文档内容
专题 04 点和圆的位置关系重难点题型专训
（2个知识点+12大题型+3拓展训练+自我检测）
题型一 判断三角形外接圆的圆心位置
题型二 判断确定圆的条件
题型三 利用点与圆的位置关系求半径
题型四 三角形外接圆的概念辨析
题型五 求三角形外心坐标
题型六 求特殊三角形外接圆的半径
题型七 已知外心的位置判断三角形的形状
题型八 尺规作图一一确定圆心
题型九 尺规作图一一画圆
题型十 举反例
题型十一 反证法证明中的假设
题型十二 用反证法证明命题
拓展训练一 点和圆的位置关系综合问题
拓展训练二 点与圆上一点的最值问题
拓展训练三 反证法的应用
知识点一、确定圆的条件
不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不
能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过
一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．
【即时训练】
1．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，点 、 、 、 在同一条直线上，点 在直线 外，过这
5个点中的任意三个，能画的圆有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】D
【分析】本题考查了确定圆的条件，掌握经过不在同一直线上的三点可作圆是解题关键．由点 、 、 、在同一条直线上，点 在直线 外，即可求解
【详解】解：根据题意可知，点 、 、 、 在同一条直线上，不能确定圆，
点 在直线 外，则点 ；点 ；点 ；点 ；点 ；点 ；
不在同一直线上，可以画圆，
即能画圆的个数是6个
故选：D．
2．（24-25九年级上·全国·课后作业）平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，-3）、C（2，-3）
确定一个圆（填“能”或“不能”）．
【答案】能
【详解】∵B（0，-3）、C（2，-3），
∴BC∥x轴，
而点A（1，0）在x轴上，
∴点A、B、C不共线，
∴三个点A（1，0）、B（0，-3）、C（2，-3）能确定一个圆．
故答案为能．
知识点二、三角形的外接圆与外心
①外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
②外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
【即时训练】
1．（24-25九年级上·湖北随州·期末）如图， ， 是 的直径，弦 与 交于点F，连接 ，
， ， ，下列三角形中，外心是点O的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用外心的定义，外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的
外心，进而判断得出即可．
【详解】解：只有 的三个顶点都在圆上，故外心是点O的是 ．故选：C．
【点睛】此题主要考查了三角形外心的定义，正确掌握外心的定义是解题关键．
2．（24-25九年级上·全国·课后作业）三角形的外接圆与外心
（1） 的三个点确定一个圆；
（2）三角形的外接圆：经过三角形的三个 的圆；
（3）三角形的外心：三角形 的圆心．它是三角形三边 的交点，到三角形三个
的距离相等．
【答案】 不在同一直线上 顶点 外接圆 垂直平分线 顶点
【分析】不在同一条直线上的三个点确定一个圆；经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角
形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．外心到三角形
任意一顶点的距离即为外接圆的半径．据此填空即可．
【详解】解：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆；
（2）三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆；
（3）三角形的外心：三角形外接圆的圆心．它是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距
离相等．
故答案为：不在同一直线上；顶点；外接圆；垂直平分线；顶点．
【点睛】本题考查三角形的外接圆和内心的确定等，熟练掌握不在同一条直线上的三个点确定一个圆，三
角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点是解题的关键．
【经典例题一 判断三角形外接圆的圆心位置】
【例1】（2025·江苏扬州·模拟预测）已知点O是 ABC的外心，若∠BOC=70°,则∠BAC的度数为（ ）
A．35° B．110° C．3△5°或145° D．35°或110°
【答案】C
【分析】根据题意画出图形，分两种情况当点O在△ABC的内部时，当点O在△ABC的外部时，运用等弧
所对的圆周角是圆心角度数的一半即可求解．【详解】
当点O在△ABC的内部时，如图①，
，
，
当点O在△ABC的外部时，如图②，
为优弧 所对的圆周角，
，
，
综上，∠BAC的度数为35°或145°．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握知识点并能够用分类讨论的思想是解
题的关键．
1．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）在如图所示的方格型网格图中，取3个格点 并顺次连接得
到 ，则 的外心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】A【分析】本题考查勾股定理的应用，三角形的外心，熟练掌握三角形的外心到各个顶点的距离相等是解题
关键．
【详解】解：如图， ，
∴三角形的外心为点 ，
故选A．
2．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）在 中， ， ， ，则其外接圆的直径
为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了直角三角形的外接圆与外心，勾股定理的运用．根据三角形外心的性质可知，直角三
角形的外心为斜边中点，斜边为直径，先由勾股定理求出斜边长，则可得出答案．
【详解】解：在 中，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵直角三角形的外心为斜边中点，
∴ 的外接圆的直径为5．
故答案为：5．
3．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）如图， 的网格图中，每个方格的边长为1，经过 三点
圆弧所在圆 的半径的长度为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是确定圆弧所在圆的圆心，勾股定理的应用，如图，由网格特点可得：线段 ，线
段 的垂直平分线交于格点 ，再利用勾股定理可得答案.
【详解】解：如图，由网格特点可得：线段 ，线段 的垂直平分线交于格点 ，∴ 为圆心，
∴半径 ，
故答案为：
4．（24-25九年级上·浙江温州·期中）下图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请
用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图．（不写作法，保留作图痕迹）
(1)在图1中， 的三个顶点均在格点上，请画出 的外心 ．
(2)在图2中，请画出 的角平分线 ，交 于点 ．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟练掌握相关性质作图即可求解；
（1）根据垂直平分线的性质， ， 的垂直平分线交点即是点 ；
（2）根据角平分线的性质，找到 的中点为点 ，连接 即为角平分线．
【详解】（1）解：根据题意，作图如下：（2）解：根据题意，作图如下：
【经典例题二 判断确定圆的条件】
【例2】（24-25九年级上·湖北随州·期中）下列说法正确的是（ ）
A．经过三点可以作一个圆 B．直径不是弦
C．等弧所对的圆心角相等 D．相等的圆心角所对的弧相等
【答案】C
【分析】本题主要考查确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系．
根据确定圆的条件，弦的定义，圆心角、弧、弦的关系关系逐项判断即可．
【详解】解：A．经过不共线的三点可以作一个圆，所以A选项说法错误，不符合题意；
B．直径是弦，故B选项说法错误，不符合题意；
C．等弧所对的圆心角相等，故C选项正确，符合题意；
D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故D选项说法错误，不符合题意．
故选：C．
1．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，在 中， ，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点 ， ， ， ， ， 都在同一个圆上．记该圆面积为 面积为 ，
则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先确定圆的圆心在直角三角形斜边的中点，然后利用全等三角形的判定和性质确定 是等腰
直角三角形，再根据直角三角形斜边中线的性质得到 ，再由勾股定理解得 ，解得
，据此解题即可．
【详解】解：如图所示，
正方形的顶点 都在同一个圆上，
圆心 在线段 的中垂线的交点上，即在 斜边 的中点，且 ， ，
， ，
，
又 ， ，
，
，
，，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理、直角三角形斜边的中线的性质、垂直平分线的性质，圆的面积，全等三角形
的性质与判定，等腰三角形的性质、证明 是等腰直角三角形是解题的关键．
2．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）已知 ，经过A，B两点作圆，则所作的圆的半径最小是
．
【答案】2
【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟知经过线段 最小的圆即为以AB为直径的圆是解答此题的关键．
经过线段 最小的圆即为以 为直径的圆，求出半径即可．
【详解】解：根据题意得：经过线段 最小的圆即为以 为直径的圆，则此时半径为 ．
故答案为：2．
3．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在每个小正方形边长为1 的网格图中， 经过格点 、 、
，则该弧所在圆的半径是 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，确定圆心，作 的垂直平分线交于点 ，连接 ，勾股
定理，即可求解．【详解】解：如图所示，作 的垂直平分线交于点 ，连接 ，
∴ ，
故答案为： ．
4．（24-25九年级上·江苏·阶段练习）如图：已知P是半径为10cm的⊙O内一点．解答下列问题：
（1）用尺规作图作出圆心O的位置．（要求：保留所有的作图痕迹，不写作法）
（2）用三角板分别画出过点P的最长弦AB和最短弦CD．
（3）已知OP=6cm，过点P的弦中，长度为整数的弦共有 条．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）8
【分析】（1）利用过不在同一直线上的三点可以确定一个圆，进而画出即可；
（2）利用最长弦AB即为直径和最短弦CD，即为与AB垂直的弦，进而得出答案；
（3）求出CD的长，进而得出长度为整数的弦，注意长度为17、18、19的分别有两条．
【详解】解：（1）如图所示：点O即为所求；
（2）如图所示：AB，CD即为所求；
（3）如图：连接DO，
∵OP=6cm，DO=10cm，
∴在Rt△OPD中，DP= =8cm，
∴CD=16cm，
∴过点P的弦中，长度为整数的弦共有：8条．
