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阶段性检测 1.2（中）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次不等式的解法求得 ，结合集合并集的运算，即可求解.
【详解】由不等式 ，解得 ，即 ，
又由 ，所以 .
故选：A.
2．已知 为函数 图象上一点，则曲线 在点 处切线斜率的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．4
【答案】C
【分析】求出函数的导函数，利用基本不等式求出 的最小值，即可得解.
【详解】函数 定义域为 ，
，当且仅当 ，即 时取等号，
所以曲线 在点 处切线斜率的最小值为 .
故选：C
3．关于 的不等式 在 上恒成立，则 的最大值为（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1A． B． C．4 D．
【答案】B
【分析】先由不等式 在 上恒成立，可求出 ，再用不等式性质，用
表示出 ，即可求解.
【详解】设 ，因为不等式 在 上恒成立，所以
令 ，则 ，
解得 ，所以 ，
故选：B.
4．已知常数 ，直线 ： ， ： ，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先利用两直线平行的公式求出 ，再确定充分性和必要性即可.
【详解】因为直线 ： ， ： ，
当 时 ，解得 ，
所以 是 的充分不必要条件.
故选：A
5．直线 与两条曲线 和 均相切，则 的斜率为（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2A． B．1 C．2 D．
【答案】B
【分析】设两个曲线的切点坐标，由切线斜率相等，利用导数列出方程，再利用两点斜率公式化简即可．
【详解】由 ，可得 ；由 ，可得 ，
设两个切点分别为 和 ，直线l的斜率 ，
故 ，由 ，所以 ，即直线l的斜率为1.
故选：B
6．“ ”是“对任意 ， 恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】分别求出两条件所对应的 的取值范围，再根据集合的包含关系及充分条件、必要条件的定义判
断即可.
【详解】由 ，即 ，所以 ，
由 ， 恒成立，
即 在 上恒成立，
所以 ，
又 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 ，
因为 真包含于 ，
所以“ ”是“对任意 ， 恒成立”的充分不必要条件.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3故选：A
7．已知函数 ， ，若 ， ， ，则 ， ， 的大
小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】判断出函数 是偶函数，且在区间 上单调递增，然后比较 、 、 三个
数的大小，由此可得出 、 、 的大小关系.
【详解】因为 ，该函数的定义域为 ，
，所以函数 为偶函数，故 ，
当 时， ，
任取 ， ，则 ， ，所以 ，
所以 ， ，即 ，
所以函数 在 上单调递增，
又 ，由 可得 ，故 ，
则 ，即 .
故选：A.
8． ， ， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】注意到常见的导数构造的形式： 导数的结果，结合题干条件
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4，可联想到构造： ，结合 ，然后可求出 表达式.
【详解】设 ，则 ，根据题干条件，
，
即 ，故 ， 为常数，
即 ，于是 ，整理可得 ，
令 ，整理可得 ，解得 .
故选：D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知全集 ， ， ， ， ，
，则下列选项正确的为（ ）
A． B．A的不同子集的个数为8
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据题意利用韦恩图逐项分析判断.
【详解】由题意可知： ， ，
所以 ，故A正确；
集合A有3个元素，所以A的不同子集的个数为 ，故B正确；
，故C正确；
因为 ，所以 ，故D错误；
故选：ABC.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 510．如图，某款酒杯的容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面为面积是 的等腰直角三角形.若在该酒杯
内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则下列说法中正确的有（ ）
A．冰块最大体积为
B．冰块的最大体积为
C．冰块体积达到最大时，冰块的高度为
D．冰块体积达到最大时，冰块的高度为
【答案】BC
【分析】求出该圆锥的轴截面三角形的边长，设圆柱的底面半径为r，高为h，建立出体积的函数，利用导
数求出最大值．
【详解】由圆锥的轴截面为面积是 的等腰直角三角形，可算出该三角形直角边长为 ，斜边长
为 ，如图所示，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6即圆锥母线长 ，高和底面半径 ，
设冰块的底面半径为 ，高为 ，
由 ，冰块体积要最大，此时冰块的高度 ，
故圆柱的体积为 ，其中 ；则有 ，
，解得 ； ，解得 ，
则 在区间 单调递增，在区间 单调递减，
所以当 时，冰块的体积最大，最大值为 ，此时冰块高度 .
故选：BC.
