期中复习压轴题必刷
一、单选题
1．在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx+c的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在矩形ABCD中，AB=12cm,BC=6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同
时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当
△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为（ ）s．
A．2 B．4 C．10 D．2或10
1
3．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(−3,0)，其对称轴是x=− ，结合图象分析下列结论：①
2
4ac−b2
a+b+c>0；②a+b=0；③一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别为x =−3,x =2；④ >0；
1 2 4a
⑤若两点 在二次函数图象上，则 ；⑥ ；其中正确的结论有（ ）
(−2,y ),(3,y ) y >y 2a+c>0
1 2 1 2
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
4．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A(−3,0)，对称轴为直线x=−1，给出以下结
论： ① ；② ；③ ；④若 、 为函数图象上的两点，
abc<0 b2−4ac>0 4b+c<0 B(−2.5,y ) C(−0.5,y )
1 2则y >y ；⑤当−3≤x≤1时，y≥0， 其中正确的结论是（ ）．（填写代表正确结论的序号）
1 2
A．②③ B．①③⑤ C．②③⑤ D．①②⑤
5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点(−1,0)，下列结论：
①b2>4ac；②4a+b=0；③4a+c>2b，④若顶点坐标为(2,4)，则方程ax2+bx+c=5没有实数根．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么 的取值范围是（ ）
x k2x2−(2k+1)x+1=0 k
1 1 1 1
A．k≥ B．k< 且k≠0 C．k>− 且k≠0 D．k≤−
4 4 4 4
7．设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a=0有两个不相等的实数根x ，x ，且x <1<x ，那么实数a的
1 2 1 2
取值范围是（ ）
2 2 2 2 2
A．a＜− B．− ＜a＜ C．a> D．− ＜a＜0
11 7 5 5 11
8．二次函数y=ax2+bx+c大致图象如图所示，其中顶点为(−2,−9a)下列结论：① abc<0；②
4a+2b+c>0；③ 5a−b+c=0；④若方程a(x+5)(x−1)=−1有两根为x 和x ，且x <x ，则
1 2 1 2
； 若方程 有四个根，则这四个根的和为 ，其中正确的结论是（
−5<x <x <1 ⑤ |ax2+bx+c)=1 −8
1 2
）A．①②③④ B．①②③⑤ C．②③④⑤ D．①②④⑤
9．如图，∠AOB=120°，P为∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若
∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M，N两点，则以下结论：①
PM=PN；②OM与ON的长度和为定值；③四边形PMON的面积保持不变；④MN的长度保持不变；
⑤ΔPMN的周长保持不变．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③⑤ C．①③④ D．①②⑤
10．如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点．以点C为圆心，CE长为半径画圆，点P是⊙C上
一动点，点F是边AD上一动点，连接AP，若点Q是AP的中点，连接BF，FQ，则BF+FQ的最小
值为（ ）
A．2❑√10−1 B．2❑√10+1 C．❑√13+1 D．❑√13−1
11．如图，已知矩形ABCD，AB=8，BC=12，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则
MA+MD+ME的最小值为（ ）A．6+4❑√2 B．4+4❑√13 C．8+6❑√3 D．20
12．如图所示是二次函数 的部分图象，该函数图象的对称轴是直线 ,图象与 轴
y=ax2+bx+c(a≠0) x=1 y
1
交点的纵坐标是2．则下列结论：①2a+b=0；②方程ax2−bx+ =0一定有两个不相等的实数根：
2
③当 时， ；④ ；⑤抛物线上有两点 (1 )， ,若 ，
−1≤x≤2 3a+2≤ y≤2 b−a<2 P ，y Q(m，y ) y >y
2 1 2 1 2
3
则m> ．其中正确结论的个数有（ ）
2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．对于二次函数
y=ax2+bx+c
，规定函数y= { ax2+bx+c(x≥0) )是它的相关函数．已知点
M,N
的
−ax2−bx−c(x<0)
坐标分别为( 5 ) ，连接 ，若线段 与二次函数 的相关函数的图象有
− ,2 ,(5,2) MN MN y=−2x2+8x+n
4
两个公共点，则n的取值范围为（ ）
89 89
A．−6<n≤−2或2<n≤ B．−6<n<−2或2<n≤
8 8
89
C．n≤−2或2≤n≤ D．−6<n<−2或n≥2
8二、填空题
14．如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD．将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到
△BAE，连接ED．若BC=10，BD=9，则△AED的周长是 ．
