文档内容
专题 05 圆重难点题型汇编
【题型01 ：垂径定理及应用】................................................................................................1
【题型02 ：点与圆上一点最值问题】....................................................................................6
【题型03 ：直线与圆的位置关系的判定】.............................................................................13
【题型04：切线判定与性质综合】.........................................................................................19
【题型05 ：圆周角定理】.......................................................................................................30
【题型06：圆内接四边形】......................................................................................................34
【题型07：三角形的内切圆】..................................................................................................38
【题型08：三角形的外接圆】..................................................................................................40
【题型09 ：正多边形与圆的综合】.......................................................................................42
【题型10 ：弧长和扇形的面积】..........................................................................................47
【题型11 ：圆锥的侧面积】..................................................................................................52
【题型12 ：不规则图形的阴影面积】...................................................................................54
【题型13 ：圆锥侧面最短路径问题】..................................................................................59
【题型01 ：垂径定理及应用】
1．已知在⊙O中，半径r=13，弦AB∥CD，且AB=24，CD=10，则AB与CD的距离为
（ ）．
A．7或17 B．7 C．7或12 D．12
【答案】A
【分析】本题考查圆中两条平行线间的距离，解题的关键是根据勾股定理分别求出两弦
的弦心距，分两弦在圆的同侧和异侧进行讨论．由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨
论，即可求解．
【详解】解：当AB,CD在点O的两侧，作OM⊥AB于M，延长MO交CD于N，连接OA,OC，
AB∥CD，AB=24，CD=10，
则ON⊥CD，
1 1
∴AM= AB=12,CN= CD=5
2 2
，
∴OM=❑√OA2−AM2 =❑√132−122 =5，ON=❑√OC2−CN2 =❑√132−52 =12，
∴MN=OM+ON=5+12=17，
∴此时弦AB与CD的距离为17；
当AB,CD在点O的同侧，作OQ⊥CD于Q，交AB于P，连接OA,OC，
1 1
同理，AP= AB=12,CQ= CD=5，
2 2
∴OP=❑√OA2−AP2 =❑√132−122 =5，OQ=❑√OC2−CQ2 =❑√132−52 =12，
∴PQ=OQ−OP=12−5=7，
∴此时弦AB与CD的距离为7，
∴弦AB与CD的距离为17或7．
故选：A．
2．如图，圆弧形桥拱的跨度AB=24米，拱高CD=8米，则拱桥的半径为（ ）
A．6.5米 B．9米 C．13米 D．15米【答案】C
【分析】此题主要考查了勾股定理以及垂径定理的应用．注意构造由半径、半弦、弦心
距组成的直角三角形进行有关的计算．
根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O，连接OA．根
据垂径定理和勾股定理求解．
【详解】解：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，
设圆心是O，连接OA．
1
根据垂径定理，得AD= AB=12米，
2
设圆的半径是r米，根据勾股定理，
得r2 =122 +(r−8) 2，
解得r=13．
故选：C．
4．如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，若AB=4，
OC=1，则⊙O的半径为 ．
【答案】❑√5
【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，熟知垂直于弦的直径平分弦
是解题的关键．
先根据垂径定理求出BC的长，再运用勾股定理求出OB的长即可．
【详解】解：∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，AB=4，
1
∴BC= AB=2，
2
∵OC=1，∴OB=❑√OC2 +BC2 =❑√12 +22 =❑√5．
故答案为：❑√5．
5．如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知大小，将它锯下测得深度CD为1寸，锯长AB为
10寸，则圆材的半径为 寸．
【答案】13
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．设圆形木
材的圆心为O，连接OA，OD，先根据垂径定理可得AD=5寸，再设圆材的半径为r
寸，则OA=OC=r寸，OD=(r−1)寸，在Rt△AOD中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：如图，设圆形木材的圆心为O，连接OA，OD，
由题意得：点O,D,C共线，CD⊥AB，
∴OC⊥AB，
1 1
∴
AD= AB= ×10=5（寸），
2 2
设圆材的半径为r寸，则OA=OC=r寸，
∵深度CD为1寸，
∴OD=OC−CD=(r−1)寸，
在Rt△AOD中，OD2 +AD2 =OA2，即(r−1) 2 +52 =r2，
解得r=13，
即圆材的半径为13寸，
故答案为：13．
6．小明不小心把妈妈的圆形玻璃镜面打碎了，他拿着如图所示的残缺镜面请工人师傅配同样大小的镜面，聪明的工人师傅在图纸上用尺规作图的方法确定了残缺镜面所在圆的
圆心和半径，并还原了整个圆形镜面，请你完成这个尺规作图（保留作图痕迹，不写
作法）．
【答案】见解析
【分析】本题考查作图—复杂作图，垂径定理等知识，作弦AB，BC，作线段AB，
BC的垂直平分线EF，MN交于点O，连接OA即可，解题的关键是掌握相关知识解决
问题．
【详解】解：如图，圆心为点O，半径为OA．
．
7．晨晨在学习了圆的有关性质后，想利用所学知识测量家中盛汤用的碗口的直径．以下是
他的测量方案和相关数据：
测量主
测量碗口的直径
题
测量工 一张矩形纸条和刻度尺
具
测量方 将纸条拉直并紧贴碗口，纸条的上下边沿分别与碗口相交于A，B，C，D四
案 点，分别测量出纸条的宽度、纸条的上下边沿与碗口相交的线段长度
实物图
及测量
示意图
测量说 CD为纸条上沿与碗口相交的线段，AB为纸条下沿与碗口相交的线段，测量
明 时纸条处于拉直状态且纸条和碗均未发生移动测量数 AB=16cm，CD=12cm，纸条宽度14cm．
据
请你根据上述方案和数据计算出碗口直径．
【答案】直径为20cm
【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、矩形的性质，正确掌握相关性质内容是
解题的关键．先过O点作OE⊥CD交CD于点E，延长EO交AB于点F．结合垂径定
理得ED=6cm，FB=8cm，再根据勾股定理列式CO2 =62 +x2,AO2 =(14−x) 2 +82，
因为半径相等得62 +x2 =(14−x) 2 +82，解得x=8，即可作答．
【详解】解：如图所示，假设O点为圆心所在位置．
过O点作OE⊥CD交CD于点E，延长EO交AB于点F．连接AO,CO
由矩形纸条可得CD∥AB，
∵OE⊥CD
∴EF⊥AB，即E，O，F三点共线,
∵纸条宽度14cm．
∴EF=14cm
∵AB=16cm，CD=12cm，OE⊥CD，
1 1
∴
EC=12× =6(cm)，FA= ×16=8(cm)
2 2
设OE=xcm，
则OF=(14−x)cm，
则CO2 =62 +x2,AO2 =(14−x) 2 +82
∵半径相等，
∴CO2 =AO2
∴62 +x2 =(14−x) 2 +82
解得x=8，∴OD=❑√62 +82 =10(cm),
答：碗口直径为20cm
【题型02 ：点与圆上一点最值问题】
1．如图，MN为⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B
作BD⊥MN于点D， P为DC上的任意一点，若MN=26,AC=12,BD=5，则
PA+PB的最小值为（ ）
A．15❑√2 B．17❑√2 C．17❑√3 D．15❑√3
【答案】B
【分析】连接OA、OB，根据AC⊥MN，BD⊥MN，用勾股定理计算得到
OC、OD；延长BD与⊙O相交于点G，推导得当点P在直线AG上时，PA+GP取最小
值；过G作GH⊥AC于点H，经证明四边形CDGH是矩形，并经勾股定理计算即可
得到AG的值，即可完成求解．
【详解】解：如图，连接OA、OB，
∵过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点D，
∴OB2 =BD2 +OD2 =25+OD2，OA2 =AC2 +OC2 =144+OC2，
∵MN=26，A、B是⊙O上的两点，
1
∴ OA=OB= MN=13 ，
2
∴169=25+OD2，169=144+OC2，∴OD=12，OC=5，
∴CD=OD+OC=17 ，
延长BD与⊙O相交于点G，
∵MN为⊙O的直径，BD⊥MN，
∴BP=GP，BD=GD=5，
∴PA+PB=PA+GP ，
当点P在直线AG上时，PA+GP取最小值，且最小值=AG，
过G作GH⊥AC于点H，
又∵AC⊥MN,BD⊥MN，
∴CD∥GH，DG∥CH，∠DCH=90° ，
∴四边形CDGH是矩形，
∴GH=CD=17，CH=DG=5 ，
∴AH=AC+CH=17 ，
∴AG=❑√AH2 +GH2 =❑√172 +172 =17❑√2 ，
∴PA+PB的最小值是：17❑√2，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理、垂径定理、矩形、两点之间线段最短的知识；解题的关
键是熟练掌握勾股定理、垂径定理、矩形、两点之间线段最短的性质，从而完成求解．
2．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，以A为圆心，2为半径作⊙A．若点E在⊙A
上，点P在BC上，则PE+PD的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】延长DC到点M，使得DC=CM，连接MA交⊙A于点O，交BC于点N，
当点E与点O重合，点P与点N重合时，PE+PD=NO+MN=MO=MA−OA此时
取得最小值，利用矩形的性质和勾股定理解答即可．
【详解】解：延长DC到点M，使得DC=CM，连接MA交⊙A于点O，交BC于点N，
∵PE+PM≥ME，
∴当点E，P，M三点共线时，PE+PM取得最小值，此时为ME，
∵点E是⊙A上动点，
∴当E与点O重合时，ME最小，此时为MO，
∴当点E与点O重合，点P与点N重合时，PE+PD=NO+MN=MO=MA−OA此
时取得最小值，
∵矩形ABCD中，AB=4，BC=6，以A为圆心，2为半径作⊙A．
∴DM=2AB=8，AD=BC=6，∠ADC=90°，
∴MA=❑√AD2 +DM2 =10，
∴MO=MA−OA=8，
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，圆的基本性质，两点之间线段最短，熟练
掌握矩形的性质，勾股定理，圆的基本性质是解题的关键．
1
3．如图，抛物线y= x2−1与x轴交于A，B两点，D是以点C(0,4)为圆心，1为半径的圆
9
上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（ ）3 5 3❑√2
A． B．2 C． D．
2 2 2
【答案】B
【分析】根据抛物线解析式即可得出A点与B点坐标，结合题意进一步可以得出BC长
1
为5，利用三角形中位线性质可知OE= BD，而BD最小值即为BC长减去圆的半径，据
2
此进一步求解即可.
