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阶段性检测 3.1（易）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，由集合的运算，即可得到结果.
【详解】因为 ， ，所以 .
故选：D
2． 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分，必要条件的定义，结合不等式的性质，即可判断.
【详解】 ，由 ，不能得到 ，也得不到 ，
所以 是 的充分不必要条件.
故选：A
3．已知复数 （ 为虚数单位）， 为z的共轭复数，若复数 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先化简 ，再求 的虚部.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】由题意可知，
，所以 的虚部为 .
故选：C
4．函数 满足 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】写出各项对应的解析式，根据奇函数定义判断是否为奇函数即可.
【详解】A： ，定义域为 ，不关于原点对称，不符合；
B： ，定义域为 关于原点对称，且 ，符合；
C： ，定义域为 ，不关于原点对称，不符合；
D： ，定义域为 ，不关于原点对称，不符合；
故选：B
5．八卦是中国古老文化的深奥概念，如图示意太极八卦图．现将一副八卦简化为正八边形 ，
设其边长为 ，中心为O，则下列选项中不正确的是（ ）
A． B．
C． 和 是一对相反向量 D．
【答案】C
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】根据平面向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解.
【详解】对于A中，由正八边形 中，可得 ，
则 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以A正确；
对于B中，由正八边形 中，可得 ， ，
则 ，
所以B正确；
对于C中，由 和 方向相反，但长度不等，因此不是一对相反向量，所以C错误；
对于D中，由 ，可得 ，
所以D正确.
故选：C.
6．若函数 在 处有极大值，则实数 的值为（ ）
A． B． 或 C． D．
【答案】D
【分析】由题意解 得 的值，再根据极大值、极小值的概念验证即可.
【详解】求导得 ，
则由题意得 或 ，
代入检验当 时， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 或 ， ，则 时， 取得极小值，不符合题意舍去；
当 时， ，
令 或 ， ，则 时， 取得极大值，符合题意.
故选：D
7．已知函数 在区间 上有且仅有1个零点，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】应用三角恒等变换化简 ，结合正弦型函数的性质及区间零点个数求参数范
围即可.
【详解】 ，
在 上， ，即 有且仅有1个零点，
所以 ，则 .
故选：D
8．已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为 ，首次改良工艺后排放的废水中含有的污
染物数量为 ，第 次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量 满足函数模型
，其中 为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量， 为首次
改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量， 为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超
过 时符合废水排放标准，若该企业排放废水符合排放标准，则改良工艺次数最少要（参考数据：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】）（ ）次.
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】D
【分析】又 与 的关系，结合条件求 ，再由条件列不等式，结合指数，对数运算性质和对数函
数性质解不等式可得结论.
【详解】因为 ，
所以
又 ，
所以 ，
所以
所以
由 可得 ，
所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，所以 ， ，
所以要使该企业排放的废水符合排放标准，改良工艺次数最少要11次，
故选：D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．数列 的前n项和为 ，已知 ，则（ ）
A． 是递增数列
B．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C．当 时，
D．当 或4时， 取得最大值
【答案】BCD
【分析】A选项，根据 求出通项公式，进而得到 ， 单调递减，A错误；
B选项，由通项公式直接求解即可；C选项，解不等式即可；D选项，根据二次函数的开口方向和对称轴
可得D正确.
【详解】A选项，当 时， ，
又 ，所以 ，
因为 ，
则 是递减数列，故A错误；
B选项，由 可得 ，故B正确；
C选项，令 ，解得 ，故C正确；
D选项，因为 的对称轴为 ，开口向下，
又 ，所以当 或4时， 取得最大值，故D正确.
故选：BCD.
10．已知平面向量 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B． 在 方向上的投影向量为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C．与 垂直的单位向量的坐标为
D．若向量 与向量 共线，则
【答案】AD
【分析】根据向量的坐标运算求 ， ，对于A：根据向量的夹角公式运算求解；对于B：根据投影
向量的定义分析运算；对于C：根据向量垂直的坐标运算求解；对于D：根据向量共线的判定定理分析运
算.
