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阶段性检测 2.2（中）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】集合 为不等式的解集，集合 为函数的定义域，分别求解即可.
【详解】由 解得 ，
函数 ，由 得， .
所以 .
故选：A.
2．已知非零复数 满足 ，则 的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设复数 ，代入 中化简，再利用复数相等的条件列方程组可求出
，从而可求出复数 ，进而可求出 的共轭复数
【详解】设复数 ，由 ，得
，化简得 ，
所以 ，解得 （舍去），或 ，
所以 ，则 ，
故选：A
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 13．如图，平行四边形 中，点E为BC的中点，点F在线段AE上，且 ，记 ，
，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用平面向量基本定理，结合平行四边形的性质求解即可.
【详解】因为平行四边形 中， 是 的中点， ， ，
所以
.
故选：D．
4．已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是 ，空气的温度是 ，则 后物体的温度
满足公式 （其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）.某天小明同学
将温度是 的牛奶放在 空气中，冷却 后牛奶的温度是 ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．牛奶的温度降至 还需
D．牛奶的温度降至 还需
【答案】D
【分析】运用代入法，结合对数的运算逐一判断即可.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2【详解】由 ，得 ，
故 ，AB错误；
又由 ， ，得 ，
故牛奶的温度从 降至 需 ，
从 降至 还需 .
故选：D
5．泰姬陵是印度在世界上知名度最高的古建筑之一，被列为“世界文化遗产”．秦姬陵是印度古代皇帝
为了纪念他的皇妃建造的，于1631年开始建造，用时22年，距今已有366年历史．如图所示，为了估算
泰姬陵的高度，现在泰姬陵的正东方向找一参照物 ，高约为 ，在它们之间的地面上的点Q（B，
Q，D三点共线）处测得 处、泰姬陵顶端 处的仰角分别是 和 ，在 处测得泰姬陵顶端 处的仰
角为 ，则估算泰姬陵的高度 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题设可得 ，应用正弦定理求得 ，进而求 .
【详解】由题设 且 ，在 测得泰姬陵顶端 处仰角为 ，
所以 ，则 ，
所以 ，故 .
故选：A
6．若 ： ，则 成立的一个充分不必要条件为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分别解一元二次不等式、对数式不等式、指数式不等式、分式不等式即可判断充分性与必要性，
即可得答案.
【详解】对于A，由 可得 ，解得 ，所以“ ”是 成立
的一个既不充分也不必要条件，故A不符合；
对于B， 可得 ，则 ，解得 ，所以“ ”
成立的一个充分不必要条件，故B符合；
对于C， 可得 ，则 ，解得 ，所以“ ”是 成立的一个必要不充分
条件，故C不符合；
对于D，由 可解得 或 ，故“ ”是 成立的一个既不充分也不必要条件，故D
不符合.
故选：B.
7．已知二次函数 的两个零点为 ，若 ， ，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数零点的定义，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.
【详解】由 ， ，得 ， ，由 ，
由 ，解得 ，
．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4，
故选：D
【点睛】关键点睛：根据已知不等式得到 是解题的关键.
8．设 ， ， ，下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据 ， ， ，设 ，分构造
函数 和函数 ，利用其单调性比较.
【详解】解：因为 ， ， ，
设 ，则构造函数 ，有 ，则 单调递增，
且 ，所以 ；
再构造函数 ，有 ，则 单调递增，且 ，所以
，
综上： ．
故选：D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知 为虚数单位，则（ ）
A．若复数 的共轭复数为 ，则
B．若 ，则 的充要条件是
C．若复数 ，则 ，
D．若复数 ，则
【答案】ACD
【分析】由共轭复数的定义，复数模公式判断 ；由题意可知， ， 不一定是 的实部和虚部，结
合充分必要条件的对于判断B；由实数的运算性质判断C；由复数的四则运算及复数模公式判断D.
【详解】设 ，则 ， ，故A正确；
由 ，知 ， 不一定是 的实部和虚部，不一定得到 ，故B错误；
复数 ，只有实数可以比较大小，虚数不能比较大小，则 ， ，故C正确；
，则 ，故D正确.
故选：ACD．
10．已知函数 的图象关于直线 对称，则（ ）
A．函数 为奇函数
B．函数 在 上单调递增
C．若 ，则 的最小值为
D．将函数 图象上所有点的横坐标缩小为原来的 ，得到函数 的图象
【答案】AB
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6【分析】利用三角函数的图象与性质结合图象变换一一判定即可.