故答案为：8．【点睛】此题主要考查了复杂作图以及勾股定理和垂径定理，注意长度为整数的弦不要漏解．
【经典例题三 利用点与圆的位置关系求半径】
【例3】（2025九年级上·全国·模拟预测）已知圆外一点和圆周的最短距离为2，最长距离为8，则该圆的
半径是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查了点和圆的位置关系的应用，能根据已知条件求出圆的直径是解此题的关键．根据已知
条件能求出圆的直径，即可求出半径．
【详解】解：如图，
圆外一点和圆周的最短距离为2，最长距离为8，
圆的直径为 ，
该圆的半径是3．
故选：B．
1．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，在 中， ，点D在边 上，且
，连接 ．以点D为圆心，以r为半径画圆，若点A，B，C中只有1个点在圆内，则r的值可能
为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点到圆心距离为d，半径为r，当 时，
点在圆外；当 时，点在圆上；当 时，点在圆内．先根据勾股定理求出 ，再
得出 ，根据点A，B，C中只有1个点在圆内，推出 ，即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∵点A，B，C中只有1个点在圆内， ，
∴在圆内的点为点B，
∴ ，
故选：B．
2．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）平面上一点Ｍ到 上的最长距离为 ，最短距离为 ，那么
的半径长为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，分点M在圆内或圆外进行讨论．
【详解】解：当点M在圆内时， 的直径长为 ，半径为 ；
当点M在圆外时， 的直径长为 ，半径为 ；
即 的半径长为 或 ，
故答案为： 或 ．
3．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在矩形 中， ， ，以顶点 为圆
心作半径为 的圆，若要求另外三个顶点 、 、 中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则
的取值范围是 ．【答案】
【分析】此题主要考查了点与圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理，根据点与圆心的距离与半径的大小
关系来进行判断，当 时，点在圆外；当 时，点在圆上；当 时，点在圆内，理解点与圆的位
置关系是解题的关键．
【详解】解：如图，连接 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
在直角 中， ， ，
∴ ，
由图可知三个顶点 、 、 中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则 的取值范围是
，
故答案为： ．
4．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）如图，某海域以点A为圆心、 为半径的圆形区域为多暗礁的危
险区，但渔业资源丰富，渔船要从点B处前往A处进行捕鱼，B、A两点之间的距离是 ，如果渔船始
终保持 的航速行驶，那么在什么时段内，渔船是安全的？渔船何时进入危险区域？【答案】 到 之间，渔船是安全的； 渔船进入危险区域
【分析】先根据题意求出 的长度，再根据时间=路程÷速度可得答案．
【详解】解：如图，
∵ ，
∴ ，
由 ，
知 到 之间，渔船是安全的； 渔船进入危险区域
【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知
点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
【经典例题四 三角形外接圆的概念辨析】
【例4】（25-26九年级上·全国·单元测试）如图， 为 的外接圆，且 是 的直径，点 是
上的一点，连接 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，圆内接四边形性质，根据圆周角定理得到
，即可求出 的度数，再根据圆内接四边形的对角互补解答即可，掌握知识点的应用是解题
的关键．
【详解】解：∵ 为 的外接圆，且 是 的直径， ，
∴ ，
∴ ，∵四边形 是圆内接四边形，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
1．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）课下小亮和小莹讨论一道题目：“已知点O是 的外心，
，求 ”．小亮的解答为：如图，画 以及它的外接圆O，连接 ，由
，得 ．而小莹说：“小亮考虑的不周全， 应该还有另一个不同的值”．
下列判断正确的是（ ）
A．小亮求的结果不对， 应该是 B．小莹说的不对， 就是
C．小莹说的对， 的另一个值是 D．两人说的都不对， 的值有无数个
【答案】C
【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．
【详解】解：如图所示： 还应有另一个不同的值 与 互补，
故 ．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，以及圆周角定理，正确分类讨论是解题的关键．
2．（24-25九年级上·浙江·期末）如图， 内接于 ， 于点 ， ．若 的半径
，则 的长为 ．
【答案】
【分析】连接 、 ，根据等腰直角三角形的性质得到 ，根据圆周角定理求出 ，根
据勾股定理计算即可．
【详解】解：连接 、 ，
， ，
，
由圆周角定理得， ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键．
3．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系 中，点 坐标为 ，点 坐标
为 ，点 坐标为 ．则能完全覆盖 的最小圆的半径为 ．【答案】
【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据勾股定理求出 ，根据钝角三角形最小覆盖圆是以
最长边为直径的圆得到答案．
【详解】解：由勾股定理得： ，
则能够完全覆盖这个三角形的最小圆面是以 为直径的圆，圆的半径是 ，
故答案为： ．
4．（24-25九年级上·山东滨州·期中）如图，在 中， 、 分别平分 和 ．延长
交 的外接圆于点 ，连接 ， ， ．
(1)若 ，求 的度数．
(2)求证：点 是 的外心．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义得到 ，于是得到结论；
（2）根据角平分线的定义得到 ，求得 ，得到 ，求得
，于是得到结论．
【详解】（1）解： 平分 ，，
，
；
（2）证明： 分别平分 和 ，
，
，
，
，
∴ ，
，
，
，
，
∴点B，E，D在以C为圆心的同一圆上，
∴点C是 的外心．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆和外心，圆周角定理，等腰三角形的判定，三角形的外角的性质，正
确的识别图形是解题的关键．
【经典例题五 求三角形外心坐标】
【例5】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）过三点 ， ， 的圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点的确定方法解答．
【详解】解：如图，∵ ， ， ，
∴ 是直角三角形，
∴ 的中点O的坐标为 ，
∴过三点 ， ， 的圆的圆心坐标为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质，垂径定理，解决本题的关键是掌握直角
三角形的外心．
1．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，则 的外心坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形外心、垂直平分线的性质等知识点，掌握三角形的外心是三角形三边的垂
直平分线的交点⑩解题的关键．
分别作出 的垂直平分线，其交点P即为 的外心，然后直接写出坐标即可解答．
【详解】解：如图：分别作出 的垂直平分线，其交点P即为 的外心．易得点P的坐标为 ，即 的外心坐标为 ．
故选D．
2．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点 、 、 的坐标分别为 ，
， ，则以 、 、 为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理，三角形的外接圆与圆心．根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆
心”作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．
【详解】解：如图，作弦 、 的垂直平分线，∵点 、 、 的坐标分别为 ， ， ，
所以弦 ，弦 ，
∴弦 的垂直平分线与 轴相交于点 ，弦 的垂直平分线与 轴相交于点 ，
∴两条垂直平分线的交点 即为三角形外接圆的圆心，且 点的坐标是 ．
故答案为： ．
3．（24-25九年级上·天津南开·期中）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（4，4），C（6，
2）．
（Ⅰ）若经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心为M，
点M的坐标为 ；⊙M的半径为 ；
（Ⅱ）若画出该圆弧所在圆，则在整个平面直角坐标系网格中该圆共经过 个格点．
【答案】 （2，0） 2 8
【分析】（Ⅰ）作线段AB，BC的垂直平分线交于点M，点M即为所求．根据点M的位置写出坐标即可，
利用勾股定理求出半径．
（Ⅱ）利用图像法，判断即可．
【详解】解：（Ⅰ）如图，点M即为所求．M（2，0），MA＝ ．
故答案为：（2，0），2 ．
（Ⅱ）如图，满足条件的点有8个．
故答案为：8．
【点睛】本题考查坐标与图形的性质，垂径定理，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是掌握线段的垂
直平分线的性质．
4．（2025·吉林·模拟预测）图①、图②、图③均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点
为正方形网格的中心，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中作 ，要求所做的 同时满足
以下三个条件：
①点A、B、C均在格点上；
②点 为 的外心；
③所画的三角形互不全等．
【答案】见解析
【分析】本题考查了只用无刻度的直尺作符合条件的三角形，解题关键是弄清题意．
根据所给的三个条件画图即可．
【详解】解：如图，可画出如下图形：所画出三角形显然都满足条形①，也满足条件③，
第1个图为等腰直角三角形，斜边的中点为G，点G就是其外接圆圆心；
第2个图为直角三角形，G为斜边中点，点G就是其外接圆圆心；
第3个图的右边两边的垂直平分线过点G，点G就是其外接圆圆心；
第4个图为等腰直角三角形，斜边的中点为G，点G就是其外接圆圆 心；
第5个图最短边的垂直平分线就是以这条边为对角线的正方形的另一对角线所在的直线，G点所在最长边
的垂直平分线上，所以点G就是其外接圆圆 心；
第6个图显然在最短边的垂直平分线上，也在较短边的垂直平分线上（以较短边为对角线的正方形的另一
对角线所在的直线就是较短边的垂直平分线），所马点G就是其外接圆圆 心；
第7个图点G在较短边的垂直平分线上，也在最短边的垂直平分线上，所以点G就是其外接圆圆 心；
第8个图点G在最短边的垂直平分线上，也在最长边的垂直平分线上，所以点G就是其外接圆圆 心；
所以以上8个图都符合要求，即为所求作的图形．
【经典例题六 求特殊三角形外接圆的半径】
