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高考仿真重难点训练 08 数列
一、单选题
1．记等差数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A．60 B．80 C．140 D．160
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出等差数列 的公差及首项，再利用前n项和公式计算即得.
【解析】等差数列 中， ，而 ，则 ，
公差 ， ，
所以 .
故选：C
2．若数列 的前 项和 ，则 等于（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【分析】根据 与 关系求解即可.
【解析】 .
故选：C.
3．若数列 是公比为 的等比数列，且 ， ，则 的值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，可得 ，利用对数运算及等比数列性质求出 .
【解析】数列 中，由 ，知 ，则 ，又 ，于是 ，而 ，
所以 .
故选：A
4．设 是等差数列，下列结论中正确的是（ ）
A．若a +a >0，则a +a >0 B．若 ，则
1 2 2 3
C．若0<a <a ，则a >√a a D．若 ，则(a −a )(a −a )<0
1 2 2 1 3 2 1 4 1
【答案】C
【分析】设{a }的公差为 ，根据公差 的正负不确定可判断AB；根据等差中项、基本不等式可判断C；
n
利用等差数列通项公式可判断D.
【解析】设{a }的公差为 ，
n
对于A，∵a +a =2a +d>0,∴a +a =2a +d+2d，
1 2 1 1 3 1
因为公差 的正负不确定，所以2a +3d的正负不确定，故A错误；
1
对于B，∵a +a =2a +2d<0,∴a +a =2a +2d−d，
1 3 1 1 2 1
因为公差 的正负不确定，所以2a +d的正负不确定，故B错误；
1
对于C，a +a =2a ，所以2a =a +a ≥2√a a ，∴a ≥√a a
1 3 2 2 1 3 1 3 2 1 3
又∵a >a ，故不存在a =a =a 使原式取等情况，∴a >√a a ，故C正确；
2 1 1 2 3 2 1 3
对于D， 若 ，则(a −a )(a −a )=(a +d−a )(a +3d−a )=3d2≥0，
2 1 4 1 1 1 1 1
所以(a −a )(a −a )≥0，故D错误.
2 1 4 1
故选：C.
5．数列{a }是等差数列， 是数列{a }的前 项和， 是正整数，甲： ，乙：
n n
，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】利用等差数列的性质、充分条件、必要条件求解．
【解析】数列 是等差数列， 是数列 的前 项和， ， ， ， 是正整数，
甲： ，乙： ，
则甲不能推出乙，
例如等差数列1，2，3，4，5， ，中，
， ， ， ， ，
，但 ，即充分性不成立；
乙不能推出甲，
例如等差数列1，2，3，4，5， ，中，
， ， ， ， ，
，但 ，即必要性不成立，
甲是乙的不充分不必要条件．
故选：D．
6．在数列 中，已知 ， ，则它的前30项的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得 ，运用数列的恒等式可得 ，再由数列的裂项相消求和，计算
可得所求和．
【解析】解：由 ，
可得 ，
所以当 时， ，又 ，
所以 ，
所以 ．
故选：D．
7．某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下
规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为 ），再沿直线繁
殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖
过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O开始，沿直线繁殖到 ，然后分叉
向 与 方向继续繁殖，其中 ，且 与 关于 所在直线对称，
….若 ，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r（
，单位： ）至少为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】根据黏菌的繁殖规律可得每次繁殖在 方向上前进的距离，结合无穷等比递缩数列的和的计算
公式，即可判断答案.
【解析】由题意可知， ，只要计算出黏菌沿直线一直繁殖下去，在 方向上的距离的范围，即可确定培养皿的半径的范围，
依题意可知黏菌的繁殖规律，由此可得每次繁殖在 方向上前进的距离依次为：
，
则 ，
黏菌无限繁殖下去，每次繁殖在 方向上前进的距离和即为两个无穷等比递缩数列的和，
即 ，
综合可得培养皿的半径r（ ，单位： ）至少为8cm，
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题考查了数列的应用问题，背景比较新颖，解答的关键是理解题意，能明确黏菌
的繁殖规律，从而求出每次繁殖在 方向上前进的距离的和，结合等比数列求和即可.
8．数列 中， ， ，记 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据 ，即可累加求解 由 即可累乘求解 ，即可判定AB,利
用 可得 ，即可求解CD.
【解析】由 可得 ，
由于 ，所以 ，故 ，故
，
又 可得 ，
因此 ，
故 ，故AB错误，
又 ，又因为 ，则等号无法取到，
故 ，
由于 故 ，因此
，故C正确，D错误，
故选：C
【点睛】关键点点睛：将 变形为 和 ，即可累加以及累乘求解
.
