文档内容
2025-2026 学年九年级上学期第一次月考试卷
数学 试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考
证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：初三上第1-2章（人教版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一﹑单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。）
1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
1
A．−2x2+3x−1=0 B．x+ y=1 C．x+ =3 D．x+6=9
x
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的
最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程，根据一元二次方程的定义逐项判断即可，熟练
掌握一元二次方程的定义是解此题的关键．
【详解】解：A、−2x2+3x−1=0，是一元二次方程，符合题意；
B、x+ y=1，是二元一次方程，不符合题意；
1
C、x+ =3，是分式方程，不符合题意；
x
D、x+6=9，是一元一次方程，不符合题意；
故选：A．
2．抛物线y＝3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，5） B．（﹣2，﹣5） C．（2，5） D．（2，﹣5）【答案】C
【分析】根据二次函数的性质y＝a(x﹣h)2+k的顶点坐标是(h，k)进行求解即可.
【详解】∵抛物线解析式为y=3(x-2)2+5，
∴二次函数图象的顶点坐标是(2，5)．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标(对
称轴)，最大(最小)值，增减性等．
3．方程x2−4x−4=0经过配方后，其结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
(x−2) 2=8 (x−2) 2=0 (x+2) 2=8 (x+2) 2=0
【答案】A
【分析】用配方法把一元二次方程配成完全平方的形式即可解答．
【详解】解：x2−4x−4=0，
移项，两边同时加8得，x2−4x+4=8，
配方得， ．
(x−2) 2=8
故选：A．
【点睛】本题主要考查了配方法，熟练掌握配方法的步骤和方法是解题关键．
4．下列关于抛物线y=−x2+2的说法正确的是
A．抛物线开口向上
B．顶点坐标为(−1,2)
C．在对称轴的右侧，y随x的增大而增大
D．抛物线与x轴有两个交点
【答案】D
【分析】由题可知二次函数二次项系数为负数，故开口方向向上；顶点坐标为（0，2）；在对称轴的
右侧y随x的增大而减小.
【详解】由题可知二次函数二次项系数为负数，故开口方向向下；顶点坐标为（0，2）；在对称轴的
右侧y随x的增大而减小，
故选D.
【点睛】了解二次函数的图像特点是解题的关键.
5．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由15元降为9元，
设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（ ）A． B． C． D．
15(1−x) 2=9 15(1−2x) 2=9 15(1−x)=9 15(1−2x)=9
【答案】A
【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格×（1-降价的百分率），
则第一次降价后的价格是 ，第二次后的价格是 ，据此即可列方程求解．
15(1−x) 15(1−x) 2
【详解】根据题意得：
15(1−x) 2=9
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到已知量和未知量之间的等量关系，列
出方程即可．
6．一元二次方程x2−4x+3=0的根的情况是（ ）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式， 的根的判别式 ：当
ax2+bx+c=0(a≠0) Δ=b2−4ac
Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．
根据一元二次方程根的判别式 ，即可判断．
Δ=(−4) 2−4×1×3=4>0
【详解】解：在一元二次方程x2−4x+3=0，a=1,b=−4,c=3，
，
∵ Δ=(−4) 2−4×1×3=4>0
∴一元二次方程x2−4x+3=0有两个不相等的实数根，
故选：C．
7．已知，点 ， ， 在二次函数 图象上，则 ， ， 的大小关
A(3,y ) B(0,y ) C(−1,y ) y=x2+2x+c y y y
1 2 3 1 2 3
系是（ ）
A． y ＜y ＜y B． y ＜y ＜y
1 3 2 2 1 3
C． y ＜y ＜y D． y ＜y ＜y
1 2 3 3 2 1
【答案】D
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是x=−1，根据x＞−1时，y随x的增
大而增大，即可求出答案．
【详解】解：∵y=x2+2x+c，2
∴图像的开口向上，对称轴是直线x=− =−1，
2×1
∴当x＞−1时，y随x的增大而增大，
∵ ， ， ，
A(3,y ) B(0,y ) C(−1,y )
1 2 3
又∵−1＜0＜3，
∴y ＜y ＜y ，
3 2 1
故选：D．
【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能
熟练的运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
8．如图，把一块长为45cm，宽为25cm的矩形硬纸板的四角减去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚
线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为625cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可
列方程为（ ）
A．(45−2x)(25−x)=625 B．(45−x)(25−x)=625