【例6】（24-25九年级上·全国·期末）如图，正三角形 是圆 的内接三角形，弦 ，且与 垂
直，则圆 的半径等于（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B【分析】本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、垂径定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
连接 ，根据垂径定理推出 被 垂直平分，再根据勾股定理进行计算即可．
【详解】解：连接 ，
∵ 是等边三角形， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
则 ，
则 ，
解得： ．
故选：B ．
1．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图所示， 的三个顶点的坐标分别为 、 、
，则 外接圆半径的长为（ ）.A． B． C． D．
【答案】D
【分析】三角形的外心是三边垂直平分线的交点，设 的外心为M，由B，C的坐标可知M必在直线
上，由图可知线段 的垂直平分线经过点 ，由此可得 ，过点M作 于点D，连
接 ，由勾股定理求出 的长即可．
【详解】解：设 的外心为M，
、 ，
M必在直线 上，
由图可知，线段 的垂直平分线经过点 ，
，
如图，过点M作 于点D，连接 ，中， ， ，
由勾股定理得： ，
即 外接圆半径的长为 ．
故选D．
【点睛】本题考查求三角形外接圆的半径，能够根据网格和三角形顶点坐标判断出 外心的位置是解
题的关键．
2．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图， 是 的内接三角形．若 ， ，
则 的半径是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心．连接 、 ，根据圆周角定理得到 ，根据
勾股定理计算即可．
【详解】解：连接 、 ，则 ，，
，
，即 ，
解得： （负值已舍去），
故答案为： ．
3．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图， 内接于 ， 为 的直径， ， ，则
．
【答案】15
【分析】本题考查了三角形外接圆与外心，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题
的关键．连接 ，根据圆周角定理得到 ，根据三角形的内角和定理得到 ，
根据等腰三角形的性质得到 ，于是得到结论．
【详解】解：连接 ，
为 的直径，
，
，
，
，
，，
，
故答案为：15．
4．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图， 为圆O的直径，且 点E是弧 上的一个
动点(不与点 A，D重合)， 于点 F， 于点G，连接 分别交 于点M，N；
(1)如图1，若 ，则 _______， ；
(2)如图2，连接 交 于点H，当四边形 的面积最大时，试判断线段 和 的数量关系，并
说明理由；
(3)在（1）的条件下，设 ，记 的面积为 以线段 为边构成的三角形的外接
圆的面积为 试求y与x的函数关系，并求出 y的最小值．
【答案】(1) ；
(2)当四边形 的面积最大时， ，理由见解析
(3) ，y的最小值为
【分析】（1），连接 ，取 的中点H，连接 ，可求出 ，由垂径定理可得
，则可推出 ，由直角三角形的性质
可得 ，再导角可证明 ，据此利用勾股定理可得答案；
（2）分别过点A和点D作线段 的垂线，垂足分别为P、Q，则；可证明 ，则当 三点重合时，
有最大值，即此时四边形 的面积有最大值，此时 ，可得 ；证明
，即可得到 ；
（3）将 绕点O逆时针旋转 度得到 ，连接 ，可证明 ，得到
；可导角证明 ；则以线段 为边构成的三角形为直角三角形，即可得
到 ；再求出 ，则 ；设 ，则 ，由勾股定理
得 ，可得 ，即可得到 ；可证明
，据此可得答案．
【详解】（1）解：如图所示，连接 ，取 的中点H，连接 ；
∵ 为圆O的直径，且
∴ ；
∵ ，
∴ ，，
∴ ；
∵H为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：当四边形 的面积最大时， ，理由如下：
如图所示，分别过点A和点D作线段 的垂线，垂足分别为P、Q，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴当 三点重合时， 有最大值，即此时四边形 的面积有最大值，
∴此时 ，
∴ ；
∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
（3）解：如图所示，将 绕点O逆时针旋转 度得到 ，连接 ，
∴ ， ；
由（1）可得 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴以线段 为边构成的三角形为直角三角形，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴点O到 的距离为 ，∴ ，
∴ ；
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
设 ，
∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 有最小值，最小值为 ，∴当 （ 不符合题意）时 有最小值，最小值为 ，即此时y有最小值，最小
值为 ．
【点睛】本题主要考查了圆的性质，勾股定理，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性
质等等，正确作出辅助线是解题的关键．
【经典例题七 已知外心的位置判断三角形的形状】
【例7】（2025·河北·模拟预测）如图，已知 是 的外心， 分别是 、 的中点，连接 、
交 于点 ，若 ， ， ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的外接圆和外心，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫
做三角形的外心，考查了直角三角形的性质和勾股定理的逆定理，三角形的面积，连接 ， ，由题意
得出 ， ，可证得 ，根据三角形的面积公式可得出答案，熟练掌握知识点的
应用是解题的关键．
【详解】连接 ， ，如图，
∵ 是 的外心， 、 分别是 、 的中点，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形， ，
∵ ，
∴ ，
故选： ．
1．（2025九年级·全国·模拟预测）如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，
今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得 的外心为O，求 的长度为（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，勾股定理，关键是掌握三角形的外心的性质．三角形外心的性
质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，由此得到 ，从而确定B、C的位置．
【详解】解：∵ 的外心为O，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵B、C是方格纸格线的交点，
∴B、C的位置如图所示，∴ ．
故选：D．
2．（24-25九年级上·海南海口·期末）如图， 内接于 ， ，直径 交 于点 ，若
，则 °．
【答案】75
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．也考查
了圆周角定理．连接 ，如图，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出 ，再根
据圆周角定理得到 ， ，接着利用互余计算出 ，然后利用三角形
外角性质计算 的度数．
【详解】解：连接 ，如图，
，
，
，
为直径，
，
，
．故答案为：75
3．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在 中， ，用一个圆面去覆盖
，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫
做三角形的外心．找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点．也考查了等腰
三角形的性质和勾股定理．求出 的外接圆半径即可．
【详解】解：作 于D，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 垂直平分 ，
∴ 的外心O在 上，
连接 ，设 的外接圆 的半径为r，则
在 中， ，解得 ，
∵能够完全覆盖这个三角形的最小圆为 的外接圆，
∴能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径为 ．
故答案为： ．4．（24-25九年级上·安徽宣城·自主招生）如图，锐角 的外心为 ，直线 交边 于点 ，
为 的中点， 在 上的射影点为 ， 为 上的点，且 ， 交 于点 ，求证：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析
【分析】（1）连接 ，由点 为 的外心，且点 为 的中点，可得 ，再由
得出 ，进一步证明 ，从而得出 ，最后可证得
；
（2）延长 交 于点Q，连接 ，由 ， 可得 ，从而证得
，得到 ，再由 且 ，可得
从而得出 最后证得结果
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
∵点 为 的外心，且点 为 的中点，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ 在 上的射影点为 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
（2）证明：如图，延长 交 于点Q，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∵ 且 ，
∴
∴
∴ ，
即
【点睛】本题考查了三角形的外心、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等
知识，熟练掌握三角形的外心是解决问题的关键．【经典例题八 尺规作图一一确定圆心】
【例8】（24-25九年级上·河南许昌·期末）熙熙的一面圆形镜子摔碎了，想配一面与原来大小相同的镜子，
她想到的办法是：把三角板的30°顶点A放在圆上，将两边与圆的交点分别记为点B，C，如图所示，测量
出弦 的长就可以得到镜子的直径．经测量弦 的长为 ，则该镜子的直径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．连接 ，根据圆周角定理得出
，继而得出 是等边三角形，即可求解．
【详解】解：如图，设圆心为O，连接 ，
，
，
是等边三角形
，
该镜子的直径为8cm，
故选: Ｃ．
1．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在围成新月形的两条劣弧（ 和 ）中，哪条弧所在圆
的圆心到线段 的距离更小？（ ）A． B． C．距离一样 D．无法判断
【答案】B
【分析】此题考查了尺规确定圆的圆心，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握尺规确定圆的圆心的方
法．
首先利用尺规做出 和 所在圆的圆心，进而求解即可．
【详解】如图所示，点P为 所在圆的圆心，点Q为 所在圆的圆心，
∵点P到线段 的距离小于点Q到线段 的距离
∴ 所在圆的圆心到线段 的距离更小．
故选：B．
2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标
系，使点A的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是
