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阶段性检测 3.3（难）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】结合对数函数定义域和分式不等式解法化简集合A，B，由集合交集的定义求解即可．
【详解】函数 的定义域为 ，
不等式 ，可化为 或 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 ．
故选：A．
2．已知复数 的共轭复数为 ，且 ，则 （ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】先根据复数的乘法运算和加减法运算化简，再根据复数相等的定义即可得解.
【详解】由题意 ，
则 ，即 ，
化简得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，解得 ，
所以 .
故选：D.
3．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】注意到 ，且有 ，故结合已知条件 以及
二倍角公式可以先求出 的值，进一步利用诱导公式即可得解.
【详解】由二倍角公式有 ，又已知 ，代
入即得 ，由诱导公式有 ，因
此 .
故选：D.
4．已知向量 ，线段 的中点为 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】用平面向量基底 表示 ，找到 的关系求解即可.
【详解】设 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，
由 ，
得 ，又已知 ，且 ，
则有 ，
故 .
故选：A.
5．已知命题 ：任意 ，使 为真命题，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ，由题意可得任意 ， 恒成立，结合二次函数性质列不等式求
的取值范围.
【详解】设 ，则 ，
原命题等价于：任意 ，使 为真命题，
所以 ，其中
设 ， 则
函数 ， 的最大值为 与 中的较大者，
所以 ，
∴ ，解得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：C.
6．已知数列 的前 项和为 ， ， ，若 ，则 （ ）
A．48 B．49 C．50 D．51
【答案】A
【分析】根据题意，得到 是等比数列，求得 ，结合 ，分 为偶
数和 为奇数，列出方程，即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，且 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，即 ，
当n为偶数时， ，当n为奇数时， ，
又由 ，
当 为偶数时，由 ，
可得 ，解得 或 （舍去）；
当 为奇数时，由 ，
可得 ，解得 （舍去）或 （舍去）．
综上可知， ．
故选：A.
7．已知函数 的定义域为 ，若 为偶函数，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知条件推导出函数周期为4， ，可求 .
【详解】由 ，令 得 ．
令 ，得 ， ， ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 为偶函数， ，即 ， 曲线 关于直线 对称．
又 ， 图像关于点 中心对称，
，
可得 ，即 ，
又 ，
的周期 ．
， ，
．
故选：A．
8．已知函数 ，且 ，则实数a的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】令 ，判定函数 的奇偶性与单调性，将不等式进行转化，即可求解a
的范围.
【详解】令 ，定义域为R，
，
所以 为奇函数，
又 .
当 时，令 ，
则有 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，所以 在 上单调递增，
又因为 为奇函数，所以 在R上单调递增，
所以 ，可转化为 ，
，
所以 ，
所以 ，即 ，
解得
即实数a的取值范围是 .
故选：C.
【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属
于中档题.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．若数列 满足 （ 为正整数）， 为数列 的前 项和则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】直接代入递推公式求得 ，可知A正确；根据递推式求 ，构造数列 为常数列，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】求得数列 的通项，得 ，B正确；代入等差数列求和公式可得 ，C错误；先
放缩，再利用裂项相消求和可证明D正确.
【详解】 ，故A正确；
由 知， ，
两式相减得 ，
故 ，故当 时， 为常数列，
故 ，故 ，故 ，故B正确；
，故C错误；
，
故 ，故D正确.
故选：ABD.
10．在棱长为1的正方体 中，M为底面 的中心， ， ，N为线
段AQ的中点，则（ ）
A．CN与QM共面
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】B．三棱锥 的体积跟 的取值无关
C． 时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的周长为
D． 时，
【答案】ABC
【分析】由 为 的中点，得到 ，可判定A正确；由 到平面 的距离为定值 ，
且 的面积为定值 ，根据 ，可得判定B正确，由 时，得到 三点的正方
体的截面 是等腰梯形，可判定C正确；当 时，根据 ，可判定D不正确．
【详解】在 中，因为 为 的中点，所以 ，
所以 与 共面，所以A正确；
由 ，因为 到平面 的距离为定值 ，且 的面积为定值 ，
所以三棱锥 的体积跟 的取值无关，所以B正确；
当 时，过 三点的正方体的截面 是等腰梯形，
所以平面截正方体所得截面的周长为 ，
所以C正确；
当 时，可得 为 的中点, 为 的中点
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，所以 不成，所以D不正确．
故选：ABC
11．关于函数 ，下列选项正确的有（ ）
A． 为偶函数
B． 在区间 上单调递增
C． 的最小值为2
D． 在区间 上有两个零点
【答案】ABD
【分析】根据偶函数的定义判断可得A正确；利用导数判断可得B正确；根据 可得C不正确；
分段解方程 可得D正确.
