图2所示．
乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位；cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位；
cm）测得数据如下表所示：
水平距离
0 10 50 90 130 170 230
x/cm
竖直高度 28.75 33 45 49 45 33 0
y/cm
(1)在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点(x,y)，并画出表示乒
乓球运行轨迹形状的大致图象；
(2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是__________cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是__________cm；
②求满足条件的抛物线解析式；
(3)技术分析：如果只上下调整击球高度OA，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了
确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出OA的取值范围，以利于有
针对性的训练．如图②，乒乓球台长OB为270cm，球网高CD为15.25cm，现在已经
计算出乒乓球恰好过网的击球高度OA的值约为44cm．请你计算出乒乓球恰好落在对
面球台边缘点B处时，击球高度OA的值（乒乓球大小忽略不计）
【答案】(1)见解析
(2)①49；230；②y=−0.0025(x−90) 2 +49
(3)乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值为64.39cm
【分析】（1）根据描点法画出函数图象即可求解；
（2）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当
y=0时，x=230；
②待定系数法求解析式即可求解；
（3）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为y=−0.0025(x−90) 2 +49+h−28.75，
根据题意当x=270时，y=0，代入进行计算即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）①观察表格数据，可知当x=50和x=130时，函数值相等，则对称轴为直线
x=90，顶点坐标为(90,49)，
又抛物线开口向下，可得最高点时，与球台之间的距离是49 cm，
当y=0时，x=230，
∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是230 cm；
故答案为：49；230．②设抛物线解析式为y=a(x−90) 2 +49，将(230,0)代入得，
0=a(230−90) 2 +49，
解得：a=−0.0025，
∴抛物线解析式为y=−0.0025(x−90) 2 +49；
（3）∵当OA=28.75时，抛物线的解析式为y=−0.0025(x−90) 2 +49，
设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值为h，则平移距离为
(h−28.75) (cm)，
∴平移后的抛物线的解析式为y=−0.0025(x−90) 2 +49+h−28.75，
依题意，当x=270时，y=0，
即−0.0025(270−90) 2 +49+h−28.75=0，
解得：h=60.75．
答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值为60.75cm．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，画二次函数图象，二次函数图象的平移，熟练
掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
5．如图1所示的是山西晋城景德桥，是继赵州桥之后我国现存历史悠久的古代珍贵桥梁之
一．桥拱截面OBA可以看作抛物线的一部分（如图2），在某一时刻，桥拱内的水面
宽约20米，桥拱顶点B到水面的距离为4米．
(1)如图2，以该时刻水面为x轴，桥拱与水面的一个交点为原点建立直角坐标系，求
桥拱部分抛物线的解析式．
(2)现有两个宽为4米，高3米的小舟，相向而行，恰好同时接近拱桥，问两小舟能否
同时从桥下穿过，并说明理由．1
【答案】(1)y=− (x−10) 2 +4(0≤x≤20)
25
(2)两小舟能同时从桥下穿过，理由见解析
【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质是解决本题的关键．
（1）设抛物线解析式为y=a(x−h) 2 +k，再根据题意求解即可；
（2）由题意得，令y=3解出方程，再进行判断即可得到解答．
【详解】（1）解：由题意得，点O和点A的坐标分别为(0,0)和(20,0)，
∵B为函数顶点，
∴B(10,4)，
设抛物线解析式为y=a(x−h) 2 +k，
∵顶点B(10,4)，
∴y=a(x−10) 2 +4，
再将(0,0)代入解析式可得，a(0−10) 2 +4=0，
1
解得a=− ，
25
1
∴抛物线的解析式为y=− (x−10) 2 +4(0≤x≤20)．
25
（2）两小舟能同时从桥下穿过，理由如下：
∵两小舟的高均为3米，
1
∴当y=3时，− (x−10) 2 +4=3，
25
解得x =15，x =5，
1 2
∴最大能通行的宽度为：15−5=10（米），
∵两小舟宽为4米，
∴10>4+4=8，