【详解】由题意知 ， ，
对于选项A： ，故A正确；
对于选项B： 在 方向上的投影向量为 ，故B错误；
对于选项C：设与 垂直的单位向量的坐标为 ，
可得 ，解得 或 ，
所以与 垂直的单位向量的坐标为 或 ，故C错误；
对于选项D：因为向量 与向量 共线，
所以若存在 ，使得 ，
则 ，解得 ，故D正确．
故选：AD.
11．如图，四棱锥 的底面为梯形， 底面 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， 为棱 的中点，则（ ）
A． 与平面 所成的角的余弦值为
B．
C． 平面
D．三棱锥 的体积为
【答案】CD
【分析】对于A项，根据线面角的定义解三角形即可；对于B项，解 即可；对于C项，判定BC与
BD的位置关系即可；利用线段关系转化为求 即可.
【详解】对于A项，如图取AD中点F，连接EF，则EF∥PD，由题意可得：EF⊥面ABCD，
连接CF，∠ECF即 与平面 所成的角，由条件可得EF=2， ，
，故A错误；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于B项，连接AC，易得 ，又E为PA中点， ，故PA与CE不垂直，故B错
误；
对于C项，如图所示，在梯形ABCD中，过B作BG⊥CD，由条件可得，BG=AD=GC=2，故
，由勾股定理逆定理可得BD⊥BC，
又PD⊥面ABCD，BC 面ABCD，则PD⊥BC，PD BD=D，PD、BD 面ABCD，
所以BC⊥面PBD，故C正确；
对于D项，由条件得 ，
由上可得 ，
故 ，故D正确.
故选：CD
12．已知函数 （ ），则（ ）
A．若 ，则函数 在 上单调递增
B．若 在 上有最小值 ，则 在 上有最大值
C．过原点 有且仅有一条直线与 的图象相切
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】D．若函数 存在大于1的极值点，则
【答案】BC
【分析】分 、 和 ， 两种情况可得函数 在 上单调递减可判断A；令
利用奇函数定义可得函数 是奇函数，根据奇函数的性质和最值情况可
判断B；利用导数求出切线方程，切线过点 得方程有且仅有一解可判断C；函数 有极值点得
有两个不同的根，设两根分别为 ， 可得 ，利用韦达定理分 ， 和 ，
两种情况可判断D.
【详解】对于A，当 ， 时，易知函数 在 上单调递增，当 ， 时，易知函数
在 上单调递减，A项不正确；
对于B，令 ， 关于原点对称， ，所
以函数 是奇函数，
若 在 上有最小值 ，则函数 在 上有最小值 ，
函数 在 上有最大值 ，所以 在 上有最大值 ，故B项正确；
对于C， ，设切点 ，则 ，
所以切线方程为 ，切线过点 ，得 ，该方程有且仅有一解，C项正确；
对于D，若函数 有极值点，则 有两个不同的根，则 ，
设两根分别为 ， ，则 ，若 ，则 ，当 ， 时， ，当 ，
时， ，D项不正确.
故选：BC.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点睛】思路点睛：结合导数与单调性、极值、最值的关系求三次的多项式函数的极值与最值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若复数 满足 ，则 ．
【答案】
【分析】设 ， ，依题意可得 ，根据复数代数形式的乘法运算及复数相等的充要条
件得到方程，即可求出 、 的值，从而求出其模.
【详解】设 ， ，由 ，所以 ，
即 ，所以 ，
所以 ，所以 ，则 .
故答案为：
14．已知等差数列 ， 为其前n项和，若 ， ， 成等比数列，则 的最小值为 ．
【答案】5
【分析】根据等差、等比数列的通项公式、等差数列的求和公式以及基本不等式求解结果.
