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专题 09 期中复习易错题（27 个考点 60 题）
一．一元二次方程的一般形式（共1小题）
1．将方程2x2+7＝4x改写成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（ ）
A．2，4，7 B．2，4，﹣7 C．2，﹣4，7 D．2，﹣4，﹣7
【答案】C
【分析】根据任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式 ax2+bx+c＝0（a≠0）．这
种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b是一
次项系数；c叫做常数项进行分析即可．
【解答】解：2x2+7＝4x可化为2x2﹣4x+7＝0，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为2，﹣
4，7，
故选：C．
二．解一元二次方程-配方法（共1小题）
2．解一元二次方程x2﹣8x+13＝0，配方后正确的是（ ）
A．（x﹣4）2＝3 B．（x﹣4）2＝8 C．（x﹣4）2＝13 D．（x﹣8）2＝16
【答案】A
【分析】根据配方法解一元二次方程求解作答即可．
【解答】解：由题意，∵x2﹣8x+13＝0，
∴移项得，x2﹣8x＝﹣13，
∴x2﹣8x+16＝3，即（x﹣4）2＝3．
故选：A．
三．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）
3．已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若△ABC中，AB＝AC＝2，AB，BC的长是方程kx2﹣4x+2＝0的两根，求BC的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）若一元二次方程有实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，即可求
出k的取值范围．
（2）由于AB＝2是方程kx2﹣4x+2＝0，所以可以确定k的值，进而再解方程求出BC的值．
【解答】解：（1）∵方程有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×k×2＝16﹣8k≥0，解得：k≤2，
又因为k是二次项系数，所以k≠0，
所以k的取值范围是k≤2且k≠0．
（2）由于AB＝2是方程kx2﹣4x+2＝0，
3
所以把x＝2代入方程，可得k= ，
2
所以原方程是：3x2﹣8x+4＝0，
2
解得：x ＝2，x = ，
1 2 3
2
所以BC的值是 ．
3
四．换元法解一元二次方程（共1小题）
4．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值是（ ）
A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3
【答案】A
【分析】由整体思想，用因式分解法解一元二次方程求出x2﹣x的值就可以求出结论．
【解答】解：∵（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，
∴（x2﹣x+2）（x2﹣x﹣6）＝0，
∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0，
∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6．
当x2﹣x＝﹣2时，x2﹣x+2＝0，
∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，
∴此方程无实数解．
当x2﹣x＝6时，x2﹣x+1＝7
故选：A．
五．根的判别式（共1小题）
5．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2-4ac=(2ax +b) 2
0 0⑤存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c；
其中正确的（ ）
A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③
【答案】B
【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程
的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案．
【解答】解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确；
②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝0﹣4ac＞0，
∴﹣4ac＞0，
则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
则ac2+bc+c＝0，
∴c（ac+b+1）＝0，
若c＝0，等式仍然成立，
但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；
④若x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
0
则由求根公式可得：
-b+❑√b2-4ac -b-❑√b2-4ac
x = 或x =
0 0
2a 2a
∴2ax +b=❑√b2-4ac或2ax +b=-❑√b2-4ac
0 0
∴b2-4ac=(2ax +b) 2
0
故④正确．
⑤存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c成立；
∵由am2+bm+c＝an2+bn+c，
∴a（m2﹣n2）+b（m﹣n）＝0，
∴a（m﹣n）（m+n）+b（m﹣n）＝0，即（m﹣n）[a（m+n）+b]＝0，
∵m≠n，
∴a（m+n）+b＝0，
∴当a≠0时，存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c成立；
故⑤正确．
故选：B．
六．根与系数的关系（共1小题）
1 1
6．一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根分别为x ，x ，则 + = （ ）
1 2 x x
1 2
1 ❑√5
A． B．1 C． D．❑√5
2 2
【答案】B
1 1
+
【分析】根据根与系数的关系得到x +x ＝﹣1，x •x ＝﹣1，然后把 进行通分，再利用整体代入
1 2 1 2 x x
1 2
的方法进行计算．
【解答】解：根据题意得x +x ＝﹣1，x •x ＝﹣1，
1 2 1 2
1 1 x +x -1
所以 + = 1 2= = 1．
x x x x -1
1 2 1 2
故选：B．
七．由实际问题抽象出一元二次方程（共1小题）
7．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长
率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．50（1+x）2＝182
B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182
C．50（1+2x）＝182
D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182
【答案】B
【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果该厂五、六月份
平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程．
【解答】解：依题意得五、六月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，
∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝182．
故选：B．八．一元二次方程的应用（共2小题）
8．如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28米），围成一个矩形花园ABCD．与墙平行的一边BC上要
预留2米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料，当矩形的长BC为多少
米时，矩形花园的面积为300平方米；能否围成480平方米的矩形花园，为什么？
【答案】见试题解答内容
1
【分析】根据可以砌60m长的墙的材料，即总长度是60m，BC＝x m，则AB= （60﹣x+2）m，再根
2
据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可．
1
【解答】解：设矩形花园BC的长为x米，则其宽为 （60﹣x+2）米，依题意列方程得：
2
1
（60﹣x+2）x＝300，
2
x2﹣62x+600＝0，
解这个方程得：x ＝12，x ＝50，
1 2
∵28＜50，
∴x ＝50（不合题意，舍去），
2
∴x＝12．
1
（60﹣x+2）x＝480，
2
x2﹣62x+960＝0，
解这个方程得：x ＝32，x ＝30，
1 2
∵墙EF最长可利用28米，
而28＜30＜32，
∴x ＝32，x ＝30均不合题意，舍去，
1 2
答：当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米；不能围成480平方米的矩形花园．
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿射线AC向点C以2cm/s的
速度移动，与此同时，点Q从点C开始沿边CB向点B以1cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、C
同时出发，运动的时间为ts，当点Q运动到点B时，两点停止运动．（1）当点P在线段AC上运动时，P、C两点之间的距离 （ 6﹣ 2 t ） cm．（用含t的代数式表
示）
1
（2）在运动的过程中，是否存在某一时刻，使得△PQC的面积是△ABC面积的 ．若存在，求t的值；
6
若不存在，说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）依据AC＝6cm，AP＝2t，即可得到：当点P在线段AC上运动时，P、C两点之间的距
离（6﹣2t）cm；
1
（2）分两种情况：当0＜t＜3时，当3＜t≤8时，分别依据△PQC的面积是△ABC面积的 ，列方程求
6
解即可．
【解答】解：（1）∵△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，
∴Rt ABC中，AC＝6cm，
又∵△点P从点A开始沿射线AC向点C以2cm/s的速度移动，
∴AP＝2t，
∴当点P在线段AC上运动时，P、C两点之间的距离（6﹣2t）cm；
故答案为：（6﹣2t）；
1
（2）△ABC的面积为S = ×6×8＝24，
ABC 2
△
①当0＜t＜3时，PC＝6﹣2t，QC＝t，
1 1
∴S = PC×QC = t（6﹣2t），
PCQ 2 2
△
1
∴ t（6﹣2t）＝4，
2
即t2﹣3t+4＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＝﹣7＜0，
∴该一元二次方程无实数根，
∴该范围下不存在；
②当3＜t≤8时，PC＝2t﹣6，QC＝t，
1 1
∴S = PC×QC = t（2t﹣6），
PCQ 2 2
△
1
∴ t（2t﹣6）＝4，
2
即t2﹣3t﹣4＝0，
解得t＝4或﹣1（舍去），
1
综上所述，存在，当t＝4时，△PQC的面积是△ABC面积的 ．
6
九．二次函数的图象（共1小题）
10．函数y＝kx+k和函数y＝﹣kx2+4x+4（k是常数，且k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（
）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分别分析当k＞0和k＜0时两种情况下两个函数在同一平面坐标系中的图象，并结合二次函
数的对称轴进行综合判断即可．
【解答】解：①当k＞0时：
函数y＝kx+k的图象过一、二、三象限，函数y＝﹣kx2+4x+4的图象开口向下；
∴B不正确，不符合题意．
②当k＜0时：
函数y＝kx+k的图象过二、三、四象限，函数y＝﹣kx2+4x+4的图象开口向上；∴C不正确，不符合题意．
4 2
∵函数y＝﹣kx2+4x+4的对称轴为直线x=- = ＜0，
-2k k
∴A正确，符合题意；D不正确，不符合题意．
故选：A．
十．二次函数的性质（共2小题）
11．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，y ）、B（2，y ）、C（4，y ）是抛物线y＝ax2+bx（a＞0）
1 2 3
上的三个点，若y ＜y ＜y 且y y ＜0，抛物线对称轴为直线x＝t，则t的取值范围是（ ）
2 1 3 1 2
1 1 3 3
A．0＜t＜ B． ＜t＜1 C．1＜t＜ D． ＜t＜2
2 2 2 2
【答案】C
【分析】依据题意，由A（﹣1，y ）、B（2，y ）在抛物线y＝ax2+bx上可得y ＝a﹣b，y ＝4a+2b，
1 2 1 2
b b 1
再结合y y ＜0，可得（ -1）（ +2）＞0，进而可得t＞1或t＜- ，又y ＜y ＜y 进而分类讨论即
1 2 a a 2 2 1 3
可判断t的范围．
【解答】解：由题意，∵A（﹣1，y ）、B（2，y ）在抛物线y＝ax2+bx上，
