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阶段性检测 2.1（易）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解一元二次不等式求集合A，应用集合的交运算求集合即可.
【详解】由 ， ，
所以 .
故选：D
2． 的值等于（ ）
A．-2 B．0 C．8 D．10
【答案】A
【分析】应用指数运算和对数运算计算求解即可.
【详解】 .
故选：A.
3．若 是纯虚数，则 （ ）
A． B．1 C． D．9
【答案】B
【分析】根据复数的除法运算化简 ，根据纯虚数的概念即可求得答案.
【详解】由于 ，
故由 是纯虚数可得 且 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1故 ，
故选：B
4．下列说法正确的有（ ）
A．已知 ， ，若 与 共线，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ， 为锐角，则实数 的范围是
D．若 ，则 一定不与 共线
【答案】C
【分析】利用平面向量共线的坐标表示可判断A选项；取 可判断B选项；分析可知 ，且
与 不共线，求出实数 的取值范围，可判断C选项；取 ， ，可判断D选项.
【详解】对于A， ， ， 与 共线，则 ，解得 ，A错误；
对于B，当 时，满足 ， ，而向量 与 可以不共线，B错误；
对于C， ， ， 为锐角，
则 ，且 与 不共线，
即 且 ，解得 ，C正确；
对于D，若 ， ，满足 ，而 与 共线，D错误.
故选：C.
5． 的内角 的对边分别为 ，若 ， ， 的面积为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2【答案】C
【分析】根据余弦定理以及三角形面积公式即可求解.
【详解】由余弦定理得 ,又 ，所以 ，
又 ，故 ，
故选：C
6．快递公司计划在某货运枢纽附近投资配建货物分拣中心.假定每月的土地租金成本与分拣中心到货运枢
纽的距离成反比，每月的货物运输成本与分拣中心到货运枢纽的距离成正比.经测算，如果在距离货运枢纽
处配建分拣中心，则每月的土地租金成本和货物运输成本分别为2万元和8万元.要使得两项成本之
和最小，分拣中心和货运枢纽的距离应设置为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据基本不等式即可求解.
【详解】设土地租金成本和运输成本分别为 万元和 万元，分拣中心和货运枢纽相距 ，
则， ，将 代入可得 ，
所以 ， ，故 ，当且仅当 时取等号.
故选:A.
7．已知函数 ， .若 有 个零点，则实数 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数零点的定义，利用数形结合思想进行求解即可,
【详解】令 可得 ，当 时， ，
当 时， 的图象与 关于 轴对称，所以作出函数 与函数 的
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3图象如图所示：
由图可知，当 时，函数 与函数 的图象有2个交点，
此时，函数 有2个零点.
因此，实数 的取值范围是 .即实数 的最小值为1.
故选：D
【点睛】关键点睛：利用转化法，把函数零点问题转化为两个函数图象交点问题，再利用数形结合思想进
行求解是解题的关键.
8．若函数 在R上可导，且 ，则当 时，下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】构造函数 、 ，利用导数判断单调性再比较大小可得答案.
【详解】令 ，则 ，
由于 的正负不确定，所以 的正负不确定，不能判断 的单调性，故AC错误；
令 ，由 ，则 ，所以 为R上的单调递减函数，
因为 ，所以 ，即 ，故B错误D正确；
故选：D.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列说法正确的是（ ）
A．向量 在向量 上的投影向量可表示为
B．若 ，则 与 的夹角θ的范围是
C．若 ， ，则
D．已知 ， ，则
【答案】AB
【分析】根据投影向量的概念可知，A正确；由 ，得 ，再根据平面向量夹角的范围可知B
正确；举例 ，可知C不正确；求出 ，可知D不正确.
【详解】对于A，向量 在向量 上的投影为 ，投影向量为 ，故A正确；
对于B，若 ，则 ，则 ，
因为 ，所以 ，故B正确；
对于C，若 ，则满足 ， ，但 不一定共线，故C不正确；
对于D，已知 ， ，则 ，故D不正确.
故选：AB.