二、多选题
9．已知数列 的前 项和为 ，且 ，则下列判断正确的是（ ）A．
B．当 为奇数时，
C．当 为偶数时，
D．数列 的前 项和等于
【答案】BCD
【分析】根据题意，得到 为奇数时， ，可判定B正确；当 为偶数时， ，所以所以A
错误，C正确；由 ，求得数列 的前 项和，可判定D正确．
【解析】由 ，可得 ， ，
当 为奇数且 时， ，其中 符合，
所以当 为奇数时， ，所以B正确；
当 为偶数时， ，所以A错误，C正确；
又由 ， ，
所以数列 的前 项和为
，所以D正确．
故选：BCD.10．已知数列 对任意的整数 ，都有 ，则下列说法中正确的有（ ）
A．若 ，则
B．若 ， ，则
C．数列 可以是等差数列
D．数列 可以是等比数列
【答案】BC
【分析】利用赋值，递推式以及假设法，即可逐一选项进行判断.
【解析】若 ，
当 时， ，
解得 ，故A错；
若 ， ，
当 时， ，
解得 ，
当 时， ，
解得 ，
，
根据递推关系可知，
当 为奇数，即 时，
，故B正确；
若 ，则 成立，
故数列 可以是等差数列，即C正确；
若数列 是等比数列，假设公比为 ，
则由 ，
得 ，
两式相除得， ，
即 ，
解得 ，不符合题意，
则假设不成立，故D错.
故选：BC
11．记数列 的前n项和为 ，则下列说法错误的是（ ）
A．若存在 ，使得 恒成立，则必存在 ，使得 恒成立
B．若存在 ，使得 恒成立，则必存在 ，使得 恒成立
C．若对任意 ， 恒成立，则对任意 ， 恒成立
D．若对任意 ， 恒成立，则对任意 ， 恒成立
【答案】BCD
【分析】由两个数的差的绝对值小于等于两个数的绝对值之和结合已知可得A正确；举反例令 ，
可判断BD错误；举反例令 可得C错误（注意题目中让选错误的）.【解析】对A：若 恒成立，则 ， ，故A正确；
对B、D：反例为 ， ，故B、D错误；
对C：反例为 ，故C错误．
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：对于抽象数列题，可用排除法快速选择，较为简便快捷.
三、填空题
12．已知数列 中， ，且 是递增数列，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由 恒成立，可得 ，求得 的最大值即可.
【解析】 恒成立，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，∴ ．
∴实数 的取值范围为 .
故答案为： .
13．若数列 满足对任意整数 有 成立，则在该数列中小于100的项一共有 项．
【答案】
【分析】根据 与 的关系求出数列 的通项，再令 即可得解.
【解析】设数列 的前 项和为 ，则 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时，上式也成立，
所以 ，
令 ，则 ，
所以在该数列中小于100的项一共有 项.
故答案为： .
14．“ 序列”在通信技术中有着重要应用，该序列中的数取值于 或1.设 是一个有限“
序列”， 表示把 中每个 都变为 ，每个0都变为 ，每个1都变为0，1，得到新的有序实
数组.例如： ，则 .定义 ， ，若 中1
的个数记为 ，则{b }的前10项和为 .
n
【答案】
【分析】设 中有 项为0，其中1和 的项数相同都为 ，由已知条件可得 ①，
②，进而可得 ③，再结合 ④，可得
，分别研究 为奇数和偶数时{b }的通项公式，运用累加法及并项求和即可得到结果.
n
【解析】因为 ，依题意得， ， ，
显然， 中有2项，其中1项为 ，1项为1， 中有4项，其中1项为 ，1项为1，2项为0， 中有8
项，其中3项为 ，3项为1，2项为0，由此可得 中共有 项，其中1和 的项数相同，
设 中有 项为0，1和 的项数相同都为 ，所以 ， ，
从而 ①，
因为 表示把 中每个 都变为 ，每个0都变为 ，每个1都变为0，1，
得到新的有序实数组，
则 ②，
① ②得 ③，
所以 ④，
④ ③得 ，
所以当 为奇数且 时， ，
经检验，当 时符合，所以 ( 为奇数)，
当 为偶数，则 为奇数，又因为 ，
所以 ，
所以 ，
当 为奇数时， ，
所以{b }的前10项和为 .
n
故答案为：
【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：
（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转化为数学语言；
（3）将已知条件代入新定义的要素中；
（4）结合已学数学知识进行解答.