15．如图，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°至EBGF的位置，连接AC，EG，取AC，EG的中点
M，N，连接MN，若AB=8，BC=6，则MN= ．
16．若a，b是方程2x2−5x−1=0的两根，则2a2+3ab+5b的值为 ．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，将△ABC绕点C顺时针旋转得到
△A′B′C，点A的对应点为A′，若P为A′B′的中点，连接BP，则线段BP长度的最大值为 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE边长是6，点A、D分别在x轴、y轴的正半轴上，
则它的外接圆的圆心P的坐标是 ．19．在直角坐标系中，已知⊙O是以原点O为圆心，1为半径，若直线y=x+a与⊙O有公共点，则a的
取值范围是 ．
20．如图，将一次函数y=3x+4的图象绕原点O顺时针旋转90°，所得到的图象对应的函数表达式为
．
21．如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转
得到线段 ，下列结论：①点O与 的距离为4；② ；③ ；④
60° BO′ O′ ∠AOB=150° S =3❑√7
△AOB
9
S =6+4❑√3；⑤S +S =6+ ❑√3．其中正确的结论是 ．
四边形AOBO′ △AOC △AOB 4
22．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，AB=5，AC=4，D是B´C上的一个动点，连接AD．过
点C作CE⊥AD于E，连接BE，则BE的最小值是 ．
23．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A ，点B ，点E是边 的中点，把 绕
(❑√3,0) (0,1) AB △AOB点A顺时针旋转得△ADC，点O，B旋转后的对应点分别为D，C． 连接OC，EC，OE，在旋转
的过程中，△OEC面积的最大值为 ．
24．如图，在直角坐标系中，点A在x轴上，OA=1，以OA为边作等边△OAB，延长OB到点A ，使
1
A B=OB；以OA 为边作等边OA B ，延长OB 至点A ，使A B =OB ；以OA 为边作等边
1 1 1 1 1 2 2 1 1 2
△OB A ，延长OB 至点A ，使A B =OB ；按照以上方式依次作△OA B ，△OA B ，…则
2 2 2 3 3 2 2 3 3 4 4
点A 的坐标为 ．
2024
25．如图，在矩形ABCD中，E为矩形内一点，连接AE，BE，CE，∠AEB=90°，AB=12，BC=5，
则EC的最小值为 ．
26．如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠ABC=75°，M是△ABC内的动点，连接MA，MB，MC，
则AM+BM+CM的最小值是 ．27．如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=2，D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角
为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为 ．
28．如图，O是坐标原点，点A ，A ，A ，⋯A 在y轴的正半轴上，点B ，B ，B ，…B 在函数
1 2 3 n 1 2 3 n
1
y= x2位于第一象限的图象上，若△OA B ，△A A B ，△A A B ，⋯△A A B 都是
3 1 1 1 2 2 2 3 3 n n+1 n+1
等边三角形，则线段OA 的长是 ．
50
29．如图，正方形ABCD中，点E，F分别是BC,CD上的动点（不与点B，C，D重合），且
∠EAF=45°，AE,AF与对角线BD分别相交于点G，H，连接EF，则下列结论：
①∠CEF=2∠DAF；
②EF=BG+DH；
③若正方形ABCD的面积为16，则△ECF的周长为8；
④若BG=3,GH=5，则AH=2❑√10．
其中正确的序号为 ．三、解答题
30．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=10cm，点P从点A开始沿AB边向点B移动，
速度为1cm/s；点Q从点B开始沿BC边向点C移动，速度为2cm/s，点P，Q分别从点A，B同时出
发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．
(1)几秒后，PQ的长度为3❑√5cm；
(2)几秒后，△PBQ的面积为8cm2；
(3)△PBQ的面积能否为14cm2？请说明理由．
31．已知关于x的一元二次方程 有两个实数根．
x2−(2m−1)x+m2=0
(1)求实数m的取值范围；
(2)若一元二次方程的两个根 和 满足 ，求实数m的值．
x x (x −2)(x −2)=11
1 2 1 232．暑假期间某景区商店推出销售纪念品活动，已知纪念品每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该
纪念品的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10
件．（销售利润=销售总额-进货成本）
(1)若该纪念品的销售单价涨价为5元时，则当天销售量为______件．
(2)当该纪念品的销售单价涨价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元．
33．阅读下列材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，
配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 ．配方法可以解决代数式值的最
a2±2ab+b2=(a±b) 2
小（或最大）问题．
例如：当x取何值时，代数式x2+2x−4有最小（或最大）值？
x2+2x−4=(x2+2x+1)−5
=(x+1) 2−5
∵(x+1) 2≥0，
，
∴(x+1) 2−5≥−5
∴当x=−1时，代数式x2+2x−4有最小值−5．
【直接应用】
（1）仿照上述例子解决问题：当x取何值时，代数式x2−4x+5有最小（或最大）值？最小（或最
大）值是多少？
【拓展应用】
