文档内容
专题 3.3 等边三角形重难点题型归纳（三大模型）
【题型01 ：等边三角形中动点综合问题】
【题型02： 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题】
【题型03： 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题】
【题型1 等边三角形中动点综合问题】
【典例1】如图，在△ABC中，∠C＝90o，∠A＝30o，AB＝60cm，动点P、Q同时从 A、B
两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，点P的运动速度为2cm/s，点Q的运动速度
为1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s．
（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？
（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？
【答案】（1）t＝20时，△PBQ为等边三角形；
（2）当t＝15或t＝24时，△PBQ为直角三角形．
【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∵60÷2＝30，
∴0≤t≤30，BP＝（6﹣2t）cm，BQ＝t cm．
当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形，
即60﹣2t＝t，
∴t＝20；
当t＝20时，△PBQ为等边三角形；
（2）若△PBQ为直角三角形，①当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ，
即60﹣2t＝2t，
∴t＝15，
②当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP，
即t＝2（60﹣2t），
∴t＝24．
即当t＝15或t＝24时，△PBQ为直角三角形．
【变式1-1】如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同
时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N
第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？
（2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形AMN？
（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存
在，请求出此时M、N运动的时间．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设点M、N运动x秒时，M、N两点重合，
x×1+12＝2x，
解得：x＝12；
（2）设点M、N运动t秒时，可得到等边三角形AMN，如图①，
AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝12﹣2t，
∵三角形AMN是等边三角形，
∴t＝12﹣2t，
解得t＝4，
∴点M、N运动4秒时，可得到等边三角形AMN．（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图②，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵AB＝BC＝AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
∵ ，
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM＝BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，CM＝NB，
y﹣12＝36﹣2y，
解得：y＝16．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N
运动的时间为16秒．
【题型02： 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题】
【典例2】如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是射线BC上一动点，
以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
【问题解决】如图1，点D与点B重合，求证：AE＝FC；
【类比探究】（1）如图2，点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；
（2）如图3，点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数
量关系？直接写出你的结论．【答案】【问题解决】证明见解析过程；
【类比探究】（1）证明见解析过程；
（2）FC＝CD+CE，理由见解析过程．
【解答】证明：【问题解决】
∵△ABC和△DEF是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠EDC＝60°，DE＝DF，
