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专题 09 期中复习易错题（27 个考点 60 题）
一．一元二次方程的一般形式（共1小题）
1．将方程2x2+7＝4x改写成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（ ）
A．2，4，7 B．2，4，﹣7 C．2，﹣4，7 D．2，﹣4，﹣7
二．解一元二次方程-配方法（共1小题）
2．解一元二次方程x2﹣8x+13＝0，配方后正确的是（ ）
A．（x﹣4）2＝3 B．（x﹣4）2＝8 C．（x﹣4）2＝13 D．（x﹣8）2＝16
三．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）
3．已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若△ABC中，AB＝AC＝2，AB，BC的长是方程kx2﹣4x+2＝0的两根，求BC的长．
四．换元法解一元二次方程（共1小题）
4．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值是（ ）
A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3
五．根的判别式（共1小题）
5．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则
0 b2-4ac=(2ax +b) 2
0
⑤存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c；
其中正确的（ ）
A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③
六．根与系数的关系（共1小题）
1 1
6．一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根分别为x ，x ，则 + =（ ）
1 2 x x
1 2
1 ❑√5
A． B．1 C． D．❑√5
2 2
七．由实际问题抽象出一元二次方程（共1小题）
7．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．50（1+x）2＝182
B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182
C．50（1+2x）＝182
D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182
八．一元二次方程的应用（共2小题）
8．如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28米），围成一个矩形花园ABCD．与墙平行的一边BC上要
预留2米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料，当矩形的长BC为多少
米时，矩形花园的面积为300平方米；能否围成480平方米的矩形花园，为什么？
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿射线AC向点C以2cm/s的
速度移动，与此同时，点Q从点C开始沿边CB向点B以1cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、C
同时出发，运动的时间为ts，当点Q运动到点B时，两点停止运动．
（1）当点P在线段AC上运动时，P、C两点之间的距离 cm．（用含t的代数式表
示）
1
（2）在运动的过程中，是否存在某一时刻，使得△PQC的面积是△ABC面积的 ．若存在，求t的值；
6
若不存在，说明理由．九．二次函数的图象（共1小题）
10．函数y＝kx+k和函数y＝﹣kx2+4x+4（k是常数，且k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（
）
A． B． C． D．
十．二次函数的性质（共2小题）
11．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，y ）、B（2，y ）、C（4，y ）是抛物线y＝ax2+bx（a＞0）
1 2 3
上的三个点，若y ＜y ＜y 且y y ＜0，抛物线对称轴为直线x＝t，则t的取值范围是（ ）
2 1 3 1 2
1 1 3 3
A．0＜t＜ B． ＜t＜1 C．1＜t＜ D． ＜t＜2
2 2 2 2
12．已知二次函数y＝2x2﹣8x+11，当自变量1≤x≤4时，则y的取值范围为 ．
十一．二次函数图象与系数的关系（共7小题）
13．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b﹣a＞
c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（ ）
A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．③④⑤
14．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：
①abc＜0；②a+b+c＜0；③5a+4c＜0；④4ac﹣b2＞0；⑤若P（﹣5，y ），Q（m，y ）是抛物线上
1 2
两点，且y ＞y ，则实数m的取值范围是﹣5＜m＜3．其中正确结论的个数是（ ）
1 2A．1 B．2 C．3 D．4
15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x＝1，其图象的一部分如图
所示，下列说法中：①abc＜0；②2a+b＝0；③当﹣1＜x＜3时，y＞0；④a﹣b+c＜0；⑤2c﹣3b＞
0．其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则下列结论中：
b
① ＞0；
c
②am2+bm≤a﹣b（m为任意实数）；
③3a+c＜1；
④若M（x ，y）、N（x ，y）是抛物线上不同的两个点，则x +x ≤﹣3．
1 2 1 2
其中正确的结论有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5
17．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2- k（k为常数）．
2
（1）若抛物线经过点（1，k2），求k的值；
（2）若抛物线经过点（2k，y ）和点（2，y ），且y ＞y ，求k的取值范围；
1 2 1 2
（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值
3
- ，求k的值．
2
18．已知二次函数y＝x2+bx﹣3（b为常数）．
（1）该函数图象与x轴交于A、B两点，若点A坐标为（3，0），
①b的值是 ，点B的坐标是 ；
②当0＜y＜5时，借助图象，求自变量x的取值范围；
（2）对于一切实数x，若函数值y＞t总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）；
（3）当m＜y＜n时（其中m、n为实数，m＜n），自变量x的取值范围是1＜x＜2，求n与b的值及
m的取值范围．
19．已知抛物线y＝x2﹣4mx+2m+1，m为实数．
（1）如果该抛物线经过点（4，3），求此抛物线的顶点坐标．
（2）如果当2m﹣3≤x≤2m+1时，y的最大值为4，求m的值．
（3）点O（0，0），点A（1，0），如果该抛物线与线OA（不含端点）恰有一个交点，求m的取值