1 2
∴y ＝a﹣b，y ＝4a+2b．
1 2
又y y ＜0，
1 2
∴（a﹣b）（4a+2b）＜0．
b b
∴2a2（1- ）（2+ ）＜0．
a a
又a＞0，
b b
∴（1- ）（2+ ）＜0．
a a
b b
∴（ -1）（ +2）＞0．
a a
b b
∴ ＞1或 ＜-2．
a a
b 1 b 1
∴- ＜- 或- ＞1，即t＞1或t＜- ．
2a 2 2a 2
∵y ＜y ＜y ，抛物线开口向上，
2 1 3
∴|t﹣2|＜|t+1|＜|t﹣4|．
下面分两种情形进行讨论．（1）当t＞1时．
①1＜t＜2．
∴2﹣t＜t+1＜4﹣t．
1 3
∴ ＜t＜ ．
2 2
3
∴此时1＜t＜ ．
2
②当2≤t≤4时，
∵|t﹣2|＜|t+1|＜|t﹣4|，
∴t﹣2＜t+1＜4﹣t．
3
∴t＜ ．
2
又2≤t≤4，
∴此时无解．
③当t＞4时，
∴t﹣2＜t+1＜t﹣4．
∴此时无解．
3
从上可得，1＜t＜ ．
2
1
（2）当t＜- 时，
2
①当t＜﹣1时，
∵|t﹣2|＜|t+1|＜|t﹣4|，
∴2﹣t＜﹣t﹣1＜4﹣t．
∴此时无解．
1
②当﹣1≤t＜- 时，
2
∵|t﹣2|＜|t+1|＜|t﹣4|，
∴2﹣t＜t+1＜4﹣t．
1 3
∴ ＜t＜ ．
2 2
∴此时无解．
从上可得，当t＜﹣1时，不合题意．3
综上，1＜t＜ ．
2
故选：C．
12．已知二次函数y＝2x2﹣8x+11，当自变量1≤x≤4时，则y的取值范围为 3≤ y ≤1 1 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据先用配方法求出二次函数的顶点坐标，再根据二次函数的图象和性质根据自变量 x的取
值范围确定y的取值范围．
【解答】解：二次函数y＝2x2﹣8x+11＝2（x﹣2）2+3
所以二次函数的顶点坐标为（2，3）
因为a＝2＞0，抛物线开口向上，
所以y有最小值为3．
当x＝1时，y＝5，
当x＝4时，y＝11，
所以当自变量1≤x≤4时，
则y的取值范围为3≤y≤11．
故答案为3≤y≤11．
十一．二次函数图象与系数的关系（共7小题）
13．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b﹣a＞
c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（ ）
A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．③④⑤
【答案】B
【分析】由抛物线对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称
轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①∵对称轴在y轴的右侧，
∴ab＜0，
由图象可知：c＞0，∴abc＜0，
故①不正确；
②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴b﹣a＞c，
故②正确；
③由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，
故③正确；
b
④∵x=- =1，
2a
∴b＝﹣2a，
∵a﹣b+c＜0，
∴a+2a+c＜0，
3a＜﹣c，
故④不正确；
⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），
故⑤正确．
故②③⑤正确．
故选：B．
14．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：
①abc＜0；②a+b+c＜0；③5a+4c＜0；④4ac﹣b2＞0；⑤若P（﹣5，y ），Q（m，y ）是抛物线上
1 2
两点，且y ＞y ，则实数m的取值范围是﹣5＜m＜3．其中正确结论的个数是（ ）
1 2A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】①关键图象的开口方向、对称轴、图象与y轴的交点即可判断；
②根据图象当x＝1时，y＝0即可判断；
1
③根据对称轴方程得a与b的关系，再根据图象当x= 时，y＜0即可判断；
2
④根据图象与x轴有两个交点，Δ＞0即可判断；
⑤根据图象对称轴左侧y随x最大而减小即可判断．
【解答】解：①观察图象可知：
a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，
∴①正确；
②当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，
∴②错误；
b
③对称轴x＝﹣1，即- =-1
2a
得b＝2a，
1
当x= 时，y＜0，
2
1 1
即 a + b+c＜0，
4 2
即a+2b+4c＜0，
∴5a+4c＜0．
∴③正确；
④因为抛物线与x轴有两个交点，所以Δ＞0，即b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0．
∴④错误；
⑤∵（﹣5，y ）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标是（3，y ），
1 1
∴当y ＞y 时，﹣5＜m＜3．
1 2
∴⑤正确．
故选：C．
15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x＝1，其图象的一部分如图
所示，下列说法中：①abc＜0；②2a+b＝0；③当﹣1＜x＜3时，y＞0；④a﹣b+c＜0；⑤2c﹣3b＞
0．其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】由抛物线的开口方向判断a，由抛物线与y轴的交点判断c，根据对称轴的位置判断b及a、b
关系，根据抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所有结论进行逐一判断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，则 a＜0．
对称轴在 y 轴右侧，a、b 异号，则 b＞0．
抛物线与 y 轴交于正半轴，则 c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
b
∵抛物线的对称轴是直线 x＝1，则- =1，b＝﹣2a，
2a
∴2a+b＝0，故②正确；
由图象可知，抛物线与 x 轴的左交点位于 0 和﹣1 之间，在两个交点之间时，y＞0，在 x＝﹣1 时，
y＜0，故③错误；
当 x＝﹣1 时，有 y＝a﹣b+c＜0，故④正确；
b 3b
由 2a+b＝0，得 a=- ，代入a﹣b+c＜0得- +c＜0，两边乘以 2 得 2c﹣3b＜0，故⑤错误．
2 2
综上，正确的选项有：①②④．所以正确结论的个数是3个．
故选：B．
16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则下列结论中：
b
① ＞0；
c
②am2+bm≤a﹣b（m为任意实数）；
③3a+c＜1；
④若M（x ，y）、N（x ，y）是抛物线上不同的两个点，则x +x ≤﹣3．
1 2 1 2
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】依据题意，由抛物线图象与性质，即可逐个判断得解．
【解答】解：由题意，∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
b
又抛物线的对称轴是直线x=- =-1，
2a
∴b＝2a＜0．
又抛物线交y轴正半轴，
∴当x＝0时，y＝c＞0．
b
∴ ＜0，故①错误．
c
由题意，当x＝﹣1时，y取最大值为y＝a﹣b+c，
∴对于抛物线上任意的点对应的函数值都≤a﹣b+c．
∴对于任意实数m，当x＝m时，y＝am2+bm+c≤a﹣b+c．
∴am2+bm≤a﹣b，故②正确．
由图象可得，当x＝1时，y＝a+b+c＜0，又b＝2a，
∴3a+c＜0＜1，故③正确．
由题意∵抛物线为y＝ax2+bx+c，
b 2a
∴x +x =- =- =-2＞﹣3，故④错误．
1 2 a a
综上，正确的有②③共2个．
故选：B．
5
17．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2- k（k为常数）．
2
（1）若抛物线经过点（1，k2），求k的值；
（2）若抛物线经过点（2k，y ）和点（2，y ），且y ＞y ，求k的取值范围；
1 2 1 2
（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值
3
- ，求k的值．
2
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把点坐标代入解析式即可；
（2）分别把点（2k，y ）和点（2，y ）代入函数解析式，表示y 、y 利用条件构造关于k的不等式；
1 2 1 2
（3）根据平移得到新顶点，用k表示顶点坐标，找到最小值求k．
5
【解答】解：（1）把点（1，k2）代入抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2- k，得
2
5
k2＝12﹣2（k﹣1）+k2- k
2
2
解得k=
3
（2）方法一：数形结合，
对称轴为直线x＝k﹣1，
∵a＞0，
∴离对称轴越远，y值越大，
∴|2k﹣（k﹣1）|＞|k﹣1﹣2|，
解得k＞1；方法二：代数法，
5
把点（2k，y ）代入抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2- k，得
1 2
5 3
y ＝（2k）2﹣2（k﹣1）•2k+k2- k＝k2+ k，
1 2 2
5
把点（2，y ）代入抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2- k，得
2 2
5 13
y ＝22﹣2（k﹣1）×2+k2- k＝k2- k+8，
2 2 2
∵y ＞y ，
1 2
3 13
∴k2+ k＞k2- k+8，
2 2
解得k＞1；
5
（3）抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2- k解析式配方得
2
1
y＝（x﹣k+1）2+（- k-1）
2
将抛物线向右平移1个单位长度得到新解析式为
1
y＝（x﹣k）2+（- k-1）
2
当k＜1时，1≤x≤2对应的抛物线部分位于对称轴右侧，y随x的增大而增大，
1 5
∴x＝1时，y最小 ＝（1﹣k）2-
2
k﹣1＝k2-
2
k，
5 3 3
∴k2- k=- ，解得k ＝1，k =
2 2 1 2 2
都不合题意，舍去；
1
当1≤k≤2时，y最小 =-
2
k﹣1，
1 3
∴- k﹣1=-
2 2解得k＝1；
当k＞2时，1≤x≤2对应的抛物线部分位于对称轴左侧，y随x的增大而减小，
1 9
∴x＝2时，y最小 ＝（2﹣k）2-
2
k﹣1＝k2-
2
k+3，
9 3
∴k2- k+3=-
2 2
3
解得k ＝3，k = （舍去）
1 2 2
综上，k＝1或3．
18．已知二次函数y＝x2+bx﹣3（b为常数）．
（1）该函数图象与x轴交于A、B两点，若点A坐标为（3，0），
①b的值是 ﹣ 2 ，点B的坐标是 （﹣ 1 ， 0 ） ；
②当0＜y＜5时，借助图象，求自变量x的取值范围；
（2）对于一切实数x，若函数值y＞t总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）；
（3）当m＜y＜n时（其中m、n为实数，m＜n），自变量x的取值范围是1＜x＜2，求n与b的值及
m的取值范围．
【答案】（1）①﹣2；（﹣1，0）；②﹣2＜x＜﹣1或3＜x＜4；
b2+12
（2）t＜- ；
4
21
（3）m＜- ．
4
【分析】（1）①依据题意，由二次函数y＝x2+bx﹣3过点A（3，0）代入可得b，进而得二次函数解
析式，从而可以求出B；
②依据题意，由①令y＝0，y＝5分别求出对应自变量进而可以得解；
（2）依据题意，由不等式变形得x2+bx﹣3﹣t＞0，对于一切实数成立，即对函数y＝x2+bx﹣3﹣t与x
轴无交点，可得Δ＜0，进而可以得解；
（3）依据题意可得抛物线上横坐标为x＝1与x＝2的两点关于对称轴对称，从而求出b，进而得二次
函数解析式，再由自变量x的取值范围是1＜x＜2，可得n的值，最后可以求出m的范围．
【解答】解：（1）①由二次函数y＝x2+bx﹣3过点A（3，0），
∴9+3b﹣3＝0，
∴b＝﹣2，
∴二次函数为：y＝x2﹣2x﹣3，
令y＝0，∴x2﹣2x﹣3＝0，
∴解得，x＝﹣1或x＝3，
∴B（﹣1，0）；
故答案为：﹣2；（﹣1，0）；
②由题意，令y＝x2﹣2x﹣3＝5，
∴x＝4或x＝﹣2．
又∵a＝1＞0，
∴二次函数图象开口向上．
∴当0＜y＜5时，满足题意的自变量有两部分，
∴﹣2＜x＜﹣1或3＜x＜4．
（2）由题意，∵对于一切实数x，若函数值y＞t总成立，
即x2+bx﹣3＞t恒成立．
即x2+bx﹣3﹣t＞0．
∵y＝x2+bx﹣3﹣t开口向上，
∴Δ＝b2﹣4（﹣3﹣t）＜0，
b2+12
∴t＜- ．
4
（3）由抛物线的对称性可知，抛物线与直线y＝n有两个交点，
若抛物线与直线y＝m也有两个交点，则x的解集有两部分，
∴抛物线与直线y＝m只有一个交点或没有，
∴直线y＝n与抛物线的交点为（1，n），（2，n），m小于等于抛物线的最小值，
b 1+2
∴对称轴x=- = ，
2 2
∴b＝﹣3．
3 21
∴二次函数为y＝x2﹣3x﹣3＝（x- ）2- ，
2 4
∴当x＝1或x＝2时，y＝﹣5，即此时n＝﹣5，
由题意，∵m＜y＜﹣5时，自变量x的取值范围是1＜x＜2，
21
∴m＜- ．
4