11．下列说法正确的有（ ）
A．设函数 的定义域为 ，则“ 关于原点对称”是“ 具有奇偶性”的必要条件
B．已知 是可导函数，则“ ”是“ 是 的极值点”的充分不必要条件
C．“ 是函数 的一个周期”的一个充分不必要条件是“对 ，都有 ”
D．“函数 与函数 的图象关于 轴对称”的充要条件是“ ”
【答案】AC
【分析】根据奇偶性的定义及必要条件的定义判断A，根据极值点的定义判断B，根据函数的周期性的定
义判断C，利用特殊值判断D.
【详解】对于A：函数 具有奇偶性，则定义域关于原点对称；
则函数 的定义域关于原点对称是函数 具有奇偶性的必要条件，故A正确；
对于B：由 得不到 是 的极值点，如 ，则 ，
此时 ，但是函数 在定义域 上单调递增，所以不存在极值点，故充分性不成立，
若 是 的极值点，则 ，故必要性成立，故“ ”是“ 是 的极值点”的必要
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 7不充分条件，故B错误；
对于C：若对 ，都有 ，则 ，
所以 是 的一个周期，故充分性成立，
若 是函数 的一个周期，不一定得到“对 ，都有 ”，
如对 满足 时，此时 ，
即 是 的一个周期，故必要性不成立，故C正确；
对于D：设 ，所以 ， ，
此时 与 的图象关于 轴对称，但是 不一定成立，故D错误；
故选：AC
12．设函数 是定义在 上的奇函数，对任意 ，都有 ，且当 时，
，设函数 （其中 ），则下列说法正确的是（ ）
A．函数 关于点 中心对称
B．函数 是以4为周期的周期函数
C．当 时，函数 恰有2个不同的零点
D．当 时，函数 恰有3个不同的零点
【答案】BCD
【分析】利用递推关系得 ，结合奇函数性质易得 ，即可判断A、B；对于
的零点，转化为研究 与 的交点，数形结合法判断零点的个数即可判断C、D.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8【详解】由 ，即 ，则 关于 对称，A错；
又 是定义在 上的奇函数，则 ，
而 ，则 ，故 ，
所以 ，即 是以4为周期的周期函数，B对；
当 ，对于 的零点，只需研究 与 的交点，
若 ，则 ，
显然 ， ，且 在 上递增， 上递减，
结合对称轴、周期性、奇函数， 的图象及 部分图象如下：
由图知： 与 有且仅有2个交点，即 恰有2个不同的零点，C对；
若 ，则 ，如下图示，
由图知： 与 有且仅有3个交点，即 恰有3个不同的零点，D对；
故选：BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 913．已知函数 是奇函数，则 .
【答案】 /1.5
【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称以及奇函数的性质即可求解.
【详解】由于函数的定义域满足 ，故定义域为 ，
根据奇函数的定义域关于原点对称可知 ，
所以 ， ，
所以 ，
故 ，
故答案为：
14．已知集合 ， ，若 ，则
m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】因式分解求二次不等式可得 ，再根据二次函数的值域可得 ，进而根据 求解即可.
【详解】 ， ，又
，则 ，即 .
故答案为：
15．正实数 满足 ，且不等式 恒成立，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【分析】将问题转化为 ，利用基本不等式求出 的最小值，再解一元二次不等式即
可.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 10【详解】因为不等式 恒成立，
所以 ，
因为 ，且 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号是成立的，
所以 ，所以 ，即 ，
解得 .
故答案为：
16．若对任意 ， 恒成立，则实数a的取值集合为 ．
【答案】
【分析】设函数 ， ，则 恒成立，由函数 在 处取得最大值，
则 ，得出 ，再验证当 时， 符合题意．
【详解】由题意设 ， ，则 恒成立，显然 ，
函数 在 处取得最大值， ，而 ，
，即 ．
当 时， ，
当 时， ， ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减.
，符合题意．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 11故实数a的取值集合为 ．
故答案为： .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．已知 ，
(1)当 时，求 ;
(2)已知“ ”是“ ”的充分条件，求实数 的取值范围．
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）先解分式不等式得到集合A，再解指数不等式得到集合 ，再求出集合 的补集，从而可求
出 ；
（2）先求得集合 ，再由题设条件得到 ，列不等式可求出结果.
【详解】（1）由 ，得 ，得 ，
即 ，解得 或 ，故 或 ，
当 时，由 ，得 ，故 ，即 ，
故 ，所以 ，
所以 或
（2）由 得 ，故 ，即 ，故 ，
由“ ”是“ ”的必要条件得 ，
所以 ，解得 ，即 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1218．已知命题：“ ，使得不等式 成立”是真命题.
