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阶段性检测 3.2（中）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．设集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据含绝对值不等式和分式不等式的解法求出集合 ，再根据交集的定义即可得出答案.
【详解】因为 或 ，
或 ，
所以 .
故选：D.
2．已知 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算求出 ，再由共轭复数的概念得到 ，从而解出．
【详解】因为 ，所以 ，即 ．
故选：A．
3．设 为单位向量， 在 方向上的投影向量为 ，则 （ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据投影向量的定义，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.
【详解】因为 在 方向上的投影向量为 ，
所以 ，
所以有 ，
故选：D
4．将函数 的图像向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，则下列正确的是
（ ）
A．直线 是 图像的一条对称轴 B． 的最小正周期为
C． 的图像关于点 对称 D． 在 上单调递增
【答案】C
【分析】利用辅助角公式化简，再平移图像得到 的解析式，然后利用对称轴，周期，对称中心和单调
性即可逐个选项判断.
【详解】由
，
则 图像向右平移 个单位长度可得，
，
因为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 不是 图像的一条对称轴，A错；
由 ，得 的最小正周期为 ，B错；
由 ，
所以点 是 图像的一个对称中心，C正确；
由 ，则 ，
所以 在 上有增有减，D错.
故选：C
5．有一种钻头，由两段组成，前段是高为3cm､底面边长为2cm的正六棱锥，后段是高为1cm的圆柱，圆
柱的底面圆与正六棱锥底面的正六边形内切，则此钻头的体积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据棱锥和圆柱的体积公式即可得到答案.
【详解】由题意，钻头的前段正六棱锥的体积 ，
因为圆柱的底面圆与正六棱锥底面的正六边形内切，
作出以下图形，所以圆柱的底面圆的半径 ，
所以圆柱的体积 ，
所以此钻头的体积为 .
故选：B.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】6．记数列 的前 项和为 ，满足 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知得 ，利用累乘法求出 ，从而可求得 ，代入 中化简，再利用对勾函
数的性质可求得结果.
【详解】由 ，得 ，
因为 ，所以
，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以由对勾函数的性质可知，
当 时， 取得最小值 .
故选：C
7．若可导函数 是定义在R上的奇函数，当 时，有 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】令 ， ，又导函数得到 在 上单调递减，结
合 是定义在R上的奇函数得到 与0的大小，从而解不等式.
【详解】令 ， ，
则 ，
当 时， ，
故 在 上单调递减，
则当 时， ，
因为可导函数 是定义在R上的奇函数，故 ，
当 时，
所以 ，解得 ，
又 ，故不等式 的解集为 .
故选：B
8．已知定义在 上的偶函数 的图像是连续的， ， 在区间 上是增函
数，则下列结论正确的是（ ）
A． 的一个周期为6 B． 在区间 上单调递增
C． 的图像关于直线 对称 D． 在区间 上共有100个零点
【答案】C
【分析】由条件结合周期函数定义可证明 为周期函数，可判断A；再根据奇偶性、周期性、单调性判
断BC；再结合函数零点的定义判断D.
【详解】因为 ，所以令 ，得 ，故 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 为偶函数，所以 ，所以 ，即 ，
故 ，所以 的一个周期为12，故A错误；
又 在区间 上是增函数，所以 在区间 上是减函数，
由周期性可知 在区间 上单调递减，故B错误；
因为 为偶函数，所以 图像关于y轴对称，
由周期性可知 图像关于直线 对称，故C正确；
因为 在区间 上是增函数，所以 在区间 上是减函数，
又 ，所以由周期性可知，在区间 上， ，
而区间 上有168个周期，故 在区间 上有336个零点，
又 ，所以 在区间 上有337个零点，
由于 为偶函数，所以 在区间 上有674个零点，故D错误；
故选：C.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．在正方体 中，E，F，G分别为BC， ， 的中点，则（ ）
A．直线 与直线AF异面
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】B．直线 与平面AEF平行
C．平面AEF截正方体所得的截面是等腰梯形
D．三棱锥A-CEF的体积是正方体 体积的
【答案】ABC
【分析】根据异面直线定义、面面平行的判定定理以及性质定理以及三棱锥的体积求解方法可求得正确选
项.
【详解】对于选项A，易知AF与 异面，选项A正确；
对于选项B，取 的中点为M，连接 、GM，则 ， ，易证 ，
从而 ，选项B正确；
对于选项C，连接 ， ，易知平面AEF截正方体所得的截面为等腰梯形 ，选项C正确；
对于选项D．设正方体棱长为a，三棱锥A-CEF的体积 ，选项D错误．
故选：ABC．
10．记正项等比数列 的前n项和为 ，则下列数列为等比数列的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】根据等比数列的定义和前n项公式和逐项分析判断.