19．已知抛物线y＝x2﹣4mx+2m+1，m为实数．
（1）如果该抛物线经过点（4，3），求此抛物线的顶点坐标．
（2）如果当2m﹣3≤x≤2m+1时，y的最大值为4，求m的值．（3）点O（0，0），点A（1，0），如果该抛物线与线OA（不含端点）恰有一个交点，求m的取值
范围．
3 1
【答案】（1）（2，﹣1）；（2） 或﹣1；（3）m＞1或m＜- ．
2 2
【分析】（1）依据题意，利用待定系数法求得m的值，即可求得解析式，然后把解析式核查顶点式，
即可求得顶点坐标；
（2）依据题意，求得抛物线的对称轴为直线x＝2m，根据题意当x＝2m﹣3时，y＝4，代入解析式求
解即可；
{ 2m+1＞0
（3）依据题意，抛物线y＝x2﹣4mx+2m+1与线段OA恰有一个交点，从而 或
1-4m+2m+1＜0
{ 2m+1＜0
，进而计算可以得解．
1-4m+2m+1＞0
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣4mx+2m+1经过点（4，3），
∴16﹣16m+2m+1＝3，
解得m＝1，
∴y＝x2﹣4x+3，
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴此抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；
（2）∵y＝x2﹣4mx+2m+1＝（x﹣2m）2﹣4m2+2m+1；
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2m，
∵当2m﹣3≤x≤2m+1时，y的最大值为4，
∴当x＝2m﹣3时，y＝4，
∴（2m﹣3﹣2m）2﹣4m2+2m+1＝4，
整理得：2m2﹣m﹣3＝0，
3
∴m= 或m＝﹣1，
2
3
故m的值为 或﹣1；
2
（3）∵抛物线y＝x2﹣4mx+2m+1与线段OA恰有一个交点，
{ 2m+1＞0 { 2m+1＜0
∴ 或 ．
1-4m+2m+1＜0 1-4m+2m+1＞0
1
∴m＞1或m＜- ．
2十二．二次函数图象上点的坐标特征（共2小题）
20．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a为常数，且a＜0）的图象上有三点A（﹣2，y ），B（1，y ），C
1 2
（3，y ），则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
3 1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1
【答案】B
-2a -2+x
【分析】先确定对称轴x=- =1，根据 0 =1把点A的对称点确定，转化为对称轴同侧的点，
2a 2
根据抛物线开口向下，对称轴的右侧y随x的增大而减小即可得到解答．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a为常数，且a＜0）的图象上有三点A（﹣2，y ），B（1，
1
y ），C（3，y ），
2 3
-2a
∴对称轴x=- =1．
2a
设点A的对称点为（x ，y ），
0 1
-2+x
所以 0 =1．
2
解得x ＝4，
0
∴点A的对称点为（4，y ）．
1
∵a＜0，
∴抛物线开口向下．
∴对称轴的右侧y随x的增大而增减小．
∵4＞3＞1，
所以y ＜y ＜y ．
1 3 2
故选：B．
21．在直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），若抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1与线段OA有且只有一个公共点，
则n的取值范围为 ﹣ 2≤ n ＜ 1 或 n ＝ 2 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意可以将函数解析式化为顶点式，由抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1与线段OA有且只有一个
公共点，可以得到顶点的纵坐标为0或当x＝0时y＜0且当x＝3时，y不小于0，从而可以求得x的取
值范围．
【解答】解：∵点A的坐标为（3，0），抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1＝（x﹣1）2+n﹣2与线段OA有且只
有一个公共点，{ n-1＜0
∴n﹣2＝0或 ，
32-2×3+n-1≥0
解得，﹣2≤n＜1或n＝2，
故答案为：﹣2≤n＜1或n＝2．
十三．二次函数图象与几何变换（共1小题）
22．将抛物线y＝x2+2x+3向下平移3个单位长度后，所得到的抛物线与直线y＝3的交点坐标是（ ）
A．（0，3）或（﹣2，3） B．（﹣3，0）或（1，0）
C．（3，3）或（﹣1，3） D．（﹣3，3）或（1，3）
【答案】D
【分析】先把y＝x2+2x+3向下平移得到y＝x2+2x，再求其与y＝3的交点即可．
【解答】解：将抛物线y＝x2+2x+3向下平移3个单位长度后，所得到的抛物线为y＝x2+2x
当该抛物线与直线y＝3相交时，
x2+2x＝3
解得：x ＝﹣3，x ＝1
1 2
则交点坐标为：（﹣3，3）（1，3）
故选：D．
十四．二次函数的最值（共2小题）
23．当1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣2ax+3的最小值为﹣1，则a的值为（ ）
5 13
A．2 B．±2 C．2或 D．2或
2 6
【答案】A
【分析】将二次函数化成顶点式，再求最值．
【解答】解：y＝x2﹣2ax+3＝（x﹣a）2+3﹣a2．
抛物线开口向上，对称轴为直线x＝a．
∴当a≤1时，若1≤x≤3时，y随x的增大而增大，
当x＝1时，y有最小值＝1﹣2a+3＝4﹣2a，
∴4﹣2a＝﹣1，
5
∴a= ，
2
不合题意，舍去．
当1＜a≤3时，x＝a，y有最小值3﹣a2．
∴3﹣a2＝﹣1．∴a2＝4，
∵1≤a≤3，
∴a＝2．
当a≥3时，若1≤x≤3，y随x的增大而减小．
∴当x＝3时，y有最小值＝9﹣6a+3＝12﹣6a．
∴12﹣6a＝﹣1．
13
∴a= ．
6
∵a≥3．
∴不合题意，舍去．
综上：a＝2．
故选A．
24．如图，在△AOB中，∠O＝90°，AO＝18cm，BO＝30cm，动点M从点A开始沿边AO以1cm/s的速
度向终点O移动，动点N从点O开始沿边OB以2cm/s的速度向终点B移动，一个点到达终点时，另
一个点也停止运动．如果M、N两点分别从A、O两点同时出发，设运动时间为ts时四边形ABNM的
面积为Scm2．
（1）求S关于t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；
（2）判断S有最大值还是有最小值，用配方法求出这个值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意和三角形的面积公式求出S关于t的函数关系式；
（2）利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答．
【解答】解：（1）由题意得，AM＝t，ON＝2t，则OM＝OA﹣AM＝18﹣t，
四边形ABNM的面积S＝△AOB的面积﹣△MON的面积
1 1
= ×18×30- ×（18﹣t）×2t
2 2
＝t2﹣18t+270（0＜t≤15）；
（2）S＝t2﹣18t+270＝t2﹣18t+81﹣81+270
＝（t﹣9）2+189，
∵a＝1＞0，
∴S有最小值，这个值是189．
十五．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）
1
25．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣2，5），对称轴为直线x=- ．
2
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝
x2+bx+c的图象上，求m的值；
9
（3）当﹣2≤x≤n时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为 ，求n的取值范围．
4
【答案】（1）y＝x2+x+3；
（2）m＝4；
1
（3）- ≤n≤1．
2
b 1
【分析】（1）依据题意，由二次函数为y＝x2+bx+c，可得抛物线为直线x=- =- ，可得b的值，
2 2
再由图象经过点A（﹣2，5），求出c的值，进而可以得解；
（2）依据题意，由点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m个单位长度（m＞0），进而可得
平移后的点为（1﹣m，9），结合（1﹣m，9）在y＝x2+x+3图象上，可得9＝（1﹣m）2+（1﹣m）
+3，进而计算可以得解；
1 11 1 11
（3）依据题意，由y＝x2+x+3＝（x+ ）2+ ，可得当x=- 时，y取最小值，最小值为 ，再根据
2 4 2 4
1 1
n＜- 、- ≤n≤1和n＞1进行分类讨论，即可计算得解．
2 2
【解答】解：（1）由题意，∵二次函数为y＝x2+bx+c，
b 1
∴抛物线的对称轴为直线x=- =- ．
2 2
∴b＝1．
∴抛物线为y＝x2+x+c．
又图象经过点A（﹣2，5），
∴4﹣2+c＝5．∴c＝3．
∴抛物线为y＝x2+x+3．
（2）由题意，∵点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m个单位长度（m＞0），
∴平移后的点为（1﹣m，9）．
又（1﹣m，9）在y＝x2+x+3，
∴9＝（1﹣m）2+（1﹣m）+3．
∴m＝4或m＝﹣1（舍去）．
∴m＝4．
1
（3）由题意，当 n＜- 时，
2
1 11 9
∴最大值与最小值的差为5-[(n+ ) 2+ ]= ．
2 4 4
1
∴n =n =- ，不符合题意，舍去．
1 2 2
1
当- ≤n≤1 时，
2
11 9
∴最大值与最小值的差为5- = ，符合题意．
4 4
1 11 11 9
当n＞1时，最大值与最小值的差为 (n+ ) 2+ - = ，解得 n ＝1 或 n ＝﹣2，不符合题意．
2 4 4 4 1 2
1
综上所述，n的取值范围为- ≤n≤1．
2
十六．抛物线与x轴的交点（共4小题）
26．将二次函数y＝x2﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个
新图象，若直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（ ）
73 73 69
A．- 或﹣12 B．- 或2 C．﹣12或2 D．- 或﹣12
4 4 4
【答案】A
【分析】如图所示，过点B作直线y＝2x+b，将直线向下平移到恰在点C处相切，则一次函数y＝2x+b
在这两个位置时，两个图象有3个交点，即可求解．
【解答】解：如图所示，过点B的直线y＝2x+b与新图象有三个公共点，将直线向下平移到恰在点C
处相切，此时与新图象也有三个公共点，令y＝x2﹣5x﹣6＝0，解得：x＝﹣1或6，即点B坐标（6，0），
将一次函数与二次函数表达式联立得：x2﹣5x﹣6＝2x+b，整理得：x2﹣7x﹣6﹣b＝0，
73
Δ＝49﹣4（﹣6﹣b）＝0，解得：b=- ，
4
当一次函数过点B时，将点B坐标代入：y＝2x+b得：0＝12+b，解得：b＝﹣12，
73
综上，直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为﹣12或- ；
4
故选：A．
27．已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k≤4且k≠3 B．k＜4且k≠3 C．k＜4 D．k≤4
【答案】D
【分析】由于不知道函数是一次函数还是二次函数，需对 k进行讨论．当k＝3时，函数y＝2x+1是一
次函数，它的图象与x轴有一个交点；
当k≠3，函数y＝（k﹣3）x2+2x+1是二次函数，当△≥0时，二次函数与x轴都有交点，解△≥0，求
出k的范围．
【解答】解：当k＝3时，函数y＝2x+1是一次函数，它的图象与x轴有一个交点；
当k≠3，函数y＝（k﹣3）x2+2x+1是二次函数，
当22﹣4（k﹣3）≥0，
k≤4
即k≤4时，函数的图象与x轴有交点．
综上k的取值范围是k≤4．
故选：D．
28．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根为x＝4，则另一个根为 x ＝﹣ 2 ．
【答案】x＝﹣2．
b
【分析】利用抛物线的对称轴方程得到b＝﹣2a，根据根与系数的关系得4+x=- =2，然后求出另一
a
根x的值即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，
b
∴- = 1，即b＝﹣2a，
2a
b -2a
根据根与系数的关系得4+x=- =- =2，
a a
解得x＝﹣2，
即方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的另一个根为x＝﹣2．
故答案为：x＝﹣2．
29．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣（2+m）x+2m的对称轴为直线x＝t．
（1）求t的值（用含m的代数式表示）；
（2）点A（﹣t，y ），B（t，y ），C（t+1，y ）在该抛物线上．若抛物线与x轴的一个交点为（x ，
1 2 3 0
0），其中0＜x ＜2，比较y ，y ，y 的大小，并说明理由．
0 1 2 3
2+m
【答案】（1）t= ；（2）y ＜y ＜y ．
2 2 3 1
-(2+m) 2+m 2+m
【分析】（1）依据题意，抛物线为x=- = ，从而可得t= ；
2 2 2