【答案】（﹣2，﹣1）
【分析】根据外心的定义作图即可．
【详解】如图：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点O，则点O即是该圆弧所在圆的圆心．
∵点A的坐标为（﹣3，2），∴点O的坐标为（﹣2，﹣1）．
【点睛】本题考查了三角形外心，熟练掌握外心的定义，准确求作线段的垂直平分线是解题的关键．
3．（2025·天津和平·模拟预测）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点 ，点 ，点 均在格点
上，并且在同一个圆上，取格点 ，连接 并延长交圆于点 ．
（Ⅰ）四边形 外接圆的半径为 ．
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出线段 ，使 平分 ，且点 在圆上，并简要
说明点 的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【答案】 取格点 ，连接 ，交 于点 ．连接 并延长交圆于点 ，连接
即为所求．
【分析】（Ⅰ）根据格点的特征及勾股定理确定四边形ABCD外接圆的圆心，从而求解半径；
（Ⅱ）利用格点特征及垂径定理的推论，取格点 ，连接 ，交 于点 ．取格点 ，连接 并延
长交圆于点 ，连接 即为所求．
【详解】解：（Ⅰ）四边形ABCD外接圆的圆心位于格点O的位置，连接OA，OB，OC，OD，
由题意可得OA=OB=OC=OD=
故答案为：（Ⅱ）取格点 ，连接 ，交 于点 ，连接 并延长交圆于点 ，连接 ，
由格点特征结合四边形 外接圆的半径可得△EFK≌△ODG，
∴∠OGD=∠EKF=90°，即OP⊥CD
∴点P是 的中点
∴∠CAP=∠DAP
∴ 即为所求
【点睛】本题考查作图-复杂作图，勾股定理，垂径定理的推论等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用
所学知识解决问题．
4．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）如图， 是一条公路的转弯处的一段圆弧，
(1)用直尺和圆规作出 所在圆的圆心 （保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若 的中点 到线段 的距离为 ， ，求 所在圆的半径．
【答案】(1)见解析
(2) 所在圆的半径是 ．
【分析】本题考查了垂径定理及勾股定理的应用．（1）连结 、 ，分别作 和 的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O，如图圆心 即为所作；
（2）连接 ， ， 交 于D，如图2，根据垂径定理的推论，由C为 的中点得到 ，
，则 ，设 的半径为r，在 中利用勾股定理得到
，然后解方程即可．
【详解】（1）解：如图1，
点O为所求；
（2）解：连接 ， ， 交 于D，如图2，
为 的中点，
，
，
设 的半径为r，则 ，
在 中， ，
，
解得 ，即 所在圆的半径是 ．
【经典例题九 尺规作图一一画圆】
【例9】（2025·河北石家庄·模拟预测）过点A用尺规作出直线MN的垂线AD，如图所示的作法中正确的
是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【分析】①根据直径所对的圆周角是直角判断即可；
②③根据基本作图判断即可；
④根据等腰三角形的三线合一的性质判断即可．
【详解】解：图①中，由圆周角定理可知，∠ADN=90°，符合题意；
图②中，由作图可知AD⊥MN，符合题意；
图③中，由作图可知MN垂直平分线段AD，符合题意；
图④中，根据等腰三角形三线合一的性质可知AD⊥MN，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，垂线等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
1．（2025·湖北宜昌·模拟预测）已知直线l及直线l外一点P．如图，
（1）在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于A，B两点；
（2）连接PA，以点B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q；
（3）作直线PQ，连接BP．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）A．AP＝BQ B．PQ∥AB
C．∠ABP＝∠PBQ D．∠APQ+∠ABQ＝180°
【答案】C
【分析】根据作图过程即可判断．
【详解】解：∵
∴AP＝BQ，
∴PQ∥AB，∠PAB＝∠QBA，
∴∠APQ+∠PAB＝180°．
∴∠APQ+∠ABQ＝180°．
所以A、B、D选项正确，C选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了作图−复杂作图，解决本题的关键是熟练利用圆周角定理．
2．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图， 、 、 所在的圆的半径分别为r、r、r，则r、r、
1 2 3 1 2
r 的大小关系是 ．（用“＜”连接）
3
【答案】r＜r＜r
2 1 3
【分析】利用尺规作图分别做出 、 、 所在的圆心及半径，从而进行比较即可.
【详解】解：利用尺规作图分别做出 、 、 所在的圆心及半径∴r ＜r＜r
2 1 3
故答案为：r＜r＜r
2 1 3
【点睛】本题考查利用圆弧确定圆心及半径，掌握尺规作图的基本方法，准确确定圆心及半径是本题的解
题关键.
3．（2025·四川成都·模拟预测）如图：已知锐角∠AOC，依次按照以下顺序操作画图：
（1）在射线OA上取一点B，以点O为圆心，OB长为半径作 ，交射线OC于点D，连接BD；
（2）分别以点B，D为圆心，BD长为半径作弧，交 于点M，N；
（3）连接ON，MN．
根据以上作图过程及所作图形可知下列结论：①OC平分∠AON；②MN∥BD；③MN＝3BD；④若
∠AOC＝30°，则MN＝ ON．其中正确结论的序号是 ．【答案】①②④
【分析】①正确．根据 可以推出结论．
②正确．连接DM，证明∠BDM＝∠DMN即可．
③错误．首先证明BD＝BM＝DN，再根据BM+BD+DN＞MN，可得MN＜3BD，即可判断．
④正确．证明△MON是等腰直角三角形即可判断．
【详解】解：由作图可知： ，
∴∠AOC＝∠DON，即OC平分∠AON，故①正确．
连接DM，
∵ ，
∴∠BDM＝∠DMN，
∴BD∥MN，故②正确，
∵ ，
∴BM＝BD＝DN，
∵BM+BD+DN＞MN，
∴MN＜3BD，故③错误，
若∠AOC＝30°，则∠MON＝90°，
∴△MON是等腰直角三角形，
∴MN＝ ON，故④正确．
故答案为①②④．【点睛】本题考查作图-复杂作图，弧，圆心角，弦之间的关系，平行线的判定，等腰直角三角形的判定和
性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4．（2025九年级上·山东青岛·模拟预测）小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树 、 、 ，
小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作
法，保留作图痕迹）．
【答案】作图见解析
【分析】本题考查了作三角形的外接圆，作出 的外接圆即可求解，掌握三角形外接圆的作法是解题
的关键．
【详解】解：①分别以 、 为圆心，以大于 为半径画圆，两圆相交于 、 两点，连接 ；
②分别以 、 为圆心，以大于 为半径画圆，两圆相交于 、 两点，连接 ；
③直线 与 相交于点 ，以 为圆心，以 的长为半径画圆，则 即为花坛的位置．【经典例题十 举反例】
【例10】（25-26九年级上·浙江温州·期中）对于命题“如果 ，那么 ”，能说明它是假
命题的反例是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了举反例说明命题的真假；根据反例满足条件，不满足结论可对各选项进行判断．
【详解】解：A、 ，满足条件，满足结论，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意；
B、 ，不满足条件，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意；
C、 ，满足条件，不满足结论，能作为说明原命题是假命题的反例，符合题意；
D、 ， ，不满足条件，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意；
故选：C．
1．（24-25九年级上·河北邢台·期中） 和 能作为反例说明“同位角相等”是假命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了命题与定理，掌握举反例时，需要满足命题的条件，但不满足命题的结论是解题的关
键．
举出反例说明，满足命题的条件，不满足命题的结论即可得出答案．
【详解】A.两直线不平行，同位角不相等，可以作为反例说明“同位角相等”是假命题，符合题意；
B. 和 不是同位角，不符合题意；
C. 和 不是同位角，不符合题意；
D.两直线平行，同位角相等，是真命题，不符合题意；
故选A．
2．（24-25九年级上·浙江·期中）命题“如果 ，则 ， ”，很显然是假命题，请您举一个反
例： ．【答案】 ， （答案不唯一）
【分析】此题考查了举反例．找到符合命题题设，但不符合结论的例子即可．
【详解】解：如 ， ，满足 ，但 ， ．
故答案为： ， （答案不唯一）
3．（24-25九年级上·江西南昌·期末）为了说明“如果 ，那么 ”是假命题，则a，b可以取的一
组值是 ， ．
【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一）
【分析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．
【详解】解：当 ， 时，有 ，
但 ，
故答案为： ， ．
【点睛】此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可
这是数学中常用的一种方法．
4．（25-26九年级上·全国·课后作业）判断下列命题中是真命题还是假命题，是假命题举出反例
(1)绝对值相等的两个数一定相等；
(2)末位数字为0的数必能被5整除；
(3)两个锐角之和为钝角．
【答案】(1)假命题，反例见解析；
(2)真命题．
(3)假命题，反例见解析．
【分析】本题考查了绝对值的性质，被5整除的数的特征，钝角的定义，判断命题真假，以及写反例．
（1）根据绝对值的性质，即可解答；
（2）根据能被5整除的数的特征即可解答；
（3）根据钝角的定义，即可解答．
【详解】（1）解：该命题为假命题，
反例： ，但是 ．
（2）解：该命题为真命题；
（3）解：该命题为假命题，
反例： 为锐角．【经典例题十一 反证法证明中的假设】
【例11】（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时，
假设正确的是（ ）
A．假设三个外角都是钝角 B．假设三个外角中至少有一个钝角
C．假设三个外角中至多有两个钝角 D．假设三个外角中至多有一个钝角
【答案】D
【分析】本题主要考查了反证法，掌握原命题的否定与原命题的关系是解题的关键．“至少有两个”的反
面为“至多有一个”，据此即可解答．
【详解】解：∵至少有两个”的反面为“至多有一个”，而反证法的假设即原命题的否定．
∴应假设：三角形三个外角中至多有一个钝角．
故选：D．
1．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）用反证法证明“若 的半径为 ，点 到圆心的距离 大于 ，则
点 在 外”．首先应假设（ ）
A． B．点 在 外
C． D．点 在 上或点 在 内
【答案】D
【分析】此题主要考查了反证法，否定命题判断的相反判断，从而肯定原来判断的正确性，这种证明法称
为反证法．
