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阶段性检测 1.3（难）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解不等式得集合P，计算函数的定义域得集合Q，再计算两个集合的交集.
【详解】解不等式 得 ，又因为 ，则集合 ，
因为 在函数中作真数，所以 ，得 ，集合 ，
得 .
故选：B.
2．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断
【详解】当 时， 或 ，
当 时， ，得 ，所以 ，
所以 时， 不一定成立，而 时， 一定成立，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，
故选：B
3．若命题“ ， ”是真命题，则实数m的取值范围是（ ）．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据全称命题为真命题可得 ，即可求得实数m的取值范围.
【详解】由“ ， ”是真命题可知，
不等式 恒成立，因此只需
易知函数 在 上的最小值为1，所以 .
即实数m的取值范围是 .
故选：B
4．已知一元二次不等式 的解集为 ，则 的最大值为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】A
【分析】先根据一元二次不等式的解集求参，再结合基本不等式求最值即可.
【详解】 的解集为 ，故 为方程 的两个根，
且 （当且仅当 时等号成
立）.
故选：A.
5．已知函数 在区间 上存在单调递增区间，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2【分析】分析可知，存在 ，使得 ，由参变量分离法可得 ，求出函数
在 上的最小值，即可得出实数 的取值范围.
【详解】因为 ，则 ，
因为函数 在区间 上存在单调递增区间，则存在 ，使得 ，
即 ，可得 ，设 ，
因为函数 、 在 上均为增函数，则函数 在 上为增函数，
当 时， ，故 .
故选：B.
6．已知函数 ，记 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用作差法比较自变量与1的差的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令 ，则 开口向上，对称轴为 ，且 ，
又 ，
而 ，
所以 ，即 ，
所以由二次函数的性质得 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3因为 ，
又 ，
所以 ，即 ，
所以由二次函数的性质得 ，
综上， ，
因为 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，即 .
故选：B.
7．设 ，则对任意实数 ，“ ”是“ ”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】先判断函数为奇函数且单调递增，再分别判断充分性和必要性得到答案.
【详解】 定义域为 ，
，函数为奇函数
易知： 在 上单调递增，
且
故 在 上单调递增
当 时， ，充分性；
当 时，即 ，必要性；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4故选：
【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性，充分必要条件，意在考查学生的综合应用能力.
8．定义:设A是非空实数集，若 ，使得 ，都有 ，则称a是A的最大（小）值.若B
是一个不含零的非空实数集，且 是B的最大值，则（ ）
A．当 时， 是集合 的最小值
B．当 时， 是集合 的最大值
C．当 时， 是集合 的最小值
D．当 时， 是集合 的最大值
【答案】D
【分析】集合的新定义问题，依据题目进行判定即可.
【详解】当 时， 是集合B中最小的正数，但B中还有负数的存在，
所以 既不是集合 中最大，也不是最小；
当 时，集合B中的任意元素 ，从而 ，
所以 ， 是集合 最大值.
故选：D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列说法中正确的是（ ）
A．若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
B．若 ，则 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5C．函数 的值域为
D． 在 上单调递减
【答案】BC
【分析】利用抽象函数定义域的求解原则可判断A选项；利用换元法求函数 的解析式，可判断B选
项；利用指数函数与二次函数的基本性质求出函数 的值域，可判断C选项；利用反比例型函
数的单调性可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为函数 的定义域为 ，
对于函数 ，则 ，解得 ，即函数 的定义域为 ，A错；
对于B选项，若 ，令 ，可得 ，
所以， ，其中 ，
所以， ， ，B对；
对于C选项，因为 ， ，
即函数 的值域为 ，C对；
对于D选项，函数 的减区间为 、 ，
但函数 在 上不单调，D错.
故选：BC.
10．已知函数 （ ），则（ ）
A．对任意的 ，函数 都只有1个零点
B．当 时，对 ，都有 成立
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6C．当 时，方程 有4个不同的实数根
D．当 时，方程 有3个不同的实数根
【答案】BCD
【分析】作出选项所对应的函数图象，利用数形结合逐一判断即可.
【详解】对于选项A，作出 和 的图象，如图所示：
当 时，函数 都有2个零点，故A错误；
对于选项B，当 时，函数 在 上单调递增，
则对 ，都有 成立，故B正确；
对于选项C，当 时，令 ，则 ，解得 ， ，
当 时，方程有两个解，当 时方程有两个解，所以方程 有4个不同的实数根，
故C正确；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 7对于选项D，当 时，方程 的根为 的根，
令 ，作出 ， 的函数图象，可知函数 ， 有三个交点，其中包括 ，即
方程 有3个不同的实数根，故D正确，
故选： .
