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阶段性检测 1.1（易）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知全集 ，集合 或 ， ，则Venn图中阴影部分表示的集合为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据集合补集以及交集的概念，结合Venn图，即可求得答案.
【详解】集合 或 ，故 ，
由Venn图可知影部分表示的集合为 .
故选：A
2． 在R上是增函数的充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分段函数的单调性，可得a的范围，再由充分必要条件的含义，得解.
【详解】 在R上是增函数，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1则有 ，解得 ，
所以 在R上是增函数的充要条件是 ，
则充分不必要条件要求是 的真子集，只有D选项满足，即 .
故选：D
3．下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】C
【分析】根据不等式的性质，结合举反例的方法，可得答案.
【详解】对于A，若 ，则 ，故A错误；
对于B，若 ， ，则 ，故B错误；
对于C，若 ， ，可得 ，故C正确；
对于D，若 ， ， ，则 ，故D错误.
故选：C．
4．已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数以及对数函数的单调性，即可利用中间值法求解.
【详解】 ，
，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2，
故 ，
故选：B
5．已知函数 ，若 在定义域上恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由 得 在 上恒成立，令 ，求出 的最大值即可求解.
【详解】 的定义域为 ，
由 在定义域上恒成立，得 在 上恒成立，
令 ， ，
令 得 ，
时， ， 单调递增，
时， ， 单调递减，
所以 ，所以 .
故选：A
6．若“ ”是“ ”充分不必要条件，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先解出绝对值不等式，再根据充分不必要条件得到集合的包含关系，即可得到不等式组，解得
即可.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3【详解】由 ，即 ，解得 ，
因为“ ”是“ ”充分不必要条件，
所以 真包含于 ，所以 （等号不能同时取得），解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：C
7．已知过点 作的曲线 的切线有且仅有两条，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据导数求出切线斜率，再构造函数把有两条切线转化为函数有两个交点解决问题即可.
【详解】设切点为 ，由题意得 ，所以 ，
整理得 ，此方程有两个不等的实根．
令函数 ，则 ．
当 时， ，所以 在 上单调递增;
当 时， ，所以 在 上单调递减,且 ．
，方程有两个不等的实根,故 ．
故选：D.
8．已知定义在 上的函数 ，若函数 是偶函数，且 对任意 ，都
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4有 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的对称性以及单调性即可求解.
【详解】∵函数 为偶函数，∴定义在 上的函数 的图象关于直线 对称，
∵对任意 ，都有 ，
∴函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
又函数 的图象关于直线 对称，且 ，
∴ ，即 ，解得 ，即实数 的取值范围是 .
故选：C.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知 是实数集，集合 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 是 的充分不必要条件 B． 是 的必要不充分条件
C． 是 的充分不必要条件 D． 是 的必要不充分条件
【答案】AD
【分析】先求出集合 ，再判断两集合的包含关系和两集合补集的包含关系，再根据充分条件和必要条件
的定义分析判断.
【详解】由题意，集合 ，所以 ，且 ，
所以 是 的充分不必要条件，且 是 的必要不充分条件成立.
故选： .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 510．若函数 既有极大值又有极小值，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】先判断函数定义域，再求导，将题意转化为方程 有两个不等的正根 ，根据一
元二次方程相关知识直接求解即可.
【详解】 的定义域为 ，
因为若函数 既有极大值又有极小值，
所以方程 有两个不等的正根 ，
所以 ，解得 ，
所以A和C正确，B和D错误.
故选：AC
11．已知 ，且 ，把底数相同的指数函数 与对数函数 图像的公共点称为
（或 ）的“亮点”；当 时，在下列四点中，不能成为 “亮点”的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】按照“亮点”定义将选项对应点代入检验即可.
【详解】由题意得 ， ，
由于 ，所以点 不在函数 的图像上，所以点 不是“亮点”；
由于 ，所以点 不在函数 的图像上，所以点 不是“亮点”；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6由于 ，所以点 不在函数 的图像上，所以点 不是“亮点”；
由于 ， ，所以点 在函数 和 的图像上，所以点 是“亮点”．
故选: .
12．设 为自然对数的底数，函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．当 时， 无极值点 B．当 时， 有两个零点
C．当 时， 有1个零点 D．当 时， 无零点
【答案】AD
【分析】对函数求导，对其单调性、极值及零点进行分析即可求解.