（2）依据题意，抛物线为y＝x2﹣（2+m）x+2m＝（x﹣m）（x﹣2），从而令y＝0，可得x＝m或x＝
2+m
2，再结合抛物线与x轴的一个交点为（x ，0），其中0＜x ＜2，可得0＜m＝x ＜2，又t= ，则
0 0 0 2
m＝2t﹣2，再由抛物线开口向上，故当抛物线上的点离对称轴越近函数的值就越小，进而可以判断得
解．
-(2+m) 2+m
【解答】解：（1）由题意，抛物线为x=- = ．
2 22+m
∴t= ．
2
（2）∵抛物线为y＝x2﹣（2+m）x+2m＝（x﹣m）（x﹣2），
∴令y＝0，可得x＝m或x＝2．
又抛物线与x轴的一个交点为（x ，0），其中0＜x ＜2，
0 0
∴0＜m＝x ＜2．
0
2+m
又t= ，
2
∴m＝2t﹣2．
∴0＜2t﹣2＜2．
∴1＜t＜2．
∵抛物线开口向上，
∴当抛物线上的点离对称轴越近函数的值就越小．
又t﹣（﹣t）＝2t，t﹣t＝0，t+1﹣t＝1，而2＜2t＜4，
∴对于A（﹣t，y ），B（t，y ），C（t+1，y ），则y ＜y ＜y ．
1 2 3 2 3 1
十七．二次函数的应用（共7小题）
30．如图，一男生推铅球，铅球行进高度y（单位：米）是水平距离x（单位：米）的二次函数，即铅球
飞行轨迹是一条抛物线．该男生推铅球出手时，铅球的高度为1.6米；铅球飞行至水平距离4米时，铅
球高度为4米，铅球落地时水平距离为8米．有下列结论：①铅球飞行至水平距离3.5米时，铅球到达
最大高度，最大高度为4.05米；
1 7 8
②当0≤x≤8时，y与x之间的函数关系式为：y=- x2+ x+ ；
5 5 5
③铅球从出手到飞行至最高点的水平距离与从最高点运动至落地的水平距离相等．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【分析】依据题意，抛物线过（0，1.6），（4，4），（8，0），再设二次函数的关系式为 y＝
ax2+bx+c（0≤x≤8），进而建立方程组求出a，b，c即可判断②；依据题意可得，函数的对称轴是直线7
5 7 7
x=- = ，从而求出铅球从出手到飞行至最高点的水平距离为 米，而从最高点运动至落地
1 2 2
2×(- )
5
7 9
的水平距离为8- = （米），故可判断③；依据题意可得，当铅球飞行至水平距离3.5米时，铅球
2 2
1 7 7 7 8
到达最大高度，最大高度为y=- ×（ ）2+ × + =4.05（米），故可判断①．
5 2 5 2 5
【解答】解：由题意，抛物线过（0，1.6），（4，4），（8，0），
设二次函数的关系式为y＝ax2+bx+c（0≤x≤8），
{
c=1.6
∴ 16a+4b+c=4．
64a+8b+c=0
1
{a=-
5
7
∴ b= ．
5
8
c=
5
1 7 8
∴函数的表达式为y=- x2+ x+ ，故②正确．
5 5 5
7
5 7
由题意，函数的对称轴是直线x=- = ，
1 2
2×(- )
5
7 7 9
∴铅球从出手到飞行至最高点的水平距离为 米，而从最高点运动至落地的水平距离为 8- =
2 2 2
（米），故③错误．
1 7
由题意，当铅球飞行至水平距离 3.5 米时，铅球到达最大高度，最大高度为 y=- ×（ ）2
5 2
7 7 8
+ × + =4.05（米），故①正确．
5 2 5
综上，正确的有①②共2个．
故选：B．
31．16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．
某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为 x轴，垂直于地面的
1
直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2+x和直线y=- x+b．其中，当火箭运行的
2
水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级．
（1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km，
①直接写出a，b的值；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离．
（2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km．
1
【答案】（1）①a=- ，b＝8.1；
15
②8.4km；
2
（2）- ＜a＜0．
27
【分析】（1）①、易得火箭第二级的引发点的坐标为（9，3.6），分别代入抛物线的解析式和直线的
解析式可得a和b的值；
②、把①中得到的抛物线的解析式整理成顶点式，可得火箭运行的最高点的坐标，取纵坐标减去
1.35km即为相应的高度，把所得高度分别代入①中得到的两个函数解析式，求得合适的x的值，相减
即为两个位置间的距离；
（2）假设火箭落地点与发射点的水平距离为15km．用a表示出火箭第二级的引发点的坐标，把火箭
第二级的引发点的坐标和（15，0）代入直线解析式可得火箭落地点与发射点的水平距离恰好为 15km
时a和b的值，进而结合抛物线开口向下可得a的取值范围．
【解答】解：（1）①∵y＝ax2+x经过点（9，3.6），
∴81a+9＝3.6．
1
解得：a=- ．
15
1
∵y=- x+b经过点（9，3.6），
21
∴3.6=- ×9+b．
2
解得：b＝8.1；
1
②由①得：y=- x2+x
15
1 225 15
=- （x2﹣15x + ）+
15 4 4
1 15 15
=- （x- ）2+ （0≤x≤9）．
15 2 4
15
∴火箭运行的最高点是 km．
4
15
∴ - 1.35＝2.4（km）．
4
1
∴2.4=- x2+x．
15
整理得：x2﹣15x+36＝0．
解得：x ＝12＞9（不合题意，舍去），x ＝3．
1 2
1
由①得：y=- x+8.1．
2
1
∴2.4=- x+8.1．
2
解得：x＝11.4．
∴11.4﹣3＝8.4（km）．
答：这两个位置之间的距离为8.4km；
（2）当x＝9时，y＝81a+9．
∴火箭第二级的引发点的坐标为（9，81a+9）．
设火箭落地点与发射点的水平距离为15km．
1
∴y=- x+b经过点（9，81a+9），（15，0）
2
1
{- ×9+b=81a+9
2
∴ ．
1
- ×15+b=0
2{ 2
a=-
解得： 27．
b=7.5
2
∴- ＜a＜0时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km．
27
32．红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙
两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯
笼每对进价多9元．
（1）求甲、乙两种灯笼每对的进价；
（2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出
2对：物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得
利润y元．
①求出y与x之间的函数解析式；
②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为（x+9）元/对，根据用3120元购进甲
灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，列分式方程可解；
（2）①利用总利润等于每对灯笼的利润乘以卖出的灯笼的实际数量，可以列出函数的解析式；
②由函数为开口向下的二次函数，可知有最大值，结合问题的实际意义，可得答案．
【解答】解：（1）设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为（x+9）元/对，由题意得：
3120 4200
= ，
x x+9
解得x＝26，
经检验，x＝26是原方程的解，且符合题意，
∴x+9＝26+9＝35，
答：甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对．
（2）①y＝（50+x﹣35）（98﹣2x）＝﹣2x2+68x+1470，
答：y与x之间的函数解析式为：y＝﹣2x2+68x+1470．
②∵a＝﹣2＜0，
b
∴函数y有最大值，该二次函数的对称轴为：x=- =17，
2a
物价部门规定其销售单价不高于每对65元，∴x+50≤65，
∴x≤15，
∵x＜17时，y随x的增大而增大，
∴当x＝15时，y最大 ＝2040．
15+50＝65．
答：乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元．
33．如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面
是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以
地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．
他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据
和信息，设计了以下三个问题，请你解决．
7
（1）如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为 米，点C到点B的水平距
8
1 7
离为3米，则水滑道ACB所在抛物线的解析式为 y= （ x + 3 ） 2+ ；
8 8
（2）如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离OE＝12米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全
距离DE不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称．
①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线BD的解析式；
②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；
（3）为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图 2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水
滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架MN，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架BM．现在
需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与 BM平行，且与水滑道有唯一公共
点，一端固定在钢架MN上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）．
1 7 25 1
【答案】（1）y= （x+3）2+ ；（2）①此人腾空后的最大高度为 米；抛物线BD的解析式y=-
8 8 8 8
25
（x﹣3）2+ ；②落点D在安全范围内，理由见解析；（3）这条钢架的长度为2❑√17米．
87
【分析】（1）依据题意，水滑道ACB所在抛物线的顶点C（﹣3， ），从而可设抛物线为 y＝a
8
7 7 1
（x+3）2+ ，又B（0，2），故2＝a（0+3）2+ ，可得a= ，进而可以判断得解；
8 8 8
（2）①依据题意，由抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称，故抛物线BD的顶点与抛物
7
线ACB的顶点C关于点B成中心对称，则B是它们的中点，又C（﹣3， ），B（0，2），从而抛物
8
25 25
线BD的顶点为（3， ），可得此人腾空后的最大高度；进而可设抛物线 BD为y＝a'（x﹣3）2+
8 8
，再将B（0，2）代入得，计算可得抛物线BD的解析式；
1 25
②依据题意，由①得y=- （x﹣3）2+ ，可令y＝0，求出x可得OD的长，从而求出DE即可判断
8 8
得解；
1 7 1
（3）依据题意，画出图象找出所求钢架，再由ACB所在抛物线y= （x+3）2+ ，令y＝4，故4=
8 8 8
7 1
（x+3）2+ ，进而可得M的坐标，可得直线BM，结合EF∥BM，可设EF为y=- x+m，再联立方程
8 4
1
{ y=- x+m
4
组 ，得方程x2+8x﹣8m+16＝0，从而Δ＝64﹣4（﹣8m+16）＝0，求出m后可得直
1 7
y= (x+3) 2+
8 8
线EF，进而求出E的坐标，再结合勾股定理计算即可得解．
7
【解答】解：（1）由题意，水滑道ACB所在抛物线的顶点C（﹣3， ），
8
7
∴可设抛物线为y＝a（x+3）2+ ．
8
又B（0，2），
7
∴2＝a（0+3）2+ ．
8
1
∴a= ．
81 7
∴抛物线为y= （x+3）2+ ．
8 8
1 7
故答案为：y= （x+3）2+ ．
8 8
（2）①由题意，∵抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称，
∴抛物线BD的顶点与抛物线ACB的顶点C关于点B成中心对称．
∴B是它们的中点．
7
又C（﹣3， ），B（0，2），
8
25
∴抛物线BD的顶点为（3， ）．
8
25
∴此人腾空后的最大高度为 米．
8
25
又此时可设抛物线BD为y＝a'（x﹣3）2+ ，
8
将B（0，2）代入得，
25
∴a'（0﹣3）2+ =2．
8
1
∴a'=- ．
8
1 25
∴抛物线BD的解析式y=- （x﹣3）2+ ．
8 8
1 25
②由①得y=- （x﹣3）2+ ，
8 8
令y＝0，
1 25
∴0=- （x﹣3）2+ ．
