文档内容
专题05 巧作辅助圆解题（隐圆问题）（举一反三专项训练）
【人教版】
【题型1 定点定长模型】..........................................................................................................................................2
【题型2 对角互补模型】..........................................................................................................................................3
【题型3 定弦定角模型】..........................................................................................................................................4
【题型4 定角定高模型（探照灯模型）】..............................................................................................................5
【题型5 最大张角模型（米勒定理）】..................................................................................................................8
类型一 定点定长模型
如图，若P为动点，且OA=OB=OP，则A、B、P三点在同一个圆上．
类型二 对角互补模型（四点共圆模型）
如图①，在四边形ABCD中，∠ABD=∠ACD（也满足∠ABC+∠ADC=180°）．如图②，在四边
形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°．
结论：点A、B、C、D在同一个圆上．
类型三 定弦定角模型
已知弦AB与顶角∠C均为定值，则：
（1）如图①，当∠C<90°时，弦AB与点C在圆心异侧，点C的运动轨迹为AC´ B；
（2）如图②，当∠C=90°时，弦AB为直径，点C的运动轨迹为整个⊙O（不包含A、B两点）；
（3）如图③，当∠C>90°时，弦AB与点C在圆心同侧，点C的运动轨迹为A´B．类型四 定角定高模型 （ 探照灯模型 ）
如图，直线 BC 外一点A，A到直线BC的距离h为定值（定高），∠BAC为定角，则由A、B、C三点可
作出一个圆．
结论：即当点A、O、H共线时，圆的半径OA 取最小值，BC 取最小值．
类型五 最大张角模型（米勒定理 )
如图，点A、B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则由A、B、C三点可作出一
个圆．
结论：当且仅当三角形ABC的外接圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大．
【题型1 定点定长模型】
【例1】如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD的长为（ ）
A．❑√14 B．❑√15 C．3❑√2 D．2❑√3
【变式1-1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=3，将△ABC绕点C逆时针旋转
到△EDC的位置，点B的对应点D首次落在斜边AB上，则点A的运动路径的长为 ．【变式1-2】如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为
【变式1-3】如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=4，M是边AB上一动点（不含端点），将△ADM
沿直线DM对折，得到△NDM．当射线CN交线段AB于点P时，连接DP，则△CDP的面积为
；DP的最大值为 ．
【题型2 对角互补模型】
【例2】如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90∘，AC=BC=4，点D为斜边AB的中点，E是
AC上一动点，过点D作DF垂直于DE交BC于点F，连接EF，则EF的最小值是 ．
【变式2-1】如图，弦CD在以AB为直径的半圆O上滑动，M是CD的中点，CE⊥AB于点E.若弦CD始
终保持与半圆O的半径相等，则∠CEM的度数为 ．【变式2-2】如图，将△ABC绕点A旋转至△AB’C’，使得B’，C’，B共线.若AC=2，∠ABC=30∘
，则CC’的长为 ．
【变式2-3】如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中点，F是BD的中点，若
∠BAC=15°，∠DAC=45°，CD=4，则EF的长为 ( )
A. √ 2 B. 2√ 2 C. 2 D. 2√ 3
【题型3 定弦定角模型】
【例3】如图，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=1，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的
中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是 ．【变式3-1】如图，△ABC为等边三角形，AB=3．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP
，则线段PB长度的最小值为（ ）
4
A．1.5 B．❑√3 C． ❑√3 D．2
3
【变式3-2】）如图，在△ABC中，AC=6，BC=8❑√3，∠ACB=60°，过点A作BC的平行线l，P为
直线l上一动点，⊙O为△APC的外接圆，直线BP交⊙O于E点，则AE的最小值为 ．
【变式3-3】已知∠MON=α，点A，B分别在射线OM,ON上运动，AB=6．
(1)如图①，若α=90°，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为
A′,B′,D′，连接OD,OD′．判断OD与OD′有什么数量关系?证明你的结论：(2)如图②，若α=60°，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离：
(3)如图③，若α=45°，当点A，B运动到什么位置时，△AOB的面积最大?请说明理由，并求出△AOB
面积的最大值．
【题型4 定角定高模型（探照灯模型）】
【例4】辅助圆之定角定高求解探究
(1)如图①，已知线段AB，以AB为斜边，在图中画出一个直角三角形；
(2)如图②，在△ABC中，∠ACB=60°，CD为AB边上的高，若CD=4，试判断AB是否存在最小值，