【详解】 ，则 .
令 ，得 ， ；
当 时， ， 在 恒成立，
在定义域上单调递增， 不存在极值点，故A正确；
当 时， ， 在 与 为正，在 为负，
故 有极大值 ，有极小值 ，
此时 的极大值小于0，故最多存在一个零点，故B错误；
当 时， 的极小值大于0，当 时， ， 没有零点，故C错误；
当 时， 在 为负，在 为正，
所以 在 单调递减，在 单调递增；
，此时 无零点，故D正确.
故选：AD.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 7三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知 ， 为正实数，函数 在 处的切线斜率为 ，则 的最小值为
.
【答案】 /
【分析】先求导，根据在点处的切线斜率，找到 ，利用基本不等式代“1”法求解.
【详解】由题 ，则 ，
因为 ， 为正实数，
则 ，
当且仅当 时取到等号.
故答案为： .
14．已知函数 若 恰有2个零点，则实数a的取值范围是 .
【答案】 或
【分析】先求出 和 的根，再根据 恰有2个零点，以及 的解析式可得 的范
围.
【详解】又 ，得 ，得 ；
由 ，得 ，得 或 ，
因为 恰有2个零点，
所以若 和 是函数 的零点，则 不是函数 的零点，则 ；
若 和 是函数 的零点，则 不是函数 的零点，则 ，
若 和 是函数 的零点， 不是函数 的零点，则不存在这样的 .
综上所述：实数a的取值范围是 或 .
故答案为： 或 .
15．若命题“ 使 ”是假命题，则实数a的取值范围为 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8【答案】
【分析】原命题等价于“ 使 ”是真命题，再根据二次不等式恒成立求解即可.
【详解】解：因为命题“ 使 ”是假命题
所以“ 使 ”是真命题，
所以当 ，即 时，不等式成立；
当 时，则需满足 ，解得
综上，实数a的取值范围为
故答案为：
16．非空集合 关于运算 满足：（1）对任意的 ， ，都有 ；（2）存在 ，都有
，则称 关于运算 为“融洽集”．现给出下列集合和运算：
① {非负整数}， 为整数的加法； ② {偶数}， 为整数的乘法；
③ {平面向量}， 为平面向量的加法；④ {二次三项式}， 为多项式的加法．
其中 关于运算 为“融洽集”的是 ．（写出所有“融洽集”的序号）
【答案】①③
【分析】对新定义“融洽集”需要满足的两个条件进行验证，只有都满足时才是G关于运算 为“融洽
集”，依次判断即可.
【详解】对于①， {非负整数}， 为整数的加法；
当 ， 都为非负整数时， ， 通过加法运算还是非负整数，满足条件（1），
且存在一整数 有 ，满足条件（2），
所以①为“融洽集”；
对于② ， {偶数}， 为整数的乘法，
由于任意两个偶数的积仍是偶数，故满足条件（1），
但不存在偶数 ,使得一个偶数与 的积仍是此偶数，故不满足条件（2），
故不满足“融洽集”的定义；
对于③， {平面向量}， 为平面向量的加法，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 9若 ， 为平面向量，两平面向量相加仍然为平面向量，满足条件（1），
且存在零向量通过向量加法，满足条件（2），
所以③为“融洽集”；
对于④， {二次三项式}， 为多项式的加法，
由于两个二次三项式的和不一定是二次三项式，如 与 的和为 ，不满足条件
（1），
故不满足“融洽集”的定义；
故答案为：①③
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．不等式 的解集是 ，集合 ．
(1)求实数a，b的值；
(2)若集合A是B的子集．求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意知 ，且方程 的两个根为 ，代入求解即可；
（2）由（1）化简集合 ，再分类讨论，利用集合的包含关系求参数即可得解.
【详解】（1）由题意知 ，且方程 的两个根为 ，代入得
，解得 .
（2）由（1）知 ，故集合 ，
于是有 ，可得 ，
若 ，可得 ，解得 ；
若 ， 可得 ，解得 ；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 10若 符合条件.
故实数 的取值范围是 .