(1)求实数m的取值集合A；
(2)设不等式 的解集为B，若 是 的充分条件，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分离参数得 ，利用二次函数的图象与性质即可得到答案；
（2）因式分解得 ，设 ，证明出 ，从而得到 的解集，则得到不等
式，解出即可.
【详解】（1）由 ，使得不等式 成立，
所以
因为二次函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ， ，
所以，当 时， ，
所以， .
（2）由 可得 .
设 ，令
， ， 单调递递减， ， ， 单调递增，
，所以 ，所以
从而 或 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 13因为 是 的充分条件，则 ，
则 ，即 ；
实数 的取值范围是 .
19．设 ．
(1)若不等式 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)解关于 的不等式 ．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）对 进行分类讨论来分析恒成立问题.
（2）解不等式时要对 进行分类讨论.
【详解】（1）不等式 .
当 时， ，即不等式 仅对 成立，不满足题意，舍.
当 时，要使 对一切实数 恒成立.
则 解得 .
综上，实数 的取值范围为 .
（2）当 时， 解得 .
当 时， .
①若 ， 的解为 ；
②若 ，当 即 时， 解得 .
当 时， ， 的解为 或 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 14当 时， ， 的解为 或 .
综上，当 时，不等式解集为 ；
当 时，不等式解集为 ；
当 时，不等式解集为 或 ；
当 时，不等式解集为 ；
当 时，不等式解集为 或 .
20．已知 是定义在 上的奇函数，且 ，若对任意的m， ， ，都有
．
(1)若 ，求实数a的取值范围；
(2)若不等式 恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)a的取值范围为 ；
(2)a的取值范围为 .
【分析】（1）利用单调性的定义，证得 在 上递增，由此结合奇函数的性质化简不等式
，求得 的取值范围.
（2）由（1）可得函数 在 上的最大值为 ，由条件可得 ，解不等式可得a的取值范
围．
【详解】（1）任取两个实数 ，满足 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 15由题意可得 ，
即 ，
在定义域 上是增函数.
因为 是定义在 上的奇函数，
所以当 时， ，
所以 ，可化为
所以
所以 ，
解得 ，
a的取值范围为 .
（2）由（1）知函数 在定义域 上是增函数，
所以当 时，函数 取最大值，最大值为 ，
又 是定义在 上的奇函数，
所以 ，又 ，
所以函数 在定义域 上的最大值为 ，
因为不等式 恒成立，
所以 ，所以 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 16故不等式 可化为 ，
所以 ，
解得 或 ，
所以a的取值范围为 ．
21．已知函数 且 .
(1)当 时，求在点 处的切线方程；
(2)若函数 在区间 上为单调函数，求 的取值范围.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）把 代入，求出导数，利用导数的几何意义求出切线方程作答.
（2）求出 的导数 ，在区间 上由 或 ,求出 的取值范围作答．
【详解】（1）当 时， ， ，求导得 ， ，
于是 ，即 ，
所以函数 在点 处的切线方程为 ．
（2）函数 ，求导得 ，
因为函数 在区间 上是单调函数，则当函数 在 上单调递增时， ， ，
即 在 上恒成立，令 ， ，
显然函数 在 上单调递增， ，因此 ，解得 ，
当函数 在 上单调递减时， ， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 17即 在 上恒成立，因此 ，解得 或 ，
所以 的取值范围为 .
【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以探讨函数的最值，借助函数最值转化解决问题.
22．已知函数 ， ， 是 的导数.
(1)讨论 的单调性，并证明： ；
(2)若函数 在区间 内有唯一的零点，求a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求出导函数，根据 ， 分类讨论即可，构造函数，利用导数法求解最值即可证明；
（2）把问题转化为方程 在区间 内有唯一解，构造函数，利用导数研究单调性，数形
结合即可求解.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
当 时， ，则 在 上单调递增，
当 时，令 得 ，令 得 ，
所以函数 的增区间为 ，减区间为 ，
令 ，则 ，令 得 ，
令 得 ，所以函数 的增区间为 ，减区间为 ，
所以当 时， 取得最小值为 ，
所以 ，得证；
（2）由（1）知， ，
因为函数 在区间 内有唯一的零点，所以方程 在区间 内有唯一解，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 18令 ，则函数 与 在 上只有一个交点，
记 ，则 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
故 ，
所以 在 上单调递增，又 ，
如图：
要使方程 在区间 内有唯一解，则 .
所以a的取值范围是 .
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 19