C．(45−x)(25−2x)=625 D．(45−2x)(25−2x)=625
【答案】D
【分析】由剪去小正方形的边长可得出该无盖纸盒的底面长为（45-2x）cm，宽为（25-2x）cm，根据该
无盖纸盒的底面积为625cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵剪去小正方形的边长为x cm，
∴该无盖纸盒的底面长为（45-2x）cm，宽为（25-2x）cm．
依题意得：（45-2x）（25-2x）=625．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
9．在同一平面直角坐标系中，一次函数y=kx+1与二次函数y=x2+k的大致图象可以是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象、一次函数图象以及一次函数图象与系数的关系， 先根据二次函
数图象与y轴交点的位置确定k的正负，再利用一次函数图象与系数的关系可找出一次函数y=kx+1经
过的象限，对比后即可得出结论．根据二次函数的图象找出每个选项中k的正负是解题的关键．
【详解】解：A、由y=x2+k可知抛物线的开口向上，当k<0时，一次函数y=kx+1的图象经过第一、
二、四象限，故选项A不符合题意；
B、由y=x2+k可知抛物线的开口向上，故B不合题意；
C、由y=x2+k可知抛物线的开口向上，当k<0时，一次函数y=kx+1的图象经过第一、二、四象限，
故选项C符合题意；
D、由y=x2+k可知抛物线的开口向上，当k<0时，一次函数y=kx+1的图象经过第一、二、四象限，
故选项D不符合题意；
故选：C．
10．将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ ）
A．y=3（x+2）2﹣1 B．y=3（x﹣2）2+1 C．y=3（x﹣2）2﹣1 D．y=3
（x+2）2+1
【答案】A
【详解】函数图象的平移法则为：左加右减，上加下减；根据这个平移法则，抛物线y=3x2向左平移2
个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为y=3（x+2）2﹣1.故选A.
考点：二次函数图象的平移法则.
11．如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是（ ）
A．x＞3 B．x＜﹣1 C．﹣1＜x＜3 D．x＞3或x＜﹣1
【答案】C
【分析】由抛物线的对称性及抛物线经过（3，0）可得抛物线与x轴另一交点，进而求解．
【详解】解：∵抛物线经过点（3，0），对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∵ax2＋bx＋c＞0，
∴y＞0，
∴对应抛物线在x轴上方，即在（﹣1，0）与（3，0）之间．∴﹣1＜x＜3．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数和不等式的关系，将不等式的解转化为抛物线在x轴的上方的自变量的取
值范围是求解本题的关键．
12．我们定义一种新函数：形如 （ ， ）的函数叫做“鹊桥”函数．数学
y=|ax2+bx+c) a≠0 b2−4ac>0
兴趣小组画出一个“鹊桥”函数 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
y=|x2+bx+c)
A．bc<0
B．c=3
C．当直线y=x+m与该图象恰有三个公共点时，则m=1
D．关于x的方程 的所有实数根的和为4
|x2+bx+c)=3
【答案】D
【分析】由(−1，0)，(3，0)是函数图象和x轴的交点，利用待定系数法求得b、c的值可判断A、B
错误；由图象可判断C错误；由题意可得x2−2x−3=3或x2−2x−3=−3，利用根与系数的关系可
判断D正确．
【详解】解：∵(−1，0)，(3，0)是函数图象和x轴的交点，
{1−b+c=0
)
∴ ，
9+3b+c=0
{b=−2)
解得： ，
c=−3
∴bc=(−2)×(−3)=6>0，
故A、B错误；
如图，当直线y=x+m与该图象恰有三个公共点时，应该有2条直线，故C错误；
关于x的方程 ，即 或 ，
|x2+bx+c)=3 x2−2x−3=3 x2−2x−3=−3
−2
当x2−2x−3=3时，x +x =− =2，
1 2 1
−2
当x2−2x−3=−3时，x +x =− =2，
3 4 1
∴关于x的方程 的所有实数根的和为 ，
|x2+bx+c)=3 2+2=4
故D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的应用、新定义、二次函数的性质，利用数形结合的思想解答是解题的关
键．
第Ⅱ卷
二﹑填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．）
13．已知一元二次方程x2－c＝0有一个根为2，则c的值为 ．
【答案】4
【分析】直接把x=2代入方程得到关于c的一次方程，然后解方程即可．
【详解】解：把x=2代入方程得4-c=0，
解得c=4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方
程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为
一元二次方程的根．14．设x ，x 是一元二次方程x2−2x−1=0的两个根，则x +x −x x = ．
1 2 1 2 1 2
【答案】3
【分析】利用根与系数的关系可求得x +x 和x ⋅x 的值，代入求值即可．
1 2 1 2
【详解】∵x ，x 是一元二次方程x2−2x−1=0的两个根，
1 2
∴x +x =2，x ⋅x =−1，
1 2 1 2
∴ ，
x +x −x x =2−(−1)=3
1 2 1 2
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系，一元二次方程 的根与系数的关系为：
ax2+bx+c=0(a≠0)
b c
x +x =− ，x ⋅x = ．
1 2 a 1 2 a
15．如图，直线 与抛物线 交于点 和点 ，若 ，则x的
y =kx+b y =ax2+bx+c A(−2，3) B(2,−1) y x>−2
【分析】抛物线在直线下方部分对应的x的值即为所求．
【详解】解：观察图形可知，当−2−
4
(2)不存在，理由见解析
(3)k=28.