8 8
∴x＝8或x＝﹣2（舍去）．
∴OD＝8米．
又OE＝12米，
∴DE＝12﹣8＝4＞3．
∴落点D在安全范围内．
（3）由题意，如图，EF即为所求钢架．1 7
∵ACB所在抛物线y= （x+3）2+ ，
8 8
令y＝4，
1 7
∴4= （x+3）2+ ．
8 8
∴x＝﹣8或x＝2（舍去）．
∴M（﹣8，4）．
又B（0，2），
1
∴直线BM为y=- x+2．
4
∵EF∥BM，
1
∴可设EF为y=- x+m．
4
1
{ y=- x+m
4
联立方程组 ，
1 7
y= (x+3) 2+
8 8
1 7 1
∴ （x+3）2+ =- x+m．
8 8 4
∴x2+8x﹣8m+16＝0．
∴Δ＝64﹣4（﹣8m+16）＝0．
∴m＝0
1
∴直线EF为y=- x，过原点，即F与O重合．
4
∵M（﹣8，4），
1 1
∴令x＝﹣8，则y=- x=- ×（﹣8）＝2．
4 4
∴EN＝2米，ON＝8米．
又∠ENO＝90°，∴EF＝EO=❑√22+82=2❑√17（米）．
答：这条钢架的长度为2❑√17米．
34．一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索L 与缆索L 均呈抛物线型，桥塔AO与桥塔BC
1 2
均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线FF′为x轴，以桥塔AO所在直线为y轴，建立平面直
角坐标系．
已知：缆索L 所在抛物线与缆索L 所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC＝
1 2
100m，AO＝BC＝17m，缆索L 的最低点P到FF′的距离PD＝2m．（桥塔的粗细忽略不计）
1
（1）求缆索L 所在抛物线的函数表达式；
1
（2）点E在缆索L 上，EF⊥FF′，且EF＝2.6m，FO＜OD，求FO的长．
2
3
【答案】（1）缆索L 所在抛物线为y= （x﹣50）2+2；（2）FO的长为40m．
1 500
【分析】（1）依据题意，由AO＝17m，从而A（0，17），又OC＝100m，缆索L 的最低点P到FF′
1
的距离PD＝2m，可得抛物线的顶点P为（50，2），故可设抛物线为y＝a（x﹣50）2+2．，又将A代
入抛物线可求得a的值，进而可以得解；
（2）依据题意，由缆索L 所在抛物线与缆索L 所在抛物线关于y轴对称，又缆索L 所在抛物线为y
1 2 1
3 3 3
= （x﹣50）2+2，从而可得缆索L 所在抛物线为y= （x+50）2+2，又令y＝2.6，可得2.6=
500 2 500 500
（x+50）2+2，求出x＝﹣40或x＝﹣60，进而计算可以判断得解．
【解答】解：（1）由题意，∵AO＝17m，
∴A（0，17）．
又OC＝100m，缆索L 的最低点P到FF′的距离PD＝2m，
1
∴抛物线的顶点P为（50，2）．
故可设抛物线为y＝a（x﹣50）2+2．
又将A代入抛物线可得，
∴2500a+2＝17．
3
∴a= ．
5003
∴缆索L 所在抛物线为y= （x﹣50）2+2．
1 500
（2）由题意，∵缆索L 所在抛物线与缆索L 所在抛物线关于y轴对称，
1 2
3
又缆索L 所在抛物线为y= （x﹣50）2+2，
1 500
3
∴缆索L 所在抛物线为y= （x+50）2+2．
2 500
又令y＝2.6，
3
∴2.6= （x+50）2+2．
500
∴x＝﹣40或x＝﹣60．
又FO＜OD＝50m，
∴x＝﹣40．
∴FO的长为40m．
35．食品厂加工生产某规格的食品的成本价为30元/千克，根据市场调查发现，当出厂价定为48元/千克
时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保准盈利的情况下，工厂采取降价措施，调查发现：
出厂价每降低1元，每天可多销售50千克．
（1）若出厂价降低2元，求该工厂销售此规格的食品每天的利润；
（2）求工厂销售此规格的食品每天获得的利润W（元）与降价x（元）之间的函数关系；
（3）当降价多少元时，工厂销售此食品每天获得的利润最大？最大利润为多少元？
【答案】（1）若出厂价降低2元，该工厂销售此规格的食品每天的利润为9600元；
（2）W＝﹣50x2+400x+9000；
（3）当降价4元时，工厂销售此食品每天获得的利润最大，最大利润为9800元．
【分析】（1）依据题意，由出厂价降低2元，可得该工厂销售此规格的食品每天的利润＝（48﹣30﹣
2）（500+50×2）＝9600，进而可以判断得解；
（2）依据题意，W＝（18﹣x）（500+50x）＝﹣50x2+400x+9000，从而可以得解；
（3）依据题意，由W＝﹣50x2+400x+9000＝﹣50（x﹣4）2+9800，进而结合二次函数的性质可以判断
得解．
【解答】解：（1）由题意，∵出厂价降低2元，
∴该工厂销售此规格的食品每天的利润＝（48﹣30﹣2）（500+50×2）＝9600（元）．
答：若出厂价降低2元，该工厂销售此规格的食品每天的利润为9600元．
（2）由题意，W＝（18﹣x）（500+50x）＝﹣50x2+400x+9000．（3）由题意，∵W＝﹣50x2+400x+9000＝﹣50（x﹣4）2+9800，
∴当x＝4时（符合实际），W取得最大值9800．
∴当降价4元时，工厂销售此食品每天获得的利润最大，最大利润为9800元．
36．如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部 O处，以点O为原点，
水平方向为x轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行
路线可以近似看作抛物线 y＝a（x﹣20）2+k的一部分，山坡 OA上有一堵防御墙，其竖直截面为
ABCD，墙宽BC＝2米，BC与x轴平行，点B与点O的水平距离为28米、垂直距离为6米．已知发射
石块在空中飞行的最大高度为10米．
（1）求抛物线的解析式；
（2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙；
1
【答案】（1）y=- x2+x；（2）石块能飞越防御墙AB．
40
【分析】（1）依据题意，由发射石块在空中飞行的最大高度为10米，从而k＝10，故石块运行的函数
关系式为y＝a（x﹣20）2+10，再结合过（0，0），可以计算得解；
（2）依据题意，把x＝30代入y＝﹣x2+x，求得y的值，与6作比较即可得解．
【解答】解：（1）由题意，∵发射石块在空中飞行的最大高度为10米，
∴k＝10．
∴石块运行的函数关系式为y＝a（x﹣20）2+10．
把（0，0）代入解析式得：400a+10＝0，
1
∴a=- ．
40
1 1
∴y=- （x﹣20）2+10，即y=- x2+x．
40 40
（2）石块能飞越防御墙AB，理由如下：
∵点B与点O的水平距离为28米，且BC＝2米，1
∴可令x＝30代入y=- x2+x得：
40
1
y=- ×900+30＝7.5．
40
∵7.5＞6，
∴石块能飞越防御墙AB．
十八．二次函数综合题（共10小题）
37．如图，抛物线m：y＝ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点
C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C ，与x轴的另一个交点为A ．若
1 1
四边形AC A C为矩形，则a，b应满足的关系式为（ ）
1 1
A．ab＝﹣2 B．ab＝﹣3 C．ab＝﹣4 D．ab＝﹣5
【答案】B
【分析】利用矩形性质得出要使平行四边形AC A C是矩形，必须满足AB＝BC，即可求出．
1 1
【解答】解：令x＝0，得：y＝b．
∴C（0，b）．
令y＝0，得：ax2+b＝0，
√ b
∴x＝±❑- ，
a
√ b √ b
∴A（-❑- ，0），B（❑- ，0），
a a
√ b √ b
∴AB＝2❑- ，BC=❑√OC2+OB2=❑b2- ．
a a
要使平行四边形AC A C是矩形，必须满足AB＝BC，
1 1
√ b √ b
∴2❑- =❑b2- ．
a a
b b
∴4×（- ）＝b2- ，
a a∴ab＝﹣3．
∴a，b应满足关系式ab＝﹣3．
故选：B．
38．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于
点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；
（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，
若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；
（2）根据函数解析式设出点D坐标，过点D作DG⊥x轴于G，交AE于点F，表示△ADE的面积，运
用二次函数分析最值即可；
（3）设出点P坐标，分PA＝PE，PA＝AE，PE＝AE三种情况讨论分析即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），
{16a-4b+c=0
∴ 4a+2b+c=0 ，
c=6
3
{a=-
4
解得 3，
b=-
2
c=6
3 3
所以二次函数的解析式为：y=- x2- x+6，
4 21
（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直线解析式为y=- x-2，
2
过点D作DG⊥x轴于G，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H，如图
3 3 1
设D（m，- m2- m+6），则点F（m，- m-2），
4 2 2
3 3 1 3
∴DF=- m2- m+6-（- m-2）=- m2-m+8，
4 2 2 4
1 1
∴S ＝S +S = ×DF×AG + DF×EH
ADE ADF EDF 2 2
△ △ △
1
= ×DF×（AG+EH）
2
1
= ×4×DF
2
3
＝2×（- m2-m+8）
4
3 2 50
=- (m+ ) 2+ ，
2 3 3
2 50
∴当m=- 时，△ADE的面积取得最大值为 ．
3 3
3 3
（3）y=- x2- x+6的对称轴为x＝﹣1，
4 2
设P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），
可求PA2＝9+n2，PE2＝1+（n+2）2，AE2＝16+4＝20，
当PA2＝PE2时，9+n2＝1+（n+2）2，
解得，n＝1，此时P（﹣1，1）；
当PA2＝AE2时，9+n2＝20，解得，n=±❑√11，此时点P坐标为（﹣1，±❑√11）；
当PE2＝AE2时，1+（n+2）2＝20，
解得，n＝﹣2±❑√19，此时点P坐标为：（﹣1，﹣2±❑√19）．
综上所述，
P点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，±❑√11），（﹣1，﹣2±❑√19）．
39．如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A,B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，其顶点为
D．
(1)点E为x轴上的动点，当△CDE周长最小时，求点E的坐标；
(2)若E为BD中点，P为抛物线上一点，当∠PAB=∠EAB时，求点P的坐标．
(3)点B右侧抛物线上一动点Q，满足S =S ，求点Q的横坐标．
△ACQ 四边形ABDC
(3 )
【答案】(1) ,0
7
(11 28) (7 20)
(2)P , 或 ,-
3 9 3 9
-1+❑√73
(3)
2
【分析】本题考查二次函数的综合应用，利用数形结合的思想，进行求解是解题的关键：
（1）求出C,D的坐标，作点C关于x轴的对称点F(0,3)，连接DF交x轴于E，此时△CDE周长最小，
求出直线DF的解析式，进而求出E点坐标即可；
（2）分两种情况，①P点不在直线AE上，设直线AP交y轴于N，直线AE交y轴于M，证明
△AMO≌△ANO，得到OM=ON，求出直线AE的解析式，进而求出M的坐标，进而求出N点
坐标，求出直线AN的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出P点的坐标即可；②点P在直线AE
上，联立直线和抛物线的解析式，进行求解即可；（3）设Q(t,t2-2t-3)，AQ交y轴于H，过Q作QG⊥x轴于G，分割法求出三角形ACQ和四边形
t+1
ABDC的面积，进而得到 CH=9，进行求解即可．
2
【详解】（1）解：∵y=x2-2x-3=(x-1) 2-4，
∴D(1,-4)，
当y=x2-2x-3=0时，则：x =3,x =-1，当x=0时，y=-3，
1 2
∴A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)，
作点C关于x轴的对称点F(0,3)，连接DF交x轴于E，则
△CDE=CD+DE+CE=CD+DE+EF=CD+DF，周长最小．
设直线DF的解析式为y=kx+3，把D(1,-4)代入y=kx+3，则有-4=k+3，
∴k=-7
∴直线DF的解析式为y=-7x+3，
3
令y=0，则-7x+3=0，解得：x=
7
(3 )
∴点E的坐标为 ,0 ；
7
（2）①P点不在直线AE上时，如图，设直线AP交y轴于N，直线AE交y轴于M，
∵∠PAB=∠EAB，
∴∠NAO=∠MAO，∵OA⊥y轴
∴∠AOM=∠AON，
又∵OA=OA，
∴△AMO≌△ANO，
∴ON=OM；
∵B(3,0),D(1,-4)，
∴中点E(2,-2)，
设直线AE解析式为y=tx+b，
∵A(-1,0),E(2,-2)，
∴¿，解得：¿，
2 2
∴直线AE解析式为y=- x- ．
3 3
2
∴当x=0时，y=- ，
3
