文档内容
阶段性检测 3.1（易）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2． 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知复数 （ 为虚数单位）， 为z的共轭复数，若复数 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
4．函数 满足 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
5．八卦是中国古老文化的深奥概念，如图示意太极八卦图．现将一副八卦简化为正八边形 ，
设其边长为 ，中心为O，则下列选项中不正确的是（ ）
A． B．C． 和 是一对相反向量 D．
6．若函数 在 处有极大值，则实数 的值为（ ）
A． B． 或 C． D．
7．已知函数 在区间 上有且仅有1个零点，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为 ，首次改良工艺后排放的废水中含有的污
染物数量为 ，第 次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量 满足函数模型
，其中 为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量， 为首次
改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量， 为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超
过 时符合废水排放标准，若该企业排放废水符合排放标准，则改良工艺次数最少要（参考数据：
）（ ）次.
A．8 B．9 C．10 D．11
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．数列 的前n项和为 ，已知 ，则（ ）
A． 是递增数列
B．
C．当 时，D．当 或4时， 取得最大值
10．已知平面向量 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B． 在 方向上的投影向量为
C．与 垂直的单位向量的坐标为
D．若向量 与向量 共线，则
11．如图，四棱锥 的底面为梯形， 底面 ， ，
， 为棱 的中点，则（ ）
A． 与平面 所成的角的余弦值为
B．
C． 平面
D．三棱锥 的体积为
12．已知函数 （ ），则（ ）A．若 ，则函数 在 上单调递增
B．若 在 上有最小值 ，则 在 上有最大值
C．过原点 有且仅有一条直线与 的图象相切
D．若函数 存在大于1的极值点，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若复数 满足 ，则 _____．
14．已知等差数列 ， 为其前n项和，若 ， ， 成等比数列，则 的最小值为_____．
15．已知某圆台的上、下底面的圆周在同一球的球面上，且圆台上底面半径为1，下底面半径为2，轴截面
的面积为3，则该圆台的外接球的体积为_____．
16．已知函数 ，若对于任意 ，都有 ，则实数 的取值范围是
_____.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .
(1)证明： ；
(2)若 ， ，求 的面积.
18．设数列 的前n项和为 ， ．
(1)求证数列 为等比数列，并求数列 的通项公式 ．(2)若数列 的前m项和 ，求m的值，
19．已知函数 （ ， ）.
再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数 的解析式的两个作为已知.
条件①：函数 的最小正周期为 ；
条件②：函数 的图象经过点 ；
条件③：函数 的最大值为 .
(1)求 的解析式及最小值；
(2)若函数 在区间 （ ）上有且仅有1个零点，求 的取值范围.
20．如图，在四棱锥 中， ，四边形 是菱形，
是棱 上的动点，且 ．(1)证明: 平面 ．
(2)是否存在实数 ，使得平面 与平面 所成锐二面角的余弦值是 ?若存在，求出 的值；若
不存在，请说明理由．
21．如图的形状出现在南宋数学家杨浑所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”
的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球.......设各层球数构成一个数列 .
(1)写出 与 的递推关系，并求数列 的通项公式；
(2)记数列 的前 项和为 ，且 ，在 与 之间插入 个数，若这 个数恰能组成一个
公差为 的等差数列，求数列 的前 项和 .
22．已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若对于任意正实数x，不等式 恒成立，求实数k的取值范围．