（2）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成．
①请用含x的代数式表示矩形鸡场的面积；②当x为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？
34．已知关于x的方程x2−2mx+m2−4m+3=0有两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若此方程的两个实数根分别为 ， ，且 ，求 的值．
x x x 2+x 2=4 m
1 2 1 2
35．园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米），另
三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的
门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃ABCD的一边CD长为x米．
(1)BC长为________米（包含门宽，用含x的代数式表示）
(2)若苗圃ABCD的面积为96m2，求x的值；
(3)苗圃ABCD的面积是否可以达到109m2，请说明理由．
36．项目化学习
项目主题：探究富平柿饼销售利润
项目背景：富平柿饼，形似圆月，肉红透明无籽，凝霜后白里透红。柿饼质地透明，清甜爽口，具有
润肺、健胃、止咳等药理功能，某校学习小组以“探究富平柿饼销售利润问题”为主题开展项目学习．
驱动任务：按预期利润制定合理售价．
收集数据：
某特产专卖店销售富平柿饼，其进价为每千克50元，按每千克90元出售，平均
素材 每月可售出200千克，后经市场调查发现，单价每降低5元，平均每月的销售量
可增加50千克．
解决问题：
(1)设每千克富平柿饼降价x元，则降价后富平柿饼每月的销售量为______；(2)在（1）的条件下，若专卖店销售富平柿饼想要平均每月获利8750元，求富平柿饼的售价应定为每
千克多少元？
37．已知，如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以
1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
(1)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
(2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？
38．如图，在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=12cm，P从点A开始沿AB向终点B以1cm/s的速度移动，
与此同时，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，
当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间是t．
(1)t为何值时，B在PQ的垂直平分线上？
(2)t为何值时，PQ的长度为10cm？39．如图1所示，△ABC的外接圆的半径为2，AB=AC，P为圆O中弧BC上一点，连接PA，PB，PC．
(1)若∠BAC=60°，求证：PA=PB+PC；
(2)如图2，若∠BAC=90°，若△ABP关于直线AB的对称图形为△ABM，连接CM，试探究CM2，
AM2，BM2三者之间满足的数量关系，并证明你的结论．
40．如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同
时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．
(1)P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？
(2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm？41．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且当x=0
和x=2时，y的值相等，直线y=3x−7与这条抛物线交于两点，其中一点横坐标为4，另一点是这条
抛物线的顶点M．
(1)求顶点M 的坐标并求出这条抛物线对应的函数解析式．
(2)P为线段BM上一点（P不与点B，M重合），作PQ⊥x轴于点Q，连接PC，设OQ=t，四边形
PQAC的面积为S，
①求S与t的函数解析式，并直接写出t的取值范围．
②当t为何值时，四边形PQAC的面积最大，求出这个最大值．
42．已知关于x的二次函数 （实数b，c为常数）．
y =x2+bx+c
1
(1)若二次函数的图象经过点(0,4)，对称轴为直线x=1，求此二次函数的表达式；
(2)记关于x的二次函数 ，若在（1）的条件下，当 时，总有 ，求实数m
y =2x2+x+m 0≤x≤1 y ≥ y
2 2 1
的最小值．
(3)若b2−c=0，当b−3≤x≤b时，二次函数y 的最小值为21，求b的值．
143．如图，△ABC是等腰直角三角形，且AB=AC，∠BAC=90∘．
(1)问题：如图1，点D是BC边上一点（不与B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90∘得到AE，
连接EC，则线段BD，CE之间满足的数量关系式为___________．
(2)探索：如图2，△ADE是等腰直角三角形，且AD=AE，∠DAE=90∘，将△ADE绕点A旋转，
使点D落在边上，试探索线段AD2 、BD2 、CD2之间满足的数量关系，并证明你的结论；
(3)应用：如图3，在四边形ABCD中，若CD=1，AD=2，BD=3，求∠ADC的大小．
44．如图1，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C，顶点为点D．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点E是点D关于x轴的对称点，经过点A的直线y=mx+1与该抛物线交于点F，点P是直线AF上的
一个动点，连接 、 、 ，记 的面积为 ， 的面积为 ，那么S 的值是否是定
AE PE PB △PAE S △PAB S 1
1 2 S
2
值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