∴∠ABC﹣∠EBC＝∠EDC﹣∠EBC，
即∠ABE＝∠CBF，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS）
∴AE＝CF；
【类比探究】（1）如图2，在CD上截取CH＝CE，连接EH，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ECH＝60°，
∴△CEH是等边三角形，
∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝FE，∠DEF＝60°，
∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，∴∠DEH＝∠FEC，
在△DEH和△FEC中，
，
∴△DEH≌△FEC（SAS），
∴DH＝CF，
∴CD＝CH+DH＝CE+CF，
∴CE+CF＝CD；
（2）线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；
理由如下：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图3所示：
∵GD∥AB，
∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，
∴∠GDC＝∠DGC＝60°，
∴△GCD为等边三角形，
∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，
∵△EDF为等边三角形，
∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，
∴∠EDG＝∠FDC，
在△EGD和△FCD中，
，
∴△EGD≌△FCD（SAS），
∴EG＝FC，∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．
【变式2-1】如图，等边三角形ABC中，点E是BC上一定点，点D是射线AC上一动点，
以DE为边作等边三角形DEF，连接CF．
（1）如图1，点D与点A重合，直接写出线段CD、CE、CF之间的数量关系 CD ＝
CE + CF ．
（2）如图2，点D在AC边上，求证：CD+CF＝CE．
（3）如图3，点D在边AC的延长线上，请探究线段CD、CE、CF之间的数量关系，
并证明你的结论．
【答案】（1）CD＝CE+CF；
（2）证明见解答过程；
（3）CD+CE＝CF．
【解答】（1）解：∵△ABC和△DEF都是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，DE＝DF，∠BAC＝∠EAF＝60°，
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAF﹣∠EAC，即∠BAE＝∠CAF，
在△BAE和△CAF中，
，
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴BE＝CF，
∴CD＝BC＝BE+CE＝CE+CF，
故答案为：CD＝CE+CF；
（2）证明：如图2，在CB上截取CG＝CD，连接DG，
∵∠ACB＝60°，∴△CDG为等边三角形，
∴DG＝DC，∠GDC＝60°＝∠EDF，
∴∠EDG＝∠FDC，
在△EDG和△FDC中，
，
∴△EDG≌△FDC（SAS），
∴EG＝CF，
∴CD+CF＝CG+EG＝CE；
（3）解：CD+CE＝CF，
理由如下：如图3，延长BC至点P，使CP＝CD，
∵∠DCP＝∠ACB＝60°，
∴△CDP为等边三角形，
∴DP＝DC，∠PDC＝60°＝∠EDF，
∴∠EDP＝∠FDC，
在△EDP和△FDC中，
，
∴△EDP≌△FDC（SAS），
∴EP＝CF，
∴CF＝EP＝EC+CP＝CE+CD．【变式2-2】如图，在等边三角形ABC中，点E是边CA延长线上一点，点D是直线BC上
一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
（1）如图1，若点D在边BC上，求证：CE＝CF+CD；
（2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的
数量关系，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：在CA上截取CG＝CD，连接DG，如图1所示：
∵△ABC和△DEF是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝∠EDF＝60°，BC＝AC，DE＝DF，
∵CG＝CD，
∴△CDG是等边三角形，∴DG＝DC＝CG，∠GDC＝60°＝∠EDF，
∴∠EDG＝∠FDC，
在△DEG和△DFC中，
，
∴△DEG≌△DFC（SAS），
∴GE＝CF，
∵CE＝GE+CG，
∴CE＝CF+CD；
（2）解：CD＝CF+CE，理由如下：
在CA的延长线上截取CG＝CD，连接DG，如图2所示：
同（1）得：△CDG是等边三角形，△DEG≌△DFC（SAS），
∴DG＝DC＝CG，GE＝CF，
∵CG＝GE+CE，
∴CD＝CF+CE．
【变式2-3】如图，在等边△ABC中，点D是边AC上一定点，点E是直线BC上一动点，
以DE为一边作等边△DEF，连接CF．
（1）如图1，若点E在边BC上，且DE⊥BC，垂足为E，求证：CD＝2CE；