【点睛】方法点睛：对于求嵌套函数 的零点个数问题的基本方法是利用换元，即令 ，然
后不断分析，层层递进，即可求解.
11．已知 ， ，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最大值是1 B． 的最小值是2
C． 的最小值是3 D． 的最小值是
【答案】ABD
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8【分析】根据基本不等式 ，及条件等式，双变量化成单变量可得答案.
【详解】对于A选项: 因为 ， ，且 ，所以 ，
即 ，当且仅当 时取得等号，解得 ，故A正确.
对于B选项: 因为 ， ，且 ，
所以 ，即 ，当且仅当 时取得等号，解得 ，故
B正确.
对于C选项: 因为 ， ，且 ，所以 ，
所以 ，
.
当且仅当 ，即 时取得等号，等号取不到，故C错误.
对于D选项: 因为 ， ，且 ，所以 ，
所以 ，
，
当且仅当 ，即 时取得等号，故D正确.
故选: ABD.
12．设函数 ，给出下列四个结论正确的是（ ）
A．当 时，函数 有三个极值点
B．当 时，函数 有三个极值点
C． 是函数 的极小值点
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 9D． 不是函数 的极大值点.
【答案】BD
【分析】根据分段函数解析式作出相应图象，利用极值点定义一一判断即可.
【详解】对于A，不妨取 ，此时 ，
作出函数 图像如图：
此时函数有2个极值点 ，故A错误；
对于B，当 时， ，作出函数 的大致图象如图：
在 单调递减，在 单调递增，在 上单调递减，在 单调递增，
此时函数 有3个极值点： ，B正确；
对于C，由A的分析可知， 时， 是函数 的极大值点，C错误；
对于D，由以上分析可知当 时， ，且 为 的对称轴，
此时 为函数 的极小值点，
当 时， ，此时 在 上单调递减，
在 上也单调递减，在 上单调递增，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 10不是函数 的极大值点，
故 不是函数 的极大值点，D正确，
故选：BD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．关于 的不等式 有实数解的一个充分条件是 ．（写出一个满足条件的
的取值范围即可）
【答案】 （答案不唯一）
【分析】先求得 有实数解的等价条件，再利用充分条件与集合的关系即可得解.
【详解】因为 有实数解，
等价于 ，即 ，即 ，即 ，
所以题干所求的一个充分条件只需是 的子集即可，如 等.
故答案为： （答案不唯一）.
14．设 ， ，满足 ，则 .
【答案】 /
【分析】利用对数的运算法则以及换底公式求解.
【详解】由 可知 ，即 ，
由 可知 ，即 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 11消去 得 ，解得 或 （舍去），
当 时 ，所以 ，
故答案为： .
15．已知［x]表示不超过 的最大整数，定义函数 ，则下列结论中正确的序号是 ．
① ②函数 是奇函数
③方程 解集为 ④函数 是周期函数
【答案】①③④
【分析】根据题目中函数的定义，可设函数 ，结合不等关系、奇函数定义，周
期可得答案.
【详解】由题意，设 ，则 ，
对于①，显然 ，则 ，故①正确；
对于②， ，而 ， ，故②错误；
对于③，若 ，则 ，即 ，故③正确；
对于④， ， ，故
， 是周期函数，故④正确.
故答案为：①③④.
16．已知 ， ，记 ，则 的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】设 ， ， ．由题意知， 的最小值可转化为
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 12曲线 上的点 到直线 上的点 的距离的平方的最小值，求解即可.
【详解】设 ， ， ．
由题意知， 的最小值可转化为曲线 上的点 到
直线 上的点 的距离的平方的最小值．
易知，曲线 与直线 没有交点，则
当曲线 在点A处的切线平行于B所在的直线，
且AB连线与直线 垂直时，两点间距离最小．
由 ，得 ，直线 的斜率 ，
令 ，解得 ，则 ，
所以点A到直线 的距离 ，
故M的最小值为 ．
故答案为： .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．已知集合 ， ， 或 .
(1)若 ，求 的取值范围．
(2)若 ，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依据 得出 ，通过对集合 分类讨论解 .
（2）依据并集定义和实数集，解 .
【详解】（1）因为 ，所以 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 13当 时，满足 ，此时 解得 ；
当 时，要使 ，则 解得 .
综上， 的取值范围为 .
（2）因为 ，
所以 解得 .
18．已知函数 满足
(1)求 的解析式；
(2)从下面两个条件中选一个，求实数 的取值范围.
①若“ ”为假命题；②若“ ”为真命题.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用换元法，可得答案；
（2）将问题转化为二次不等式恒成立或有解问题，分情况讨论，可得答案.
【详解】（1）令 ，则 ，即 ，
故 .