∴两小舟能同时从桥下穿过．
6．项目学习实践
项目主题：合理设置智慧洒水车喷头
项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化．
如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌
到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的
项目式学习．
任务一：测量建模
利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、
下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口H离地面竖直高度h为1.2米．上边缘抛
物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米；
（1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式；
任务二：推理分析
小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状
不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
（2）请你结合模型探究下边缘抛物线与x轴交点B的坐标；
任务三：实践探究
如果我们把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE=1.8米，竖直高度
EF=1.1米，洒水车到绿化带的距离OD为d米．
（3）当调整与绿化带距离为d=2.2米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否洗灌到整
个绿化带？请说明理由．
【答案】（1）y=−0.1(x−2) 2 +1.6；（2）(2,0)；（3）洒水车行驶时喷出的水能浇
灌到整个绿化带，理由见解析
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，矩形的性质，求二次函数的解析式，二次
函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）结合A(2,1.6)为上边缘抛物线的顶点，设y=a(x−2) 2 +1.6，再把(0,1.2)代入计
算，即可作答．
（2）结合二次函数的对称性得出点(0,1.2)的对称点为(4,1.2)，把y=0代入，求出 ，因为下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4
y=−0.1(x−2) 2 +1.6 x =6
1
米得到的，所以点B的坐标为(2,0)；
（3）因为二次函数的性质以及矩形的性质得点F的坐标为(4,1.1)，代入
y=−0.1(x−2) 2 +1.6得y=−0.1(4−2) 2 +1.6=1.2>1.1，即可作答．
【详解】解：（1）由题意得：A(2,1.6)为上边缘抛物线的顶点，
设y=a(x−2) 2 +1.6，
又∵抛物线过点(0,1.2)，
∴1.2=4a+1.6，
解得：a=−0.1，
∴上边缘抛物线的函数解析式为y=−0.1(x−2) 2 +1.6．
（2）∵对称轴为直线x=2，
∴点(0,1.2)的对称点为(4,1.2)，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的，
当y=0时，0=−0.1(x−2) 2 +1.6
解得x =6，x =−2（舍去），
1 2
∴6−4=2
∴点B的坐标为(2,0)；
（3）∵矩形DEFG，其水平宽度DE=1.8米，竖直高度EF=1.1米，OD=d=2.2米，
则2.2+1.8=4（米）
∴点F的坐标为(4,1.1)，
当x=4时，y=−0.1(4−2) 2 +1.6=1.2>1.1，
当x>2时，y随x的增大而减小，
∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带．
【考点12】二次函数应用-面积问题
1．如图小张想用总长60m的篱笆围成矩形ABCD场地，其中AD边靠墙，墙体最多能用，矩形 的面积 随矩形边长 设为 的变化而变化．
30m ABCD S(m 2) AB x(m)
(1)求S与x之间的函数关系；
(2)当x为多少m时，矩形的面积是400m 2？此时长宽分别是多少m？
【答案】(1)S=−2x2 +60x，且15≤x<30
(2)当x为20m时，矩形的面积是400m 2，此时长，宽分别是20m、20m
【分析】（1）根据题意，得边长AB设为x(m)，则BC为(60−2x)，根据面积公式得
出函数关系式即可．
（2）令S=400m 2，建立方程，求解即可．
本题考查了二次函数的应用及解一元二次方程，根据题意列出函数关系式是解题的关
键．
【详解】（1）解：根据题意，得边长AB为x(m)，则BC为(60−2x)，
故S=(60−2x)⋅x=−2x2 +60x，
根据题意，得60−2x>0，且60−2x≤30，
解得15≤x<30，
故S=−2x2 +60x，且15≤x<30．
（2）解：∵S=−2x2 +60x，且15≤x<30，
令S=400m 2，
∴−2x2 +60x=400，
解得x=10（舍去）或x=20，
∴当x=20时，60−2x=20．
故当x为20m时，矩形的面积是400m 2，此时长，宽分别是20m、20m．
2．如图，学校准备在教学楼后面搭建两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙
（可利用墙长为60m），其他的边用总长70m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个