10．已知 是虚数单位， 是复数，则下列叙述正确的是（ ）
A．
B．若复数 ，则 为纯虚数的充要条件是
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5C． 是关于 的方程 的一个根
D．若 ，则在复平面内 对应的点 的集合确定的图形面积为
【答案】AC
【分析】A选项，设 ，计算出 ；B选项，根据纯虚数的概念得到 且
；C选项，代入计算即可；D选项，由 得到 ，得到对应的点 的集合确定的图形是单
位圆及其内部，求出面积.
【详解】A选项，设 ，于是 ，
，
，
，
故 ，A选项正确；
B选项，根据复数的概念，复数 ，
则 为纯虚数的充要条件是 且 ，B选项错误；
C选项， ，
故 是关于 的方程 的一个根，C选项正确，
D选项，若 ，设 ， ，
则在复平面内 对应的点 的集合确定的图形是单位圆及其内部，面积为 ，D选项错误；
故选：AC
11．设 ，函数 在区间 上有零点，则 的值可以是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】化简得到 ，根据 得到 ，从而得到 ，
求出答案.
【详解】 ，
因为 ， ，所以 ，
要想 区间 上有零点，
则 ，解得 ，
故 的值可以是 ， ；
故选：BD
12．下列命题正确的是（ ）
A．已知幂函数 在 上单调递增，则
B．函数 有两个零点，一个大于0，一个小于0的一个必要不充分条件是
C．已知函数 ，若 ，则 的取值范围为
D．已知函数 满足 ， ，且 与 的图象的交点坐标依次为
，则
【答案】AD
【分析】直接利用幂函数的定义，二次函数的性质，函数的定义域和值域的关系，函数的图象的对称性判
断A、B、C、D的结论．
【详解】对于A，幂函数 在 上单调递增，则 且 ，求得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 7，故A正确；
对于B：若 ，可得函数 满足 ，可得 的零点一个大于
0，一个小于0，
若函数 有两个零点，一个大于0，一个小于0，
则 ，即 ，不能推出 ，
故 是函数 有两个零点，一个大于0，一个小于0的充分不必要条件，故B错
误；
对于C：由 得： ，则函数 的定义域为 ，
故 ，至少满足 ，即 ，故C错误；
对于D：函数 满足 ，函数 的图象关于 对称，
函数 的图象关于 对称，
所以 ， ，
则 ，故D正确．
故选：AD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数 ．若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题意可得 ，利用基本不等式求出 ，然后解不等式 可求出
的取值范围.
【详解】因为 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 ，
因为存在 ，使得 成立，
所以只要 ，即 ，得 或 ，
所以 的取值范围为 .
14．已知函数 ，其导函数 的图象经过点 ， ，如图所示，则下列说
法中正确结论的序号为 ．
①当 时函数取得极小值；
② 有两个极值点；
③当 时函数取得极小值；
④当 时函数取得极大值．
【答案】②③④
【分析】由导函数的图象判断出函数 的单调性，从而得到极值的情况，即可得到正确答案.
【详解】由图象可知，当 时， ；当 时， ；当 时，
.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 9所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数 有两个极值点，当 时函数取得极大值，当 时函数取得极小值，
故①错误，②③④正确.
故答案为：②③④
15．已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，若函数
恰有两个零点，则实数 的取值范围是 .
【答案】 或
【分析】根据两个函数 与 的图象只有一个交点，结合函数的奇偶性即可求解.
【详解】由于 有两个零点，即 在 有两个实数根，
是定义在 上的奇函数， 是定义在 上的奇函数,
所以 在 有唯一的实数根，即 在 有唯一的实数根，
记 ， ，开口向下，对称轴为 ，
作出 的图象如下:
由图可知：当 或 时， 与 的图象只有一个交点，
故 或
故答案为： 或
16．在锐角 中，角 所对的边为 ，若 ，且 ，则
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 10的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用正弦定理边化角可求得 ，得到 ；利用正弦定理和余弦定理角化边可求得 ；
利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换知识可将所求式子化为 ，结合 的范围，由正弦型
函数值域求法可求得结果.