（2）若选：①，
由“ ”为假命题，则“ ”为真命题，
不等式 ，整理可得 ，
则问题等价于 在 上恒成立，
当 时，不等式整理为 ，显然成立；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 14当 时，可得 ，由 ，整理可得 ，解得 ，即可得
；
综上所述， .
若选：②，
不等式 ，整理可得 ，
则问题等价于 在 上有解，
当 时，不等式整理为 ，显然不成立；
当 ，即 时，可得 或，则 ，整理可得 ，解得
或 ，即可得 ；
当 ，即 时，令 ，该函数为开口向下的二次函数，则命题显然成立；
综上所述， .
19．一艘船上的某种液体漏到一片海域中，为了治污，根据环保部门的建议，现决定在该片海域中投放一
种与污染液体发生化学反应的药剂，已知每投放 个单位的药剂，它在海水中释放的浓度
（克/升）随着时间 （天）变化的函数关系式近似为 （投放当天 ），其中
若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放
的浓度之和．根据经验，当海水中药剂的浓度不低于6（克/升）时，它才能起到有效治污的作用．
(1)若一次投放2个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？
(2)若第一次投放4个单位的药剂，6天后再投放（第二次投放） 个单位的药剂，要使第二次投放后的5
天（含投放当天）能够持续有效治污，试求 的最小值．
【答案】(1)1天
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 15(2)2
【分析】（1）根据题意得到 ，分类讨论，列出不等式，即可求解；
（2）根据题意，求得当 时， ，转化为 对于 恒成立，
结合基本不等式求得最小值，列出不等式 ，即可求解．
【详解】（1）解：因为 ，所以 ，
①当 时，由 ，解得 ，所以此时 ；
②当 时，由 ，解得 ，所以此时为空集；
综上可得，一次投放 个单位的药剂，则有效治污时间为1天．
（2）解：当 时，
可得 ，
根据题意，可得 对于 恒成立，
因为 ，而 ，所以 ，
由 ，
当且仅当 时， 有最小值为 ，
令 ，解得 ，所以实数 的最小值为 ．
20．已知函数 （ 为正常数），且 ．
(1)求 的解析式；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 16(2)若函数 的值域为 ，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）利用给定的函数值，求出参数 作答.
（2）由（1）求出函数 在 上的取值集合，再利用二次函数性质分段讨论 在 上取
值集合作答.
【详解】（1）依题意， ，由于函数 在 上单调递增，而 ，
因此 ，
所以 的解析式是 .
（2）由（1）知，函数 ，
当 时，函数 单调递增， ，而 的值域为 ，
则当 时， 时， ，函数 在 上的取值集合为 ，又
恒成立，
此时函数 的值域为 ，因此 ，
当 时，函数 在 上单调递增，取值集合为 ，
当且仅当 ，即 时，函数 的值域为 ，因此 ，
所以 的取值范围是 .
【点睛】思路点睛：涉及分段函数值域问题，先求出每一段在各自对应区间上的函数值集合，再求出这些
集合的并集即可.
21．已知函数 且 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 17(1)试讨论 的值域；
(2)若关于 的方程 有唯一解，求 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）由 ，根据 ，分 和 讨论求解；
（2）根据方程 只有一个解，转化为 有唯一解，令
，转化为关于 的方程 有唯一解求解.
【详解】（1）解： ．
因为 ，
所以当 时， ；当 时， ．
故当 时， 的值域为 ；当 时， 的值域为 ．
（2）因为关于 的方程 只有一个解，
所以 有唯一解．
令 ，所以 有唯一解．
关于 的方程 有唯一解，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 18设 ．
当 时， ，解得 ，不符合题意．
当 时， ，所以一定有一个解，符合题意．
当 时， ，解得 ．
当 时，符合题意，当 时，不符合题意．
综上， 的取值范围为 ．
22．已知 ，函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)求证：存在 ，使得直线 与函数 的图像相切．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据函数解析式，明确其定义域并求导，根据二次函数的性质，结合导数与函数单调性的
关系，可得答案；
（2）根据导数的几何意义，建立方程，将其等价于新函数求零点问题，利用导数研究新函数的单调性以
及零点存在性定理，可得答案.
【详解】（1） 的定义域是 ， ，
当 时， 恒成立， 在 单调递增；
当 时，令 ，则 ， 显然成立，
解得： ， ，
当 时， ；当 时， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 19的增区间是 和 ，减区间是 ．
（2） ，则 ，设切点坐标为 ．
由直线 与函数 的图象相切，则 ，解得： ．
显然直线 过原点，则 ，所以 ．
整理得 ，即： ，得： ．
设 ， ．
当 时， ， 递减，当 时， ， 递增．
又 ， ．所以存在 ，使得 ．
存在 ，使得直线 与函数 的图像相切．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 20