用反证法证明，即是假设命题的结论不成立，以命题的否定方面作为条件进行推理，得出和已知条件、公
理、定义和定理等相矛盾或自相矛盾的结论，从而肯定命题的结论成立．
【详解】原命题结论为“点 在 外”，其否定应为“点 不在 外”．
根据圆的基本性质，点与圆的位置关系仅有三种：当 时在圆外， 时在圆上， 时在圆内．
因此，“点 不在圆外”等价于“点 在圆上或圆内”．
选项中对应此否定的为选项D，故首先应假设D成立．
故选：D．
2．（24-25九年级上·天津·阶段练习）用反证法证明：不在同一条直线上的三点确定一个圆，证明时可以
先假设 ．【答案】不在同一直线上的三点不能确定一个圆
【分析】本题考查反证法，根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，作答即可．
【详解】解：用反证法证明：在同一直线上的三点不能确定一个圆，首先应假设不在同一直线上的三点不
能确定一个圆；
故答案为：不在同一直线上的三点不能确定一个圆
3．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）已知正整数N，满足 ，甲、乙、丙、丁四人进一步对这
个数进行了猜测，甲说：“N是2的倍数”；乙说：“N是3的倍数”；丙说：“N是5的倍数”；丁说：
“N是7的倍数”．已知他们中有一人说错，那么满足条件的N的最大值为 ．
【答案】90
【分析】本题考查了反证法，根据题意，正整数N满足 ，且甲、乙、丙、丁四人中有一人说
错，其余三人说对．分别考虑甲错、乙错、丙错、丁错四种情况，计算满足条件的N值，并比较得出最大
值．
【详解】解：若甲错，则N不是2的倍数，但N是3、5、7的倍数．3、5、7的最小公倍数为105，但
，无解；
若乙错，则N不是3的倍数，但N是2、5、7的倍数．2、5、7的最小公倍数为70，70在50到100之间
且不是3的倍数，故 ；
若丙错，则N不是5的倍数，但N是2、3、7的倍数．2、3、7的最小公倍数为42，42的倍数在50到
100之间有84，84不是5的倍数，故 ；
若丁错，则N不是7的倍数，但N是2、3、5的倍数．2、3、5的最小公倍数为30，30的倍数在50到
100之间有60和90，两者均不是7的倍数，故 或90．
比较各情况，N的最大值为90．
验证：当 时，甲说正确（90是2的倍数），乙说正确（90是3的倍数），丙说正确（90是5的倍
数），丁说错误（90不是7的倍数），符合题意．
故答案为：90．
4．（24-25九年级上·全国·课后作业）用反证法证明：在同一圆中，如果两条弦不等，那么它们的弦心距
（圆心到弦的距离）也不等．已知： 中 和 是它的两条弦， 垂足为 ， 垂足
为 ， ．求证： ．
【答案】证明见解析
【分析】首先从结论的反面出发进而假设结论不成立，即在同一个圆中，如果两条弦不等，弦心距可能相
等，再利用勾股定理结合已知得出矛盾，进而得出答案．
【详解】证明：假设 ，如图，连接 、 ，
∵ 和 是 的两条弦， ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ，
即 ，与 矛盾，假设不成立，
∴在同一圆中，如果两条弦不等，那么它们的弦心距（圆心到弦的距离）也不等．
【点睛】本题考查反证法，垂径定理，勾股定理，通过连接半径构造直角三角形以利用勾股定理是解题关
键．
【经典例题十二 用反证法证明命题】
【例12】（2025九年级上·浙江·模拟预测）下面算式中，每个汉字代表0，1，2，…，9中的一个数字，
不同的汉字代表不同的数字．算式中的乘数应是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】C
【分析】本题考查了用反证法证明命题的正确性，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从
这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．
【详解】解：假设：“好” ，则“客” ，因为积的末尾是“客” ，故“好” 或9．若“好”
，则“居” ，因为积的首是“居” ，引出矛盾；
假设：“好” ，则“居” ，因为不同的汉字代表不同的数字，引出矛盾．故“好” ．显然
“好” ；
假设：“好” ，因为积是五位数，则“客” ，因为积的末尾是“客”，故只有“客” ，从而
“居” ，因为积的首是“居” ，引出矛盾；
假设：“好” ，因为积是五位数，不同的汉字代表不同的数字，则“客“ ，但若“客” ，则
“居” ，因为积的首是“居” ，引出矛盾；
假设：“客” ，因为积的末尾是“客”，则“居” ，因为积的首是“居” ，引出矛盾．
故只有“好” ．
故选：C．
1．（24-25九年级上·江西赣州·期中）如图，将 绕点C逆时针旋转 度后得到 ，点A，B的对
应点分别为点D，E，连接 与 交于点F，点A，B，E，F在同直一线上，则下列结论一定
正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据旋转的性质和反证法进行证明即可得到答案．熟练掌握反证法是解题的关键．
【详解】解：解：A．∵将 绕点C逆时针旋转度后得到 ，
∴ ，但无法确定 ，故选项错误，不符合题意；
B．∵将 绕点C逆时针旋转度后得到 ，
∴ ，
∴ ， ，
若 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ 大小未知，
故选项错误，不符合题意；
C．∵将 绕点C逆时针旋转度后得到 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选项正确，符合题意；
D．∵将 绕点C逆时针旋转度后得到 ，
∴ ，
若 ，
∵ ，
∴ ，
即 是等边三角形，
当且仅当 时成立，
故选项错误，不符合题意．
故选：C．
2．（24-25九年级上·河南周口·期末）用反证法证明命题“若 ，则 ”时，应假设 ．
【答案】【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
【详解】解：用反证法证明“若 ，则 ”时，应假设 ．
故答案为：
【点睛】本题考查了反证法的概念，理解反证法的概念是解题的关键．
3．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角
小于或等于 ”．下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于 ”这个
定理矛盾．②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 ．③假设三角形没有一个内角小于或
等于 ，即三个内角都大于 ．④则三角形的三个内角的和大于 ．这四个步骤正确的顺序是
.
【答案】③④①②
【分析】此题主要考查了反证法的步骤，三角形的内角和定理．解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
【详解】解：求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 ．
证明：假设三角形没有一个内角小于或等于 ，即三个内角都大于 ，
则三角形的三个内角的和大于 ，
这与“三角形的内角和等于 ”这个定理矛盾，
所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 ．
则四个步骤正确的顺序是③④①②，
故答案为：③④①②．
4．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）阅读下列材料，完成相应学习任务：四点共圆的条件
我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？小明
经过实践探究发现：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆，下面是小明运用反证法证明上述命题的
过程：
已知：在四边形 中， ．
求证：过点 可作一个圆．
证明：假设过点 四点不能作一个圆，过 、 三点作圆．如图1，若点 在圆外，设
与圆相交于点 ，连接 ，则______，而已知 ，所以 ，而 是的外角， ，出现矛盾，故假设不成立，因此点 在过 三点的圆上．
如图2，若点 在圆内， （请同学们补充完成省略的部分证明过程）
因此得到四点共圆的条件：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆．
学习任务：
(1)材料中划线部分的结论是______，依据是______；
(2)请将图2的证明过程补全；
(3)如图3，在四边形 中， ， ， ，则 的大小为
______
(4)如图4，已知正方形 的边长为6，点 是 边上的一个动点，连接 ，过点 作 的垂线交
于点 ，以 为边作正方形 ，顶点 在线段 上，对角线 相交于点 ．当点 从
运动到 时，点 也随之运动，求 经过的路径长．
【答案】(1) ，圆内接四边形对角互补
(2)见解析；
(3)32
(4)点 经过的路径为 ．
【分析】本题考查了对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆，反证法，圆内接四边形，圆周角定理，勾
股定理．
（1）根据材料得出结论，依据圆内接四边形对角互补；
（2）同（1）利用反证法结合圆内接四边形对角互补证明即可；
（3）利用题中结论，结合直径的性质及等腰三角形的性质即可求解；
（4）连接连接 ，由勾股定理求出 ，由圆周角定理得出 ，点 在
上，当 运动到点 时， 为 的中点，即可求解．
【详解】（1）解：材料中划线部分的结论是： ，
依据：圆内接四边形对角互补，
故答案为： ，圆内接四边形对角互补；
（2）证明：假设过点 四点不能作一个圆，过 、 三点作圆，如图2，若点 在圆内，设延长 与圆相交于点 ，连接 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是 的外角，
∴ ，出现矛盾，故假设不成立，
∴点 在过 三点的圆上；
（3）解：∵ ，
∴过四边形 的四个顶点能作一个圆，如图：
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：32；
（4）解：连接 如图：
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ 四点共圆，
∴ ，
∴点 在 上，当 运动到点 时， 为 的中点，
∴ ，
∴点 经过的路径为 ．
【拓展训练一 点和圆的位置关系综合问题】
1．（2025·云南曲靖·模拟预测）如图，在 中，直径 与弦 交于点E，连接 ， ．过点D的
直线 与 的延长线交于点F，且 ，
(1)求证： ；
(2)求证： 是 的切线；
(3)若 ， ， ，点P为直线 上一动点，且 ，当 时，设点
P到 上的点的距离为t，求t的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据圆周角定理得 ，再结合三角形外角性质，得 ，
进行角的等量代换，即可作答．
（2）根据 得 ，再证明 ，进行角的等量代换得 ，
再根据 为直径，则 ，即 ，即可作答．
（3）结合 ， 得 ，根据 ，则 ，在 中， ，证明，结合 ，得
故 ，即P，F两点重合，再列式求出 ，则
，即可得出t的取值范围．
【详解】（1）解：∵在 中， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ；
（2）解：连接
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为直径，
∴ ，
即 ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∵ 是 半径，
∴ 是 的切线，
（3）解：如图3：连接 ， ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
则
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
在 和 中
∴
∴
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴P，F两点重合，
∴在 中，∴ ，
∴ .