18．已知某企业生产一种产品的固定成本为400万元，每生产 万件，需另投入成本 万元，假设该企
业年内共生产该产品 万件，并且全部销售完，每1件的销售收入为100元，且
(1)求出年利润 （万元）关于年生产零件 （万件）的函数关系式（注：年利润 年销售收入 年总成
本）；
(2)将年产量 定为多少万件时，企业所获年利润最大.
【答案】(1)
(2)80万件
【分析】（1）根据售价和成本，分段求出函数式即可；
（2）根据已求的利润表达式，结合导数和基本不等式的知识分段求最值并比较即可.
【详解】（1）由题意得，总售价固定为 ，
当产量不足60万箱时， .
当产量不小于60万箱时， .
则
（2）设 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 11当 时， ，令 ，得 ，
得 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ；
当 时，由基本不等式有
当且仅当 ，即 时取等号；
又因为 ，所以当 时，所获利润最大，最大值为1300万元
19．在①充分而不必要，②必要而不充分，③充要，这三个条件中任选一个条件补充到下面问题中，若问
题中的实数 存在，求出实数 的取值范围；若不存在，请说明理由.问题：已知集合 ，非
空集合 .是否存在实数 ，使得 是 的__________条件？
【答案】答案见解析
【分析】选择条件①，根据 是 的真子集列不等式求解；选择条件②：根据 是 的真子集列不等式求
解；选择条件③：根据 列方程组求解.
【详解】因为集合 非空，所以 ，
选择条件①：
因为 是 的充分而不必要条件，所以 是 的真子集，
所以 （两个等号不同时取到），
解得 ，
故实数 的取值范围是 .
选择条件②：
因为 是 的必要而不充分条件，所以 是 的真子集，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 12所以有 且 （两个等号不同时取到），
解得 .
综上，实数 的取值范围是 .
选择条件③：
因为 是 的充要条件，所以有 且 ，
即 ，此方程组无解，
则不存在实数 ，使得 是 的充要条件.
20．已知函数 的一个极值点为1.
(1)求 ；
(2)若过原点作直线与曲线 相切，求切线方程.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求出函数的导数 ，由 求出a值，再验证作答；
（2）设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，结合已知求出切点坐标作答.
【详解】（1）因为 ，所以 .
因为 的一个极值点为1，所以 ，所以 .
因为 ，
当 时， ；当 或 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 的极小值点为1，符合题意.
（2）设切点为 ，则 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 13所以切线方程为 .
将点 代入得 ，
整理得 ，所以 或 .
当 时，切线方程为 ；
当 时，切线方程为 .
21．已知 是定义在[－2，2]上的函数，若满足 且 ．
(1)求 的解析式；
(2)设函数 ，若对任意 ，都有 恒成立，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数的奇偶性即可得 ，进而结合 即可求解，
（2）将问题转化为 ，进而根据函数的单调性的定义即可求解最值，或者利用对勾函数
的单调性求解.
【详解】（1） ，且 ，所以 为奇函数，
将 代入 可得 ，即 ，所以 ，
即 ，因为 ，所以 ，代入可得 ，
解得 ，故 ；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 14，函数为奇函数，满足，故 ．
（2）只要 ，设 ，则 ，
∵ ，∴ ，∴ ，即 ，
故函数 在[1，2]上单调递增，最小值为 ．
法一： 在[1，2]上恒成立，只要 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， ，当 时， ，
故当 时， ，所以 ．
法二： ， ，
当 时， ， ，解得 ，舍去；
当 时， ， ，解得 ，因此 ，
综上所述： ．
22．设函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求函数 的单调区间：
(3)若函数 在区间 内单调递增，求k的取值范围．
【答案】(1)
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 15(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）求出导函数 ，求得 得切线斜率，再求出函数值 后可得切线方程；
（2）分类讨论确定 和 的解得单调区间；
（3）由（2）中单调增区间得关于 的不等式，从而求得其范围．
【详解】（1） ， ，又 ，
所以所求切线方程为 ；
（2）
时， 时， ， 是增函数， 时， ， 是减函数，
时， 时， ， 是减函数， 时， ， 是增函数，
所以当 时，增区间是 ，减区间是 ；
当 时，减区间是 ，增区间是 ；
（3）由（2）知：当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ；
所以 的范围是 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 16