(3)如图2，设直线AC与直线BD交于点M，点N是直线AC上一点，若∠ONC=∠BMC，求点N的
坐标．45．如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形．
(1)如图1，连接AG、CE，试判断AG和CE的数量关系和位置关系并证明．
(2)将正方形BEFG绕点B顺时针旋转β角(0°<β<180°)，如图2，连接AG、CE相交于点M，连接
MB，求∠EMB的度数．
(3)若BE=2，BC=6，连接DG，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转β角(0°≤β≤180°)，则在这个旋
转过程中线段DG长度的最大值为____，最小值为 ____（直接填空，不写过程）．
46．【提出问题】如图①，在等边△ABC内部有一点P，若∠APB=150°，求证：AP2+BP2=CP2
【尝试解决】（1）证明：将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，
则△APP'为等边三角形，
∴∠APP′=60°， PA=PP′，PC= ，
∵∠APB=150°
∴∠BPP′=90°，
∴P′P2+BP2= ，
即PA2+PB2=PC2
【类比探究】（2）如图②，在三角形ABC中，∠BAC=90°，内部有一点P，若∠APB=135°，
试判断线段PA,PB,PC之间的数量关系，并证明
【联想拓展】（3）如图③，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，点P在直线AB上方，且，满足 ，请直接写出 的值．
∠APB=60° (kPA) 2+PB2=PC2 k
47．如图，抛物线y=−x2+bx+c经过A(−1,0),C(0,3)两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，
直线AM与y轴交于点D．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH,DH，求|MH−DH)的最大值；
(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D,M,P,Q为顶点的四边形是平行
四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
48．如图，抛物线y=ax2−2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于C点，B(1,0)．
第二象限内有一点P在抛物线上运动，OP交线段AC于点E．
(1)求抛物线的解析式及点A，C的坐标；
(2)设△PAC的面积为S，当S最大时，求点P的坐标及S的最大值；
(3)是否存在点P，使点E是OP的中点． 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由49．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），点A、B的坐标分别是
(−1,0)、(3,0)，与y轴交于点C，点C的坐标是(0,3)，点D和点C关于抛物线的对称轴对称．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，求线段FG的最大值；
(3)点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边
形是以AM为边的矩形，求点P和Q的坐标．
50．如图，抛物线y=x2+bx+c过点A(−1,0)、点B(5,0)，交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点P是第四象限抛物线上的一个动点．
①当△PBC的面积最大时，求点P的坐标？并求出△PBC面积的最大值；
②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，问：是否
存在点P，使△PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．51．如图1，四边形ABCD是正方形，E，F分别在边BC和CD上，且∠EAF=45°（此时
1
∠EAF= ∠BAD），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一
2
种常用的方法．小明为了解决线段EF，BE，DF之间的关系，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后解
决了这个问题．
(1)请直接写出线段EF，BE，DF之间的关系．
(2)如图3，等腰直角三角形ABD，∠BAD=90°，AB=AD，点E，F在边BD上，且∠EAF=45°，
请写出EF，BE，DF之间的关系，并说明理由．
(3)如图4，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D，E在边BC上，且∠DAE=60°，当
BD=10，EC=16时，求BC的长．
52．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(−3,0)，B两点，交y轴于点C(0,4)，对
称轴是直线x=1，顶点为D．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)如图1，设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P为第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的
垂线，交线段BC于点F，若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标；
(3)如图2，M是抛物线对称轴上的一个动点，求△ACM周长的最小值．53．已知二次函数y=−x2+bx+c的图象经过点A(1,0)．
(1)如图，当二次函数y=−x2+bx+c的图象与x轴另一交点为C（C点在A点右侧），交y轴于D点，
直线x=2交抛物线、x轴于B、E两点，设B点坐标为(2,a)．
①用含a的代数式表示b=_____，c=_____．
②当DC=2BC时，求二次函数解析式．