1m的出口，不锈钢栅栏呈“山”字形．(1)设自行车车棚面积为Sm 2，车棚宽AB为xm，求S(m 2)与x(m)之间的函数关系式，并
写出自变量x的取值范围；
(2)若车棚面积为285m 2，求自行车车棚的长和宽；
(3)求车棚面积的最大值．
【答案】(1)S=−3x2 +72x；4≤x<24；
(2)长为57m，宽为5m或长为15m，宽为19m；
(3)432m 2；
【分析】本题主要考查了用代数式表示式、一元二次方程的应用、二次函数的应用等
知识点，理解题意、找到等量关系、列出方程和函数关系式是解题的关键．
（1）根据已知条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出
一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可解答；
（2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方
程即可得出自行车车棚的长和宽．
（3）根据（1）得到的函数解析式，然后再根据函数解析式求得车棚的最大值即可解
答．
【详解】（1）解：∵AB=x，
∴BC=70+1×2−3x=72−3x ，
∴S=x(72−3x)=−3x2 +72x，(4≤x<24)，
∴S与x之间的函数关系式S=−3x2 +72x，自变量x的取值范围为4≤x<24．
（2）由题意得：−3x2 +72x=285
整理得：x2−24x+95=0
解得：x =5，x =19；
1 2
当宽AB=5m，长BC=72−3×5=57(m)，符合题意；
当宽AB=19m，长BC=72−3×19=15(m)，符合题意；
答：自行车车棚的长为57m，宽为5m；或自行车车棚的长为15m，宽为19m；（3）自行车车棚面积最大可达到，计算如下：
S=x(72−3x)=−3(x−12) 2 +432，
∵−3<0 ，4≤x<24，
∴当x=12 时，S有最大值为432 ，
∴自行车车棚面积最大可达到432m 2．
3．某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度
OM=12米，顶点P到底部OM的距离为9米．将该抛物线放入平面直角坐标系中，
点M在x轴上．其内部支架有两个符合要求的设计方案：方案一是“川”字形内部支
架（由线段AB，PN，DC构成），点B，N，C在OM上，且OB=BN=NC=CM，
点A，D在抛物线上，AB，PN，DC均垂直于OM；方案二是“H”形内部支架（由
线段A′B′，D′C′，EF构成），点B′，C′在OM上，且OB′ =B′C′ =C′M，点A′，D′
在抛物线上，A′B′，D′C′均垂直于OM，E，F分别是A′B′，D′C′的中点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架节省材
料？请说明理由．
1
【答案】(1)y=− x2 +3x
4
(2)方案二的内部支架节省材料，理由见解析
【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法，熟练掌握以上知识点是解题的关
键
（1）先确定顶点坐标，再利用待定系数法即可求出该抛物线的表达式；
（2）分别求出方案一和方案二的内部支架材料长度，再比较即可．
【详解】（1）解：∵OM=12m，PN=9m，P为抛物线的顶点，
1
∴
ON=NM= OM=6m，∴顶点P的坐标为P(6,9)，M(12,0)，
2设抛物线的解析式为：y=a(x−6) 2 +9，
代入O(0,0)，得：a(0−6) 2 +9=0，
1
解得：a=− ，
4
1 1
∴该抛物线的函数表达式为：y=− (x−6) 2 +9，即y=− x2 +3x；
4 4
（2）解：方案二的内部支架节省材料，理由如下：
方案一：∵OB=BN=NC=CM，OM=12m，
1 3
∴
OB= OM=3m，OC= OM=9m，
4 4
1 27 27
当x=3时，y=− (3−6) 2 +9= ，即AB= m，
4 4 4
1 27 27
当x=9时，y=− (9−6) 2 +9= ，即CD= m，
4 4 4
27 27 45
∴方案一内部支架材料长度为：AB+NP+CD= +9+ = m；
4 4 2
方案二：∵OB' =B'C' =C'M，OM=12m，
∴OB' =4m，OC' =8m，EF=B'C' =4m，
1
当x=4时，y=− (4−6) 2 +9=8，即A'B' =8m，
4
1
当x=8时，y=− (8−6) 2 +9=8，即C'D' =8m，
4
∴方案二内部支架材料长度为：A'B' +EF+C'D' =8+4+8=20m；
45
∵
>20，
2
∴方案二的内部支架节省材料．
4．【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒
等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变
形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例：求代数式y2 +4 y+8的最小值．
解：y2 +4 y+8=y2 +4 y+4+4=(y+2) 2 +4，
∵(y+2) 2≥0，∴(y+2) 2 +4≥4，∴当y=−2时，y2 +4 y+8的最小值是4．
(1)【类比探究】
代数式x2−10x+30的最小值是 ；
(2)【灵活运用】
试说明：无论x取何实数，二次根式❑√x2 +x+2都有意义；
(3)【拓展应用】
如图某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙
（墙的长度为15m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2