2
∴ON=OM= ，
3
2 2
同法可得：直线AN解析式为y= x+ ，
3 3
由¿解得¿或¿，
(11 28)
∴P的坐标为 , ．
3 9
②当点P在直线AE上时，则：¿，解得：解得¿或¿，
(7 20)
∴P的坐标为 ,- ；
3 9(11 28) (7 20)
故P , 或 ,- ．
3 9 3 9
（3）设Q(t,t2-2t-3)，AQ交y轴于H，过Q作QG⊥x轴于G．
∵A(-1,0),B(3,0),C(0,-3),D(1,-4)
1 t+1
则S = CH⋅AG= CH，
△ACQ 2 2
1 1 1 3 7 8
S = ×1×3+ ×(3+4)×1+ ×4×(3-1)= + + =9，
四边形ABDC 2 2 2 2 2 2
∵S =S ，
△ACQ 四边形ABDC
t+1
∴ CH=9，
2
设直线AQ解析式为y=mx+n，
则有¿，
消去m，解得：n=t-3，
∴OH=t-3，
∴CH=OC+OH=t．
t+1
∵ CH=9，
2
-1+❑√73 -1-❑√73
∴t(t+1)=18，解得：t= 或t= （舍去），
2 2
-1+❑√73
∴点Q的横坐标为 ．
2
40．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B(4,0)两点，与y轴交于点
C(0,-8)，P是直线BC下方抛物线上的一个动点．(1)求点A的坐标和该抛物线的函数解析式；
(2)连接PO,PC，并将△POC沿y轴翻折，得到四边形POP'C，是否存在点P，使得四边形
POP'C为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在点P的运动过程中，当四边形ABPC的面积最大时，求出此时点P的坐标和四边形ABPC的最
大面积．
【答案】(1)点A的坐标为(-2,0)，该抛物线的函数表达式为y=x2-2x-8
(2)存在这样的点P，此时点P的坐标为(1+❑√5,-4)
(3)当点P运动到(2,-8)时，四边形ABPC的面积最大，四边形ABPC的最大面积为32
【分析】本题主要考查二次函数的性质、特殊四边形的性质以及函数与坐标轴的交点问题，
（1）利用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式，再令y=0求出点A的坐标即可；
（2）连接PP'交CO于点D，结合菱形的性质可得PC=PO，且PD⊥CO，进一步求得点P的纵坐
标为-4，代入函数解析式有x2-2x-8=-4，即可求得点P的坐标；
（3）连接PO，作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，设点P的坐标为(m,m2-2m-8)．则
AO=2，OB=4，PM=-m2+2m+8，PN=m，结合
1 1 1
S =S +S +S = AO⋅OC+ OB⋅PM+ OC⋅PN，化解后利用二次函
四边形ABPC △AOC △POB △POC 2 2 2
数的性质求得最大值即可．
【详解】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B(4,0)两点，与y轴交于点C(0,-8)，
把B(4,0)，C(0,-8)代入y=x2+bx+c中，
得¿解得¿
∴该抛物线的函数表达式为y=x2-2x-8．
当y=0时， 0=x2-2x-8，解得x=4或x=-2，
∴点A的坐标为(-2,0)；
（2）解：假设抛物线上存在点P，使四边形POP'C为菱形，连接PP'交CO于点D．如图，∵ POP'C OC=8
四边形 为菱形， ，
∴PC=PO，且PD⊥CO，
∴OD=DC=4，即点P的纵坐标为-4．
由x2-2x-8=-4，得x =1+❑√5，x =1-❑√5（不合题意，舍去），
1 2
故存在这样的点P，此时点P的坐标为(1+❑√5,-4)．
（3）解：连接PO，作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点，如图，
设点P的坐标为(m,m2-2m-8)．
∵A(-2,0)，B(4,0)，OC=8，
∴AO=2，OB=4，PM=-m2+2m+8，PN=m，
1 1 1
∴S =S +S +S = AO⋅OC+ OB⋅PM+ OC⋅PN
四边形ABPC △AOC △POB △POC 2 2 2
1 1 1
= ×2×8+ ×4(-m2+2m+8)+ ×8m=-2m2+8m+24=-2(m-2) 2+32，
2 2 2
∵-2<0，00，
则PA2=m2+22=m2+4，PC2=(m+3) 2+12=(m+3) 2+1，AC2=12+32=10，
∵△PAC是以AC为直角边的直角三角形，
∴当∠PAC=90°时，PA2+AC2=PC2，
∴m2+4+10=(m+3) 2+1，
2
∴m= ，
3
当∠PCA=90°时，PC2+AC2=AC2，
∴(m+3) 2+1+10=m2+4，
8
∴m=- （不合题意，舍去），
3
( 2)
∴P 1, ．
3
( 2)
综上所述，点P的坐标为 1,
3
44．如图，已知抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)经过点B(-2,0)和点A(4,0)，与y轴交于点C，抛物线的对
称轴与x轴交于点M．(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点D是线段AC上的一个动点（不点A,C重合），DE⊥x轴交抛物线于点E，连接CE，AE，
求△ACE面积最大时点E坐标；
(3)点C关于点M的对称点为P，在该抛物线上是否存在点R，使得△ABR与△ABP全等？若存在，
请求出所有满足条件的点R的坐标；若不存在，请说明理由．
1
【答案】(1)y=- x2+x+4
2
(2)E(2,4)
(3)R(2,4)或R(0,4)
【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握利用待定系数法求出二次函数解析式以及二
次函数的图象和性质，全等三角形的性质是解题的关键；
（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）求出直线AC的解析式，可得D(m,-m+4),E ( m,- 1 m2+m+4 ) ,从而得到DE=- 1 m2+2m，
2 2
进而得到S = 1 ×4× ( - 1 m2+2m ) =-m2+4m=-(m-2) 2+4,即可求解；
△ACE 2 2
（3）分两种情况讨论：当AP=AR,BP=BR时，当AP=BR,BP=AR时，即可求解．
【详解】（1）解：将B(-2,0),A(4,0)代入y=ax2+bx+4，
∴¿，
∴¿，
1
∴抛物线的解析式为y=- x2+x+4；
2
1
（2）解：∵抛物线的解析式为y=- x2+x+4，
2∴C(0,4)，
设直线AC的解析式为y=k'x+b'，
∴¿
解得：¿
∴直线AC的解析式为y=-x+4，
设D(m,-m+4),E ( m,- 1 m2+m+4 ) ,
2
1
∴DE=- m2+2m,
2
S = 1 ×4× ( - 1 m2+2m ) =-m2+4m=-(m-2) 2+4,
△ACE 2 2
∴当m=2时，S 最大，最大为4，
△ACE
∴E(2,4);
（3）解：存在，理由如下：
1
∵抛物线的解析式为y=- x2+x+4，
2
∴M(1,0)
，
∴P(2,-4),
∵△ABR与△ABP全等，
∵AB=AB,
当AP=AR,BP=BR时，点R与点C关于对称轴对称，
故R(2,4)；
当AP=BR,BP=AR时，点C、R重合，故R(0,4)，
综上，R(2,4)或R(0,4)．
45．如图1，抛物线y ＝ax2﹣3x+c的图象与x轴的交点为A和B，与y轴交点为D（0，4），与直线y ＝
1 2﹣x+b交点为A和C，且OA＝OD．
（1）求抛物线的解析式和b值；
（2）在直线y ＝﹣x+b上是否存在一点P，使得△ABP是等腰直角三角形，如果存在，求出点P的坐
2
标，如果不存在，请说明理由；
（3）将抛物线y 图象x轴上方的部分沿x轴翻折得一个“M”形状的新图象（如图2），若直线y ＝﹣
1 3
x+n与该新图象恰好有四个公共点，请求出此时n的取值范围．
【答案】（1）y ＝﹣x2﹣3x+4，b＝﹣4；
1
3 5
（2）在直线y ＝﹣x﹣4上存在点P使得△ABP是等腰直角三角形，点P的坐标为（- ，- ）或
2 2 2
（1，﹣5）；
（3）﹣8＜n＜﹣4．
【分析】（1）根据D（0，4），OA＝OD，点A在x的负半轴上，可得A（﹣4，0），再运用待定系
数法即可求得抛物线的解析式，把点A的坐标代入y ＝﹣x+b，即可求得b的值；
2
（2）存在．设直线y ＝﹣x﹣4与y轴交于点G，可得△AOG是等腰直角三角形，∠BAC＝45°，分两
2
种情况：当∠APB＝90°时，过点P作PH⊥x轴于点H，根据等腰直角三角形性质可得AH＝BH，即H
3 5
是AB的中点，即可得出P （- ，- ）；当∠ABP＝90°时，可得P （1，﹣5）；
1 2 2 2
3 25 3 25
（3）抛物线y ＝﹣x2﹣3x+4的顶点为（- ， ），沿x轴翻折后的解析式为y＝（x+ ）2- ，把
1 2 4 2 4
3 25
A（﹣4，0）代入y ＝﹣x+n，可得n＝﹣4，再由直线y ＝﹣x+n与抛物线y＝（x+ ）2- 有且只有
3 3 2 4
一个交点，可求得n＝﹣8，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵D（0，4），
∴OD＝4，∵OA＝OD，点A在x的负半轴上，
∴A（﹣4，0），
{16a+12+c=0
把A（﹣4，0），D（0，4）分别代入y ＝ax2﹣3x+c，得 ，
1 c=4
{a=-1
解得： ，
c=4
∴该抛物线的解析式为y ＝﹣x2﹣3x+4，
1
把A（﹣4，0）代入y ＝﹣x+b，得4+b＝0，
2
解得：b＝﹣4；
（2）存在．
在y ＝﹣x2﹣3x+4中，令y ＝0，得﹣x2﹣3x+4＝0，
1 1
解得：x ＝﹣4，x ＝1，
1 2
∴B（1，0），
如图1，设直线y ＝﹣x﹣4与y轴交于点G，
2
则G（0，﹣4），
∴OG＝4，
∵A（﹣4，0），
∴OA＝4，
∴OA＝OG，
∴△AOG是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
当∠APB＝90°时，如图1，过点P作PH⊥x轴于点H，
∵∠BAP＝45°，∠APB＝90°，
∴∠ABP＝45°＝∠BAP，
∴PA＝PB，即△ABP是等腰直角三角形，∵PH⊥AB，
∴AH＝BH，即H是AB的中点，
3
∴H（- ，0），
2
3
∴点P的横坐标为- ，
2
3 3 5
当x=- 时，y ＝﹣（- ）﹣4=- ，
2 2 2 2
3 5
∴P （- ，- ）；
1 2 2
当∠ABP＝90°时，则∠APB＝∠BAP＝45°，
∴BP＝AB＝5，
∴P （1，﹣5）；
2
3 5
综上所述，在直线y ＝﹣x﹣4上存在点P使得△ABP是等腰直角三角形，点P的坐标为（- ，- ）
2 2 2
或（1，﹣5）；
3 25
（3）∵y ＝﹣x2﹣3x+4＝﹣（x+ ）2+ ，
1 2 4
3 25 3 25
∴抛物线y ＝﹣x2﹣3x+4的顶点为（- ， ），沿x轴翻折后的解析式为y＝（x+ ）2- ，
1 2 4 2 4
把A（﹣4，0）代入y ＝﹣x+n，得4+n＝0，
3
解得：n＝﹣4，
3 25 3 25
联立抛物线y＝（x+ ）2- 与直线y 得：（x+ ）2- =-x+n，
2 4 3 2 4
整理得：x2+4x﹣（n+4）＝0，
当Δ＝16+4（n+4）＝0时，n＝﹣8，
∴当直线y ＝﹣x+n与该新图象恰好有四个公共点时，﹣8＜n＜﹣4．
346．如图，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（1，0）和点B（3，0），交y轴于点C，抛物线上一点D
的坐标为（4，3）
（1）求该二次函数所对应的函数解析式；
（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，PE∥x轴，PF∥y轴，求线段EF的最大值；
（3）如图2，点M是线段CD上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点N，当△CBN是直
角三角形时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由A、B两点坐标在二次函数图象上，设二次函数解析式的交点式，将 D点坐标代入求
出a的值，最后将二次函数的交点式转化成一般式形式．
（2）点P在二次函数图象上，坐标为（p，p2﹣4p+3）．又因为PF∥y轴，点F在直线BC上，P的坐
标为（p，﹣p+3），在Rt FPE中，可得FE=❑√2PF，用纵坐标差的绝对值可求线段EF的最大值．
（3）求△CBN是直角三角△形，分为∠CBN＝90°和∠CNB＝90°两类情况计算，利用三角形相似知识求
解．
【解答】解：（1）设二次函数的解析式为y＝a（x﹣b）（x﹣c），
∵y＝ax2+bx+与x轴r的两个交点A、B的坐标分别为（1，0）和（3，0），
∴二次函数解析式：y＝a（x﹣1）（x﹣3）．
又∵点D（4，3）在二次函数上，
∴（4﹣3）×（4﹣1）a＝3，
∴解得：a＝1．
∴二次函数的解析式：y＝（x﹣1）（x﹣3），
即y＝x2﹣4x+3．
（2）如图1所示．因点P在二次函数图象上，设P（p，p2﹣4p+3）．
∵y＝x2﹣4x+3与y轴相交于点C，
∴点C的坐标为（0，3）．
又∵点B的坐标为B（3，0），
∴OB＝OC
∴△COB为等腰直角三角形．
又∵PF∥y轴，PE∥x轴，
∴△PEF为等腰直角三角形．
∴EF=❑√2PF．
设一次函数的l 的表达式为y＝kx+n，
BC
又∵B（3，0）和C（0，3）在直线BC上，
{3k+n=0
，
n=3
{k=-1
解得： ，
n=3
∴直线BC的解析式为，y＝﹣x+3．