【详解】等差数列 ，设公差为 ， .
若 ， ， 成等比数列，则 ，
所以 ，即 ，
，
当 时取等号.
则 的最小值为5.
故答案为：5.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】15．已知某圆台的上、下底面的圆周在同一球的球面上，且圆台上底面半径为1，下底面半径为2，轴截面
的面积为3，则该圆台的外接球的体积为 ．
【答案】
【分析】根据球心不同的位置，结合轴截面的性质分类讨论求解即可.
【详解】设圆台高为h，由题意得 ， ．
当圆台的上下底面圆在球心的同侧时，如下图所示：
设该圆台下底面圆心到外接球的球心的距离为 ， ，
外接球的半径为 ，由 ，
则 ，得 ， ，该圆台外接球的体积为 ．
当当圆台的上下底面圆在球心的异侧时，如下图所示：
设该圆台下底面圆心到外接球的球心的距离为 ， ，
外接球的半径为 ，由 ，
则 ，得 舍去，
综上所述：该圆台外接球的体积为 ，
故答案为：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】16．已知函数 ，若对于任意 ，都有 ，则实数 的取值范围是
.
【答案】
【分析】根据题意，将 转化为 在区间 上单调递增，然后结合导数
转化为恒成立问题，即可得到结果.
【详解】由 可变形为 ，
令 ，则函数 在区间 上单调递增， ，则
在区间 上恒成立，
即 在区间 上恒成立，
则 在区间 上恒成立，
当 时， ，
所以 ，即实数 的取值范围是 .
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .
(1)证明： ；
(2)若 ， ，求 的面积.
【答案】(1)证明见解析
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2) 或
【分析】（1）由正弦定理及两角和正弦公式化简，再利用正弦定理化简即可证明；
（2）结合（1）的结论，利用余弦定理求出a，利用同角三角函数关系求出 ，代入三角形面积
公式即可求解.
【详解】（1）因为 ，及 ，
所以 ，
由 得 ，得证.
（2）由（1）及 知 ，又 ，
由余弦定理 可得 ，即 ，
解得 或 ，因为 ，所以 ，
当 时， ，
当 时， .
18．设数列 的前n项和为 ， ．
(1)求证数列 为等比数列，并求数列 的通项公式 ．
(2)若数列 的前m项和 ，求m的值，
【答案】(1)证明见解析，
(2)7
【分析】（1）利用数列中 与 的关系，得 ，可证明数列 为等比数列，可求数列
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的通项公式 ．
（2）利用裂项相消求数列 的前m项和 ，由 求m的值.
【详解】（1）因为 ，所以当 时， ，解得 ．
当 时， ，则 ，
整理得 ，故 ， ，
所以数列 是首项为2，公比为2的等比数列，所以 ．所以
（2） ，
数列 的前m项和
，
则 ，则 ，则 ，解得 ，故m的值为7．
19．已知函数 （ ， ）.
再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数 的解析式的两个作为已知.
条件①：函数 的最小正周期为 ；
条件②：函数 的图象经过点 ；
条件③：函数 的最大值为 .
(1)求 的解析式及最小值；
(2)若函数 在区间 （ ）上有且仅有1个零点，求 的取值范围.