（2）如图1，若点E在边BC上，且DE⊥BC，垂足为E，求证：CE+CF＝CD；
（3）如图2，若点E在射线CB上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关
系？并说明理由．【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
又∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，∠EDC＝30°，
∴CD＝2CE；
（2）∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝DF，∠EDF＝60°
∵∠EDC＝30°，
∴∠FDC＝30°＝∠EDC，DC＝DC，
∴△EDC≌△FDC（SAS），
∴CE＝CF，
∴CD＝2CE＝CE+CF；
（3）当点E在线段BC上，如图2，结论：CD＝CE+CF，
理由如下：如图2，在BC上截取CG＝CD，连接GD，
∵∠DCG＝60°，
∴△DCG是等边三角形，
∴DG＝DC，∠GDC＝60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝DF，∠EDF＝60°，
∵∠GDE+∠EDC＝60°＝∠EDC+∠CDF，
∴∠GDE＝∠CDF，∴△GDE≌△CDF（SAS），
∴GE＝CF，
∴CD＝CG＝CE+EG＝CE+CF；
当点E在射线BC延长线上，如图3，结论：CE＝CD+CF，
理由如下：如图3，在BC上截取CG＝CD，连接GD，
∵∠DCG＝60°，
∴△DCG是等边三角形，
∴DG＝DC，∠GDC＝60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝DF，∠EDF＝60°，
∵∠GDE+∠GDF＝60°＝∠GDF+∠CDF，
∴∠GDE＝∠CDF，
∴△GDE≌△CDF（SAS），
∴GE＝CF，
∴CE＝CG+EG＝CD+CF．
【题型03 ：等边三角形-作平行线法解决动点综合问题】
【典例3】如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别是射线AB、射线CB上的动点，点D
从点A出发沿着射线AB移动，点E从点B出发沿着射线BG移动，点D、E同时出发并
且移动速度相同，连接CD、DE．
（1）如图①，当点D移动到线段AB的中点时，DE与DC的长度关系是：DE ＝
DC．
（2）如图②，当点D在线段AB上移动但不是中点时，探究DE与DC之间的数量关系，
并证明你的结论．
（3）如图③，当点D移动到线段AB的延长线上，并且ED⊥DC时，求∠DEC的度数．【答案】（1）DE＝DC．理由见解答．
（2）DE＝DC，理由见解答．
（3）∠DEC＝45°．
【解答】（1）证明：DE＝DC．理由如下：
∵△ABC是等边三角形，AD＝DB，
∴∠DCB＝ ∠ACB＝30°，AD＝DB，
由题意得，AD＝BE，
∴BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED，
∵∠BDE+∠BED＝∠ABC＝60°，
∴∠BDE＝∠BED＝30°，
∴∠DCE＝∠BED，
∴DE＝DC．
故答案为：＝．
（2）解：DE＝DC，
理由如下：作DF∥AC交BC于F（如图②），
则∠BDF＝∠A＝60°，∠DFB＝∠ACB＝60°，
∴△DBF为等边三角形，
∴DB＝DF＝BF，∠DBF＝∠DFB＝60°，
∴FC＝AD＝BE，∠DBE＝∠DFC，
在△DBE和△DFC中，
，
∴△DBE≌△DFC（SAS），∴DE＝DC；
（3）解：在BE上截取BH＝BD，连接DH（如图③），
∵∠DBH＝∠ABC＝60°，
∴△BDH为等边三角形，
∴DH＝DB，∠BDH＝∠BHD＝60°，
∴∠DHE＝∠DBC＝120°，
∵AD＝BE，BH＝BD，AB＝BC，
∴HE＝BC，
在△DHE和△DBC中，
，
∴△DHE≌△DBC（SAS），
∴∠HDE＝∠BDC，
∵∠EDC＝90°，∠HDB＝60°，
∴∠HDE+∠BDC＝30°，
∴∠HDE＝∠BDC＝15°，
∴∠DEC＝∠DHC﹣∠HDE＝45°．【变式3-1】已知：△ABC是等边三角形，点D是线段AC上一点，作DB＝ED，交BC延
长线于点E．
（1）求证：AD＝CE；
（2）若DC＝4，CE：BC＝1：3，求BE的长度．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：如图，过D作DF∥BC，交AB于点F，
∵△ABC为等边三角形，
∴△ADF为等边三角形，
∴AB＝AC，AF＝AD，∠AFD＝∠ACB＝60°，
∴BF＝CD，∠BFD＝∠DCE＝120°，
在△FDB和△CED中，
，
∴△FDB≌△CED（SAS），
∴DF＝CE，
∴AD＝CE；
（2）解：设CE＝AD＝x，则BC＝3x，
∵AC＝BC＝AD+DC，
∴3x＝x+4，解得x＝2，
∴BC＝3x＝6，
∴BE＝BC+CE＝6+2＝8．【变式3-2】△ABC是边长为2的等边三角形，点P、Q分别从A、C两点同时出发做匀速
直线运动，且它们的速度相等．已知点P沿边射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运
动，设PQ与直线AC相交于点D，作PE⊥AC，垂足是E．
（1）当点P在线段AB上运动时，求证：2DE＝AC；