∴P到 上的点的最大距离为 .
∴P到 上的点的最小距离为 .
∴t的取值范围是
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形的相关计算，全等
三角形的判定与性质，切线的判定与性质，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
2．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）已知：如图，在平面直角坐标系 中，直线 与x轴、
y轴分别交于A，B两点，P是直线 上一动点， 的半径为2．
(1)判断原点O与 的位置关系，并说明理由；
(2)当 与x轴相切时，求出切点的坐标．
【答案】(1)原点 在 的外部，理由见解析
(2)切点的坐标为 或
【分析】（1）根据坐标可得 ， ，即可得 ，过 作 ，即点
到直线 的距离为 ，根据 ，可得 ，问题得解；
（2）当 与x轴相切时，且位于x轴下方时，设切点为D，根据 轴，可得 ，即圆心点 纵
坐标为 ，根据点 在直线 上，令 ， ，即圆心点 横坐标为 ，结合图形可知点 与点 的横坐标相等，此时问题得解；当⊙P与x轴相切时，且位于x轴上方时，令 ，
同理可得解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴当 时， ；当 时， ；
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
过 作 ，即点 到直线 的距离为 ，
∵ ，
∴ ，
∴原点 在 的外部；
（2）如图，当 与x轴相切时，且位于x轴下方时，设切点为D，根据相切的性质可知：在PD⊥x轴，
∴ 的半径为2，
∴ ，
∴圆心点 纵坐标为 ，
∵点 在直线 上，
∴令 ，可得 ，
解得： ，即圆心点 横坐标为 ，
∵点 与点 的横坐标相等，
∴此时点D的坐标为： ；
当⊙P与x轴相切时，且位于x轴上方时，
令 ，可得 ，
解得： ，即圆心点 横坐标为 ，
同理有点 与切点的横坐标相等，
∴此时切点的坐标为： ；
切点的坐标为： ；综上：当⊙P与x轴相切时，切点的坐标为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了判断直线与圆的位置关系以及切线的性质等知识，掌握切线的性质是解答本题的
关键．
3．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， ．
(1)经过 ， ， 三点的圆弧所在圆的圆心 的坐标为 ．
(2)这个圆的半径为 ．
(3)直接判断点 与 的位置关系，点 在 填“内”“外”或“上” ．
(4)在网格中过点 作 的切线，求切线经过的图中所有格点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)外
(4) ， ， ，
【分析】本题考查作图-复杂作图，坐标与图形性质，垂径定理，三角形的外接圆与外心，圆的切线等知识，
解题的关键是理解题意，正确作出图形．
（1）作出线段 ， 的垂直平分线的交点M，根据点M的位置写出坐标即可；
（2）根据勾股定理求出半径即可；
（3）求出 的长与半径比较即可得出结论；
（4）作出圆的切线即可判断出经过平面内的点．
【详解】（1）解：如图，圆心M的坐标 ，故答案为： ；
（2）解： 的半径为 ，
故答案为： ；
（3）解： ,
因此，点D在 外；
故答案为：外；
（4）解：如图， 为过点 的 的切线，过点 ， ， ， ．
【拓展训练二 点与圆上一点的最值问题】
1．（2025·吉林·模拟预测）图①、图②、图③是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点
A、B、C均是格点，格点O在边BC上，且 经过格点 ．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按
要求作图．
(1)在图①中，在 上找一点M，使点M与点A的距离最大；
(2)在图②中，在 上找一点N，使点N到 的距离最小；
(3)在图③中，过点B作 的切线 ，点H为切点．【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析．
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，垂线段最短，勾股定理、垂径定理，切线的判定和性质，解题的
关键是理解题意，正确作出图形．
（1）根据过圆外一点与圆上一点取最值时两点所在直线过圆心，作射线 交 于点 ，点 即为所
求；
（2）取格点 ，连接 交 于点 ，此时 ，则点 即为所求；
（3）取格点 ，此时 ，则直线 即为切线即可．
【详解】（1）解：如图①中，点M即为所求；
（2）解：如图②中，点N即为所求；
（3）解：如图③中，直线 即为所求．
2．（2025·广东广州·模拟预测）已知等边三角形 边长为6，点P为平面内一点，连接 ．(1)如图1．若点P在 内部， ，请作出 的外接圆，并找出圆心O．
(2)如图1，求证： 为 的切线．
(3)如图2，若点P在 内部，以 边作等边三角形 ，若 ，
求 的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用三角形的外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点的性质解答即可；
（2）连接 并延长，交 于点M，连接 ，利用圆的内接四边形的性质，圆周角定理和直角三角形
的性质得到 ，利用等边三角形的性质得到 ，再利用圆的切线的
判定定理解答即可；
（3）过点A作 于点F，过点D作 于点G，过点E作 于点H，利用等边三角形
的性质和三角形的面积公式分别求得三个三角形的面积，利用已知条件化简得到 ，则
为直角三角形， ，利用点的轨迹的性质得到点P的运动轨迹为以 为直径的圆中在
的内部的一段弧 ，当 三点共线时 的值最小，即可得出结论．
【详解】（1）解：1．作 的垂直平分线 ，
2．作 的垂直平分线 ， 与 交于点O，
3．以点O为圆心，以 为半径画圆O，如图，则 为 的外接圆，点O为圆心；
（2）证明：连接 并延长，交 于点M，连接 ，如图，
∵四边形 为圆的内接四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∵ 为圆的直径，
∴ ，
∴ ．
∵ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为圆的半径，
∴ 为 的切线．
（3）解：过点A作 于点F，过点D作 于点G，过点E作 于点H，如图，∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
同理： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为直角三角形， ，
∴点P的运动轨迹为以 为直径的圆中在 的内部的一段弧 ，如图，
当 三点共线时 的值最小，
由题意得： ，
∵ ，∴ ．
∴ 的最小值为 ．
【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆，圆的有关性质，圆周角定理，圆的内接四边形的性质，圆的切
线的判定定理，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，直角三角形的边角关系定理，
特殊角的三角函数值，基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的面积公式，熟练掌握圆的有关性质
是解题的关键．
3．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图1，在矩形 中， ， ，点 以
的速度从点 向点 运动，点 以 的速度从点 向点 运动，两点同时出发，设运动时间为
， 是 的外接圆．
(1)当 时， 半径是__________ ， 与边 的位置关系是__________．
(2)连接 ，则 长的取值范围是__________．
(3)如图2，连接 ，当 与线段 相切时，求 的值．
【答案】(1) ，相交
(2)
(3)
【分析】（1）由勾股定理计算 的长即可求出半径；过点 作直线 于 ，交 于 ，求出
的长与半径比较大小即可得出答案；
（2）先求出 的长，然后用勾股定理求得 ，再根据 ，求 的取值范围即可；
（3）过点 作 于 ，如图2所示，先证 ，得 ，由此即可解出t的值．
【详解】（1）解：当 时， ， ，
，
，
的半径是 ；
过点 作直线 于 ，交 于 ，如图1所示，
矩形 中， ，
是矩形，
， ，
，
，
，
，
与边 的位置关系：相交；
故答案为： ；相交；
（2）解：如图1所示，连接 ，
则 ，， ，
，
，
， ，
，
，
，
当 时， 取最小值 ；
当 时， 取最大值4；
；
故答案为： ；
（3）解：过点 作 于 ，如图2所示，
，
，
在 中 ，
， ，，
，
，
与线段 相切，
，
，
解得， ．
【点睛】此题是矩形与圆的综合题，主要考查了直线与圆的位置关系、相似三角形的判定与性质、勾股定
理、圆周角定理的推论、直角三角形的性质、定点与圆上动点距离的最小值问题等知识，熟练掌握相关的
性质与定理是解答此题的关键．
【拓展训练三 反证法的应用】
1．（24-25九年级上·江苏徐州·自主招生）如图，半径为 的圆形纸片的圆心为 ， 是圆内一定点，且
，把纸片折叠，折痕为 ，此时 平行 ，且弧 过点 ．
(1)求弦 的长度．
(2)已知点 在线段 上，且满足对任意点 在线段 上，都有 ．
① 求线段 的长度．
② 已知若 是圆周上的动点，把纸片折叠使 与 重合，然后抚平纸片，折痕为 （不与 重合），
证明： ， ， 在直线 的同侧．【答案】(1)
(2)① ，②见详解
【分析】（1）作F关于 的对称点 ，则 是 的垂直平分线，由勾股定理得
，则 ，过点O作 ，可得四边形 是矩形，则
，则 中，运用勾股定理求得 ，由垂径定理即可求得
；
（2）①作F关于 的对称点 ，连接 ，显然点 为 与 的交点，过点 作 ，记
交 于点 ，可证明 ，则 ，故 ；②
假设点 将点 三点中点 分割在一侧，点 在另一侧，则 与线段 相交，交点记为点 ，
连接 ，由题意得 ，则在 中， ，即 ，即
，与 矛盾，故假设不成立，同理可证明其余情况．
【详解】（1）解：如图：作F关于 的对称点 ，