1
【详解】∵ y= x2−1，
9
1
∴当y=0时，0= x2−1，
9
解得：x=±3，
∴A点与B点坐标分别为：−( 3，0)，(3，0)，
即：AO=BO=3，
∴O点为AB的中点，
又∵圆心C坐标为(0，4)，
∴OC=4，
∴BC长度❑=√OB2 +OC2 =5，
∵O点为AB的中点，E点为AD的中点，
∴OE为△ABD的中位线，
1
即：OE= BD，
2
∵D点是圆上的动点，
由图可知，BD最小值即为BC长减去圆的半径，∴BD的最小值为4，
1
∴OE= BD=2，
2
即OE的最小值为2，
故选：B.
【点睛】本题主要考查了抛物线性质与三角形中位线性质的综合运用，熟练掌握相关概
念是解题关键.
1
4．如图，抛物线y= x2−4与x轴交于A，B两点，P是以点C(0,3)为圆心，❑√3为半径的
4
圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ、则线段OQ的最大值是（ ）
5−❑√3 5+❑√3 5+2❑√3
A． B．3 C． D．
2 2 2
【答案】C
【分析】根据抛物线解析式可求得点A（-4,0），B（4,0），故O点为AB的中点，又Q是AP上的
1
中点可知OQ= B，P 故OQ最大即为BP最大，即连接BC并延长BC交圆于点P时BP最大，进而即
2
可求得OQ的最大值.1
【详解】∵抛物线y= x2−4与x轴交于A、B两点
4
∴A（-4,0），B（4,0），即OA=4.
在直角三角形COB中
BC❑=√OC2 +OB2 =❑√32 +42 =5
∵Q是AP上的中点，O是AB的中点
1
∴OQ为△ABP中位线，即OQ= BP
2
又∵P在圆C上，且半径为❑√3，
∴当B、C、P共线时BP最大，即OQ最大
此时BP=BC+C5P= +❑√3
1 5+❑√3
OQ= BP= .
2 2
故选：C.
【点睛】本题考查了勾股定理求长度，二次函数解析式求点的坐标及线段长度，中位线，
与圆相离的点到圆上最长的距离，解本题的关键是将求OQ最大转化为求BP最长时的情况.
5．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，点P、
E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是 ．
【答案】3
【分析】作A点关于直线DC的对称点A′，连接A A′，延长CD交A A′于点N，连接
BD，DA′，利用菱形的性质以及圆的性质得出P与D重合时PE+PF的最小值，进而
求出即可．
【详解】解：如图，作A点关于直线DC的对称点A′，连接A A′，延长CD交A A′于点
N，连接BD，DA′，∵ ABCD ∠BAD=60° AB=3
四边形 是菱形， ， ，
∴AB=AD=CD=BC=3，∠BAD=∠BCD=60°，
∴△ADB、△BCD是等边三角形 ，
∴∠BDC=∠ADB=60°，
∴∠ADN=180°−∠ADB−∠BDC=60°，
∴∠A′DN=∠ADN=60°，
∴∠ADB+∠ADN+∠A′DN=180°，
∴A′，D，B在一条直线上，
由题意可得出：当P与D重合，E点在AD上，F在BD上时，PE+PF最小，
∵BD=AB=AD=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，
∴PE=AD−AE=1，PF=BD−BF=2，
∴PE+PF的最小值是3．
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质以及
圆的性质等相关知识，根据题意得出P点位置是解题关键．
6．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的一动点，过P作PA⊥PB， A、B
都在x轴上，且关于原点O对称，则AB的最小值为 ．
【答案】6
【分析】连接OP，由直角三角形的性质可知AB，=2OP 则求AB的最小值即为求OP的最小值，当
O、P、M三点共线时，OP长度最小.
【详解】解：连接OP，由于PA⊥PB，故由直角三角形的性质可知AB，=2OP 则OP最短时，AB最短；由图可知，O、P、M三点共线时，OP长度最小，❑OP=OM-MP=√32 +42−2=3，则AB的最小长度为6，
故答案为6.
【点睛】将求AB最短问题转化为求OP最短是解题关键.