∴y ＝﹣p+3．
F
FP＝﹣p+3﹣（p2﹣4p+3）＝﹣p2+3p．
∴EF=-❑√2p2+3❑√2p．
0-9×2 9❑√2
∴线段EF的最大值为，EF = = ．
max -4❑√2 4
（3）①如图2所示：若∠CNB＝90°时，点N在抛物线上，作MN∥y轴，l∥x轴交y轴于点E，
BF⊥l交l于点F．
设点N的坐标为（m，m2﹣4m+3），则点M的坐标为（m，3），
∵C、D两点的坐标为（0，3）和（4，3），
∴CD∥x轴．
又∵∠CNE＝∠NBF，∠CEN＝∠NFB＝90°，
∴△CNE∽△NBF．
CE NF
∴ = ，
NE BF
又∵CE＝﹣m2+4m，NE＝m；NF＝3﹣m，BF＝﹣m2+4m﹣3，
-m2+4m 3-m
∴ = ，
m -m2+4m-3
化简得：m2﹣5m+5＝0．
5+❑√5 5-❑√5
解得：m = ，m = ．
1 2 2 2
5+❑√5 5-❑√5
∴M点坐标为（ ，3）或（ ，3）
2 2
②如图3所示：当∠CBN＝90°时，过B作BG⊥CD，
∵∠NBF＝∠CBG，∠NFB＝∠BGC＝90°，
∴△BFN∽△CGB．
∵△BFN为等腰直角三角形，
∴BF＝FN，
∴0﹣（m2﹣4m+3）＝3﹣m．
∴化简得，m2﹣5m+6＝0．
解得，m＝2或m＝3（舍去）
∴M点坐标为，（2，3）．
5+❑√5 5-❑√5
综上所述，满足题意的M点坐标为可以为（2，3），（ ，3），（ ，3）．
2 2
十九．圆心角、弧、弦的关系（共1小题）
47．如图，P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，若x、y都是整数，则这样的点共有
12 个．
【答案】见试题解答内容
【分析】因为P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，根据题意，x2+y2＝25，若x、y
都是整数，其实质就是求方程的整数解．
【解答】解：∵P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，即圆周上的任意一点到原点的距离为5，
由题意得：❑√x2+ y2=5，即x2+y2＝25，
又∵x、y都是整数，
∴方程的整数解分别是：x＝0，y＝5；x＝3，y＝4；x＝4，y＝3；
x＝5，y＝0；x＝﹣3，y＝4；x＝﹣4，y＝3；
x＝﹣5，y＝0；x＝﹣3，y＝﹣4；x＝﹣4，y＝﹣3；
x＝0，y＝﹣5；x＝3，y＝﹣4；x＝4，y＝﹣3．
共12对，所以点的坐标有12个．
分别是：（0，5）；（3，4）；（4，3）；（5，0）；（﹣3，4）；（﹣4，3）；（﹣5，0）；（﹣
3，﹣4）；（﹣4，﹣3）；（0，﹣5）；（3，﹣4）；（4，﹣3）．
二十．点与圆的位置关系（共2小题）
48．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线
段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（ ）
1 1
A．❑√2+1 B．❑√2+ C．2❑√2+1 D．2❑√2-
2 2
【答案】B
【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点
时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．
【解答】解：如图，
∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，
∴C在⊙B上，且半径为1，
取OD＝OA＝2，连接CD，∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
1
∴OM= CD，
2
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，
∴BD＝2❑√2，
∴CD＝2❑√2+1，
1 1 1
∴OM= CD=❑√2+ ，即OM的最大值为❑√2+ ；
2 2 2
故选：B．
49．如图，AB是半圆O的直径，AB＝5cm，AC＝4cm．D是弧BC上的一个动点（含端点B，不含端点
C），连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D移动的过程中，BE的取值范围是（ ）
9
A．❑√13-2＜BE≤ B．❑√13-2≤BE＜3
5
9 9
C． ≤BE＜3 D．❑√13- ≤BE＜3
5 5
【答案】B
【分析】由∠AEC＝90°知E在以AC为直径的⊙M的C^N上（不含点C、可含点N），从而得BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中E′点），在Rt BCM中利用勾股定理求得BM=❑√13，从而得
BE长度的最小值BE′＝BM﹣ME′=❑√13-2；由BE最长△时即E与C重合，根据BC＝3且点E与点C不
重合，得BE＜3，从而得出答案．
【解答】解：如图，
由题意知，∠AEC＝90°，
∴E在以AC为直径的⊙M的C^N上（不含点C、可含点N），
∴BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中E′点），
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AB＝5，AC＝4，
∴BC＝3，CM＝2，
则BM=❑√CM2+BC2=❑√22+32=❑√13，
∴BE长度的最小值BE′＝BM﹣ME′=❑√13-2，
当BE最长时，即E与C重合，
∵BC＝3，且点E与点C不重合，
∴BE＜3，
综上，❑√13-2≤BE＜3，
故选：B．
二十一．切线的性质（共1小题）
50．如图，P是抛物线y＝x2﹣4x+3上的一点，以点P为圆心、1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线
y＝0相切时，点P的坐标为 （ 2+❑√2 ， 1 ）或（ 2-❑√2 ， 1 ）或（ 2 ，﹣ 1 ） ．【答案】见试题解答内容
【分析】⊙P与直线y＝0相切时就是：⊙P与x轴相切，半径为1个单位长度，即点P的纵坐标|y|＝
1，根据P是抛物线y＝x2﹣4x+3上的一点，代入计算出x的值，并写出点P的坐标，一共有3种可能．
【解答】解：当y＝1时，x2﹣4x+3＝1，
解得：x＝2±❑√2，
∴P（2+❑√2，1）或（2-❑√2，1），
当y＝﹣1时，x2﹣4x+3＝﹣1，
解得：x ＝x ＝2，
1 2
∴P（2，﹣1），
则点P的坐标为：（2+❑√2，1）或（2-❑√2，1）或（2，﹣1）．
二十二．切线的判定（共1小题）
51．已知：如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD交AB于E，连接OD、PC、BC，
∠AOD＝2∠ABC，∠P＝∠D，过E作弦GF⊥BC交圆与G、F两点，连接CF、BG．则下列结论：
1
① CD⊥AB；② PC 是⊙O 的切线；③ OD∥GF；④弦 CF 的弦心距等于 BG．则其中正确的是
2
（ ）A．①②④ B．③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】A
【分析】连接BD、OC、AG，过O作OQ⊥CF于Q，OZ⊥BG于Z，求出∠ABC＝∠ABD，求出弧AC
＝弧AD，根据垂径定理求出即可；求出∠P+∠PCD＝90°和∠P＝∠DCO即可求出PC是圆的切线；
采用反证法求出∠B＝30°，但已知没有给出此条件，即可判断③；求出CF＝AG，推出CQ＝OZ，证
△OCQ≌△BOZ，推出OQ＝BZ，即可判断④．
【解答】解：连接BD、OC、AG，过O作OQ⊥CF于Q，OZ⊥BG于Z，
∵OD＝OB，
∴∠ABD＝∠ODB，
∵∠AOD＝∠OBD+∠ODB＝2∠OBD，
∵∠AOD＝2∠ABC，
∴∠ABC＝∠ABD，
∴弧AC＝弧AD，
∵AB是直径，
∴CD⊥AB，
∴①正确；
∵CD⊥AB，
∴∠P+∠PCD＝90°，
∵OD＝OC，
∴∠OCD＝∠ODC＝∠P，
∴∠PCD+∠OCD＝90°，
∴∠PCO＝90°，
∴PC是切线，∴②正确；
假设OD∥GF，则∠AOD＝∠FEB＝2∠ABC，
∴3∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝30°，已知没有给出∠B＝30°，∴③错误；
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵EF⊥BC，
∴AC∥EF，
∴弧CF＝弧AG，
∴AG＝CF，
∵OQ⊥CF，OZ⊥BG，
1 1 1
∴CQ= AG，OZ= AG，BZ= BG，
2 2 2
∴OZ＝CQ，
∵OC＝OB，∠OQC＝∠OZB＝90°，
∴△OCQ≌△BOZ，
1
∴OQ＝BZ= BG，
2
∴④正确．
故选：A．
二十三．切线长定理（共1小题）
52．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为 44
．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据圆外切四边形的对边之和相等求出AD+BC，根据四边形的周长公式计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，
∴AD+BC＝AB+CD＝22，
∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝44，
故答案为：44．
二十四．三角形的内切圆与内心（共1小题）
53．问题提出
（1）如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．若AB＝15，AC＝8，则AD的长为
120
；
17
问题解决
（2）如图②所示，某工厂剩余一块△ABC型板材，其中AB＝100cm，BC＝160cm，AC＝140cm．为了
充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件．你认为可以吗？若可以，请在
图中确定可裁出的最大圆型部件的圆心O的位置，并求出⊙O的半径；若不可以，请说明理由．
120
【答案】（1） ；
17
（2）点O的位置见解答过程，20❑√3．
【分析】（1）先根据勾股定理求出BC＝17，再根据三角形的面积公式可求出AD的长；
（2）根据三角形内最大的圆是三角形的内切圆可求出点O的位置，过点O作OH⊥BC于H，OP⊥AC
于P，OQ⊥AB于Q，连接OA，OB，OC，过点A作AM⊥BC于M，设BM＝x cm，⊙O的半径为R
cm，则CM＝（160﹣x）cm，再根据勾股定理列出关于x的方程得1002﹣x2＝1402﹣（160﹣x）2，则x
＝50，进而得 AM=50❑√3cm，则 S =4000❑√3cm2，然后根据 S +S +S ＝S ，得
ABC OBC OCA OAB ABC
（100+160+140）R=8000❑√3，据此可△得⊙O的半径． △ △ △ △
【解答】解：（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝8，
由勾股定理得：BC=❑√AB2+AC2=❑√152+82=17．
1 1
由三角形的面积得：S = AB•AC = BC•AD，
ABC 2 2
△∴AB•AC＝BC•AD，
AB⋅AC 15×8 120
∴AD= = = ．
BC 17 17
120
故答案为： ．
17
（2）可以．
∵三角形内最大的圆是三角形的内切圆，
∴所求圆的圆心是△ABC的内心，
作∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF交于点O，
则点O就是裁出的最大圆型部件的圆心O的位置，
过点O作OH⊥BC于H，OP⊥AC于P，OQ⊥AB于Q，连接OA，OB，OC，过点A作AM⊥BC于
M，如图所示：
设BM＝x cm，⊙O的半径为R cm，
∵AB＝100cm，BC＝160cm，AC＝140cm，
∴CM＝（160﹣x）cm，
在Rt ABM中，由勾股定理得：AM2＝AB2﹣BM2＝1002﹣x2，
在Rt△ACM中，由勾股定理得：AM2＝AC2﹣CM2＝1402﹣（160﹣x）2，
∴100△ 2﹣x2＝1402﹣（160﹣x）2，
解得：x＝50，
∴AM=❑√1002-x2=50❑√3（cm），
1 1
∴S = BC•AM = ×160×50❑√3=4000❑√3（cm2）
ABC 2 2
△
∵点O为△ABC的内心，
∴OH＝OP＝OQ＝R cm，
∵S +S +S ＝S ，
OBC OCA OAB ABC
1△ △ 1 △ 1△
∴ BC•OH+ AC•OP+ AB•OQ=4000❑√3，
2 2 2
即（100+160+140）R=8000❑√3，∴R=20❑√3．
二十五．扇形面积的计算（共1小题）
54．如图，在矩形ABCD中，分别以点A和C为圆心，AD长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若
AD＝4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．32﹣8π B．16❑√3-4π C．32﹣4π D．16❑√3-8π
【答案】D
【分析】连接AC，在Rt ADC 中利用勾股定理求出AC的长，根据矩形的面积公式求出矩形ABCD
△
1
的面积，两个扇形为
2
圆，根据扇形面积公式求出两个扇形面积之和，根据S阴影 ＝S矩形ABCD ﹣S两个扇形
计算阴影部分的面积即可．
【解答】解：连接AC．
∵两弧有且仅有一个公共点，AD＝4，
∴AC＝2AD＝8，
∴在Rt ADC 中，CD=❑√AC2-AD2=❑√82-42=4❑√3，
△
∴S矩形ABCD ＝AD•CD＝16❑√3，
1
∵两个扇形均为 圆，而且它们的半径相等，