【分析】本题考查了一元二次方程的判别式以及根与系数的关系，解题的关键能够正确运用判别式的
表达式以及根与系数的关系式．
（1）根据一元二次方程的判别式Δ>0，然后解不等式即可；
（2）假设存在，代入两根和，两根积，求出k，再作出判断．
（3）联立x +x =3, 3x +2x =2可解得方程的一个根，再将这个根代入原方程即可求得k的值．
1 2 1 2
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2−3x−k=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=9+4k>0,
9 9
解得：k>− .即k的取值范围为k>− ;
4 4
（2）解：x ,x 是方程x2−3x−k=0的两个实数根，
1 2
∴x +x =3,x ⋅x =−k,
1 2 1 2
∵2x +x x +2x =2(x +x )+x x =10,
1 1 2 2 1 2 1 2
∴6−k=10,
解得k=−4,
9
∵方程有实数根时k的取值为k>− ,
4
∴不存在k值使得2x +x x +2x =10.
1 1 2 2
（3）解：由x +x =3,得x =3−x ,
1 2 1 2
代入 中得，
3x +2x =2 3(3−x )+2x =2
1 2 2 2解得：x =7，
2
把x =7代入原方程得，72−3×7−k=0，
2
解得：k=28．
20．（10分）列方程解应用题：如图，利用长20米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱
笆分割出2个小长方形，总共用去篱笆36米，为了使这个长方形的ABCD的面积为96平方米，求AB、
BC边各为多少米？
【答案】AB、BC边分别为8米、12米
【分析】设AB=x米，则BC=(36−3x)米，根据面积为96平方米列一元二次方程，再对求出的解根
据实际情况进行取舍．
【详解】解：设AB=x米，则BC=(36−3x)米，
由题意得x(36−3x)=96，
解得x =4，x =8，
1 2
当x=4时，BC=36−3×4=24>20（不合题意，舍去），
当x=8时，BC=36−3×8=12，
综上可知，AB、BC边分别为8米、12米．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意列出一元二次方程．
21.（10分）掷实心球是中考体育考试项目之一．如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是条抛
9
物线，行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为 m．当
5
水平距离为4m时，实心球行进至最高点5m处．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)根据中考体育考试评分标准（男生版），投据过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于9.7m时，即可得满分10分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由．
1 8 9
【答案】(1)y=− x2+ x+
5 5 5
(2)该男生在此项考试不能得满分，理由见详解
9
【分析】（1）由图2可知c= ，顶点坐标为(4，5)，设二次函数表达式为y=a(x−4) 2+5，由此即
5
可求解；
（2）令（1）中抛物线的解析式y=0，且x>0，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意设 关于 的函数表达式为 ，
y x y=a(x−4) 2+5
9 9 1
把(0, )代入解析式得， =a(0−4) 2+5，解得，a=− ，
5 5 5
1 1 8 9
∴y关于x的函数表达式为y=− (x−4) 2+5，即：y=− x2+ x+ ．
5 5 5 5
（2）解：不能得满分，理由如下，
根据题意，令y=0，且x>0，
1 8 9
∴− x2+ x+ =0，解方程得，x =9，x =−1（舍去），
5 5 5 1 2
∵9<9.7，
∴不能得满分．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际运用，掌握二次函数的性质及求解是解题的关键．
22．（12分）某新型高科技商品，每件的售价比进价多6元，5件的进价相当于4件的售价，每天可售出
200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖5件．
（1）该商品的售价和进价分别是多少元？
（2）设每天的销售利润为w元，每件商品涨价a元，则当售价为多少元时，该商品每天的销售利润最
大，最大利润为多少元？
【答案】（1）该商品每件的售价为30元，进价为每件24元；（2）当售价为47元时，该商品每天的
销售利润最大，最大利润为2645元．
【分析】（1）设该商品每件的售价为x元，进价为每件y元，由题意得二元一次方程组，求解即可；
（2）根据利润=每件的利润×销售量，列出二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得到
答案．
【详解】（1）设该商品每件的售价为x元，进价为每件y元，
{x−y=6) {x=30)
由题意得： ，解得 ，
5 y=4x y=24
∴该商品每件的售价为30元，进价为每件24元；（2）由题意得：
，
w=(30+a−24)(200−5a) =(6+a)(200−5a) =−5a2+170a+1200 =−5(a−17) 2+2645
∴当a=17时，w有最大值，最大值为2645，此时售价为30+17=47（元）．
∴当售价为47元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为2645元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组和二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌
握二次函数的性质是解题的关键．
23．（12分）在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2＋bx＋2 的图象与 x 轴交于 A（﹣3，0），B（1，
0）两点，与 y 轴交于点C．
（1）求这个二次函数的关系解析式 ，x 满足什么值时 y﹤0 ?