（2）当点P、Q继续运动时，（1）中的结论还成立吗？若成立，画出图形并证明．如
不成立指出DE与AC的关系并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：如图1，作QF⊥AC，交直线AC的延长线于点F，
又∵PE⊥AC于E，
∴∠CFQ＝∠AEP＝90°，
∵点P、Q做匀速运动且速度相同，
∴AP＝CQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ACB＝∠FCQ＝60°，
∴在△APE和△CQF中， ，
∴△APE≌△CQF（AAS），
∴AE＝FC，PE＝QF，
又∵∠PDE＝∠FDQ，∠PED＝∠FDQ，
∴△PDE≌△QDF（AAS），
∴DE＝DF，
∴DE＝ EF，
∵EC+CF＝EC+AE＝AC，
∴DE＝ AC，（2）解：当点P、Q运动时，（1）中的结论还成立．理由如下：
如图2，作QF⊥AC，交直线AC的延长线于点F，连接EQ，PF．
同（1），推知△APE≌△CQF（AAS），
∴AE＝FC，PE＝QF，
∵PE∥QF，
∴∠PED＝∠QFD，∠EPD＝∠FQD，
∴△PED≌△QFD（ASA），
∴DE＝DF，
∴DE＝ EF，
∵EC+CF＝EC+AE＝AC，
∴DE＝ AC．
【变式3-3】已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED
＝EC．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE ＝ DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．
（2）【特例启发，解答题目】
如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出
结论，AE ＝ DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交
AC于点F．（请你完成以下解答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，
若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）当E为AB的中点时，AE＝DB；
（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE＝EF，BE＝CF，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，
∴∠DEB＝∠ECF，
在△DBE和△EFC中，
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB＝EF，则AE＝DB；
（3）点E在AB延长线上时，作EF∥AC，则△EFB为等边三角形，
如图所示，同理可得△DBE≌△CFE，
∵AB＝1，AE＝2，
∴BE＝1，
∵DB＝FC＝FB+BC＝2，
则CD＝BC+DB＝3．
故答案为：（1）＝；（2）＝
【变式3-6】如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别是射线AC、射线BC上的动点，点
D从点A出发沿射线AC移动，点E从点C出发沿射线BC移动，点D、点E同时出发
并且运动速度相同．连接BD、．
（1）如图①，当点D移动到线段AC的中点时，求∠DEC度数．
（2）如图②，当点D在线段AC上移动但不是中点时，试探索DE与BD之间的数量关
系，并说明理由．
（3）如图③，当点D移动到线段AC的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？并
说明理由．【答案】（1）∠DEC＝30°；
（2）DE＝BD，理由见解析；
（3）成立，理由见解析
【解答】解：（1）根据题意，点D和点E分别从点A和点C同时出发并且运动速度相
同，
∴AD＝CE，
∵点D为AC的中点，
∴AD＝CD，
∴CD＝CE，
∴∠CDE＝∠DEC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠CDE+∠DEC＝60°，
∴∠DEC＝30°；
（2）结论：DE＝BD，理由如下：
如图②，过点D作DF∥BC交AB于点F，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，
∴∠BFD＝∠DCE＝120°，
∵DF∥BC，
∴∠AFD＝∠ABC＝60°，∠ADF＝∠ACB＝60°，
∴△ADF是等边三角形，∴AF＝AD＝DF，
∴AB﹣AF＝AC﹣AD，
∴BF＝CD，
∵AD＝CE，
∴DF＝CE，
在△BFD和△DCE中，
，
∴△BFD≌△DCE（ SAS），
∴DE＝BD；
（3）成立，理由如下：
如图③，过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F，
同理可得，△AFD是等边三角形，
∴∠F＝60°，AF＝AD＝DF，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AB＝AC，
∴AF﹣AB＝AD﹣AC，
∴BF＝CD，
∵∠DCE＝∠ACB＝60°，
∴∠F＝∠DCE，
∵AD＝CE，
∴FD＝CE，
在△BFD和△DCE中，
，
∴△BFD≌△DCE（ SAS），
∴DE＝BD．