【题型03 ：直线与圆的位置关系的判定】
1．已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2cm，线段OA=3cm，OB=2cm，则直
线AB与⊙O的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
【答案】D
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键．
根据直线与圆的位置关系，直线和圆相交，dr（圆的半径为r，圆心到直线的距离为d）求解．
【详解】解：由题意知，
∵⊙O的半径为2cm，线段OA=3cm，OB=2cm，
∵点A到圆心O的距离OA=3cm，大于圆的半径2cm，
∴点A在圆⊙O的外部，
∵点B到圆心O的距离OB=2cm，等于圆的半径，
∴点B在圆⊙O上，
∵点A在圆外，点B在圆上，
∴直线AB会与圆O相交或相切．
故选：D．
2．如图，在边长为4的等边△AOB中，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作
⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则线段PQ长度的最小值为（ ）
A．❑√7 B．❑√11 C．2❑√3 D．❑√5
【答案】B【分析】本题考查等边三角形的性质、切线的性质、勾股定理、垂线段最短等知识，连
接OP、OQ，作OF⊥AB于点F，由等边三角形的性质得OA=AB=4，则
AF=BF=2，所以OF=❑√OA2−AF2 =2❑√3，由切线的性质得∠OQP=90°，则
PQ=❑√OP2−OQ2 =❑√OP2−1，可知当OP的值最小时则PQ的值最小，所以当
OP=OF=2❑√3时，PQ =❑√11，于是得到问题的答案．
最小
【详解】解：连接OP、OQ，作OF⊥AB于点F，则∠OFA=90°，
∵△AOB是边长为4的等边三角形，
∴OA=AB=4，
1 1
∴
AF=BF= AB= ×4=2，
2 2
∴OF=❑√OA2−AF2 =❑√42−22 =2❑√3，
∵PQ与⊙O相切于点Q，OQ=1，
∴PQ⊥OQ，
∴∠OQP=90°，
∴PQ=❑√OP2−OQ2 =❑√OP2−12 =❑√OP2−1，
∵OP≥OF，且当OP的值最小时则PQ的值最小，
∴当OP=OF=2❑√3时，PQ = ❑√(2❑√3) 2 −1=❑√11，
最小
故选：B．
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(−3,0)，将OP沿x
轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（ ）A．1 B．1或5 C．3 D．3或5
【答案】B
【分析】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相
切时，点到圆心的距离等于圆的半径．分两种情况讨论：⊙P位于y轴左侧和⊙P位
于y轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案．
【详解】解：⊙P的圆心P的坐标为(−3,0)，
∴OP=3，
∵⊙P的半径为2，
∴AP=BP=2，
∴OA=1，OB=5，
∴当⊙P位于y轴左侧且与y轴相切时，平移的距离为1，
当⊙P位于y轴右侧且与y轴相切时，平移的距离为5，
∴平移的距离为1或5，
故选：B．
4．如图， O 的直径AB长度为12， O 的直径为8，∠AOO＝30°， O 沿直线OO 平移，
1 2 1 2 2 1 2
当 O⊙平移到与 O 和AB所在⊙直线都有公共点时，令圆心距⊙OO＝x，则x的取值范
2 1 1 2
围⊙是（ ） ⊙
A．2≤x≤10 B．4≤x≤16 C．4≤x❑≤4√3 D．2≤x≤8
【答案】D【分析】由题意得出点O 在点O 的右侧，⊙O 与⊙O 和AB所在直线都有公共点时，
2 1 2 1
OO 的最大值和最小值，分别画出图形求解得出x的取值范围，根据对称性可得点O
1 2 2
在点O 的左侧时的结论．
1
【详解】解：当点O 在点O 的右侧时，
2 1
当⊙O 向左移动到与直线AB相切时，如图1所示，设切点为M，
2
则OM=4，
2
又∵∠AOO=30°，
2 1
∴OO=2•OM=8，
1 2 2
当⊙O 继续向左移动到与⊙O 内切时，如图2所示，此时OO=6-4=2，
2 1 1 2
所以当⊙O 平移到与⊙O 和AB所在直线都有公共点时，2≤x≤8；
2 1
故选：D．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、平移的性质，求出符合条件的x的最大值和
最小值是解决问题的关键．
5．如图，半径r=2❑√2的⊙M在x轴上平移，且圆心M在x轴上，当⊙M与直线y=x+2相切时，
圆心M的坐标为（ ）
A．(0，0) B．(2，0) C．（-6，0） D．(2，0) 或（-6，0）
【答案】D【分析】根据题意，进行分情况讨论，分别为圆位于直线右侧并与直线相切和位于直
线左侧并于直线相切两种情况，进而根据相切的性质及等腰直角三角形的相关性质进
行求解即可得解．
【详解】①当圆位于直线右侧并与直线相切时，连接MA，如下图所示：
∵y=x+2
∴A(0,2)，B(−2,0)，△AOB是等腰直角三角形，∠ABO=45°
∴AB=2❑√2
∵r=2❑√2
∴△ABM是等腰直角三角形，∠BAM=90°
∴⊙M与直线AB相切于点A
∵AO⊥BM
∴OB=OM=2
∴圆心M的坐标为(2,0)；
②当圆位于直线左侧并与直线相切时，过点M作MC⊥AB于点C，如下图所示：
∵⊙M与直线AB相切，MC⊥AB
∴MC=r=2❑√2
根据直线AB的解析式：y=x+2可知∠ABO=∠MBC=45°
∴△BCM是等腰直角三角形
∴MB=❑√2MC=4
∵B(−2,0)∴圆心M的坐标为(−6,0)，
综上所述：圆心M的坐标为(2,0)或(−6,0)，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质及动圆问题，熟练掌握
相关几何求解方法并进行分类讨论是解决本题的关键．
【题型04：切线判定与性质综合】
1．如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，点B是⊙O上的一点，且
∠BAC=30°，∠APB=60°．
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为2，求弦AB及PA，PB的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)AB=PA=PB=2❑√3
【分析】（1）连接OB，证明PB⊥OB即可．由三角形的内角和定理可得
∠AOB=120°，由切线的性质可得∠OAP=90°，根据四边形的内角和为360°，结
合已知条件可得∠OBP=90°，于是得证；（2）连接OP，根据切线长定理可得PA=PB，由全等三角形的判定与性质可得
∠OPA=30°，于是可得OP=2OA=4，由勾股定理可求得PA的长，最终利用等边
三角形的判定与性质可得答案．
【详解】（1）证明：如图，连接OB，
∵OA=OB
，
∴∠OBA=∠BAC=30°，
∴∠AOB=180°−∠OBA−∠BAC=180°−30°−30°=120°，
∵PA切⊙O于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，
∵四边形的内角和为360°，
∴∠OBP=360°−∠APB−∠OAP−∠AOB
=360°−60°−90°−120°
=90°，
∴OB⊥PB，
又∵点B是⊙O上的一点，
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接OP，
∵PA PB ⊙O
、 是 的切线，
∴PA=PB，
在△OPA和△OPB中，
{PA=PB
)
OP=OP ，
OA=OB
∴△OPA≌△OPB(SSS)，1 1
∴∠OPA=∠OPB= ∠APB= ×60°=30°，
2 2
∵在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠OPA=30°，
∴OP=2OA=2×2=4，
∴PA=❑√OP2−OA2 =❑√42−22 =2❑√3，
∵PA=PB，∠APB=60°，
∴△APB是等边三角形，
∴AB=PA=PB=2❑√3．
【点睛】本题主要考查了圆的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，切线
的性质，垂线的性质，多边形的内角和，切线的判定，切线长定理，全等三角形的判
定与性质，含30°角的直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识点，
熟练掌握相关知识点并能灵活运用是解题的关键．
2．如图AB=AC，点O在AB上，⊙O过点B，分别与BC,AB交于D,E，过D作
DF⊥AC于F．
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若AC与⊙O相切于点G,AC=8,CF=1，求⊙O的半径．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）连接连接OD，由∠ODB=∠B，∠C=∠B，得∠ODB=∠C，则
OD∥AC，所以∠ODF=180°−∠AFD=90°，即可证明DF是⊙O的切线；
（2）连接连接OG，可证明四边形ODFG是正方形，则
FG=OG=OD=OB,∠DOG=90°，设FG=OG=OB=r，则
AG=8−1−r=7−r,OA=8−r，由勾股定理得AG2 +OG2 =OA2，求得半径r即可．
【详解】（1）证明：连接OD，则OD=OB．∴∠ODB=∠B
．
∵AB=AC，
∴∠C=∠B．
∴∠ODB=∠C．
∴OD∥AC．
∵DF⊥AC，
∴∠AFD=90°．
∴∠ODF=180°−∠AFD=90°．
∵OD是⊙O的半径，且DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切线．
（2）解：连接OG，
∵AC与⊙O相切于点G，
∴AC⊥OG．
∴∠OGF=∠ODF=∠GFD=90°．
∴四边形ODFG是矩形，