（2）点 p 是直线 AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点 P，使△ACP 面积最大？若存在，求出
点 P的坐标；若不存在，说明理由
（3）点 M 为抛物线上一动点，在 x 轴上是否存在点 Q，使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平
行四边形？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由．
2 4 3 5
【答案】（1）y=− x− x+2，x <−3 或x >1；（2）P(− , )；（3）
3 3 1 2 2 2
Q (−5,0),Q (−1,0),Q (2+❑√7,0),Q (2−❑√7,0)
1 2 3 4
【分析】（1）将点A（﹣3，0），B（1，0）带入y＝ax2＋bx＋2得到二元一次方程组，解得即可得
出函数解析式；又从图像可以看出x 满足什么值时 y﹤0；
（2）设出P点坐标(
m，−
2
m2−
4
m+2
)，利用割补法将△ACP 面积转化为
3 3
S =S +S −S ，带入各个三角形面积算法可得出S 与m之间的函数关系，分析即可
ΔPAC ΔPAO ΔPCO ΔACO ΔPAC
得出面积的最大值；
（3）分两种情况讨论，一种是CM平行于x轴，另一种是CM不平行于x轴，画出点Q大概位置，利
用平行四边形性质即可得出关于点Q坐标的方程，解出即可得到Q点坐标.
【详解】解：（1）将A（﹣3，0），B（1，0）两点带入y＝ax2＋bx＋2可得：¿
解得：¿
2 4
∴二次函数解析式为y=− x− x+2.
3 3
由图像可知，当x<−3或x>1时y﹤0；
2 4
综上：二次函数解析式为y=− x− x+2，当x<−3或x>1时y﹤0；
3 3
（2）设点P坐标为(
m，−
2
m2−
4
m+2
)，如图连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N.
3 3
2 4
PM=− m2− m+2，PN=−m，AO=3.
3 3
2 4
当x=0时，y=− ×0− ×0+2=2，所以OC=2
3 3
1 1 1
S =S +S −S = AO⋅PM+ CO⋅PN− AO⋅CO
ΔPAC ΔPAO ΔPCO ΔACO 2 2 2
= 1 ×3⋅ ( − 2 m2− 4 m+2 ) + 1 ×2⋅(−m)− 1 ×3×2=−m2−3m ，
2 3 3 2 2
∵a=−1<0
∴函数 有最大值，
S =−m2−3m
ΔPAC
−3 3
当m=− =− 时，S 有最大值，
2×(−1) 2 ΔPAC
此时 ( 3 5)；
P − ,
2 2
所以存在点 ( 3 5)，使△ACP 面积最大.
P − ,
2 2
（3）存在，
Q (−5,0),Q (−1,0),Q (2+❑√7,0),Q (2−❑√7,0)
1 2 3 4假设存在点Q使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形
①若CM平行于x轴，如下图，有符合要求的两个点Q 、Q ，此时Q A=Q A=CM.
1 2 1 2
∵CM∥x轴，
∴点M、点C（0,2）关于对称轴x=−1对称，
∴M（﹣2,2），
∴CM=2.
由 = ；
Q A Q A=CM=2，得到 Q (−5,0),Q (−1,0)
1 2 1 2
②若CM不平行于x轴，如下图，过点M作MG⊥x轴于点G，
易证△MGQ≌△COA，得QG=OA=3，MG=OC=2，即y =−2.
M
2 4
设M（x，﹣2），则有− x− x+2=−2，解得：x=−1±❑√7.
3 3
又QG=3,∴ ，
x =x +3=2±❑√7
Q G
∴
Q (2+❑√7,0),Q (2−❑√7,0)
3 4
综上所述，存在点P使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形，
Q点坐标为：
.
Q (−5,0),Q (−1,0),Q (2+❑√7,0),Q (2−❑√7,0)
1 2 3 4
【点睛】本题考查二次函数与几何综合题目，涉及到用待定系数法求二次函数解析式，通过函数图像
得出关于二次函数不等式的解集，平面直角坐标系中三角形面积的计算通常利用割补法，并且将所要
求得点的坐标设出来，得出相关方程；在解答（3）的时候注意先画出大概图像再利用平行四边形性
质进行计算和分析.
