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第 04 讲 基本不等式及其应用
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·四川成都·三模）设 为正项等差数列 的前 项和．若 ，则 的最小值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由等差数列的前 项和公式，可得 ，可得 ，
又由 且 ，
所以 ，当且仅当
时，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：D.
2．（2023·北京房山·统考二模）下列函数中，是偶函数且有最小值的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对A，二次函数 的对称轴为 ，
不是偶函数，故A错误；
对B，函数 的定义域为 ，
定义域不关于原点对称，所以不是偶函数，故B错误；
对C， ，
定义域为 ，所以函数 是偶函数，
结合三角函数的性质易判断函数 无最小值，故C错误；
对D， ，定义域为 ，
所以函数 是偶函数，因为 ， ，
学科网（北京）股份有限公司 1所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以函数 有最小值 ，故D正确.
故选：D
3．（2023·海南海口·校联考模拟预测）若正实数 ， 满足 ．则 的最小值为（ ）
A．12 B．25 C．27 D．36
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，
所以， 的最小值为27．
故选：C
4．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知实数 满足 ，则
的最小值是（ ）
A．5 B．9 C．13 D．18
【答案】B
【解析】由 ，可得 ，所以 ，
即 ，且 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：B.
5．（2023·湖南长沙·长郡中学校考一模）已知 ，则m，n不可能满足的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 ，即 ，即
.
学科网（北京）股份有限公司 2对于 A， 成立.
对于 B， ，成立.
对于 C， ，即 .故C错误；
对于 D， 成立.
故选：C.
6．（2023·浙江杭州·统考二模）已知 ， ，且 ，则ab的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】C
【解析】∵ ，
∴ ，即：
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，当且仅当 即 时取等号，
即： ，当且仅当 时取等号，
故 的最小值为16.
故选：C.
7．（2023·河南安阳·统考三模）已知 ，则下列命题错误的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 的最小值为4
C．若 ，则 的最大值为2
D．若 ，则 的最大值为
【答案】D
【解析】∵ ，∴ ，∴ ，故A正确；
若 ，则 ，
当且仅当 时等号成立，故B正确；
学科网（北京）股份有限公司 3若 ，则 ，当且仅当 时等号成立，故C正确；
若 ，则 ，即 ，当且仅当 时等号成立，故D错误.
故选：D.
8．（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）当 ， 时， 恒成立，则m
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当 ， 时， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最大值为 ．
所以 ，即 ．
故选：A.
9．（多选题）（2023·全国·模拟预测）已知实数a，b满足 ，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C．若 ，则 D．
【答案】BC
【解析】A选项： ，由于函数 在R上单调递增，则 ，即 ，
已知 ，即 ，若取 ， ，则 ，故A错误.
B选项：因为 ， ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，故B正确.
C选项：若 ，则 ，且 ，
学科网（北京）股份有限公司 4，由于函数 在 上单调递增，
所以 ，即 ，故C正确.
D选项：令 ， ，则 ，故D错误.
故选：BC.
10．（多选题）（2023·云南玉溪·统考一模）已知 ，且 则下列结论一定正确的有
（ ）
A． B．
C．ab有最大值4 D． 有最小值9
【答案】AC
【解析】A选项， ，A正确；
B选项，找反例，当 时， ， ， ，B不正确；
C选项， ， ，当且仅当 时取“=”，C正确；
D选项， ，D不正确.
故选：AC.
11．（多选题）（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．若 且 ，则 ， 至少有一个大于2
B． ，
C．若 ， ，则
D． 的最小值为2
【答案】AC
【解析】对于A,若 ， 均不大于2，则 ，则 ，故 ，则 ， 至少有一个大
于2为真命题，故A正确，
对于B, B. ， ，故 B错误，
对于C,由 得 ，由 得 ，所以 ，故C正确，
对于D，由于 ，函数 在 单调递增，故 ，
学科网（北京）股份有限公司 5D错误，
故选:AC
12．（多选题）（2023·云南曲靖·统考模拟预测）若实数 满足 ，则（ ）
A． 且 B． 的最大值为
C． 的最小值为7 D．
【答案】ABD
【解析】由 ，可得 ，所以 且 ，故A正确；
由 ，可得 ，即 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 的最大值为 ，故B正确；
，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为9，故C错误；
因为 ，则 ，
所以 ，故D正确.
故选：ABD.
