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专题 3.3 等边三角形重难点题型归纳（三大模型）
【题型01 ：等边三角形中动点综合问题】
【题型02： 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题】
【题型03： 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题】
【题型1 等边三角形中动点综合问题】
【典例1】如图，在△ABC中，∠C＝90o，∠A＝30o，AB＝60cm，动点P、Q同时从 A、B
两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，点P的运动速度为2cm/s，点Q的运动速度
为1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s．
（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？
（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？
【变式1-1】如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同
时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N
第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？
（2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形AMN？
（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存
在，请求出此时M、N运动的时间．
【题型02： 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题】【典例2】如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是射线BC上一动点，
以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
【问题解决】如图1，点D与点B重合，求证：AE＝FC；
【类比探究】（1）如图2，点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；
（2）如图3，点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数
量关系？直接写出你的结论．
【变式2-1】如图，等边三角形ABC中，点E是BC上一定点，点D是射线AC上一动点，
以DE为边作等边三角形DEF，连接CF．
（1）如图1，点D与点A重合，直接写出线段CD、CE、CF之间的数量关系 CD ＝
CE + CF ．
（2）如图2，点D在AC边上，求证：CD+CF＝CE．
（3）如图3，点D在边AC的延长线上，请探究线段CD、CE、CF之间的数量关系，
并证明你的结论．
【变式2-2】如图，在等边三角形ABC中，点E是边CA延长线上一点，点D是直线BC上
一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．（1）如图1，若点D在边BC上，求证：CE＝CF+CD；
（2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的
数量关系，并说明理由．
【变式2-3】如图，在等边△ABC中，点D是边AC上一定点，点E是直线BC上一动点，
以DE为一边作等边△DEF，连接CF．
（1）如图1，若点E在边BC上，且DE⊥BC，垂足为E，求证：CD＝2CE；
（2）如图1，若点E在边BC上，且DE⊥BC，垂足为E，求证：CE+CF＝CD；
（3）如图2，若点E在射线CB上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关
系？并说明理由．
【题型03 ：等边三角形-作平行线法解决动点综合问题】
【典例3】如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别是射线AB、射线CB上的动点，点D
从点A出发沿着射线AB移动，点E从点B出发沿着射线BG移动，点D、E同时出发并且移动速度相同，连接CD、DE．
（1）如图①，当点D移动到线段AB的中点时，DE与DC的长度关系是：DE ＝
DC．
（2）如图②，当点D在线段AB上移动但不是中点时，探究DE与DC之间的数量关系，
并证明你的结论．
（3）如图③，当点D移动到线段AB的延长线上，并且ED⊥DC时，求∠DEC的度数．
【变式3-1】已知：△ABC是等边三角形，点D是线段AC上一点，作DB＝ED，交BC延
长线于点E．
（1）求证：AD＝CE；
（2）若DC＝4，CE：BC＝1：3，求BE的长度．
【变式3-2】△ABC是边长为2的等边三角形，点P、Q分别从A、C两点同时出发做匀速
直线运动，且它们的速度相等．已知点P沿边射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，
设PQ与直线AC相交于点D，作PE⊥AC，垂足是E．（1）当点P在线段AB上运动时，求证：2DE＝AC；
（2）当点P、Q继续运动时，（1）中的结论还成立吗？若成立，画出图形并证明．如
不成立指出DE与AC的关系并说明理由．
【变式3-3】已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED
＝EC．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：
AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．
（2）【特例启发，解答题目】
如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出
结论，AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交
AC于点F．（请你完成以下解答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，
若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．
【变式3-6】如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别是射线AC、射线BC上的动点，点
D从点A出发沿射线AC移动，点E从点C出发沿射线BC移动，点D、点E同时出发
并且运动速度相同．连接BD、．（1）如图①，当点D移动到线段AC的中点时，求∠DEC度数．
（2）如图②，当点D在线段AC上移动但不是中点时，试探索DE与BD之间的数量关
系，并说明理由．
（3）如图③，当点D移动到线段AC的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？并
说明理由．
