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高考仿真重难点训练 08 数列
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1．记等差数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A．60 B．80 C．140 D．160
2．若数列 的前 项和 ，则 等于（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
3．若数列 是公比为 的等比数列，且 ， ，则 的值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
4．设 是等差数列，下列结论中正确的是（ ）
A．若a +a >0，则a +a >0 B．若 ，则
1 2 2 3
C．若0√a a D．若 ，则(a −a )(a −a )<0
1 2 2 1 3 2 1 4 1
5．数列{a }是等差数列， 是数列{a }的前 项和， 是正整数，甲： ，乙：
n n
，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．在数列 中，已知 ， ，则它的前30项的和为（ ）
A． B． C． D．
7．某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下
规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为 ），再沿直线繁
殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖
过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O开始，沿直线繁殖到 ，然后分叉向 与 方向继续繁殖，其中 ，且 与 关于 所在直线对称，
….若 ，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r（
，单位： ）至少为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．数列 中， ， ，记 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知数列 的前 项和为 ，且 ，则下列判断正确的是（ ）
A．
B．当 为奇数时，
C．当 为偶数时，
D．数列 的前 项和等于10．已知数列 对任意的整数 ，都有 ，则下列说法中正确的有（ ）
A．若 ，则
B．若 ， ，则
C．数列 可以是等差数列
D．数列 可以是等比数列
11．记数列 的前n项和为 ，则下列说法错误的是（ ）
A．若存在 ，使得 恒成立，则必存在 ，使得 恒成立
B．若存在 ，使得 恒成立，则必存在 ，使得 恒成立
C．若对任意 ， 恒成立，则对任意 ， 恒成立
D．若对任意 ， 恒成立，则对任意 ， 恒成立
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知数列 中， ，且 是递增数列，则实数a的取值范围为 ．
13．若数列 满足对任意整数 有 成立，则在该数列中小于100的项一共有 项．
14．“ 序列”在通信技术中有着重要应用，该序列中的数取值于 或1.设 是一个有限“
序列”， 表示把 中每个 都变为 ，每个0都变为 ，每个1都变为0，1，得到新的有序实
数组.例如： ，则 .定义 ， ，若 中1
的个数记为 ，则{b }的前10项和为 .
n四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15．数列 满足 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前n项和．
16．已知数列 满足 .
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)设 ，求 的前n项和 .17．已知数列 是等差数列， ，且 ， ， 成等比数列， ，数列
的前n项和为
(1)求数列 的通项公式及数列 的前n项和
(2)是否存在正整数m，n（ ），使得 ， ， 成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若
不存在，请说明理由.
18．已知 是等差数列，其前 项和为 是等比数列，已知 ， 是 和 的等
比中项.
(1)求 和 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ；
(3)记 ，求证： .19．进位制是人们为了计数和计算方便而约定的记数方式，通常“满二进一，就是二进制；满八进一，就
是八进制；满十进一，就是十进制……；满几进一，就是几进制”．
我们研究的正整数通常是十进制的数，因此，将正整数 的各位上的数字分别记为 ，则
表示为关于10的 次多项式，即 ，其中
， ，记为 ，简记为 ．
随着计算机的蓬勃发展，表示整数除了运用十进制外，还常常运用二进制、八进制等等．更一般地，我们可类似给出 进制数定义．
进制数的定义：给出一个正整数 ，可将任意一个正整数 ，其各位上的数字分别记为
，则 唯一表示为下列形式： ，其中
， ，并简记为 ．
进而，给出一个正整数 ，可将小数 表示为下列形式：
，其中
， ，并简记为
．
(1)设 在三进制数下可以表示为 ， 在十进制数下可以表示为 ，试分别将 转
化成十进制数， 转化成二进制数；
(2)已知数列{a }的前 项和为 ，且满足 ， ，数列{b }满足，当 时，
n n
；
①当 时，求数列{b }的通项公式；
n
②证明：当 时， ．