∵把纸片折叠，折痕为 ，此时 平行 ，且弧 过点 ，∴ 一定在 上
连接 ， 与 交于一点
∴ 是 的垂直平分线
∴在 中，
∴
则
过点O作
∴
∵ 平行 ，
∴
∴四边形 是矩形
∴
则在 中，
∴ ，
∵ ， 经过圆心，
∴
（2）解：作F关于 的对称点 ，连接 ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴点 为 与 的交点，
过点 作 ，记 交 于点 ，由（1）知 ，
而由对称得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②假设点 将点 三点中点 分割在一侧，点 在另一侧，则 与线段 相交，交点记为点
，连接 ，
由题意得 ，
则在 中， ，
∴ ，
即 ，与 矛盾，
故假设不成立，
同理可证，点 和点 分别位于 两侧以及点 和点 位于 两侧都不成立，
∴综上可得： ， ， 在直线 的同侧．
【点睛】本题考查了折叠的性质，垂直平分线的性质定理，勾股定理，矩形的判定与性质，三角形的三边
关系等知识点，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键．
2．（2025·广东东莞·模拟预测）综合探究
小明同学在学习“圆”这一章内容时，发现如果四个点在同一个圆上（即四点共圆）时，就可以通过添加
辅助圆的方式，使得某些复杂的问题变得相对简单，于是开始和同学一起探究四点共圆的条件．小明同学已经学习了圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补．因此，他想探究它的逆命题是否成立，
以下是小明同学的探究过程，请你补充完整．
(1)【猜想】“圆内接四边形的对角互补”的逆命题为：________________________________________，如
果该逆命题成立，则可以作为判定四点共圆的一个依据．
(2)【验证】如图1，在四边形 中， ，请在图1中作出过点 三点的 ，
并直接判断点D与 的位置关系．（要求尺规作图，要保留作图痕迹，不用写作法）
(3)【证明】已知：如图1，在四边形ABCD中， ，
求证：点 四点共圆．
证明：过 三点作 ，假设点D不在 上，
则它有可能在圆内（如图2），也有可能在圆外（如图3）．
假设点D在 内时，如图2，延长 交 于点E，连结AE，
是 的外角， ，
四边形ABCE是 的内接四边形， ，
又 ， ．
这与 相矛盾，所以假设不成立，所以点D不可能在 内．
请仿照以上证明，用反证法证明“假设点D在 外”（如图3）的情形
【答案】(1)对角互补的四边形能内接于圆．（或：对角互补的四边形是圆的内接四边形）
(2)图见解析，点D在 上
(3)详见解析
【分析】本题考查了反证法，命题与定理及线段的垂直平分线的性质及有关圆的性质是解题的关键．
（1）根据逆命题与原命题是条件、结论互换解答．
（2）根据作过不共线的三个点的圆作法作图，先确定圆心再确定半径；
（3）根据反证法的步骤进行证明．
【详解】（1）解：对角互补的四边形能内接于圆．（或：对角互补的四边形是圆的内接四边形）．
（2）解：如图1， 为所求．
点D在 上．（3）证明：假设点D在 外时，如图3，
CD交 于点E，连结 ，
是 的外角，
．
四边形 是 的内接四边形，
又 ，
．
这与 相矛盾，所以假设不成立，
所以点D不可能在 外．
3．（24-25九年级上·江西南昌·期末）小明在学习了圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”后，
想探究它的逆命题“对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上”是否成立．他先根据命题画出图形，并
用符号表示已知，求证．
已知：如图，在四边形 中， ．
求证：点 在同一个圆上．
他的基本思路是依据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，先作出一个过三个顶点 的 ，再
证明第四个顶点 也在 上．具体过程如下：
步骤一 作出过 三点的 ．
如图1，分别作出线段 的垂直平分线 ，
设它们的交点为 ，以 为圆心， 的长为半径作 ．
连接 ，
（①______）．（填推理依据）
．
点 在 上．
步骤二 用反证法证明点 也在 上．
假设点 不在 上，则点 在 内或 外．
ⅰ．如图2，假设点 在 内．
延长 交 于点 ，连接 ．（②______）．（填推理依据）
是 的外角，
（③______）．（填推理依据）
．
．
这与已知条件 矛盾．
假设不成立．即点 不在 内．
ⅱ．如图3，假设点 在 外．
设 与 交于点 ，连接 ．
．
是 的外角，
．
．
．
这与已知条件 矛盾．
假设不成立．即点 不在 外．
综上所述，点 在 上．
点 在同一个圆上．阅读上述材料，并解答问题：
（1）根据步骤一，补全图1（要求：尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）填推理依据：①______，②______，③______．
【答案】（1）见解析；（2）①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．②圆内接四边形
的对角互补．③三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
【分析】本题考查的是画三角形的外接圆，线段的垂直平分线的性质，三角形的外角的性质，圆的内接四
边形的性质，反证法的运用，熟练的利用反证法证明命题的真假是解本题的关键；
（1）先作线段 ， 的垂直平分线，得到交点O，再以O为圆心， 为半径画圆即可；
（2）由线段的垂直平分线的性质可得 ，再利用圆的内接四边形的性质可得对角互补，结合
三角形的外角的性质可得推理的依据．
【详解】解；（1）补全图1，如图．
（2）①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
②圆内接四边形的对角互补．
③三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
1．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）对于命题“若 ，则 ”能说明它属于假命题的反例是
（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】D
【分析】本题考查了举反例判断命题的真假，把选项代入逐一排除即可求解，正确记忆相关知识点是解题
关键．【详解】解： 、当 ， 时， ，不是反例，不符合题意；
、当 ， 时， ，不是反例，不符合题意；
、当 ， 时， ，不是反例，不符合题意；
、当 ， 时， ，是反例，符合题意；
故选： ．
2．（2025九年级上·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中， 是坐标原点， 的半径为5，若点 的坐
标为 ，则点 与 的位置关系是（ ）
A．点 在 内 B．点 在 上 C．点 在 外 D．不能确定
【答案】A
【分析】此题考查了点和圆的位置关系，两点间距离公式，正确理解点与圆的位置关系是解题关键．
根据 的坐标得出 的长，与半径作比较，即可得出结论．
【详解】解： 点 的坐标为 ，
，
， ，
∵ 是坐标原点， 的半径为5，
∴点 在 内．
故选：A．
3．（2025·广东东莞·模拟预测）如图， 为 的外接圆，半径 ，垂足为点E，
，则 的长为（ ）
A． B． C．10 D．8【答案】D
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，垂径定理等知识，熟练运用这些性
质进行推理是本题的关键．
由圆周角定理可得 ，由等腰直角三角形的性质可求解．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：D．
4．（24-25九年级上·全国·期末）如图，已知直线 与 轴、 轴分别交于 ， 两点， 是以
为圆心， 为半径的圆上一动点，连接 ， ．则 面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】本题考查了一次函数的性质，过圆上一点最值，显然该三角形的底边 不变，高为P点到直线
距离，其最大值为圆心直线的距离加上半径，面积的最大值可求．
【详解】解：由直线 与x轴、y轴分别交于A，B两点，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴在 中， ，
P点所在圆的圆心为 ，半径为2，
∴ ，
如图，连接 ，设点C到直线 的距离为h，
∴ ，
∴ ，
所以点P到直线 的距离最大值为 ，
故 面积的最大值是 ．
故选：A．
5．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，已知点 ，直线l经过A、B两点，点 为直线l
在第一象限的动点，作 的外接圆 ，延长 交 于点Q，则 的面积最小值为（ ）
A．4 B．4.5 C． D．
【答案】D
【分析】根据已知可得 ，从而在 中，利用勾股定理求出 的长，再根据直径所对
的圆周角是直角可得 ，然后利用同弧所对的圆周角相等可得 ，从而可得
，进而可得 ，最后根据垂线段最短可知，当 时， 最小，从而可得
的面积最小，进行计算即可解答．
【详解】解：∵点 ，
∴ ，
在 中， ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积= ，∴当 最小时， 的面积最小，
∴当 时， 最小，
∵ 的面积 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积的最小值 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形的外接圆，圆周角定理，坐标与图形的性质，熟练掌握锐角三
角函数的定义是解题的关键．
6．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个大于或等于
”时，应先假设 ．
【答案】三角形三个内角都小于
【分析】本题考查反证法．写出与结论相反的假设即可．
【详解】解：用反证法证明：“三角形的三个内角中，至少有一个大于或等于 ”时，