四、解答题
15．数列 满足 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前n项和．
【答案】(1)
(2) ．
【分析】（1）利用累加法结合等差数列求和公式即可得解；
（2）直接用裂项相消法即可求解.
【解析】（1）因为 ，所以 ，
又
因此 是以 为首项，1为公差的等差数列，
设 的前n项和为 ，则 ，
又由 ，
得 ， ，
当 时，经检验也满足 ，∴ ．
（2） ．因此
．
16．已知数列 满足 .
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)设 ，求 的前n项和 .
【答案】(1)证明见解析
(2) ．
【分析】（1）利用等差数列的定义即可证明；
（2）根据（1）问，求出数列 的通项公式，从而求得数列 的通项公式，进而可求得数列 的通
项公式，最后利用裂项相消求和法求得
【解析】（1）证明：令 ，又 ，则有
，又 ，所以
所以数列 是以1为首项，1为公差的等差数列
（2）由（1）知， ，
又 ，所以 ，
所以 ，
所以
17．已知数列 是等差数列， ，且 ， ， 成等比数列， ，数列
的前n项和为
(1)求数列 的通项公式及数列 的前n项和
(2)是否存在正整数m，n（ ），使得 ， ， 成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若
不存在，请说明理由.
【答案】(1) ，(2)存在， ，
【分析】（1）设出公差，得到方程组，求出公差，得到通项公式，并利用错位相减法求和；
（2）假设存在正整数m，n（ ），使得 ， ， 成等比数列，得到方程，得到
，求 范围，即得结论.
【解析】（1）由题意在等差数列{a }中，设公差为d，
n
由 ，得 ，则 ，
又 ， ， 成等比数列，
∴7， ， 成等比数列，得 ，
即 ，得 ，
∴ ， ，
∴数列{a }的通项公式为： （ ）．
n
∴ ，
∴
.
（2）若存在正整数m，n（ ），使得 ， ， 成等比数列，
则 ，即 ，
化简得： ，解得：又 且 ，所以 ， ，
故存在正整数 ， ，使得 ， ， 成等比数列.
18．已知 是等差数列，其前 项和为 是等比数列，已知 ， 是 和 的等
比中项.
(1)求 和 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ；
(3)记 ，求证： .
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由 求出 ，利用又 是 和 的等比中项、 求出 ；
（2）利用错位相减法求出 ；
（3）利用放缩法求和可得答案.
【解析】（1）由题意 ，
，
又 是 和 的等比中项，得 ，
又 ，解得 ，
；（2） ，
设 ，
则 ，
将以上两式相减得
，
；
（3）
，
，
.
结论得证.
19．进位制是人们为了计数和计算方便而约定的记数方式，通常“满二进一，就是二进制；满八进一，就是八进制；满十进一，就是十进制……；满几进一，就是几进制”．
我们研究的正整数通常是十进制的数，因此，将正整数 的各位上的数字分别记为 ，则
表示为关于10的 次多项式，即 ，其中
， ，记为 ，简记为 ．
随着计算机的蓬勃发展，表示整数除了运用十进制外，还常常运用二进制、八进制等等．更一般地，我们
可类似给出 进制数定义．
进制数的定义：给出一个正整数 ，可将任意一个正整数 ，其各位上的数字分别记为
，则 唯一表示为下列形式： ，其中
， ，并简记为 ．
进而，给出一个正整数 ，可将小数 表示为下列形式：
，其中
， ，并简记为
．
(1)设 在三进制数下可以表示为 ， 在十进制数下可以表示为 ，试分别将 转
化成十进制数， 转化成二进制数；
(2)已知数列{a }的前 项和为 ，且满足 ， ，数列{b }满足，当 时，
n n；
①当 时，求数列{b }的通项公式；
n
②证明：当 时， ．
【答案】(1) ，
(2)① ②证明见解析
【分析】（1）直接使用进制表示的定义即可；
（2）①利用数学归纳法求得 ，再用进制表示的定义得到 ，
②利用通项公式直接证明 即可.
【解析】（1）由于 ， ，
故 的十进制表示是 ， 的二进制表示是 .
（2）①由于 ，故 .
用数学归纳法证明： .
当 时，结论显然成立；
假设结论对正整数 均成立，考虑 的情况.
此时 ，
所以结论对 也成立.
由数学归纳法可知 对任意正整数 成立.
当 时，由已知有.
所以所求的通项公式为 .
② .
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对进制表示定义的理解.