∵OG=OD．
∴四边形ODFG是正方形．
∴FG=OG=OD=OB,∠DOG=90°．
设FG=OG=OB=r，
∵AB=AC=8,CF=1，
∴AG=8−1−r=7−r,OA=8−r．
∵∠OGA=90°
∴AG2 +OG2 =OA2．
∴(7−r) 2 +r2 =(8−r) 2．
解得r =3,r =−5（不符合题意，舍去）．
1 2
故⊙O的半径为3．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定与性质、正
方形的判定与性质，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
3．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D为AC的中点，过点C作⊙O的切线
交OD的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连接EA．
(1)求证∶EA与⊙O相切；
(2)若CE=6，CF=4，求⊙O的半径r．
【答案】(1)证明见解析
(2)3
【分析】本题主要考查垂径定理、切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌
握相关定理并能利用等面积法解决问题是关键．
（1）连接OC，由垂径定理得OE⊥AC，根据垂直平分线的性质可得CE=AE，证明
△OCE≌△OAE，利用全等三角形的性质可得∠OAE=90°即可；
（2）先利用勾股定理求得AF=8，设OA=OC=x，再根据等面积法列
1 1 1
∴ ×6×8= ×10x+ ×6x即可求解．
2 2 2
【详解】（1）证明：如图，连接OC，
∵EF ⊙O
是 的切线，
∴∠OCE=90°，
∵D为AC的中点，OC=OA，
∴OE⊥AC，则OE垂直平分AC，∴CE=AE，
∵OC=OA，OE=OE，
∴△OCE≌△OAE(SSS)，
∴∠OAE=∠OCE=90°，
∴EA与⊙O相切；
（2）解：∵CE=6，CF=4，
∴EF=10，
由（1）可知CE=AE=6，∠OAE=90°，
∴AF=❑√EF2−AE2 =❑√102−62 =8，
设OA=OC=x，
∵S =S +S ，
△EAF △EOF △EAO
1 1 1
∴ AE⋅AF= EF⋅OC+ AE⋅OA，
2 2 2
1 1 1
∴ ×6×8= ×10x+ ×6x，
2 2 2
解得x=3，
故⊙O的半径为3．
4．如图，在四边形ABCD中，AO平分∠BAD．点 O在AC上，以点O为圆心，OA为半
径，作⊙O经过点D，与BC相切于点B，BO延长线交⊙O于点 E，交AD于点 F，
连接AE，DE．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AE=DE=8，求AF的长．
【答案】(1)详见解析
(2)AF的长为4❑√3
【分析】（1）连接OD，证明△BOC≌△DOC（SAS），得到
∠OBC=∠ODC=90°，即可求证；（2）由OA=OD，AE=DE=8，可得OE垂直平分AD，∠DAE=∠ADE，进而可
得∠BAO=∠DAO=∠DAE=30°，即可求出EF，再利用勾股定理得到AF的长
即可．
【详解】（1）如图，连接OD，
∵AO平分∠BAD，
∴∠BAO=∠DAO，
∵OA=OB，OA=OD，
∴∠BAO=∠ABO，∠ADO=∠DAO，
∴∠BOC=2∠BAO，∠DOC=2∠DAO，
∴∠BOC=∠DOC，
∵OB=OD，OC=OC，
∴△BOC≌△DOC（SAS），
∴∠OBC=∠ODC，
∵⊙O与BC相切于点B，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC=90°，
∴∠ODC=90°，即OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵OA=OD，AE=DE=8，
∴OE垂直平分AD，∠DAE=∠ADE，
∴∠AFE=90°，
∵∠ADE=∠ABE，
∴∠DAE=∠ABE，
∵∠BAO=∠DAO=∠ABO，
∴∠BAO=∠DAO=∠DAE，
∵BE是⊙O的直径，∴∠BAE=90°，
∴∠BAO=∠DAO=∠DAE=30°，
1 1
∴
EF= AE= ×8=4，
2 2
∴AF=❑√AE2−EF2 =❑√82−42 =4❑√3．
【点晴】本题主要考查了角平分线的定义，切线的性质和判定，全等三角形的判定和
性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，圆周角定理，直角
三角形的性质，熟练掌握圆的有关性质是解决此题的关键．
5．如图，以点O为圆心，AB长为直径作圆，在⊙O上取一点C，延长AB至点D，连接
DC，∠DCB=∠DAC，过点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E．
(1)求证：CD是⊙O的切线
(2)若CD=4，DB=2，则AE的长
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】本题考查了切线的判定和性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切
线；也考查了圆周角定理的推论，全等三角形的性质和判定，正确的作出辅助线是解
题的关键．
（1）连接OC，如图，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，即∠BCO+∠1=90°，
求得∠OCA=∠DCB，得到∠DCO=90°，根据切线的判定定理得到答案；
（2）根据勾股定理得到OB=3，求得AB=6，根据切线的性质得到AE=CE根据勾股
定理即可得出结论．
【详解】（1）证明：连接OC，如图，∵AB
为直径，
∴∠ACB=90°，即∠BCO+∠OCA=90°，
又∵∠DCB=∠CAD，
∵∠CAD=∠OCA，
∴∠OCA=∠DCB，
∴∠DCB+∠BCO=90°，
即∠DCO=90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接OE，
∵∠DCO=90° OC=OB
， ，
∴OC2 +CD2 =OD2，
∴OB2 +42 =(OB+2) 2，
∴OB=3，
∴AB=6，
∵AE⊥AD，
∴∠OAE=∠OCE,OC=OC,OE=OE，
∴△ECO≌△EAO(HL)，
∴AE=CE，
∵AD2 +AE2 =DE2，
∴(6+2) 2 +AE2 =(4+AE) 2，解得：AE=6．
6．如图，AB为⊙O的一条弦，PB切⊙O于点B,PA=PB，直线PO交AB于点E，交
⊙O于点C．
(1)求证：PA是⊙O的切线；
(2)若CD∥ PA,CD交直线AB于点D，交⊙O于另一点F．
①求证：AD=CD；
②若AB=8,BD=2，求⊙O的半径．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②5
【分析】（1）连接OA，OB．证明△PAO≌△PBO(SSS)，推出
∠PAO=∠PBO=90°即可解决问题．
（2）①连接AC，想办法证明∠DAC=∠DCA即可解决问题．
②利用勾股定理求出EC，设OB=OC=r，在Rt△OBE中，利用勾股定理构建方程
即可解决问题．
【详解】（1）证明：连接OA，OB．
∵PB ⊙O
是 的切线，
∴PB⊥OB，
∴∠PBO=90°，
∵PA=PB，PO=PO，OA=OB，
∴△PAO≌△PBO(SSS)，
∴∠PAO=∠PBO=90°，∴PA⊥OA，
∴PA是⊙O的切线；
（2）①证明：连接AC．
∵PA=PB OA=OB
， ，
∴OP⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∵∠PAO=90°，
∴∠EAO+∠AOE=90°，∠AOE+∠APO=90°，
∴∠EAO=∠APO，
∵AP∥CD，
∴∠APO=∠DCE，
∴∠EAO=∠DCE，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠EAO+∠OAC=∠DCE+∠OCE，
即∠DAC=∠DCA，
∴DA=DC．
②解：∵PA=PB，OA=OB，
∴OP⊥AB，
1
∴AE=EB= AB=4，
2
∵DC=DA=AB+BD=10，DE=BE+BD=6，∠CED=90°，
∴EC=❑√DC2−DE2 =❑√102−62 =8，设OB=OC=r，
在Rt△OEB中，∵OB2 =EB2 +OE2，
∴r2 =42 +(8−r) 2，
∴r=5，∴⊙O的半径为5．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，
平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形
解决问题，属于中考常考题型．
【题型05 ：圆周角定理】
1．如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC=45°，则∠BOC的度数为（ ）
A．27° B．108° C．126° D．90°
【答案】D
【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键，根据圆周角定理
计算即可得到答案．
【详解】解：∵B´C=B´C，
∴∠BOC=2∠BAC，
∵∠BAC=45°，
∴∠BOC=2×45°=90°，
故选：D．
⏜ ⏜ ⏜
2．如图，线段AC为⊙O的直径，
BC= CD =DE
．若∠BAC=28°，BC与ED的延长
线交于F，则∠F的度数是（ ）
A．68° B．84° C．56° D．58°【答案】A
【分析】连接AD，根据等弧对等角求出∠BAD,∠CAE，再利用圆内接四边形对角
互补求出∠DCF,∠CDF，最后利用三角形内角和定理即可得到答案．
本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握这些知
识点是解题关键．
【详解】解：如图，连接AD，
⏜ ⏜ ⏜
∵BC= CD =DE ，
∴∠1=∠2=∠3=28°，
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
又∵∠DCF+∠BCD=180°，