【详解】由题意可知 ，又 ，
故 ，
对于A项， ，由诱导公式知 ，即函数 为
奇函数，故A正确；
对于B项， ，由正弦函数的图象及性质可知函数 在 上单调递增，故
B正确；
对于C项，易知 ，若 ，则 与 一个取得最大值，一个取得最小值，
即 与 相隔最近为半个周期，即 的最小值为 ，故C错误；
对于D项，由三角函数的伸缩变换可知，函数 图象上所有点的横坐标缩小为原来的 ，得到函数
的图象，故D错误.
故选：AB.
11．在 中， ， ， ， 为 内任意一点（含边界），且 ，则
的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴建立平面直角坐标系，设点
，利用平面向量数量积的坐标运算、辅助角公式以及正弦型函数的基本性质可求
得 的取值范围，即可得出合适的选项.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 7【详解】在 中， ， ， ，
以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则 、 、 ，
因为 为 内任意一点（含边界），且 ，设点 ，
， ，
所以， ，
为锐角，且 ，
因为 ，则 ，
由 可得 ，由 得 ，
所以，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以， ，
又因为 ， ，则 ，
故选：BCD.
12．已知函数 ， 的定义域均为R，且满足 ， ，
，则（ ）
A．4为 的周期
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8B． 为奇函数
C．
D．
【答案】AD
【分析】根据函数的对称性，周期性判断A，根据 与 的关系及周期性判断B，根据中心对称的性
质及周期性可判断CD.
【详解】对于A，因为 ，所以 的对称中心为 ，
因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，所以 ，即 ，
所以 ，即 的周期为4，
又 ，所以 的周期也为4，故A正确；
对于B，因为 ，所以 ，
又由A知 周期为4，即 ，所以 ， 为偶函数，故B错误；
对于C，由 对称中心为 ，得 ，
又因为直线 为 对称轴，所以 ，所以 关于点 对称，
所以 和 关于点 对称，
所以 ，所以 ，
所以 ，故C错误；
对于D，由C得 ，因为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 9所以 ， ， ， ，
所以
，
又因为 的周期为4，
所以 ，故D正确.
故选：AD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，
设企业的污水排放量W与时间t的关系为 ，用 的大小评价在 这段时间内企业
污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．
给出下列三个结论：
①在 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
③甲企业在 ， ， 这三段时间中，在 的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②
【分析】根据图形及两点的斜率公式即可求解.
【详解】 表示两点 ， 连线斜率的相反数，
因此斜率越大，污水治理能力越弱．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 10由题图可知甲企业的污水排放量在 时刻高于乙企业，而在 时刻甲、乙两企业的污水排放量相同，故在
这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故①正确；
在 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量，故都已达标，②正确；
甲企业在 ， ， 这三段时间中，在 时对应的两点连线的斜率最小，因此在 的污
水治理能力最强，故③错误．
故答案为：①②.
14．已知函数 在 上单调递减，对任意 ，均有 ，记
， ，则函数 的最小值为 ．
【答案】3
【分析】利用赋值法，函数的单调性以及基本不等式的性质求解即可.
【详解】设 ，则 ，
又 ，
∴ ，
∵ 在 上单调递减，
∴ ，
得 ，
得 ，
得 或 （不合题意），
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 11∴ ．
当且仅当 时“=”成立．
故答案为：3.
15．设 ， ，且 ，则 .
【答案】
【分析】对式子变形得 ， ，再根据同角三角函数基本关系及两角和正弦公式求得
，从而求出角.
【详解】由已知配方得 ，
解得 ， ，又 ， ，所以 ， ，
所以 ， ，所以 .
故答案为：
16．“完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍．寻找“完全数”用到函数
： ， 为n的所有正因数之和，如 ，则 ；
．
【答案】 42
【分析】根据 为n的所有正因数之和，直接计算 ，分析 的正因数的特点，利用等比数列求和
求解.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 12【详解】根据新定义可得， ，
因为 正因数 ，
所以
故答案为： ；
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．已知函数 ， ， ．
(1)若 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，求 的值；
(2)若 在 上单调递增，且 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为
己知．求 、 的值．
条件①：
条件②： 是 的一个零点；
条件③：
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，再根据周期求出 ；
（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把 的解析式化简，根据 在 上的单调性及零点
可求出 ，从而求出 的值，把 的值代入 的解析式，由 和 即可求出 的值；若选条件
③：由 的单调性可知 在 处取得最小值 ，从而求出 ，得到 的值，同理求出 的值．
【详解】（1）因为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 13，
又 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ， ，
即最小正周期 ，解得 .