应先提出与结论相反的假设：三角形三个内角都小于 ．
故答案为：三角形三个内角都小于 ．
7．（2025九年级上·山东青岛·模拟预测）如图，点 ， ， 均在 的正方形网格格点上，过 ， ，
三点的外接圆除经过 ， ， 三点外还能经过的格点数为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，解题的关键是掌握三角形外心的定义（三角形三边垂直平分
线的交点），并通过作图确定外接圆经过的格点．
先作出 、 的垂直平分线，找到它们的交点（即外接圆的圆心 ），再以 为圆心、 为半径作圆，最后数出该圆除 、 、 外经过的格点数．
【详解】解：如图，分别作 、 的中垂线，两直线的交点为 ，
以 为圆心、 为半径作圆，则 即为过 ， ， 三点的外接圆，
由图可知， 还经过点 、 、 、 、 这5个格点，
故答案为：5．
8．（24-25九年级上·广东中山·期中）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过网格点A，B，C，其中
点A的坐标为 、点B的坐标为 、点C的坐标为 ，那么该圆弧所在的圆心坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查确定圆心的方法，理解圆弧所在圆的圆心是圆弧中任意两条弦的垂直平分线的交点是解
题的关键．
由网格容易得出 的垂直平分线和 的垂直平分线，它们的交点即为圆心．
【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦 和 的垂直平分线，如图所示，
它们的交点D为该圆弧所在圆的圆心，由图知， ，
该圆弧所在的圆心坐标为 ，
故答案为： ．
9．（2025·四川成都·模拟预测）对于平面直角坐标系 中的圆和点P给出如下定义：对于圆上的动点
Q，若点P到动点Q两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的3倍，则称点P为圆的
“三分点”．已知 ， ，以坐标原点O为圆心，r为半径画圆，以坐标原点为圆心， 为半径
画圆，若线段 上存在 的“三分点” ，则r的取值范围是 ．
【答案】 或
【分析】本题主要考查了点与圆心的位置关系求最值，依据题意，设半径为r的圆O，与x轴交F，G两点，
分别求得A，B到圆心的距离，根据题意作出图形，分别求得最小值和最大值，根据“三分点”的定义列
出不等式组，解不等式组求解即可．
【详解】解：如图，设半径为 的圆 与 轴交 ， 两点，半径为 的圆 与 轴交 点，半径为
的圆 与 轴交 点，半径为 的圆 与 轴交 点，∵线段 上存在 的“三分点” ，
∴ 上存在 的“三分点” ，
点 ， ，
， ，
设 ， ， ，
， ．
由题意： ， ，
∴ ， ， ，
， ，
∵ 在 上，
．
或 ．
或 ．
故答案为： 或 ．
10．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）在 中， ， ， ，点 是以点
为圆心， 为半径的圆上一点，连接 ，点 为 中点，线段 长度的最大值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半，取 的中点 ，连接 ， ， ，由勾股定理得 ，然后通过直角三角形性质可得 ，又 是 的中点， 是 的中点，则 ，通
过 即可求出线段 长度的最大值，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，取 的中点 ，连接 ， ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵点 为 中点，
∴ ，
∵ 是 的中点， 是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴最大值为 ，
故答案为： ．
11．（25-26九年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，在 中， ．先作 的平分线交
边于点P，再以点P为圆心， 长为半径作 （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查尺规作图（角平分线的作法、圆的作法），解题的关键是熟练掌握角平分线和圆的尺规
作图方法．先作出 的平分线，确定点 ，再以 为圆心、 为半径作圆．
【详解】解：如图所示，⊙P为所求的圆；
12．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是 上的三个点， 、
、 ．
(1)圆心M的坐标为 ；请在图中标出圆心的位置．
(2)判断点 与 的位置关系，并写出过程．
【答案】(1) ，图见解析；
(2)点D在 外，证明见解析．
【分析】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，点与圆的位置关系等知识，能够根据垂
径定理的推论得到圆心的位置是解决问题的关键．
（1）根据弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦 和 的垂直平分线，交点即为圆心；
（2）求出 的半径， 的长即可判断．
【详解】（1）解：画图如下：由图可知：圆心M的坐标为 ；
（2）解：圆的半径 ,
线段 ，
点D在 外．
13．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在如图所示的方格纸中存在 ，其中，点 ， ， 均在格点
上．
(1)用直尺作出 的外接圆圆心 ；
(2)若方格纸中每个小正方形的边长为2，求 外接圆半径 的长．
【答案】(1)作图见解析
(2)
【分析】本题考查作图 应用与设计作图，三角形的外接圆等知识，解题的关键是理解三角形外接圆的圆
心的三边垂直平分线的交点．
（1）线段 ， 的垂直平分线的交点 即为所求；
（2）连接 ，利用勾股定理求解．
【详解】（1）解：如图，点 即为所求；
（2）解：连接 ．
．
故外接圆半径 的长为 ．14．（2025·江西南昌·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，给出如下定义：若点P的横、
纵坐标均为整数，且到圆心C的距离d≤r，则称P为⊙C 的关联整点.
（1）当⊙O的半径r=2时，在点D（2，-2），E（-1，0），F（0，2）中，为⊙O的关联整点的是 ；
（2）若直线 上存在⊙O的关联整点，且不超过7个，求r的取值范围；
（3）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，若直线 上存在⊙C的关联整点，求圆心C的横坐标t的取
值范围.
【答案】（1）E、F ；（2） ≤ r ＜ ；（3） ≤t≤ .
【分析】（1）根据关联整点的定义进行判断即可.
（2）首先求出直线 上有一个⊙O的关联整点时，即⊙O过点G（2,2）时，半径r的值，再求出
直线 上有9个⊙O的关联整点时，即⊙O过点L（-2,6）时，半径r的值，即可求解.
（3）分别求出当⊙C过点M（3,1）和⊙C过点N（5,-1）时，圆心C的横坐标即可.
【详解】（1）点D,E,F的横、纵坐标均为整数，点D到圆心 的距离为 不满足关联
整点的定义.
点E到圆心 的距离为 满足关联整点的定义.
点F到圆心 的距离为 满足关联整点的定义.
则E,F为⊙O的关联整点
故答案为E、F ；（2）当⊙O过点G（2,2）时，r= ，
⊙O过点L（-2,6）时，r= ，
∴ ≤ r ＜
（3）如图所示：
当⊙C过点M（3,1）时，CM=2，MH=1，
则CH= ，此时点C的横坐标t= ，
当⊙C过点N（5,-1）时，点C的横坐标t= ，
∴ ≤t≤ .
【点睛】属于圆的综合题，读懂题目中关联整点的定义是解题的关键.
15．（24-25九年级上·江苏南京·期中）[模型建立]
如图①、②，点P分别在 外、在 内，直线 分别交 于点A、B，则 是点P到 上的点的
最短距离， 是点P到 上的点的最长距离．
[问题解决]
请就图①中 为何最长进行证明．
[初步应用]（1）已知点P到 上的点的最短距离为3，最长距离为7．则 的半径为______．
（2）如图③，在 中， ， ， ．点E在边 上，且 ，动点P在半径为
2的 上，则 的最小值是______．
[拓展延伸]
如图④，点 ，动点B在以 为圆心， 为半径的圆上， 的中点为C，则线段 的最大值
为______．
【答案】[问题解决]证明见解析；[初步应用]（1）2或5；（2） ；[拓展延伸]
【分析】本题考查三角形三边关系的应用，勾股定理，三角形中位线的性质等，掌握题意中的模型是解题
的关键．
[初步应用]（1）根据三角形的任意两边之和大于第三边即可得解；
（2）分两种情况讨论：①点P在 外，②点P在 内，根据线段的和差即可求解；
连接 ，交 于点D，则 的最小值是 的长，根据勾股定理即可求出 ，进而得到 的长，即
可解答；
[拓展延伸]取点 ，连接 ，可得 是 的中位线，因此当线段 取得最大值时，线段
也取得最大值．连接 ，并延长 交 于点 ，当点B位于点 时，线段 有最大值，根据点P，
点D的坐标与 的半径即可求出 的长，进而即可解答．
【详解】解：[问题解决]
如图，点C为 上任意一点，连接 ， ，
当点C与点B不重合时，∵在 中， ，
又 ，
∴ ，即 ，
当点C与点B重合时， ，
∴综上可得， ，
∵点C为 上任意一点，
∴ 的长是点P到 上的点的最长距离．
[初步应用]
（1）若点P在 外，如图①，
则 ， ，
∴ ，
∴ 的半径为2；
若点P在 内，如图②，
则 ， ，
∴ ，
∴ 的半径为5；
综上所述， 的半径为2或5．
故答案为：2或5
（2）连接 ，交 于点D，由[模型建立]可得 的长是点A到 上的点的最短距离，
∴ 的最小值是 的长
∵在 中， ， ，∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值是 ．
[拓展延伸]
取点 ，连接 ，
∵ ， ，
∴点A是线段 的中点，
∵点C是线段 的中点，
∴ ，
∴当线段 取得最大值时，线段 也取得最大值，
连接 ，并延长 交 于点 ，
∴当点B位于点 时，线段 有最大值，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 的半径为 ，即 ，
∴ ，
∴线段 有最大值为 ，∴线段 的最大值为 ．
故答案为：