∴∠DCF=∠BAD=∠1+∠2=2∠1，
同理∠CDF=∠CAE=∠2+∠3=2∠1，
∴∠F=180°−(∠DCF+∠CDF)=180°−28°×4=68°，
故选：A．
3．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD=30°，则∠ODB等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】D
【分析】本题考查了圆周角定理和等腰三角形的性质．
根据圆周角定理得到∠ADB=90°，∠DAB=30°，进而得到∠ABD=60°，再根据等边对等角作答即可．
【详解】∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠BCD=30°，
∴∠DAB=∠BCD=30°，
∴∠ABD=90°−∠DAB=90°−30°=60°．
又∵OD=OB
∴∠ODB=∠ABD=60°
故选：D．
4．如图，A、B、C是⊙O上的点，BC是圆的直径，在BA延长线上取一点D，使
AD=AC，连接CD，则∠ACD为（ ）
A．70° B．50° C．45° D．40°
【答案】C
【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的性质，根据题意可得
∠BAC=∠CAD=90°，再利用等腰三角形的性质即可解答．
【详解】解：∵BC是圆的直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠CAD=90°，
∵AD=AC，
180°−∠CAD
∴∠D=∠ACD= =45°，
2
故选：C．
5．如图，△BCD内接于⊙O，点B是C´D的中点，CD是⊙O的直径，若∠ABC=30°，
AC=3，则BC的长为（ ）A．4 B．4❑√2 C．3❑√2 D．3❑√3
【答案】C
【分析】本题考查圆周角定理，直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、
勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
连接AD，则∠ADC=∠ABC=30°，由CD是⊙O的直径，得
∠CAD=∠CBD=90°，而AC=3，则CD=2AC=6，由点B是C´D的中点，得
B´C=B´D，则BC=BD，由CD=❑√BC2 +BD2 =❑√2BC=6，求得BC=3❑√2，于是得
到问题的答案．
【详解】解：连接AD，则∠ADC=∠ABC=30°，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD=∠CBD=90°，
∴CD=2AC=6，
∵点B是C´D的中点，
∴B´C=B´D，
∴BC=BD，
∵CD=❑√BC2 +BD2 =❑√2BC=6，
∴BC=3❑√2，
故选：C．6．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠B=62°，∠ACD=39°，则∠CAD=（
）
A．23° B．28° C．31° D．33°
【答案】A
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，先由圆内接四边形的
性质得∠D=180°−∠B=118°，再在△ACD中，由三角形内角和定理求∠CAD
即可．
【详解】解：∵∠B=62°，
∴∠D=180°−∠B=118°，
∵∠ACD=39°，
∴∠CAD=180°−∠D−∠ACD=23°，
故选：A．
【题型06：圆内接四边形】
1．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=128°，则∠BOD的度数是（ ）
A．52° B．64° C．82° D．104°
【答案】D
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，解题关键是掌握上述知识点
并能熟练运用求解．
先根据圆内接四边形的性质得到∠G+∠BCD=180°，根据∠BCD=128°，可求
得，∠G=52°，再利用圆周角定理求得∠BOD．
【详解】解：如图，在∠BCD所对的弧上任取一点G，连结BG，DG，则四边形GBCD是圆内接四边形，
∴∠G+∠BCD=180°，
∵∠BCD=128°，
∴∠G+128°=180°，解得：∠G=52°，
∴∠BOD=2∠G=104°，
故选：D．
2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE平分∠ABC，点A是劣弧B´E的中点．
若∠D=92°，则∠AEB的度数是（ ）
A．40° B．44° C．45° D．46°
【答案】B
【分析】先利用圆内接四边形的性质求出∠ABC的度数，再由角平分线的定义得出
∠ABE的度数，最后根据弧中点的性质得到∠AEB与∠ABE的关系，进而求出
∠AEB的度数．本题主要考查了圆内接四边形的性质、角平分线的定义以及弧与圆
周角的关系，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠D=92°
∴ ∠ABC=180°−∠D=180°−92°=88°
∵ BE平分∠ABC
1 1
∴
∠ABE= ∠ABC= ×88°=44°
2 2
⏜
∵ 点A是劣弧 BE 的中点⏜ ⏜
∴ AB=AE
∴ ∠AEB=∠ABE=44°．
故选：B．
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE=64°，那么∠BOD=
（ ）
A．128° B．100° C．120° D．132°
【答案】A
【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形
的性质，圆周角定理是解题的关键．根据圆内接四边形的性质可得
∠A+∠BCD=180°，从而得到∠A=64°，再由圆周角定理，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠DCE+∠BCD=180°，
∴∠DCE=∠A，
∵∠DCE=64°，
∴∠A=64°，
∴∠BOD=2∠A=128°．
故选：A．
4．如图，△ABC内接于⊙O，连接OA、OB，若∠AOB=130°，则∠ACB的度数为
（ ）
A．105° B．110° C．115° D．120°
【答案】C【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、圆内接四边形的性
质是解题的关键．根据圆周角定理求出∠D，再根据圆内接四边形的性质求出
∠ACB．
1 1
【详解】解：由圆周角定理得：∠D= ∠AOB= ×130°=65°，
2 2
∵四边形ACBD为⊙O内接四边形，
∴∠ACB+∠D=180°，
∴∠ACB=180°−65°=115°，
故选：C．
5．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，过点B作BE∥AD，交CD于点E．若
∠ABC=140°，则∠BEC的度数为 ．
【答案】40°
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、平行线的性质，先根据圆内接四边形的性
质求出∠D=40°，再根据平行线的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用
是解此题的关键．
【详解】解：∵⊙O是四边形ABCD的外接圆，
∴∠ABC+∠D=180°，
∵∠ABC=140°，
∴∠D=40°，
∵BE∥AD，
∴∠BEC=∠D=40°，
故答案为：40°．【题型07：三角形的内切圆】
1．如图，边长为a的正三角形的内切圆半径是（ ）
❑√3 ❑√3 ❑√3
A． a B． a C． a D．❑√3
6 3 2
【答案】A
【分析】本题主要考查了求三角形内切圆半径，勾股定理，含30度角的直角三角形的性
质，角平分线的判定定理，等边三角形的性质，设等边△ABC的内切圆圆心为O，
⊙O与AB，BC分别相切于D、E，连接OB，OC，OD，OE，由切线的性质可
得OD⊥AB，OE⊥BC，再由OD=OE可得OB平分∠ABC，则
1
∠OBC= ∠ABC=30°，同理可得∠OCB=30°，则可证明OB=OC，可得
2
1 1
BE= BC=❑√3OE= a，据此可得答案．
2 2
【详解】解：如图所示，设等边△ABC的内切圆圆心为O，⊙O与AB，BC分别相
切于D、E，连接OB，OC，OD，OE，
由切线的性质可得OD⊥AB，OE⊥BC，
∵OD=OE，
∴OB平分∠ABC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，1
∴∠OBC= ∠ABC=30°，
2
同理可得∠OCB=30°，
∴∠OCB=∠OBC，
∴OB=OC，
1 1
∴
BE= BC= a，
2 2
在Rt△OBE中，OB=2OE，
1
∴
BE=❑√OB2−OE2 =❑√3OE= a，
2
❑√3
∴OE= a，
6
❑√3
∴边长为a的正三角形的内切圆半径是 a，
6
故选：A．
2．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且AD=2，
△ABC的周长为14，则BC的长为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解
题的关键．根据切线长定理得到AF=AD=2，BD=BE，CE=CF，由△ABC的周
长为14，可求BC的长．
【详解】解：∵⊙O与A B，BC，CA分别相切于点D，E，F，
∴AF=AD=2，BD=BE，CE=CF，
∵△ABC的周长为14，
∴AD+AF+BE+BD+CE+CF=14，
∴2(BE+CE)=10，
∴BC=5．
故答案为：5．3．如图所示的是周长为15cm的三角形纸片ABC，小刚想用剪刀剪出它的内切圆⊙O，他
先沿着与⊙O相切的DE剪下了一个三角形纸片BDE．若AC=4cm，则三角形纸片
BDE的周长为 cm．
【答案】7
【分析】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质等知识，解决问题的关键是熟
练掌握基本知识，属于中考常考题型.