【详解】由题意可得：等比数列 的首项 ，公比 ，即 ，
对A： ，且 ，即 为等比数列，A正确；
对B： ，且 ，即 为等比数列，B正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∵ ，则有：
对C： ，均不为定值，即 不是等比数列，C错误；
对D： ，均不为定值，即 不是等比数列，D错误；
故选：AB.
11．已知函数 ，则下列结论正确的为（ ）
A． 的最小正周期为
B． 的图象关于 对称
C． 的最小值为
D． 在区间 上单调递增
【答案】BC
【分析】化简函数为 ， ，结合大致图象判断各选项即可
求解.
【详解】函数 ， ，
大致图象如下：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由图可知，函数 的最小正周期为 ，故A错误；
函数 的图象关于 对称，故B正确；
函数 的最小值为 ，故C正确；
函数 在区间 上单调递增，在 上单调递减，故D错误.
故选：BC.
12．已知函数 函数 ，则下列结论不正确的是
（ ）
A．若 ，则 恰有2个零点
B．若 ，则 恰有4个零点
C．若 恰有3个零点，则 的取值范围是
D．若 恰有2个零点，则 的取值范围是
【答案】ACD
【分析】由 ，解得 或 .再结合函数 的图像判断各选项.
【详解】令 ，
则 ，解得 或 .
当 时， .由 ，得 ；由 ，得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 在 上单调递减，在 上单调递增， .
，当 时， 取最小值，最小值为 ，
故 的大致图象如图所示.由图可知， 有且仅有1个实根.
当 时， 恰有1个零点，故A错误；
当 时， 有3个实根，则 恰有4个零点，故B正确；
由 恰有3个零点，得 恰有2个实根，则 或 或 ，则 错误；
由 恰有2个零点，得 恰有1个实根，且 ，
则 或 或 ，则D错误.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在平行四边形 中，已知 ， ， ， ，则 ．
【答案】
【分析】设 ，根据题意化简求得 ，再由 ，即可求解.
【详解】如图所示，设 ，
因为 ， ，可得 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又因为 ， ，
可得 ， ，
两式相减得到 ，可得 ，
又由 ，所以 .
故答案为： .
14．如图，AB为圆柱下底面圆O的直径，C是下底面圆周上一点，已知 ， ，圆柱的高为
5．若点D在圆柱表面上运动，且满足 ，则点D的轨迹所围成图形的面积为 ．
【答案】10
【分析】作出过 且与 垂直的圆柱的截面，它是一个矩形，而由 得 ，所以
平面 ，从而可得 点轨迹，求出所围图形面积．
【详解】作母线 ， ，连接 ，
因为 ，所以 共面， 是圆柱的一个截面，
平面 ， 平面 ，所以 ，
又由已知得 ，而 ， 平面 ，
所以 平面 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 得 ，所以 平面 ，
矩形 即为 点轨迹，
，则 ，又 ，
所以矩形 的面积为 ．
故答案为：10.
15．已知 ， ，则 的值为 .
【答案】 或
【分析】对已知等式左右同时取对数，结合对数运算法则化简可得 ，由此可求得结果.
【详解】由 得： ，
由 得： ，
，
，
或 ， 或 .
故答案为： 或 .
16．周长为4的 ，若 分别是 的对边，且 ，则 的取值范围为 ．
【答案】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】利用平面向量的数量积公式结合余弦定理可得 ，再根据三角形两边之和大
于第三边结合基本不等式求出 ，然后利用二次函数的性质求解即可.
【详解】因为周长为4的 ， 分别是 的对边，且 ，
所以
，
令 ，
∴ ，
∴ ，解得 ，
又∵ ，∴ ，∴
故 ，又 在 上递减，
∴ ，
故答案为： .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．已知 和 是公差相等的等差数列，且公差 的首项 ，记 为数列 的前 项和，
．
(1)求 和 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)若 的前 项和为 ，求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用等差数列通项公式、前n项和公式列方程求得 ，进而写出通项公式；
（2）应用放缩有 ，由裂项相消法求和即可证结论.
【详解】（1）由已知得 ，即 ，解得 ，
故 ．
（2）由（1）得 ，
则
，得证．
18．在 中，内角 的对边分别为 ， .
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，求 边上的中线 的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式，结合正弦定理、余弦定理及同角三角函数关系式即可求出结果；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）利用三角形面积公式，及（1）的相关结论，再结合平面向量的四边形法则，利用向量的线性表示出
，最后利用求模公式即可求 边上的中线 的长.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
由余弦定理及 得：
，
又 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
所以 .