的矩形，栅栏的总长度为24m．当BF为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为
多少？
【答案】(1)5；
(2)见解析；
(3)当BF为4m时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为48m 2
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件以及配方法的应用，利用配方法找出代数
式的最值是解题的关键．
（1）利用配方法将原式变为(x−5) 2 +5，结合(x−5) 2≥0，可得出(x−5) 2 +5≥5，进
而求解；
( 1) 2 7 ( 1) 2
（2）利用配方法将x2 +x+2变为 x+ + ，结合 x+ ≥0，可得出
2 4 2
( 1) 2 7 7
x+ + ≥ ，进而求解；
2 4 4
（3）设BF=a，矩形养殖场的总面积为b，则CF=2a，AB=8−a，利用矩形的面积
公式，可找出b关于a的函数关系式，即可解决最值问题．【详解】（1）x2−10x+30=x2−10x+25+5=(x−5) 2 +5，
∵(x−5) 2≥0，
∴(x−5) 2 +5≥5，
∴当x=5时，x2−10x+30的最小值为5．
故答案为：5；
（2）无论x取何实数，二次根式❑√x2 +x+2都有意义，理由如下：
x2 +x+2= ( x+ 1) 2 + 7 ，
2 4
( 1) 2
∵ x+ ≥0，
2
( 1) 2 7 7
∴ x+ + ≥ ，
2 4 4
1 7
∴当x=− 时，x2 +x+2的最小值为 ，
2 4
7
又∵ >0，
4
∴无论x取何实数，二次根式❑√x2 +x+2都有意义；
（3）设BF=am，矩形养殖场的总面积为bm 2，则CF＝2am，
24−a−2a
AB= =(8−a)m，
3
根据题意得：
b=(a+2a)(8−a)=−3a2 +24a，
−3a2 +24a=−3a2 +24a−48+48=−3(a−4) 2 +48，
∵(a−4) 2≥0，
∴−3(a−4) 2 +48≤48，∴当a=4时，−3a2 +24a的最大值为48．
答：当BF为4m时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为48m 2．
【考点13】二次函数应用-利润问题
1．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，
每降价1元，每星期可多卖出30件．已知商品的进价为每件40元．设每件商品降价x
元．
(1)用含x的代数式表示下列各量．
①每件商品的利润为______元；②每星期卖出商品的件数为______件．
(2)当商家每星期想获得利润5280元，如何定价？
(3)如何定价才能使每星期的利润最大，其最大值是多少．
【答案】(1)(20−x)；(300+30x)
(2)55元/件
(3)当商家每星期想获得利润5280元，应定价为48元/件．
【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解
析式，利用二次函数的性质求最值．
（1）①根据题意和题目中的数据，可以用含x的代数式表示出每件商品的利润；②根
据每降价1元，每星期可多卖出30件，可以写出每星期卖出商品的件数；
（2）根据总利润=单件利润×销售量列方程求解即可；
（3）根据总利润=单件利润×销售量，可以写出y关于x的函数关系式，再将函数解析
式化为顶点式，即可得到如何定价才能使每星期的利润最大，其最大值是多少．
【详解】（1）①每件商品的利润为60−40−x=(20−x)元，
故答案为：(20−x)；
②每星期卖出商品的件数为：300+30x，
故答案为：(300+30x)；
（2）设每件商品降价x元，依题意得：
y关于x的函数关系式是：(20−x)(300+30x)=5280，
解得：x =−2（不合题意，舍去），x =12，
1 2
当x=12时，售价为60−12=48（元）．
答：当商家每星期想获得利润5280元，应定价为48元/件．
（3）解：设总利润为y，依题意得：y=(20−x)(300+30x)=−30x2 +300x+6000，
∴y=−30(x−5) 2 +6750，
∴当x=5时，y取得最大值6750，此时售价为60−5=55（元)，
答：当定价为55元/件时才能使每星期的利润最大，其最大值是6750元．
2．某超市销售樱桃，已知樱桃的进价为15元/千克，如果售价为20元/千克，那么每天可
售出250千克，如果售价为25元/千克，那么每天可售出200千克，经调查发现：每
天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若该超市每天要获得利润810元，同时又要让消费者得到实惠，则售价x应定为多
少元？
(3)若樱桃的售价不得高于28元/千克，请问售价定为多少时，该超市每天销售樱桃所
获的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)y=−10x＋450；
(2)18元；
(3)售价为28元时，每天获利最大为2210元．
【分析】本题考查了一次函数和二次函数在实际销售利润问题中的应用，涉及了一次
函数解析式的求解，一元二次方程的应用，求二次函数的最值问题等知识点，掌握这
些是解题的关键．
（1）设y与x的函数关系式为：y=kx＋b，把(20，250)，(25，200)代入求解即
可；
（2）根据利润＝（售价－进价）×销售数量列出方程，求解后根据题意选择合适的售
价即可；
（3）设该超市每天获利W元，写出利润函数，通过配方法结合二次函数性质求最大
值．
【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为：y=kx＋b，