4
1 1
∴两个扇形为
2
圆，面积之和为S两个扇形 =
2
πAD2＝8π，
∴S阴影 ＝S矩形ABCD ﹣S两个扇形 ＝16❑√3-8π．
故选：D．
二十六．旋转的性质（共5小题）55．如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC
的面积为（ ）
25❑√3 25❑√3 25❑√3
A．9+ B．9+ C．18+25❑√3 D．18+
4 2 2
【答案】A
【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，
∠PBE＝60°，则△BPE为等边三角形，得到PE＝PB＝4，∠BPE＝60°，在△AEP中，AE＝5，延长
BP，作AF⊥BP于点FAP＝3，PE＝4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE
＝90°，即可得到∠APB的度数，在直角△APF中利用三角函数求得AF和PF的长，则在直角△ABF
中利用勾股定理求得AB的长，进而求得三角形ABC的面积．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴BA＝BC，
可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图，
∴BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°，
∴△BPE为等边三角形，
∴PE＝PB＝4，∠BPE＝60°，
在△AEP中，AE＝5，AP＝3，PE＝4，
∴AE2＝PE2+PA2，
∴△APE为直角三角形，且∠APE＝90°，
∴∠APB＝90°+60°＝150°．
∴∠APF＝30°，1 3 ❑√3 3
∴在直角△APF中，AF= AP= ，PF= AP= ❑√3．
2 2 2 2
3 3
∴在直角△ABF中，AB2＝BF2+AF2＝（4+ ❑√3）2+（ ）2＝25+12❑√3．
2 2
❑√3 ❑√3 25❑√3
则△ABC的面积是 •AB2= •（25+12❑√3）=9+ ．
4 4 4
故选：A．
56．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB边上一点，点F在BC边上，且BF＝1，将点E绕着点F
顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（ ）
A．2 B．2❑√2 C．3 D．❑√10
【答案】C
【分析】过点G作GH⊥BC，垂足为H，可得∠GHF＝90°，根据正方形的性质可得AB＝CD＝4，∠B
＝90°，根据旋转的性质可得EF＝FG，∠EFG＝90°，然后利用同角的余角相等可得∠BEF＝∠GFH，
从而可证△EBF≌△FHG，进而可得BF＝GH＝1，最后可得点G在与BC平行且与BC的距离为1的
直线上，从而可得当点G在CD边上时，DG的值最小，进行计算即可解答．
【解答】解：过点G作GH⊥BC，垂足为H，
∴∠GHF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝4，∠B＝90°，
∴∠B＝∠GHF＝90°，
由旋转得：
EF＝FG，∠EFG＝90°，
∴∠EFB+∠GFH＝90°，∵∠BEF+∠BFE＝90°，
∴∠BEF＝∠GFH，
∴△EBF≌△FHG（AAS），
∴BF＝GH＝1，
∴点G在与BC平行且与BC的距离为1的直线上，
∴当点G在CD边上时，DG最小且DG＝4﹣1＝3，
∴DG的最小值为3，
故选：C．
57．如图，∠AOB＝120°，点P为∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在
绕点 P 旋转的过程中，其两边分别与 OA、OB 相交于 M、N 两点，则以下结论：① PM＝PN；
②OM+ON＝OP；③四边形PMON的面积保持不变；④△PMN的周长保持不变．其中说法正确的是
①②③ （填序号）．
【答案】①②③．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等，想到过点 P作PE⊥OA，垂足为E，过点P作
PF⊥OB，垂足为F，证明△PEM≌△PFN，△PEO≌△PFO，即可解答．
【解答】解：过点P作PE⊥OA，垂足为E，过点P作PF⊥OB，垂足为F，
∴∠PEO＝90°，∠PFO＝90°，∵∠AOB＝120°，
∴∠EPF＝360°﹣∠AOB﹣∠PEO﹣∠PFO＝60°，
∵∠MPN+∠AOB＝180°，
∴∠MPN＝180°﹣∠AOB＝60°，
∴∠MPN﹣∠EPN＝∠EPF﹣∠EPN，
∴∠MPE＝∠NPF，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE＝PF，
∵∠MEP＝∠NFP＝90°，
∴△MEP≌△NFP（ASA），
∴PM＝PN，ME＝NF，
故①正确；
∵OP＝OP，
∴Rt PEO≌Rt PFO（HL），
∴OE△＝OF， △
∴OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE，
∵OP平分∠AOB，
1
∴∠EOP= ∠AOB＝60°，
2
∴∠EPO＝90°﹣∠EOP＝30°，
∴PO＝2OE，
∴OM+ON＝OP，
故②正确；
∵△MEP≌△NFP，
∴四边形PMON的面积＝四边形PEOF的面积，
∴四边形PMON的面积保持不变，
故③正确；
∵PM＝PN，∠MPN＝60°，
∴△PMN是等边三角形，
∵MN的长度是变化的，
∴△PMN的周长是变化的，
故④错误；所以，说法正确的是：①②③，
故答案为：①②③．
58．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，12），点B为x轴上一动点，以AB为边在直
线AB的右侧作等边三角形ABC．若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的最小值为 9 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】以 AP 为边作等边三角形 APE，连接 BE，过点 E 作 EF⊥AP 于 F，由“SAS”可证
△ABE≌△ACP，可得BE＝PC，则当BE有最小值时，PC有最小值，即可求解．
【解答】解：如图，以AP为边作等边三角形APE，连接BE，过点E作EF⊥AP于F，
∵点A的坐标为（0，12），
∴OA＝12，
∵点P为OA的中点，
∴AP＝6，
∵△AEP是等边三角形，EF⊥AP，
∴AF＝PF＝3，AE＝AP，∠EAP＝∠BAC＝60°，
∴∠BAE＝∠CAP，
在△ABE和△ACP中，
{
AE=AP
∠BAE=∠CAP，
AB=AC∴△ABE≌△ACP（SAS），
∴BE＝PC，
∴当BE有最小值时，PC有最小值，
即BE⊥x轴时，BE有最小值，
∴BE的最小值为OF＝OP+PF＝6+3＝9，
∴PC的最小值为9，
故答案为：9．
59．阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．
为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用
旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ 150 ° ；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝
BE2+FC2；
（3）能力提升
如图③，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt ABC内一点，连接AO，
BO，CO，且∠△AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值． △
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等
以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答；
（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，根据旋转的性质可得AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′
＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，再求出∠E′AF＝45°，从而得到∠EAF＝∠E′AF，然后利用
“边角边”证明△EAF和△E′AF全等，根据全等三角形对应边相等可得E′F＝EF，再利用勾股定理列
式即可得证．（3）将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，根据直角三角形30°角所对的直角边等
于斜边的一半求出AB＝2AC，即A′B的长，再根据旋转的性质求出△BOO′是等边三角形，根据等边三
角形的三条边都相等可得BO＝OO′，等边三角形三个角都是60°求出∠BOO′＝∠BO′O＝60°，然后求
出C、O、A′、O′四点共线，再利用勾股定理列式求出A′C，从而得到OA+OB+OC＝A′C．
【解答】解：（1）∵△ACP′≌△ABP，
∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB，
由题意知旋转角∠PA P′＝60°，
∴△AP P′为等边三角形，
P P′＝AP＝3，∠A P′P＝60°，
易证△P P′C为直角三角形，且∠P P′C＝90°，
∴∠APB＝∠AP′C＝∠A P′P+∠P P′C＝60°+90°＝150°；
故答案为：150°；
（2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，
由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAF＝∠E′AF，
在△EAF和△E′AF中，
{
AE=AE'
∠EAF=∠E' AF
AF=AF
∴△EAF≌△E′AF（SAS），
∴E′F＝EF，
∵∠CAB＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠E′CF＝45°+45°＝90°，
由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2，
即EF2＝BE2+FC2．
（3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，∵在Rt ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝△2，
∴BC=❑√AB2-AC2=❑√3，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，
∴△A′O′B如图所示；
∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，
∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，
∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，
∴△BOO′是等边三角形，
∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，
∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，
∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BOO′＝120°+60°＝180°，
∴C、O、A′、O′四点共线，
在Rt A′BC中，A′C=❑√BC2+A'B2=❑√(❑√3) 2+22=❑√7，
△
∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C=❑√7．二十七．坐标与图形变化-旋转（共1小题）
60．如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限角平分线上的一点，且P点的横坐标为3．把一块三角板
的直角顶点固定在点P处，将此三角板绕点P旋转，在旋转的过程中设一直角边与x轴交于点E，另
一直角边与y轴交于点F，若△POE为等腰三角形，则点F的坐标为 （ 0 ， 0 ）或（ 0 ， 3 ）或（ 0 ， 6
﹣3❑√2 ）或（ 0 ， 6+ 3❑√2） ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，结合图形，分情况讨论：①PE＝OE；②OP＝PE；③OP＝OE，依据OF的长即
可得到点F的坐标．
【解答】解：△POE是等腰三角形的条件是：OP、PE、EO其中有两段相等，分情况讨论：
①当PE＝OE时，PE⊥x轴，则PF⊥y轴，则OF＝PE＝3，故F的坐标是（0，3）；
②当OP＝PE时，∠OPE＝90°＝∠FPE，则F与O重合，即点F坐标为（0，0）；
③当OP＝OE，点E在x轴正半轴上时，过P作PA⊥x轴，PB⊥y轴，易得△PAE≌△PBF，∴BF＝AE＝OE﹣AO＝3❑√2-3，
此时，OF＝3﹣（3❑√2-3）＝6﹣3❑√2，
当点E在x轴负半轴上时，同理可得，BF＝AE＝OE+AO＝3❑√2+3，
此时，OF＝3+（3❑√2+3）＝6+3❑√2，
∴点F的坐标是：（0，6﹣3❑√2）或（0，6+3❑√2）．
故答案为：（0，0）或（0，3）或（0，6﹣3❑√2）或（0，6+3❑√2）．
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