【详解】由 ，得 ， ，得 ， ，
所以 的定义域为 ，关于原点对称，
因为 ，
所以 为偶函数，故A正确；
当 时， ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，所以 ， ， ，所以 ，
所以 在区间 上单调递增，故B正确；
因为 ，故C不正确；
当 时， ， ，
令 ，得 ，无解；
当 时，函数 无意义，
当 时， ， ，
令 ，得 ，得 ，无解，
当 时，函数 无意义，
当 时， ， ，
令 ，得 ，得 ，得 ，
当 时，函数 无意义，
当 ， ， ，
令 ，得得 ，无解，
当 时，函数 无意义，
当 时， ， ，
令 ，得 ，得 ，得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】综上所述： 在区间 上有两个零点 和 .故D正确.
故选：ABD
12．若存在直线与曲线 都相切，则 的值可以是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】ABC
【分析】设该直线与 相切于点 ，求出切线方程为 ，设该直线与 相
切于点 ，求出切线方程为 ，联立方程组，得到
，令 ，讨论 的单调性，从而得到最值，则可得
到 ，解出 的取值范围，四个选项的值分别比较与区间端点比较大小即可判断是否在区间内.
【详解】设该直线与 相切于点 ，因为 ，所以 ，
所以该切线方程为 ，即 .
设该直线与 相切于点 ，因为 ，所以 ，
所以该切线方程为 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
令 ，
所以当 时， 0；当 时， ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在 和 上单调递减；在 和 上单调递增；
又 ，所以 ，
所以 ，解得 ，所以 的取值范围为 ，
所以A正确；
对于B， ，所以 ，所以B正确；
对于C， 因为 ，所以C正确；
对于D， 因为 ，所以D不正确.
故选：ABC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．工人甲将一底面半径为4、高为4的圆柱型钢料，车削成一下底面半径为4、高为4的圆台型钢坯．经
测量，车削下来的钢料体积占圆柱型钢料体积的 ，则圆台型钢坯所对应圆台的母线长为 .
【答案】5
【分析】设圆台的上底面半径为 ，根据圆柱与圆台的体积公式列式求出 ，从而得出答案.
【详解】设圆台的上底面半径为 ，由题意得 ，
解得 ，则圆台的母线长 .
故答案为：5.
14．平面向量 ， 满足 ，且 ，则 的最小值是 ．
【答案】 /
【分析】运用向量的数量积、向量的夹角公式计算可得 ，结合基本不等式即可求得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】结果.
【详解】由 两边平方得 ．
又因为 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 时取等号，
所以 的最小值是 .
故答案为： .
15．在 中，已知 ， ， ，当 取得最小值时，
的面积为
【答案】
【分析】根据给定条件，利用正弦定理探讨可得 ，再利用余弦定理探求 的关系，并求出
，由数量积的定义结合二次函数求出 ，再利用三角形面积公式求解作答.
【详解】
令 ，则 ，由 ，得 ，
在 中， ，在 中， ，
于是 ，令 ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】而 ，则有 ，
由余弦定理得 ，整理得 ，即 ， ，
则 ，
当 时， 取得最小值，在 中， ，
所以 .
故答案为：
【点睛】关键点睛：条件较隐含的解三角形问题，根据题意设出变量，再选择恰当的三角形，借助正余弦
定理列出方程、方程组是解题的关键.
16．若函数 在 上具有单调性，且 为 的一个零点，则 在
上单调递 （填增或减），函数 的零点个数为 ．
【答案】 增 9
【分析】根据函数 在 上具有单调性，限定周期的范围，得出 的范围，再由函数的零点得
出关于 的等式，结合这两个条件求出 的值，再数形结合得出结果.
【详解】因为 在 上具有单调性，
所以 ，即 ， ．
又因为 ，
所以 ，即 ，
只有 ， 符合要求，此时 ．
当 时， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 在 上单调递增．
因为 的最大值为1，而 ， ，
作出函数 与 的图象，由图可知，这两个函数的图像共有9个交点，所以函数
的零点个数为9．
故答案为：增；9.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．如图，四棱锥 中，四边形ABCD为梯形， ， ， ，
， ，M，N分别是PD，PB的中点．
(1)求证：直线 平面 ；
(2)求证： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）连接 ，证明 ，再根据线面平行的判定定理即可得证；
（2）利用勾股定理证明 ， ，从而可得 平面 ，即可得证.