【答案】(1)选择①② ， 的最小值为 ；选择①③ ， 的最小
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】值为
(2)选择①② ；选择①③
【分析】（1）利用三角恒等变换化简 ，选择①②：由周期得出 ，由 得出 ，进而求出
的解析式及最小值；选择①③：由周期得出 ，由 的最大值为 得出 ，进而求出 的解析式
及最小值；选择②③：由 得 ，又因为函数 的最大值为 ，所以 ，与
矛盾，不符合题意．
（2）因为 , ，所以 ，结合三角函数的性质与函数零点的概念求解即可．
【详解】（1）由题可知，
，
选择①②：
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ．
所以 ．
当 ，即 时， ，
所以函数 的最小值为 ．
选择①③：
因为 ，所以 ，
又因为函数 的最大值为 ，所以 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
当 ，即 时， ．
所以函数 的最小值为 ．
选择②③：因为 ，所以 ．
又因为函数 的最大值为 ，所以 ，与 矛盾，不符合题意．
（2）选择①②：
因为 , ，所以 ，
又因为 在区间 （ ）上有且仅有1个零点，
所以 ，所以 ，所以 ．
选择①③：
因为 , ，所以 ，
又因为 在区间 （ ）上有且仅有1个零点，
又 时， 或 ，
所以 ，所以 ，所以 ．
20．如图，在四棱锥 中， ，四边形 是菱形，
是棱 上的动点，且 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)证明: 平面 ．
(2)是否存在实数 ，使得平面 与平面 所成锐二面角的余弦值是 ?若存在，求出 的值；若
不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在实数 ，使得面 与面 所成锐二面角的余弦值是 .
【分析】（1）由题设 ，根据线面垂直的判定得 平面 ，再由线面垂直的性质有
，并由勾股定理证 ，最后应用线面垂直的判定证结论；
（2）取棱 的中点 ，连接 ，构建空间直角坐标系，写出相关点的坐标，应用向量法求面面角的余
弦值，结合已知列方程求参数 ，即可判断存在性.
【详解】（1）
因为四边形 是菱形，所以 .
因为 平面 ，且 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以 .
因为 ，所以 ，即 .
因为 平面 ，且 ，所以 平面 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）
取棱 的中点 ，连接 ，易证 两两垂直，
故以 为原点，分别以 的方向为 轴的正方向，建立空间直角坐标系．
设 ，则 ，
故 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，得 ．
平面 的一个法向量为 ,设面 与面 所成的锐二面角为 ，
则 ，整理得 ，解得 (舍去)．
故存在实数 ，使得面 与面 所成锐二面角的余弦值是 ．
21．如图的形状出现在南宋数学家杨浑所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”
的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球.......设各层球数构成一个数列 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)写出 与 的递推关系，并求数列 的通项公式；
(2)记数列 的前 项和为 ，且 ，在 与 之间插入 个数，若这 个数恰能组成一个
公差为 的等差数列，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）利用每一层小球的数量找到递推关系，再利用累加法求通项公式即可；
（2）利用 与 的关系求出数列 ，进而求得 ，再利用错位相减法求 即可.
【详解】（1）由题意可知， ，
，
所以数列 的一个递推关系为 ，
所以当 时，利用累加法可得
，
将 代入得 ，符合 ，
所以数列 的通项公式为 .
（2）当 时， ，即 ，
当 时， ，①
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，②
①-②，得 ，即 ，
所以数列 是以3为首项，3为公比等比数列，
所以 ，
由题意可知 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，③
，④
③-④得 ，
所以 ，
所以数列 的前 项和 .
22．已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若对于任意正实数x，不等式 恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）研究函数的定义域，导数的符号，确定函数的单调性；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）分离参数 ，然后构造函数 ，利用导数研究该函数的最大值即可．
【详解】（1）定义域为 ， ，
令 ，
①当 时， 恒成立， ， 是增函数；
② 时， ，
当 ，即 时，由 得 ， ，
由 或 ， ，
故 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， ，
当 ，即 时， 恒成立， 是增函数，
综上可知： 时， 是增函数， 时， 的单调递减区间为 ，单调
递增区间为 ，
（2）不等式 恒成立，即 恒成立，
整理得 恒成立，
令 ，
则 ，易知 ，
当 时， ， 单调递增， 时， ， 单调递减，
故 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 即为所求，故 的取值范围是 .
【点睛】关键点点睛：根据不等式恒成立，研究参数的取值范围，能分离参数的一定要分离参数，
分离参数是本题的关键，分离参数后转化为求函数最大值问题，一般需要利用导数求最大值得解.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