范围．
十二．二次函数图象上点的坐标特征（共2小题）
20．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a为常数，且a＜0）的图象上有三点A（﹣2，y ），B（1，y ），C
1 2
（3，y ），则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
3 1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 121．在直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），若抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1与线段OA有且只有一个公共点，
则n的取值范围为 ．
十三．二次函数图象与几何变换（共1小题）
22．将抛物线y＝x2+2x+3向下平移3个单位长度后，所得到的抛物线与直线y＝3的交点坐标是（ ）
A．（0，3）或（﹣2，3） B．（﹣3，0）或（1，0）
C．（3，3）或（﹣1，3） D．（﹣3，3）或（1，3）
十四．二次函数的最值（共2小题）
23．当1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣2ax+3的最小值为﹣1，则a的值为（ ）
5 13
A．2 B．±2 C．2或 D．2或
2 6
24．如图，在△AOB中，∠O＝90°，AO＝18cm，BO＝30cm，动点M从点A开始沿边AO以1cm/s的速
度向终点O移动，动点N从点O开始沿边OB以2cm/s的速度向终点B移动，一个点到达终点时，另
一个点也停止运动．如果M、N两点分别从A、O两点同时出发，设运动时间为ts时四边形ABNM的
面积为Scm2．
（1）求S关于t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；
（2）判断S有最大值还是有最小值，用配方法求出这个值．
十五．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）
1
25．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣2，5），对称轴为直线x=- ．
2
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移 m（m＞0）个单位长度后，恰好落在 y＝
x2+bx+c的图象上，求m的值；9
（3）当﹣2≤x≤n时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为 ，求n的取值范围．
4
十六．抛物线与x轴的交点（共4小题）
26．将二次函数y＝x2﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个
新图象，若直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（ ）
73 73 69
A．- 或﹣12 B．- 或2 C．﹣12或2 D．- 或﹣12
4 4 4
27．已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k≤4且k≠3 B．k＜4且k≠3 C．k＜4 D．k≤4
28．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根为x＝4，则另
一个根为 ．
29．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣（2+m）x+2m的对称轴为直线x＝t．
（1）求t的值（用含m的代数式表示）；
（2）点A（﹣t，y ），B（t，y ），C（t+1，y ）在该抛物线上．若抛物线与x轴的一个交点为（x ，
1 2 3 0
0），其中0＜x ＜2，比较y ，y ，y 的大小，并说明理由．
0 1 2 3
十七．二次函数的应用（共7小题）
30．如图，一男生推铅球，铅球行进高度y（单位：米）是水平距离x（单位：米）的二次函数，即铅球
飞行轨迹是一条抛物线．该男生推铅球出手时，铅球的高度为1.6米；铅球飞行至水平距离4米时，铅
球高度为4米，铅球落地时水平距离为8米．有下列结论：①铅球飞行至水平距离3.5米时，铅球到达
最大高度，最大高度为4.05米；1 7 8
②当0≤x≤8时，y与x之间的函数关系式为：y=- x2+ x+ ；
5 5 5
③铅球从出手到飞行至最高点的水平距离与从最高点运动至落地的水平距离相等．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
31．16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径
形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．
某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为 x轴，垂直于地面的
1
直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2+x和直线y=- x+b．其中，当火箭运行的
2
水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级．
（1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km，
①直接写出a，b的值；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离．
（2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km．
32．红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙
两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯
笼每对进价多9元．（1）求甲、乙两种灯笼每对的进价；
（2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出
2对：物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得
利润y元．
①求出y与x之间的函数解析式；
②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？
33．如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面
是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以
地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．
他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据
和信息，设计了以下三个问题，请你解决．
7
（1）如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为 米，点C到点B的水平距
8
离为3米，则水滑道ACB所在抛物线的解析式为 ；
（2）如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离OE＝12米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全