（2）由 ，
所以 ，
由（1） ，
所以 ，
因为 为 边上的中线，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
所以
，
所以 ，
所以 边上的中线 的长为： .
19．如图，在多面体ABCDEF中，四边形 与 均为直角梯形， 平面 ，
．
(1)已知点G为AF上一点，且 ，求证：BG与平面DCE不平行；
(2)已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为 ，求AF的长及四棱锥D－ABEF的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)AF的长为4； ．
【分析】（1）证明出 两两垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面DCE的法向
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】量，计算出 ，证明出BG与平面DCE不平行；
（2）由BF与平面DCE所成角的正弦值计算出AF的长，从而求出梯形ABEF的面积，计算出四棱锥的体
积.
【详解】（1）证明：因为 平面ABEF，AB， 平面ABEF，
所以 ， ，
又 ，
以 为坐标原点， 分别为 轴，建立空间直角坐标系，
则 、 、 、 、 ，
所以 ， ， ，
设平面DCE的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，所以 ，
因为 ，且不存在 使得 与 垂直，
所以BG与平面DCE不平行；
（2）设 （ 且 ），则 ，所以 ，
∵直线BF与平面DCE所成角的正弦值为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ ，
化简得 ，解得 或 （舍去）；故 ．
此时梯形ABEF的面积 ，故 ．
20．已知正项数列 的前 项和为 ，满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用和与项的关系可得 ，由 可得 ，再利用
等差数列的通项公式即可求解；
（2）根据 的周期性，利用分组求和的方法即可求解.
【详解】（1） ，
当 时， ，两式子作差可得
，
又 ，所以 ，
可得数列 为公差为2 的等差数列，
当 时， ，
所以，数列 的通项公式为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2） ，
，
所以，数列 的前 项和 .
21．已知函数 ， .
(1)讨论 的单调性并求极值.
(2)设函数 （ 为 的导函数），若函数 在 内有两个不同的零点，求实
数 的取值范围.
【答案】(1) 在 上单调递减，在 上单调递增， 的极小值为 ，无极大值；
(2) .
【分析】（1）求出 ，然后可得单调性和极值；
（2） ，然后求出当 时 的单调性，要使函数 在 内有两个不同的零点，
则有 ，解出 ，然后证明 即可.
【详解】（1）因为 在 上单调递增，
所以当 时 ，当 时 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 的极小值为 ，无极大值.
（2）因为 ，
所以 ，
当 时， ，
所以当 或 时， 在 上单调，至多只有一个零点，不满足题意，
当 时，由 可得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以要使函数 在 内有两个不同的零点，则有 ，
由 可得 ，下面证明当 时 ，
令 ，则 ，
所以当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 ，
所以当 时 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】综上：实数 的取值范围为 .
22．如图，在梯形 中， ， ， ，四边形 为矩形， 平面
平面 ， .
(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的平面角的余弦值；
(3)若点 在线段 上运动，设平面 与平面 所成二面角的平面角为 ，试求 的范
围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3) ， .
【分析】（1）通过证明 结合平面 平面 可证明结论；
（2）取 中点 ，连接 ， ，通过说明 ， 可得 为二面角的平面角，后由
题目条件结合余弦定理可得答案；
（3）当点M在F点时，由（2）可知答案；当M在点E时，过B作 ，且使 ，连接 ，
，则由题目条件可得 ；当 与 ， 都不重合时，令 ，延长 交 的延长线于
，连接 ，过 作 交 于 ，连接 ，通过说明 ， 可得 .后
综合三种情况可得答案.
【详解】（1）证明：在梯形 中， ， ， ， ，
，
， ， 平面 平面 ，平面 平面 ， 平
面 ， 平面 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）解：取 中点 ，连接 ， ，
， ， ，
， ， 为二面角的平面角.
， ， ， ，
.
（3）由（2）知：
①当 与 重合时， ；
②当 与 重合时，过 作 ，且使 ，连接 ， ，则平面 平面 ，
， ， 平面ABC， 平面ABC， ， 平面 ，
平面 ， ， ， ；
③当 与 ， 都不重合时，令 ， ，延长 交 的延长线于 ，连接 ， 在
平面 与平面 的交线上， 在平面 与平面 的交线上， 平面 平面 ，
过 作 交 于 ，连接 ，
由（1）知， ，又 ， 平面 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】平面 ， 平面 ， .
又 ， 平面ACH， ， 平面 ， ， .
在 中， ，从而在 中， ，
， ， . ，
.
综上所述， ， .
【点睛】方法点睛：本题涉及利用几何方法求二面角的平面角大小，对于此类问题可在两半平面内过交线
上一点作交线的垂线；也可找到与交线垂直的平面，则垂面与半平面交线所形成的角即为所求平面角.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