设三角形ABC与⊙O相切于M,N,F，DE与⊙O相切于G，根据切线长定理和三角
形的周长公式即可得到结论．
【详解】解：设三角形ABC与⊙O相切于点M,N,F，DE与⊙O相切于点G．
由题意，得AM=AF,CN=CF,BM=BN,DM=DG,EG=EN．
∵ ABC 15cm AC=4cm
三角形纸片 的周长为 ， ，
∴AB+AC+BC=15cm,AM+CN=AF+CF=AC=4cm,∴AB+BC=11cm，
∴三角形纸片BDE的周长
=DB+DE+BE=BD+DG+≥+BE=BM+BN=AB+BC−AC=7cm．
故答案为：7．
【题型08：三角形的外接圆】
1．三角形的外心就是三角形外接圆圆心，是三角形（ ）
A．三边上的高线的交点 B．三边中线的交点
C．三边垂直平分线的交点 D．三个内角平分线的交点
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的外心，三角形的外心就是三角形外接圆的圆心，就是三
角形的三边的垂直平分线的交点．
【详解】解：∵三角形的外心就是三角形外接圆圆心，
∴角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，∵到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，
∴三角形的外心就是三角形的三边的垂直平分线的交点．
故选： C．
2．如图，直角坐标系中A(0,4),B(4,4),C(6,2)，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，则
点M的坐标为（ ）
A．(1,−1) B．(1,0) C．(2,0) D．(2,1)
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理、坐标与图形．
由网络可得出线段AB和BC的垂直平分线的交点，这个交点即为圆心M，进而可得点
M的坐标．
【详解】解：如图，作线段AB和BC的垂直平分线，它们的交点为圆心M，则点M坐
标为(2,0)，
故选：C
3．如图，已知△ABC．(1)用直尺和圆规作△ABC的外接圆⊙O（保留作图的痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若⊙O的半径为5，点O到BC的距离为3，求BC的长．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】本题考查尺规作图，垂径定理，勾股定理三角形的外接圆与外心等知识，
（1）作线段AB，AC的垂直平分线交点为O，点O即为△ABC的外接圆的圆心；
（2）作OE⊥BC于E.利用勾股定理求出BE，再利用垂径定理可得BE=EC，求出
BC即可．
【详解】（1）解：如图，作线段AB，AC的垂直平分线交点为O，点O即为△ABC
的外接圆的圆心；
（2）解：作OE⊥BC于E．
在Rt△OBE中，∵OB=5，OE=3，
∴BE=❑√OB2−OE2 =❑√52−32 =4，
∵OE⊥BC，
∴BE=EC=4，
∴BC=BE+EC=8．
【题型09 ：正多边形与圆的综合】
1．如图，正方形ABCD内接于⊙O，则A´B的度数是（ ）A．90° B．60° C．45° D．30°
【答案】A
【分析】此题主要考查了正多边形和圆，根据正方形ABCD内接于⊙O即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
1
∴A´B的度数= ×360°=90°，
4
故选：A．
2．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB=18°，
连接OA、OB，则∠AOB=（ ）
A．18° B．36° C．54° D．72°
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理．连接OA、OB，根据圆周角定理得到∠AOB=36°，
即可得出答案．
【详解】解：如图，设正多边形的外接圆为⊙O，连接OA、OB，
∵A´B=A´B，
∴∠AOB=2∠ADB=36°．
故选：B．3．如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，
顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O逆时针旋转，每次旋转
90°，那么经过2025次旋转后，顶点D的坐标为（ ）
(❑√3 3) ( 3 ) ( 3) ( 3)
A． , B． − ,−❑√3 C． ❑√3,− D． −❑√3,
2 2 2 2 2
【答案】D
【分析】本题考查了正多边形和圆，规律型，点的坐标，坐标与图形变化-旋转，根据
正六边形的性质及它在坐标系中的位置，求出点D的坐标，再根据旋转的性质以及旋
转的规律求出旋转2025次后顶点D的坐标即可．
【详解】解：边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，连接
AD，BD，如图，
∴AB=BC=CD=AF=1，∠FAB=∠ABC=∠BCD=120°，
1
∴∠CBD= (180°−∠BCD)=30°，∠OAF=180°−∠FAB=60°，
2
1
∠BAD=∠FAD= ∠FAB=60°，
2
∴∠ABD=∠ABC−∠CBD=90°，∴∠ADB=30°，
∴AD=2AB=2，
由Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=❑√AD2−AB2 =❑√3，
在Rt△AOF中，AF=1，∠OAF=60°，
∴∠OFA=30°，
1 1
∴ OA= AF= ，
2 2
3
∴ OA+AB= ，
2
(3 )
∴点D的坐标为 , ❑√3 ，
2
∵将正六边形ABCDEF绕坐标原点O逆时针旋转，每次旋转90°，
∴4次一个循环，
∵2025÷4=506⋯1，
∴经过2025次旋转后，顶点D的坐标与第一次旋转后得到的D 的坐标相同，
1
∵过点D 作D P⊥x轴于P，
1 1
∴∠POD +∠PD O=90°，
1 1
由旋转可知∠POD +∠DOB=90°，OD =OD，
1 1
∴∠DOB=∠PD O，
1
∴△OBD≌△D PO(AAS)，
1
3
∴ D P=OB= ，OP=BD=❑√3，
1 2
∵点D 在第二象限，
1
( 3)
∴点D 的坐标为 −❑√3, ，
1 2
( 3)
∴经过2025次旋转后，顶点D的坐标为 −❑√3, ，
2
故选：D．
4．如图，正六边形螺帽的边长为4，则这个螺帽的面积是（ ）A．❑√3 B．6 C．❑24√3 D．❑12√3
【答案】C
【分析】本题主要考查了正多边形，
先画出图形，可知∠AOB=60°,OA=OB，再作OG⊥AB，即可求出
AG=BG=2,AO=2AG=4，然后根据勾股定理求出OG=2❑√3，进而求出答案.
【详解】解：设正六边形的中心O，一边是AB，则
1
∠AOB= ×360°=60°,OA=OB，作OG⊥AB于点G，
6
可知△ABO是等边三角形，且正六边形是由6个等边三角形组成.
如图，在Rt△AOG中，AB=4,∠AOG=30°，
∴AG=BG=2,AO=2AG=4，
∴OG=❑√OA2−AG2 =2❑√3，
1
所以这个正六边形的面积= ×4×2❑√3×6=24❑√3.
2
故选：C.
5．中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，
金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图
如图2所示，已知该正六边形ABCDEF的周长约120mm，则该正六边形铁块的外接圆
的半径为 mm．【答案】20
【分析】本题考查了正多边形与中心角，等边三角形的判定与性质，连接CF与AD交
1
于点O，证明△COD为等边三角形，从而CD=OC=OD= AD即可得到答案，正
2
确把握正六边形的中心角，半径与边长的关系是解题的关键．
【详解】解：如图，连接CF与AD交于点O，
∵ABCDEF为正六边形，
∴∠COD=360°÷6=60°，CO=DO，
∴△COD为等边三角形，
∴CD=CO=DO，
∵正六边形ABCDEF的周长约为120mm，
∴CD=120÷6=20(mm)，
∴CD=CO=20mm，
∴该正六边形的外接圆半径长为20mm，
故答案为：20．
【题型10 ：弧长和扇形的面积】
1．如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，
⏜ ⏜
是以点O为圆心， 18cm为半径的弧，弦AB的长为18cm，则 的长是（ ）
AB ABA．24πcm B．12πcm C．10πcm D．6πcm
【答案】D
【分析】本题考查了等边三角形的判定，求弧长，根据已知可得
nπ r
OA=OB=AB=18cm，则△OAB是等边三角形，进而根据弧长公式l= ，即可
180
求解．
【详解】解：依题意，OA=OB=AB=18cm，
∴△OAB是等边三角形．
∴∠AOB=60°．
⏜ 60
∴AB 的长为 π ×18=6πcm．
180
故选：D．
2．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧A´C，点O是这段弧所在圆的圆心，B为A´C上的一
个点，OB⊥AC于点D．若AC=300❑√3m，∠OAD=30°，则A´C的长为（ ）
A．300πm B．200πm C．150πm D．100❑√3πm
【答案】B
【分析】先根据垂径定理求出AD的长和圆心角的度数，再△Rt AOD中利用勾股定理
即可求出OA的值，最后利用弧长公式求解即可．
【详解】解：∵OB⊥AC，点O是A´C所在圆的圆心，∠OAD=30°，
1 1
∴AD= AC=150❑√3m，∠AOD=∠COD=60°，DO= AO，