（2）由（1）可得 ，则 ，
若选条件①： ，又 ，且 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，与 在 上单调递增矛盾，故条件①不能使函数 存在；
若选条件②： 是 的一个零点，又 在 上单调递增，且 ，
所以 ，则 ，解得 ，
所以 ，又 ， ，解得 ， ，
因为 ，所以 ，经检验符合题意，即 、 ；
若选条件③： ，又 在 上单调递增，且 ，
所以 ，
所以 ，则 ，解得 ，
所以 ，又 ， ，解得 ， ，
因为 ，所以 ，经检验符合题意，即 、 ；
18． 为虚数单位
(1)已知复数 ，求 的虚部.
(2)在复数范围内解方程 .
【答案】(1)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 14(2) 或
【分析】（1）利用复数的除法化简复数 ，利用复数的概念可得结果；
（2）设 ，则 ，利用复数的四则运算以及复数相等可得出关于 、 的方程组，
解出这两个量的值，即可得出复数 .
【详解】（1）解： ，故 的虚部为 .
（2）解：设 ，则 ，
由 可得 ，所以， ，解得 ，
因此， 或 .
19．北京时间2023年3月30日18时50分，中国在太原卫星发射中心成功将宏图一号01组卫星发射升空，
卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．据了解，在不考虑空气动力和地球引力的理想状态下，
可以用公式 计算火箭的最大速度 （单位： ），其中 （单位： ）是喷流相对速度，
（单位： ）是火箭（除推进剂外）的质量， （单位： ）是推进剂与火箭质量的总和， 称为
总质比，已知A型火箭的喷流相对速度为 ．
(1)当总质比为200时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；
(2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的 倍，总质比变为原来的 ，若
要使火箭的最大速度至少增加 ，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值．
参考数据： ， ．
【答案】(1)最大速度约为
(2)74
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 15【分析】（1）由 ， 代入已知公式计算；
（2）根据题意列出不等式求解即可．
【详解】（1）当总质比为200时， ，
∴当总质比为200时，A型火箭的最大速度约为 ．
（2）由题意，经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度为 ，总质比变为 ，
要使火箭的最大速度至少增加 ，则需 ，
化简得， ，
∴ ，整理得 ，∴ ，则 ，
由参考数据，知 ，
∴ ，
∴材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为74．
20．在锐角 中，角 的对边分别为 ， ， ，已知 且 ．
(1)求角A的大小；
(2)若 ，求 的面积；
(3)求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意结合三角恒等变换运算求解；
（2）先利用余弦定理求得 ，进而可求面积；
（3）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得 ，结合正弦函数的有界性运算求
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 16解.
【详解】（1）因为
，
且 ，则 ，可得 ，
整理得 ，所以 .
（2）由余弦定理 ，即 ，
解得 或 （舍去），
所以 的面积 .
（3）由正弦定理 ，可得 ，
则
，
因为 为锐角三角形，且 ，则 ，解得 ，
则 ，可得 ，
则 ，
所以 的取值范围为 .
21．在 中， ， ， ， .
(1)用向量 和向量 分别表示向量 ， ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 17(2)若 ，且角 为直角，求 的值.
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）根据条件，结合向量加减法法则即可求解；
（2）根据 、角 是直角即可求解 的值.
【详解】（1）
；
；
（2）由题意可知， ，
，
因角 是直角，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 18，化简为 ，
此时 ，
综上， 的值是 .
22．已知函数 ， 其中 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若方程 有三个根，求 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2) ．
【分析】（1）求导 ，再分 ， ， 讨论求解；
（2）由方程 有三个根，转化为 有三个根，进而利用数形结合法，由 与函
数 的图象有三个交点求解.
【详解】（1）解：由题意得函数 的定义域为 ，
，
当 时， ，即 在 上单调递增；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 19当 时，由 ，得 或 ，由 ，得 ，
在 上单调递减，在 和 上单调递增；
当 时，由 得 或 ，由 得 ，
在 上单调递减，在 和 上单调递增，
综上所述，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 和 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 和 上单调递增；
（2）方程 有三个根，即 有三个根，
有三个根，显然 不是方程的根，
则 有三个根，即 与函数 的图象有三个交点，
，令 ，可得 ，
由 ，可得 或 ，由 ，可得 ，
则 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
在 处取得极大值为 ，
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
如图所示：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 20要使 与函数 的图象有三个交点，
只需 ， 的取值范围是 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 21