【详解】（1）连接 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为M，N分别是PD，PB的中点，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以直线 平面 ；
（2）因为 ，
所以 ，所以 ，
因为 ， ，
所以 ，所以 ，
又 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
又 ，所以 ．
18．如图，在平面四边形 中， ， ， 的平分线交 于点 ，且 ．
(1)求 及 ；
(2)若 ，求 周长的最大值．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）在△ABE中，利用正弦定理求出sin∠AEB，从而求出∠AEB的大小，从而求出∠ABE的大
小，再根据BE是∠ABD的平分线可得△BDE是等腰三角形，从而可得DE长度，在△BDE中，利用余弦
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】定理即可求BD；
（2）设 ， ．在△BCD中，利用余弦定理得m，n的关系式，，再结合基本不等式即可求出
m＋n的最大值，从而可求△BCD周长的最大值．
【详解】（1）在 中，由正弦定理得 ，
又 ，则 ，
于是 ，
∵ 为角平分线，∴ ，∴ ，∴ ，
在 中，根据余弦定理得 ，
∴ ．
（2）设 ， ．在 中，
由余弦定理得 ，
即有 ，即 ，
∴ ，
当且仅当 时，“＝”成立．
∴ 周长的最大值为 ．
19．已知数列 ， 满足 ， 是等比数列，且 的前
项和 .
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)设数列 ， 的前 项和为 ，证明： .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1) ，
(2)证明见解析
【分析】（1）由前 项和与通项之间关系可求得 ，进而由已知等式得到 ，推导可得 ；
（2）由（1）可得 ，采用裂项相消法可整理得到 ，结合 和 可证得结论.
【详解】（1）当 时， ， ；
当 且 时， ，
；
经检验： 满足 ， ；
当 时， ， ；
当 且 时， ，
， ；
经检验： 满足 ， .
（2）由（1）知： ，
；
， 在 上单调递减，在 上单调递增，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ；
又 ， .
20．已知四棱锥 中，底面 是矩形， ， ， 是 的中点．
(1)证明： ；
(2)若 ， ，点 是 上的动点，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取 的中点 ，连接 、 ，推导出 平面 ，再利用线面垂直的性质定理可
证得结论成立；
（2）以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，设 ，
其中 ，求出平面 的一个法向量的坐标，利用空间向量法可得出关于 的方程，解出 的值，
即可得解.
【详解】（1）取 的中点 ，连接 、 ，
因为 、 分别为 、 的中点，则 ，
因为 ，所以， ，
设直线 与直线 交于 点，
因为 ，则 ， ，所以， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以， ，故 ，
设 ，则 ， ，
所以， ，
且 ， ，
所以， ，所以， ，
又因为 ， 、 平面 ，则 平面 ，
因为 平面 ，故 .
（2）因为 ， ， ，
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为 ，则 、 、 、 、 ，
设平面 的法向量为 ，则 ， ，
则 ，取 ，则 ，
设 ，其中 ，
，
因为直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，解得 ，即 .
21． 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知
(1)求角A；
(2)若 为锐角三角形，且 的面积为S，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理和和差公式整理即可得到 ，再结合 ，即可得到
；
（2）根据 和三角形面积公式将 整理为 ，再根据锐角三角形和正弦定
理得到 的范围，最后用换元法和函数单调性求范围即可.
【详解】（1） ，所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
因为 ，所以 ．
（2）由（1）可知 ， ．
则 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 锐角三角形，所以 ，整理得 ．
因为 ，所以 ．
令 ，则函数 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，即 ，
故 的取值范围为 .
22．已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)证明：当 时，不等式 恒成立．
【答案】(1)函数 在 上单调递增
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导函数研究函数 的单调性，由导函数分子 符号不易判断，再构造函数
，借助导函数研究 的单调性，进而求出其最小值大于 ，即 ，从而得
到函数的单调性.
（2）等价转化不等式为 ，构造函数 ，求导得
，再构造研究函数 的单调性与最值，得 ，再由
符号，分析单调性，得 ，再构造函数证明
即可.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】（1）当 时， ，
则 ，
令 ，
则 ，令 ，得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
所以函数 在 单调递减, 在 单调递增，
，
所以函数 在 上单调递增.
（2）不等式 等价于
令
则
设 ，
当 ，当 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
，即 ，
则令 ，解得 ，
令 ，解得 ，
所以函数 在 单调递减，在 单调递增，
，
令 ，则 ，
当 时， ，
在 单调递减， ，
即 时，不等式 恒成立．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