距离DE不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称．
①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线BD的解析式；
②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；
（3）为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水
滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架MN，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架BM．现在
需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与 BM平行，且与水滑道有唯一公共
点，一端固定在钢架MN上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）．34．一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索L 与缆索L 均呈抛物线型，桥塔AO与桥塔BC
1 2
均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线FF′为x轴，以桥塔AO所在直线为y轴，建立平面直
角坐标系．
已知：缆索L 所在抛物线与缆索L 所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC＝
1 2
100m，AO＝BC＝17m，缆索L 的最低点P到FF′的距离PD＝2m．（桥塔的粗细忽略不计）
1
（1）求缆索L 所在抛物线的函数表达式；
1
（2）点E在缆索L 上，EF⊥FF′，且EF＝2.6m，FO＜OD，求FO的长．
2
35．食品厂加工生产某规格的食品的成本价为30元/千克，根据市场调查发现，当出厂价定为48元/千克
时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保准盈利的情况下，工厂采取降价措施，调查发现：
出厂价每降低1元，每天可多销售50千克．
（1）若出厂价降低2元，求该工厂销售此规格的食品每天的利润；
（2）求工厂销售此规格的食品每天获得的利润W（元）与降价x（元）之间的函数关系；
（3）当降价多少元时，工厂销售此食品每天获得的利润最大？最大利润为多少元？36．如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部 O处，以点O为原点，
水平方向为x轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行
路线可以近似看作抛物线 y＝a（x﹣20）2+k的一部分，山坡 OA上有一堵防御墙，其竖直截面为
ABCD，墙宽BC＝2米，BC与x轴平行，点B与点O的水平距离为28米、垂直距离为6米．已知发射
石块在空中飞行的最大高度为10米．
（1）求抛物线的解析式；
（2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙；
十八．二次函数综合题（共10小题）
37．如图，抛物线m：y＝ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点
C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C ，与x轴的另一个交点为A ．若
1 1
四边形AC A C为矩形，则a，b应满足的关系式为（ ）
1 1A．ab＝﹣2 B．ab＝﹣3 C．ab＝﹣4 D．ab＝﹣5
38．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于
点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；
（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，
若不存在，请说明理由．
39．如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A,B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，其顶点为
D．(1)点E为x轴上的动点，当△CDE周长最小时，求点E的坐标；
(2)若E为BD中点，P为抛物线上一点，当∠PAB=∠EAB时，求点P的坐标．
(3)点B右侧抛物线上一动点Q，满足S =S ，求点Q的横坐标．
△ACQ 四边形ABDC
40．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B(4,0)两点，与y轴交于点
C(0,-8)，P是直线BC下方抛物线上的一个动点．
(1)求点A的坐标和该抛物线的函数解析式；
(2)连接PO,PC，并将△POC沿y轴翻折，得到四边形POP'C，是否存在点P，使得四边形
POP'C为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在点P的运动过程中，当四边形ABPC的面积最大时，求出此时点P的坐标和四边形ABPC的最
大面积．
41．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线 的图象与 轴交于 、 两
y=ax2+bx+c(a≠0) x A(-1,0) B(3,0)点，与y轴交于点C，且抛物线的顶点D的坐标为(1,4)，连接BC，拋物线的对称轴与BC交于点H．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上B、D两点之间的部分（不包含B、D两点），是否存在点G，使得S =3S ，
△BGH △DGH
若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图②，将拋物线在BC上方的图象沿BC折叠后与y轴交于点E，M为直线x=1上一个动点，在
平面内是否存在一个点N，使得以B、E、M、N为顶点的四边形是以BE为对角线的矩形，若存在，
求出N点坐标，若不存在，请说明理由．
42．如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点C．已知点 的坐标是 ，
y=ax2+bx+3(a≠0) x A,B y A (-1,0)
抛物线的对称轴是直线x=1．
(1)求抛物线的解析式；
(2)第一象限内的抛物线上有一动点P，使△BCP的面积最大，求点P的坐标和△BCP面积的最大值；
(3)对称轴与x轴交于点N，在对称轴上找一点M，使△MNC是以CN为腰的等腰三角形，求点M的
坐标．43．如图，抛物线y=ax2+bx-3经过A(-1,0)，与y轴交于点C，过点C作BC∥x轴，交抛物线于点B，
连接AC、AB，AB交y轴于点D，且BC=2OA．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点P为抛物线对称轴上一点，且位于x轴上方，连接PA、PC，若△PAC是以AC为直角边的直角
三角形，求点P的坐标．
44．如图，已知抛物线 经过点 和点 ，与 轴交于点 ，抛物线的对
y=ax2+bx+4(a≠0) B(-2,0) A(4,0) y C