【详解】由 得： ，
，又 ， ， ，
又 ， ，
则由 得： ，
，解得： ；
由正弦定理得： ，
；
， ， ， ，
，即 的取值范围为 .
故答案为： .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 11四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．已知 和 均为实数，其中 是虚数单位.
(1)求复数z；
(2)若 对应的点在第四象限，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）计算出 ， ，根据两者均为实数列出方程组，求出 ，得到答案；
（2）化简得到 ，从而根据所在象限得到不等式组，求出实数m的取值范围.
【详解】（1） ，
，
，
由题意， ，可得 ，则
（2） ，
由题意， ，解得 或 .
实数 的取值范围是 .
18．已知函数 ．
(1)求 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 12(2)将函数 的图象向左平移 个单位长度后，得到 的图象，求 在 上的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把 代入 直接计算即可；
（2）先化简为 ，再根据平移可得 ，由 可得
，结合余弦函数的性质即可求解.
【详解】（1） ；
（2）
，
图象向左平移 个单位长度，得到 的图象，
，
， ，
的值域为 .
19．如图，在平行四边形 中， ， ， ，点 是 的中点，连接 ，记
它们的交点为点 ，设 ， ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 13(1)用 表示 ；
(2)求 的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的加法法则容易得出 ，然后求出 的比值即可；（2）根据
与夹角公式进行求解.
【详解】（1）不难得出 是一对相似三角形，且 ，故 ，即 ，
根据向量的加法法则，∴
（2）由 ， ，
于是 ，∴
又 ，
∴
20．某蔬菜基地种黄瓜，从历年市场行情可知，从二月一日起的 天内，黄瓜市场售价 （单位：元/千
克）与上市时间（第 天）的关系可用如图所示的一条折线表示，黄瓜的种植成本 （单位：元/千克）与
上市时间的关系可用如图所示的抛物线表示．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 14(1)写出图表示的市场售价与上市时间的函数关系式 及图表示的种植成本与上市时间的函数关系式
；
(2)若认定市场售价减去种植成本为纯收益，则何时上市能使黄瓜纯收益最大？
【答案】(1) ，
(2)从二月一日开始的第 天上市，能使黄瓜纯收益最大
【分析】（1）采用待定系数法假设一次函数和二次函数解析式，代入已知点即可求得结果；
（2）收益为 ，结合二次函数最值可求得结果.
【详解】（1）当 时，设 ，则 ，解得： ，
；
当 时，设 ，则 ，解得： ，
；
综上所述： ；
设 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 15，解得： ， .
（2）设从二月一日起的第 天的纯收益为 ，由题意知： ，
即
当 时， ，
当 时， 在区间 上取得最大值 ；
当 时， ，
当 时， 在区间 上取得最大值 ；
综上可知：当 时， 取得最大值，最大值为 ，
即从二月一日开始的第 天上市，能使黄瓜纯收益最大．
21．记 的内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求 ；
(2)若 是 上一点， 为角 的平分线，求 ．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）由正弦定理边化角，可得 ，化简整理可得 ，
即有 ，根据 的范围，即可得出答案；
（2）根据余弦定理求出a，再根据 ，以及三角形的面积公式，列出方程，求出 即
可.
【详解】（1）由题意结合正弦定理，可得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 16所以 ，
即 ，
整理，可得 .
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
（2）由题可得在 中， ， ， ， ，
所以 ，解得 ，则 ，
又因为 为角 的平分线， ，
所以 ，
即 ，
所以 .
22．已知函数 .
(1)若 在 恒成立，求a的取值范围；
(2)若 ，求证：函数 的图象在函数 图象的下方.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）分离参数，构造函数 ，利用导数求出函数最小值即可求解；
（2）构造 ，利用导数法求出函数 的最小值大于零，即可得证.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 17【详解】（1）当 时， ，因为 在 恒成立，
所以 在 恒成立，记 ，则 ，
，令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 时，函数 取得最小值 ，所以 ，即 ；
（2）当 时， ，定义域为 ，
令 ，
则 ，
令 ，则 ，当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 时，函数 取得最小值 ，
所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
所以函数 的图象在函数 图象的下方，得证.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 18