把(20，250)，(25，200)代入得：
{20k+b=250)
，
25k+b=200
{k=−10)
解得： ，
b=450∴y与x的函数关系式为：y=−10x＋450；
（2）解：根据题意知，(x−15)(−10x+450)=810，
整理得：x2−60x+756=0
解得：x=42或x=18，
∵要让消费者得到实惠，
∴ x=18，
答：该超市每天要获得利润810元，同时又要让消费者得到实惠，则售价x应定为18
元；
（3）解：设该超市每天获利W元，
W =(x−15)(−10x+450)
=−10x2 +600x−6750
=−10(x−30) 2 +2250，
∵a=−10<0，
∴开口向下，
∵对称轴为x=30，
∴在x≤28时，W随x的增大而增大，
∴x=28时，W最大值=13×170=2210（元），
答：售价为28元时，每天获利最大为2210元．
3．某超市购进甲、乙两种商品，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，
3
甲商品比乙商品每箱多盈利5元，甲商品箱数是乙商品箱数的 倍．
2
(1)求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？
(2)甲、乙两种商品全部售完后，该超市又购进一批甲商品，在原来每箱盈利额不变的
前提下，平均每天可售出100箱．若调整价格，每降价1元，平均每天可多售出20箱，
那么当降价多少元时，该超市获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)甲商品每箱盈利15元，乙商品每箱盈利10元．
(2)降价5元，该超市的利润最大，最大利润为2000元．
【分析】本题考查了分式方程及二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找出等量
关系，准确列出分式方程及函数关系式．
（1）设乙商品每箱盈利x元，甲商品每箱盈利(x+5)元，根据题意列出方程，解方程
即可得出结论；（2）设降价a元，该超市的利润最大，利润为W．根据题意列出函数解析式，根据二
次函数的性质求出函数的最值．
【详解】（1）解：设乙商品每箱盈利x元，甲商品每箱盈利(x+5)元，
900 400 3
= ×
x+5 x 2
解得x=10，
经检验，x=10是原方程的根，
∴x+5=10+5=15，
答：甲商品每箱盈利15元，乙商品每箱盈利10元．
（2）解：设降价a元，该超市的利润最大，利润为W．
W =(15−a)(100+20a)=−20(a−5) 2 +2000
∵−20(a−5) 2≤0
∴a=5时，利润W取得最大值，且最大值为2000元．
答：降价5元，该超市的利润最大，最大利润为2000元．
【考点14】二次函数与几何综合应用
1．如图，已知抛物线y=ax2 +bx+c经过A(−1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,−3)．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点Q为抛物线上一点，若S =8，求出此时点Q的坐标．
△QAB
【答案】(1)y=x2−2x−3
(2)(1+2❑√2,4)，(1−2❑√2,4)或(1,−4)
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合，掌握二次函数
的性质成为解题的关键．
（1）设抛物线解析式为y=a(x+1)(x−3)，然后将C(0,−3)代入求解即可；
（2）先求出AB=4，设点Q的纵坐标为m，再列绝对值方程可求得m=±4；然后再
分m=4和m=−4两种情况求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2 +bx+c经过A(−1,0)、B(3,0)两点，
∴设抛物线解析式为y=a(x+1)(x−3)
将C(0,−3)代入得，−3=a(0+1)(0−3)
解得a=1
∴y=(x+1)(x−3)=x2−2x−3；
（2）解：∵A(−1,0)、B(3,0)两点，
∴AB=3−(−1)=4，
设点Q的纵坐标为m，
∵
S =8，
△QAB
1 1
∴
AB⋅|m)=8，即 ×4×|m)=8，
2 2
解得：m=±4，
当m=4，有4=x2−2x−3，
解得：x=1+2❑√2或1−2❑√2，
∴点Q的坐标为(1+2❑√2,4)，(1−2❑√2,4)；
当m=−4，有−4=x2−2x−3，
解得：x=1
∴点Q的坐标为(1,−4)
综上，点Q的坐标为(1+2❑√2,4)，(1−2❑√2,4)或(1,−4)．
2．如图所示，抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点
A的坐标为A(−2,0)，点C的坐标为C(0,6)，对称轴为直线x=1．点D是抛物线上一
个动点，设点D的横坐标为m(14
(3 )
(3) ,0 或(0,−3)，
2
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量为零，可得B点坐标；
（2）根据一次函数图像在上方的部分是不等式的解集，可得答案；
（3）根据线段垂直平分线上的点到线段两点间的距离相等，可得P在线段的垂直平分
线上，所以作AB的垂直平分线交坐标轴两点，利用方程思想和勾股定理求解出两个
坐标．
1 3
【详解】（1）解：将A点坐标代入y ，得− ⋅16+ ⋅4+c=0，
1 2 2解得c=2，
1 3
二次函数y 的解析式为y=− x2 + x+2，
1 2 2
∴B点坐标为(0,2)；
（2）解：由图象得直线在抛物线上方的部分，是x<0或x>4，
∴x<0或x>4时，y