2 2
∴∠AOC=120°．
1
设AO=xm，则DO= xm．
2在Rt△ADO中，由勾股定理，得x2 = (1 x ) 2 +(150❑√3) 2 ，
2
解得x=300（负值已舍去），即AO=300m，
120×π×300
∴l = =200π(m)．
A´C 180
【点睛】本题考查的是垂径定理，勾股定理及弧长的计算公式，根据垂径定理得出
AD的长和圆心角的度数，再由勾股定理求出半径是解答此题的关键，同时要熟记圆
弧长度的计算公式．
3．已知一个圆心角为270°扇形工件，未搬动前如图所示，A、B两点触地放置，搬动时，
先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两
点再次触地时停止，扇形的直径为5m，则圆心O所经过的路线长是（ ）m.（结果用
含的式子表示）
15 15
A． π B．5π C． π D．10π
4 2
【答案】B
【分析】本题考查了弧长的计算公式，正确理解O经过的路线是解题关键．
O经过的路线是两个半径是2.5m，圆心角为45°的弧，平移的距离是半径长是2.5 m，圆
心角是270°的弧长，二者的和就是所求的路线长．
5
【详解】解：O经过的路线是两个半径是 =2.5（m），
2
∠AOB=360°−270°=90°，
∵OA=OB，
∴∠ABO=45°，
∴∠OBC=45°，O旋转的长度是：
45π×2.5
2× =1.25π（m），
180
270π×2.5
O移动的距离是 =3.75π（m），
180
∴圆心O所经过的路线长是：1.25π+3.75π=5π（m），
故选：B．
4．如图，将Rt△ABC以点A为中心顺时针旋转得到△ADE，若点B的对应点D恰为BC
边的中点，AB=1，则C´E的长为（ ）
π π ❑√3π ❑√3π
A． B． C． D．
3 6 3 6
【答案】C
【分析】本题考查直角三角形斜边上中线的性质，旋转的性质，等边三角形的判定及
性质，勾股定理，弧长，综合运用相关知识是解题的关键．
1
先根据直角三角形斜边上中线的性质得到AD=BD= BC，由旋转得AD=AB，从
2
而证得△ABD是等边三角形，得到∠BAD=∠B=60°，即旋转角为60°，再根据
勾股定理求出AC，根据弧长公式即可解答．
【详解】解：∵点D是Rt△ABC的斜边BC的中点，
1
∴
AD=BD= BC，
2
由旋转可得AD=AB，
∴AD=BD=AB=1，
∴△ABD是等边三角形，∴∠BAD=∠B=60°，
∴由旋转可得∠CAE=∠BAD=60°，
∵点D是BC的中点，
∴BC=2BD=2，
∴在Rt△ABC中，AC=❑√BC2−AB2 =❑√22−12 =❑√3，
60×π×❑√3 ❑√3
∴l = = π．
C´E 180 3
故选：C
5．物理实验课上，分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小丽
发现重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变．已知滑轮的半径为6cm，当滑轮上
点A转过的度数为30°时，重物上升了（ ）
π
A． cm B．πcm C．3πcm D．6πcm
2
【答案】B
【分析】本题主要考查了弧长的计算，熟知弧长的计算公式是解题的关键．重物上升
的高度就是点A旋转30°转过的弧长，利用弧长公式进行计算即可解决问题．
【详解】解：∵滑轮的半径为6cm，
30⋅π ⋅6
∴滑轮上点A转过的度数为30°时，所对应的弧长为： =π (cm)，
180
∴重物上升了πcm
故选：B．
6．如图，点A，B，C是⊙O上的点，且∠ACB=40°，⊙O的半径为2，则此阴影部分
的面积为（ ）8 2 8 2
A． π B． π C． D．
9 9 9 9
【答案】A
【分析】本题考查圆周角定理，扇形的面积，熟练掌握圆周角定理和扇形面积公式是
解题的关键．先利用圆周角定理得出∠AOB=2∠ACB=80°，再利用扇形面积公
式计算即可．
【详解】解：∵∠ACB=40°，
∴∠AOB=2∠ACB=80°，
nπ r2 80π ×22 8π
∴S = = = ，
阴影 360 360 9
故选：A．
5π
7．一把折扇打开后，如图，小扇形OAB的半径为2cm，弧长为 cm，大扇形OCD的半
3
径为26cm，扇面的宽度CE为12cm，则扇面的面积（阴影部分）是 cm 2（结果
保留π ）．
【答案】200π
【分析】本题考查了求扇形面积，弧长的计算，先根据小扇形OAB的半径为2cm，弧
5π
长为 cm，求出∠BOA的度数，根据S =S −S 列式代入数值进行
3 阴影 扇形ODC 扇形OFE
计算，即可作答．
【详解】解：设∠BOA=n°，
5π nπ×2
根据题意可列方程为： = ，
3 180解得：n=150，
则∠FOE=∠BOA=150°，
∵大扇形OCD的半径为26cm，扇面的宽度CE为12cm，
∴OF=26−12=14(cm)，
则S =S −S
阴影 扇 形ODC扇 形OFE
150π×262 150π×142
= −
360 360
=200π(cm 2)．
故答案为：200π．
【题型11 ：圆锥的侧面积】
1．圆锥的底面半径为6cm，母线长为8cm，则圆锥的侧面积为（ ）cm 2．
A．30π B．48π C．60π D．80π
【答案】B
【分析】本题考查了圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式S=πrl计算即可，掌握圆
锥的侧面积计算公式是解题的关键．
【详解】解：∵圆锥的底面半径为6cm，母线长为8cm，
∴圆锥的侧面积为S=πrl=π×6×8=48πcm 2，
故选：B．
2．已知圆锥的侧面积为15π ，母线长为5，则圆锥的底面半径是 ．
【答案】3
【分析】本题考查了圆锥侧面积公式，根据S =π rl，代入数据即可得到答案．
侧
【详解】解：∵ S =π rl
侧
∴15π =5π r，
∴r=3，
故答案为：3．
3．如图，圆锥的底面圆心为O，顶点为A，母线l长为4，母线l与高AO的夹角为30°，那
么圆锥侧面展开图的面积为 ．【答案】8π
【分析】本题考查了直角三角形的性质，圆锥侧面积，先利用直角三角形30°角所对
的直角边等于斜边的一半计算出OB，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的
面积公式计算圆锥的侧面积即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，
由题意得，∠BAO=30°，∠AOB=90°，
1
∴
OB= AB=2，
2
∴圆锥侧面展开图的面积为π×OB×l=π×2×4=8π，
故答案为：8π．
4．如图1所示的蛋筒冰淇淋由上下两个圆锥组成，图2为其主视图，其中∠A=90°，
∠ABC=105°，若上圆锥的侧面积为2，则下圆锥的侧面积为 ．
【答案】2❑√2
【分析】本题考查了圆锥的计算，先证明△ABD为等腰直角三角形得到
∠ABD=45°，BD=AB，再证明△CBD为等边三角形得到BC=BD=AB，利用
圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，从而得到下圆锥的侧面积．
【详解】解：∵∠A=90°，AB=AD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴∠ABD=45°，BD=❑√2AB，
∵∠ABC=105°，
∴∠CBD=60°，
而CB=CD，
∴△CBD为等边三角形，
∴BC=BD=❑√2AB，
∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，
∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，
∴下面圆锥的侧面积=❑√2×2=2❑√2．
故答案为：2❑√2．
【题型12 ：不规则图形的阴影面积】
1．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，连接BC．若AB=2,BC=1，则阴影部分的
面积为（ ）
❑√3 π ❑√3 2π ❑√3 π
A． + B． + C．π D． +
2 3 4 3 4 3
【答案】D
【分析】本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质，关键是判定△OBC是等
边三角形，掌握扇形面积的计算公式．过O作OH⊥BC于H，判定△OBC是等边三
角形，得到∠BOC=60°，求出∠AOC=120°，于是扇形OAC的面积，由等边三
角形的性质得到CH的长，由勾股定理求出OH，进而求出△OBC的面积，根据阴影
部分的面积=扇形OAC的面积+△OBC的面积，即可得到阴影部分的面积．
【详解】解：如图，过O作OH⊥BC于H，∵ AB=2 BC=1
直径 ， ，
∴OC=OB=BC=1，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠AOC=180°−60°=120°，
120π ×12 π
∴ S = = ，
扇形OAC 360 3
∵△OBC是等边三角形，OH⊥BC，
1 1
∴ CH= BC= ，
2 2
❑√3
∴
OH=❑√OC2−CH2
= ，
2
1 ❑√3
∴ S = BC×OH=
△OBC 2 4
π ❑√3
∴ S =S +S = +
阴影 扇形OAC △OBC 3 4
故选：D．
2．如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E，F分别为BC，AD的中点．
以C为圆心，BC为半径作圆弧BD，再分别以E，F为圆心，BE为半径作圆弧BO，
OD，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π −1 B．π −2 C．π −3 D．4−π