(2)二次函数y=−x2+bx+c图象的对称轴为直线x=m，m取值范围为0≤m≤3时，求该二次函数最大
值n取值范围．
54．△ACD是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，BD是弦，2∠CDB=∠ACD．
(1)如图1，求证：AC=DC；
(2)如图2，过点C作CH⊥AB于点H，延长DB到N，若BN=BH，求证：CN⊥BD；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接AN，若AN⊥CD，CD=2❑√2，求线段CH的长．55．如图，在等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为BC边上的动点．将△ABD绕点A逆
时针旋转90°得到△ACE．
(1)如图1，若AB=3❑√2，CD=4，求旋转后E到AC的距离；
(2)如图2，连接DE、BE，若F为BE的中点，猜想CD与AF的数量关系，并证明；
(3)如图3，在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使PA+PB+PC的值最小，当
PA+PB+PC的值取得最小值时，AP=2，请直接写出CE的长．
56．综合与实践：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行．如图1，一
辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解，洒水车要如何
把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带？
为解决这一问题，数学小组决定建立函数模型来描述浇水的情况，探索步骤如下：
(1)【建立模型】
数据收集：如图2，选取合适的原点 O，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口H点在y轴上，根
据现场测量结果，喷水口H离地面竖直高度为OH=1.6m，把绿化带截面抽象为矩形DEFG，其中
D，E点在x轴上，测得其水平宽度DE=2m，竖直高度EF=1m，那么，洒水车与绿化带之间的距离
就可以用线段OD的长来表示．
①查阅资料：发现可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图
象，分别为y ，y ，上边缘抛物线y 的最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，求上
1 2 1
边缘抛物线y 的函数解析式，并求出洒水车喷出水的最大射程OC；
1
②下边缘抛物线y 可以看作由上边缘抛物线y 向左平移得到，其开口方向与大小不变．请求出下边缘
2 1抛物线y 与x轴的正半轴交点B的坐标；
2
(2)【问题解决】
要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形DEFG位于上边缘抛物线和下边缘抛线所夹
区域内），利用上述信息直接写出OD的取值范围．
57．综合与实践
大自然里，存在很多数学的奥秘．一片美丽的心形叶子，以其对称的形态和流畅的脉络，展现自然万
物独特的形态之美．
【问题发现】
如图，一个数学兴趣小组为了确定一片心形叶子的形状，建立平面直角坐标系，发现了该片心形叶子
下部轮廓线可以近似看作是二次函数y=mx2−4mx−20m+5图象的一部分，且过原点，求这个抛物
线的解析式．
【问题探究】
探究发现，该心形叶片的对称轴为直线y=x+2．求该叶片与y轴的交点Q的坐标．
【拓展应用】
记叶尖A、叶柄B的距离为d．继续探究发现，当叶片的宽度最大为k时，d与k的比值接近黄金分割
k
值，求 的值．（结果精确到0.001，参考数据：❑√6≈2.4495．）
d58．如图所示，图象 由图象 和 组成，其中图象 是函数 的图象，图象 是函数
G G G G y =x2−4x(x≤4) G
1 2 1 1 2
1
y =− x2+4(x>0)的图象．
2 4
(1)若点(5,p)在图象G上，求p的值；
(2)已知直线l与x轴平行，且与图象G有三个不同的交点，从左至右依次为点A、B、C，若AB=2，
求点C的坐标；
1
(3)当图象G上的点(x,y)满足−4≤ y≤12时，记此时x的取值范围为M．设y =− x2+mx−2，若在
3 4
M中总存在x ，使得y >6，求此时实数m的取值范围．
0 3
59．如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BCD．在CD的延长线上取一点F，使得AF=AD，
AF交⊙O于点E．
(1)求证：B´C=C´E．
(2)若∠FAC=45°，求证：B，O，E三点共线．
(3)如图2，连接ED并延长ED交AC延长线于点P，连接PF，若PF=AF=4❑√5，PE=10，求⊙O的半径．
60．【项目式学习】
项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”．
项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的
关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一
步应用．
实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点A处开
始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间x（单位：s）、运动速度v（单位：
cm/s）、滑行距离y（单位：cm）的数据．任务一：数据收集记录的数据如下：
运动时间x/s 0 2 4 6 8 10 …
运动速度 10 9 8 7 6 5 …
v/(cm/s)
滑行距离 0 1 36 51 6 75 …
y/cm 9 4
任务二：观察分析
（1）根据v，y随x的变化规律，从所学的三种函数模型（一次函数、反比例函数、二次函数）中，
选择适当的函数模型，分别求出v，y与x满足的函数关系式；（不用写出自变量的取值范围）
任务三：问题解决
（2）当小球在水平木板上停下来时，求小球的滑动距离；
（3）当小球到达木板上点A的同时，在点A的前方ncm处有一辆电动小车，以4cm/s的速度匀速向
右直线运动，若小球不能撞上小车，求n的取值范围．