13．（2023·上海浦东新·统考二模）函数 在区间 上的最小值为_____________．
【答案】 ．
【解析】 ，
因为 ，所以 ，故 ，
故 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故答案为：
14．（2023·上海长宁·统考二模）某小学开展劳动教育，欲在围墙边用栅栏围城一个2平方米的矩形植物
学科网（北京）股份有限公司 6种植园，矩形的一条边为围墙，如图．则至少需要___________米栅栏．
【答案】
【解析】设矩形植物种植园的宽、长为 ，
所以 ，
则 ，当且仅当“ ”时取等.
故至少需要 米栅栏．
故答案为： ．
15．（2023·全国·模拟预测）已知 ， ， ，写出满足“ ”恒成立的正实数 的
一个范围是______（用区间表示）．
【答案】 （答案不唯一，是 的子集即可）
【解析】由题意可知 ，当且仅当 时取得等号，
所以 恒成立，故正实数 的一个范围可以为 （答案不唯一，是 的子集即可）．
故答案为：
16．（2023·浙江·二模）若 ，则 的取值范围是______.
【答案】
【解析】由 可得 ，
而 ，当且仅当 时，等号成立，
即 ，解得 ，
由 可知 ，
所以 ，
令 ，则 ，
函数 在 单调递增，在 单调递减
学科网（北京）股份有限公司 7故 ，
即 的取值范围是 ，
故答案为：
1．（2022•上海）若实数 、 满足 ，下列不等式中恒成立的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
又 ，所以 ，故 正确， 错误，
，当且仅当 ，即 时取等号，故 错误，
故选： ．
2．（2021•乙卷）下列函数中最小值为4的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】对于 ， ，
所以函数的最小值为3，故选项 错误；
对于 ，因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
因为 ，所以等号取不到，
所以 ，故选项 错误；
对于 ，因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以函数的最小值为4，故选项 正确；
学科网（北京）股份有限公司 8对于 ，因为当 时， ，
所以函数的最小值不是4，故选项 错误．
故选： ．
3．（2020•全国）若 ， ，则 的最大值为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】方法一：由 ， ，消去 得到 ，
令 ， ．则 ，即 ， ，当且仅当 时，等号成立，故 的
最大值为 ．
故选： ．
方法二：由 ， ，可消去 得到 ，则 ，令 ，
， 当 时， ，故 的最大值为 ．
故选： ．
4．（2020•上海）下列不等式恒成立的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】 ．显然当 ， 时，不等式 不成立，故 错误；
． ， ， ，故 正确；
．显然当 ， 时，不等式 不成立，故 错误；
．显然当 ， 时，不等式 不成立，故 错误．
故选： ．
5．（多选题）（2020•山东）已知 ， ，且 ，则
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】①已知 ， ，且 ，所以 ，则 ，故 正确．
学科网（北京）股份有限公司 9②利用分析法：要证 ，只需证明 即可，即 ，由于 ， ，且 ，所
以： ， ，故 正确．
③ ，故 错误．
④由于 ， ，且 ，
利用分析法：要证 成立，只需对关系式进行平方，整理得 ，即 ，故
，当且仅当 时，等号成立．故 正确．
故选： ．
6．（2023•上海）已知正实数 、 满足 ，则 的最大值为 ．
【答案】 ．
【解析】正实数 、 满足 ，则 ，当且仅当 ， 时等号
成立．
故答案为： ．
7．（2021•天津）已知 ， ，则 的最小值为 ．
【答案】 ．
【解析】法一： ， ， ，
当且仅当 且 ，即 时取等号，
的最小值为 ，
法二： ， ，
，
当且仅当 ，即 时取等号，
的最小值为 ，
故答案为： ．
8．（2021•上海）已知函数 的最小值为5，则 ．
学科网（北京）股份有限公司 10【答案】9
【解析】 ，
所以 ，经检验， 时等号成立．
故答案为：9．
9．（2020•天津）已知 ， ，且 ，则 的最小值为 ．
【答案】4
【解析】 ， ，且 ，则 ，
当且仅当 ，即 ， 或 ， 取等号，
故答案为：4
10．（2020•江苏）已知 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【解析】方法一、由 ，可得 ，
由 ，可得 ， ，
则
，当且仅当 ， ，
可得 的最小值为 ；
方法二、 ，
故 ，
当且仅当 ，即 ， 时取得等号，
可得 的最小值为 ．
故答案为： ．
学科网（北京）股份有限公司 11