【答案】B
【分析】本题考查了正方形的性质，扇形面积的计算，不规则图形面积的计算，理解图示，掌握不规则图形面积的转换，扇形面积的计算是解题的关键．
根据正方形的性质可得弓形OB=弓形OD，由阴影部分的面积=S −S ，即
扇形CBD △CBD
可求解．
【详解】解：如图所示，连接BD,EF，E,O,F三点共线
∵四边形ABCD是正方形，点E,F分别为BC,AD的中点，
1
∴
AF=DF=BE=CE= ×2=1，AD∥BC，
2
∴∠FDO=∠EBO，
在△DFO和△BEO中，
{∠FDO=∠EBO
)
∠DOF=∠BOE ，
FD=EB
∴△DFO≌△BEO(AAS)，
∴OB=OD,OE=OF，∠DFO=∠BEO
∴O´B=O´D，
∴弓形OB=弓形OD，
1 1
∴阴影部分的面积=S −S = π ×22− ×2×2=π −2，
扇形CBD △CBD 4 2
故选：B．
3．如图，扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=2，点C为OB上一点，将扇形AOB沿AC折
叠，使点B的对应点B′落在射线AO上，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】π+4−4❑√2【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，扇形的面积，根据题意和图形，可以计算
出AB的长，然后根据勾股定理可以求得OC的值，然后根据图形可知，阴影部分的面
积=扇形AOB的面积−△AOC的面积的二倍，代入数据计算即可．
【详解】解：连接AB，
∵∠AOB=90°，OA=2，
∴OB=OA=2，
∴AB=❑√22 +22 =2❑√2，
设OC=x，则BC=B'C=2−x，OB' =2❑√2−2，
则x2 +(2❑√2−2) 2 ＝(2−x) 2，
解得x=2❑√2−2，
90π×22 (2❑√2−2)×2
∴阴影部分的面积是： − ×2=π+4−4❑√2，
360 2
故答案为：π+4−4❑√2．
4．如图，将半径OB=9的半圆绕点B按顺时针方向旋转30°，此时点A到了点A′，则图中
涂色部分的面积为 ．
【答案】27π
【分析】本题主要考查了求不规则图形的面积、旋转的性质、求扇形面积等知识点，
熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
由旋转的性质可得 、 ，根据
S =S ∠ABA′ =30°
半圆A′B 半圆AB，再运用扇形的面积公式求解即可．
S =S +S −S =S
阴影 半圆A'B 扇形A'BA 半圆AB 扇形A'BA
【详解】解：∵将半径OB=9的半圆绕点B按顺时针方向旋转30°，
∴ S 半圆A′B =S 半圆AB ，∠ABA′ =30°，
∴
S
阴影
=S
半圆A'B
+S
扇形A'BA
−S
半圆AB
=S
扇形A'BA
30π×(2×9) 2
=
360
=27π．
故答案为：27π．
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，∠A=60°，将Rt△ABC绕点C顺
时针旋转90°后得到Rt△DCE，点B经过的路径为B´E，将线段AB绕点A顺时针旋转
60°后，点B恰好落在CE上的点F处，点B经过的路径为B´F，则图中阴影部分的面积
是 （结果保留π）
❑√3 π
【答案】 +
2 12
【分析】本题考查扇形的面积公式，旋转变换等知识，含30°角的直角三角形特征，
勾股定理，根据S =S +S −S 计算即可，解题的关键是学会用分割
阴 △ACB 扇形CBE 扇形ABF
法求阴影部分的面积．
【详解】解：∵旋转，
∴AB=AF,∠BCE=90°,BC=CE，
∵∠ACB=90°，AC=1，∠A=60°，
∴∠ABC=30°，
∴AB=AF=2AC=2，
∴BC=EC=❑√AB2−AC2 =❑√3，
∴S =S +S −S
阴 △ACB 扇形CBE 扇形ABF1 90⋅π×(❑√3) 2 60⋅π×22
= ×1×❑√3+ −
2 360 360
❑√3 π
= + ，
2 12
❑√3 π
故答案为： + ．
2 12
【题型13 ：圆锥侧面最短路径问题】
1．如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是1，母线长是4．
（1）求这个圆锥的侧面展开图中∠ABC的度数．
（2）如果A是底面圆周上一点，一只蚂蚁从点A出发，绕圆锥侧面一圈再回到A点，
求这只蚂蚁爬过的最短距离．
【答案】（1）90°；（2）❑4√2
【分析】（1）利用侧面展开图是以4为半径，2 为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角，
进而即可求解； π
（2）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得蚂蚁爬行的最短距离为AC的距离，进
而即可求解．
nπ×4
【详解】解：（1）设∠ABC的度数为n，底面圆的周长等于2 ×1＝ ，解得n＝90°；
180
π
（2）连接AC，过B作BD⊥AC于D，则∠ABD＝45°．∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AB＝4，
∴AD＝BD＝❑4÷√2❑=2√2，
∴AC＝2AD＝❑4√2，
即这只蚂蚁爬过的最短距离❑4√2．
【点睛】此题考查了圆锥的侧面展开图弧长的计算；得到圆锥的底面圆的周长和扇形
弧长相等是解决本题的关键．
2．综合与实践
【主题】制作圆锥形生日帽
【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带．
【实践操作】
步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为
n°的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料．
步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽．
【实践探索】在制作好的生日帽中，AB=8cm，l=8cm，C是PB的中点，现要从点
A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值．
【答案】8❑√5cm【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以
上知识是解题的关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为180°，
进而根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵AB=8cm，
∴r=4cm．
1 nπl2
∵ ×2πr×l= ，
2 360
360r 360×4
∴n= = =180．
l 8
∴将圆锥侧面展开后得到圆心角为180∘的扇形，如下图所示：
1
由图可知，∠A′PC= ×180∘=90∘
．
2
∵PA′ =PB=8cm，
1
∴PC= PB=4cm．
2
在Rt△A′PC中，由勾股定理，得A′C= ❑√PA'2 +PC2 =❑√82 +42 =4❑√5(cm)．
∴彩带长度的最小值为2A′C=8❑√5cm．
3．综合与实践
问题情境：如图1，将一个圆心角为n°、半径为R 的扇形，可制作成圆锥（如图2），
圆锥的底面半径为r，点A与点A′重合，工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇
形圆心角度数，再度量裁剪材料．(1)探索尝试：图1中，圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长_____（填“相等”或“不相等”）．
(2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求 n的值，请用含 r， R的式子表示 n；
(3)拓展延伸： 图 3是一种纸质圆锥形生日帽，AB=6c m，R=6cm，C是PB中点，现
要从点A到点 C再到点A之间拉一装饰彩带（如图4），求彩带长度的最小值．
【答案】(1)相等；
360r
(2)n= ；
R
(3)6❑√5cm
【分析】本题主要考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数、勾股定理求最值等知识点，
掌握圆锥的相关计算是解题的关键．
（1）根据圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等即可求解；
nπR
（2）根据2πr= 求解即可；
180
（3）根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为180°，进而根据勾股定理
求解即可．
【详解】（1）解：由于圆锥的侧面的扇形的弧和底面圆的圆周重合，即圆锥侧面扇形
的弧长与圆锥底面周长相等．
故答案为：相等．
（2）解：由圆锥的底面周长等于侧面扇形的弧长，可得：
nπR 360r
则：2πr= ，即：n= ．
180 R
（3）解：如图：∵AB=6c m，R=6cm，
1
∴
r= AB=3cm，
2
360×3
∴
n= =180，
6
∴圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为180°，
1
∴∠A′PC= ×180°=90°，
2
∵PA′ =PB=6，C是PB中点，
1
∴
PC= PB=3cm，
2
∴在Rt△A′PC中，A′C=❑√PA′2 +PC2 =❑√62 +32 =3❑√5cm，
∴彩带长度的最小值为6❑√5cm．