若存在，请求出AB最小值；若不存在，请说明理由；
(3)如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形ABCD中，
∠A=45°，∠B=∠D=90°，CB=CD=6❑√2，点E、F分别为AB、AD上的点，若保持CE⊥CF，
那么四边形AECF的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由．
【变式4-1】在直角△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，点D是△ABC外一点，连接AD，以
AD为边作等边△ADF．
(1)如图1，当点F在线段BC上，DF交AC于点M，且AF平分∠BAC，若AF=❑√6+❑√2，求△ADM的
面积；
(2)如图2，连接FB并延长至点E，使得FB=BE，连接CE、DE、CD，证明：DE=❑√3CD；
(3)如图3，旋转△ADF使得DF落在∠ABC的角平分线上，M、N分别是射线BA、BC上的动点，且始
终满足∠MDN=60°，连接MN，若BC=❑√2，请直接写出△MDN的面积最小值．【变式4-2】问题提出：
（1）如图①，△AOB与△OCD均为等边三角形，点C在OA上，点D在OB上，固定△AOB不动，让
△OCD绕点O逆时针旋转，当OC//AB时，则旋转角α=______．
问题探究：
（2）如图②，已知点A是直线l外一点，点B、C均在直线l上，AD⊥l垂足为D且AD=6，
∠BAC=60°．求△ABC面积的最小值．
问题解决：
（3）如图③，是某市“城市花卉公园”的设计示意图，已知四边形ABCD为矩形，AD边上的点E为公园
入口，AE=4❑√2千米，AB边上的点F为休息区，BF=8千米，AF=4❑√2千米．公园设计师拟在园内修
建三条小路将这个园区分为四个区域，用来种植不同的花卉．其中GC为消防通道，FG和FH为两条观光
小路（小路宽度不计，G在CE边上，H在BC边上），根据实际需要∠GFH=75°，∠CED=45°，点
B为园区内的花卉超市，游客可乘车由入口E经观光路线EG→GF→FH→HB到花卉超市B购买不同
品种花卉为了快捷、环保和节约成本，要使观光路线EG+GF+FH+HB的值最小，请问设计师的想法能
否实现？如能，请求出EG+GF+FH+HB的最小值；若不能，请说明理由．【变式4-3】问题提出
（1）如图①，在ΔABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，AE平分∠CAB，AC=4❑√3，则点E到
AB的距离为__________．
问题探究
（2）如图②，△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=2❑√3，点D为斜边AB上一点，且
∠EDF=90°，∠EDF的两边交AC于点E，交BC于点F，若DE=DF，求四边形DECF的面积．
问题解决
（3）市政部门根据地形在某街道设计一个三角形赏花园如图③，△ABC为赏花园的大致轮廓，并将赏花
园分成△BED、△DFC和四边形AEDF三部分，其中在四边形AEDF区域内种植36❑√3平方米的月季，
在△BED和△DFC两区域种植薰衣草，根据设计要求：∠BAC=120°，点D、E、F分别在边BC、
AB、AC上，且DE=DF，∠EDF=60°，为了节约种植成本，三角形赏花园ABC的面积是否存在最小
值，若存在，请求出△ABC面积的最小值；若不存在，请说明由．
【题型5 最大张角模型（米勒定理）】
【例5】问题探究，
(1)如图①，在矩形ABCD中，AB＝2AD，P为CD边上的中点，试比较∠APB和∠ADB的大小关系，并说
明理由；
(2)如图②，在正方形ABCD中，P为CD上任意一点，试问当P点位于何处时∠APB最大？并说明理由；
问题解决
(3)某儿童游乐场的平面图如图③所示，场所工作人员想在OD边上点P处安装监控装置，用来监控OC边上的AB段，为了让监控效果最佳，必须要求∠APB最大，已知：∠DOC＝60°，OA＝400米，AB＝200❑√3
米，问在OD边上是否存在一点P，使得∠APB最大，若存在，请求出此时OP的长和∠APB的度数；若不
存在，请说明理由．
【变式5-1】（2025·广东梅州·一模）综合与实践【主题】足球最佳射门位置
【素材】某足球场上，运动员在练习选择适合的位置射门．线段PQ表示球门，∠PAQ、∠PBQ为射门
张角．理论上当射门张度越大时，进球的可能性越大．
如图1，∠PAQ___________∠PBQ．（用“>”、“<”或“=”填空）
【实践探索】假设运动员沿着直线l带球跑动，寻找最佳射门位置．如图2，以线段PQ为弦作⊙O，恰与
直线l相切，切点为A．若点M是l上一个异于点A的动点，
求证：当运动员跑动到切点A处时，射门张角最大，即∠PAQ>∠PMQ．
【迁移应用】如图3，点P(3,0)，点Q(9,0)，点A为y轴正半轴上的一个动点，当∠PAQ最大时，请求出
点A的坐标．
【变式5-2】一个角的顶点在圆外，两边都与该圆相交，则称这个角是它所夹的较大的弧所对的圆外角．
（1）证明：一条弧所对的圆周角大于它所对的圆外角；
（2）应用（1）的结论，解决下面的问题：某市博物馆近日展出当地出土的珍贵文物，该市小学生合唱队
计划组织120名队员前去参观，队员身高的频数分布直方图如图1所示．该文物PQ高度为96cm，放置文
物的展台QO高度为168cm，如图2所示．为了让参观的队员站在最理想的观看位置，需要使其观看该文
物的视角最大（视角：文物最高点P、文物最低点Q、参观者的眼睛A所形成的∠PAQ），则分隔参观者
与展台的围栏应放在距离展台多远的地方？请说明理由．（说明：①参观者眼睛A与地面的距离近似于身高；②通常围栏的摆放位置需考虑参观者的平均身高）
【变式5-3】数学概念
若点P在ΔABC的内部，且∠APB、∠BPC和∠CPA中有两个角相等，则称P是ΔABC的“等角点”，
特别地，若这三个角都相等，则称P是ΔABC的“强等角点”.
理解概念
（1）若点P是ΔABC的等角点，且∠APB=100∘，则∠BPC的度数是 ❑∘.
（2）已知点D在ΔABC的外部，且与点A在BC的异侧，并满足∠BDC+∠BAC<180∘，作ΔBCD的外
接圆O，连接AD，交圆O于点P.当ΔBCD的边满足下面的条件时，求证：P是ΔABC的等角点.（要求：
只选择其中一道题进行证明！）
①如图①，DB=DC
②如图②，BC=BD
深入思考
（3）如图③，在ΔABC中，∠A、∠B、∠C均小于120∘，用直尺和圆规作它的强等角点Q.（不写作
法，保留作图痕迹）
（4）下列关于“等角点”、“强等角点”的说法：
①直角三角形的内心是它的等角点；②等腰三角形的内心和外心都是它的等角点；
③正三角形的中心是它的强等角点；
④若一个三角形存在强等角点，则该点到三角形三个顶点的距离相等；
⑤若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点，其中正确的有 .（填
序号）