称轴与x轴交于点M．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点D是线段AC上的一个动点（不点A,C重合），DE⊥x轴交抛物线于点E，连接CE，AE，
求△ACE面积最大时点E坐标；
(3)点C关于点M的对称点为P，在该抛物线上是否存在点R，使得△ABR与△ABP全等？若存在，
请求出所有满足条件的点R的坐标；若不存在，请说明理由．45．如图1，抛物线y ＝ax2﹣3x+c的图象与x轴的交点为A和B，与y轴交点为D（0，4），与直线y ＝
1 2
﹣x+b交点为A和C，且OA＝OD．
（1）求抛物线的解析式和b值；
（2）在直线y ＝﹣x+b上是否存在一点P，使得△ABP是等腰直角三角形，如果存在，求出点P的坐
2
标，如果不存在，请说明理由；
（3）将抛物线y 图象x轴上方的部分沿x轴翻折得一个“M”形状的新图象（如图2），若直线y ＝﹣
1 3
x+n与该新图象恰好有四个公共点，请求出此时n的取值范围．
46．如图，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（1，0）和点B（3，0），交y轴于点C，抛物线上一点D
的坐标为（4，3）
（1）求该二次函数所对应的函数解析式；
（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，PE∥x轴，PF∥y轴，求线段EF的最大值；
（3）如图2，点M是线段CD上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点N，当△CBN是直
角三角形时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．十九．圆心角、弧、弦的关系（共1小题）
47．如图，P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，若x、y都是整数，则这样的点共有
个．
二十．点与圆的位置关系（共2小题）
48．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线
段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（ ）
1 1
A．❑√2+1 B．❑√2+ C．2❑√2+1 D．2❑√2-
2 2
49．如图，AB是半圆O的直径，AB＝5cm，AC＝4cm．D是弧BC上的一个动点（含端点B，不含端点
C），连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D移动的过程中，BE的取值范围是（ ）
9
A．❑√13-2＜BE≤ B．❑√13-2≤BE＜3
5
9 9
C． ≤BE＜3 D．❑√13- ≤BE＜3
5 5
二十一．切线的性质（共1小题）
50．如图，P是抛物线y＝x2﹣4x+3上的一点，以点P为圆心、1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线
y＝0相切时，点P的坐标为 ．二十二．切线的判定（共1小题）
51．已知：如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD交AB于E，连接OD、PC、BC，
∠AOD＝2∠ABC，∠P＝∠D，过E作弦GF⊥BC交圆与G、F两点，连接CF、BG．则下列结论：
1
① CD⊥AB；② PC 是⊙O 的切线；③ OD∥GF；④弦 CF 的弦心距等于 BG．则其中正确的是
2
（ ）
A．①②④ B．③④ C．①②③ D．①②③④
二十三．切线长定理（共1小题）
52．如图，四边形 ABCD是⊙O的外切四边形，且 AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为
．
二十四．三角形的内切圆与内心（共1小题）
53．问题提出
（1）如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．若AB＝15，AC＝8，则AD的长为
；
问题解决（2）如图②所示，某工厂剩余一块△ABC型板材，其中AB＝100cm，BC＝160cm，AC＝140cm．为了
充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件．你认为可以吗？若可以，请在
图中确定可裁出的最大圆型部件的圆心O的位置，并求出⊙O的半径；若不可以，请说明理由．
二十五．扇形面积的计算（共1小题）
54．如图，在矩形ABCD中，分别以点A和C为圆心，AD长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若
AD＝4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．32﹣8π B．16❑√3-4π C．32﹣4π D．16❑√3-8π
二十六．旋转的性质（共5小题）
55．如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC
的面积为（ ）
25❑√3 25❑√3 25❑√3
A．9+ B．9+ C．18+25❑√3 D．18+
4 2 2
56．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB边上一点，点F在BC边上，且BF＝1，将点E绕着点F
顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（ ）A．2 B．2❑√2 C．3 D．❑√10
57．如图，∠AOB＝120°，点P为∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在
绕点 P 旋转的过程中，其两边分别与 OA、OB 相交于 M、N 两点，则以下结论：① PM＝PN；
②OM+ON＝OP；③四边形PMON的面积保持不变；④△PMN的周长保持不变．其中说法正确的是
（填序号）．
58．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，12），点B为x轴上一动点，以AB为边在直
线AB的右侧作等边三角形ABC．若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的最小值为 ．
59．阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．
为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用
旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ ；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝
BE2+FC2；
（3）能力提升
如图③，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt ABC内一点，连接AO，
BO，CO，且∠△AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值． △
二十七．坐标与图形变化-旋转（共1小题）
60．如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限角平分线上的一点，且P点的横坐标为3．把一块三角板
的直角顶点固定在点P处，将此三角板绕点P旋转，在旋转的过程中设一直角边与x轴交于点E，另
一直角边与y轴交于点F，若△POE为等腰三角形，则点F的坐标为 ．
